Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus

Transkriptio

1 Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan ilmiöitä ja esimerkiksi kappaleen paikkaa ajan funktiona. Vaan miten voimme kuvata aaltoja? Aallolla ei ole yksikäsitteistä paikkaa vaan ne ovat levittäytyneet moneen paikkaan ja lisäksi ne riippuvat ajanhetkestä t. Esimerkkinä aallot vedessä: tasapainossa meren pinta on tyyni. Mereen syntyvää aaltoa voidaan kuvata funktiolla h(x, t) joka kertaa ajanhetkellä t vedenpinnan korkeuspoikkeaman tasapainosta jokaisessa pisteessä x. Eli aallon kuvaamista jo pelkästään yhtenä ajanhetkenä varten tarvitsemme jo kokonaisen funktion. Unohdetaan hetkeksi aikariippuvuus ja tarkastellaan yksinkertaista harmonista aaltoa (katso kuva 1) ( ) 2πx h(x) = A sin. (1) λ Etukerroin A on kyseisen aallon amplitudi, joka siis kertoo värähdyksen laajuuden. Kahden aallon maksimin välinen etäisyys on aallonpituus, joka eo. yhtälöstä on λ. Monesti määritellään vielä ns. aaltoluku k = 2π λ. Jotta aalto voisi liikkua, tarvitsemme vielä aikariippuvuudenkin. Oikealle etenevä aalto on muotoa ( ) 2πx h(x, t) = A sin λ ωt, (2) missä ω on kulmataajuus. Kuvassa 2 on kuvattuna tämä aalto muutamalle ajanhetkelle (t = 0, t = π/(3ω), t = 2π/(3ω), t = π/ω ja t = 4π/(3ω)). Kuvasta nähdään kuinka aalto siirtyy oikealle. Ajassa t = 2π/ω on aalto liikkunut yhden oman aallonpituutensa λ verran. Tätä aikaa kutsutaan jaksonajaksi. Jos aaltoa tarkastellaan ajanfunktiona yhdessä kiinteässä pisteessä, on tämä samainen jaksonaika aika joka allolla menee yhteen värähdykseen. 1

2 Aallon etenemissuunta aallon korkeus h paikka x Kuva 2: Sama yksinkertainen siniaalto kuin kuvassa 1, mutta nyt kuvattuna perättäisinä ajanhetkinä. Kun aallon piirtää perättäisillä ajanhetkille, näemme aallon liikkuvan oikealle. Kun t = 2π/ω on aalto siirtynyt yhden aallonpituuden λ verran oikealle, jolloin aalto näyttää jälleen samalta kuin alkuperäinen. Jaksonajassa aalto siirtyy siis aallonpituutensa verran. Aallon etenemisnopeus on siis c = λ/t = ωλ 2π = ω k. 2

3

4 1 Dimensioanalyysi ja Rayleigh n sironta Johdetaan varsinainen dimensioanalyysimenetelmä esimerkin kautta. Esimerkkinä on Rayleigh n sironta, eli miksi taivas on sininen? 1.1 Miksi taivas on sininen? Lordi Rayleigh pohti taivaan sinisyyttä ja arveli sen johtuvan valon sironnasta ilmakehässä olevista pienistä hiukkasista. Tuolloin ei osattu vielä sanoa mitä nuo hiukkaset ovat, mutta Rayleigh arveli niiden koostuvan esim. pienistä vesipisaroista tai suolakiteistä. Nykyään tiedämme ilmakehän koostuvan kaasumolekyyleistä, jotka sopivat Rayleigh n selitykseen. Mutta kysymys kuuluu edelleen: Miten valon sironta pienistä hiukkasista selittää taivaan sinisyyden? Oletetaan pieni hiukkanen, jonka tilavuus on V. Valo on aaltoliikettä, joten sitä kuvaavat suureet amplitudi tai intensiteetti, f, aallonpituus λ, ja etenemisnopeus c. Jos tarkastellaan auringosta tulevaa säteilyä, on sillä jokin intensiteetti I i ( i niin kuin incident tai incoming, eli saapuva). Haluaisimme tietää millainen on hiukkasesta sironneen valon intensiteetti I s ( s niin kuin scattered, sironnut), eli ratkaistavana on funktio I s (V, f, λ, c, I i ), (1) ja tämän funktion rakenteesta meidän pitäisi voida päätellä taivaan sinisyys. 1.2 Muuttujien dimensiot Ensiksi todetaan, että sironneen valon intensiteetin I s pitää olla suoraan verrannollinen sirottavan hiukkasen tilavuuteen V. Ajatusmalli on tämä: kun sirottava hiukkanen on riittävän pieni, ei sen hienorakenteella ole mitään merkitystä (siksi meillä on vain suure V sitä kuvaamassa). Jos jaamme hiukkasen kahteen yhtä suureen osaan (molempien tilavuus V/2), on meillä nyt kaksi sirottajaa. Mutta sironneen valon intensiteetti ei voi tästä muuttua, joten molemmat kaksi puolta pienempää hiukkasta sirottaa tasan puolet alkuperäisestä määrästä. Selvästi sironneen valon määrä yksittäisestä sirottajasta on siis suoraan verrannollinen ko. sirottajan tilavuuteen. Saimme siis: I s (V, f, λ, c, I i ) = V F (f, λ, c, I i ). (2) Osa suureista ovat kuitenkin toistensa johdannaissuureita. Eli valon nopeus c saadaan esimerkiksi taajuuden ja aallonpituuden avulla. Saamme siis I s V = F (f, λ, I i). (3) Eli meillä on yhtälö, jossa on seuraavat muuttujat ja niiden vastaavat dimensiot f, dimensio [f] = 1/t λ, dimensio [λ] = L I i, dimensio [I i ] = J I s /V, dimensio [I s /V ] = J/L 3 1

