1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava:

Transkriptio

1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Päästökaistan maksimipoikkeama δ p =.5. Estokaistan maksimipoikkeama δ s =.. Päästökaistan rajataajuus pb = 5 Hz. Estokaistan rajataajuudet sb = 95 Hz Näytetaajuus s = 4 Hz. Hamottele suodattimen amplitudivaste. Määritä päästökaistavärätely ja estokaistavaimennus desibeliyksiköissä ja päästökaistan ja estokaistan normalisoidut rajataajuudet radiaaneina. ) Arvioi liitteenä olevan taulukon perusteella toteutuvan suodattimen asteluku, jos suunnitteluun käytetään ikkunamenetelmää. Amplitudi Hz.2. -> -2 db Taajuus [khz] +.5 Päästökaistavärätely: 2 log.5 2 log. = 2 5 Päästökaistan rajataajuus: 2π Estokaistan rajataajuus: 2π Estokaistavaimennus: ( ) db.8693 db ) Valitaan vaatimusmäärittelyn perusteella suorakaideikkuna: = = =.25 N 4 N =.9.25 = 36 + = 37 Asteluku on siis 36 (= kertoimien lukumäärä - ).

2 2 2 Tarkoituksena on suunnitella ikkunamenetelmällä FIRylipäästösuodatin, jonka estokaistan vaimennuksen on oltava väintään 2 db, suurin sallittu vavistuksen vaitelu päästökaistalla on. db ja siirtymäkaistan rajataajuudet ovat Hz ja 65 Hz. Näytetaajuus s = 5 Hz. Määritä suodatuksen toteuttava ideaalinen impulssivaste ja suodatusedot toteuttava ikkunaunktio sekä näytetaajuudella normalisoitu siirtymäkaistan leveys ja suodinkerrointen määrä N. Määritä suodinkertoimet ja suunnittelemasi suodattimen dierenssiytälö. Ideaalinen impulssivaste: D ( n) 2 = sin ( n ω ) = 2 2 ; sin ( n 2π ); n = ±, ± 2, ± 3, L, ± n = Normalisoitu rajataajuus valitaan nyt siirtymäkaistan puolivälistä: 37.5 = = s =.25 D ( n).5 sin ( n.5 π ); n = ±, ± 2, ± 3, L, ± =.5; n = Ikkunaunktio: Hanning-ikkuna toteuttaa edot (uom. päästökaistavärätely): 2π n, N = kerroinmäärä. N ( ) =.5 +.5os w n Normalisoidaan siirtymäkaista.. 65 Hz: 55 = = s 55 5 Kerroinmäärä: 3. = = N 55 5 N w n 2π n 9 ( ) =.5 +.5os ; n =, ±, ± 2, ± 3, ± 4

3 3 Suodinkertoimet: ( n) = w( n) ( n) D 2π n.5.5os.5 sin(.5 ); + 9 n π = 2π.5.5os.5 =.5; + 9 ( n) = {,.265,,.28,.5,.28,,.265, } ; n = 4, 3, 2,, = {.265,,.28,.5,.28,,.265, }; n = 3, 2,,,, 2, 3 Dierenssiytälö: y ( n) = a x( n) + a x( n ) + a x( n 2) + L + a x( n 6) y 2 6 n = ±, ± 2, ± 3, ± 4 [] n =.265 x( n).28 x( n 2) +.5 x( n 3).28 x( n 4) x( n 6) =.265 { x( n) + x( n 6) }.28 { x( n 2) + x( n 4) } +.5 x( n 3) n =,, 2, 3, Seuraavassa vielä suodattimen amplitudi- (ylempi kuv ja vaiespektri (alempi kuv. Taajuusasteikko on normalisoitu välille.. s / Magnitude (db) Normalized Frequeny ( π rad/sample) 3 Pase (degrees) Normalized Frequeny ( π rad/sample)

