MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa arvostelussa käytettävistä kriteereistä päättää tutkintoaineen sensorikunta. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

2 A-osa. f( 2) = ( 2) ( 2) = 8+2= 6 f () = 2 f () = = =/ = =4 8 = ( 6)( 9)= = = 0 =tai = 4 ( )( + 4) p() =a( )( 2 ) jollakin a:n arvolla. Kertomalla auki saadaan: p() = a 2 a( + 2 ) + a 2. Toisaalta p() =a 2 +b+c, joten vakiotermejä vertailemalla saadaan a 2 = c eli 2 = c. a. f () = cos sin f () =0 cos = sin tan = = π + πn, joista välille kuuluvat π ja 7π f( π)= + =2ja f(7π)= = Toisaalta f(0) = ja f(2π) =, joten ääriarvot ovat ±2. f() =(i + j) (sin i + cos j) (i + j) = 2( i + j) 2 2 = 2(sin π i + cos πj) 6 6 f() = 2(sin sin π + cos cos π) 6 6 = 2 cos( + π) 6 Siten ääriarvot ovat ±2. 4. Funktion kuvaaja on paloittain jatkuva. Arvo 2 välillä [0,[, muualla 0. Funktion arvo on välillä [0,[, muualla 0. 2 Funktion kuvaaja on paloittain jatkuva. Funktion arvo on välillä [, [, muualla 2 2 B-osa 0. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

3 B-osa 5. ( 2) 2 +(y ) 2 =4 = (y ) 2 =4 = y =± Piste ( 2,4) on lähin piste suoralla, sillä suoran normaali tässä pisteessä kulkee pisteen (2,) kautta. Keskipisteen etäisyys suorasta (2, ) ( 2, 4) = =5 Ympyrän etäisyys suorasta on siten 5 2=. 6. Suhde säilyy mittakaavan muutoksissa, joten voimme olettaa, että hypotenuusan pituus on 2. Terävän kulman viereisen kateetin osan pituus on silloin = 2 cos 0. Koko kateetin pituus on 2 cos 0 =. Kateetin toisen osan pituus on siten 2 = ( 2)=. Kysytty suhde on siis 2 / =2. Vastaus Korjattu Seitsemästä varsinaisesta numerosta voidaan valita kuusi seitsemällä tavalla; kahdesta lisänumerosta voidaan valita yksi kahdella tavalla ja yhdestä lisänumerosta yhdella tavalla. Mahdollisia 6+-rivejä on ennen uudistusta 7 2 ja uudistuksen jälkeen 7 kappaletta. Kaikkiaan rivejä on ( ) ( 9 7 ja 40 ) Todennäköisyydet ovat siis ( 9 7 ) = 4 =9, ennen uudistusta ja ( ) = 7 =, uudistuksen jälkeen = 2 2 Luvun tekijät ja siten sisarusten mahdolliset iät ovat, 2,, 4, 6, 2,, 26, 9, 52, 78 ja 56. Koska kyseessä ovat nuoremmat sisarukset, ainoastaan luvut, 2,, 4, 6, 2 ja ovat mahdollisia. Tekijä esiintyy kerran, joten yksi sisaruksista on -vuotias. Kahden muun iän tulo on 2 muut mahdolliset iät ovat ja 2, 2 ja 6 tai ja g() =f () = Selvitetään g() =0, ja lasketaan sitä varten g () =4 4. Iteraatiokaava Iteraatio alkuarvolla 0,5 (0, , 0, , 0, ) 0,25099 Iteraatio alkuarvolla,5 (,494205,, ,, ),494 Koska f on jatkuvasti derivoituva funktio, ovat ääriarvot avoimella välillä derivaatan nollakohdissa: f(0,25099) = 0, ,252 ja f(,494) =, ,48. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

4 B2-osa 0. Annukka on käyttänyt kaavaa a b = a b + a y b y. Fareed on käyttänyt kaavaa a b = a b cos(a,b). Kuva, josta näkyy, että vektorien u ja v kulmat -akselin kanssa ovat π 8π ja 5 5 vektorien pituudet ovat 7 ja. Vektorien u ja v välisen terävän kulman suuruudeksi on merkitty π. Ensimmäisellä rivillä Annukka on sijoittanut vektoreiden komponentit sekä ottanut luvut 7 ja yhteisiksi tekijöiksi. Toisella rivillä hän on käyttänyt kaavaa a b = a b + a y b y. Kolmannella rivillä hän on käyttänyt kaavaa cos(a B) = cos A cos B + sin A sin B. Neljännellä rivillä hän on laskenut kosinin argumentin ja sen jälkeen kosinin arvon.. Valitaan ensin polynomi jonka nollakohdat ovat, 0, ja 2, eli esimerkiksi ( + )( )( 2). Kun on suuri, tämä on positiivinen, eli polynomin kuvaaja on W-muotoinen, joten kerrotomalla se luvulla saadaan funktio, joka on positiivinen täsmälleen vaadituilla väleillä. Lisätään polynomiin 2, jolloin saadaan f() =2 ( + )( )( 2). (Myös muunlaiset esimerkit ovat mahdollisia.) Voidaan esimerkiksi etsiä ei-negatiivista funktiota, jolla on yksi minimi ja yksi maksimi. Funktion g() = 2 e derivaatta on g () =( 2 +2)e, jonka nollakohdat ovat =0ja = 2. Toinen vaihtoehto on etsiä polynomia, jolla on minimi ja terassikohta. Derivaatta voisi olla esimerkiksi 2( ) 2, jolloin integroimalla saadaan g() = Korjattu Funktio ei ole vähenevä koko määrittelyjoukossa: esimerkiksi g( ) = log 2 /2 = ln = ln = g(2) <g(2), sillä g(2) > 0. ln(/2) ln 2 (Funktio on vähenevä väleillä (0,) ja (, ), mutta ei määritelty kohdassa a =.) Osoitetaan väite tapauksessa a>. Olkoon <a<b. On siis osoitettava, että g(a) >g(b). g(a) >g(b) log a >log b fa () >f b () Merkitään = f a (y), sijoitetaan se edelliseen epäyhtälöön ja sovelletaan kasvavaa funktiota f b kummallekin puolelle: f a () >f b () f b (y) >f a (y) b y >a y. Koska y> ja b>a, viimeinen epäyhtälö pätee. derivaatalla Olkoon <y. Nyt H(y) H() = y h(t) dt. Jos h 0, seuraa, että H(y) H() 0, eli H on kasvava. Jos h<0 jollakin välillä [c,d], niin H(d) H(c) = d h(t) dt < 0, joten H ei ole c kasvava. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

5 B2-osa. f on derivoituva kaikissa pisteissä 0. Vasemmanpuoleinen derivaatta pisteessä =0saadaan normaalisti: D ln( ) =, kun 0. Oikeanpuoleinen derivaatta lasketaan osamäärällä p() cos f(0) = p() Jos p(0) 0, niin p() ±, eikä raja-arvoa ole, eikä siten myöskään oikeanpuoleista derivaattaa. Jos p(0) = 0, eli c =0, niin p() = a 0, kun 0. Koska a cos 0, niin oikeanpuoleinen derivaatta on olemassa ja sen arvo on 0. Koska vasemmanpuoleisen derivaatan arvo on, ei funktio kuitenkaan ole derivoituva. Vaadittuja kertoimia ei siis ole olemassa. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä