Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Transkriptio

1 K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt ( + + ) + ( ) = = = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = = = Vastaus a) 4 + b) 4 + 1

2 K a) f ( ) = + 1 f () = + 1 = = 14 b) f( ) = + 4 f ( 1) = ( 1) + 4( 1) ( 1) = = 6 Vastaus a) f () = 14 b) f ( 1) = 6

3 K a) 1 ( a ( a (a+ 10))) = 1 ( a ( a a 10)) = 1 ( a a+ a+ 10) = 1 a 10 = a + b) (5 + ) + ( ) = 6+ + = 1+ + = 14 + Vastaus a) a + b) 14 +

4 K4 a) [ a ( a a)] { a [ a+ ( a a)]} = [ a ( a)] { a [ a+ 0]} = [ a+ a] { a+ a} = a a = 0 b) [( ) ( )] { [ ( + ) ]} = [ ( )] { [ ]} = [ + ] { [ ]} = 0 { + } = 4 Vastaus a) 0 b) 4

5 K5 a) 4 = = 6 6 ( 4) = 1 ( ) 1 = = = 0 : 5 = 6 b) = (+ 6) = 4 (1 ) 6= = = : ( 7) = 7 Vastaus a) = 6 b) = 7

6 K6 a) = = 6 = b) 4 = 4 = 4 = c) ( 4 ) = ( 4) = 1 = d) 4 ( ) = 4 ( ) = 8 =

7 K7 a) 4 ( ) = = b) ( ) = = c) 4 ( + 5 ) = 4 0 = d) ( 4 ) = 4 =

8 K8 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt ( + 1)(+ ) = = = b) + = + ( 1)( ) 1 1 = + 6 = + 6 c) ( )( + 5 ) = = = d) ( + )( + ) = ( + ) = + + =

9 K9 a) P = ( ) 5 ( 4 ) P = 5 ( 4) = 40 6 = = = 6 ( 1) 40 ( 1) b) P ( ) = ( + 1) ( + 1)( 4+ 5) P = 1 ( ) = = 6 5 ( 1) = 6 ( 1) ( 1) 5 = = Vastaus a) P ( ) = 40 6 b) P ( ) = 6 5 P( 1) = 40 P( 1) =

10 K10 ( 1)( 4) ( 1)( ) ( 4)( ) A= a+ a + + a+ a + a + a ( 1 4) ( 6 ) ( 4 8) = a + a+ a + + a a+ a + a a + a = a + a+ a + + a a+ a + a a + a = a + a + a Vastaus Särmiön kokonaispinta-ala A a a a =

11 K11 a) (+ ) = ( ) + + = b) ( 5) = + ( 5) + ( 5) = c) ( + 1) = ( ) + ( ) 1+ 1 = d) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = + 6 9

12 K1 a) ( 4) = ( ) + ( ) ( 4) + ( 4) = b) ( + ) = ( ) + + ( ) = c) = = + d) = =

13 K1 a) ( ) = + ( ) + ( ) + ( ) = b) ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) = c) ( ) + 1 = ( ) + ( ) =

14 K14 a) 6+ a = + ( ) + a = = = ( ), kun a ( ) 9 Voi myös päätellä toisin: 6 + a = ( ) + ( ) + a = + = = ( ), kun a 9 b) a = a = + = = ( 5), kun a 5 5 Voi myös päätellä toisin: a = ( ) + ( ) ( 5) + a ( 5), kun a ( 5) 5 = = = c) a 4 a + 49 = ( ) + + ( 7) 4 a = ( 7 ), kun = 7 eli a = 8 4 tai a 4 a + 49 = ( ) a = ( + 7 ), kun = 7 eli a = 8 4

15 Voi myös päätellä toisin: a 4 a + 49 = ( ) + ( ) a = ( + 7 ), kun = 7 eli a = 8 4 tai a 4 a + 49 = ( ) + ( ) + ( 7) 4 a = ( 7 ), kun = 7 eli a = a = a + a + 6 Oltava a > 0 a d) ( ) ( a 6) = + 1 = ( + 6 ), kun = 6 eli a = eli a = 4 a Voi myös päätellä toisin (a > 0): ( ) ( ) 1 a = a + a + ( 6) a 1 = ( 6 ), kun = 6 eli a = eli a = 4 a Vastaus a) Kun a = 9, saadaan b) Kun a = 5, saadaan c) Kun a = 8, saadaan Kun a = 8, saadaan d) Kun a = 4, saadaan ( ) ( tai ( + 5) ( tai ( 7) ( tai ( + 7) ( tai ( + 6) ( tai ( ) ( 5) ) ( + 7) ) ( 7) ) ( 6) ) + )

16 K15 a) ( a b) = ( a) + ( a) ( b) + ( b) = a + ab + b = ( a+ b) b) ( a+ b) = ( a) + ( a) b+ b = a + a ( b) + ( b) = ( a b)

17 K16 a) ( + 6)( 6) = 6 = 6 b) (+ )( ) = ( ) = 9 4 c) (+ 5)( 5) = ( ) 5 = 4 5 d) (4+ )(4 ) = (4 ) = 16 9

18 K17 a) ( + )( ) = = 4 b) ( y+ )( y) = ( + y)( y) = y c) (5 )(5+ ) = 5 ( ) = 5 4 d) = = = 9 4

19 K18 a) ( 1)( + 4 ) ( ) = ( + ( ) + ( ) = = + b) ( ) ( )( 4 )( + 4 ) ( ) ( ) = + ( ) + ( ) + ( ) (4 ) ( ) ( ) = = = = Vastaus a) b)

20 K19 a) 5 5 = 10 ( 5) ( + 5) ( 5) = ( 5) = + 5 b) ( ) = = (1 + ) (1 ) 1+ = (4 ) c) = = 6 (4 ) (4 + ) (4 ) 6 = 4 + Vastaus a) + 5 b) 1 c) 6 4 +

