SEBASTIAN RINTALA SIGNAALIN DOMINOIVAN TAAJUUDEN ARVIOINTI

SEBASTIAN RINTALA SIGNAALIN DOMINOIVAN TAAJUUDEN ARVIOINTI Kandidaatintyö Tarkastaja: yliopistonlehtori Heikki Huttunen

ii TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Signaalinkäsittelyn ja tietoliikennetekniikan koulutusohjelma RINTALA, SEBASTIAN: Signaalin dominoivan taajuuden arviointi Kandidaatintyö, 26 sivua Toukokuu 2015 Pääaine: Signaalinkäsittely ja multimedia Tarkastaja: yliopistonlehtori Heikki Huttunen Avainsanat: Taajuus, Taajuuden määritys, häiriöt, DFT, FFT, signaalin suodatus, Zero-Crossing Euroopan sähköverkoissa vallitseva taajuus on 50 hertsiä. Verkossa esiintyy kuitenkin monia erilaisia häiriöitä, jotka asettavat muita haasteita ja ongelmia. Häiriöt voivat muuttaa myös sähköverkon vallitsevaa 50 hertsin taajuutta, jonka seurauksena esimerkiksi sähköjärjestelmän tuotanto ja kulutus menevät epätasapainoon. Joskus voi olla hyvä suodattaa nämä häiriöt pois ongelmien välttämiseksi. Tässä kandidaatinyössä keskitytään häiriöiden poistamiseen kaistanpäästösuodattimella ja dominoivan taajuuden arviointiin käyttäen FFT- ja Zero-Crossing-menetelmiä. Työn tarkoituksena on selvittää menetelmien soveltuvuutta dominoivan taajuuden arvioinnissa suodatetusta ja suodattamattomasta häiriöisestä signaalista sekä luotettavuuden että tehokkuuden kannalta.

iii ALKUSANAT Tämä kandidaatintyö on kirjoitettu osana Tampereen teknillisen yliopiston signaalinkäsittelyn laitoksen kandidaatintyöseminaaria keväällä 2015. Haluaisin kiittää työni ohjaajaa ja tarkastajaa lehtori Heikki Huttusta kärsivällisyydestä, rakentavista kommenteista ja ohjauksesta kirjoitusprosessin aikana, jotka auttoivat työn etenemistä oikeaan suuntaan. Haluaisin kiittää myös läheisiäni, joilta sain taustatukea varsinkin työn oikolukuvaiheessa. Tampereella, 17. toukokuuta 2015 Sebastian Rintala

iv SISÄLLYS 1 Johdanto... 1 2 Taajuuden käsite... 3 2.1 Puhdas signaali... 3 2.2 Häiriöinen signaali... 4 3 Menetelmät... 6 3.1 Diskreetti Fourier-muunnos... 6 3.2 Suodattimet... 12 3.3 Zero-Crossing... 13 4 Tulokset... 16 5 Johtopäätökset... 24 Lähteet... 25

v TERMIT JA NIIDEN MÄÄRITELMÄT Amplitudi Hz Fs Ts DFT FFT f t FIR SNR Värähdysliikkeen laajuus Taajuuden yksikkö. Taajuus Hertseinä Näytteenottotaajuus Näytteenottoväli tai jaksonaika Diskreetti Fourier-muunnos (Discrete Fourier transform) Nopea Fourier-muunnos (fast Fourier transform) Taajuus Aika Äärellinen impulssivaste (Finite impuse response) Signaali-kohinasuhde (Signal-to-noise ratio)

1 1 JOHDANTO Taajuuksia on kaikkialla. Kaikki äänet mitä maailmassa on, sähkömagneettiset aallot ja näkyvä valo sisältävät taajuuksia. Työssä keskitytään kuitenkin Euroopan sähköverkon tuottamaan perustaajuuteen, joka toimii 50Hz taajuudella [1, s. 31]. Mittaussignaalin dominoivan taajuuden tunnistus on keskeinen työkalu useilla sähkö- ja automaatiotekniikan alueilla. Esimerkiksi sähkön laatua tarkkaillaan mittaamalla sähköverkon taajuutta ja sen vaihtelua. Lisäksi työkoneiden mittaussensoreiden jaksolliset värähtelyt kertovat paljon kulloisenkin prosessin tilasta. Sähköjärjestelmän taajuus kuvaa sähkön tuotannon ja kulutuksen välistä tasapainoa. Sähköntuotanto pyritään säätämään erilaisin säätötoimenpitein yhtä suureksi kunkin hetkisen kulutuksen kanssa. Epätasapainossa sähköverkon taajuus muuttuu hetkittäin nimellisestä 50Hz arvosta. Normaalitilanteessa taajuuden sallitaan vaihdella 49,9 ja 50,1 hertsin (Hz) välillä. Jos taajuus on alle 50Hz, kulutus on tuotantoa suurempi. Jos taas taajuus on 50Hz suurempi, tuotanto on kulutusta suurempi. [12, s.30] Tämän takia on tärkeää tietää sähköverkon tuottama taajuus, jotta sähkön tuotannon ja kulutuksen välinen tasapaino olisi kohdalla. Dominoivia signaalin taajuuksia on mitattu jo useita vuosikymmeniä mm. taajuuslaskimella. Radioteknologiassa taajuuksia on mitattu absorboivilla aaltomittareilla ja grid dip mittareilla[11]. Nykyisin taajuuden tunnistus ja analyysi on helpottunut huomattavasti oskilloskooppien, tietokoneiden, elektronisten komponenttien ja digitaalisten signaaliprosessorien yleistyessä. Työssä käytetään taajuuden tunnistamiseksi Fourier-muunnosta, Zero-Crossing-menetelmää ja jaksonaikaan perustuvaa taajuuden määrittelyä. Työssä kerrotaan aluksi taajuuden määrittelystä sekä esitetään se esimerkkisignaalin avulla. Dominoivana taajuutena käytetään 50 hertsiä. Taajuuden määrittelyn jälkeen demonstroidaan, kuinka signaali muuttuu, kun siihen lisätään häiriöitä. Häiriöiden voimakkuutta lisätään myös niin vahvaksi, että dominoiva taajuus peittyy häiriöiden peittoon.

