VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT
|
|
- Mikko Halttunen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 VAAAN YLIOPITO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA ÄHKÖTEKNIIKKA Maarit Vesapuisto ATE.010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE : AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT Opetusmoniste (Raaka versio) Vaasassa
2 IÄLLYLUETTELO 1. JOHDANTO 3. AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT 4.1. Johdanto 4.. Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä oleva liikkumaton piiri 5... taattisessa magneettikentässä liikkuva johdin Liikkuva johdin ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä 7.3. Maxwellin yhtälöt Maxwellin yhtälöiden integraalimuodot ähkömagneetiikan rajapintaehdot Kahden häviöttömän lineaarisen väliaineen rajapinta Eristeen ja täydellisen johteen välinen rajapinta Aaltoyhtälöt lähteettömässä alueessa Aikaharmoniset kentät Jatkuvan tilan sinimuotoinen vaihtosähkö piirianalyysissä Aikaharmoniset sähkömagneettiset kentät Lähteetön kenttä yksinkertaisessa väliaineessa 0
3 3 1. JOHDANTO Opintojaksossa ATE.010 Dynaaminen kenttäteoria käsitellään sähkömagneettisten aaltojen käyttäytymistä dynaamisessa eli ajan mukaan muuttuvassa tilanteessa. Opintojakson välttämättöminä esitietoina on opintojakso ATE.1060 taattinen kenttäteoria, jossa sähkö- ja magneettikenttiä on tarkasteltu staattisessa eli ajan mukaan muuttumattomassa tilanteessa.
4 4. AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT.1. Johdanto Opintojaksossa ATE.1050 taattinen kenttäteoria on johdettu ja tarkasteltu Maxwellin yhtälöitä staattisille sähkö ja magneettikentille. ähköstaattisessa tilanteessa sähkökenttien laskennassa sähkökentän voimakkuuden E ja sähkövuontiheyden D määrittämisessä käytettävät differentiaaliyhtälöt ovat E = 0 ja (-1) D = ρ. (-) Lisäksi lineaarisessa ja isotrooppisessa (ei välttämättä homogeenisessa) väliaineessa sähkökentän voimakkuuden ja sähkövuontiheyden välillä on voimassa väliaineyhtälö D = ε E. (-3) Magnetostaattisessa tilanteessa magneettikenttien laskennassa magneettikentän voimakkuuden H ja magneettivuontiheyden B määrittämisessä käytettävät differentiaaliyhtälöt ovat B = 0 ja (-4) H = J. (-5) Lisäksi lineaarisessa ja isotrooppisessa väliaineessa magneettikentän voimakkuuden ja magneettivuontiheyden välillä on voimassa väliaineyhtälö 1 H = B. (-6) µ Yhtälöistä -1-6 voidaan havaita ja todeta, että staattisessa (ei ajan mukaan muuttuvassa) tilanteessa sähkökentän vektorit (E ja D) ja magneettikentän vektorit (H ja B) ovat muodostavat erilliset ja toisistaan riippumattomat yhtälöt.
5 5.. Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Faradayn laki B E = t (-7) kuvaa indusoituneen sähkömotorisen voiman E ja magneettivuontiheyden B muutoksen välistä yhteyttä. Yhtälö on voimassa jokaisessa tarkasteluavaruuden pisteessä (ja riippumaton tarkasteluavaruuden materiaalista). Täten sähkökentän voimakkuutta E ei voi esittää skalaaripotentiaalin V gradienttina alueessa, jossa on muuttuva magneettivuontiheys B. Ottamalla pintaintegraali yhtälön -7 molemmilta puolilta ja soveltamalla tokesin teoreemaa yhtälö saadaan muotoon E dl = d C B. (-8) t..1. Ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä oleva liikkumaton piiri Jos piiri pysyy paikallaan alueessa, voidaan yhtälö -8 kirjoittaa muotoon d E dl = d C dt B. (-9) Määritellään ääriviivalla C olevaan piiriin indusoitunut sähkömotorinen voima U smv [ ] U smv = E d l V ja (-10) C alueen läpi kulkeva magneettivuo Φ [ ] Φ = B d Wb. (-11) Tällöin kaava -8 voidaan kirjoittaa muotoon
6 6 U smv dφ = [ V], (-1) dt jonka mukaan paikallaan olevaan suljettuun piiriin indusoituva sähkömotorinen voima on yhtä suuri kuin ko. suljetun piirin läpi kulkevan magneettivuon kasvu negatiivisena. -> Lenzin laki: suljettuun piiriin indusoituu sähkömotorinen voima, joka aiheuttaa silmukan läpi kulkevan magneettivuon muutokselle vastakkaisen magneettivuon (Kuva 1). i Φ Φ Φ smv _ + u smv π/ π 3π/ π Φ smv ω / rad i Φ Φ Φ smv _ + u smv π/ π 3π/ π Φ smv ω / rad i Φ Φ Φ smv _ + u smv π/ π 3π/ π Φ smv ω / rad i Φ Φ Φ smv _ + u smv π/ π 3π/ π Φ smv ω / rad Kuva 1. uljettuun silmukkaan indusoituva sähkömotorinen voima U smv.
