SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

Transkriptio

1 SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Keskinäisinduktanssi induktiivisesti kytkeytyneet komponentit muuntajan toimintaperiaate T-sijaiskytkentä kytketyn piirin energia

2 KESKINÄISINDUKTANSSI M Faraday: magneettikentän muutos indusoi jännitteen. Käämin toimintaperiaate: Kun käämin virta muuttuu, käämin läpi kulkeva magneettivuo muuttuu, mistä indusoituu jännite. Olkoot käämit 1 (induktanssi L1) ja 2 (induktanssi L2) sijoitetut siten, että osa käämin 1 magneettivuosta kulkee käämin 2 läpi. Kun nyt käämin 1 virta muuttuu, käämin 1 yli indusoituu jännite. Koska osa käämin 1 magneettivuosta kulkee käämin 2 läpi, myös käämin 2 yli indusoituu jännite. keskinäisinduktanssi M Vaikka kuvan oikeanpuoleisessa piirissä ei ole energialähdettä, käämin 2 yli indusoituu jännite keskinäisinduktanssin ansiosta. induktiivinen kytkentä E R 1 L 1 M L 2 R 2

3 i 1 M i 2 MISTÄ SAADAAN M:n ARVO? u 1 L 1 L 2 u 2 Induktiolaki (i 2 = 0): Induktiolaki (i 1 = 0): dφ di 1 1 dφ di 2 2 u = N = L u = N = L dt dt dt dt dφ di u = N = M dφ di u = N = M dt dt dt dt dφ dt dφ dt dφ dt dφ dt dφ M di 12 1 dφ L di M L1 = dt N dt = dt N dt M M L L 2 1 N N 2 1, N N N N 2 1 M dφ M di dφ L di = M L2 = 2 M L L dt N dt dt N dt 1 N N 2 Induktiivisen kytkennän laatua kuvataan kytkentäkertoimella k : M k =. L L L L

4 KESKINÄISINDUKTANSSIN PISTESÄÄNTÖ Keskinäisinduktanssi M huomioidaan joko positiivisena tai negatiivisena. Jos käämien magneettivuot vahvistavat toisiaan, M huomioidaan positiivisena. Muulloin M huomioidaan negatiivisena. M riippuu siis sekä käämintäsuunnasta että virtojen suunnista. Piirilaskennassa M:n vaikutus määräytyy ns. pistesäännön avulla: Jos molemmat virrat tulevat pistepäähän tai lähtevät pistepäästä, M huomioidaan positiivisena. Jos toinen virroista tulee pistepäähän ja toinen lähtee pistepäästä, M huomioidaan negatiivisena.

5 PISTEPÄIDEN MÄÄRITTÄMINEN 1. Valitaan satunnaisesti yksi kuvan neljästä navasta pistepääksi (D valittu). 2. Syötetään virta käämiin valitusta pistepäästä (i D ). 3. Määritetään i D :n synnyttämän magneettivuon suunta oikean käden säännön avulla. 4. Valitaan yksi napa toisesta käämistä (A valittu) ja syötetään käämiin virta tästä navasta (i A ). 5. Määritetään i A :n synnyttämän magneettivuon suunta oikean käden säännön avulla. 6. Jos i D :n ja i A :n synnyttämät magneettivuot ovat samansuuntaiset, A valitaan pistepääksi. Jos em. magneettivuot ovat vastakkaissuuntaiset, B valitaan pistepääksi.

6 Keskinäisinduktanssin huomioiminen piirilaskennassa Samalla tavalla kuin induktanssiin L liittyvä impedanssi on jωl, myös keskinäisinduktanssiin M liittyvä impedanssi on jωm. Piirilaskennassa on kuitenkin oltava tarkkana, huomioidaanko keskinäisinduktanssi positiivisena vai negatiivisena. Keskinäisinduktanssin etumerkki määräytyy ns. pistesäännön avulla. Piirilaskennassa pistepäät on aina annettu, eikä niitä edes pystyisi käämin piirrosmerkistä selvittämään. Käytännön käämeille pistepäät on kuitenkin helpohkosti selvitettävissä. Esimerkki: Muodosta oheiselle kytkennälle silmukkavirtayhtälöt.

7 MUUNTAJA Toiminta perustuu keskinäisinduktanssiin. Muuntajassa virtapiirit yhdistetään toisiinsa keskinäisinduktanssin avulla mahdollisimman kiinteästi siten, että mahdollisimman suuri osa toisen käämin läpäisevästä magneettivuosta läpäisee myös toisen käämin. Muuntajia käytetään sähköenergiajärjestelmissä ja elektroniikkalaitteissa jännitteen muuntamiseksi suuremmaksi tai pienemmäksi. Muunnettavan jännitteen puolta (yleensä vasen) kutsutaan ENSIÖKSI ja muunnetun jännitteen puolta (yleensä oikea) TOISIOKSI.

