SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

Transkriptio

1 SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka

2 Sähkömagneettiset aallot Aikaharmoniset kentät Käytännössä sähköteknisen järjestelmän sisäänmeno on usein ns. aika-harmoninen funktio, esim. sin,cos (tai voidaan Fourierin menetelmien avulla esittää harmonisten funktioiden kombinaationa). Tällöin käyttämällä osoitin laskentaa saadaan Maxwellin yhtälöissä esiintyvät aikaderivaatat korvattua kompleksiluvulla kertomisella. Edellytyksenä kuitenkin on, että materiaaliparametrit ovat lineaarisia. Esimerkiksi sähkökentälle: E(r, t) = Re {Ê(r)e jωt } = E r (r) cos(ωt) E i (r) sin(ωt), 2

3 ja E (r, t) = Re {Ê(r) t } t ejωt = Re { jωê(r)ejωt}. Sähkömagneettinen aalto Katsotaan seuraavaksi, miten sähkömagneettista aaltoa kuvaava yhtälö eli Helmholtzin yhtälö voidaan muodostaa. Lähtökohta on Ampèren ja Faradayn lait (differentiaalimuodossa) E = jωµh, (1) H = J + jωɛe = σe + jωɛe. (2) Kerrotaan ylempi puolittain tekijällä (eli otetaan siitä roottori) 3

4 ja sijoitetaan siihen sen jälkeen alempi E = jωµ H (3) = (µɛω 2 jωµσ)e (4) Oletetaan aluksi, että σ = 0 ja että D = ɛ E = 0, (5) toisin sanoen kyseessä on ns. häviötön aine eli esim. ilma. Käytetään apuna vektori identiteettiä E = ( E) 2 E, jolloin edellinen yhtälö voidaan esittää muodossa 2 E = µɛω 2 E (6) 2 E + k 2 E = 0, (7) 4

5 missä k = µɛω ja 2 = 2 x y z 2. Huomaa kuitenkin, että kaikki edellisen yhtälön ratkaisut eivät toteuta Maxwellin yhtälöitä. 5

6 Aallot johteissa ja eristeissä Tarkastellaan seuraavaksi aaltojen käyttäytymistä johteessa ja eristeessä. Käsitellään mielikuvan luomiseksi aaltojen käyttäytymisestä mahdollisimman yksinkertaista tapausta. Aaltoyhtälö yksinkertaistuu, jos tarkastellaan tasoaaltoa eli aaltoa, joka on vakio pinnoilla, jotka ovat kohtisuorassa etenemissuuntaan nähden. 6

7 Kuvatkoon tasoaaltoa E:n x-komponentti eli E on lineaarisesti polarisoitunut x-suuntaan ja olkoon etenemissuunta z-akselin suunta. Valitulle tasoaallolle pätee tällöin, että 2 E x x 2 = 0 ja 2 E x y 2 = 0. Jolloin ratkaistavaksi jää ainoastaan 2 E x z 2 + k2 E x = 0. Yhtälölle saadaan kaksi ratkaisua: -z suuntaan ja +z suuntaan kulkevat aallot E x (z) = E + x (z) + E x (z). Ratkaisuna saatu tasoaalto, joka etenee +z suuntaan on 7

8 esitettävissä muodossa E + x (z, t) = Re { E + 0 ej(ωt kz)}. x E z y H Joten vakiovaihe on ωt k 0 z = A ja vaihenopeus u p = dz dt = ω k 0 = c. Faradayn lain avulla saadaan H ratkaistua ja kyseisessä 8

9 tapauksessa H + y (z) = 1 η E+ x (z), missä η = µ ɛ on ns. aaltoimpedanssi, joka siis riippuu materiaaliparametreista. Jos väliaine ei ole häviötön, täytyy Ampèren laissa ottaa huomioon myös termi σe, mikä voidaan esittää muodossa missä ɛ c = ɛ j σ ω. H = σe + jωɛe (8) = jω(ɛ j σ )E ω (9) = jωɛ c E, (10) 9