2 Tämän jälkeen dominoivaa taajuutta ei välttämättä enää löydetä, ainakaan kovin tarkasti. Lisätyt häiriöt perustuvat Gaussin jakaumaan, joten työssä esiintyvät häiriöt eivät ole oikeita sähköverkossa esiintyviä häiriöitä. Signaalia analysoidaan käyttäen FFT- ja Zero- Crossing-menetelmää ja signaalissa olevat häiriöt suodatetaan kaistanpäästösuodattimella. 4 luvussa esitetään tulokset menetelmien tarkkuudesta ja viimeisessä luvussa kerrotaan johtopäätöksistä. Työn tarkoituksena on suodatuksien ja eri menetelmien jälkeen vielä löytää kyseinen dominoiva taajuus ja vertailla molempien menetelmien tarkkuutta ja luotettavuutta. Työkaluina taajuuden esittämiseen, eri menetelmien käyttämiseen ja signaalin suodatukseen käytetään MATLAB-ohjelmistoa.

3 2 TAAJUUDEN KÄSITE Taajuudella on olemassa käsite, jonka avulla se voidaan määrittää. Taajuus tarkoittaa sitä, kuinka monta kertaa sekunnissa signaali värähtelee. Taajuuden yksikkönä on hertsi (Hz), joka on nimetty saksalaisen fyysikon Heinrich Rudolph Hertzin mukaan [13]. Värähdyksien määrä on suoraan verrannollinen hertsien lukemaan, eli esimerkiksi yksi hertsi tarkoittaa yhtä värähdystä sekunnissa. Signaali voi sisältää useita eri taajuuksia. Mikäli signaalista löytyy kuitenkin muita taajuuksia oleva vahvempi taajuus, voidaan sitä kutsua dominoivaksi taajuudeksi [14, s.287]. Näin ollen Dominoiva taajuus voi sisältää myös kohinaa, joka on levittynyt laajemmalle taajuusalueelle. Mainitaan esimerkki, jossa 50 hertsin dominoivan taajuuden ympärille muodostuu muita häiriötaajuuksia, jotka ovat vahvempia, kuin alkuperäinen 50 hertsin taajuus. Tässä tapauksessa dominoivan taajuuden arvo on muodostuneista häiriötaajuuksista vahvin. Seuraavassa kappaleessa demonstroidaan esimerkkisignaalin avulla, kuinka taajuus määritetään ja miltä se näyttää. 2.1 Puhdas signaali Puhdas signaali on nimensä mukaisesti puhdasta, eikä siinä ole häiriöitä mukana. Puhdas signaali voidaan esittää kaavan F(t) = sin(2 π f t + t 0 ) (2.1) avulla [9 s. 71], missä f on haluttu taajuus, t on haluttu aika ja t 0 vaihe t 0 ε[0, 2π]. Signaalista voidaan muodostaa myös vektori kaavan F(n) = sin (2 π f F s n) (2.2) avulla, jossa F s on haluttu näytteenottotaajuus ja n on haluttu näytevektori. Jotta signaali voidaan esittää aika-akselilla, täytyy tietää näytteenottoväli, joka saadaan kaavasta jossa Ts on näytteenottoväli sekunteina Ts [9 s. 71][5, s. 1]. Ts = 1 Fs, (2.3) Tämän jälkeen täytyy tietää koko näytteenottoaika Tmax, joka saadaan kaavan

4 Tmax = (N 1) Ts (2.4) avulla. Kun Tmax tiedetään, voidaan muodostaa aika-akseli. Arvot alkavat nollasta kasvaen Ts:n välein aina Tmax asti. Signaali voidaan esittää käyttämällä kaavoja (2.2), (2.3) ja (2.4). Valitaan taajuuden arvoksi f = 50Hz, näytteenottotaajuudeksi F s = 1000Hz ja näytevektoriksi n = (1,2,,300), eli näytteiden määrä N = 300. Muodostunut signaali näkyy kuvassa 2.1 Kuva 2.1. Esimerkkisignaali: x-akselilla näytteiden määrä ja y-akselilla amplitudi. ilman kohinaa tai muita häiriöitä. Esimerkkisignaali on 50Hz taajuutta, jota esiintyy myös Euroopan sähköverkoissa [1, s. 31]. Signaalin muoto on puhdas ja selvästi havaittavissa. Kuvasta nähdään, että signaalin kesto on noin 3 sekuntia. 2.2 Häiriöinen signaali Signaalin sisältämillä häiriöillä tarkoitetaan signaalissa esiintyviä jaksollisia tai jatkuvaaikaisia häiriöitä. Häiriöt ovat signaalissa ei-toivottuja taajuuksia, jotka muuttavat puhtaan signaalin sisältöä. Pahimmillaan häiriöiden määrä voi muodostua niin suureksi, että puhtaan signaalin dominoiva taajuus peittyy häiriöiden peittoon. Tässä tapauksessa alkuperäisen signaalin dominoivaa taajuutta ei välttämättä saada enää määriteltyä tarkasti.

5 Käytännössä signaalin mittaus sisältää aina häiriöitä, joka aiheuttaa signaalin informaatioon muutoksia. Häiriön määrää voidaan kuvata signaalin ja kohinan suhteella ja siksi sitä sanotaankin signaali-kohinasuhteeksi (SNR), jonka yksikkö on desibeli (db). SNR voidaan laskea kaavan SNR = 10 log 10 ( var(x) var(x noise ) ) (2.5) avulla, jossa x on puhdas signaali, x noise on häiriö ja var on varianssi. Kuva 2.2. havainnollistaa tilannetta, jossa signaalin alkuperäinen muoto ja sisältö Kuva 2.2. Esimerkkisignaali, johon lisätty häiriöitä. ovat muuttuneet, kun siinä on häiriöitä mukana. Kuvan 2.2 tapauksessa puhtaaseen sinisignaaliin (kuva 2.1.) on lisätty normaalijakautunutta kohinaa varianssilla 0.5, eli kuvan 2.2 signaali-kohinasuhde SNR = 3.0103dB. Kuvan 2.2. pohjalla on siis sama signaali, joka näkyy paremmin kuvasta 2.1. Häiriöisessä signaalissa oleva alkuperäinen dominoiva taajuus on kyllä tulkittavissa jollakin tarkkuudella. Tähän on olemassa erilaisia menetelmiä, joilla signaalin sisältöä voidaan analysoida. Tarkkuus on sitä huonompi, mitä suurempi SNR on. Seuraavassa luvussa kerrotaan lisää, kuinka eri menetelmiä voidaan käyttää analysoimaan häiriöistä signaalia.