7 7... taattisessa magneettikentässä liikkuva johdin Kun johdin liikkuu nopeudella v staattisessa (ajan mukaan muuttumattomassa) magneettikentässä B, niin voima F = qv B (-13) m aiheuttaa sen, että johtimessa vapaasti liikkuvat elektronit siirtyvät johtimen toiseen päähän (Kuva : B), jättäen johtimen toisen pään positiivisesti varautuneeksi (Kuva : A). Tämä positiivisten ja negatiivisten varausten erkautuminen aiheuttaa Coulombian vetovoiman. Varausten erkautuminen jatkuu, kunnes sähköiset ja magneettiset voimat tasapainottavat toisensa. Tasapainotilassa, joka saavutetaan erittäin nopeasti, vapaitten varausten nettovoima liikkuvassa johtimessa on nolla. z dl y B B v A + x Kuva. Liikkuva johdin staattisessa magneettikentässä. Jos liikkuva johdin on osa suljettua piiriä C, piiriin muodostuu sähkömotorinen voima C ( ) d [ V] U smv = v B l, (-14) jota kutsutaan vuon leikkaavaksi sähkömotoriseksi voimaksi tai liikkeestä johtuvaksi sähkömotoriseksi voimaksi...3. Liikkuva johdin ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä Kun varaus q liikkuu nopeudella v alueessa, jossa on olemassa sekä sähkökenttä E että magneettikenttä B, varaukseen q vaikuttaa Lorenzin yhtälön mukaisesti voima
8 8 F = q ( E + v B ). (-15) Jos ajatellaan havainnoitsijan liikkuvan samalla nopeudella samaan suuntaan varauksen q kanssa, ei ole olemassa näennäistä liikettä, ja varaukseen q vaikuttava voima voidaan tulkita aiheutuvan sähkökentästä E E ' = E + v B tai (-16) E = E ' v B. (-17) Jos johtava piiri C ja pinta-ala liikkuvat nopeudella v kentässä (E, B) piiriin muodostuvaksi kokonaissähkömotoriseksi voimaksi saadaan kaavojen -8 ja -17 avulla E ' dl = d + ( v B) d l [ V]. (-18) C B t C Yhtälö -18 on Faradayn lain yleinen muoto ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä liikkuvalle piirille. Esimerkki 1. uorakaiteen muotoinen (korkeus h, leveys w) johdinsilmukka on sijoitettu (Kuva 3) muuttuvaan magneettikenttään B = B sin 0 ωt e y. ilmukan muodostamalle tasolle kohtisuora normaali e n muodostaa kulman α y-akselin suuntaisen yksikkövektorin e y kanssa. Määritä silmukkaan indusoitunut sähkömotorinen voima, a) kun silmukka on levossa ja b) kun silmukka pyörii x-akselin ympäri kulmanopeudella ω. Ratkaisu: a) Kun silmukka on levossa, silmukan läpi kulkeva magneettivuo Φ voidaan ratkaista yhtälöllä -11 Φ = B d w h = B sinωt e dxdye = B hwsinωt cos α. y n
9 9 x ω + _ 1 4 z h w dl α 3 e n + B y v ω z v e n B y Kuva 3. uorakaiteen muotoinen pyörivä silmukka muuttuvassa magneettikentässä. Tällöin silmukkaan indusoituva sähkömotorinen voima on dφ Uasmv = = B0ω cosωt cos α, (-19) dt missä = hw on silmukan pinta-ala. Esimerkki tilanteessa (Kuva 3) silmukan päässä 1 on matalampi potentiaali kuin silmukan päässä 4, eli jos silmukka on kytketty ulkoiseen kuormaan, virta tulee kiertämään silmukassa vastapäivään. b) Kun silmukka pyörii x-akselin ympäri, silmukkaan muodostuva sähkömotorinen voima lasketaan yhtälöllä (-18). Muuttuvasta kentästä aiheutuva sähkömotorinen voima on määritetty a-kohdassa ja pyörimisliikkeen aiheuttama sähkömotorisen voiman muutos saadaan laskettua yhtälöllä U bsmv ( ) = v B dl C 1 3 w w = ωe ω e e + ωe ω e e ( B0 sin t ) ( dx ) ( B0 sin t ) ( dx ) n y x n y x 4 w ω B sinω t sin α h. = 0