10 Hyvä johde Tarkastellaan tasoaaltoa, kun se kohtaa hyvän johteen. Äskeisen perusteella aaltoluku muuttuu kompleksiluvuksi Hyvälle johteelle pätee, σ ωɛ missä α = β = µσπf. k = ω µɛ c (11) = ω µɛ(1 j σ ωɛ )1/2. (12) 1 ja silloin k j µσω = 1 j 2 µσ2πf (13) = (1 j) µσπf = β jα, (14) 10

11 Edellä on käytetty lauseketta ( j = (e jπ/2 ) 1/2 = e jπ/4 = 1 j 2 ). Tarkasteltavana oleva tasoaalto on nyt esitettävissä muodossa E x = E 0 e αz e jβz. Ensimmäinen tekijä kuvaa, miten aallon amplitudi muuttuu johteessa. e αz pienenee, kun z kasvaa ja aalto vaimenee; α:a kutsutaan vaimennustekijäksi. Toinen tekijä β puolestaan on vaihetekijä. Etäisyyttä, jolla amplitudi pienenee 1/e:teen osaan kutsutaan tunkeutumissyvyydeksi ρ = 1/α. Huomaa, että hyvillä johteilla ρ ( f) 1 11

12 Esimerkki: Tarkastellaan, miten aalto etenee kuparissa, jolla µ = µ 0 ja σ = , f = 3 MHz, α = π π = [Np/m], (15) joten matkalla ρ = 1/α=0.038 [mm], aalto vaimenee tekijällä e f = 10 GHz, vastaava matka on 0.66 µm Hyvissä johteissa aallot vaimenevat nopeasti ja korkeilla taajuuksilla voi ajatella kenttien vaikuttavat vain ohuessa kerroksessa. 12

13 Huono eriste Tarkastellaan seuraavaksi aaltojen käyttäytymistä huonossa eristeessä. σ Huonolle eristeelle pätee, ωɛ edellä saadaan vaimennustekijäksi 1 ja vastaavalla tarkastelulla kuin α σ 2 µ ɛ ja etenemisvakioksi β ω µɛ[ ( σ ωɛ ) 2] 13

14 Esimerkki: Hervannassa on graniittikallion sisään kaivettu väestönsuoja. Laske, voidaanko siellä kuunnella Radio957:aa, kun graniitin sähköiset ominaisuudet ovat ɛ r = 6, µ = µ 0 ja σ = 1µS/m. Lasketaan, kuinka syvälle kenttä etenee 95,7MHz:n taajuudella. Sähkökentän voimakkuus riippukoon syvyyskoordinaatista seuraavasti E(z) e jkz. Graniitin materiaaliparametreille saadaan, että ω ɛ = 2π [S/m] σ, joten voidaan käyttää huonon johteen approksimaatiota. Lasketaan aallon tunkeutumissyvyys ρ = 1/α = 2 ɛ σ µ 0 = km, 6 joten pitäisi kuulua, mutta kuuluuko todellisuudessa? 14

15 Rajapintaehdot Materiaalien sisällä voimme käyttää Maxwellin yhtälöitä differentiaalimuodossa; johtaa esimerkiksi aaltoyhtälön ja tarkastella aaltojen etenemistä. Mitä tapahtuu materiaalien rajapinnoilla? Äkilliset muutokset materiaaliparametreissa (ɛ, µ, g). Kentät eivät ole jatkuvia. Kentät eivät ole differentioituvia. Emme voi siis käyttää Maxwellin yhtälöitä differentiaalimuodossa rajapinnoilla. Mutta mitä sitten oikein voidaan sanoa esim. aalloista rajapinnoilla? Eipä auta muu kuin lähteä liikkeelle Maxwellin yhtälöistä integraalimuodossa. 15

16 Kahden eristeen rajapinta Eristeessä ei voi olla virtoja ja oletetaan eristeet vielä sähköisesti neutraaleiksi. Miten sähkökenttä käyttäytyy ko. rajapinnalla? Käytetään yhtälöä S E dl = B S t n S da ja tarkastellaan pientä silmukkaa materiaalien rajapinnalla: n E 1 S h n S a E 2 b ɛ 1 ɛ 2 Pienennetään silmukkaa siten, että h 0 (jolloin silmukan rajaama pinta ala on nolla) mutta sen ylä ja alareunat 16