6 3 MENETELMÄT Signaalin taajuussisällön analysoimiseksi on olemassa lukuisia eri menetelmiä. MAT- LAB tarjoaa häiriöisen signaalin analysoimiseen ja suodattamiseen hyvät työkalut. Seuraavissa kappaleissa esitetään eri menetelmiä ja niiden avulla syntyneitä tuloksia. Tarkoituksena on löytää häiriöisen signaalin seasta alkuperäinen dominoiva 50Hz taajuus mahdollisimman tarkasti. Tarkkuuden parantamiseksi signaalista suodatetaan myös muita eitoivottuja häiriöitä pois ennen menetelmien käyttöä. 3.1 Diskreetti Fourier-muunnos Fourier muunnos on nykyisin yleisesti käytetty menetelmä varsinkin taajuuskomponenttien ja spektrien analyysissä. Työssä käsitellään jaksollista signaalia. Tämmöiselle signaalille voidaan tehdä Fourier-sarja, jossa sen kertoimet ovat muunnettavan signaalin eritaajuisia sin- ja cos-termien summia. Fourier-muunnoksen tarkoituksena on muuttaa signaali tiedoksi, josta selviää signaalin sisältämät taajuudet. Signaalin sisältämät taajuudet saadaan kertoimista ja niistä voidaan päätellä myös eri taajuuksien voimakkuudet. Seuraavaksi päästään työn kannalta oleellisempaan diskreetti Fourier-muunnokseen. Se kuvaa edellä mainitun Fourier-sarjan summakomponentteja. Voidaan siis sanoa, että diskreetti Fourier-muunnos on Fourier-muunnoksen diskreettiaikainen esitys. Tämä voidaan määritellä kaavan N 1 X(n) = x(k)e j2πkn N k=0 (3.1) avulla [7, s. 32]. Havainnollistetaan diskreetti Fourier-muunnosta esimerkin avulla. Valitaan N:n arvoksi N = 4 ja x:n arvoksi x=(0,1,2,3). Kun tästä muodostetaan diskreetti Fourier-muunnos käyttäen kaavaa 3.x, saadaan: X[0] = 0 + 1 + 2 + 3 = 6 X[1] = 0 + (0 j) + ( 2 0j) + ( 0 + 3j) = 2 + 2j X[2] = 0 + ( 1 0j) + (2 + 0j) + ( 3 0j) = 2 X[3] = (0) + ( 0 + j) + ( 2 0j) + (0 3j) = 2 2j

7 Edellä mainitun esimerkin pystyy laskemaan myös muunnosmatriisin avulla. Muunnettava signaali x(n) voidaan ilmaista myös vektorina x = x(0) x(1) x(2), (3.2) ( x(n 1)) jolloin sen diskreetti Fourier-muunnos saadaan, kun vektori x kerrotaan matrisilla ( w N 0 w N 0 w N 0 w N 0 w N 0 w N 1 w N 2 w N (N 1) 0 w N 2 w N 4 w N 2(N 1) w N w N 0 w N (N 1) w N 2(N 1) w N (N 1) 2 ), (3.3) jossa w N = e j2π/n. Termiä w kutsutaan ykkösen N:nneksi juureksi, nimittäin w N N = (e 2πj N ) N = e 2πj = cos(2π) + j sin(2π) = 1. Muunnosmatriisi muodostetaan kompleksitason yksikköympyrän avulla. Kuva 3.1. Kompleksitason yksikköympyrä, kun N = 4. Kuvasta 3.1. nähdään w: n sijainnit, joiden avulla muunnosmatriisi muodostetaan. w N sijaitsee yksikköympyrässä kulmassa 2π N, joten w 4 on täten kulmassa 2π 4, joka on täsmälleen neljäsosa koko ympyrästä. Kaikki muunnosmatriisin termit ovat luvun w 4 eipositiivisia potensseja, kun N = 4. Kaavaa (3.3) ja kuvan 3.1. kompleksitason yksikköympyrää käyttäen muunnosmatriisiksi saadaan

8 kun N = 4. [3, s. 39-41] 0 0 0 0 w 4 w 4 w 4 w 4 1 1 1 1 0 1 2 3 w 4 w 4 w 4 w 4 1 i 1 i 0 2 4 6 = ( ), w 4 w 4 w 4 w 4 1 1 1 1 0 3 6 9 ( w 4 w 4 w 4 w 4 1 i 1 i ) Edellisen esimerkin tapauksessa diskreetti Fourier-muunnos saadaan, kun muunnettava vektori x kerrotaan muunnosmatriisilla seuraavasti: 1 1 1 1 0 6 X[0] 1 j 1 j 1 2 + 2j X[1] ( ) ( ) = ( ) = ( ). 1 1 1 1 2 2 X[2] 1 j 1 j 3 2 2j X[3] X[n]:n kertoimista voidaan päätellä eri taajuuksien suuruudet sen itseisarvoista X(n). Taajuudet voidaan muodostaa kaavan F = n Fs N (3.4) avulla [9, s. 129], jossa n on haluttu näytearvo n = (0,, N 1). Taajuudet muodostuvat kaavan (3.4) avulla seuraavasti: 0 F s, 1 F s, 2 F s,, (N 1) F s. Valitaan näytteenottotaajuudeksi sama, kuin kappaleessa 2.1 Puhdas signaali, eli Fs = 1000Hz ja 4 4 4 4 näytteiden määräksi N = 4. Taajuudet muodostuvat nyt seuraavasti: 0 1000Hz 4, 1 1000Hz 4, 2 1000Hz, (4 1) 1000Hz <=> 0, 250, 500, 750. 4 4 Kaava (3.4) kertoo myös Fourier-muunnoksen binien välin. Mikäli tutkittava signaali sisältää taajuuksia, jotka eivät osu juuri binien muodostamien välien kohdalle, ei Fouriermuunnoksella saada samoja alkuperäisiä tutkittavia taajuuksia signaalista. Tutkittavat taajuudet tulkitaan tässä tapauksessa vastaavien binien muodostamien välien lähimpien arvojen mukaan. Toisin sanottuna menetelmällä saadut taajuudet poikkeavat alkuperäisistä tutkittavista taajuuksista. Tästä lisää Tulokset luvussa, jossa kuva 4.6. havainnollistaa kyseistä tilannetta. Edellisen esimerkin diskreetin Fourier-muunnoksen taajuudet ja niiden suuruudet muodostuvat seuraavasti, kun F s = 1000Hz ja n = (0,1,2,3):