21 K0 a) 4 =, koska 0 ja = 4. b) 6 = 6, koska 6 0 ja 6 = 6. c) 17 ( 4,1...). d) 16 ei määritelty, koska 16 < 0. Vastaus a) 4 = b) 6 = 6 c) 17 ( 4,1...) d) 16 ei määritelty

22 K1 a) = 64 = ± 64 = 8 tai = 8 b) = 5 = 5+ : = 8 = 4 = ± 4 = tai = c) 15 0 = 15 : = = 15 = 5 = 5 tai = 5 Vastaus a) = 8 tai = 8 b) = tai = c) = 5 tai = 5

23 K a) ( ) = b) ( ) ( ) 6 = ( ) 6 = 4 6 = 4 c) ( ) 4= 4= 6 4= d) a a = a a a< 0 < 0 = a ( a) = a+ a = a

24 K a) 1 7 = 4 9 = 4 9 = = b) 4 00 = = = = 40 1 = 8 c) ( ) = = = = = =

25 d) = = = = = 5 Vastaus a) b) 8 c) d) 5

26 K4 a) ( )( ) ( ) = 5 = 4 5 = 1 b) ( + ) = ( ) + + ( ) = = 5+ 6 Vastaus a) 1 b) 5+ 6

27 K5 a) 6 6 = = 9 = b) c) 5 5 = 9 9 = = = = = = 4 d) = = = 1 = = = 4 Vastaus a) b) 5 c) 1 d) 5

28 K6 a) Väite = 1 ei pidä paikkaansa sillä neliöjuuren arvo 1 = 1 < 0, mikä ei juuren määritelmän mukaan ole mahdollista. b) + = 1+ pitää paikkansa, sillä 1) 1+ 0 ) ( 1+ ) = ( ) = 1+ + = + Vastaus a) ei ole b) on

29 K7 7 a) 178 =, sillä 7 ( ) = 187. Yhtälö 7 = 187 toteutuu, kun =. (Ratkaisuja on yksi, koska eksponentti 7 on pariton.) b) = 9, sillä 9 0 ja 4 9 = Yhtälö 4 = 6561 toteutuu, kun 9 tai 9 = =. (Ratkaisuja on kaksi koska eksponentti 4 on parillinen.)

30 K8 a) 4 = 48 : 4 = = = = = 16 tai 16 b) c cis d dis e f fis g gis a ais h c... f f f f f f f f f f f f f c) f = f q n 1 n 1 Vastaus a) f = f q f = f q : f ( 0) = q q =± q> b) f 8 c) q = f = f q 7 1 ( ) = 61,6 = 91, f 1 q = = 61,1 Hz 1 9,0 (Hz)

31 K9 Väkiluku vuoden 01 kesällä Väkiluku vuoden 015 kesällä a) Väkiluku kasvaa vuodessa k-kertaiseksi. Saadaan yhtälö k = k k = = 1,045 k = 1,045 Vuoden 050 kesällä aikaa on kulunut 5 vuotta vuoden 015 kesästä, joten väkiluku on silloin ( ) 5 5 k = ,

32 b) Vuoden 015 jälkeen väkiluku kasvaa vuodessa p-kertaiseksi. Saadaan yhtälö p = p 15 p = = = 15 = = 1, ,48... % Vuotuinen väkiluvun kasvuprosentti on,48 %,44 %. Vastaus a) Vuoden 015 kesällä asukasluku on henkeä. b) Väkiluvun vuotuisen kasvun pitäisi olla,44 %.

33 K0 c cis d dis e f fis g gis a ais h c... f f f f f f f f f f f f f Taajuudet muodostavat geometrisen jonon, suhdelukuna q. Tiedetään, että f f q n 1 n = 1 ja että f1 f1 =. Saadaan yhtälö f = f q f = f q : f ( 0) = q q 1 1 = ± > q = 1 q 0 Selvitetään sävelen g taajuus f 8. f = f q ( ) = 61,6 = 91, f 1 q = = 61,1 Hz 1 9,0 (Hz) Vastaus 9,0 Hz

34 K1 a) Funktion kuvaaja kulkee pisteen (, 5) kautta, joten f () = 5. b) Funktion kuvaaja kulkee pisteiden (0, 8) ja (, 8) kautta, joten f( ) = 8, kun = 0 tai =. c) Funktion kuvaaja leikkaa -akselin kohdissa = ja = 4, joten funktion nollakohdat ovat ja 4. d) Funktion arvot ovat negatiivisia niissä kohdissa, joissa sen kuvaaja on -akselin alapuolella. Funktion f arvot ovat negatiivisia, kun < < 4. Vastaus: a) f () = 5 b) = 0 tai = c) = tai = 4 d) < < 4

35 K a) Funktion f arvo on negatiivinen, kun 4 < < 0. b) Funktion g arvo on negatiivinen, kun < 0 tai >. c) Yhtälön + 4 = 0 juuret ovat Juuret ovat = 4 ja = 0. d) Yhtälön + = 0 juuret ovat Juuret ovat = 0 ja =. f( ) 4 = + nollakohdat. g ( ) = + nollakohdat. Vastaus: a) 4 < < 0 b) < 0 tai > c) = 4 ja = 0 d) = 0 ja =

36 K Koska pallo lentää 1,0 m päähän, niin lentorata päättyy pisteeseen (1, 0). Sijoitetaan = 1 ja y = 0 paraabelin yhtälöön ja ratkaistaan v y = v 10 0 = 1 1 v = 0 v v + v = v : 1 v = = 10 v = 10 tai v = 10 Koska nopeus on positiivinen, niin v = 10 = 14, (m/s). Vastaus: 14 m/s Huomautus: Nopeuden v arvon voi ratkaista myös käyttämällä lentoradan lakipistettä (10,5; 5). Tällöin nopeudeksi saadaan v = 14, m/s 14 m/s.