17 pysyvät eri materiaaleissa: b a (E 2 E 1 ) dl = lim h 0 S B t n S da = 0. Tämä pätee kaikille pinnoille S, joten Vastaavasti kentälle H: n (E 2 E 1 ) = 0 n (H 2 H 1 ) = 0 Kentän D jatkuvuutta ei voi päätellä silmukan avulla, käytetetään sylinterinmuotoista tilavuutta: n n 1 ɛ 1 D 1 S V D 2 n 2 ɛ 2 17

18 Hyödynnetään yhtälöä D n da = 0 (ei varausta), ja V kutistetaan ko. tilavuus rajapinnalle: D n da = (D 2 n 2 +D 1 n 1 ) da = (D 1 D 2 ) n da = 0. lim h 0 V S S 18

19 Pätee kaikille tilavuuksille V, joten (D 2 D 1 ) n = 0 Vastaavasti kentälle B (B 2 B 1 ) n = 0 19

20 Eristeen ja ideaalijohteen rajapinta Kun johtavuus ja kentän taajuus kasvavat, tunkeutumissyvyys pienenee ja hyvillä johteilla se on hyvin pieni. Tehdään siis olettamus, että johtavuus on äärettömän hyvää, jolloin tunkeutumissyvyys on nolla. Tätä oletusta vastaa ideaalijohde, jonka ominaisuudet ovat 1. E = 0 sen sisällä, 2. B = 0 sen sisällä, 3. Kaikki virta kulkee nolla paksuisessa kerroksessa pinnalla. Voimme edellä tehdyn tarkastelun perusteella päätellä, että ja B 1 n = 0 n E 1 = 0 20

21 H vaatii tarkempaa käsittelyä: n ɛ 1 a b j S Kun silmukka kutistetaan, virta sen läpi ei häviä vaan pintavirta täytyy ottaa huomioon: b a (H 1 H 2 ) dl = b Koska ideaalijohteelle H 2 = 0, saamme että b a H 1 dl = b a a (j S n) dl (j S n) dl n H 1 = n (j S n), or n H 1 = j S ( back cab sääntö vektorikolmitulolle) 21

22 Pintavirta liikuttaa ja muokkaa pintavarausta σ. H j S σ Tällöin D:lle saamme ehdon (D 2 n 2 + D 1 n 1 ) da = S S D 1 n da = S σ da. Tästä seuraa, että D 1 n = σ Näitä ehtoja käytetään muun muassa aaltojohtojen ja antennien analysoinnissa! 22

23 Tasoaalto materiaalirajapinnalla Miten tasoaalto käyttäytyy materiaalien rajapinnalla? Emme voi käyttää Maxwellin yhtälöitä differentiaalimuodossa joten emme voi käyttää aaltoyhtälöä myöskään: se johdettiin Maxwellin yhtälöiden differentiaalimuodosta. Mutta koetetaan hyödyntää rajapintaehtoja. Tarkastellaan kahta tärkeää tapausta, 1. Eriste eriste rajapinta 2. Eriste ideaalijohde rajapinta 23

24 Eriste eriste rajapinta Tarkastellaan kahden eristeen rajapintaa ja olkoon niiden ominaisimpedanssit η 1, η 2. E i η 1 η 2 y z n x Tulkoon tasoaalto pinnan normaalin suunnassa ja olkoon sen sähkökenttä Ê i (z, t) = ie i e j(ωt k 1z). Aalto heijastuu ja taittuu, mutta kuinka voimakasta on heijastuminen ja taittuminen? Tulevan, heijastuneen ja läpimenneen aallon kentät ovat 24

25 pelkästään rajapinnan suuntaisia. Niiden täytyy toteuttaa edellä johdetut ehdot: n (E 2 E 1 ) = 0 ja n (H 2 H 1 ) = 0. Heijastuneen ja läpimenneen aallon sähkökentät ovat Ê r (z, t) = ie r e j(ωt+k 1z) ja Ê t (z, t) = ie t e j(ωt k 2z). (huomaa suunta ja materiaali etenemiseen liittyen.) Meidän on syytä tarkastella myös kenttiin liittyviä magneettikenttiä. Magneettikentät ovat Ĥ i (z, t) = j E i η 1 e j(ωt k 1z), Ĥ t (z, t) = j E t η 2 e j(ωt k 2z). Ĥ r (z, t) = j E r η 1 e j(ωt+k 1z), ja 25