9 Taajuus [Hz] Voimakkuus 0 X[0] = 6 = 6 250 X[1] = 2 + 2j = 2. 828 500 X[2] = 2 = 2 750 X[3] = 2 2j = 2. 828 FFT (Fast Fourier transform), eli nopea Fourier-muunnos antaa käytännössä saman lopputuloksen kuin DFT. FFT perustuu diskreetti Fourier-muunnokseen, mutta sen algoritmia on parannettu, mikä tekee siitä paljon nopeamman kuin DFT. Diskreetti Fouriermuunnoksessa laskentaoperaatioiden määrä pohjautuu näytteiden määrän neliöön eli siinä laskentaoperaatiot ovat kertaluokkaa O(N 2 ). Nopeassa Fourier-muunnoksessa laskentaoperaatiot ovat kertaluokkaa O(N log N). Näytemäärän kasvaessa FFT-muunnos osoittautuu paljon järkevämmäksi valinnaksi sen nopeutensa ansiosta. [6, s.338] Tarkasteltaessa tarkemmin Nopeaa Fourier-muunnosta, voidaan ajatella, että yhden suuren Fourier-muunnoksen sijasta lasketaankin useampi pienempi muunnos. Fourier-muunnoksen laskemiseen suoraan N:n pisteen muunnoksena, tarvitaan N 2 + N = N 1 N 2 (N 1 N 2 + 1) kertolaskua. Laskennan pystyy jakamaan pienempiin useampiin muunnoksiin laskemalla Fourier-muunnos kolmessa vaiheessa. Tämä tapahtuu laskemalla N 1 kertaa N 2 :n pisteen muunnos, kertomalla N 1 N 2 kertaa kiertokertoimilla ja laskemalla N 2 kertaa N 1 :n pisteen muunnos. Näin ollen tarvitaan vain N 1 (N 2 2 + N 2 ) + N 1 N 2 + N 2 (N 1 2 + N 1 ) = N 1 N 2 (N 1 + N 2 + 3) kertolaskua, joka on selkeästi vähemmän, kuin N 2 + N = N 1 N 2 (N 1 N 2 + 1) tarvittaviin kertolaskuihin. Tämän takia FFT-muunnosta sanotaan nopeaksi Fourier-muunnokseksi.[4, s. 12-14] Valitaan kuusi eri näytteiden määrää, joista lasketaan sekä DFT että FFT-muunnokset ja lasketaan näiden muunnoksiin kulutettu aika kaikilla kuudella näytearvolla molemmille menetelmille. Käytetään MATLABIA muunnoksien suorittamiseen ja laskenta-aikojen laskemiseen. Muodostuneet tulokset näkyvät kuvassa 3.2. jossa sininen käyrä kuvaa

10 Kuva 3.2. DFT:n ja FFT:n laskenta-ajat. DFT-menetelmällä laskettua aikaa ja punainen käyrä FFT-menetelmällä laskettua aikaa eri näytteiden arvoilla. Kuvasta 3.2. näkyy kuinka paljon nopeampi FFT on verrattuna DFT-menetelmään. Tulokset ovat muodostuneet laskemalla molemmilla menetelmillä laskenta-ajat näytteiden ollessa N = 4, 32, 64, 128, 256 ja 512. Alle 100:n näytteen määrällä molemmat menetelmät ovat suunnilleen yhtä nopeita. Näytteiden kasvaessa DFT-menetelmällä laskenta-aika lähtee todella suureen kasvuun ja eron FFT-menetelmään näkyy selkeästi. Esimerkiksi näytteiden määrän ollessa N = 512, DFT-menetelmä on noin 18 kertaa hitaampi. Laskenta-aikojen vertailuun käytettiin MATLAB:ia. DFT laskettiin käyttäen kaavaa (3.1) ja FFT MATLAB:in omalla funktiolla fft(x), jossa x on muutettava signaali. Kun puhtaaseen signaaliin lisätään häiriöitä, muuttuu signaalin informaatio ja näin ollen FFT:n tuloksetkin. Esitetään tämä kuvan 2.1. 50Hz esimerkkisignaalin avulla, johon lisätään normaalijakautunutta kohinaa eri signaali-kohinasuhteen arvoilla ja näytetään näistä FFT:n tulokset.

11 Kuva 3.3. FFT puhtaasta signaalista ja eri SNR:n arvoilla. Tämä on nähtävissä kuvasta 3.3. Vasemmassa yläkulmassa näkyy FFT-menetelmällä saatu puhtaan signaalin (kuva 2.1.) taajuus spektri. Muissa kuvissa näkyy spektrit eri SNR:n arvoilla. Kaikille kuville käytettiin näytteenottotaajuuden arvoa F s = 1000 ja näytteiden määrää N = 300 sekä amplitudin arvo on skaalattu välillä 0 400dB, jotta häiriön määrä on kuvissa samassa suhteessa. Korkein toistettava taajuus on kaikissa tapauksissa puolet näytteenottotaajuudesta F s 2 = 1000Hz 2 = 500Hz [9, s.129], jota kutsutaan myös Nyquistin teoriaksi [10, s. 173-175]. Tämän takia taajuusakseli on muodostettu 0 500Hz:n välille. FFT-menetelmän muunnos puhtaasta signaalista ilman häiriöitä 50Hz taajuus on helposti tulkittavissa (kuvan 3.3. vasen yläkulma), eikä muita ylimääräisiä taajuuksia esiinny. Kun esimerkkisignaaliin lisätään häiriöitä (SNR = 3.0103dB), FFT-muunnoksen muodostetussa kuvassa häiriöt ovat näkyvillä kuvassa ylhäällä oikeassa kulmassa. Dominoivan taajuuden tulkitseminen ei ole ongelma vielä tällä häiriön voimakkuudella. Signaali-kohinasuhteen ollessa SNR = 15.0515dB (vasen alakulma), häiriön määrä on selkeästi lisääntynyt, mutta 50Hz taajuus on vielä tulkittavissa vahvimmaksi taajuudeksi. Viimeisessä kuvaajassa (oikea alakulma) signaali-kohinasuhde SNR = 21.0721dB on sen verran vahva, että häiriö on peittänyt alkuperäisen 50 hertsin ja vahvimmaksi taajuudeksi tulkitsisi kuvaajan perusteella n.220hz, joka on väärä tulos. Jotta parempiin tuloksiin päästäisiin, on käytettävä muita menetelmiä FFT:n lisäksi. Häiriöisestä signaalista voidaan aluksi suodattaa ei-toivottuja taajuuksia pois, jolloin oletettavasti päästään parempiin tuloksiin muita menetelmiä käyttäessä.

