Mitä on signaalien digitaalinen käsittely

Transkriptio

1 Mitä on signaalien digitaalinen käsittely Signaalien digitaalinen analyysi: mitä sisältää, esim. mittaustulosten taajuusanalyysi synteesi: signaalien luominen, esim. PC:n äänikortti käsittely: oleellisen poimiminen, suodattaminen Signaali on mikä tahansa suure, joka vaihtelee ajan, paikan tai minkä tahansa muuttujan funktiona: ääni kuva mittalaitteen mittaustulos (c) Antti Kosonen

2 Sovelluksia: häiriöiden poisto mittaussignaalista informaatiota sisältävien taajuuksien poimiminen taajuusanalyysi (mittaustulokset) puheentunnistus audiosovellukset: CD, DVD, DAT, MD, äänikortit kuvankäsittely: pakkaus, hahmontunnistus (c) Antti Kosonen

3 Mitä digitaalinen signaalinkäsittely on käytännössä: Suunnittelua ja toteutusta o sopivan suodattimen valinta ja analyysi näytteenottotaajuus, stabiilius, rakenne jne. o suodattimen toteutus ohjelmallinen (DSP, yleiskäyttöinen tietokone) piiritoteutus (PLD, ASIC, FPGA) rajallisen bittimäärän vaikutukset Analysointia (c) Antti Kosonen

4 Mitä digitaalisen signaalinkäsittelyn opintojaksoilla opiskellaan Signaalien digitaalinen käsittely: Signaalien ja järjestelmien ominaisuudet ja niiden analysointi Suodatinten suunnittelun ja toteuttamisen perusteet DFT:n ja FFT:n perusteet Digitaalinen suodatus: Äärellisen sananpituuden vaikutukset ja niiden estäminen Suodatinten suunnittelu ja toteutus ohjelmallisesti Näytteenottotaajuuden muuttaminen Mediaani ja adaptiiviset suodattimet Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi: Edellä oleviin opintojaksoihin liittyviä harjoitus ja laboratoriotöitä Digitaalisen signaalinkäsittelyn erikoiskurssi: Satunnaissignaalien käsittely, spektrin estimointi (c) Antti Kosonen

5 Luentoaiheet 1. Johdanto: näytteenoton periaate 2. Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät 3. z muunnos ja sen soveltaminen lineaaristen aikainvarianttien järjestelmien analyysiin 4. Taajuustason analyysimenetelmät 5. Diskreetti Fourier muunnos (DFT) 6. Nopea Fourier muunnos (FFT) (c) Antti Kosonen

6 Signaalit, järjestelmät ja signaalinkäsittely Signaali on mikä tahansa suure, joka vaihtelee ajan, paikan tai minkä tahansa muuttujan tai muuttujien funktiona o Esim ajan funktiona, paikan funktiona Aina signaalin tarkka matemaattinen esittäminen ei ole mahdollista o Esim. puhe tällainen signaali voidaan esittää sinisignaalien summana sin 2π (c) Antti Kosonen

7 Signaaleja saadaan aikaan eri tavoin signaalin lähde järjestelmä, joka vastaa herätteeseen Järjestelmällä tarkoitetaan myös laitetta (eng. hardware), joka käsittelee signaalia o Esim. häiriöiden suodatus Laitteen suorittamaa tehtävää nimitetään signaalinkäsittelyksi Digitaalisen signaalinkäsittelyn yhteydessä järjestelmän määrittelyä on tarkoituksenmukaista laajentaa käsittämään konkreettisten laitteiden lisäksi myös operaatioiden ohjelmalliset toteutukset (eng. software) (c) Antti Kosonen

