Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi
|
|
- Anna-Leena Parviainen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi Työ D102: Sinimuotoisen signaalin suodattaminen 0.4 op. Julius Luukko Lappeenrannan teknillinen yliopisto Sähkötekniikan osasto/säätötekniikan laboratorio
2 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Työn sisältö 1 3 Työn tausta FIR-suodattimet FIR-suodatinten taajuusvaste Harjoitustyön osat Lämmittelyosa Harjoitusosa Ensimmäinen differenssi -suodatin Suodattimen lineaarisuus Suodattimen aikainvarianssi Kahden järjestelmän kaskadi Tämä versio: 5. toukokuuta 2006 kello 9:01 i
3 1 Johdanto Työssä tarkastellaan LTI-järjestelmien ominaisuuksia ja FIR-suodatinten toimintaa. Työssä tarvittavat teoreettiset perusteet löytyvät oppikirjan [1] luvuista 2-4. Työn laajuus on 0.4 opintopistettä. Tämä työohje löytyy html-muodossa osoitteesta sekä pdf-muodossa osoitteesta D102/D102.pdf. 2 Työn sisältö Työ jakaantuu kahteen osaan, lämmittelyyn ja harjoitusosaan. Lämmittelyosan tarkoituksena on kerrata Matlabin perusominaisuuksia. Harjoitusosassa tarkastellaan signaalien esittämistä Matlabilla. Lämmittelyosa suoritetaan hyväksymismenettelyllä ja harjoitusosasta palautetaan raportti, joka arvostellaan. Lämmittelyosan suorittamisen varmistamiseksi ohjaaja täyttää tämän ohjeen liitteenä olevan varmistuslomakkeen. Varmistuslomake liitetään harjoitusosan raporttiin. 3 Työn tausta 3.1 FIR-suodattimet FIR-suodatin on diskreettiaikainen järjestelmä, joka voidaan kuvata differenssiyhtälöllä M 1 y(n) = b k x(n k) (3.1) k=0 Yhtälö 3.1 kertoo, miten lasketaan ulostulon y n:s arvo y(n) tietystä joukosta sisäänmenon arvoja. Suodattimen kertoimet {b k } ovat vakioita, jotka määräävät suodattimen toiminnan. Tarkastellaan esimerkiksi järjestelmää, jonka ulostulo on y(n) = 1 3 x(n) x(n 1) + 1 x(n 2) 3 = 1 (3.2) 3 [x(n) + x(n 1) + x(n 2)] Yhtälön mukaan ulostulon n:s arvo on keskiarvo sisäänmenon n:nnestä arvosta x(n) ja kahta sitä edeltävästä arvosta x(n 1) ja x(n 2). Tässä esimerkissä siis kertoimet b k ovat b 0 = 1/3, b 1 = 1/3 ja b 2 = 1/3. Matlabissa on sisäänrakennettu funktio (ei siis osa Signal Processing Toolboxia) filter, jolla voidaan laskea suodattimen ulostulo. filter toimii myös IIR- Tämä versio: 5. toukokuuta 2006 kello 9:01 1
4 tyyppisille suodattimille, ts. järjestelmille, jotka voidaan kuvata differenssiyhtälöllä N 1 M 1 a k y(n k) = b k x(n k). (3.3) k=0 Funktiota filter käytetään seuraavasti y = filter(b,a,x); k=0 missä b on kertoimet {b k } ja a kertoimet {a k } sisältävä rivivektori. FIR-suodatin on erikoistapaus yleisestä differenssiyhtälöstä siten, että kertoimet {a k } = 1. Matlabilla FIR-suodattimen ulostulo lasketaan siksi seuraavasti y = filter(b,1,x); FIR-suodattimen ulostulo voidaan laskea myös kahden sekvenssin konvoluution laskevalla funktiolla conv. Tähän palataan lämmittelyosassa. 