12 3.2 Suodattimet Työssä käytetään FIR-suodatinta. Tämä vie enemmän laskenta-aikaa, verrattuna IIR-suodattimeen, mutta FIR-suodatin on tarkempi kuin IIR [7, s. 94-95]. Tämän takia työssä on käytetty FIR-suodatinta. Kun tiedetään, että dominoiva taajuus on 50Hz ympäristössä, suunnitellaan FIR-suotimesta kaistanpäästösuodatin, joka läpäisee päästökaistan suodattimesta määritetyllä toleranssilla olevat taajuudet 50Hz:n molemmin puolin ja vaimentaa muut taajuudet estokaistoilta [8, s. 36]. Kuva 3.4. Suodattimen amplitudivaste. Kuvassa 3.4. on näkyvillä suunnitellun kaistanpäästösuodattimen amplitudivaste. Suodatin suunniteltiin suodattamaan taajuudet väliltä 45Hz 55Hz. Suotimen aste on 40, eli se sisältää 41 kerrointa. Kuvasta 3.4. nähdään, että esimerkiksi 100Hz taajuus vaimennetaan n.-40db ja muut taajuudet tästä ylöspäin vaimennetaan myös n.(-40) ( 60)dB välillä. 50 hertsin taajuutta ei vaimenneta. Kuva 3.5. Suodatettu häiriöinen esimerkkisignaali. Vasemmalla näkyy suodattamaton signaali ja oikealla suodatettu.

13 Häiriöinen esimerkkisignaali (vasemmalla kuvassa 3.5.), jonka SNR = 3.0103dB suodatettiin edellä suunnitellulla FIR-suodattimella. Tulokset on nähtävissä kuvan 3.5. oikealla olevassa kuvassa. Eron huomaa selkeästi verrattuna vasempaan kuvaan jossa häiriösignaali on lisättynä. Suodatetun signaalin jälkeen signaalin muoto on paljon selkeämpi ja jaksollisuus on myös paremmin havaittavissa. Pieniä amplitudivaihteluja on nähtävissä, jos vertaa alkuperäiseen signaaliin (kuva 2.1.) ja tämä on otettava huomioon muita työkaluja ja menetelmiä käyttäessä. Nyt kun jaksollisuus on selvästi luettavissa, voidaan käyttää Zero-Crossing-menetelmää, jonka avulla signaalin taajuussisältöä voidaan tulkita. 3.3 Zero-Crossing Zero-Crossing on menetelmä, joka havaitsee ne pisteet, kun signaali leikkaa y-akselin kohdassa y=0. Toisin sanottuna menetelmä havaitsee signaalin positiivisten ja negatiivisten vaihtelut, kun amplitudi käy nollassa [2, s. 139-142]. Kun nämä pisteet tiedetään ja pisteiden välinen jaksonaika, voidaan taajuus helposti määrittää näiden avulla. Zero- Crossing on tehokas menetelmä taajuuden määrittelyyn, varsinkin tämän työn tapauksessa, koska se ei välitä amplitudivaihteluista. Täytyy ottaa kuitenkin huomioon, että Zero-Crossing ei sovellu kahden signaalin taajuuden määrittelyyn ja mikäli signaali sisältää paljon häiriöitä, täytyy ne poistaa ensiksi riittävän hyvällä tarkkuudella. Kuvassa 2.2. on nähtävissä, että lisätty häiriö aiheuttaa signaalin ylittämään nollakohdan useammassa kohdassa kuin alkuperäinen signaali. Tosin sanottuna Zero-Crossing-menetelmällä tulisi tässä tapauksessa liian monta nollanylityspisteitä, joka taas tarkoittaa sitä, että menetelmällä määritetty taajuus olisi oikeaa taajuutta suurempi. SIGNAALI SUODATIN ZERO-CROSSING Kuva 3.6. Lohkokaavio Zero-Crossing-menetelmästä. Kuva 3.6. havainnollistaa, kuinka Zero-Crossing menetelmää käytetään. Signaali on suodatettava, ennen kuin menetelmää voidaan käyttää.

14 Kuva 3.6. Zero-Crossing suodatetusta signaalista. Kuvasta 3.6. nähdään Zero-Crossing menetelmän havaitut pisteet suodatetusta signaalista, jonka signaali-kohinasuhde oli SNR = 0.103dB. Punainen neliö kuvaa nollanylityspisteitä. Kun kaikki pisteet ovat tiedossa, voidaan laskea pisteiden välien avulla signaalin jaksonaika. Jaksonaika on nähtävissä kuvasta 3.6. joka toisen nollanylityspisteiden välillä. Jokaisten lähimpien nollanylityspisteiden välinen etäisyys on laskettava ensiksi, jotta jaksonaika pystytään määrittämään. Näistä etäisyyksistä voidaan ottaa joko keskiarvo tai mediaani. Kun saadun tuloksen kertoo kahdella, saadaan lopullinen jaksonaika signaalille. Kaava 2.3 voidaan ilmaista myös muodossa F = 1 T, (3.5) jonka avulla signaalin taajuus voidaan määrittää, kun jaksonaika tiedetään [9 s. 71]. Kuvan 3.6. keskimääräiseksi jaksonajaksi saatiin T = 0.0199s. Kun tämä sijoitetaan kaavaan 3.5, saadaan taajuudeksi F = 50.2284Hz. Tulos on melko hyvä, ottaen huomioon, että alkuperäinen dominoiva taajuus oli 50Hz.