8 Esimerkki puhesignaalista 1 Amplitudi Aika [s] Kuva. Graduate.wav ääninäyte. graduate.wav (c) Antti Kosonen

9 Digitaalisen signaalinkäsittelyjärjestelmän perusosat ) = C E A JK I EC = = E N = J ) = C E A I EC = = E I EJJA E O = J ) = C E A D J I EC = = E Kuva. Analoginen signaalinkäsittely. ) = C E A = EF I J I = JE ), K K E, EC EJ= = E A I EC = = E I EJJA E, ) K K E ) = C E A = EF I J I = JE %! " # $ Kuva. Digitaalisen signaalinkäsittelyjärjestelmän lohkokaavio. (c) Antti Kosonen

10 Digitaalisen signaalinkäsittelyn edut ja haitat + Joustavuus = muutosten tekeminen helppoa (ohjelman muuttaminen) + Tarkkuus = tarkkuus on määritettävissä matemaattisen tarkasti (bittien lukumäärä jne.) + Tallennettavuus = off line analysointi + Edullisuus = jossain tapauksissa verrattuna analogiseen toteutukseen + Monimutkaisten algoritmien toteutus mahdollista Laajakaistaisten signaalien käsittely (hw ongelma) Ohjelmallisen toteutuksen hitaus (hw ongelma) Kalleus yksinkertaisissa tehtävissä (A/D muunnos) Informaation häviäminen (kvantisointi) (c) Antti Kosonen

11 Signaalien luokittelu monikanavainen ja moniulotteinen signaali Monikanavainen: o Esim. maanpinnan nopeus kolmen akselin suunnassa (kuva) Moniulotteinen (lisäksi monikanavainen) o Esim. TV signaali (kirkkaus paikan ja ajan funktiona),,,,,,,, Kuva. Maanpinnan nopeus. Kolme kanavaa. (c) Antti Kosonen

12 Tällä opintojaksolla käsitellään pääasiassa yksikanavaisia ja yksiulotteisia signaaleja, jotka voivat olla reaalisia tai kompleksisia o Esim. sin 3π cos 3π sin 3π Nämä signaalit voivat olla minkä tahansa riippumattoman muuttujan funktioita, tavallisesti kuitenkin ajan Kuva. Kaksiulotteinen signaali. (c) Antti Kosonen

13 Signaalien luokittelu jatkuva ja diskreettiaikaiset signaalit Jatkuva aikaiset signaalit o Analogiset signaalit: määritelty kaikilla ajanhetkillä jollakin aikavälillä (a,b) Diskreettiaikaiset signaalit o Määritelty vain tiettyinä ajanhetkinä o Tietyt ajanhetket : ajanhetkien ei tarvitse olla tasavälein, mutta usein näin kuitenkin on o Esim. tasavälein, 0, 1, 2,, missä on aikaindeksi ja aikaväli Diskreettiaikaisia signaaleja saadaan 1. Valitsemalla analogisen signaalin arvoja diskreetteinä ajanhetkinä: näytteenotto (eng. sampling). 2. Laskemalla yhteen muuttujan arvoa tietyn aikavälin aikana: esimerkiksi tietä ajavien autojen lukumäärä tunnissa. (c) Antti Kosonen

14 Esimerkki diskreettiaikaisesta signaalista Signaalin diskreettiaikaisuutta voidaan korostaa merkitsemällä signaalia :llä :n sijasta Esim. 0,8, jos 0 0, muuten 1 x(n) n Kuva. Diskreettiaikaisen signaalin graafinen esitys. (c) Antti Kosonen

15 Signaalien luokittelu jatkuva ja diskreettiarvoiset signaalit Signaalin arvot voivat olla jatkuvia tai diskreettejä: Jatkuva aikainen, jatkuva( arvoinen) signaali Jatkuva aikainen, diskreetti(arvoinen) signaali Diskreetti aikainen, jatkuva( arvoinen) signaali Diskreetti aikainen, diskreetti(arvoinen) signaali x a (t) 0 x a (t) t t (a) (b) x(n) 0 x(n) n n (c) Kuva. Signaalin neljä eri kategoriaa sen aikamuuttujan ja arvojen suhteen. (d) (c) Antti Kosonen

