Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia

Transkriptio

1 Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia

2 Mainos Kesätyöpaikkoja tarjolla Planck-satelliittiprojektissa. Googlaa Planck kesätyöt Pääasiassa kolme vuotta tai kauemmin opiskelleille, aikaisemminkin voi hakea. Hakemukset Hannu Kurki-Suoniolle

3 Tarkastellaan yksinkertaista virtapiiriä, jossa kytketty vastus (resistanssi R) ja käämi (induktanssi L) jännitteeseen V. Piirissä kulkee virta RI = V. Jännitelähde syöttää piiriin energiaa teholla P = VI. Sama teho kuluu Joulen lämmityksenä P = RI 2. Jännite katkaistaan hetkellä t = 0. Katkaisun jälkeen virran käyttäytymistä säätelee induktanssi: eli virta pienenee RI = L di dt I(t) = V R e Rt/L Joulen lämmityksessä kuluva teho on P = RI(t) 2 = V 2 R e 2Rt/L ja kaikkiaan jännitteen katkaisun jälkeen kuluu energia W = V 2 L 2R 2 Mistä tämä energia on peräisin?

4 Aiemmin nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa muutosta vastustavan voiman ja siten magneettikentän luominen edellyttää työtä. Työ varastoituu magneettikentän energiaksi.

5 Virtasilmukoiden magneettinen energia Tarkastellaan virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka vastus on R. Liitetään virtapiiriin jännitelähde V. Tällöin V + E = IR missä E on virtasilmukassa vaikuttava smv. Jännite tekee työtä siirtämällä varauksia silmukassa. Differentiaalisen varauksen dq = I dt osalta työ on Sijoitetaan edeltä V, dw = V dq = VI dt dw = EI dt + I 2 R dt = I dφ + I 2 R dt Termi I 2 R dt antaa resistiivisen tehon hävikin (Joulen lämmitys). Termi I dφ on sähkömotorista voimaa vastaan tehty työ.

6 Tarkastellaan sitten systeemiä, joka koostuu n kappaleesta virtapiirejä: dw b = n I i dφ i i=1 Rajoitutaan yksinkertaiseen väliaineeseen, jossa magneettivuon ja virran välinen suhde on lineaarinen. Lasketaan systeemin energia lähtien tilasta, jossa virtoja ei ole. Lineaarisuudesta johtuen lopullinen energia ei riipu tavasta, jolla tila on saavutettu. Näin ollen virtoja voidaan kasvattaa nollasta lopputilaan samassa tahdissa, eli joka hetki ja missä α kasvaa 0 1. I i (α) = αi i, dφ i = Φ i dα Systeemin magneettinen energia on 1 n U = dw b = αi i Φ i dα = 0 i=1 n 1 I i Φ i α dα = 1 2 i=1 0 n I i Φ i i=1

7 Jos kaikki vuonmuutokset ovat peräisin systeemin silmukoista, niin ja Φ i = U = 1 2 n M ij I j j=1 n i=1 j=1 n M ij I i I j Yhdelle silmukalle saadaan (M 11 = L 1 = L = silmukan itseinduktanssi, Φ = LI) U = 1 2 IΦ = 1 2 LI 2 = 1 Φ 2 2 L Tämän voi rinnastaa kondensaattorin energiaan Q 2 /(2C), joka ilmaisee kondensaattorin sähkökenttään varastoituneen energian. Kahdelle silmukalle saadaan U = 1 2 L 1I L 2I MI 1 I 2 missä otettiin huomioon symmetria M 12 = M 21 = M.

8 Magneettikentän energiatiheys Stokesin lauseen avulla Φ i = B n ds = A n ds = A dl i S i S i C i joten magneettinen energia on U = 1 I i A dl i 2 C i i Siirrytään sitten tilanteeseen, missä sähkövirta on tilavuusvirtaa J. Tilannetta voi ajatella suurena joukkona lähellä toisiaan olevia silmukoita, jolloin I i dl i J dv ja i C i V eli U = 1 J A dv 2 V Analogia sähköstatiikassa: U = 1 ρϕdv 2

9 Koska H = J ja (A H) = H A A H niin divergenssiteoreemaa käyttämällä saadaan U = 1 H A dv 1 A H n ds 2 V 2 S Järkevä oletus on, että virtasilmukat eivät ulotu äärettömyyteen, joten pinta S voidaan siirtää kauas niiden ulkopuolelle. Staattinen kenttä H heikkenee vähintään kuten 1/r 3 ja vektoripotentiaali A vähintään kuten 1/r 2, mutta pinta kasvaa vain kuten r 2. Pintaintegraali häviää kuten 1/r 3 tai nopeammin r:n kasvaessa rajatta. Tilavuusintegraali voidaan siis ottaa koko avaruuden yli, jolloin U = 1 B H dv 2

10 Voidaan määritellä magneettinen energiatiheys u = 1 B H 2 Sähköstaattinen analogia u = 1 2 D E Tulos pätee siis lineaariselle magneettiselle väliaineelle. Mikäli väliaine on lisäksi isotrooppista, saadaan u = 1 2 µh2 = 1 B 2 2 µ Tässä tarkasteltiin stationaarista tilannetta. Yleisessä ajasta riippuvassa tilanteessa pintaintegraalit eivät välttämättä häviä (säteilykenttä).

11 Esimerkki. Koaksiaalikaapelin energiatiheys Koaksiaalikaapeli jossa 3 kerrosta: 1. johdin (r < a) 2. eriste (a r b) 3. johde (b r c) Kaikkialla µ = µ 0. Sisäjohtimessa tasaisesti jakautunut virta I, ulkojohtimessa virta I. Suoran johtimen aiheuttama magneettikenttä on Ampèren kiertosäännön perusteella B = B θ (r)e θ = µ 0I(r) e θ 2πr missä I(r) on säteen r sisäpuolella kulkeva virta.

12 Alue 1 (sisäjohdin): joten I(r) = I r2 a 2 B θa = µ 0Ir 2πa 2 ja magneettinen energiatiheys on u a = B2 = µ 0I 2 r 2 2µ 0 8π 2 a 4 Sisemmän johteen yli integroitu energia L:n pituisella matkalla on U a = L 2π a u a (r)r dr dθ dz = 2πL a 0 u a r dr = µ 0LI 2 16π

13 Alue 2 (eriste): Kenttä määräytyy sisemmän johtimen kokonaisvirrasta: B θb = µ 0I 2πr u b = µ 0I 2 8π 2 r 2 U b = 2πL b a u b (r)r dr = µ 0LI 2 4π ln b a

14 Alue 3 (ulompi johdin): ( ) µ 0 I c 2 B θc = 2π(c 2 b 2 r ) r µ 0 I 2 ( ) c 4 u c = 8π 2 (c 2 b 2 ) 2 r 2 2c2 + r 2 U c = 2πL c b u c (r)r dr = µ 0 LI 2 4π(c 2 b 2 ) 2 [ c 4 ln c b 1 ] 4 (c2 b 2 )(3c 2 b 2 ) Alue 4: Koaksiaalikaapelin ulkopuolella kenttä on nolla, joten energiakin on siellä nolla.

15 Kokonaisenergia oli siis U = µ 0LI 2 16π +µ 0LI 2 4π ln b a + µ 0 LI 2 4π(c 2 b 2 ) 2 Kaikki termit ovat muotoa I 2. Toisaalta oli U = 1 2 LI 2 [ c 4 ln c b 1 ] 4 (c2 b 2 )(3c 2 b 2 ) Tämä tarjoaa vaihtoehtoisen keinon laskea virtasysteemin induktanssi tilanteissa joissa lauseke Φ = LI olisi hankala.

16 RCL-piiri Tarkastellaan yksinkertaista virtapiiriä, jossa on sarjaan kytkettynä vastus (resistanssi R), käämi (induktanssi L) ja kondensaattori (kapasitanssi C). Lisäksi piirissä on jännitelähde V(t). R L q C q I V Kuva: Yksinkertainen RCL-piiri. Kondensaattorin sen levyn varaus on +q, johon positiivinen virta tuo varausta, jolloin I = dq/dt. Kirchhoffin säännöstä V L di dt = RI + q C

17 Olis siis V L di dt = RI + q C Derivoimalla ajan suhteen ja käyttämällä yhteyttä dq/dt = I saadaan d 2 I dt 2 + R di L dt + I LC = 1 dv L dt

