SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Arvostelukriteerit tenttiin 28.11.2007 Tentistä oli tällä kertaa hyvin vaikea saada täysiä pisteitä (osasyynä T3), mutta jonkin verran pisteitä oli puolestaan melko helppo saada (T1 ja T2 jo tutuksi käynyttä tyyppiä ja T5 arvosteltiin lempeästi). Läpipääsypisterajaksi tuli 13, joka on ihan OK 30 pisteen tenttiin ja reputtaneiden määrä jäi silti varsin maltilliseksi. Bonuspisteitä ei ulosmitattu arvostelussa, vaan vitosia myönnettiin ensin tavalliset n. 5% ja sitten laskettin bonukset päälle. Seurauksena tavallista huomattavasti suurempi määrä korkeita arvosanoja. Arvosanojen prosenttiosuudet ennen ja jälkeen bonusten: 0 22.15 22.15 1 16.11 9.40 2 20.81 14.77 3 18.12 17.45 4 18.12 18.12 5 4.70 18.12 Tehtävien pistemäärien korrelaatiot paljastivat vahvan yhteyden (0.71) T1:n ja T2:n pistemäärien välille, ja tehtävillä 3 ja 5 oli muihin (0.37-0.48) ja keskenään (0.31) erityisen heikko korrelaatio. Selitykset lienevät uusi ja konstikas tehtävätyyppi (T3) ja lempeä arvostelu (T5). 1. Vastaus oikein (oikein/väärin): +1/2 pistettä. Perusteluista löytyy vähintään yksi oikea väite, mistä seuraa oikea vastaus: +1/2 pistettä. a) Totta. Sähkömagneettinen tasoaalto voi todella edetä minkä tahansa koordinaattiakselin suuntaan koska voimme valita minkä tahansa akselin aallon etenemissuunnan mukaiseksi. b) Väärin. Rajapintaehdot ovat seurausta Maxwellin yhtälöistä. Niistä seuraavat ehdot joilla heijastusta päästään ennustamaan. c) Väärin. Tämän huomaa villistä vähennyslaskusta jossa esiintyvät eri suureet, (B 1 D 2 ) n = 0. d) Totta. Aalto on monokromaattinen: Ryhmittely Ê1e i(kz ωt) + Ê2e i( kz ωt) = e iωt (Ê1 e ikz + Ê2e ikz ) osoittaa että aalto värähtelee vain yhdellä kulmataajuudella ω. e) Väärin. Sähkömagneettinen aalto koostuu aina sähkö- ja magneettikentästä. Näiden suhteen ilmaisee ominaisimpedanssi. Heijastunut aalto ei voi olla pelkkä sähkökenttä ilman magneettikenttää. f) Väärin. Väliaineen ominaisimpedanssi on aaltoihin liittyvä suure, joka ilmaisee E :n ja H :n suhteen, ja ilmalla sen lauseke on η = µ0 ǫ 0. Ääretön ominaisimpedanssi tarkoittaisi mm. H:n häviämistä kaikista aalloista. 2. a) Poyntingin teoreeman rooli on energian säilymislaki huomioiden hallita tarkastellun systeemin sähkömagneettisesti merkittävät energian muutokset muodosta toiseen. Poyntingin teoreema huomioi systeemin tehohäviöt, tehon tuoton, sähkö- ja magneettikenttiin liittyvän tehon sekä systeemin reunan läpi tapahtuvan tehonsiirron. Tämä oli osattu pääosin hyvin, joskin käsitteiden teho ja energia kanssa tulee olla tarkkana; ne eivät ole sama asia, vaikka tehtävän tarkastuksessa tätä katsottiinkin läpi sormien. b) Tasoaalto on aalto, jonka sähkö- ja magneettikentät ovat vakioita jokaisessa etenemissuuntaa vastaan kohtisuorassa tasossa. Se on yleisesti käytetty aallon malli, joka lokaalisti approksimoi palloaallon käyttäytymistä hyvin kaukana lähteestä. Tasoaaltoa ei voi oikeasti synnytää, sillä se vaatisi äärettömän paljon energiaa.

Edelleen pääosin perusvarmaa osaamista. Todettakoon, että energia-argumentti yksinään ei karakterisoi termiä kovinkaan hyvin, eikä näin ollen rittänyt täysiin pisteisiin. c) Lineaarinen väliaine on materiaali, jossa väliaineyhtälöiden verrannollisuustermit µ, ǫ ja σ eivät riipu vastaavista kenttäsuureista. Esimerkiksi ilma on lineaarinen väliaine, mutta rauta ei ole: (µ Fe = µ(h)). Tässä oli paikoin havaittavissa selvää otteen lipsumista. Usein esimerkkinä oli annettu tyhjiön kaltainen väliaine, jossa termit ovat vakioita aina ja kaikkialla. Tästä ei kuitenkaan voi vielä päätellä, että lineaarinen materiaali ei vaadi homogeenisuutta. Edellisen kaltainen vastaus johti puolen pisteen menetykseen. d) Hertzin dipoli on antenni, joka on konkreettisesti erittäin lyhyt, äärettömän ohut virrallinen johdin. Se ei ole kummoinen antenni ensinnäkään siksi, että sellaista ei voi rakentaa, mutta myöskään siksi, että se toimii huonosti. Sen sijaan se on erinomainen työkalu analysoitaessa muita, hieman käytännöllisempiä antenneja. Tämä oli muistettu hyvin. e) Keskinäisinduktanssi on kahden lineaarisessa väliaineessa sijaitsevan johdinsilmukan välistä sähköistä kytkeytymistä kuvaava luku. Se on väliaineen, silmukoiden muodon, niiden välisen etäisyyden sekä niiden asentojen kohtuullisen monimutkainen funktio. Esimerkiksi silmukkaan kaksi indusoituva sähkömotorinen voima saadaan yhtälöstä di 1 (t) υ 2 = L 12, dt missä L 12 on keskinäisinduktanssi ja i 1 (t) silmukassa yksi kulkeva virta. Tämä oli hieman yllättäen tehtävän vaikein kohta. Keskinäisinduktanssilla tarkoitetaan nimenomaan yksittäistä lukua, johon on pakattu tieto geometriasta yms. Monet olivat kuvailleet yleisellä tasolla sähkömagneettista induktiota kahden silmukan tapauksessa eli oleellisesti taustalla olevaa ilmiötä, jättäen kuitenkin pääasian sanomatta. Näistä on annettu puoli pistettä, kerta asiasta ollaan oltu hajuilla. f) Läpäisykerroin on luku, joka kertoo kahden väliaineen rajapinnalle saapuvan aallon läpimenevän osan voimakkuuden suhteessa tulevan aallon voimakkuuteen. Kohtisuoraan rajapintaa vasten tulevan aallon tapauksessa läpäisykertoimelle voidaan johtaa materiaalien ominaisimpedansseista riippuva kaava τ = 2η 2 η 2 + η 1. Tämä oli osattu kokonaisuudessaan hyvin, vaikka läpäisykerroin ei olekaan sama asia kuin tunkeutumissyvyys, jota monet ehdottivat. Yksi piste jokaisesta oikeasta ja hyvin muotoillusta vastauksesta. Puoli pistettä tapauksissa, joissa asiasta ollaan hajuilla, mutta selitys ei ole sitova tai ollaan sorruttu pienestä tiedon puutteesta johtuvaan yliyrittämiseen. Arvauksista ei pisteitä jaeta, kuten ei myöskään ristiriitaisista tai tyyliä seuraa Maxwellin yhtälöistä edustavista vastauksista. Mallivastauksen kaltaisia vastauksia täysiin pisteisiin ei vaadita.

3. Mitkä ylärivin ehdoista on välttämättä oltava voimassa, jotta B t 0 Suuri kappale johtavuus 0 Ideaalijohde ω huomioiden Faradayn laki pätee Syntyy pyörrevirta X X Syntyy pintavirta X X/ X X Tapahtuu merkittävää virranahtoa X X X Varaukset pakkautuvat merkittävästi tyhjä/x X X Täydellinen heijastus X X/ X X Tehtävätyyppi osoittautui vähän jäykäksi aihealueeseen ja ongelmaksi tuli joissain kohdin tulkinnanvaraisuus, toisissa tarkan sanamuodon korostunut merkitys. Jotta arvailu ei kannattaisi, oli vääristä sakotettava (arvaamalla täytetyn odotusarvoksi 0 pistettä). Tämän vuoksi ei kannattanut vastata kuin kohtiin jotka varmasti tietää ja tätä eivät kaikki osanneet huomioida. Rivi 1: Faradayn laki on luonnonlaki. Se pätee aina ja kaikkialla, ehdoitta. Rivi 2: B:n aikamuutos indusoi E:n ja johteessa syntyy virta. Rivi 3: Kaiken virran voidaan ajatella kulkevan pinnalla, kun johtavuus lähestyy ääretöntä (siis ideaalijohde), jolloin tunkeutumissyvyys lähestyy nollaa. Jotta pintavirta syntyisi, on magneettikentän muututtava. Magneettikentän kasvettua tiettyyn arvoon pintavirta pysyy yllä ilman muutoksia (n H = j s ) jos johtavuus on ääretön käytännössä havaittavissa vain suprajohteissa. Taustalla on oletus riittävän suuresta kappaleesta tunkeutumissyvyyteen nähden, mutta kurssin