16 Signaalien luokittelu deterministiset ja satunnaissignaalit Deterministiset Matemaattinen malli Signaali tunnetaan tarkasti ilman epävarmuutta Satunnaiset Tilastollinen käsittely Ei ennustettavissa käytännössä Ei voida kuvata matemaattisesti Luokittelu tärkeää Voi johtaa vääränlaisiin tuloksiin, koska jotkut menetelmät soveltuvat ainoastaan deterministisille ja toiset vain satunnaisille signaaleille (c) Antti Kosonen

17 Jatkuva ja diskreettiaikaisten signaalien taajuus Jatkuva aikaiset sinisignaalit cos ΩΘ, cos 2πΘ, missä alaindeksi a merkitsee analogista on amplitudi Ω on kulmataajuus [rad/s] Θ on (nolla)vaihekulma [rad] Ω2π(huom! Iso kirjain ) N = J 6 F. ) )? I 3 J Kuva. Analoginen sinisignaali. (c) Antti Kosonen

18 Jatkuva aikaisella sinisignaalilla on seuraavat ominaisuudet: 1. Signaali on jaksollinen 1 on sinisignaalin perusjakso 2. Eritaajuiset sinisignaalit ovat eri signaaleita. 3. Taajuuden kasvattaminen johtaa värähdysten lukumäärän kasvamiseen tiettynä aikavälinä. Samat ominaisuudet pätevät myös kompleksisille signaaleille cossin Taajuus voi olla myös negatiivinen (matemaattisessa mielessä) (c) Antti Kosonen

19 cos Ω Θ 2 Analogisen signaalin taajuusalue on siis 2 1 ) 9 9 J 3 9 J 3 4 A ) Kuva. Kosinifunktion esittäminen kahdella vaiheosoittimella. 9 (c) Antti Kosonen

20 Diskreettiaikaiset sinisignaalit cos,, cos 2π,, missä on amplitudi on kulmataajuus [rad/s] on (nolla)vaihekulma [rad] 2π(huom! Pieni kirjain ) N ) Kuva. Diskreettiaikainen sinisignaali, kun π 6ja π 3. (c) Antti Kosonen

21 Diskreettiaikaisella sinisignaalilla on seuraavat ominaisuudet: 1. Diskreettiaikainen signaali on jaksollinen, jos, Pienin jakso, jolle yo. yhtälö pätee, on perusjakso. Todistus Yo. yhtälön mukaan pitää olla cos 2π cos 2π Yhtälö pätee, jos on olemassa vakio, jolloin eli jos 2π 2π Siten diskreettiaikainen signaali on jaksollinen vain, jos sen taajuus voidaan ilmaista kahden kokonaisluvun suhteena (siis on rationaaliluku). (c) Antti Kosonen

22 Perusjakson selvittämiseksi :stä on supistettava yhteiset tekijät. Esimerkiksi, jos , mutta Diskreettiaikaiset sinisignaalit, joiden taajuuksien ero on 2π:n monikerta, ovat samoja Todistus Tarkastellaan signaalia cos : cos 2π cos 2π cos Siten siis kaikki sinimuotoiset sekvenssit cos, 0, 1, 2, 2π, π π ovat yhtäsuuria. Toisaalta kaksi eritaajuista sekvenssiä väliltä π πtai ovat eri sekvenssejä Sinisignaalilla, jonka πtai 1 2, on ekvivalenttinen signaali, jonka π. Signaalia πnimitetään vastaavan signaalin π laskostumaksi (eng. alias). (c) Antti Kosonen

23 3. Diskreettiaikaisen sinisignaalin suurin värähtelytaajuus saadaan, kun π(tai π) tai vastaavasti (tai ). Seuraa ominaisuudesta 2 Matlab esimerkki (c) Antti Kosonen