37 K4 a) = 4 + 4= 0 a =, b=, c 4 = ( ) ( ) 4 ( 4) 6 6 ± ± ± = = = = = = 1 tai = = = b) = = a =, b= 7, c = ± ± ± = = = ( 4) = = = 4 tai = = = Vastaus: a) = 1 tai = b) = 4 tai 1 =

38 K5 a) + = ( 4) ( ) 8 + = = = 0 1, = 1, = 6 a = b c ( 6) ± ± ± = = = = = = tai = = = b) ( )( + ) + 4 = 14 ( 4) ( 9) + 4 = 14 ( ) = = = 0 a = 4, b= 6, c = ± ± ± = = = = = = 1 tai = = = Vastaus: a) = tai = b) = 1 tai 1 =

39 K6 a) f() s = = 4s s 1 1 ( 1) s + = = = = 4 s 0 a 4, b, c 0 ± ± s = = ( 4) 8 4 ( 4) s = = = tai s = = = b) f () s = 0 = 4s + s+ 1= 0 a = 4, b, c = 1 ± ± s = = ( 4) 8 4 ( 4) s = = = 1 tai = = =

40 c) f() s = + + = 4s s 1 4s + s 1 = 0 a = 4, b=, c = 1 ± ± s = = ( 4) 4 ( 4) ( 1) 10 7 Koska lukua 7 ei ole määritelty, yhtälöllä ei ole juuria. Täten funktion f arvo ei ole millään muuttujan s arvolla. Vastaus: a) s = 0 tai s = 4 1 b) s = tai s = 1 4 c) Ei millään muuttujan s arvolla.

41 K7 Sijoitetaan = yhtälöön ja ratkaistaan vakion a arvo. + a a = 0 + a a = ( ) 0 a + a+ = 0 a = tai a = Muodostetaan arvoa a = vastaava yhtälö ja ratkaistaan se. + ( ) = = 0 Ratkaistaan laskimella. = tai = Toinen juuri on siis.

42 Muodostetaan arvoa a = vastaava yhtälö ja ratkaistaan se. = 0 = 0 Ratkaistaan laskimella. = tai = Toinen juuri on siis. Vastaus: Kun a =, niin toinen juuri on =. Kun a =, niin toinen juuri on =.

43 K8 a) Ratkaistaan funktion f( ) = 4 nollakohdat. 4= 0 a =, b =, c = 4 ± ± = = 4 ( ) ( ) 4 ( 4) = = = 1 tai = = = Hahmotellaan funktion kuvaaja ja päätellään sen merkit. Funktion f( ) = 4 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälö 4 0 toteutuu, kun 1.

44 b) + < 1 0 Ratkaistaan funktion f( ) = + 1 nollakohdat. + 1= 0 a = 1, b=, c = 1 4 ( 1) ( 1) 0 ± ± = = = = 1 ( 1) Hahmotellaan funktion kuvaaja ja päätellään sen merkit. Funktion f( ) = + 1 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jonka ainoa nollakohta on = 1. Epäyhtälö + 1< 0 toteutuu, kun 1.

45 c) ( 1)( + 1) ( 1) Ratkaistaan funktion f( ) = + + nollakohdat. + = 0 = 1, =, = + a b c ± 41 ± 8 = = 1 ei ratkaisua Hahmotellaan funktion kuvaaja ja päätellään sen merkit. Funktion f( ) = + + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia. Epäyhtälö arvoilla toteutuu kaikilla muuttujan Vastaus: a) 1 b) 1 c) Epäyhtälö toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla

46 K9 Koska neliöjuuri on määritelty vain epänegatiivisille luvuille, niin funktio f( ) = on määritelty, kun 0. Ratkaistaan funktion nollakohdat. = 0 a = 1, b= 1, c = ( 1) ± ( 1) 4 1 ( ) ± 1 = = = = = 1 tai = = = Hahmotellaan funktion kuvaaja ja päätellään sen merkit. Funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälö 0 toteutuu, kun 1 tai. Funktio. f( ) = on siis määritelty, kun 1 tai Vastaus: 1 tai

47 K40 Luvun neliön ja luvun erotuksen tulee olla enintään 70. Muodostetaan ja ratkaistaan epäyhtälö , , Ehdon täyttävät positiiviset kokonaisluvut ovat siis 1,,, 4, 5, 6, 7 ja 8. Vastaus: 1,,, 4, 5, 6, 7 ja 8

48 K41 a) Merkitään joen suuntaisen sivun pituutta kirjaimella y (m). Aitaa on käytettävissä 106 m. Ratkaistaan y. + y = 106 y = 106 Muodostetaan pinta-alan lauseke. A= y = (106 ) = 106 b) Muodostetaan pinta-alan 1040 m avulla yhtälö ja ratkaistaan. 106 = = = 1 tai = 40 Kun = 1, niin y = 106 = = 80. Kun = 40, niin y = 106 = = 6. Tontit mitat ovat siis 1 m ja 80 m tai 40 m ja 6 m. Vastaus: a) sivun pituus 106, pinta-ala (106 ) = 160. b) 1 m ja 80 m tai 40 m ja 6 m

49 K4 Piirretään kuva. Merkitään hakkuualueen leveyttä kirjaimella. Sisäosa on suorakulmio, jonka pituus on 100 (m) ja leveys 70 (m). Tämän alueen pinta-ala saadaan, kun alkuperäisestä metsän pinta-alasta vähennetään hakatun alueen pinta-ala. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan hakkuualueen leveys. (100 )(70 ) = = = 0 = 15 tai = 155 Hakkuualueen leveys ei voi olla yli 70 m, joten leveys = 15 m. Vastaus: 15 m

