peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

Transkriptio

1 Esimerkki a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0, 1] m ei ole avaruuden R m nollajoukko, sillä jokainen hyperkuution [0, 1] m (äärelliseen!) jakoon kuuluva hypersuorakulmio kuuluu joukon kontaktijoukkoon. 2 Korollaari Olkoon S R m kompakti C 1 -sileä pinta. Silloin S on nollajoukko. Todistus. Pinta S on lokaalisti erään funktion kuvaaja (Lause 2.7.2) eli jokaisella x S löytyy sellainen pisteen x avoin ympäristö, jossa S on jonkin funktion kuvaaja. Koska S on kompakti, niin voidaan valita äärellinen määrä tällaisia ympäristöjä, jotka peittävät koko joukon S (kompakti=avoimesta peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki varuuden R 3 tasojen rajoitetut osajoukot ovat myös nollajoukkoja. Torus ja ellipsoidi ovat C 1 -sileinä pintoina avaruuden R 3 nollajoukkoja. Myös kuution pinta on nollajoukko, sillä se voidaan esittää kuuden C 1 -sileän pinnan (kuution tahkon) yhdsteenä. Kun m = 2, on seuraava tulos erittäin hyödylllinen. Lause Olkoon γ : [a, b] R 2 C 1 -polku. Silloin γ([a, b]) on nollajoukko. Todistus. Sivuutetaan. Olleellista on, että käyrän γ([a, b]) pituus on äärellinen. 2 Tämä on merkittävä ero Riemannin ja Lebesgue n integralin välillä.

2 Esimerkki a) Joukko C = {(x 1, x 2 ) R 2 : x x 2 2 = 1} on nollajoukko, sillä se on C 1 -polun kuvajoukko. b) Myös Esimerkin c) kohdan joukko C = {(x 1, x 2 ) R 2 : x 2/3 1 + x 2/3 2 = 1} on nollajoukko, sillä se voidaan voidaan jakaa neljään osaan, joista kukin on C 1 -polun kuva. Yleisemmin suljetut yksinkertaiset käyrät ovat nollajoukkoja. Lause Olkoon Q R m kompakti hypersuorakulmio ja N Q nollajoukko. 1. Jos f : Q R on rajoitettu ja f(x) = 0 jokaisella x Q\N, niin f on integroituva yli joukon Q ja f(x)dx = 0. Q 2. Jos f : Q R on integroituva yli joukon Q ja g : Q R on sellainen rajoitettu funktio, että f(x) = g(x) kaikilla x Q\N, niin g on integroituva yli joukon Q ja f(x)dx = g(x)dx. Todistus. Sivuutetaan. Q Q

3 Seuraava tulos antaa luvan integroida eräitä tuttuja osajoukoissa määriteltyjä funktioita. Lause Olkoon Q R m kompakti hypersuorakulmio ja olkoon f : Q R rajoitettu funktio. Jos joukko N = {x Q : f on epäjatkuva pisteessä x} on nollajoukko, niin f on integroituva yli Q:n Todistus. Olkoon ɛ > 0 ja P joukon R m sellainen jako, että κ(n, P ) < ɛ. Hienontamalla tarvittaessa jakoa P voidaan olettaa, että reuna Q ei halkaise yhtään jaon P suorakulmioita (kun jakoa hienonnetaan, niin kontaktijoukon tilavuus ei kasva). Merkitään kontakijoukon hypersuorakulmioita symboleilla K i1,...,i m ja muita joukkoa Q leikkaavia jaon P hypersuorakulmioita R j1,...j m. Funktio f on tasaisesti jatkuva kompaktissa joukossa R = j1,...,j m R j1,...,j m. Silloin löytyy δ > 0, jolla f(x) f(y) < ɛ aina kun x y < δ ja x, y R. Hienonnetaan jakoa P niin, että hienonnukseen P sisältyvän hypersuorakulmion pisteiden maksimietäisyys on aina pienempi kuin δ. Merkitään edelleen kontakijoukon hypersuorakulmioita symboleilla K i1,...,i m ja muita jaon P hypersuorakulmioita R j1,...j m.