24 Diskreettiaikaisten signaalien ominaisuudet demonstraatio % jaksollisuus.m % % Demonstroi diskreettien sinisignaalien ominaisuuksia: % % - laskostuminen % - maksimitaajuus % - laskostuminen % Nmax = 40; n = 0:Nmax; f = [0 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 3/4 7/8 15/16 31/32 1]; Nf = length(f); for i = 1:Nf x = cos(2*pi*f(i)*n); stem(n,x) title(['\itf\rm_0 = ' num2str(f(i))]); axis([0 Nmax ]); grid on pause end (c) Antti Kosonen

25 Harmonisessa suhteessa toisiinsa olevat kompleksiset eksponenttifunktiot Joukko jaksollisia kompleksisia eksponenttisignaaleja, jotka ovat yksittäisen positiivisen taajuuden monikertoja Jatkuva aikaiset harmoniset eksponenttisignaalit, 0, 1, 2, Jaksollisen signaalin ominaistaajuus on Jaksonpituus on 1 Kaikilla :n kokonaislukuarvoilla saatavat signaalit voidaan erottaa toisistaan, eli jos, niin Peruseksponenttisignaaleista voidaan muodostaa lineaarikombinaatio missä, 0,1,2, ovat kompleksisia vakioita (c) Antti Kosonen

26 Signaalin perusjakso on 1 Edellä ollutta summalauseketta kutsutaan :n Fourier sarjaksi Vastaavat harmoniset eksponenttisignaalit voidaan muodostaa diskreettiaikaisille eksponenttisignaaleille Koska diskreettiaikainen kompleksinen eksponenttisignaali on jaksollinen, jos sen taajuus on rationaaliluku, valitaan 1 Toisaalta, 0, 1, 2, Siten onkin olemassa vain kappaletta toisistaan erotettavissa olevaa jaksollista kompleksista eksponenttisignaalia, 0,1,2,,1 (c) Antti Kosonen

27 Lineaarikombinaatio on jaksollinen funktio, jonka perusjakso on Tämä on jaksollisen diskreettiaikaisen signaalin Fourier sarja (c) Antti Kosonen

28 A/D ja D/A muunnokset A/D muunnos voidaan jakaa kolmeen vaiheeseen 1. Näytteenotto:, missä on näytteenottoväli 2. Kvantisointi: Kvantisointivirhe: 3. Koodaus: bittinen binääriluku ), K K E N = J O JJA A JJ N L = JEI E JE N = K I ) = C E A I EC = = E, EI HA A JJE= E = E A I EC = = E L = JEI EJK I EC = = E, EC EJ= = E A I EC = = E Kuva. A/D muuntimen perusosat. (c) Antti Kosonen

29 D/A muunnosta ei tarvita kaikissa sovelluksissa D/A muunnos yhdistää diskreettiaikaisen signaalin pisteet jatkuva aikaiseksi käyttäen jonkinlaista interpolointia Nollannen asteen pitopiiri on yksinkertaisin (eng. zero order hold) Lineaarinen interpolaattori on toinen vaihtoehto ) F E 6 " 6 $ 6 & 6 ) E = Kuva. Nollannen asteen pitopiiri (D/A muunnos), missä alkuperäinen signaali on katkoviivalla ja porrasapproksimaatio yhtenäisellä viivalla. (c) Antti Kosonen

30 Näytteenotto Jaksollinen näytteenotto,, missä on näytteenottoväli 1 on näytteenottotaajuus [Hz] Jatkuva aikaisen signaalin aikamuuttujan ja diskreettiaikaisen signaalin aikaindeksin välillä on yhteys O JJA A JJ ) = C E A I EC = = E N = J N = J. I 6 N N N = 6 N = J, EI HA A JJE= E = E A I EC = = E N N = 6 J! " # $ % & ' 6 6 # 6 ' 6 J 6 Kuva. Analogisen signaalin jaksollinen näytteistys. (c) Antti Kosonen

