763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1"

Ari-Pekka Sariola
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi liikemäärä P. Lähdetään liikkeelle yhtälöstä 3): m + p p m p m Sijoittamalla saatu p yhtälöön ) saadaan lopullinen liikemäärän kaava Massa M saadaan selville yhtälöstä 4): P m 6) M + P M ) P M P Sijoitetaan yhtälöön aiemmin ratkaistut energia yhtälö 5) ja liikemäärä P yhtälö 6). M ) + m ) m M + m + 4 m m + m + 4 m 4 m Lopullinen massan M yhtälö: M M m + m + m 7) Nopeus u saadaan liikemäärän P määritelmän yhtälö 6) avulla, kun tiedetään, että P u. 8)

2 Yhdistämällä yhtälöt 6) ja 8) saadaan u m u m u 4 m ) 4 Sijoitetaan energia + m u m 4 ) + m ) u m 4 ) + m 9). Fotonipari Lasketaan siis systeemin kokonaisneliliikemäärä p µ tot. Kokonaisneliliikemäärä on summa hiukkasten neliliikemääristä, eli p µ tot p µ A + pµ B, missä pµ A ja pµ B ovat tehtävän x- ja y-akselien suuntaan kulkevien fotonien neliliikemäärät. Yhdelle fotonille, p µ /, / ˆn), missä ˆn on fotonin kulkusuuntaan osoittava vektori ja fotonin energia. Fotonille, joka kulkee x-akselin suuntaan, saadaan siis p µ A, ), 0, 0, missä 00 MeV. Vastaavasti y-akselin suuntaan kulkevalle saadaan p µ B, 0, ), 0, missä 00 MeV. Kokonaisneliliikemäärä on siis p µ tot p µ A + pµ B +,, ), MeV, 00 MeV, 00 MeV, 0 Kokonaisenergia on kokonaisneliliikemäärän ajanlaatuinen eli nollas komponentti kertaa ): tot 300 MeV. Kokonaisliikemäärä on kokonaisneliliikemäärän avaruusosa, p tot 00 MeV/, 00 MeV/, 0). Massa lepomassa) saadaan suoraan neliliikemäärästä. Muistetaan, neliliikemäärän pituus on massa kertaa, η µν p µ p ν m. Neliliikemäärän p µ tot omaavan hiukkasen massa saadaan siis seuraavasti: η µν p µ totp ν tot p 0 tot) p tot) p tot) p 3 tot) MeV MeV m MeV ) MeV Ratkaisemalla m saadaan m 00 MeV.

3 Hiukkasen nopeus saadaan esimerkiksi kaavasta p u. Ratkaisemalla u ja sijoittamalla lukuarvot saadaan u tot p 00 MeV/, 00 MeV/, 0) 300 MeV 3, ) 3, 0. Nopeuden suuruus on siis u /3) + /3) 5/3, ja suunta sama kuin vektorin,, 0). 3. Säteilypaine Olkoon peili y, z-tasossa, ja olkoon peiliä lähestyvän fotonin liikemäärä p in p, 0, 0). Heijastuttuaan peilistä, se poistuu liikemäärällä p out p, 0, 0), jättäen liikemäärän p p out p in p, 0, 0) peilille. Koska fotonin energia on f p, on yhden fotonin aiheuttama liikemäärän muutos p p f /. Kaikkien peiliin osuvien fotonien aiheuttama liikemäärän muutos on näin ollen p tot /, missä p tot on jossain ajassa t aiheutunut liikemäärän muutos ja samassa ajassa peiliin osuneiden elektronien energioiden summa. Koska säteilyteho on P / t ja voima F p tot / t, saadaan jakamalla ylläoleva yhtälö t:llä F P. Peilin pinta-ala on A m, ja siten P.3 kw/m A.3 kw. Sijoitetaan tämä ja, jolloin saadaan F m/s.3 kw N. 4. Dopplerin ilmiö a) Ääni tarvitsee edetäkseen aina jonkin väliaineen. Lähtevän ja saapuvan äänen havaittuun taajuuteen vaikuttaa siten sekä lähteen ja havaitsijan nopeudet väliaineen suhteen. Valon nopeus, sitä vastoin, ei tarvitse väliainetta edetäkseen. Sen nopeus on vakio kaikille havaitsijoille. b) Käytetään luennoissa johdettua kaavaa Dopplerin ilmiölle, kun valonlähde liikkuu havaitsijaa kohti: + v/ ν v/ ν. 0) Taajuuksien ν, ν ja vastaavien aallonpituuksien λ, suhteet ovat ν /λ, ν /. Kaavasta 0) saadaan λ:oille v/ λ + v/ λ.

4 Tässä λ 540 nm ja 630 nm. Ylläolevasta yhtälöstä tulee siis ratkaista v: ) λ v/ + v ) ) λ + v/ v [ λ + v ) λ + ) λ. Sijoittamalla lukuarvot saadaan v 0.5. )] v ) λ 5. Valopulssit a) t t' -L Minkowski diagrammi tilanteesta: Valonvälähdykset katkoviivat) tapahtuvat liikkuvassa koordinaatistossa pisteessa x 0 tasavälein, mutta auton edessä oleva havaitsija x L) havaitsee lyhyemmät ja auton takana x L oleva havaitsija pitemmät aikavälit valonvälähdyksille. L x' x b) Paloauton mukana liikkuvassa koordinaatistossa K välähdyshetkien koordinaatit ovat x n 0 t n nτ, jotka ovat paikallaan pysyvän tarkkailijan koordinaatistossa K: x n x n + vt n v / nvτ t n t n + v x n v / v / nτ v /. Valopulssien saapumishetket t n tarkkailijan luo ovat t n t n + L x n, ) missä jälkimmäinen osuus on aika, joka valolta kuluu matkaan autosta tarkkailijan luo. Tarkastellaan kahden peräkkäisen saapumishetken aikaerotusta τ tarkkailijan koordinaatistossa tarkkailijan luona: τ t n+ t n τ v/ v / ) Loittonevan auton tilanteessa v v) välähdysten saapumishetkien aikaerotus on τ τ + v/ v /, jonka voi päätellä siitä, että lasku on muuten samalainen kuin a)-kohdassa, mutta kaavassa ) vaihtuu merkki x n edessä. Havaitsijan ja paloauton etäisyys on siis L + x n.

5 d) Taajuksille pätee ν ν ± v/ v/, missä ylemmät merkit on lähestyvälle ja alemmat loittonevalle autolle. simerkiksi loittonevalle autolle saadaan johdettua yllä oleva lauseke seuraavasti vastaavanlaisesti saadaan myös lähenevän auton tapaus) ν τ v/) + v/ τ + v/) v/) + v/) ν v/ + v/ ν.

Samankaltaiset tiedostot

763306A Johdatus suhteellisuusteoriaan 2 Kevät 2013 Harjoitus 1

763306A Johdatus suhteellisuusteoriaan 2 Kevät 2013 Harjoitus 1 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi a) Osoita että muunnos x = x cos φ + y sin φ y = x sin φ + y cos φ (1) kuvaa x y tason koordinaatiston