A B = 100, A = B = 0. D = 1.2. Ce (1.2 D. C (t D) 0, t < 0. t D. )} = Ae πjf D F{Π( t D )} = ADe πjf D sinc(df)

Transkriptio

1 ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät Syksy 5 Tehtävä 3. a) Suoran tapauksessa ratkaistaan kaksi tuntematonta termiä, A ja B, joten tarvitaan kaksi pistettä, jotka ovat pisteet t = ja t =.. Saadaan yhtälöpari A + B = jolla on ratkaisu A. + B =, A = B =. Laskevan eksponentin tapauksessa luetaan τ:n arvo kuvaajasta τ = = 6.55 Kuvaajasta voidaan lukea myös laskevan exponentin myöhäistys D =. Meillä on tuntematon ja piste t =. joten saamme yhtälön Ce (. D τ = jolla on ratkaisu C = At, t [,.] u A (t) = Ce (t D) τ, t >., t < b) Lasketaan u A (t):n derivaatta. u A(t) = A, t [,.] τ, t >., t < C (t D) τ e Jaetaan derivaatan Fouriermuunnoksen laskeminen kahteen osaan; neliöpulssiin q (t), sekä alkelfunktion ja laskevan exponentin tuloon q (t). Q (f) = F{AΠ( t D D )} = AF{Π(t D D )} = Ae πjf D F{Π( t D )} = ADe πjf D sinc(df) u A (t):n Fouriermuunnos saadaan siis Q (f) = F{ C τ t D e τ u H (t D)} = C τ e πjfd F{e t τ uh (t)} = C τ e πjfd τ + πjfτ = Ce πjfd + πjfτ F{u A(t)} = ADe πjfd sinc(df) Ce πjfd + πjfτ

2 ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät Syksy 5 Sovelletaan tulokseen derivaatan Fourier -muunnosta F{u A(t)} = πjff{u A (t)} U A (f) = F{u A (t)} = F{u A (t)} πjf = ADe πjfd sinc(df) Ce πjfd +πjfτ πjf c) Koska aika on skaalattu E-6, niin tajuus on skaalattu E6. Sijoitetaan siis Fourier muunnokseen f = [MHz] ja otetaan itseisarvo. U A () =.797 MV d) Integroidaan energia E = = = i(.) u(.) = i(.) u(.) [ P (t)dt u A (t) R dt. = i(.) u(.) [A S = i(.) u(.) [A S 3 u A(t)dt A St dt +.. / t dt + A E t 3 A E τ A Ee t B E τ dt].. /. = i(.) u(.) [A S 3 (.)3 A E τ ( )] = kwh e t B E τ dt] e t B E τ ] Tehtävä 3. F{s(t)} = F{ A m e am(t τm) } = F{A m e am(t τm) } = A m F{e am(t τm) } = A m e πjfτ F{e amt } = π A m e πjfτ e π f am a m Laskussa käytettiin hyäksi Fourier -muunnoksen lineaarisuutta, aikasiirretyn funktion Fourier -muunnosta sekä Gaussin pulssin Fourier -muunnosta, ks.