31 Mikä on taajuusmuuttujien (tai Ω) ja (tai ) välinen riippuvuussuhde cos 2π Θ cos 2π cos 2π Toisaalta cos 2π. Siten 2π 2π 2πΩ Ω Edeltä muistetaan taajuusalueet (c) Antti Kosonen

32 Ω ππ Kun nyt tunnetaan yhteydet ja Ωsaadaan diskreettiaikaisen signaalin taajuusrajoituksista rajoitukset näytteenottotaajuudella näytteitettävälle analogiasignaalille tai 2 2 π Ωπ näytteenottoteoreema (c) Antti Kosonen

33 Näytteenottoteoreema Jos analogiasignaalin sisältämä suurin taajuus on ja signaalista otetaan näytteitä taajuudella 2 2, niin voidaan rekonstruoida tarkasti näytearvoistaan, kun käytetään interpolointifunktiota sin 2π sinc 2 2π Matlab esimerkki interpolointifunktiosta: % Interpolointifunktio % t = -5:1e-3:5; B = 1; g = sinc(2*b.*t); figure plot(t,g); title('interpolointifunktio') grid on (c) Antti Kosonen

34 Näytteenottoteoreema jatkuu Näytteenottoteoreeman perusteella rekonstruoitu signaali voidaan ilmaista muodossa N = J O JA N = JI J= missä Jos näytteenottotaajuus on minimiarvo 2 sin 2π 2 2 2π Kuva. Ideaalinen D/Amuunnos (interpolointi). Tällainen rekonstruointi on ideaalinen, mutta vaadittu näytteiden ääretön määrä tekee käytännön toteuttamisen mahdottomaksi J Näytteenottotaajuutta 22 kutsutaan Nyquist taajuudeksi (c) Antti Kosonen

35 Näytteenotto esimerkki Esimerkki Analogiasignaalin kuvaa funktio 3cos 50π 10 sin 300π cos 100π Mikä on signaalin Nyquist taajuus? (c) Antti Kosonen

36 Näytteenotto ratkaisu Ratkaisu Signaali sisältää taajuudet 25 Hz, 150 Hz, 50 Hz Siten 150 Hz ja Nyquist taajuus 2. Siten 300 Hz Huomaa, jos 300 Hz, niin 3cos 50π 300π 100π 10sin cos valitaan 300 Hz 3cos π 10sin π 6 cos π 3 (c) Antti Kosonen

37 Laskostuminen Mitä tapahtuu analogiasignaalin taajuuksille 2 ne laskostuvat taajuusalueelle 2 Olkoon cos 2π Θ, jota näytteistetään taajuudella 1 cos 2π missä (olkoon 2 2) Tarkastellaan sitten signaaleja, joiden taajuus on, 1,2, cos 2π Θ (c) Antti Kosonen

38 Näytteistettävä signaali on siten cos 2π cos 2π 2π cos 2π Taajuudet ( 2) näyttävät samalta kuin taajuus (c) Antti Kosonen

39 B M F. I. I. I. I. F 1 Kuva. Yhteys jatkuva ja diskreettiaikaisten signaalien taajuusmuuttujien välillä jaksollisessa näytteenotossa. Amplitudi Aika [s] Kuva. Laskostumisen havainnollistaminen. (c) Antti Kosonen

40 Laskostuminen esimerkki Esimerkki Tarkastellaan analogista signaalia 3cos 2000π 5 sin 6000π 10 cos 12000π a) Mikä on signaalin Nyquist taajuus? b) Signaalista otetaan näytteitä näytteenottotaajuudella 5000 Hz. Mitä taajuuksia saatava diskreettiaikainen signaali sisältää? Jos tapahtuu laskostumista, miltä taajuuksilta laskostuvat taajuudet näyttävät? c) Mikä analoginen signaali saadaan signaalista, jos käytettävissä on ideaalinen interpolaattori? Ratkaisu Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen

41 Laskostuminen esimerkki Esimerkki Eräästä signaalista tiedetään, että sen sisältämä energia on kokonaan taajuuksien 90 MHzja 100 MHz välissä. Signaalista muodostetaan näytteenotolla digitaalinen signaali. Mikä on tarvittava miniminäytteistystaajuus? Ratkaisu Signaalin taajuuskaista 10MHz. Koska alkuperäinen taajuuskaista on tunnettu, eikä signaali sisällä muita taajuuksia, voidaan käyttää näytteenottotaajuutta 2, koska tällöin kaikki signaalin taajuuskomponentit laskostuvat taajuusalueelle 0 2. Siten, 20 MHz. (c) Antti Kosonen

42 Kvantisointi Kvantisointivirhe signaalin kvantisointi hävittää informaatiota Pyöristyksessä missä Δ 2 Δ 2 Δ 1 missä on kvantisointitasojen lukumäärä :n kasvattaminen pienentää kvantisointiporrasta Δ kvantisointivirhe pienenee ja tarkkuus kasvaa Analogisten signaalien kvantisointi hävittää aina informaatiota Kvantisointivirheen suuruutta voidaan kuvata signaali kvantisointikohinasuhteen (eng. signal to quantization noise ratio, SQNR) avulla (c) Antti Kosonen

43 Esim. diskreettiaikainen signaali: 0,9, 0 0, 0 saadaan ottamalla näytteitä analogisesta eksponenttisignaalista 0,9, 0 taajuudella 1 Hz & $ " N ' N = J ' J L = JE I E JE = K A & $ " N = J ' J N G, L = JEI E JE J= I L = JEI E JE = I A! " # $ % & 6 Kuva. Näytteitä analogisesta signaalista.! " # $ % & 6 Kuva. Kvantisoidut näytteet analogisesta signaalista pyöristämällä. (c) Antti Kosonen

44 Sinimuotoiselle signaalille voidaan johtaa desibeleinä SQNR SQNR db 10 log SQNR 3 10log 2 2 1,766,02 Sananpituuden kasvattaminen yhdellä bitillä kasvattaa signaalikvantisointikohinasuhdetta siis noin 6 db Esim. CD: 16 bittiä 96 db ) F E ",!,,,,,!, ", ) F EI HA J E JE L = JEI EJK O JA N G 6 ) E EI HA J E JE L = JEI E = J O JA N = 6 ) K F A H E A = = C E= I EC = = E N = J, ) K K JE A D J 0 N G J 6 6! 6 " 6 # 6 $ 6 % 6 & 6 ' 6 ) E = Kuva. Sinimuotoisen signaalin näytteenotto ja kvantisointi. J, L = JEI E JE = I A L = JEI E JE = K A L = JEI E JE J= I (c) Antti Kosonen

45 Kvantisointisoitujen tasojen koodaminen Koodauksessa kukin kvantisointitaso kuvataan omalla binääriluvulla Jos kvantisointitasoja on kappaletta, tarvitaan vähintään eri binäärilukua Sananpituudella bittiä voidaan kuvata 2 eri binäärilukua Siten on oltava 2, joten tarvitaan vähintään log bittiä (c) Antti Kosonen

46 Näytteistys esimerkki Esimerkki PCM (eng. pulse code modulation) äänen välitykseen on käytössä kanava, missä bps. Etsi sopivat arvot kvantisoinnissa käytettävälle bittimäärälle, kvantisointitasoille ja näytteistystaajuudelle oletuksella 3,2 khz. (c) Antti Kosonen

47 Näytteistys ratkaisu Ratkaisu Kavavalle bps, Hz joten b s s 5,6 5 ja , 7,2kHz CD standardi: 16, 44,1 khz 705,6 kbps kaksi kanavaa (stereo) 2 1,4112 Mbps 20 log 2 96 db(dynaaminen alue) Lisäksi virheenkorjausinformaatio yms. (c) Antti Kosonen