tiedoilla tätä ei ole helppo hahmottaa, joten piste myös en tiedä -vastauksesta. Rivi 4: Kyse on vaihtovirran yhteydessä tapahtuvasta ilmiöstä, joten magneettikenttä muuttuu välttämättä. Kappaleen on myös oltava melko suuri taajuuteen nähden, koska muutoin kerros jossa virta voisi muuttua oleellisesti on paljon paksumpi kuin itse kappale. Ja virran johtuminenhan tietysti vaatii johtavan väliaineen. Rivi 5: Varauksien pakkautumisessa on kyse aikamuutoksesta, ja kaikissa käytännön tilanteissa virta joka kuljettaa varauksia on ajan suhteen muuttuva ja siten myös B. (Teoreettisesti voimme pitää samaa virtaa yllä, mutta vain jos on riittävästi eli koko ajan enemmän tehoa käytössä, joten tämäkin vastaus on perusteltavissa.) Pakkautuminen on heikkoa ellei rakenne ole aallonpituuteen (ts. taajuuteen) nähden riittävän suuri (vrt. sähköisesti pieni rakenne). Jotta varaukset voisivat kulkea rakenteessa, sen tulee olla johtava. Rivi 6: Heijastuksessa on kyse aallon käytöksestä. Aallossa on välttämättä muuttuva magneettikenttä. Heijastus ei ole täydellinen ellei kyseessä ole ideaalijohde, ja ideaalijohde perustuu oletukselle riittävän suuresta kappaleesta (ks. kohta 3). Oikeiden vastausten summasta palkittin pistein seuraavasti. 0 0 5 1,5 10 2,5 15 4 20 5 1 0,5 6 1,5 11 3 16 4 21 5,5 2 0,5 7 2 12 3 17 4,5 22 5,5 3 1 8 2 13 3,5 18 4,5 23 6 4 1 9 2,5 14 3,5 19 5 24 6

4. a) Polarisaatio on sähkömagneettista aaltoa (tai yleisemmin, poikittaista aaltoliikettä) karakterisoiva termi. Idea on se, että aallon etenemissuunta ei vielä yksinään kerro paljoakaan aaltoon liittyvän sähkö- ja magneettikentän käyttäytymisestä. b) Aallon polarisaatio kertoo sen sähkökentän käyttäytymisestä pisteessä, jonka kautta aalto kulkee. Se ilmaisee, millä tavalla aallon sähkökenttä värähtelee ajan funktiona. c) Polarisaatio on tärkeä tieto, sillä se kertoo paljon aallon käyttäytymisestä eri tilanteissa. Tyypillinen esimerkki on antenni, joka lähettää ja vastaanottaa vain tietyllä tavalla polarisoituneita aaltoja. Toisaalta aallon polarisaatiolla ja aallon käyttätymisellä väliaineiden rajapinnoilla on paljon tunnettuja syy-seuraussuhteita. Ja edelleen, optiikassa ja kemiassa on paljon prosesseja, joissa polarisaation tunteminen ja yksikäsitteinen identifiointi on kirjaimellisesti elintärkeää. d) Polarisaatio voidaan jakaa viiteen eri tyyppiin, lueteltuna tässä yleisimmästä tapauksesta alkaen: - Oikeakätinen elliptinen polarisaatio, jossa aallon sähkökenttää kuvaava osoitin piirtää tarkastelutasolle myötäpäivää pyörivän ellipsin, kun katsotaan aallon menosuuntaan. - Vasenkätinen elliptinen polarisaatio. - Oikeakätinen ympyräpolarisaatio. - Vasenkätinen ympyräpolarisaatio, jossa aallon sähkökenttää kuvaava osoitin piirtää tarkastelutasolle vastapäivää pyörivän ympyrän, kun katsotaan aallon menosuuntaan. - Lineaarinen polarisaatio, jossa aallon sähkökenttää kuvaava osoitin värähtelee yhdellä suoralla ja piirtää janan. A-, b- ja c-kohdista on jaossa enintään yksi piste per kohta. Loput kolme pistettä saa, kun osaa selkeästi määritellä mahdolliset polarisaatiotyypit (5 kertaa 0.5 pistettä) ja tämän lisäksi muistaa kertoa, miten kätisyys määräytyy. Tässä on syytä huomata, että nimeltä muistaminen ei vielä ole selkeästi määritelty. Arvostelussa ei painoteta sitä, että kussakin kohdassa on vastattu täsmälleen kysyttyyn kysymykseen (mikä saattaa jo itsessään olla triviaalista poikkeava tehtävä), vaan selkeää kokonaisuutta. Esimerkkivastaus ei edusta ainoata oikeata vastausta tai täysien pisteiden edellyttämää minimitasoa. Tämä osoittautui yhdeksi tentin haastavimmista tehtävistä. Harmillisen harva osasi kuvata tilanteen niin, että asiasta mitään tietämätönkin saisi polarisaatiosta oikeasti hyvän yleiskuvan. Eniten pisteitä lähti viimeisestä kohdasta, jossa useimmiten lueteltiin 1-5 polarisaatiotyyppiä ylimalkaisesti nimeltä, mikä ei vielä kerro paljoakaan siitä, mitä ne todella tarkoittavat. Edelleen kätisyys unohdettin tyystin huomattavan usein, tai asia jätettiin määrittelemättä. Loppuhuomautuksena, että polarisaatio ei ole sama asia kuin polaroituma...