15 Kuvan 3.6. jaksonajaksi mediaania käyttäen saatiin T = 0.0200s. Kun tämä sijoitetaan edelleen kaavaan 3.5, saadaan taajuudeksi F = 50Hz, joka on täsmälleen sama, kuin alkuperäinen dominoiva 50Hz taajuus. Laskelmien perusteella voidaan sanoa, että mediaania käyttämällä päästään parempiin tuloksiin Zero-Crossing-menetelmässä ainakin tässä tapauksessa. Kuva 3.7. Zero-Crossing suodattamattomasta signaalista, jonka SNR = 3.0103dB. Kuvan 3.7. pohjalla on edelleen sama puhdas signaali (kuva 2.1.), johon on lisätty häiriöitä signaali-kohinasuhteella SNR = 3.0103dB. Mikäli häiriöllistä signaalia ei suodateta ennen menetelmän käyttämistä, Zero-Crossing antaa hyvin virheellisen tuloksen. Kuvan 3.7. keskimääräiseksi jaksonajaksi saatiin T = 0.0088s ja taajuudeksi F = 113.3580Hz. Mediaania käyttämällä kuvan 3.4. jaksonajaksi saatiin T = 0.0041s ja taajuudeksi F = 244.9313Hz. Mielenkiintoista tästä tekee sen, että mediaanilla saatu tulos on päälle kaksi kertaa virheellisempi, kuin keskiarvolla saatu tulos, kun taas kuvan 3.6. tapauksessa (suodatettu signaali) mediaanilla saatu tulos oli parempi. Kuvasta 3.7. nähdään jo pelkästään katsomalla, että nollanylityspisteitä on aivan liikaa, mikäli verrataan edelliseen kuvaan 3.6. Katsomalla kuvaa 3.7. tarkemmin nollanylityspisteiden välinen jaksollisuus on myös hyvin epäsäännöllistä. Signaali on näin ollen suodatettava ennen, kuin Zero-Crossingmenetelmää voidaan käyttää.

16 4 TULOKSET Tässä luvussa verrataan kahden eri menetelmän (Zero-Crossing:in ja FFT:n) saatuja tuloksia keskenään. Molemmilla menetelmällä tarkastellaan aluksi häiriöllisiä signaaleja kuudella eri SNR:n arvoilla pyöristettynä väliltä [3.0dB,, 21dB], eli tutkittavia signaaleja on yhteensä kuusi molemmille menetelmille. Häiriölliset signaalit suodatetaan ensiksi kappaleen 3.2 suunnitellun kaistanpäästösuodattimen avulla, jonka jälkeen molempia menetelmää käytetään ja lopuksi näytetään näiden tulokset. Jotta saataisiin tarkempi kuva menetelmien tehokkuudesta, tarkastellaan 300:n eri häiriöllisen signaalin kymmenellä eri SNR:n arvoilla pyöristettynä väliltä [3.0dB,, 43dB], eli tutkittavia signaaleja on yhteensä 3000 molemmille menetelmille. Nämä signaalit suodatetaan jälleen kappaleen 3.2 suunnitellulla kaistanpäästösuodattimella, jonka jälkeen molempia menetelmiä käytetään ja lopuksi menetelmien saaduista tuloksista muodostetaan jakauma. Käytännössä jokainen häiriöllinen signaali 3000:n joukosta ovat kaikki erilaisia ja tämän takia saatu lopputulos on aina vähän erilainen jokaisen 3000 häiriöllisen signaalin kohdalla. Jakauman tarkoitus on näyttää mille alueelle tulokset muodostuvat häiriöllisten signaalien eri SNR:n arvoilla. Näytteenottotaajuus F s ja näytteiden määrä N valittiin siten, että niiden muodostamat binit osuivat 50Hz:n kohdalle kaavan (3.4) mukaisesti. Tämä sen takia, että väärät binivälit eivät vaikuttaisi FFT:llä muodostuneisiin tuloksiin. Luvun viimeisessä osassa näytetään molempien menetelmien saadut tulokset puhtaasta signaalista, kun F s ja N on valittu siten, että niiden muodostamat binit eivät osu 50Hz:n kohdalle.

17 Kuva 4.1. Zero-Crossing häiriön lisääntyessä. Kuva 4.1. havainnollistaa tilannetta, jossa häiriön määrä kasvaa niin suureksi, jossa Zero- Crossing menetelmällä saadut tulokset alkavat olemaan hyvin epäluotettavia ja virheellisiä. Tulokset ovat muodostuneet yhdellä ajokerralla suodattamalla häiriöinen signaali kappaleen 3.2 suunnitellulla keskipäästösuodattimella ja laskemalla taajuudet menetelmällä saatujen jaksonaikojen keskiarvoista. Kuvasta 4.1. nähdään, että taajuus on melko

18 lähellä dominoivaa taajuutta signaali-kohinasuhteen ollessa SNR -6.5 db. Myös signaalin muoto säilyy suunnilleen alkuperäisessä muodossaan. Tästä matalemmilla SNR:n arvoilla taajuus tulkitaan vääräksi ja myös signaalin muoto rikkoutuu hyvin pahasti. Jotta saataisiin yleispätevä käsitys Zero-Crossing-menetelmällä saaduista arvoista, suoritetaan menetelmää useita kertoja eri SNR:n arvoilla ja muodostetaan niistä jakauma. Koe suoritetaan sekä keskiarvomenetelmällä että mediaania käyttämällä. Kuva 4.2. Jakauma Zero-Crossing-menetelmästä(keskiarvo) häiriön lisääntyessä. Kuvan 4.2. jakauman tulokset ovat muodostuneet ajamalla Zero-Crossing-menetelmä suodatetusta signaalista 300 kertaa jokaisen SNR:n arvon kohdalla ja laskemalla saadut taajuudet menetelmän antamien jaksonaikojen keskiarvoista. Kuvassa sininen laatikko kuvaa taajuusjakaumaa jokaisen SNR arvon kohdalla ja punainen risti kuvaa yksittäistä arvoa kullakin SNR:n arvolla. Sinisen laatikon sisällä oleva punainen viiva kuvaa jakauman mediaania. Kuvasta voidaan päätellä, kun SNR -3 db, Zero-Crossing-menetelmällä saadut tulokset ovat tarpeeksi luotettavia ja jakauman mediaanilla saatu tulos on melko luotettava aina signaali-kohinasuhteen ollessa SNR -9 db. SNR:n ollessa pienempi, kuin -15 db, jakauma kasvaa todella laajalle alueelle ja menetelmän käyttäminen osoittautuu täysin hyödyttömäksi.

