Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Transkriptio

1 Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015

2 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Tässä luvussa tarkastellaan fuktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. 4.1 Määritelmä Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden joukon B alkion f(a) B, jota kutsutaan funktion f arvoksi pisteessä a tai a:n kuvaksi tai kuvapisteeksi kuvauksessa f. Joukkoa A kutsutaan funktion f määrittely- tai lähtöjoukoksi ja joukkoa B maalijoukoksi. 4.2 Huomautus Kuvaus muodostuu kolmikosta (f, A, B). Kaksi kuvausta f : A B ja g : C D ovat samat, jos A = C, B = D ja f(x) = g(x) kaikilla x A = C. 4.3 Esimerkkejä (1) Olkoot A = {a, b, c} ja B = {0, 2, 4, 6, 8}. Määritellään f : A B seuraavasti f(a) = 0, f(b) = 4, f(c) = 0. Tällöin f on kuvaus. Sekä a:n että c:n kuva on 0. (2) Olkoon f sääntö, joka liittää jokaiseen kuukauteen sen päivien lukumäärän. Tällöin f on kuvaus A N, missä A = {tammi-, helmi-, maalis-, huhti-, touko-, kesä-, heinä-, elo-, syys-, loka-, marras-, joulukuu}. Nyt f(tammikuu) = 31, f(helmikuu) = 28, f(huhtikuu) = 30 = f(syyskuu). (3) Olkoon P = {toisen asteen polynomit}. Määritellään kuvaus f : P R, f(p ) = 1 0 P (x) dx. 2

3 Esimerkiksi, jos P (x) = x P, niin f(p ) = 1 0 (x 2 + 1) dx = / 1 0 ( 1 3 x3 + x) = 4 3. (4) Määritellään kuvaus f : R 2 R 2 f(x, y) = (2x y, x + y). Tällöin f(0, 1) = (2 0 1, 0 + 1) = ( 1, 1) ja f(0, 0) = (2 0 0, 0 + 0) = (0, 0). Määritellään seuraavaksi kuvajoukko ja alkukuva. 4.4 Määritelmä Olkoon f : A B kuvaus. Joukon U A kuvajoukko f(u) on joukon U alkioiden kuvapisteiden muodostama joukko: f(u) = {f(a) a U} = {b B on olemassa sellainen a U että b = f(a)} B. Joukon V B alkukuva f 1 (V ) on niiden joukon A alkioiden joukko, jotka kuvautuvat joukkoon V : f 1 (V ) = {a A f(a) V } A. 4.5 Huomautus Määritelmän perusteella f(a) B, mutta yleensä f(a) B. 4.6 Esimerkkejä (1) Olkoot A = {a, b, c} ja B = {0, 2, 4, 6, 8}. Määritellään f : A B kuten esimerkissä 4.3 (1): f(a) = 0, f(b) = 4, f(c) = 0. Tällöin f({a, b}) = {0, 4}, f({a, c}) = {0}, f 1 ({6, 8}) =, f 1 ({0}) = {a, c} ja f 1 ({0, 4}) = {a, b, c} = A. Lisäksi f 1 (f({a})) = f 1 ({0}) = {a, c}, f(f 1 ({0, 4, 6})) = f({a, b, c}) = {0, 4}, f(a\f 1 ({0})) = f(a\{a, c}) = f({b}) = {4} ja f 1 (B f({a, c}) = f 1 (B {0}) = f 1 ({0}) = {a, c}. 3

4 (2) Olkoon A kuukausien muodostama joukko ja olkoon f : A N kuten esimerkissä 4.3 (2), ts. f liittää jokaiseen kuukauteen sen päivien lukumäärän. Tällöin f(a) = {28, 30, 31}, f 1 ({29}) =, f 1 ({28}) = {helmikuu}, f 1 ({30}) = {huhti-, kesä-, syys-, marraskuu} ja f(a\f 1 ({30})) = {28, 31}. (3) Tarkastellaan kuvausta f : R R, f(x) = x 2 2. Olkoot U = [0, 2[ ja V =] 1, 1]. Mitä ovat f(u) ja f 1 (V )? Ratkaisu. ja f(u) = {f(x) x U} = {x 2 2 x [0, 2[} = [ 2, 2[ f 1 (V ) = {x R f(x) V } = {x R x 2 2 ] 1, 1]} = {x R 1 < x 2 2 1} = {x R 1 < x 2 3} = [ 3, 1[ ]1, 3]. (4) Olkoon A X. Kuvausta χ A : X [0, 1], { 1, jos x A, χ A (x) = 0, jos x / A, kutsutaan joukon A karakteristiseksi funktioksi. Nyt χ 1 A ({0}) = X\A, χ 1 A ({1}) = A ja χ 1 A ({y}) = kaikilla 0 < y < 1. (5) Olkoon f : A B kuvaus. Oletetaan, että V 1 V 2 B. Osoita, että f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Oletus: f : A B on kuvaus ja V 1 V 2 B. Väite: f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Todistus. Olkoon x f 1 (V 1 ). Määritelmän perusteella f(x) V 1. Koska V 1 V 2, niin f(x) V 2. Siis määritelmän nojalla x f 1 (V 2 ). Näin ollen väite on totta. 4