18 Esimerkki Oletetaan R = 0 (LC-piiri) ja V = 0: Harmoninen värähtelijä! d 2 I dt 2 + I LC = 0 Värähtelyn kulmataajuus on ω = 1/ LC. Jos q(0) = Q ja I(0) = 0, niin ja q(t) = Q cosωt I(t) = ωq sin ωt Systeemin sähkömagneettinen energia on Kokonaisenergia säilyy! U(t) = 1 2 LI(t)2 + q(t)2 2C = Q2 2C

19 Todellisessa piirissä R > 0. Esimerkki: Piiriin kytketään tasajännite V hetkellä t = 0. Kondensaattori on alkuhetkellä varaamaton (q(0) = 0). Kun t > 0 on d 2 I dt 2 + R di L dt + I LC = 0 Yritteellä I(t) = I 0 exp(αt) saadaan yhtälö ja edelleen piirin virraksi missä ω = 1/LC (R/(2L)) 2. α 2 + R L α + 1 LC = 0 I(t) = (V 0 /ωl)e Rt/(2L) sinωt Kulmataajuus ω on suureiden R, L, C suhteista riippuen reaalinen tai imaginaarinen. Kuvassa on esitetty tilanne, jossa ω on reaalinen.

20 virta Kuva: Vaimeneva värähtely RCL-piirissä. Katkoviivoilla on piirretty vaimennusfunktion ±exp( Rt/2L) kuvaaja. aika

21 Epälineaariset energiahäviöt Edellä johdettiin lineaariselle väliaineelle magneettinen energiatiheys u = 1 2 B H Yleisempi lauseke on du = H db

22 Esimerkki: Toroidikäämi jonka sisällä ferromagneettista ainetta. Magneettikenttä toroidin sisällä on missä s on toroidin ympärysmitta. H = NI s Sähkömotorinen voima yhdessä käämin silmukassa on missä A on silmukan pinta-ala. E = A db dt Työ joka tarvitaan kuljettamaan varaus Q = Idt käämin ympäri on dw = Idt NE = Idt N A db dt Tässä As on käämin tilavuus. Yleistetään du = H db Tässä ei oletettu aineen lineaarisuutta! = NI AdB = As HdB

23 b c magneettivuon tiheys B db a d magnetoiva kenttä H Kuva: Yksikkötilavuutta kohti tehty työ ferromagneettisessa syklissä. Tarkastellaan nyt hystereesisykliä, joka alkaa H:n arvosta 0, kasvaa arvoon H max, pienenee arvoon H max ja palaa sen jälkeen takaisin nollaan.

24 Työ pisteestä a pisteeseen b (w b ) ab = b a H db on hystereesikäyrän ab ja B-akselin välinen pinta-ala ja se on positiivinen. Vastaavasti (w b ) bc on B-akselin ja käyrän bc välinen pinta-ala, mutta se pitää laskea negatiivisena, koska db < 0. Lopputuloksena yhden hystereesisyklin myötä tehty työ on silmukan sisään BH-tasossa jäävä pinta-ala w b = H db Täyden kierroksen jälkeen ferromagneetin tila on sama kuin alussa, joten sen magneettinen energia on yhtä suuri kuin aluksi. Ulkoinen energianlähde on kuitenkin tehnyt työtä, joka on kulunut magneettisten alueiden uudelleen järjestäytymiseen. Kyseessä on palautumaton sähkömagneettisen energian häviö lämmöksi. Tämän vuoksi esimerkiksi muuntaja lämpenee.

25 Käytännössä ferromagneettinen sykli on usein mielekkäämpää käsitellä magneettikentän voimakkuuden ja magnetoituman avulla. Tämä onnistuu seuraavasti (B = µ 0 (H + M)): dw b = H db = µ 0 H dh + µ 0 H dm Termi µ 0 H dh on tyhjössä tehty työ, joka on nolla integroituna kokonaisen syklin yli ja termi µ 0 H dm on materiaalille ominainen työ. Koko syklin yli työ on siis w b = µ 0 H dm = µ 0 M dh missä on käytetty hyväksi lauseketta d(mh) = H dm + M dh. Kokonaisdifferentiaalin d(mh) integraali on nolla riippumatta aineen ominaisuuksista.