50 K4 Merkitään vuosittaista muutoskerrointa kirjaimella q, jolloin taimenkanta tulee vuosittain q-kertaiseksi. Vuonna 014 taimenia oli 000. Vuonna 015 taimenmäärä oli q-kertaistunut ja lisäksi istutettiin 1500 taimenta, tällöin taimenien määrä oli 000 q Vuonna 016 taimenien määrä oli jälleen q-kertaistunut, jolloin taimenien määrä oli (000 q+ 1500) q= 000q q. Vuonna 016 taimenia oli 00. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muutoskerroin q. 000q 1500q 00 + = 000q q 00 = 0 q= 1,81... tai = 0, Muutoskertoimen arvo on positiivinen, joten q = 0, = 8,81... %. Taimenkanta pienenee siis vuosittain 100 % 8,81... % = 17,18... % 17 %. Vastaus: 17 %

51 K44 a) 4+ = 0 a =, b= 4, c = Lasketaan diskriminantin arvo. D = b 4ac = = = ( 4) Koska diskriminantin arvo on negatiivinen, niin yhtälöllä ei ole yhtään juurta. b) 5 4= + = = 5 4= 0 a 1, b 5, c = 4 Lasketaan diskriminantin arvo. D = 5 4 ( 1) ( 4) = 5 16 = 9 Koska diskriminanti arvo on positiivinen, niin yhtälöllä on kaksi juurta.

52 c) ( 1)(1 + ) = ( 1) ( 1)(+ 1) = = = 0 Lasketaan diskriminantin arvo. 6+ 9= 0 D = ( 6) = 6 6 = 0 Koska diskriminantin arvo on nolla, niin yhtälöllä on yksi juuri. Vastaus: a) ei yhtään juurta b) kaksi juurta c) yksi juuri

53 K45 a) Funktio saa vain positiivisia arvoja, kun sen kuvaaja on kokonaan -akselin yläpuolella. Funktion f ( ) = 4a + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten se on kokonaan -akselin yläpuolella, kun sillä ei ole yhtään nollakohtaa. Siis yhtälöllä 4a 0 + = ei saa olla yhtään juurta. Lasketaan diskriminantti. D = a = a ( 4 ) Diskriminantin tulee olla negatiivinen eli pitää ratkaista epäyhtälö 16a 16 < 0. Ratkaistaan funktion 16a 16 nollakohdat. a = a :16 a = = 1 a = 1 tai a = 1 Hahmotellaan funktion kuvaaja ja päätellään merkit. Funktion 16a 16 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälö 16a 16 < 0 toteutuu, kun 1 < a < 1. Funktio f ( ) = 4a + saa vain positiviisia arvoja, kun 1 < a < 1.

54 b) Funktio a 0. g( ) = a + 4 on toisen asteen funktio vain, kun Arvoa a = 0 vastaava funktio g ( ) = 4 on ensimmäisen asteen funktio, joka saa myös negatiivisia arvoja (esimerkiksi g (0) = 4 ). Oletetaan, että a 0. Funktion g( ) = a + 4 kuvaaja voi olla kokonaan -akselin yläpuolella vain, jos se on ylöspäin aukeava paraabeli. Pitää siis olla a > 0. Lasketaan yhtälön a + 4= 0 diskriminantti. D = a = a+ 4 ( 4) 16 4 Yhtälöllä ei ole yhtään juurta, kun diskriminantti on negatiivinen. Muodostetaan epäyhtälö. 16a + 4 < 0 16a < 4 :16 a < 1 4 Koska piti olla a > 0, niin ratkaisu ei kelpaa. Siis funktion g( ) = a + 4 kuvaaja ei ole kokonaan -akselin yläpuolella millään vakion a arvolla. Vastaus: a) 1 < a < 1 b) Ei millään a:n arvolla.

55 K46 Sievennetään yhtälöä. t t t t = t t t t = t t = t 4t + 6= 0 a = t, b= 4 t, c = 6 + Yhtälö on toisen asteen yhtälö vain, kun t 0. Pitää siis tutkia erikseen tapaukset t = 0 ja t 0. 1) Oletetaan ensin, että t = 0. Muodostetaan arvoa t = 0 vastaava yhtälö ja ratkaistaan se. t + t + = = = 0 epätosi Yhtälö on identtisesti epätosi eli ei toteudu millään muuttujan arvolla.

56 ) Oletetaan seuraavaksi, että t 0. Lasketaan diskriminantti. D = (4 t) 4 ( t) 6 = 16t + 4t Yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri, kun diskriminantti on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan t. 16t + 4t = 0 t = tai t = 0 Arvo t = 0 voidaan hylätä alkuoletuksen t 0 perusteella. Muodostetaan arvoa t = vastaava yhtälö ja ratkaistaan se. t + t + = ( ) 4 ( ) = 6+ 6= 0 = Näin on saatu selville, että yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri, kun t = ja tämä juuri on =. Vastaus: Kun t =, niin =.

57 K47 Sievennetään yhtälöä. t t + + = t+ 4 ( 1) 7 ( 1) + + = 4 7 t t = = 0 =, = + 1, = ( t 1) t a b t c t Lasketaan diskriminantti. 1 D = t+ t+ = t + t+ t = t + t 4 ( 1) 4 ( 7) Yhtälöllä on kaksi juurta, kun diskriminantti on positiivinen. Muodostetaan epäyhtälö ja ratkaistaan t. t + t 6> 0 t < tai t > Vastaus: t < tai t >

58 K48 a) b) c) d) + = ( + 1) 4 5 = ( 5) = ( ) = (+ 1) = (5 ) + 5 ( ) + ( ) = (5 ) Vastaus: a) + ( 1) b) c) ( + 1) d) ( 5) (5 )

59 K49 a) b) 1 = 1 = ( + 1)( 1) 9 1 = ( ) 1 = (+ 1)( 1) c) + 9 = ( 1) + ( 1) = + ( 1)( ) d) = ( ) + 4( ) = + ( )( 4) Vastaus: a) ( + 1)( 1) b) (+ 1)( 1) c) ( 1)( ) + d) ( )( + 4)