26 Aallot ja ehdot ovat: E i E r η 1 η 2 y E t H r z H i n x H t ) n (Êi + Êr Êt = 0 ) n (Ĥi + Ĥr Ĥt = 0 Jos rajapinta on tasolla z = 0: n ( ie i e jωt + ie r e jωt ie t e jωt) = 0 ( ) n j E i η 1 e jωt j E r η 1 e jωt j E t η 2 e jωt = 0. 26

27 Tällöin täytyy toteutua, että E i + E r E t = 0 E t η 2 = 0. E i η 1 E r η 1 Tulevan aallon amplitudin E i avulla voidaan ilmoittaa muiden aaltojen amplitudit E r ja E t : E r = η 2 η 1 η 2 + η 1 E i ja E t = 2η 2 η 2 + η 1 E i. Heijastuskerroin ja läpäisykerroin ovat siten Γ = E r E i = η 2 η 1 η 2 +η 1 ja τ = E t E i = 2η 2 η 2 +η 1. Tulevan, heijastuneen ja läpimenneen aallon yhdistää 1 + Γ = τ. 27

28 Aineessa 1, kokonaiskenttä on kahden eri suuntaan etenevän kentän summa: Ê(z, t) = Êi(z, t) + Êr(z, t) = ie i e j(ωt k 1z) + iγe i e j(ωt+k 1z) = i(1 + Γe j2k 1z )E i e j(ωt k 1z). Se on z suuntaan etenevä aalto, jonka amplitudi riippuu paikasta eli tekijästä 1 + Γe j2k 1z. Jos amplitudi ei ole millään kohtaa nolla, on kyseessä osittain seisova aalto. Ja mikäli se on, niin kyseessä on seisova aalto. Käyttäymiseen vaikuttaa Γ, jolle pätee Γ 1. 28

29 1 Gamma = Gamma = Gamma = Gamma =

30 Esimerkki: Aallon heijastuminen ja läpimeno ilma lasi rajapinnalla: Pinnan molemmin puolin, µ = µ 0. Ilmassa ɛ = ɛ 0, lasissa ɛ = 4ɛ 0. Γ = η 2 η 1 η 2 +η 1 = q q µ0 µ0 4ɛ 0 ɛ q q 0 µ0 µ0 = ɛ + 0 ɛ = = 1 3. τ = 2η 2 η 2 +η 1 = 2 q µ0 4ɛ q q 0 µ0 µ0 4ɛ + 0 = = 1 1 ɛ = Air-glass interface

31 Eristeen ja ideaalijohteen rajapinta Tarkastellaan ilman ja ideaalijohteen rajapintaa. Rajapintaehtojen yhteydessä päättelimme, että ideaalijohteessa ei ole sähkö tai magneettikenttää. Täten on pelkästään tuleva ja heijastunut kenttä. Ehdoista n E 1 = 0 ja n H 1 = j S saadaan ) n (Êi + Êr = 0 ), n (Ĥi + Ĥr = j S tai n ( ie i e jωt + ie r e jωt) = 0 ( ). n j E i η 1 e jωt j E r η 1 e jωt = j S Alla oleva ensimmäinen yhtälö vaatii, että E i = E r, jolloin 31

32 Γ = 1 ja τ = 0. n i (E i + E r ) = 0 n j ( E i η 1 E r η 1 ) = j S Toisen yhtälön perusteella pätee 2 E i η 1 i = j S, josta saadaan pintavirran suuruus ja suunta. Heijastuminen on siis täydellistä ja seisova aalto syntyy eristeeseen. Tärkeää huomata, että aalto heijastuu kokonaan takaisin, ideaalijohteessa ei kulu aallon energiaa! 32