10 10 ilmukan sivuihin ->3 ja 4->1 ei indusoidu sähkömotorista voimaa, koska sivuilla ei ole e x suuntaista komponenttia. Jos kulma α = 0 ajanhetkellä t = 0, niin α = ωt ja U bsmv = B0ω sinωt sin ωt. (-0) ilmukkaan muodostuva kokonais sähkömotorinen voima koostuu muuttuvan magneettikentän () ja silmukan liikkeen () yhteisvaikutuksesta ( ) U = B ω cos ωt sin ωt = B ω cos ωt. (-1) smv 0 0 ilmukkaan muodostuva kokonais sähkömotorinen voima voidaan määrittää myös suoraan määrittämällä ensin silmukan läpi kunakin ajanhetkenä kulkeva kokonaisvuo ( t) = B ( t) e ( t) = B0 sin t cos Φ n ω α ja sen jälkeen sähkömotorinen voima U dφ d 1 smv 0 sin 0 cos. d d B t = = ω = t t B ω ω t.3. Maxwellin yhtälöt ähkömagneettista induktiota tarkastellessa voitiin todeta, että ajan mukaan muuttuva magneettikenttä aiheuttaa muutoksen sähkökentässä. Kun tämä huomioidaan, saadaan staattisen tilanteessa tarkastellut Maxwellin yhtälöt muotoon B E = t, (-a) H = J, (-b) D = ρ ja (-c) B = 0. (-d)
11 11 Lisäksi on huomioitava varausten häviämättömyyden laki, joka voidaan esittää matemaattisella yhtälöllä J ρ =. (-3) t Jos yllä olevan yhtälön -b vasemmasta puolesta otetaan divergenssi ja verrataan sitä edellä esitettyyn yhtälöön ρ ( ) 0 H J =, (-4) t voidaan todeta, kun vielä huomioidaan yhtälö -c, että ajan mukaan muuttuvassa tilanteessa staattisen tilan yhtälö -b muuttuu muotoon D H = J + t, (-5) eli ajan mukaan muuttuva sähkökenttä aiheuttaa muutoksen magneettikentässä, vaikka tarkasteltavassa alueessa ei esiintyisi lainkaan virtaa. Eli Maxvellin yhtälöt dynaamisessa tilanteessa ovat B E = t, (-6a) D H = J +, (-6b) t D = ρ ja (-6c) B = 0. (-6d).3.1. Maxwellin yhtälöiden integraalimuodot Edellä yhtälöissä -6 a, b, c ja d esitettyjä differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää kaikissa tarkasteluavaruuden pisteissä. Tarkasteltaessa sähkömagneettisia ilmiöitä fyysisissä ympäristöissä, on tutkittavat kohteet tietyn muotoisia ja niillä on tietyt rajapinnat. Tämän vuoksi on usein käyttökelpoisempaa käyttää Maxwellin yhtälöiden integraali-
12 1 muotoja. Ottamalla yhtälöiden -6a ja -6b molemmilta puolilta pinta-integraali ja soveltamalla tokesin lausetta, saadaan ko. yhtälöt muotoon B E dl = d C ja (-7a) t D H dl = + d C J. (-7b) t Ottamalla tilavuusintegraalit yhtälöiden -6c ja -6d molemmilta puolilta ja käyttämällä divergenssiteoreemaa, yhtälöt saavat muodot D d = ρ dv ja (-7c) V B d = 0. (-7d) Taulukossa 1 on yhteenveto Maxwellin yhtälöistä niiden differentiaali- ja integraalimuodoissaan. Esityksessä on huomioitu, että pintaintegraali virrantiheydestä J vastaa virtaa I ja että tilavuusintegraali tilavuusvaraustiheydestä ρ vastaa kokonaisvarausta Q. Taulukko 1. Yhteenveto Maxwellin yhtälöistä. Differentiaalimuoto Integraalimuoto Nimitys B E = t D H = J + t D = ρ B = 0 dφ E d l = C dt C D H dl = I + d t Faradayn laki Ampèren laki D d = Q Gaussin laki B d = 0 Magn.kenttä lähteetön.4. ähkömagneetiikan rajapintaehdot ähkömagnetiikan rajapintaehdot voidaan johtaa Maxwellin yhtälöiden integraalimuodoista, joiden oletetaan olevan päteviä alueella, jossa väliaine muuttuu.