3.2 FIR-suodatinten taajuusvaste Suodattimen ulostulo eli vaste kompleksisella eksponenttifunktioherätteellä e jωn riippuu taajuudesta ω. Usein suodattimen ominaisuuksia kuvataan juuri siten, miten se vaikuttaa eri taajuuksisiin signaaleihin. Tätä kuvataan taajuusvasteella. Otetaan esimerkiksi 2:n pisteen liukuvankeskiarvon suodatin, jonka differenssiyhtälö on y(n) = 1 2 x(n) + 1 x(n 1). (3.4) 2 Suodattimen taajuusvaste saadaan selville, kun suodattimeen syötetään kompleksinen eksponenttifunktio yleisessä muodossa ja laskemalla ulostulo x(n) = Ae jωn+φ (3.5) y(n) = 1 2 Aejωn+φ Aejω(n 1)+φ = = Ae jωn+φ 1 2 ( 1 + e jω) (3.6) Ulostulon havaitaan muodostuvan kahdesta termistä, alkuperäisestä sisäänmenosta x(n) = Ae jωn+φ sekä termistä, joka on kulmataajuden ω funktio. Tämä toinen termi on suodattimen taajuusvaste ja sitä merkitään H(ω). Tässä esimerkin tapauksessa siis H(ω) = 1 2 ( 1 + e jω) (3.7) Kun taajuusvastefunktio on määritetty kulmataajuuden ω funktiona, suodattimen vaikutus minkä tahansa taajuiseen signaaliin voidaan määrittää laskemalla H(ω):n arvo vastaavalla taajuudella. Tulos on kompleksiluku, jonka kulma kompleksitasossa ilmaisee, kuinka suuren vaihesiirron suodatin aiheuttaa kyseisen taajuiselle signaalille. Kompleksiluvun pituus (amplitudi) ilmaisee suodattimen aiheuttaman vahvistuksen kyseisen taajuiselle signaalille. Tämä versio: 5. toukokuuta 2006 kello 9:01 2
5 Yleisessä tapauksessa taajuusvasteen määritelmä saaadaan tarkastelemalla yleistä LTI-järjestelmää y(n) = k= h(k)x(n k), (3.8) missä {h(k)} on järjestelmän yksikköimpulssivaste. Syötetään järjestelmään heräte x(n) = Ae jωn+φ ja lasketaan ulostulo y(n) = [ ] h(k) e jω(n k) + φ k= ] (3.9) h(k)e jωk e jωn+φ = A [ k= Taas havaitaan, että vaste muodostuu alkuperäisestä herätteestä sekä termistä, joka on järjestelmän taajuusvastefunktio H(ω) = h(k)e jωk. (3.10) k= Kausaalisen FIR-suodattimen tapauksessa yhtälö supistuu muotoon H(ω) = M 1 h(k)e jωk. (3.11) k=0 Matlabin Signal Processing Toolboxissa on funktio freqz, joka piirtää LTI-järjestelmän taajuusvasteen suoraan kertoimien {a k }, {b k } perusteella. Piirretään esimerkkinä edellä olleen 2:n pisteen liukuvan keskiarvon suodattimen taajuusvaste kulmataajuusvälillä π ω π: b = [1/2 1/2]; w = -pi:(pi/100):pi; H = freqz(b,1,w); plot(w, abs(h)) FIR-suodattimilla freqz:n toinen parametri on aina 1 vastaavalla tavalla kuin filter-funktion kanssa. 4 Harjoitustyön osat 4.1 Lämmittelyosa Tässä osassa kerrataan taajuusvasteen käsitettä sekä taajuusvasteen piirtämistä Matlabilla. Edellä on esimerkkeinä käytetty liukuvan keskiarvon suodattimia, jotka siis laskevat ulostulon arvoksi sisäänmenon nykyisen arvon ja tietyn määrän edellisiä arvoja keskiarvon. Tällaisen suodattimen kertoimet {b k } ovat aina yhtä Tämä versio: 5. toukokuuta 2006 kello 9:01 3
6 suuria. Yleisessä muodossa tällaisen suodattimen differenssiyhtälö on muotoa y(n) = 1 L L 1 x(n k). (4.1) k=0 1. Osoita, että kolmen pisteen liukuvan keskiarvon suodattimen taajuusvaste on H(ω) = 2 cos ω + 1 e jω (4.2) 3 2. Laske yhtälön 4.2 arvo suoraan Matlabilla. Käytä taajuutena vektoria, joka sisältää 401 pistettä väliltä π... π. (a) Piirrä taajuusvasteen kuvaaja käyttämällä funktiota plot. Erota amplitudi ja vaihe funktioilla abs ja angle. (b) Piirrä taajuusvaste funktiolla freqz kirjoittamalla suoraan freqz(b,1). (c) Miten voit itse piirtää funktiolla plot samanlaisen kuvaajan kuin saat funktiolla freqz, mutta suomenkielisillä teksteillä? 3. Mikä on suodattimen vaimennus taajuudella π/3. Katso ensin kuvaajasta ja laske sitten sekä suoraan yhtälöä 4.2 käyttäen että Matlabin funktiolla freqz. 