5 (6) Olkoon f : A B kuvaus. Oletetaan, että V 1, V 2 B. Osoita, että f 1 (V 1 V 2 ) = f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Todistus. (i) Väite 1: f 1 (V 1 V 2 ) f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ), ts. jos x f 1 (V 1 V 2 ), niin x f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Todistus. Olkoon x f 1 (V 1 V 2 ). Tällöin f(x) V 1 V 2, ts. f(x) V 1 ja f(x) V 2. Määritelmän nojalla x f 1 (V 1 ) ja x f 1 (V 2 ). Siis x f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Näin ollen väite 1 on totta. (ii) Väite 2: f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ) f 1 (V 1 V 2 ), ts. jos x f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ), niin x f 1 (V 1 V 2 ). Todistus. Olkoon x f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ), ts. x f 1 (V 1 ) ja x f 1 (V 2 ). Määritelmän perusteella f(x) V 1 ja f(x) V 2, joten f(x) V 1 V 2. Siis x f 1 (V 1 V 2 ). Näin ollen väite 2 on totta. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että f 1 (V 1 V 2 ) = f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). 4.7 Määritelmä Olkoot g : A B ja f : B C kuvauksia. Yhdistetty kuvaus f g : A C määritellään seuraavasti: (f g)(a) = f(g(a)) kaikilla a A. 4.8 Esimerkkejä (1) Olkoot f : R R, f(x) = 2x + 3 ja g : R R, g(x) = cos x. Tällöin f g : R R, (f g)(x) = f(g(x)) = f(cos x) = 2 cos x + 3, g f : R R, (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = cos(2x + 3). Erityisesti f g g f. (2) Olkoot f : R 2 R, f(x, y) = x + y ja g : R R 2, g(t) = (2 + t, t 2 ). Tällöin f g : R R, (f g)(t) = f(g(t)) = f(2 + t, t 2 ) = 2 + t + t 2 = t 2 + t + 2, g f : R 2 R 2, (g f)(x, y) = g(f(x, y)) = g(x + y) = (2 + x + y, (x + y) 2 ) = (x + y + 2, x 2 + 2xy + y 2 ). 5

6 (3) Olkoot f : R 2 R, f(x, y) = x + y ja g : R R, g(t) = sin t. Tällöin g f : R 2 R, (g f)(x, y) = g(f(x, y)) = g(x + y) = sin(x + y). Yhdistettyä kuvausta f g ei ole olemassa, koska kuvauksen g maalijoukko R ei ole yhtä suuri kuin kuvauksen f lähtöjoukko R 2. Injektiivisyys ja surjektiivisuus ovat tärkeitä kuvauksiin liittyviä käsitteitä. Tarkastellaan niitä seuraavaksi: 4.9 Määritelmä Kuvaus f : A B on injektio, jos lähtöjoukon erisuurten alkioiden kuvapisteet ovat erisuuret, ts. jos a 1, a 2 A ovat sellaisia, että a 1 a 2, niin f(a 1 ) f(a 2 ) Esimerkkejä (1) Kuvausta f : R R, f(x) = x kutsutaan identtiseksi kuvaukseksi. Se on injektio. Perustelu: Jos x 1 x 2, niin f(x 1 ) = x 1 x 2 = f(x 2 ). (2) Kuvaus f : R R, f(x) = sin x, ei ole injektio, sillä f(0) = 0 = f(2π). (3) Esimerkin 4.3 (2) kuvaus f, joka liittää jokaiseen kuukauteen sen päivien lukumäärän, ei ole injektio, sillä f(tammikuu) = 31 = f(maaliskuu) Huomautuksia (1) Kuvaus f : A B on injektio, jos jokaiseen pisteeseen b B kuvautuu korkeintaan yksi (siis tasan yksi tai ei yhtään) joukon A alkio. (2) Osoita, että kuvaus f : A B on injektio, jos ja vain jos ehdosta f(a 1 ) = f(a 2 ) seuraa, että a 1 = a 2, kun a 1, a 2 A. Todistus. Väite koostuu kahdesta väitelauseesta. Todistetaan ne erikseen. Oletus 1: f : A B on injektio. Väite 1: jos a 1, a 2 A ovat sellaisia, että f(a 1 ) = f(a 2 ), niin a 1 = a 2. Todistus. Antiteesi: löydetään sellaiset a 1, a 2 A, että f(a 1 ) = f(a 2 ), mutta a 1 a 2. Tällöin f ei ole injektio, sillä erisuurilla alkioilla a 1 ja a 2 on sama kuvapiste. Tämä on ristiriita oletuksen 1 kanssa. Siis antiteesi on väärä ja väite 1 pätee. 6