19 Kuva 4.3. Jakauma Zero-Crossing-menetelmästä(mediaani) häiriön lisääntyessä. Kuvan 4.3. tulokset ovat muodostuneet samalla lailla, kuin kuvan 4.2. mutta saadut taajuudet ovat laskettu Zero-Crossing-menetelmän saaduista jaksonaikojen mediaaneista. Verrattuna Kuvan 4.2. jaksonaikojen keskiarvolla saatuihin tuloksiin, mediaanilla saadut jakaumat ovat suunnilleen yhtä laajalle levittäytyneet, mutta jakaumien mediaanitaajuudet ovat saaneet hieman korkeampia taajuuslukemia, kuin kuvassa 4.2. Jotta saataisiin Zero-Crossing-menetelmälle jotakin vertailukohdetta, suoritetaan samanlainen testi FFT-menetelmälle samoille signaali-kohinasuhteen arvoille.

20 Kuva 4.4. FFT-menetelmä häiriön lisääntyessä. Kuva 4.4. havainnollistaa FFT-menetelmällä saatuja tuloksia kuudesta eri suodatetusta signaalista kappaleen 3.2 suunnitellulla kaistanpäästösuodattimella eri SNR-arvoilla. Signaali-kohinasuhteen ollessa SNR < -9 db eri häiriötaajuudet lisääntyvät selkeästi, vaikka signaali suodatettiin ennen menetelmän käyttöä. Saatu vahvin taajuus alkaa olemaan myös väärä tästä pienemmillä signaali-kohinasuhteen arvoilla.

21 Jotta FFT-menetelmän saaduista arvoista saataisiin yleispätevä käsitys, tehdään sille samanlainen testi, kuin kuvan 4.2. ja 4.3. tapauksissa, mutta taajuuden laskemiseksi ei käytetä keskiarvomenetelmää, eikä mediaania, koska FFT-menetelmä ei käytä kumpaakaan. Tuloksista näytetään jakauma eri SNR:n arvoilla. Kuva 4.5. Jakauma FFT-menetelmästä häiriön lisääntyessä. Kuvan 4.5. jakauman tulokset ovat muodostuneet samantapaisesti, kuin kuvan 4.2 ja 4.3, eli ajamalla FFT-menetelmä suodatetusta signaalista 300 kertaa jokaisen SNR:n arvon kohdalla. Kuten kuvasta nähdään, FFT-menetelmä toimii täysin luotettavasti signaali-kohinasuhteen ollessa SNR -9 db. Tästä pienemmillä arvoilla jakauma alkaa laajentua, mutta kaikkien kuvan jakaumien mediaani antaa aina tulokseksi 50Hz. Tulos on erittäin hyvä, ottaen huomioon, että häiriön määrä on jo todella suuri, kun SNR < -40 db. Vaikka FFT-menetelmä antoikin parempia tuloksia suodatetusta signaalista, kuin Zero- Crossing, täytyy muistaa, että FFT antaa virheellisiä tuloksia, mikäli F s ja N ovat väärässä suhteessa. Tämä saa binien välit syntymään siten, että ne eivät osu 50 hertsin kohdalle, joka johtaa virheellisiin tuloksiin FFT-menetelmää käyttäessä. Tätä varten tehdään koe, jossa käytetään kahta eri F s :n arvoja samalle puhtaalle signaalille, joka on nähtävissä myös kuvasta 2.1.

22 Kuva 4.6. FFT eri näytteenottotaajuuden arvoilla. Kuvassa 4.6. näkyy esimerkkitapaus siitä, kun näytteenottotaajuus F s ja näytemäärä N eivät ole oikeassa suhteessa FFT-menetelmää käyttäessä puhtaalle 50Hz signaalille. Vasemman kuvan taajuudeksi saatiin F 1 = 48Hz, kun F s = 1200Hz ja N = 300. Oikean kuvan taajuudeksi saatiin F 2 = 52Hz, kun F s = 1300Hz ja N = 300. Menetelmää käytettiin puhtaalle signaalille, jonka oikea tutkittava taajuus oli 50Hz. Molemmat saadut tulokset F 1 ja F 2 ovat näin ollen virheellisiä. Kuvien taajuusakselit näytetään vain väliltä F = 0 500 Hz, koska suurempien taajuuksien näyttäminen kuvissa olisi turhaa. Binit muodostuivat kaavan (3.4) avulla vasemmalle kuvalle F l = [0, 4,, 44, 48, 52, 56, ], ja oikealle kuvalle F r = [0, 4.33,,43.33, 47.67, 52, 56.33, ]. F l :n sisältöä tarkemmin tutkiessa huomataan, että 50Hz taajuus on tulkittu binin 48 mukaisesti ja F r :n sisältöä tutkiessa sama 50Hz taajuus on tulkittu binin 52 mukaisesti. Sama koe tehdään myös vertailun vuoksi Zero-Crossing-menetelmälle samoilla F s :n ja N:n arvoilla, jotta nähdään, minkälaisia tuloksia tällä saadaan.

23 Kuva 4.7. Zero-Crossing eri näytteenottotaajuuden arvoilla. Kuvan 4.7. tulokset ovat muodostuneet tekemällä saman testitapauksen kuin kuvassa 4.6. eli käyttämällä menetelmää puhtaalle 50Hz signaalille kahdella eri näytteenottotaajuuden arvoilla, mutta menetelmänä käytettiin nyt Zero-Crossing:ia. Kuvan 4.7. tulokset ovat laskettu sekä jaksonaikojen keskiarvoista että mediaaneista. Näytteenottotaajuuden arvoilla F s1 = 1200Hz ja F s2 = 1300Hz saatiin keskiarvomenetelmällä lasketuiksi vastaaviksi taajuuden arvoiksi F 1_avg = 50.1672Hz ja F 2_avg = 50.1678Hz. Mediaania käyttämällä vastaaviksi taajuuden arvoiksi saatiin sama F 1_med = F 2_med = 50Hz tulos molemmilla F s :n arvoilla, joka oli täsmälleen sama kuin alkuperäisen puhtaan signaalin taajuus. Voidaan siis sanoa, että Zero-Crossing-menetelmää käyttäessä F s :n ja N:n arvoja ei tarvitse miettiä, niin tarkasti keskiarvomenetelmää käyttäessä, kuin FFT-menetelmää käyttäessä ja mediaania käyttämällä F s :n ja N:n muodostamien binien välejä ei tarvitse ottaa ollenkaan huomioon.