4 Tarkasteellaan Riemannin ylä- ja alasumman erotusta U(f, P ) L(f, P ) = ( sup f) ( inf f) K i1,...,i m i 1,...,i m K i1 K,...im i1,...,im rajoitettu + ( sup f) ( inf f) R j1,...,j m j 1,...,j m R j1 R,...,jm j1,...,jm <ɛ Cκ(N, P ) + ɛ Q. Lauseen nojalla f on integroituva. Esimerkki a) Olkoon f(x 1, x 2, x 3 ) = { x 1 x 2 + x x 1 x 3, kun x x x2 3 2 < 1 0 muulloin. Silloin f on integroituva yli joukon [ 10, 10] 3, sillä epäjatkuvuuksien joukko on ellipsoidi (kts. Esim N = {(x 1, x 2, x 3 ) [ 10, 10] 3 : x x x2 3 2 = 1}.

5 b) Laske [ 1,1] [ 1,1] missä g(t) = t 2 kaikilla t R. f(x 1, x 2 )dx 1 dx 2, kun f(x 1, x 2 ) = { x x 2 2, kun x 2 g(x 1 ) 0 muulloin Ratkaisu: Tarkistetaan, että funktio f integroituva yli joukon [ 1, 1] [ 1, 1]. Funktion f epäjatkuvuuksien joukko on N = {(x 1, x 2 ) [ 1, 1] [ 1, 1] : x 2 = g(x 1 )}, joka on jatkuvan funktion g kuvaajan osajoukkona nollajoukko (Lause 4.3.4). Täten f on integroituva yli joukon [ 1, 1] [ 1, 1] (Lause 4.3.6). Lisäksi jokaisella x 1 [ 1, 1], integraali 1 1 f(x 1, x 2 )dx 2 = g(x1 ) 1 x x 2 2 dx 2 = x 2 1(g(x 1 ) ( 1)) + g(x 1) 3 on olemassa, jolloin Fubinin lausetta voidaan käyttää. Tällöin 1 ( 1 ) f(x 1, x 2 )dx 1 dx 2 = f(x 1, x 2 )dx 2 dx 1 [ 1,1] [ 1,1] = x 2 1(g(x 1 ) +1) + g(x 1) 3 3 =x 2 1 = ( 1)3 3 ( 1)3 dx 1 3

6 4.3.4 Minkälaisen joukon yli funktiota voi integroida? Määritelmä Olkoon R m sellainen joukko, joka sisältyy kompaktiin suorakulmioon Q R m ja f : R. Jos funktio { f f(x), kun x (x) = 0 kun x Q\ on integroituva yli joukon Q, niin funktio f on integroituva yli joukon ja sen integraali yli joukon on f(x)dx = f (x)dx. Edellinen esimerkki yleistyy suoraviivaisesti seuraavaksi tulokseksi. Lause Olkoot g, h : [a, b] R sellaisia jatkuvia funktioita, että g(t) h(t) kaikilla t [a, b] ja = {(x 1, x 2 ) [a, b] [c, d] : x 1 [a, b], g(x 1 ) x 2 h(x 1 )}. sellainen joukko, että on nollajoukko. Jos f : R on jatkuva, niin f on integroituva yli joukon ja ( b ) h(x1 ) f(x 1, x 2 )dx 1 dx 2 = f(x 1, x 2 )dx 2 dx 1. a Q g(x 1 )

7 Todistus. Määritellään funktio f (x 1, x 2 ) = ja edetään kuten esimerkissä b. { f(x 1, x 2 ), kun (x 1, x 2 ) 0 muulloin Esimerkki Laske 1dxdy, kun R2 on paraabelien väliin jäävä joukko. Ratkaisu: Paraabelit leikkaavat, kun Tällöin ja y 2 = x + 3 ja y 2 = 2x + 6 x + 3 = 2x + 6 x = 1 (x, y) = (1, ±2). = {(x, y) R 2 : 2 y 2, y 2 3 x 1 2 y2 + 3} 1dxdy = = ( ) 1 2 y dx dy y y2 + 3 y 2 3dy = 16.