3 ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät Syksy 5 Tehtävä 3.3 a) Ratkaistaan pulssin s (t) Fourier muunnos. S (f) = F{s (t)} = F{Π( t )} = sinc(f) Pulssin energiaspektri, on sen fouriermuunnoksen normin neliö S XX (f) = S (f) = sinc (f) b) Ratkaistaan pulssin s (t) Fourier muunnos. S (f) = = = = = = = 4πif = 4πif + cos(πt) Π( t )e πift dt [ + cos(πt)]e πift dt e πift dt + e πift dt + 4 e πift dt + 4 e πift dt + 4 / / = eπif e πif 4πif [e πift ] + 4 [e πift ] + 4 = e πif e πif πf i = sin(πf) πf = sin(πf) + πf 4 / cos(πt)e πift dt (e πit + e πit )e πift dt e πit e πift + e πit e πift dt e πi( f)t + e πi( f)t dt [ eπi( f)t πi( f) + eπi( f)t πi( f) ] / [ eπi( f)t πi( f) ] + 4 / [ eπi( f)t πi( f) ] + f) e πi( f) 4 [eπi( ] + e πi( f) e πi( f) πi( f) 4 πi( f) + + sin[π( f)] π( f) [eπi( f) e πi( f) π( f) i + sin[π( f)] π( f) sin[π( f)] π( f) + 4 sin[π( + f)] π( + f) = sinc(f) + 4 sinc( f) + 4 sinc( + f) ] + e πi( f) e πi( f) π( f) i Pulssin energiaspektri on sen fouriermuunnoksen normin neliö S XX (f) = S (f) = [ sinc(f) + 4 sinc( f) + 4 sinc( + f)] c) Signaalin s (t) puolen tehon kaistanleveydelle HPBW pätee Tulos saatu seuraavalla octave -koodilla S XX (HPBW ) max{s XX (f)} = S XX(f) = HPBW Hz

4 ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät Syksy 5 f = linspace(, 5, ); S_XX = sinc(f).^ ; da = ; f_b = ; for n = :size(f)() if (abs(s_xx(n) -.5) < da) da = abs(s_xx(n) -.5); f_b = f(n); endif endfor f_b d) Signaalin s (t) puolen tehon kaistanleveydelle HPBW pätee Tulos saatu seuraavalla octave -koodilla S XX (HPBW ) max{s XX (f)} = S XX(HPBW ) max{s XX ()} = HPBW.33 Hz f = linspace(, 5, ); S_XX = (.5.* sinc(f).+.5.* sinc(.5.- f).+.5.* sinc(.5.+ f)).^ ; da = ; f_b = ; for n = :size(f)() if (abs(s_xx(n) -.5*S_XX()) < da) da = abs(s_xx(n) -.5); f_b = f(n); endif endfor f_b e) Koska pulssin s (t) puolentehon kaistanleveys on pienempi, se häiritsee vähemmän viereisiä kaistoja.

5 ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät Syksy 5 Tehtävä 3.4 a) Ratkaistaan signaalin s(t) komponenttien amplitudit. Komponenttien tehot saadaan kaavalla ja jännitteet kaavalla P = p [W] U = P Z = P 75Ω. b) Taulukosta luetaan A C = mv ja f C = 45 Hz. Taajuus [khz] Suhteellinen teho [dbm] Amplitudi [mv] c+d) Koska spektrissä nähdään 5 eri taajuutta signaali s(t) täytyy olla kahden kosiniaallon summa. s(t) = A cos(πf A t) + B cos(πf B t) Tällöin moduloitu signaali s AM = [ + ma cos(ω A t) + mb cos(ω B t)]c cos(ω C t) = C cos(ω C t) + mac cos(ω A t) cos(ω C t) + mbc cos(ω B t) cos(ω C t) = C cos(ω C t) + mac = mac cos((ω C ω A )t) + mbc Olettaen, että f A > f B voidaan tuloksesta lukea arvot [cos((ω A + ω C )t) + cos((ω A ω C )t)] + mbc [cos((ω B + ω C )t) + cos((ω B ω C )t)] cos((ω C ω B )t) + C cos(ω C t) + mbc A = mv =.3773 mv mc B = mv = mv mc cos((ω C + ω B )t) + mac cos((ω C + ω A )t) C = mv f A = 5 khz f B = khz f C = 45 khz

6 ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät Syksy 5 Tehtävä 3.5 a) A = 4 V f = 5 khz φ = s(t) s BSD (t) b) A = V f = khz φ = A = V f = khz φ = A = 66 V f = khz φ = s(t) + Summain s AM (t) c) A = 77 V f = 56 MHz φ = s (t) Summain s QAM (t) s (t) A = 77 V f = 56 MHz φ = π