4. Osoita, että FIR-suodattimen ulostulo voidaan laskea konvoluutiolla y(n) = h(n) x(n) (4.3) Miksi IIR-suodattimen ulostuloa ei käytännössä voi laskea konvoluutiolla? 5. Luo kosinisignaalin sisältävä vektori seuraavasti n = 0:99; x = cos( 0.08*pi*n); b = 1/3*ones(1,3); Suodata x vektoriin yf funktiolla filter ja vektoriin yc funktiolla conv. Ovatko yf ja yc yhtä pitkiä. Jos eivät, niin miksi eivät? 4.2 Harjoitusosa Harjoitusosassa tutustutaan siihen, miten suodattimet vaikuttavat sinimuotoisiin (tai kosini-) sisäänmenoihin. Tavoitteena on ymmärtää seuraavat asiat: 1. Yhtälön 3.1 muotoiset suodattimet voivat muuttaa sinisignaalin amplitudia ja vaihetta, mutta eivät taajuutta. 2. Suodatin käsittelee siniaaltojen summan kutakin komponenttia toisista komponenteista riippumatta. 3. Suodattimet voivat kokonaan poistaa tietyn taajuisia siniaaltoja. Tämä versio: 5. toukokuuta 2006 kello 9:01 4
7 4.2.1 Ensimmäinen differenssi -suodatin Seuraavassa tarkastellaan diskreettiaikaisia sinisignaaleita, jotka ovat muotoa x(n) = A cos (ωn + φ), n = 0, 1,..., L 1 (4.4) Signaalin diskreetti kulmataajuus ω on aina välillä 0 ω π. Jos signaali saadaan aikaan näytteistämällä jatkuva-aikaista signaalia, on diskreettiaikaisen ja jatkuva-aikaisen signaalin taajuuksien välillä yhteys ω = 2πF F s (4.5) missä F on jatkuva-aikaisen signaalin taajuus ja F s näytteenottotaajuus. Luo 50 näytettä pitkä kosiniaalto yhtälön 4.4 mukaisesti arvoilla A = 7, φ = π/3 ja ω = 0.125π. Talleta signaali vektoriin x, jotta sitä voidaan käyttää jatkossa. Käytä funktiota conv seuraavalla differenssiyhtälöllä ilmaistun suodattimen toteuttamiseen y(n) = 5x(n) 5x(n 1). (4.6) Tällainen suodatin on nimeltään ensimmäinen differenssi, mutta tässä vahvistuksella Suodata x vektoriin y. Mikä on suodatetun sekvenssin pituus? Miksi? 2. Piirrä ensimmäiset 50 näytettä molemmista signaaleista samaan kuvaan komennon subplot avulla. Käytä varsinaiseen piirtämiseen funktiota stem funktion plot sijasta. Piirrä sekvenssit siten, että x-akselilla on arvot 0 x Piirrä toiseen kuvaan samalla tavalla signaalien kuvaajat funktiolla plot. 4. Havainnoi kuvista, että jos ensimmäinen näyte jätetään huomiotta, suodatettu sekvenssi y näyttäisi olevan skaalattu ja vaihesiirretty versio suodattimen sisäänmenosekvenssistä x. Selitä, miksi ensimmäinen näyte poikkeaa. 5. Selvitä kuvan ja Matlabin funktion max avulla, mikä on sekvenssien x ja y amplitudi ja diskreetti taajuus. 6. Selvitä sekvenssien välinen vaihe-ero. Onko vaihe-ero negatiivinen vai positiivinen? Vihje: Etsi kaksi toisiaan vastaavaa näytettä ja laske niiden vaiheero ensin näytteissä. Laske sitten sama kulmana asteina tai radiaaneina. 7. Luonnehdi suodattimen toimintaa taajuudella ω = 0.125π laskemalla ulostulon suhteellinen amplitudi (ulostulon amplitudin suhde sisäänmenon amplitudiin) ja kertomalla sen aiheuttama vaihe-ero ko. taajuudella (selvitettiin jo edellä). 8. Johda suodattimen vahvistuksen ja vaihe-eron lausekkeet teoreettisesti. Laske vahvistuksen ja vaihe-eron arvot taajuudella ω = 0.125π ja vertaa niitä edellä selvittämiisi tuloksiin. Jos tulokset poikkeavat, selitä miksi. Tämä versio: 5. toukokuuta 2006 kello 9:01 5