8 Seuraavan tuloksen tekee mielenkiintoiseksi oletusten välttämättömyys: Joukon indikaattorifunktio ei ole integroituva, jos joukon reuna ei ole nollajoukko! Lause Olkoot R m rajoitettu ja Q R m sellainen kompakti hypersuorakulmio, joka sisältää joukon. Funktio { 1, kun x χ (x) = 0 muulloin on Riemannin mielessä integroituva yli joukon Q jos ja vain jos on nollajoukko. Todistus. Jos on nollajoukko, niin χ on integroituva lauseen nojalla. Osoitetaan toinen suunta vastaoletuksen avulla: oletetaan, että χ on integroituva yli joukon Q, mutta ei ole nollajoukko. Silloin löytyy ɛ > 0, jolle κ(, P ) > ɛ jokaisella avaruuden R m jaolla P. Olkoon P joukon R m jako. Valitaan jaon P hienonnus P seuraavalla tavalla: Jokaisesta jaon P hypersuorakulmiosta erotetaan viipale sen jokaiselta reunalta. Valitaan näiden viipaleiden koko niin, että kaikkien joukkoa Q leikkaavien reanaviipaleiden yhteistilavuus on korkeintaan U(χ, P ) L(χ, P ).

9 Olkoot R j1,...j m sellaisia joukon ja hienonnuksen P kontaktijoukon suorakulmioita, jotka eivät ole reunaviipaleita ja olkoot S k1,...,k m kontaktijoukon reunaviipaleita. Silloin ɛ < κ(, P ) = S k1,...,k m + R j1,...,j m k 1,...,k m j 1,...,j m U(χ, P ) L(χ, P ) + U(χ, P ) L(χ, P ), sillä joukko R j1,...j m sisältyy jaon P sellaiseen suorakulmioon, jossa on sekä joukon että sen komplementin C pisteitä. Koska P on vapaasti valittu jako, niin lauseen nojalla funktion χ ei voi olla integroituva. Täten vastaoletus on väärä. Esimerkki a ) Olkoon = {(x 1, x 2 ) [0, 1] [0, 1] : x 1, x 2 Q}. Silloin = [0, 1] [0, 1]. Esimerkiksi funktio f 1 ei ole integroituva yli joukon, mutta funktio f 0 on. b) Joukon = {(x 1, x 2 ) R 2 : 1 x x 2 2 4} reuna {x R 2 : x = 1} {x R 2 : x = 2} on nollajoukko. Kaikki jatkuvat funktiot ovat integroituvia yli joukon.

10 4.3.5 Moniulotteisen integraalin perusominaisuuksia Lause Olkoon, B R m rajoitettuja joukkoja ja f, g : R kaksi joukon yli integroituvaa funktiota. Silloin 1. f(x) + g(x)dx = f(x)dx + g(x)dx 2. αf(x)dx = α f(x)dx kaikilla α R 3. Jos f(x) g(x) kaikilla x, niin f(x)dx g(x)dx. 4. Jos B = ja f on lisäksi integroituva yli joukon B, niin silloin f on integroituva yli joukon B ja B f(x)dx = f(x)dx + B f(x)dx. Todistus. Kohdat 1-2 seuraavat Riemannin summien vastaavista ominaisuuksista. Kohta 3 seuraa Riemannin integraalin määritelmästä ei-negatiiviselle funktiolle 0 g f ja soveltamalla kohtaa 1. Kohta 4 seuraa määritelmästä ja kohdasta 1, kun huomataan että χ B = χ + χ B, sillä joukkojen ja B leikkaus on tyhjä.

11 Lause (Integraalilaskennan väliarvolause). Olkoon R m sellainen kompakti polkuyhtenäinen joukko, että on nollajoukko ja 1dx > 0. Jos f : R on jatkuva, niin löytyy sellainen p, että f(x)dx = f(p) 1dx Todistus. Lauseen nojalla min f(x) x f(x min ) 1dx f(x)dx max f(x) 1dx, x f(x max ) jolloin f(x min ) f(x)dx 1dx f(x max ). Koska on polkuyhtenäinen, löytyy sellainen jatkuva funktio γ : [a, b] S, että γ(a) = x min ja γ(b) = x max. Koska funktio f(γ(t)) on jatkuva, niin löytyy sellainen t 0, että f(γ(t 0 )) = f(x)dx =p 1dx.