13 13 oveltamalla roottoriyhtälöiden integraalimuotoja ohuella suljetulla reitillä väliaineiden rajapinnassa, saadaan johdettua sähkökentän- ja magneettikentän voimakkuuksien tangentiaalisten komponenttien väliset yhteydet rajapinnan eri puolella olevissa väliaineissa: [ ] E V/m t1 = E t ja (-8) ( ) [ ] e H H = J. (-9) n 1 A/m oveltamalla divergenssiyhtälöiden integraalimuotoja väliaineiden rajapinnassa olevaan ohueen sylinteriputkeen, saadaan johdettua sähkö- ja magneettivoidentiheyksien normaalin suuntaisten komponenttien väliset yhteydet rajapinnan eri puolella olevissa väliaineissa: ( ) en D1 D = ρ C/m ja (-30) [ ] B = B. (-31) T n1 n Edellä yhtälön muodossa esitetyt sähkömagneettisten kenttien rajapintaehdot voidaan esittää sanallisesti seuraavasti: 1. ähkökentän voimakkuuden tangentiaalinen komponentti on jatkuva väliaineiden rajapinnassa.. Magneettikentän voimakkuuden tangentiaalinen komponentti on epäjatkuva rajapinnassa, jossa esiintyy pintavirtoja. 3. ähkövuontiheyden normaali komponentti on epäjatkuva rajapinnassa, jossa esiintyy pintavarauksia. 4. Magneettivuontiheyden normaalikomponentti on jatkuva väliaineiden rajapinnassa Kahden häviöttömän lineaarisen väliaineen rajapinta Häviötön (σ = 0) lineaarinen väliaine voidaan määritellä permittiivisyyden ε ja permeabiliteetin µ kautta. Kahden häviöttömän väliaineen rajapinnassa ei ole yleensä vapaita varauksia tai pintavirtoja. Tällöin voidaan asettaa varaustiheys ρ = 0 ja pintavir-
14 14 ran tiheys J = 0. Tällöin rajapintaehdot voidaan esittää taulukossa olevien yhtälöiden avulla. Taulukko. Rajapintaehdot kahden häviöttömän lineaarisen väliaineen rajapinnassa. E H Dt1 ε1 = E = D ε t1 t t1 t t Bt1 µ 1 = H = B µ t (-3) (-33) D = D ε E = ε E (-34) n1 n 1 n1 n B = B µ H = µ H (-35) n1 n 1 n1 n.4.. Eristeen ja täydellisen johteen välinen rajapinta Täydellisellä johteella oletetaan olevan äärettömän suuri johtavuus. Käytännössä on olemassa hyviä johteita kuten hopea, kulta ja alumiini, joiden johtavuus on suuruusluokaltaan 10 7 /m. Rajapintaehtojen kannalta hyviä johteita usein käsitellään täydellisinä johteina. Maxwellin yhtälöistä todettavan sähkö- ja magneettikenttien välisen yhteyden perusteella voidaan todeta, että koska sähkökenttä (E, D) johteen sisällä on nolla, myös magneettikenttä (H, B) on johteen sisällä nolla. Eristeen puolella sähkökentän voimakkuuden tangentiaalinen komponentti ja magneettivuon tiheyden normaalikomponentti ovat nollia. ähkövuon tiheyden normaalikomponentin suuruus on rajapinnassa olevan tasovarauksen suuruinen ja suunta määräytyy rajapinnassa olevien varausten etumerkistä (Kuva 4) ja magneettikentän tangentiaalinen komponentti on suuruudeltaan rajapinnalla olevan pintavirran suuruinen ja suunta määräytyy pintavirran suunnan ja pinnalle olevan normaalin ristitulon perusteella.
15 15 D n D n e n Eriste + + Johde Eriste _ Johde H t J Eriste Johde Kuva 4. Täydellisen johteen ja eristeen rajapinta. Alla olevassa taulukossa 3 on esitetty yhteenveto täydellisen johteen ja eristeaineen välisistä rajapintaehdoista. Taulukko 3. Rajapintaehdot täydellisen johteen ja eristeaineen välillä. Johteen puolella Eristeaineen puolella E t 1 = 0 E t = 0 (-36) H t 1 = 0 en 1 H = J (-37) D = n 1 0 en 1 D = ρ (-38) B = n 1 0 B n = 0 (-39).5. Aaltoyhtälöt lähteettömässä alueessa Lähteettömässä alueessa (ρ = 0 ja J = 0), jossa on yksinkertainen (lineaarinen, isotrooppinen ja homogeeninen) ei-johtava (σ = 0) väliaine, jonka ominaisuuksia kuvataan permittiivisyyden ε ja permeabiliteetin µ avulla, Maxwellin yhtälöt voidaan esittää = µ H E t, (-40a) = ε E H, (-40b) t E = 0 ja (-40c) H = 0. (-40d)
16 16 Yhtälöt 40 ovat kahden muuttujan (sähkökentänvoimakkuus E ja magneettikentänvoimakkuus H) ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan yhdistää joko sähkökentänvoimakkuuden E tai magneettikentänvoimakkuuden H toisen asteen yhtälöksi: Otetaan roottori yhtälön -40a molemmilta puolilta = µ E t ( H ) ja sijoitetaan yhtälössä -40b esitetty magneettikentän roottorin ja sähkökentän muutoksen välinen yhteystieto edellisen yhtälön oikealle puolelle E E E = µ ε = µε. t t t Vektorimatematiikassa on todistettu että E = E E. ( ) Ottamalla huomioon, että kysymyksessä on lähteetön alue eli yhtälö -40c, edellinen yhtälö saadaan muotoon E = E ja käsiteltävä yhtälö saa muodon µε E E = t 0 (-41) tai, kun otetaan huomioon, että 1 v = muodon µε 1 E E = 0. (-4) v t Vastaavasti voidaan johtaa magneettikentänvoimakkuudelle H yhtälö