7 Oletus 2: ehdosta f(a 1 ) = f(a 2 ) seuraa, että a 1 = a 2. Väite 2: f on injektio. Todistus. Olkoot x 1, x 2 A sellaisia, että x 1 x 2. Jos f(x 1 ) = f(x 2 ), niin oletuksen 2 perusteella x 1 = x 2, mikä on ristiriita. Siis on oltava f(x 1 ) f(x 2 ). Koska f kuvaa eri pisteet x 1 x 2 eri pisteiksi, on se injektio. Näin olle väite 2 on totta. Kohdista ja seuraa, että f : A B on injektio, jos ja vain jos ehdosta f(a 1 ) = f(a 2 ) seuraa, että a 1 = a 2, kun a 1, a 2 A. Huomautus 4.11 (2) on hyödyllinen kuvauksen injektiivisyyttä todistettaessa Esimerkkejä (1) Onko kuvaus f : R 2 R, f(x, y) = x y, injektio? Ratkaisu. Kuvaus f ei ole injektio, sillä f(1, 2) = 1 = f(3, 4). (2) Onko kuvaus f : R R, f(x) = 3 2 x + 1 4, injektio? Ratkaisu. Kuvaus f on injektio. Perustellaan tämä: Olkoot x 1, x 2 R sellaisia, että f(x 1 ) = f(x 2 ). Tällöin 3 2 x = 3 2 x , joten 3 2 x 1 = 3 2 x 2, mistä saadaan x 1 = x 2. Huomautuksen 4.11 (2) perusteella f on siis injektio. (3) Onko kuvaus g : R R 2, g(t) = (2t, t 3 ), injektio? Ratkaisu: Osoitetaan, että kuvaus g on injektio. Olkoot t, s R sellaisia, että g(t) = g(s) eli (2t, t 3 ) = (2s, s 3 ). Tällöin 2t = 2s ja t 3 = s 3. Ensimmäistetä yhtälöstä saadaan t = s. Huomautuksen 4.11 (2) perusteella g on injektio. (4) Onko kuvaus h : R 2 R 2, h(x, y) = (2x, x + y), injektio? Ratkaisu: Kuvaus h on injektio. Perustellaan tämä: Olkoot (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2 sellaisia, että h(x 1, y 1 ) = h(x 2, y 2 ), ts. (2x 1, x 1 + y 1 ) = (2x 2, x 2 + y 2 ). Tällöin 2x 1 = 2x 2 ja x 1 + y 1 = x 2 + y 2. Ensimmäisestä yhtälöstä nähdään, että x 1 = x 2. Sijoittamalla tämä toiseen yhtälöön saadaan x 1 + y 1 = x 1 + y 2, josta nähdään, että y 1 = y 2. Näin ollen (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ). Huomautuksen 4.11 (2) perusteella h on injektio. 7