12 4.3.6 Muuttujanvaihto Sanotaan, että f on suljetussa joukoosa D R m määritelty C 1 -funktio, jos löytyy sellainen avoimesssa joukossa D määritelty C 1 -funktio f, että D D ja f = f joukoosa D. Lause Olkoot K R m kompakti, G : K R m C 1 -funktio ja D K sellainen avaruuden R m avoin joukko, että 1. K\D on nollajoukko 2. G : D R on injektiivinen 3. Kuvauksen G Jacobin matriisin determinantti det(j G,y ) 0 kaikilla y D. Silloin jokaisella rajoitetulla funktiolla f : G(K) R, joka on jatkuva joukossa G(D), pätee f(x)dx = f(g(y)) det(j G,y ) dy. G(K) K Todistus. (Hahmotelma todistuksen periaatteista) Oletetaan, että D on erään hypersuorakulmion sisäpisteiden joukko, K on joukon D sulkeuma ja G : K R on injektiivinen. Jokaista joukon K jakoa P = {R j1,...,j m } vastaa joukon G(K) peite {G(R j1,...,j m )}. Jos joukkojen G(R j1,...,j m ) reunat ovat nollajoukkoja ja kaksi joukkoa G(R j1,...,j m ) leikkaa toisiaan vain nollajoukossa, niin f(x)dx = f(x)dx G(R j1,...,jm ) G(K) j 1,...,j m

13 Integraalilaskennan väliarvolauseen nojalla löytyy sellaiset pisteet p j1,...,j m G(R j1,...,j m ), että f(x)dx = f(p j1,...,j m ) 1dx. G(R j1,...,jm ) G(R j1,...,jm ) Koska G on injektiivinen, niin löytyy yksikäsitteinen q j1,...,j m, jolla G(q j1,...,j m ) = p j1,...,j m. pproksimoidaan joukkoa G(R j1,...,j m ) korvaamalla G sen 1. asteen Taylorin polynomilla G(q j1,...,j m + h) G(q j1,...,j m ) + J G,qj1,...,jm h pisteen q j1,...,j m ympäristössä. Tällöin G(R j,...,jm ) on approksimatiivisesti m-ulotteinen särmiö, joka ei välttämättä ole hypersuorakulmio vaan hypersuunnikas. Tällaisen hypersuunnikkaan tilavuus saadaan kaavalla det(j G,pi1,...,im ) R j1,...,j m, jolloin f(x)dx f(g(q j1,...,j m )) det(j G,qi1,...,im ) R j1,...,j m. G(D) j 1,...,j m

14 Esimerkki Laske integraali x 2 y 2 dxdy, missä = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. Ratkaisu: Integrointi on yl suljetun yksikkäpallon = B(0, 1). Siirrytään napakoordinaatteihin Tällöin C 1 -funktio G : [0, 1] [0, 2π] =K G(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)). B(0, 1) on surjektio ja G : (0, 1) (0, 2π) =D B(0, 1) on injektio, missä G\D = {(r, θ) [0, 1] [0, 2π] : r = 0 tai r = 1 tai θ = 0 tai θ = 2π} on neliön sivuista koostuvana joukkona nollajoukko. Lasketaan G:n Jacobin matriisi pisteessä (r, θ) [ G1 J G,(r,θ) = r (r, θ) G ] [ ] 1 θ (r, θ) cos(θ) r sin(θ) G 2 r (r, θ) G = 2 θ (r, θ) sin(θ) r cos(θ) jonka determinantti det J G,(r,θ) = r sin 2 (θ) + r cos 2 (θ) = r 0 (r, θ) D. Tällöin x 2 y 2 dxdy = (r cos(θ)) 2 (r sin(θ)) 2 r drdθ B(0,1) [0,1] [0,2π] f(x,y) f(g(r,θ)) det(j G,(r,θ) ) 1 ( 2π ) Fubini = r 5 cos 2 (θ) sin 2 (θ)dθ dr = r 5 dr 2π sin2 (2θ)dθ = π 24.