17 17 1 H H = 0. (-43) v t.6. Aikaharmoniset kentät Edellisissä kappaleissa johdetut Maxwellin yhtälöt pätevät kaikissa aikariippuvuustilanteissa. ähkötekniikassa esiintyvät yleisimmät aikariippuvuudet ovat sinimuotoisia. euraavassa tarkastellaan lähemmin jatkuvan tilan sinimuotoisesti ajan mukaan vaihtelevia aikaharmonisia kenttiä Jatkuvan tilan sinimuotoinen vaihtosähkö piirianalyysissä inimuotoinen suure esitetään kolmen eri muuttujan avulla: amplitudi (eli suuruus tai huippuarvo), taajuus ja vaihekulma. Esimerkiksi yhtälössä ( ) cos( ω ϕ ) i t = î t + (-44) î kuvaa virran huippuarvoa, ω kulmataajuutta (rad/s) ja ϕ vaihekulmaa. Kulmataajuuden ω ja taajuuden f välillä on yhteys ω = πf ja cos- ja sin-funktioiden välillä yhteys π i ( t) = î cos( ωt + ϕ ) = î sin ωt + ϕ +. Cos- ja sin-funktioiden integroiminen ja derivoiminen on suhteellisen työlästä. Esimerkiksi, jos halutaan ratkaista sinimuotoisesti ajan mukaan muuttuvaan jännitelähteeseen ( ) cos e t = ê ωt kytketyssä RLC-sarjakytkentäpiirissä kulkeva virta, saadaan ratkaistavaksi yhtälö di 1 L + Ri + i dt = e( t) dt C. (-45) Kun yhtälöön sijoitetaan virran i(t) yhtälö -44, se saa muodon 1 î ωlsin ( ωt + ϕ ) + R cos( ωt + ϕ ) + sin ( ωt + ϕ ) = êcosωt, (-46) ωc
18 18 jota on suhteellisen hankala ratkaista matemaattisesti. Ko. tilannetta on huomattavasti helpompi käsitellä matemaattisesti, kun esimerkkitilanteessa siirrytään käyttämään eksponentiaalimuotoa jännittestä ja virrasta j missä Re{ e ωt } {( j0 ) j ωt} { j ωt} e( t) = êcosωt = Re êe e = Re ê s e (-47) ( ω ϕ ) ( ) jϕ jωt jωt { } { } i( t) = î cos t + = Re îe e = Re î s e, (-48) tarkoittaa kompleksiluvun reaaliosaa. ωt jωt e = cos + jsin ωt Edellisissä yhtälöissä -47 ja -48 j0 ês êe ê = = ja (-49a) îs jϕ = îe (-49b) ovat (skalaari-) osoittimia, jotka sisältävät tiedon suuruudesta ja vaihekulmasta, mutta ovat riippumattomia ajasta. Nyt di dt jωt ( îse ) d = Re = Re j e dt jωt { ωîs } ja (-50) jωt { s } î jω s jωt i dt = Re î e dt = Re e. (-51) ijoittamalla yhtälöissä esitetyt tiedot yhtälöön -45 saadaan ratkaistava yhtälö muotoon
19 19 1 R + j ωl îs = ês ωc, (-5) josta virran osoitin î s voidaan helposti ratkaista. Tämän jälkeen palaaminen takaisin aikatasoon (= i(t)) tapahtuu yksinkertaisesti kertomalla ratkaistu î s saadusta kompleksiluvusta reaaliosa. j e ω t :llä ja ottamalla Jos jännite on annettu muodossa e( t) = êsinωt, ratkaisu etenee muuten samoin, mutta siirryttäessä aikatasosta taajuustasoon otetaan imaginaariosa kompleksiluvusta j e ω t..6.. Aikaharmoniset sähkömagneettiset kentät Kenttävektorit, joiden suuruus riippuu paikkakoordinaatista ja jotka ovat sinimuotoisesti ajasta riippuvaisia, voidaan esittää vektoriosoittimina, joiden suuruus on paikasta riippuvainen, mutta ei ajasta. Esimerkiksi cos-funktiota noudattava aikaharmoninen sähkökenttä E voidaan kirjoittaa muodossa missä ( x, y, z) jω { } ( x y z t) = ( x y z) E,,, Re E,, e t, (-53) E on vektoriosoitin, joka sisältää tiedon suunnasta, suuruudesta ja vaihekulmasta. Yhtälöjen -53, -48, -50 ja -51 perusteella voidaan todeta, että E ( x, y, z, t) t jωt jωt = Re ( x, y, z) e = Re{ j ω ( x, y, z) e } t E E ja jωt { } ( x, y, z) E jωt E ( x, y, z, t) dt = Re E ( x, y, z) e dt = Re e. jω Näin ollen aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt voidaan esittää yksinkertaiselle (lineaariselle, isotrooppiselle ja homogeeniselle) väliaineelle kenttävektoriosoittimien (E, H) ja lähdeosoittimien (ρ, J) avulla E = jωµ H, (-54a) H = J + jωε E, (-54b)
20 0 ρ E = ε ja (-54c) H = 0. (-54d).6.3. Lähteetön kenttä yksinkertaisessa väliaineessa Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt saavat lähteettömässä (ρ = 0 ja J = 0) ei-johtavassa (σ = 0) väliaineessa muodot E = jωµ H, (-55a) H = jωε E, (-55b) E = 0 ja (-55c) H = 0, (-55d) Ko. yhtälöiden yhdistäminen johtaa homogeenisiin E:n ja H:n vektoriaaltoyhtälöihin 1 E E = 0 ja v t (-56) 1 H H = 0, joissa v t (-57) v = 1 on aallon etenemisnopeus väliaineessa. µε (-58) Yhtälöt -56 ja -57 voidaan esittää homogeenisina Helmholtzin vektoriyhtälöinä E + k E = H + k H = 0 ja (-59) 0, joissa (-60) k ω = = ω µε aaltoluku. (-61) v
SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV Faradayn laki E B t Muuttuva magneettivuon tiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen. Sähkökentän