60 K50 5 a) 9 = ( 9) = ( ) = + ( )( ) b) 16+ = ( ) 16( ) = ( )( 16) = ( )( + 4)( 4) ( ) c) 4 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) + + = + + = + + ( 1) ( ) d) y = ( y ) = y (( ) ( ) ) = y + y ( )( ) = y + y+ y ( )( )( ) Vastaus: a) c) ( + )( ) b) ( )( + 4)( 4) ( + 1) ( + ) d) ( y + )( y+ )( y )

61 K51 a) 5 ( 1) = 1 1 = ( + 1) ( 1) 1 = ( + 1) b) ( 4) + ( 4) = 16 4 ( 4) = ( + 4) ( 4) = c) = ( + 1) = ( + 1) = + 1 Vastaus: a) ( + 1) b) c) + 1

62 K5 a) ( + )( 9) = 0 + = 0 tai = 9= 0 = 9 = tai = b) 1 15 = 0 ( 4 5) = 0 = 0 tai 4 5= 0 a = 1, b = 4, c = 5 = 0 ( 4) ± ( 4) 4 1 ( 5) 4± 6 = = = = = 1 tai = = = 5

63 4 c) 4 16 = = ( ) 16( ) 0 + = ( )( 16) 0 + = = 0 tai = + 16 = 0 = 16 : = 8 8 = = Vastaus: a) =, = tai = b) = 1, = 0 tai = 5 c) = tai =

64 K5 a) = 0 ( ) 8( ) = 0 ( )( 8) = 0 = 0 tai = 8 0 = 8 : = = 4 = tai = 5 b) 5 0 = 0 5 ( 4) = 0 5 = 0 : 5 tai = 0 = 0 4= 0 = 4 = ti a =

65 c) sijoitetaan 4 + = = t t 5t+ 4= 0 ± ± t = = 1 ( 5) ( 5) t = = = 1 tai t = = = 4 = 1 = 4 = 1 tai = 1 = tai = Huomautus Yhtälön voi ratkaista myös tulon nollasäännön avulla jakamalla vasemman puolen tekijöihin ryhmittelemällä = = 0 ( 1) 4( 1) = 0 ( 1)( 4) = 0 Vastaus: a) =, = tai = b) =, = 0 tai = c) =, = 1, = 1 tai =

66 K54 Sijoitetaan = 1 yhtälöön ja ratkaistaan vakio a. a a + ( 1) = (a 1) a = a a = 0 5a 5= 0 5a = 5 :5 a = 1 Muodostetaan arvoa a = 1 vastaava yhtälö ja ratkaistaan se (laskimella). a a + ( 1) = = 0 = 4, = 0 tai = = 0 Muut juuret ovat siis = 4 ja = 0. Vastaus: a = 1, muut juuret = 4 ja = 0

67 K55 a) Aritmeettisen jonon peräkkäisten jäsenien erotus on vakio. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan. ( + ) ( ) = ( ) ( + ) + = + + = 6 0 =, = tai = Huomautus: Yhtälön voi ratkaista myös tulon nollasäännön avulla jakamalla vasemman puolen tekijöihin käyttämällä ryhmittelyä: + + = = ( ) ( ) 0 ( )( ) =

68 b) Geometrisen jonon peräkkäisten jäsenien suhde on vakio. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan. = = 0 6 = = 4 tai = 0 Huomautus: Yhtälön voi ratkaista myös tulon nollasäännöllä erottamalla yhteisen tekijän = 0 6 ( + 64) = 0 Vastaus: a) =, = tai = b) = 4 tai = 0

69 K56 a) ( 1)( 1) 0 Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat ja päätellään merkit. Tekijä 1 : 1= 0 Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. = 1 = 1 tai = 1 Tekijä 1: Kuvaaja on laskeva suora 1= 0 1 = = 1 Laaditaan polynomifunktion ( 1)( 1) merkkikaavio. ( 1)( 1) Epäyhtälö ( 1)( 1) 0 toteutuu, kun 1.

70 b) Jaetaan epäyhtälön vasen puoli tekijöihin. 4 0 ( 4) 0 Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat ja päätellään merkit. Tekijä : Nollakohta on = 0. Tekijän arvo on negatiivinen, kun < 0 ja positiivinen, kun > 0. Tekijä 4 : Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. 4= 0 = 4 = tai = Laaditaan polynomifunktion 4 merkkikaavio ( 4) Epäyhtälö ( 4) 0 toteutuu, kun 0 tai.

71 c) Jaetaan epäyhtälön vasen puoli tekijöihin. < 0 ( ) < 0 Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat ja päätellään merkit. Tekijä : Nollakohta on = 0. Tekijän arvo on negatiivinen, kun < 0 ja positiivinen, kun > 0. Tekijä : Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. = 0 a = 1, b= 1, c = ( 1) ± ( 1) 4 1 ( ) 1± = = = = = 1 tai = = = Laaditaan polynomifunktion merkkikaavio ( ) Epäyhtälö < 0 toteutuu, kun < 1 tai 0 < <. Vastaus: a) 1 b) 0 tai c) < 1 tai 0 < <

72 K57 4 Funktion f( ) = 4 kuvaaja on funktion g ( ) = 9 kuvaajan alapuolella niillä muuttujan arvoilla, joilla epäyhtälö f( ) < g ( ) toteutuu. Sievennetään epäyhtälöä. f( ) < g ( ) 4 < < (4 9) < 0 Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat ja päätellään merkit. Tekijä = 0 = 0 : Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Tekijä 4 9: Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. 4 9= 0 4 = 9 :4 = 9 4 = tai =

73 Laaditaan polynomifunktion merkkikaavio (4 9) Epäyhtälö (4 9) < 0 toteutuu, kun < < 0 tai 0 < <. Vastaus: < < 0 tai 0 < <