5 1.3 Buckinghamin π-teoreema lyhyesti Dimensioanalyysin teho perustuu ns. Buckinghamin π-teoreemaan, joka ohjeistaa seuraavaa muodosta funktion muuttujista mittakaavat (yksiköt) kaikille oleellisille dimensioille tee kaikista funktion muuttujista dimensiottomia jakamalla ne kunkin dimension mukaisesti vastaavilla mittakaavoilla (yksiköillä) Buckinghamin π-teoreema sanoo nyt oleellisesti sen, että jotta alkuperäinen funktio olisi dimensionaalisesti homogeeninen, täytyy se voida esittää näiden dimensiottomien muuttujien avulla. Jatketaan esimerkkiä, se selventää! 1.4 Kokeillaan! Haluamme siis ratkaista funktion F : I s V = F (f, λ, I i, r). (4) Muuttujissa esiintyvät dimensiot t (aika), L (pituus) ja J (valovoima tai intensiteetti). Valitaan ajan yksiköksi ˆt = 1/f, pituuden yksiköksi ˆL = λ ja valovoiman yksiköksi Ĵ = I i. Tämä on oikeasti mielivaltainen valinta, mutta tässä tapauksessa ehdottomasti helpoin! Muodostetaan dimensiottomat muuttujat. Taajuuden f dimensio on 1/t, eli saamme tehtyä siitä dimensiottoman kertomalla f ajan yksiköllä ˆt = 1/f. Vastaavasti muille muuttujille, jolloin saamme f = f ˆt = f (1/f) = f/f = 1. λ = λ/ˆl = λ/λ = 1 Ĩi = I i /Ĵ = I i/i i = 1 I s /V = (I s /V ) ˆL 3 /Ĵ = (I s/v ) λ 3 /I i = Is λ 3 I i V. Nyt Buckinghamin π-teoreeman mukaan on olemassa funktio F joka liittää kaikki nämä muuttujat toisiinsa I s /V = F( f, λ, Ĩi) (5) Mutta sattuneesta syystä kaikki oikean puolen muuttujat f, λ ja Ĩi ovat vakioita! Saamme siis I s /V = F(1, 1, 1) = C, (6) missä C on jokin (dimensioton) vakio, eli luku. Sijoitetaan enää paikalleen alkuperäisessä dimensionaalisessa muodossa: Saamme siis sironneen valon intensiteetille relaation I s /V C = I s /V = I s I i λ 3 V. (7) I s = CI i V λ 3. (8) Emme tiedä etukerrointa C, mutta näemme välittömästi tuloksesta sen, että mitä suurempi on valon aallonpituus λ sitä pienempi on sironneen valon intensiteetti kun taas lyhyet aallonpituudet siroavat enemmän. 2

6 1.5 Loppuanalyysi Sininen (ja violetti) valo ovat aallonpituudeltaan lyhyempiä, kun taas punainen on pitkä aaltoista. Sininen valo siis siroaa enemmän, ja tästä syystä taivas on sininen! Oleellista on myös se, että emme pelkästään saaneet kvalitatiivista tulosta sinisen valon voimakkaammasta sironnasta vaan myös aivan kvantitatiivisen tuloksen, että jos valonpituus kasvaa kymmenkertaiseksi niin siroava osuus putoaa tuhannesosaan (jos tuleva intensiteetti pidetään vakiona). Lopuksi huomaa vielä se, että emme varsinaisesti käyttäneet tässä mitään valon sähkömagneettiseen luonteeseen liittyvää ominaisuutta vaan ainoastaan erittäin yleisiä aaltoliikkeen käsitteitä. Sama ilmiö pitäisi näkyä siis myös esimerkiksi veden aalloilla ja siinä miten ne siroavat kareista, tai äänen etenemisellä esimerkiksi metsässä (puut toimivat sirottajina). 3