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 7 / versio 28. lokakuuta 2015 Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Moottori ja
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 13. lokakuuta 2016 Luentoviikko 7 Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Generaattori
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 8. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu Tasoaaltoyhtälöt
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches
LisätiedotYleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 1 / versio 8. syyskuuta 2015 Johdanto (ti) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Aallot ja osoittimet
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 6 Laskuharjoitus 13: Rajapintaehdot ja siirrosvirta
ATE11 taattinen kenttäteoria kevät 17 1 / 6 askuharjoitus 13: ajapintaehdot ja siirrosvirta Tehtävä 1. Alue 1 ( r1 = 5) on tason 3 + 6 + 4z = 1 origon puolella. Alueella r =. 1 Olkoon H1 3, e,5 e z (A/m).
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 8 / versio 3. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633. Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI.
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633 Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI Sivumäärä: 10 Jätetty tarkastettavaksi: 06.03.2008 Työn tarkastaja Maarit
LisätiedotMagneettikenttä ja sähkökenttä
Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 17. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori 2 (18)
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 9 / versio 9. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori
LisätiedotVEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT
VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT 1/32 2 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT Kenttäilmiöt Sähkö- ja magneettikentät Vaikeasti havaittavissa ihmisen aistein!
Lisätiedotd+tv 1 S l x 2 x 1 x 3 MEI Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen
MEI-55100 Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen Tehtävä 1: Tarkastellaan luentojen esimerkkiä, jossa johepalkki liikkuu kahen johelevyn välissä homogeenisessä magneettikentässä,
LisätiedotAiheena tänään. Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio. Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio
Sähkömagnetismi 2 Aiheena tänään Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio Käämiin vaikuttava momentti Magneettikentässä olevaan
LisätiedotKuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/
8 SÄHKÖMAGNETISMI 8.1 Yleistä Magneettisuus on eräs luonnon ilmiö, joka on tunnettu jo kauan, ja varmasti jokaisella on omia kokemuksia magneeteista ja magneettisuudesta. Uudempi havainto (1820, Christian
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Induktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet nduktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV nduktanssin määrittäminen Virta kulkee johtimessa, jonka poikkipinta on S a J S a d S A H F S b Virta aiheuttaa magneettikentän
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn
LisätiedotScanned by CamScanner
Scanned by CamScanner ELEC-C414 Kenttäteoria ESIMERKKIRATKAISUT 2. välikoe: 13.12.216 4. (a) Ominaisimpedanssi (merkitään Z ) on siirtojohdon ominaisuus. Se on siis eri asia kuin tasoaaltojen yhteydessä
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina
Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain
LisätiedotMagneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotElektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018
Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen
Lisätiedot4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO
4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään vastaavalla tavalla kuin sähkövuo Ψ Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alan A pistetulo Φ= B A= BAcosθ
LisätiedotKuva 1: Vaihtovirtapiiri, jossa on sarjaan kytkettynä resistanssi, kapasitanssi ja induktanssi
31 VAIHTOVIRTAPIIRI 311 Lineaarisen vaihtovirtapiirin impedanssi ja vaihe-ero Tarkastellaan kuvan 1 mukaista vaihtovirtapiiriä, jossa on resistanssi R, kapasitanssi C ja induktanssi L sarjassa Jännitelähde
Lisätiedot2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................