5. a) Silmukka aiheuttaa alussa ympärilleen virralla i(t) Biot-Savart n lain mukaisen magneettikentän B(t), ja yhden silmukan käämin lävistää magneettivuo Φ(t). Kun kierroksia lisätään, niin käämin virralla i(t) aiheuttama magneettikenttä voimistuu ( 1 2p) arvoon NB(t) ( 1 2p). Tämä jäi tosi monelta huomaamatta ja ainakin pukematta lausekemuotoon. Lisäksi tämä vuo lävistää silmukan N kertaa, joka myös osaltaan kasvattaa induktanssia ( 1 2 p). Kasvaneen magneettikentän aiheuttama kokonaisvuo on siis Φ 2(t) = N(NΦ(t)). Siten di L 2 dt = dφ 2 = N 2dΦ dt dt = di N2 L 1 dt, eli L 2 = N 2 L 1 ( 1 2p). Tehtävän tarkoitus on vinkin mukaisesti selittää mitä magneettivuolle tapahtuu ja miksi. Tämän vuoksi perustelemattomista oikeista vastauksista vain nuo puoli johtopäätöspistettä. b) Tehtävä sisälsi enemmän lähtötietoa kuin laskelma vaati. Avainidea on tunkeutumissyvyyksien vertailu (1p), koska tietyllä taajuudella yhden tunkeutumissyvyyden paksuinen kerros materiaalia pudottaa ulkoisen häiriön amplitudin 1/e-osaan (korkeammilla taajuuksilla vielä alemmaksi). Pyritään materiaalin valinnalla mahdollisimman pieneen tunkeutumissyvyteen. Tunkeutumissyvyyden lauseke on δ = 2 ωµg. Syvyys pienenee johtavuuden kasvaessa (1 2 p). Lisäksi se pienenee permeabiliteetin kasvaessa ja tätä ei tule unohtaa ( 1 2 p). Vertailussa taajuus on yhdentekevä, kunhan se on sama molemmissa tapauksissa: ( ) 2 δ 1 ωµ 1 g 1 µn g = ( ) n =, δ n 2 µ 1 g 1 ωµ ng n eli δ n = µ1 g 1 µ ng n δ 1. Sitten vain vertailemaan δ 1 :een. Materiaalilla 2 δ 2 = µ0 g 1 µ 0 4g 1 δ 1 = 1 2 δ 1. Materiaalilla 3 puolestaan δ 3 = µ 0 g 1 g 1000µ 1 δ 1 = 1 0 100 10 δ 1. Symboli µ r tarkoittaa niin vakiintuneesti suhteellista permeabiliteetia (µ = µ r µ 0 ) että tämän unohtamisesta menee puoli pistettä. Tehtävässä vaaditaan joko laskelma vertailun pohjaksi tai sitten niin hyvä sanallinen selostus sopivaan muotoon saatetun lausekkeen kanssa että asia käy päivänselväksi. Pelkästä perustelematta läpsäytetystä vastauksesta pisteitä annetaan kitsaasti. Laskelmasta tai vahvasta argumentista (1 1 2 p). Vaikka materiaali 3 on heikoin johde, se mahdollistaa magneettisuutensa vuoksi vaaditun suojauksen ohuimmalla materiaalivahvuudella: 2 2 = vain 4, joten 10 > 2. Tuloksen esittämisestä ( 1 2p), jos se on perusteluista loogisesti seuraava tai nähty oikein päältä mutta ei vaivauduttu perustelemaan.