8 4.13 Määritelmä Kuvaus f : A B on surjektio, jos f(a) = B eli jos jokaisella b B on olemassa ainakin yksi sellainen a A, että f(a) = b Esimerkkejä (1) Esimerkin 4.3 (2) kuvaus f : A N, joka liittää jokaiseen kuukauteen sen päivien lukumäärän, ei ole surjektio, sillä 100 N, mutta missään kuukaudessa ei ole sataa päivää. (2) Onko kuvaus f : N N, f(n) = 2n, surjektio? Ratkaisu. Kuvaus f ei ole surjektio. Perustellaan tämä osoittamalla, että 1 ei ole minkään luonnollisen luvun kuva kuvauksessa f, ts. 1 / f(n). Antiteesi: 1 f(n), ts. 1 = f(n) jollakin n N eli 1 = 2n jollakin n N. Ratkaisemalla tästä n saadaan n = 1, mikä on ristiriita, sillä n N. 2 Näin ollen antiteesi ei ole totta ja siis 1 / f(n) eli f ei ole surjektio. (3) Onko kuvaus g : R R, g(x) = 2x, surjektio? Ratkaisu. Olkoon y R. Löytyykö sellaista pistettä x R, että g(x) = y, ts. 2x = y? Mikäli löytyy, on kuvaus g surjektio. Ratkaisemalla x yhtälöstä 2x = y saadaan x = 1 y R. Tällöin 2 Siis g on surjektio. g(x) = g( 1 2 y) = y = y. (4) Onko kuvaus h : R 2 R, h(x, y) = x y, surjektio? Ratkaisu: Olkoon t R. Löytyykö sellaista lukuparia (x, y) R 2, että h(x, y) = t, ts. x y = t? Jos löytyy, on kuvaus h surjektio. Valitaan (x, y) = (t, 0) R 2. Tällöin h(x, y) = h(t, 0) = t 0 = t. Siis h on surjektio Määritelmä Kuvaus f : A B on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. 8

9 4.16 Määritelmä Olkoon f : A B kuvaus. Kuvaus g : B A on funktion f käänteiskuvaus, jos ja (f g)(b) = f(g(b)) = b kaikilla b B (g f)(a) = g(f(a)) = a kaikilla a A, ts. f g : B B on joukon B identtinen kuvaus ja g f : A A on joukon A identtinen kuvaus. Jos käänteiskuvaus on olemassa, merkitään sitä symbolilla f 1 : B A Esimerkki Osoita, että kuvauksen f : R \ {2} R \ {3}, f(x) = käänteiskuvaus on g : R \ {3} R \ {2}, Todistus. Jos x R \ {2}, niin ( 3x (g f)(x) = g(f(x)) = g x 2 Jos taas y R \ {3}, niin ( 2y (f g)(y) = f(g(y)) = f y 3 g(y) = 3x x 2, 2y y 3. ) = 2( ) 3x x 2 3x 3 = x 2 ) = 3( 2y y 3 ) 2y 2 = y 3 Määritelmän perusteella g on kuvauksen f käänteiskuvaus. 6x 3x 3(x 2) = 6x 6 = x. 6y 2y 2(y 3) = 6y 6 = y. 9

10 4.18 Huomautus Jos käänteiskuvaus on olemassa, se on yksikäsitteinen. Perustelu. Oletetaan, että kuvaukset g : B A ja g : B A ovat sellaisia, että f(g(b)) = b = f( g(b)) kaikilla b B ja g(f(a)) = a = g(f(a)) kaikilla a A. Osoitetaan, että g(b) = g(b) kaikilla b B. Olkoon b B. Tällöin g(b) = g(f( g(b))) = g(b), joten g = g. Käänteiskuvaus on siis yksikäsitteinen Lause Olkoon f : A B kuvaus. Kuvauksella f on käänteiskuvaus, jos ja vain jos f on bijektio. Todistus. Väite koostuu kahdesta väitelauseesta. Todistetaan ne erikseen. Oletus 1: Kuvauksella f on käänteiskuvaus f 1. Väite 1: Kuvaus f on bijektio. Todistus. Osoitetaan ensin, että f on injektio. Olkoot a 1, a 2 A sellaisia, että a 1 a 2. Todistetaan, että f(a 1 ) f(a 2 ). Jos f(a 1 ) = f(a 2 ), niin oletuksen 1 nojalla a 1 = f 1 (f(a 1 )) = f 1 (f(a 2 )) = a 2, mikä on ristiriita. Näin ollen f(a 1 ) f(a 2 ). Siis f on injektio. Osoitetaan vielä, että f on surjektio. Olkoon b B. On löydettävä sellainen a A, että f(a) = b. Valitaan a = f 1 (b). Tällöin a A ja oletuksen 1 perusteella Siis f on surjektio. f(a) = f(f 1 (b)) = b. Koska f on sekä injektio että surjektio, on se bijektio. Näin ollen väite 1 on totta. 10