8 4.2.2 Suodattimen lineaarisuus 1. Kerro edellä luomasi vektori x kahdella ja talleta tulos vektoriin xa, siis xa=2*x. Suodata signaali vektoriin ya samalla suodattimella kuin edellä. 2. Luo uusi sisäänmenosignaali, joka vastaa diskreettiaikaista signaalia x b (n) = 8 cos (0.25πn) (4.7) Talleta tulos vektoriin xb. Suodata signaali convilla vektoriin yb. Toista edellisen kohdan numerot 5 ja 6 xb:lle ja yb:lle. 3. Muodosta vielä yksi sisäänmenosignaali xc, joka on xa:n ja xb:n summa. Suodata signaali convilla vektoriin yc. Vertaa yc:tä summaan ya+yb. Havaitsetko mitään eroa? Selitä mahdollisesti havaitsemasi ero. Voitko olettaa suodattimen olevan lineaarinen havaintojesi perusteella? Suodattimen aikainvarianssi Viivästä signaali x kolmella näytteellä eli luo vektori xs, joka vastaa signaalia x s (n) = 7 cos (0.125π(n 3) + π/3). (4.8) Suodata signaali vektoriin ys. Vertaa ys:ää ja y:tä. Kuinka monta näytettä y:tä on viivästettävä, jotta y ja ys ovat yhtenevät? (jätä ensimmäinen ja viimeinen näyte huomiotta) Onko suodatin tällä perusteella aikainvariantti? Kahden järjestelmän kaskadi Monimutkaisempia järjestelmiä kootaan usein yksinkertaisista osista. Otetaan esimerkiksi järjestelmä, jossa epälineaarinen järjestelmä (toiseen potenssiin korotus) on kytketty kaskadiin FIR-suodattimen kanssa. x(n) w(n) = (x(n)) 2 y(n) ( ) 2 FIR Kuva 1: Järjestelmä, jossa epälineaarinen järjestelmä on kaskadissa FIR-suodattimen kanssa. 1. Järjestelmää kuvaa kaksi yhtälöä: w(n) = [x(n)] 2 (4.9) y(n) = w(n) w(n 1) (4.10) Toteuta tämä järjestelmä Matlabilla. Käytä sisäänmenona vektoria x. 2. Piirrä vektorit x, w ja y samaan kuvaan (subplot). Tämä versio: 5. toukokuuta 2006 kello 9:01 6
9 3. Mitä taajuuksia signaalit sisältävät? Tee päätelmiä järjestelmän eri osien lineaarisuudesta. Onko koko järjestelmä lineaarinen vai epälineaarinen? 4. Selitä lineaarisuusominaisuuden perusteella, mitä tapahtuu signaalille w FIR-suodattimessa. Vihje: Tarkastele, miten eri taajuuskomponentit menevät suodattimen läpi. 5. Korvaa FIR-suodatin toisen kertaluvun FIR-suodattimella, jonka differenssiyhtälö on y 2 (n) = w(n) 2 cos(0.25π)w(n 1) + w(n 2) (4.11) Muodosta x:n neliö ja suodata. Mitä taajuuksia y2 sisältää? Selitä, miksi suodatin suodattaa taajuuden ω = 0.25π kokonaan pois. Vihje: Johda FIRsuodattimen ulostulon lauseke, kun sisäänmeno on e j0.25πn yhtälöiden 3.5 ja 3.6 tapaan. Viitteet [1] J. G. Proakis and D. G. Manolakis, Digital Signal Processing Principles, Algorithms, and Applications. Prentice-Hall, Inc., 3 ed., Tämä versio: 5. toukokuuta 2006 kello 9:01 7
10 Työ D102: Sinimuotoisen signaalin suodattaminen Ohjaajan varmistus lämmittelyosan suorittamisesta Liitä tämä sivu harjoitusosan raporttiin Ryhmän jäsenet: Ohjaaja täyttää seuraavat kohdat: (a) (b) (c) Päiväys: Ohjaaja:
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 24.4.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
LisätiedotDigitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006
Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento 4-7.4.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 5.5.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 18.3.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotKompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa
Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 30.1.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSäätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi
Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi Työ D104: Kuvien suodatus 0.9 op. Julius Luukko Lappeenrannan teknillinen yliopisto Sähkötekniikan osasto/säätötekniikan laboratorio Sisältö 1 Johdanto 1
LisätiedotMediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin
Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä
Lisätiedot1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen
Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?
LisätiedotDigitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely
Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn menetelmät,
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen
SGN-11 Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe 3.5.16 Heikki Huttunen Laskimen käyttö sallittu. Muiden materiaalien käyttö ei sallittu. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla 1-3 on. Sivuilla 4-5
LisätiedotIIR-suodattimissa ongelmat korostuvat, koska takaisinkytkennästä seuraa virheiden kertautuminen ja joissakin tapauksissa myös vahvistuminen.
TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen)..5 Välikoe, ratkaisut Millaisia ongelmia kvantisointi aiheuttaa signaalinkäsittelyssä? Miksi ongelmat korostuvat IIR-suodatinten tapauksessa? Tarkastellaan Hz taajuista
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 6.3.006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja
LisätiedotT SKJ - TERMEJÄ
T-61140 SKJ - termit Sivu 1 / 7 T-61140 SKJ - TERMEJÄ Nimi Opnro Email Signaalinkäsittelyyn liittyviä termejä ja selityksiä Kevät 2005 Täytä lomaketta kevään aikana ja kerää mahdollisesti puuttuvia termejä
LisätiedotDigitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu
Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti..005 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja sen
LisätiedotTL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 2 (ver 1.0) Jyrki Laitinen
TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 2 (ver 1.0) Jyrki Laitinen TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op), K2005 1 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab-ohjelmistoa käyttäen. Kokoa erilliseen
LisätiedotSGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen
SGN- Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe.5.4 Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla -3 on. Sivuilla 4-5 on. Sivulla
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
LisätiedotMitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn
Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Tieteenpäivät 2015, Työohje Sami Varjo Johdanto Digitaalinen signaalienkäsittely on tullut osaksi arkipäiväämme niin, ettemme yleensä edes huomaa sen olemassa
LisätiedotFYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET
FYSP105 / K3 R-SODATTIMET Työn tavoitteita tutustua R-suodattimien toimintaan oppia mitoittamaan tutkittava kytkentä laiterajoitusten mukaisesti kerrata oskilloskoopin käyttöä vaihtosähkömittauksissa Työssä
LisätiedotSignaalien tilastollinen mallinnus T-61.3040 (5 op) Syksy 2006 Harjoitustyö
Signaalien tilastollinen mallinnus T-61.3040 (5 op) Syksy 2006 Harjoitustyö Harjoitustyön sekä kurssin suorittaminen Kurssin suorittaminen edellyttää sekä tentin että harjoitustyön hyväksyttyä suoritusta.