33 Esimerkki: kerrostetut pinnat Kuten edellä havaittiin, rajapinnoilla tapahtuu heijastumista ja aallon läpimenemistä. Kerrostetussa rakenteessa, jossa on eri materiaaleja lähestyvän aallon heijastuminen ja läpimeneminen riippuvat materiaaliparametreista ja kerrosten paksuuksista. Tarkastellaan alla olevaa tapausta, jossa on kolme kerrosta materiaalia: materiaali 1 vasemmalla (kun z < 0), materiaali 2 on välillä 0 z d, ja materiaali 3 on oikealla (kun d < z). Kerroksiin liittyy siis mahdollisesti kolme eri ominaisimpedanssia η i. 33

34 Materiaali 1 z = 0 Materiaali 2 z = d Materiaali 3 E i1 E t2 E t3 η 1 E r1 E r2 η 2 η 3 Periaatekuva kerrostetusta rakenteesta. Kysymys: Mitkä tekijät voisivat ohjata tällaisen rakenteen suunnittelua? 34

35 Ensimmäisessä väliaineessa toisessa väliaineessa kolmannessa väliaineessa E 1 = E i1 e jβ 1z + E r1 e jβ 1z E 2 = E t2 e jβ 2z + E r2 e jβ 2z E 3 = E t3 e jβ 3z. Tehtävän ratkaisuun tarvitaan neljä yhtälöä, jotta E r1, E t2, E r2, E t3 voidaan ratkaista E i1 :n funktiona. 35

36 Kerrostetut pinnat ja heijastuksen estäminen Tarkoituksena on selvittää, onko mahdollista muodostaa kerrostettu rakenne siten, että heijastusta ei ensimmäisellä rajapinnalla tapahdu. Tekijät, joihin voimme vaikuttaa, ovat: levyn paksuus d materiaaliparametrit eri kerroksissa. 36

37 Rajapintaehtojen mukaisia yhtälöitä muokkaamalla saadaan yhtälöpari (eliminoimalla yhtälöistä tekijät E i1, E t2, E r2, E t3 ja tarkastelemalla lopputuloksen reaali-ja imaginaariosia) (η 1 + η 2 )(η 3 η 2 )cos(β 2 d) = (η 2 + η 3 )(η 1 η 2 )cos(β 2 d) (16) (η 1 + η 2 )(η 3 η 2 )sin(β 2 d) = (η 2 + η 3 )(η 1 η 2 )sin(β 2 d).(17) Näillä yhtälöillä on kaksi ratkaisua: puoliaaltolevy neljännesaallon täsmäys. 37

38 Puoliaaltolevy: Jos yhtälössä (17) sin(β 2 d) = 0, niin yhtälössä (16) yhtäsuuruus toteutuu, jos η 1 = η 3 ja tällöin ei siis heijastusta ensimmäisellä rajapinnalla tapahdu. Tässä tapauksessa toisaalta joten β 2 d = Nπ, N = 0, 1, 2,..., β 2 λ 2 = 2π, d = N λ 2 2 missä λ 2 on aallonpituus väliaineessa 2. (Aallonpituuden ja etenemisvakion välisen yhteyden näkee esim. siitä, että sin(α) = sin(α + 2π) ts. mikä on se matka, että aalto on jälleen samassa vaiheessa.) 38

39 Neljännesaallon täsmäys: Toisaalta, jos η 1 η 3 ja yhtälössä (16) cos(β 2 d) = 0, niin yhtälössä (17) yhtäsuuruus toteutuu, jos η 2 = η 1 η 3. Tässä tapauksessa βd = (2N + 1)π, N = 0, 1, 2,..., tai d = (2N + 1)λ 2 /4. Eli jos η 2 2 = η 1 η 3 (geometrinen keskiarvo), niin edellisen paksuiset levyt eivät heijasta mitään takaisin. Lopuksi numeerinen esimerkki: Olkoon f = 30GHz. Lasikuidussa ja lasisssa (laadusta riippuen) ɛ r = 4, µ = µ 0, joten kun käytetään huonon johteen approksimaatiota β ω µɛ = 2πf µɛ 39

40 ja λ 2 = 2π β 2 = 1 f µ 2 ɛ 2 = 5[mm]. Jos levyn paksuus on siis 2.5 mm:n monikerta, heijastumista ei tapahdu (tutkan suojakuori). 40