74 Tekijä MAA Polynomifunktiot ja yhtälöt K58 Koska neliöjuuri on määritelty vain epänegatiivisille luvuille, niin funktio f( ) = on määritelty niillä muuttujan arvoilla, jotka toteuttavat molemmat epäyhtälöistä Ratkaistaan epäyhtälöt ja tai tai = 0 tai 1 Ne muuttujan arvot, jotka toteuttavat molemmat epäyhtälöt, on helpompi päätellä, kun merkitään epäyhtälöiden ratkaisujoukot näkyviin lukusuoralla. Molemmat epäyhtälöistä toteutuvat, kun tai = 0 tai 1. Vastaus: tai = 0 tai 1

75 K59 Luvun kuution tulee olla pienempi kuin sen neliö kolminkertaisena. Muodostetaan epäyhtälö ja ratkaistaan se (laskimella). < < 0 < 0 tai 0 < < Huomaa, että laskin saattaa näyttää ratkaisun myös muodossa < ja 0. Ehdon toteuttavat positiivisen kokonaisluvut ovat 1 ja. Vastaus: 1 ja

76 Tekijä MAA Polynomifunktiot ja yhtälöt K60 Sievennetään yhtälöä. a a+ 1 a = 9 4 a a+ 1 a 9= 0 4 Kyseessä on toisen asteen yhtälö vain, kun a 0. Pitää siis tutkia erikseen tapaukset a = 0 ja a 0. 1) Oletetaan ensin, että a = 0. Muodostetaan arvoa a = 0 vastaava yhtälö ja ratkaistaan se. a a+ 1 a 9= 0 4 9= 0 epätosi Kun a = 0, yhtälöllä ei ole yhtään juurta.

77 ) Oletetaan seuraavaksi, että a 0. a a+ 1 a 9= 0 a = a, b= a, c = 1 a Muodostetaan diskriminantin lauseke. D = ( a ) 4 a ( 1 a 9) = a 1a + 6a Yhtälöllä ei ole yhtään (reaalista) juurta, kun diskriminantti on negatiivinen. Muodostetaan epäyhtälö ja ratkaistaan vakio a. 6 4 a 1a + 6a < 0 < a< tai < a< Kohdista 1 ja seuraa, että yhtälöllä ei ole yhtään juurta, kun < a< tai a = 0 tai < a<. Vastaus: < a < tai a = 0 tai < a<

78 K61 a) Ratkaistaan nollakohdat = 0 : 6 5 = a b = 1, = 6, c = 5 ± ± ± = = = = = = 5 tai = = = 1 Jaetaan tekijöihin. ( )( ) = ( 5) ( 1) = ( + 5)( + 1)

79 b) Ratkaistaan nollakohdat = 0 a = 1, b= 6, c = 5 ± ± ± = = = 1 ( 6) ( 6) = = = 1 tai = = = 5 Jaetaan tekijöihin = ( 1)( 5) Vastaus: a) b) = ( + 5)( + 1) = ( 1)( 5)

80 K6 a) Toisen asteen polynomifunktiolla voi olla enintään kaksi nollakohtaa. 1 Nollakohdat ovat 1 = 1 ja =, joten tekijät ovat 1 ( ) = ( 1) = ( + 1), 1 = ( ). Funktion lauseke on siis muotoa missä a 0. 1 P ( ) = a ( + 1)( ), Ratkaistaan kertoimen a arvo. P(0) = 1 1 a(0 + 1)(0 ) = 1 1 a = 1 ( ) a = Siis 1 P ( ) = ( + 1)( ) = + 1.

81 b) Toisen asteen polynomifunktiolla voi olla enintään kaksi nollakohtaa. 1 Nollakohdat ovat 1 = ja =, joten tekijät ovat = ( ) = ( + ), = ( ). Funktion lauseke on siis muotoa missä a 0. 1 P ( ) = a ( + )( ), Ratkaistaan kertoimen a arvo. P( 1) = 6 1 a( 1 + )( 1 ) = 6 a = 6 : a = Siis 1 P ( ) = ( + )( ) = 5. Vastaus: a) b) 1 ( + 1)( ) = ( + )( ) = 5

82 Tekijä MAA Polynomifunktiot ja yhtälöt K6 Murtolauseke voidaan supistaa vain jos osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen tekijä. Jaetaan nimittäjä tekijöihin. 5 5 = 5( 7) Osoittajalla on tekijä 7, jos ja vain jos 7 on sen nollakohta. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan vakio c c = c = 0 c = 14 Osoittajaksi saadaan Ratkaistaan osoittajan nollakohdat ja jaetaan osoittaja tekijöihin = 0 = 1 tai = = ( + 1)( 7) Tekijöihin jaon voi tehdä myös laskimella tai ryhmittelemällä.

83 Supistetaan murtolauseke ( + 1 ) ( 7) = 5 ( 7) 1 1 ( + 1) + = = 5 5 Nimittäjän tekijä 7 saa arvon nolla, kun = 7. Koska nollalla ei voi jakaa, murtolauseke on määritelty vain, kun 7. Vastaus: c = 14, + ( 1) + =, kun 7 5 5

84 K64 Kolmannen asteen polynomilla P( ) = a + b + c voi olla korkeintaan kolme nollakohtaa ja täten kolme tekijää. Määritetään polynomin kolmas tekijä ratkaisemalla yhtälö, jolla on sama nollakohta kuin polynomilla = 0 = 7 Koska polynomilla on nollakohtana 7, niin kolmas tekijä on 7. Polynomin tekijät ovat siis +, 4 5 ja 7. Tällöin polynomin lauseke on muotoa P( ) a( )(4 5)( 7) 4a 1a 64a 105a = + = +, missä a 0. Vakiotermin 105a tulee 105, joten a = 1. Polynomin lauseke on siis P ( ) =