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
LisätiedotTrigonometriset funktiot
Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
LisätiedotAlipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi
Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi Usein suodinsuunnittelussa on lähtökohtana alipäästösuodin (LPF), josta voidaan yksinkertaisilla operaatioilla muodostaa ylipäästö- (HPF), kaistanpäästö-
Lisätiedot5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon
LisätiedotRYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN
ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ARVIOINNISSA Seppo Uosukainen, Jukka Tanttari, Heikki Isomoisio, Esa Nousiainen, Ville Veijanen, Virpi Hankaniemi VTT PL, 44 VTT etunimi.sukunimi@vtt.fi Wärtsilä Finland Oy
LisätiedotFYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto
FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva
Lisätiedot8000203: Johdatus signaalinkäsittelyyn 1
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietotekniikan osasto Signaalinkäsittelyn laitos TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Information Technology Institute of Signal Processing Opetusmoniste -23 Heikki
LisätiedotAki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO
Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...
LisätiedotDigitaalinen signaalinkäsittely Johdanto, näytteistys
Digitaalinen signaalinkäsittely Johdanto, näytteistys Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn
LisätiedotSignaalinkäsittelyn menetelmät
Signaalinkäsittelyn laitos. Opetusmoniste 25: Institute of Signal Processing. Lecture Notes 25: Heikki Huttunen Signaalinkäsittelyn menetelmät Tampere 25 Opetusmoniste 25: Signaalinkäsittelyn menetelmät
LisätiedotÖljysäiliö maan alla
Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn
LisätiedotSignaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotDiskreetti Fourier-muunnos ja sen hyödyntäminen signaalien spektrien muodostamisessa. Pentti Romppainen
Diskreetti Fourier-muunnos ja sen hyödyntäminen signaalien spektrien muodostamisessa Pentti Romppainen Kajaanin ammattikorkeakoulu Oy Kajaani University of Applied Sciences Diskreetti Fourier-muunnos ja
LisätiedotDynaamisten systeemien identifiointi 1/2
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion
Lisätiedot1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.
BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i
LisätiedotSinimuotoinen vaihtosähkö ja siihen liittyviä käsitteitä ja suureita. Sinimuotoisten suureiden esittäminen osoittimilla
LIITE I Vaihtosähkön perusteet Vaihtojännitteeksi kutsutaan jännitettä, jonka suunta vaihtelee. Vaihtojännite on valittuun suuntaan nähden vuorotellen positiivinen ja negatiivinen. Samalla tavalla määritellään
Lisätiedot1.4 Funktion jatkuvuus
1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,
LisätiedotZeon PDF Driver Trial
Matlab-harjoitus 2: Kuvaajien piirto, skriptit ja funktiot. Matlabohjelmoinnin perusteita Numeerinen integrointi trapezoidaalimenetelmällä voidaan tehdä komennolla trapz. Esimerkki: Vaimenevan eksponentiaalin
LisätiedotLaskuharjoitus 2 ( ): Tehtävien vastauksia
TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki Laskuharjoitus 2 (11.9.2013): Tehtävien vastauksia 1. Eräässä kuvitteellisessa radioverkossa yhdessä radiokanavassa voi olla menossa samanaikaisesti
LisätiedotMissä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot
Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi
LisätiedotJaksollisen signaalin spektri
Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotLABORATORIOTYÖ 3 VAIHELUKITTU VAHVISTIN
LABORATORIOTYÖ 3 VAIHELUKITTU VAHVISTIN Päivitetty: 23/01/2009 TP 3-1 3. VAIHELUKITTU VAHVISTIN Työn tavoitteet Työn tavoitteena on oppia vaihelukitun vahvistimen toimintaperiaate ja käyttömahdollisuudet
LisätiedotMitä on signaalien digitaalinen käsittely
Mitä on signaalien digitaalinen käsittely Signaalien digitaalinen analyysi: mitä sisältää, esim. mittaustulosten taajuusanalyysi synteesi: signaalien luominen, esim. PC:n äänikortti käsittely: oleellisen
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016) Tavoitteet (teoria): Hahmottaa aikasarjan klassiset komponentit ideaalisessa tilanteessa. Ymmärtää viivekuvauksen vaikutus trendiin. ARCH-prosessin
Lisätiedotplot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)
[] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä
LisätiedotSäätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002
Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA
Vaihtosähkö SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Sinimuotoiset suureet Tehollisarvo Sinimuotoinen vaihtosähkö & passiiviset piirikomponentit Käydään läpi, mistä sinimuotoiset jännite ja virta ovat peräisin. Näytetään,
LisätiedotKondensaattorin läpi kulkeva virta saadaan derivoimalla yhtälöä (2), jolloin saadaan. cos sin.
VAIHTOVIRTAPIIRI 1 Johdanto Vaihtovirtapiirien käsittely perustuu kolmen peruskomponentin, vastuksen (resistanssi R), kelan (induktanssi L) ja kondensaattorin (kapasitanssi C) toimintaan. Tarkastellaan
LisätiedotLuento 7. LTI-järjestelmät
Luento 7 Lineaaristen järjestelmien analyysi taajuustasossa Taajuusvaste Stabiilisuus..7 LTI-järjestelmät u(t) h(t) y(t) Tarkastellaan lineaarista aikainvarianttia järjestelmää n n m m d d d d yt () =
LisätiedotS Signaalit ja järjestelmät
dsfsdfs S-72.1110 Työ 2 Ryhmä 123: Tiina Teekkari EST 12345A Teemu Teekkari TLT 56789B Selostus laadittu 1.1.2007 Laboratoriotyön suoritusaika 31.12.2007 klo 08:15 11:00 Esiselostuksen laadintaohje Täytä
LisätiedotOhjelmistoradio tehtävät 4. P1: Ekvalisointi ja demodulaatio. OFDM-symbolien generoiminen
Ohjelmistoradio tehtävät 4 P: Ekvalisointi ja demodulaatio Tässä tehtävässä dekoodata OFDM data joka on sijotetty synknonontisignaalin lälkeen. Synkronointisignaali on sama kuin edellisessä laskutehtävässä.