8 MUUNTAJAESIMERKKI Tarkastellaan oheista muuntajaa. Käämien (induktanssit L 1 ja L 2 ) välinen kytkentäkerroin k on 0.91, ensiöpuolen jännite U 1 on o V, ja jännitteen kulmataajuus ω on 100π rad/s. Laske U 2, kun a) L 1 = 1 H, L 2 = 10 mh ja muuntajan toisiota ei kuormiteta. b) L 1 = 10 mh, L 2 = 1 H ja muuntajan toisiota ei kuormiteta. c) L 1 = 1 H, L 2 = 10 mh ja muuntajan toisiota kuormitetaan 10 Ω:n vastuksella.

9 MUUNTAJAN T-SIJAISKYTKENTÄ Kun muuntajan ensiöllä ja toisiolla on yhteinen solmupiste, piirianalyysiä voidaan usein yksinkertaistaa T-sijaiskytkennän avulla.

10 Yhteenveto: keskinäisinduktanssi Mistä keskinäisinduktanssi syntyy? Käämin toiminta perustuu luonnonilmiöön (Faradayn laki), jossa muuttuva magneettikenttä indusoi jännitteen sähköä johtavaan kappaleeseen. Kun käämin virta muuttuu, käämiä ympäröivä magneettikenttä muuttuu, mistä indusoituu Faradayn lain mukaan jännite käämin yli. Kun käämit ovat niin lähellä toisiaan, että osa toisen käämin magneettivuosta kulkee myös toisen käämin läpi, käämien välillä on induktiivinen kytkentä. Tällöin virran muutos toisessa käämissä synnyttää jännitteen myös toiseen käämiin. Missä keskinäisinduktanssia hyödynnetään? Muuntajia käytetään jännitteen pienentämiseen (esim. sähköverkossa suurjännitelinjan ja jakeluverkon välillä, kotona kännykkälatureissa ja muussa kodin elektroniikassa) tai suurentamiseen (esim. sähköverkossa generaattorin ja suurjännitelinjan välillä).

11 KYTKETYN PIIRIN ENERGIA Tarkastellaan, miten keskinäisinduktanssi vaikuttaa magneettikenttään varastoituvaan energiaan. Yksittäiseen käämiin varastoituva energia on W on: W = LI. 2 Tarkastellaan oheista kytkentää. Alkutilanne: i 1 (0) = i 2 (0) = 0 A, u 1 (0) = u 2 (0) = 0 V. Kytketään ensiöpuolelle säädettävä jännitelähde, jolla i 1 (t) kasvatetaan vakioarvoon I 1. Toisiopuolen navat pidetään tyhjäkäynnissä. Toisiokäämiin indusoituu kyllä keskinäisinduktanssin vuoksi jännite, mutta toisiopuolen virta i 2 (t) pysyy nollassa. Kytkennän tehoksi p a (t) saadaan nyt: di ( t) di ( t) di ( t ) p ( t) = u ( t a 1 ) i1 ( t) + u2 ( t) i2 ( t) = L i 1 1 ( t) + M 0 = L i 1 1 ( t). dt dt dt Kytkentään varastoituva energia W a on nyt: I ( ) 1 I di t 1 1 W = a p ( t a ) dt = L i 1 1 ( t) dt = L i 1 1 ( t) di1 ( t) = L 1 ( i1 ( t) ) = L I. 1 1 dt

12 Pidetään ensiökäämin virta vakiona ja kytketään toisiopuolelle säädettävä jännitelähde, jolla i 2 (t) kasvatetaan vakioarvoon I 2. Tällöin ensiökäämiin indusoituu jännite: di ( t 2 ) u1 ( t) = M. dt Toisiokäämiin ei indusoidu keskinäisinduktanssin kautta jännitettä, koska ensiökäämin virta ei muutu. Kytkennän tehoksi p b (t) saadaan nyt: di ( t) di ( t 2 2 ) p ( t) = u ( t b 1 ) i1 ( t) + u2 ( t) i2 ( t) = M I L i 2 ( t) dt + dt. Edellistä integroimalla saadaan kytkentään varastoituva energia W b : di ( t) di ( t 2 2 ) W = b pb ( t ) dt = MI dt + L i ( t ) dt dt dt I2 I2 I2 I2 = MI di ( t ) + L i 2 2 ( t) di2 ( t ) = MI i ( t) + L 2 ( i2 ( t) ) = MI I + L I Kun i 1 (t) ja i 2 (t) ovat saavuttaneet vakioarvonsa, kytkennän kokonaisenergia W tot on: W = W + W = L I + L I + MI I. tot a b Jos keskinäisinduktanssin vaikutus on negatiivinen, myös energia MI 1 I 2 on negatiivinen.