85 Selvitetään millä muuttujan arvoilla polynomi P() saa vain positiivisia arvoja. Muodostetaan epäyhtälö > 0 5 < < tai > 7 4 Vastaus: Polynomi P ( ) = saa vain 5 positiivisia arvoja, kun < < tai > 7. 4

86 A1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt ( 5) ( 5)( 5) = 4 ( ) + ( ) = = + + b) + ( ) ( 1)( 18 ) = ( ( ) ) ( ) = + ( 6 9) ( ) = = Vastaus a) b) 4 + 6

87 A a) = ( ) + ( 6) + 6 = ( 6) b) 9 Nollakohdat: 9 0 = = ( ) ± = = ( ) + ± 81 ± 9 = = = ( )( + ) 4 4 ( ) 4 ( 9) = tai = c) = ( 4 + 8) ( ( ) 4( ) ) = ( )( 4) = ( )( ) = = ( )( + )( ) = ( + )( ) Vastaus a) ( 6) b) c) ( + )( )

88 A a) 8 50 = 4 5 = 4 5 = 5 = 6 5 = b) ( 6 ) 6 ( ) = = = = = 9 =

89 c) 4 4a a a ( a ) 4a = 4 a 16 ( a ) 4 a 4 = a > a 4 a a a = a > 0 a 4 a a = a = a ( a ) ( a+ ) ( a ) a = a + 0 Vastaus a) b) c) a a +

90 A4 a) + 5 = = 0 Diskriminantti D = b 4ac = 5 4 ( 1) = = > 0 Siis yhtälöllä on kaksi juurta. b) = = Diskriminantti D = b 4ac = = = Siis yhtälöllä on yksi juuri. Vastaus a) kaksi juurta b) yksi juuri

91 A5 Väitetään, että = 4 +. Tutkitaan väitteen paikkansapitävyyttä neliöjuuren määritelmän avulla. 1) 4+ 0 ) ( 4+ ) = ( ) = = = Kohtien 1 ja perusteella väite pitää paikkansa. Vastaus on

92 A6 a) 5 15 = = 15 = 0 ( ) ( ) 4 1 ( 15) ± = 1 ± 64 ± 8 = = = tai = 5 b) 5 > > 0 Nollakohdat: Kuvaaja: a-kohdan perusteella nollakohdat ovat = ja = 5. Epäyhtälö toteutuu, kun < tai > 5. Vastaus a) = tai = 5 b) < tai > 5

93 A7 a) 4( ) = = = 0 4 ( 4) ( 4) = 0 ( )( 4) 0 = = 0 tai 4 = 0 = = ( 1) 0 tai 4 = 0 tai 1 = 0 tai = 4 tai = 4 = 0 tai = 1 tai = tai = 4 b) Epäyhtälö 4( ) on yhtäpitävä epäyhtälön 4 4( ) 0 kanssa. Polynomifunktio 4 f( ) = 4( ) voi vaihtaa merkkiään vain nollakohdissaan, jotka ovat a-kohdan perusteella, 0, 1 ja. Testataan funktion f merkki laskemalla testipiste kultakin väliltä. 4 f( ) = 4( ) f:n merkki f( ) 0 f ( ) = tosi 1 f ( 1) = 6 < 0 epätosi 0,5 f (0,5) = 0, tosi 1,5 f (1,5) = 1, 15 < 0 epätosi f () = tosi

94 Testipisteiden perusteella epäyhtälö toteutuu, kun tai 0 1 tai Toisin: Epäyhtälön voi ratkaista myös kuvaajan avulla. Epäyhtälö 4 4( ) on yhtäpitävä epäyhtälön 4 4( ) 0 kanssa. Piirretään geometriaohjelmalla funktion 4 f( ) = 4( ) kuvaaja ja selvitetään sen perusteella, millä :n arvoilla funktion arvo on 0. Funktion f nollakohdat ovat a-kohdan perusteella, 0, 1 ja. Epäyhtälö toteutuu, kun tai 0 1 tai. Vastaus a) = tai = 0 tai = 1 tai = b) tai 0 1 tai

95 A8 f 4 ( ) = + + a) b) c) = 0, kun = 1, = 1 tai = < 0, kun 1 < < 1 tai 1 < < , kun 1, = 1 tai.

96 A9 a) (1 + ) (1 ) (1 1 1 ) (1 1 ( ) 1( ) ( )) = (1 ) (1 ) = = = 6+ 6 = + b) 1 a) 1 1 a 1 a = a 1 a a 1 a a 1 a 1 = a 1 a 1 ( a 1) = ( a 1) a ( a+ 1) ( a 1) = ( a 1) a a + 1 = a

97 c) ( a+ b) ( a b) ( ) = ( a + a b+ b ) a + a ( b) + ( b) = a + a b+ b a ab+ b ( ) ( ) = a + ab + b a + ab b = 4ab a = 100 b = = = = = 41 = Vastaus a) b) c) + 6 a + 1 a ab = 4 kun a = 100 ja b = 100.

98 B1 a) + + ( 7) ( 4)( 4) ( ) = ( 7) ( 7) ( 4 ) ( 14 49) 16 = = b) = 4 ( 9 10) = + 4 ( 9 10) Ryhmittely = + 4 ( 10 10) ( ( 10) ( 10) ) = + 10 = 0 = + ( 1)( 10) = ± ( ) 41( 10) 1 ± 49 ± 7 = = = 5 tai = = ( + 1)( ( ))( 5) = + + ( 1)( )( 5)

99 c) ) Ratkaistaan nollakohdat. = 6= 0 1 ( 1) 41( 6) ± 1 1± 5 = 1± 5 = = tai = ) Hahmotellaan kuvaaja y = 6. Epäyhtälön ratkaisu on. Vastaus a) b) ( + 1)( + )( 5) c)

100 B Piirretään kuvaajat geometriaohjelmalla. f( ) 9 =, g ( ) = 7 a) f( ) > 0, kun < < 0 tai >. b) g< ( ) 0, kun < 0. c) g ( ) f( ), kun tai 0 4.