LisätiedotRadioamatöörikurssi 2013
Radioamatöörikurssi 2013 Polyteknikkojen Radiokerho Radiotekniikka 21.11.2013 Tatu, OH2EAT 1 / 19 Vahvistimet Vahvistin ottaa signaalin sisään ja antaa sen ulos suurempitehoisena Tehovahvistus, db Jännitevahvistus
LisätiedotTEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Mat Systeemien Identifiointi. 4. harjoitus
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 4. harjoitus 1. a) Laske valkoisen kohinan spektraalitiheys. b) Tarkastellaan ARMA-prosessia C(q 1 )y = D(q 1 )e,
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotSinin muotoinen signaali
Sinin muotoinen signaali Pekka Rantala.. Sini syntyy tasaisesta pyörimisestä Sini-signaali syntyy vakio-nopeudella pyörivän osoittimen y-suuntaisesta projektiosta. y u û α positiivinen pyörimissuunta x
LisätiedotKevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä /
Kevään 0 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / 8.7.0 a) b) c) a) Tehtävä Yhtälö ratkaistaan yleensä Solve-funktiolla: Solve x 3 x, x x 4 Joissakin tapauksissa
LisätiedotRadioamatöörikurssi 2015
Radioamatöörikurssi 2015 Polyteknikkojen Radiokerho Radiotekniikka 5.11.2015 Tatu Peltola, OH2EAT 1 / 25 Vahvistimet Vahvistin ottaa signaalin sisään ja antaa sen ulos suurempitehoisena Tehovahvistus,
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 7
Kompleksianalyysi, viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Fourier-muunnoksesta Laplace-muunnokseen Tarkastellaan seuraavassa kausaalisia signaaleja eli signaaleja x(t), joille x(t) 0 kaikilla t
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Osoitin eli kompleksiluku: Trigonometrinen muoto
LisätiedotSÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät / systeemitekniikka Jan 019
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotDynamiikan hallinta Lähde: Zölzer. Digital audio signal processing. Wiley & Sons, 2008. Zölzer (ed.) DAFX Digital Audio Effects. Wiley & Sons, 2002.
Dynamiikan hallinta Lähde: Zölzer. Digital audio signal processing. Wiley & Sons, 2008. Zölzer (ed. DAFX Digital Audio Effects. Wiley & Sons, 2002. Sisältö:! Johdanto!! Ajallinen käyttäytyminen! oteutus!
Lisätiedot(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotTuntematon järjestelmä. Adaptiivinen suodatin
1 1 Vastaa lyhyesti seuraaviin a) Miksi signaaleja ylinäytteistetään AD- ja DA-muunnosten yhteydessä? b) Esittele lohkokaaviona adaptiiviseen suodatukseen perustuva tuntemattoman järjestelmän mallinnus.
LisätiedotVastekorjaus (ekvalisointi) Lähteet: Zölzer. Digital audio signal processing. Wiley & Sons. Zölzer (ed.) DAFX Digital Audio Effects. Wiley & Sons.
Vastekorjaus (ekvalisointi) Lähteet: Zölzer. Digital audio signal processing. Wiley & Sons. Zölzer (ed.) DAFX Digital Audio Effects. Wiley & Sons. Sisältö:! Johdanto! IIR vai FIR äänten suodattamiseen?!
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
Lisätiedotb) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotKondensaattorin läpi kulkeva virta saadaan derivoimalla yhtälöä (2), jolloin saadaan
VAIHTOVIRTAPIIRI 1 Johdanto Vaihtovirtapiirien käsittely perustuu kolmen peruskomponentin, vastuksen (resistanssi R), kelan (induktanssi L) ja kondensaattorin (kapasitanssi C) toimintaan. Tarkastellaan
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotSaSun VK1-tenttikysymyksiä 2019 Enso Ikonen, Älykkäät koneet ja järjestelmät (IMS),
SaSun VK1-tenttikysymyksiä 2019 Enso Ikonen, Älykkäät koneet ja järjestelmät (IMS), 5.2.2019 Tentin arvosteluperusteita: o Kurssin alku on osin kertausta SäAn ja prosessidynamiikkakursseista, jotka oletetaan
LisätiedotFYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa
FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva
LisätiedotMAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
Lisätiedot1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotTL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen
TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op), K2005 1 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab-ohjelmistoa käyttäen. Kokoa erilliseen
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotSignaalien digitaalinen käsittely
Signaalien digitaalinen käsittely Antti Kosonen Syksy 25 LUT Energia Sähkötekniikka Alkulause Luentomoniste pohjautuu kirjaan Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications, Proakis
Lisätiedot