LisätiedotElektrodynamiikka, kevät 2008
Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi
Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän
Lisätiedot1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2
Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2 1 Seuraavat tarkastelut nojaavat trigonometrisille funktioille todistettuihin kaavoihin. sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ (1) cos(α + β) = cosα cosβ sinα
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotJakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen
Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0
LisätiedotRATKAISUT: 19. Magneettikenttä
Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee
LisätiedotSMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin Suuriniemi
SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin 26.1.2009. Suuriniemi 1. Ilman perusteluja ei annettu pisteitä. Jos vastaus on oikein ja perustelu liittyy aiheeseen mutta ei mennyt ihan puikkoihin,
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähkömagneettiset aallot Aikaharmoniset kentät
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio
Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Antti Haarto.05.013 Magneettivuo Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetulo Φ B A BAcosθ missä θ on
Lisätiedot33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ
TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien
LisätiedotPIENTAAJUISET SÄHKÖ- JA MAGNEETTIKENTÄT HARJOITUSTEHTÄVÄ 1. Pallomaisen solun relaksaatiotaajuus 1 + 1
Aalto-yliopisto HARJOITUSTEHTÄVIEN Sähkötekniikan korkeakoulu RATKAISUT Sähkömagneettisten kenttien ja optisen säteilyn biologiset 8.1.016 vaikutukset ja mittaukset ELEC-E770 Lauri Puranen Säteilyturvakeskus
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Maarit Vesapuisto SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA. Opetusmoniste: Antennit
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Maarit Vesapuisto SATE.010 DYNAAMINEN KENTTÄTEOIA Opetusmoniste: Antennit Vaasassa 04.1.009 ALKULAUSE Tämä opetusmoniste laadittiin marras-joulukuun
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA
Vaihtosähkö SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Sinimuotoiset suureet Tehollisarvo Sinimuotoinen vaihtosähkö & passiiviset piirikomponentit Käydään läpi, mistä sinimuotoiset jännite ja virta ovat peräisin. Näytetään,
LisätiedotSinimuotoinen vaihtosähkö ja siihen liittyviä käsitteitä ja suureita. Sinimuotoisten suureiden esittäminen osoittimilla
LIITE I Vaihtosähkön perusteet Vaihtojännitteeksi kutsutaan jännitettä, jonka suunta vaihtelee. Vaihtojännite on valittuun suuntaan nähden vuorotellen positiivinen ja negatiivinen. Samalla tavalla määritellään
LisätiedotSMG-1400 Sähkömagneettiset kentät ja aallot II Tentti , Arvosteluperusteet
SMG-1400 Sähkömagneettiset kentät ja aallot II Tentti 28.11.2006, Arvosteluperusteet 1. Pisteiden määräytyminen ao. taulukossa. Arvostelutapa oli siis tällä kertaa aika tiukka, mutta teh- tävä näytti menneen
Lisätiedot4. Gaussin laki. (15.4)
Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Osoitin eli kompleksiluku: Trigonometrinen muoto
Lisätiedota P en.pdf KOKEET;
Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten
LisätiedotJakso 5. Johteet ja eristeet Johteista
Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset)
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
Lisätiedot14.1 Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait R 1. I 1 I 3 liitos + - R 2. silmukka. Kuva 14.1: Liitoksen, haaran ja silmukan määrittely virtapiirissä.
Luku 14 Lineaaripiirit Lineaaripiireillä ymmärretään verkkoja, joiden jokaisessa haarassa jännite on verrannollinen virtaan, ts. Ohmin laki on voimassa. Lineaariset piirit voivat siis sisältää jännitelähteitä,
Lisätiedot9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit
9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset
LisätiedotKondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)
Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Virta alkaa kulkea, kondensaattori varautua, vastustaa yhä enemmän virran kulkua I Kirchhoffin lait ovat hyvä idea 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu: 2.
LisätiedotKESTOMAGNEETTI VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jani Vitikka p87434 Hannu Tiitinen p87432. Dynaaminen kenttäteoria SATE2010
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jani Vitikka p87434 Hannu Tiitinen p87432 Dynaaminen kenttäteoria SATE2010 KESTOMAGNEETTI Sivumäärä: 10 Jätetty tarkastettavaksi: 16.1.2008 Työn tarkastaja
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN
766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.
LisätiedotElektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia
Elektrodynamiikka 2010 Luennot 18.3.2010 Elina Keihänen Magneettinen energia Mainos Kesätyöpaikkoja tarjolla Planck-satelliittiprojektissa. Googlaa Planck kesätyöt Pääasiassa kolme vuotta tai kauemmin
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
LisätiedotFysiikka 7. Sähkömagnetismi
Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla
LisätiedotHarjoitustyö, joka on jätetty tarkastettavaksi Vaasassa 10.12.2008
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Janne Lehtonen, m84554 GENERAATTORI 3-ULOTTEISENA Dynaaminen kenttäteoria SATE2010 Harjoitustyö, joka on jätetty tarkastettavaksi Vaasassa 10.12.2008
Lisätiedot+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden
5 3 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) Mitä valo on? Tämä kysymys on askarruttanut ihmisiä vuosisatojen ajan. Nykykäsityksen mukaan valo on luonteeltaan kaksijakoinen eli dualistinen. Valoa
LisätiedotRG-58U 4,5 db/30m. Spektrianalysaattori. 0,5m. 60m
1. Johtuvia häiiöitä mitataan LISN:n avulla EN55022-standadin mukaisessa johtuvan häiiön mittauksessa. a. 20 MHz taajuudella laite tuottaa 1.5 mv suuuista häiiösignaalia. Läpäiseekö laite standadin B-luokan
LisätiedotHäiriöt kaukokentässä
Häiriöt kaukokentässä eli kun ollaan kaukana antennista Tavoitteet Tuntee keskeiset periaatteet radioteitse tapahtuvan häiriön kytkeytymiseen ja suojaukseen Tunnistaa kauko- ja lähikentän sähkömagneettisessa
LisätiedotMagneettikenttä väliaineessa
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa Tässä luvussa käsitellään magneettikentän ominaisuuksia väliaineessa (RMC luku 9 osittain; CL luku 7 osittain; esitiedot KII luku 4). 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
Luku 7 Sähkömagneettinen induktio Toistaiseksi on tarkasteltu vain ajasta riippumattomia kenttiä. Ne voi mainiosti kuvitella kenttäviivojen avulla, joten emme ole törmänneet mihinkään, mikä puolustaisi
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
Luku 7 Sähkömagneettinen induktio Oppimateriaali RMC luku 11 ja CL 8.1; esitiedot KSII luku 5. Toistaiseksi olemme tarkastelleet vain ajasta riippumattomia kenttiä. Ne voi mainiosti kuvitella kenttäviivojen
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Johdanto (Ulaby 1.2 1.3) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Vektorit ja koordinaatistot
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 14: Indusoitunut sähkömotorinen voima ja kertausta magneettikentistä
ATE112 taattinen kenttäteoria kevät 217 1 / 5 Tehtävä 1. Alla esitetyn kuvan mukaisesti y-akselin suuntainen sauvajohdin yhdistää -akselin suuntaiset johteet (y = ja y =,5 m). a) Määritä indusoitunut jännite,
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotCoulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q
Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =
LisätiedotJohdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet 1 Vaihtovirta vs tasavirta Sähkömagneettinen induktio tuottaa kaikissa pyörivissä generaattoreissa vaihtojännitettä. Vaihtosähköä on
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Passiiviset piirikomponentit Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet vastus käämi kondensaattori puolijohdekomponentit Tarkoitus on esitellä piiriteorian
LisätiedotMagneettinen energia
Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee
LisätiedotKapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen
Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen EMC - Kaapelointi ja kytkeytyminen Kaapelointi merkittävä EMC-ominaisuuksien kannalta yleensä pituudeltaan suurin elektroniikan osa > toimii helposti antennina
LisätiedotMagneettinen induktio
Luku 10 Magneettinen induktio 10.1 Faradayn laki Ajasta riippuvassa tilanteessa sähkö- ja magneettikenttä eivät ole toisistaan riippumattomia. Jos muuttuvaan magneettikenttään asetetaan johdinsilmukka,
LisätiedotKondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)
Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Virta alkaa kulkea, kondensaattori varautua, vastustaa yhä enemmän virran kulkua I Kirchhoffin lait ovat hyvä idea 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu: 2.
LisätiedotFYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ
FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys
LisätiedotELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 11 / versio 23. marraskuuta 2015 Aaltojohdot ja resonaattorit (Ulaby 8.6 8.11) TE-, TM- ja TEM-aaltomuodot Suorakulmaisen aaltoputken perusaaltomuoto
LisätiedotDiplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut
Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan
Lisätiedot521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3
51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi
LisätiedotEristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä
risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotSMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin Lehti, Niemimäki, Suuriniemi
SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin 27.11.2008. Lehti, Niemimäki, Suuriniemi Ensimmäinen tehtävä tuli arvostelluksi melko tiukasti, mikä näkyi pistekeskiarvossa 3.16: Kyllä/Ei-vastauksiin
LisätiedotSähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon
30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
LisätiedotMuuntajan toiminnasta löytyy tietoja tämän työohjeen teoriaselostuksen lisäksi esimerkiksi viitteistä [1] - [4].
FYS 102 / K6. MUUNTAJA 1. Johdanto Muuntajassa on kaksi eristetystä sähköjohdosta kierrettyä kelaa yhdistetty rautasydämellä ensiöpiiriksi ja toisiopiiriksi. Muuntajan toiminta perustuu sähkömagneettiseen
LisätiedotSähkötekniikka ja elektroniikka
Sähkötekniikka ja elektroniikka Kimmo Silvonen (X) Vaihtovirta ja osoitinlaskenta Luento Sinimuotoinen virta ja jännite Tehollisarvo, huippuarvo, vaihekulma Ajan vai taajuuden funktiona? Viime viikon kytkentäilmiöt
LisätiedotMaxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?
Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
Lisätiedot