11 Oletus 2: Kuvaus f on bijektio. Väite 2: Kuvauksella f on käänteiskuvaus f 1. Todistus. Koska kuvaus f on bijektio, niin kaikille b B löydetään sellainen yksikäsitteinen a b A, että f(a b ) = b. Määritellään kuvaus g : B A asettamalla g(b) = a b, ja osoitetaan, että g on kuvauksen f käänteiskuvaus, ts. että f(g(b)) = b kaikilla b B ja g(f(a)) = a kaikilla a A. Jos b B, niin f(g(b)) = f(a b ) = b. Jos taas a A, niin g(f(a)) = a f(a), missä a f(a) A on sellainen, että f(a f(a) ) = f(a). Koska f on oletuksen 2 nojalla injektio, on oltava a = a f(a). Näin ollen g(f(a)) = a. Siis g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Kohdista ja seuraa, että lauseen väite on totta Esimerkki Osoita, että kuvaus f : R R, f(x) = x + 3, on bijektio, ja määritä sen käänteiskuvaus. Ratkaisu: (i) Osoitetaan, että f on injektio. Jos f(x 1 ) = f(x 2 ), niin x = x 2 + 3, joten x 1 = x 2. Siis f on injektio. (ii) Osoitetaan, että f on surjektio. Olkoon y R. Etsitään sellainen x R, että f(x) = y, ts. x + 3 = y. Ratkaisemalla tästä x saadaan x = 3 y. Nyt f(3 y) = (3 y) + 3 = y. Siis f on surjektio. Kohtien (i) ja (ii) perusteella f on bijektio, joten f:llä on käänteiskuvaus ja se on f 1 : R R, f 1 (t) = 3 t, sillä ja f f 1 (t) = f(3 t) = (3 t) + 3 = t f 1 f(x) = f 1 ( x + 3) = 3 ( x + 3) = x. Huomaa, että käänteiskuvauksen lauseke saadaan surjektiivisuuden todistuksesta. 11

12 4.21 Huomautus Jos f : A B on kuvaus, niin joukon V B alkukuva f 1 (V ) on aina olemassa. Sen sijaan käänteiskuvaus f 1 : B A on olemassa, jos ja vain jos f on bijektio. Alkukuva on joukko ja käänteiskuvaus on kuvaus Lause Oletetaan, että kuvaukset f : A B ja g : B C ovat bijektioita. Tällöin yhdistetty kuvaus g f : A C on bijektio. Sen käänteiskuvaus on (g f) 1 = f 1 g 1. Todistus. Osoitetaan ensin, että g f on bijektio, ts. se on sekä injektio että surjektio. (i) Väite 1: kuvaus g f on injektio. Todistus. Olkoot a 1, a 2 A sellaisia, että a 1 a 2. Koska f on injektio, niin f(a 1 ) f(a 2 ). Koska g on injektio, niin g(f(a 1 )) g(f(a 2 )), ts. Näin ollen g f on injektio. (ii) Väite 2: kuvaus g f on surjektio. (g f)(a 1 ) (g f)(a 2 ). Todistus. Olkoon c C. Etsitään sellainen a A, että (g f)(a) = c. Koska g : B C on surjektio, niin löydetään sellainen b B, että g(b) = c. Koska f : A B on surjektio, niin löydetään sellainen a A, että f(a) = b. Nyt Siis g f on surjektio. (g f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c. Kohtien (i) ja (ii) perusteella g f on bijektio. Osoitetaan, että kuvauksen g f käänteiskuvaus on f 1 g 1. (iii) Väite 3: (g f) 1 = f 1 g 1. Todistus. Koska f ja g ovat bijektioita, ovat käänteiskuvaukset f 1 : B A ja g 1 : C B olemassa. Yhdistetty kuvaus f 1 g 1 on kuvaus C A. Lisäksi ( (g f) (f 1 g 1 ) ) (c) = (g f) ( (f 1 g 1 )(c) ) = g ( f ( f 1 (g 1 (c)) )) = g(g 1 (c)) = c 12

13 kaikilla c C ja ( (f 1 g 1 ) (g f) ) (a) = (f 1 g 1 ) ((g f)(a)) = f 1 ( g 1 (g(f(a))) ) = f 1 (f(a)) = a kaikilla a A. Siis f 1 g 1 on kuvauksen g f käänteiskuvaus. 13

14 Lähteet Juutinen, Petri: Johdatus matematiikkaan ( peanju/) Roberts, Charles E.: Introduction to mathematical proofs: a transition, CRC Press, Kiitokset Kiitokset Tuula Ripatille luentomuistiinpanojeni puhtaaksi kirjoittamisesta. 14