4 4 3 Vastaa lyyesti seuraaviin kysymyksiin. Miten ikkuna- ja Remez-menetelmillä suunniteltu FIR-suodatin eroaa toisistaan, jos vaatimusmäärittely on kummassakin tapauksessa sama? Miten Butterwort-, Cebysev I-, Cebysev II- ja elliptinen IIRsuodatin eroaa toisistaan, jos vaatimusmäärittely on kaikissa tapauksissa sama? ) Miksi samoilla vaatimusmäärittelyillä suunnitelluilla FIR- ja IIRsuodattimella ei saada samanlaista suodatustulosta? d) Mikä perustavaa laatua oleva ero on digitaalisten FIR- ja IIRsuodattimien suunnittelussa? Remez-menetelmä optimoi amplitudivasteen värätelyn päästö- ja estokaistalla tasaiseksi. Ikkunamenetelmä puolestaan tuottaa suurimman värätelyn läellä rajataajuuksia (Gibbsin ilmiö). Tämän vuoksi samalla vaatimusmäärittelyllä Remezmenetelmä tuottaa yleensä pienemmän kerroinmäärän. Butterwort-suodattimessa päästö- ja estokaista on monotoninen (eli amplitudivaste ei värätele). Cebysev I-suodattimessa päästökaista on tasavärätelevä ja estokaista monotoninen. Cebysev II-suodattimessa estokaista on tasavärätelevä ja päästökaista monotoninen. Elliptisessä suodattimessa sekä päästö- että estokaista on tasavärätelevä. Elliptisen suodattimen kerroinmäärä on pienin ja Butterwortsuodattimen suurin. Cebysev suodattimien kerroinmäärä asettuu näiden väliin ja on kummallakin tyypillä sama. ) Tärkein syy on suodattimien poikkeava viivekäyttäytyminen. FIR-suodattimet suunnitellaan useimmiten siten, että niiden vaiespektri on lineaarinen, jolloin suodattimessa syntyy kaikilla taajuuksilla sama viive. IIR-suodattimien vaiespektri on epälineaarinen, minkä seurauksena eri taajuudet viivästyvät suodatuksessa eripituisen ajan. Tämän vääristää suodatetun signaalin aaltomuotoa. d) FIR-suodattimen suunnitellaan putaasti digitaalisena suodattimena, kun taas IIRsuodattimien suunnittelu perustuu analogisten suodattimien muuntamiseen digitaalisiksi esimerkiksi bilineaarisella z-muunnoksella.

5 5 4 Esitä adaptiivisen suodatuksen perusidea ja kuvaile adaptiiviseen suodatuksen perustuva ekvalisointi. Kaikki keskeiset adaptiiviseen suodatukseen liittyvät perusasiat on kuvattu Jodatus signaalinkäsittelyyn 2 monisteen luvussa 6. Tämän tetävän ratkaisussa tuli esitellä ainakin seuraavat asiat: Adaptiivinen suodatus soveltuu mm. sellaisiin tilanteisiin, joissa inormaatio ja äiriö ovat samalla taajuuskaistalla. Adaptiivisessa lasketaan reerenssisignaalin ja FIR-suodattimen läpi kulkeneen kodesignaalin välistä erotusta. Suodattimen kertoimia säädetään siten, että erotus minimoituu. Kertoimien säätöä varten muodostetaan kustannusunktio, joka minimoidaan. Tyypillinen kustannusunktio on reerenssi- ja kodesignaalin erotuksen e(n) neliön e 2 (n) odotusarvo (eli keskiarvo) E(e 2 (n)). Tämä minimoidaan määrittämällä sen derivaatan nollakodat. Koska minimointi on usein matemaattisesti ankalaa, on keitetty algoritmejä, jotka tuottavat läes optimaaliset kertoimet suodattimelle. Näistä tärkein ja tunnetuin on LMS-algoritmi. Adaptiivisessa ekvalisoinnissa käytetään samaa testisignaalia sekä reerenssiettä kodesignaalina. Kodesignaali kulkee sekä äiriöllisen kanavan että adaptiivisen suodattimen läpi. Suodattimen kertoimia säädetään siten, että kanavan ja suodattimen läpäissyt signaali on madollisimman läellä alkuperäistä testisignaalia. Kun suodatin on adaptoitunut äiriölliseen kanavaan, kiinnitetään suodinkertoimet. Tämän jälkeen inormaatiosignaaliin äiriöllisessä kanavassa syntyneet vireet voidaan korjata (ekvalisoid näin saadulla suodattimella. Jos kanavan ominaisuudet muuttuvat, täytyy testisignaali läettää uudelleen, jolloin uutta tilannetta vastaavat suodinkertoimet voidaan määrittää adaptiivisella kytkennällä. Monissa järjestelmissä (mm. GSM) testisignaali läetetään säännöllisin väliajoin, jolloin suodatin päivittyy aina, kun testisignaali läetetään.

6 6 Ideaalisia impulssivasteita (taajuudet normalisoituja näytetaajuudell Suodintyyppi n n = Alipäästö D (n) = 2 sin(nω ) 2 Ylipäästö D (n) = -2 sin(nω ) 2 Kaistanpäästö D (n) = 2 2 sin(nω 2 )-2 sin(nω ) 2( 2 ) Kaistanesto D (n) = 2 sin(nω )-2 2 sin(nω 2 ) 2( 2 ) 2 > sin(x) = sin(x)/x, sin() = Ikkuna Siirtymäkaistan normalisoitu leveys Vasteen vaitelu päästökaistalla (db) Pienin vaimennus estokaistalla (db) Ikkunaunktio w[n], n (N-)/2 Suorakaide.9/N Hanning 3./N πn w[] n =.5 +.5os N Hamming 3.3/N πn w[] n = os N Blakman 5.5/N πn 4πn w[] n = os +.8os N N