24 5 JOHTOPÄÄTÖKSET Työssä käytetty kaistanpäästösuodatin osoittautui tehokkaaksi, varsinkin kun dominoiva taajuus tiedettiin. Ilman signaalin suodatusta Zero-Crossing-menetelmä osoittautui täysin epätarkaksi ja siten hyödyttömäksi. Menetelmä antaa myös virheellisen lopputuloksen, mikäli signaalissa on useampia taajuuksia. Tilanteissa, joissa signaali sisälsi yhden dominoivan taajuuden ja häiriöt oli suodatettu pois, Zero-Crossing osoittautui melko tarkaksi menetelmäksi (keskiarvomenetelmällä), kunhan SNR oli suurempi kuin -9dB. FFT osoittautui todella tehokkaaksi menetelmäksi. Kävi kuitenkin ilmi, että menetelmän antamiin tuloksiin ei pysty aina luottamaan, mikäli näytteenottotaajuus Fs ja näytteiden määrä N, eivät olleet optimaalisessa suhteissa. FFT-menetelmässä signaalin sisältö katsotaan F = n Fs : n välein, joita kutsutaan myös bineiksi. Mikäli tämä tutkittavan signaalin taajuus ei osunut juuri binien muodostamiin kohtiin, tuloksista tuli virheellisiä. N Esimerkiksi Fs = 1000, N = 300 ja Fs = 3000, N = 300 antoivat molemmat oikean tuloksen, eli F = 50Hz. Arvoilla Fs = 1200 ja N = 300 tulokseksi tuli F = 48Hz, ja arvoilla Fs = 1300 ja N = 300 tulokseksi tuli F = 52Hz jotka ovat virheellisiä. Johtopäätöksenä se, että FFT-menetelmää käyttäessä binien välit täytyy miettiä tarkkaan ja tutkittavan signaalin sisältö olisi hyvä tietää ennen menetelmän käyttöä. Vastaavissa tapauksissa samoilla Fs:n ja N:n arvoilla Zero-Crossing-menetelmä osoittautui paljon luotettavammaksi kuin FFT, koska siinä binien väliä ei tarvitse ottaa huomioon. Tämän takia Zero-Crossingmenetelmä osoittautui yleisesti käytettynä varmemmaksi menetelmäksi, kuin FFT, SNR:n ollessa SNR -3 db. Toisaalta jos FFT-menetelmää käyttäessä otetaan huomioon tutkittava taajuus ja huolehditaan F s : n ja N: n oikeasta suhteesta, osoittautui se ylivoimaisesti tarkemmaksi ja luotettavammaksi menetelmäksi, kuin Zero-Crossing. Vieläkin parempia tuloksia olisi tullut, mikäli näytteiden määrä olisi ollut suurempi kuin 300, koska nollanylityspisteitä olisi tullut näin ollen enemmän. Myös kaistanpäästösuodatin olisi voitu suunnitella tehokkaammaksi suunnittelemalla päästökaistan esimerkiksi 48 52Hz taajuusalueelle. FFT ja Zero-Crossing-menetelmien yhdistäminen olisi myös mahdollisesti parantanut tuloksia, jolloin molempien menetelmien hyvät puolet olisi voitu yhdistää.

25 LÄHTEET [1] Elovaara, J. & Laiho Y. Sähkölaitostekniikan perusteet. Hämeenlinna, Maaliskuu 1988, Otavakustantamo. 487 p. [2] KÖHLER, B.U., HENNIG, C. & ORGLMEISTER, QRS Detection Using Zero Crossing Counts [WWW]. Biomedical Electronics Group, Department of Electrical Engineering, Berlin University of Technology, Berlin, Saksa. Syyskuu, 2003. [viitattu 01.05.2015]. Saatavissa: http://progress.biomed.uni-erlangen.de/documents/200308030138.pdf. [3] Huttunen, H. Signaalinkäsittelyn perusteet opetusmoniste, Tampereen teknillinen yliopisto, Signaalinkäsittelyn laitos, 2014. 154 p. [4] Männikkö, T. Nopeat Fourier-muunnokset [WWW], Jyväskylän yliopisto. 21 p. [viitattu 28.04.2015]. Saatavissa: http://users.jyu.fi/~mannikko/numeeriset/nopeat.pdf. [5] Lombardi, M.A. The Measurement, Instrumentation and Sensors: Handbook, Section III, Chapter 19, Frequency Measurement. CRC Press LLC, 1999. 2630p. [6] Cunningham, E.P. Digital Filtering: An Introduction. United States of America, 1995. 536 p. [7] Bowen, B.A. & Brown, W.R. VLSI Systems Design for Digital Signal Processing, Volume I: Signal Processing and Signal Processors. United States of America, 1982. 304 p. [8] Alasaarela, E. Elektroniikan Suodattimet. Jyväskylä, Suomi, 1980, K.J. Gummerus osakeyhtiön kirjapaino. 335p. [9] Broch, J.T. Principles of Experimental Frequency Analysis. Englanti, 1990. 261 p. [10] Pelgrom, M.J.M. Analog-to-Digital Conversion: Second Edition. 2013. 584 p. [11] Vidmar, M. Simple RF/Microwave Frequency Counter [WWW]. [viitattu 17.05.2015]. Saatavissa: http://lea.hamradio.si/~s53mv/counter/history.html.

26 [12] Sederlund, J. Fingrid Oyj:n lehti, 11. vuosikerta, Taajuuden ylläpito sähköjärjestelmässä [WWW]. Maaliskuu 2008, Libris Oy, Helsinki. 35p. [viitattu 15.05.2015]. Saatavissa: http://www.fingrid.fi/fi/ajankohtaista/ajankohtaista%20liitteet/yrityslehdet/2008/fingrid_3_08.pdf. [13] Corrosion Doctors, Heinrich Rudolph Hertz [WWW]. [viitattu 16.05.2015]. Saatavissa: http://corrosion-doctors.org/biographies/hertzbio.htm. [14] Elmoataz, A. Lezoray, O. Noubound, F. Mammass, D. Meunier, J. Image and Signal Processing, 4 th International Conference. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010, Saksa. 603 p.