101 B Koko kuvion pinta-ala saadaan laskemalla punaisten suorakulmioiden pinta-alat yhteen ja vähentämällä saadusta summasta kahteen kertaan mukaan tulleen sinisellä värjätyn yhteisen osan pinta-ala. Alemman punaisen suorakulmion korkeus on a = ( 1) + ( 1) ( + 1) = = Sinisen suorakulmion kanta on b= ( + ) = Sinisen suorakulmion korkeus on c = ( 1) ( + 1) = 1 1 =

102 A= A + A A 1 = ( + 1)( 1) + ( + )( ) ( ) = = 4 Toisaalta pinta-ala on. Muodostetaan yhtälö. A = 4 = 4 = + : 4 = 6 4 = 9 = ± 9 > 0 = Vastaus =

103 B4 Mopoauton hinta tulee vuodessa k-kertaiseksi. Muodostetaan yhtälö. k = :(1 500 ) k 5 = = k = = 0, = 85,01... % Hinta laski keskimäärin vuodessa 100 % 85,01... % = 14,98... % 15 % Vastaus 15 %

104 B5 a) ( ) f( ) = a ( 1) ( 0)( )( ) = a( + 1)( )( ) f(1) = a 1 (1 + 1)(1 )(1 ) = a ( 1)( ) = 4a Toisaalta f (1) = 4, joten saadaan yhtälö 4a = 4 : 4 4 a = = 6 4 b) ( ) f( ) = a ( 1) ( ) = a ( + 1) ( ) f(1) = a(1 + 1) (1 ) = a ( 1) = a 41 = 4a

105 Toisaalta f (1) = 4, joten saadaan yhtälö 4a = 4 : 4 4 a = = 6 4 Vastaus a) f( ) = 6 ( + 1)( )( ) b) f( ) = 6( + 1) ( )

106 B6 Olkoon neliönmuotoisen tontin sivun pituus 6a, jolloin talon pituus on puolet tontin sivun pituudesta eli a ja leveys kolmannes tontin sivusta eli a. Tontin pinta-ala on A = (6 a) = 6a tontti Piha-alueen pinta-alan avulla saadaan yhtälö A piha = 400 (6 a) a a = 400 6a 6a = 400 0a = 400 : 0 a ( = = 0 Lasketaan tontin pinta-ala. A = 6a a = tontti 40 = = 40 1 = 480 (m ) Vastaus Tontin pinta-ala on 480 m.

107 B7 + t = 1 + t + + 1= 0 t + + 1= 0 t + ( 1) + 1 = 0 Kyseessä on toisen asteen yhtälö. Ratkaisuja on täsmälleen yksi, kun diskriminantti D = 0. t b D= 0 4ac = 0 ( 1) = 0 t ( 1) = 4 t 1= ± 4 t 1= ± t = + 1 tai t = + 1 t = 1 tai t =

108 Tapaus t = 1 : t t + ( 1) + 1 = 0 = 1 + ( 1 1) + 1 = 0 + 1= 0 + ( 1) + ( 1) = 0 Tapaus t = : ( 1) = 0 1= 0 = 1 t t + ( 1) + 1 = 0 = + ( 1) + 1 = = = 0 ( + 1) = 0 + 1= 0 = 1 Vastaus Kun t = 1, niin = 1. Kun t =, niin = 1.

109 B8 Aitauksen pinta-ala on A = y. Aitaa on käytettävissä yhteensä + y = 6 (m). Ratkaistaan y ja sijoitetaan saatu lauseke pinta-alan lausekkeeseen. + y = 6 > 0 ja y > 0 y = 6 6 > 0 > 6 A( ) = y 6 < = (6 ) < 18 = 6 0 < < 18 = + 6 Pinta-alafunktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jonka suurin arvo löytyy huipusta. Huipun -koordinaatti on symmetrian perusteella nollakohtien keskiarvo.

110 A ( ) = = ( + 6) = 0 = 0 tai + 6 = 0 = 6 = Huipun -koordinaatti on 0 = = 9. Tämä arvo kelpaa, sillä se kuuluu määrittelyvälille 0 < < 18. Pinta-alan suurin mahdollinen arvo on A (9) = = 16 (m ) Vastaus Aitauksen suurin mahdollinen pinta-ala on 16 m. Paraabelin huippu toisin: Paraabelin y = a + b + c huipun -koordinaatin saa laskettua b myös suoraan kaavalla 0 =. a b y = = a a =, b= 6 6 = ( ) = 9

111 B9 Ratkaistaan epäyhtälö t 0,5 h eli t 0 min. t 0 m 0,01m + 0,0m m + m m m + m ) Nollakohdat ) Kuvaaja Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. y m m = m m 0 0 m Vastaus Liikennevirran on oltava enintään autoa minuutissa.

112 B10 a 1 + b a + 8, a Nimittäjä on jaollinen binomilla, joten nimittäjällä on nollakohta =. Sijoitetaan nimittäjän lausekkeeseen a + 8 arvo = ja muodostetaan yhtälö.. a + 8= 0 6a + 1 = 0 6a = 1 : ( 6) 1 a = 6 a = Osoittaja on jaollinen binomilla 4, joten osoittajalla on nollakohta = 4. Sijoitetaan osoittajan lausekkeeseen a 1 + b arvot = 4 sekä jo ratkaistu a = ja muodostetaan yhtälö b 4= b = 0 4b = : 4 64 b = 4 b = 16

113 Sievennetään murtolauseke. a 1 + b a + 8 a =, b= 16 = ( 6+ 8) 6 ± 4 = ± ( 6) ± 4 ja =, 4 ja Vastaus a = ja b= 16 Murtolausekkeen supistettu muoto on ja se on määritelty, kun 4 ja.