Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi

Transkriptio

1 Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi Usein suodinsuunnittelussa on lähtökohtana alipäästösuodin (LPF), josta voidaan yksinkertaisilla operaatioilla muodostaa ylipäästö- (HPF), kaistanpäästö- (BPF) ja kaistanestosuotimia (BSF). LPF -> HPF FIR-alipäästösuodin voidaan muuntaa ylipäästösuotimeksi vaihtamalla joka toisen suodinkertoimen etumerkki. Teoreettisesti tässä moduloidaan alipäästösuotimen spektrillä fs/2-taajuista kantoaaltoa, jolloin suotimen spektri siirtyy taajuuden fs/2 ympäristöön. Näin ylipäästösuotimen rajataajuus (f s /2 f c ) määräytyy suoraan lähtökohtana olevan alipäästösuotimen rajataajuudesta f c (kuva ). h[n].4 H(f) f2/2 fs/2 h2[n].4 H2(f)] fs/2 fs/2 Kuva. Alipäästö- (h) ja vastaavan ylipäästösuotimen (h2) impulssivasteet (vasemmalla) ja amplitudispektrit (oikealla). Ylipäästösuodin on tässä muodostettu vaihtamalla alipäästösuotimen impulssivasteessa joka toisen arvon etumerkki. LPF -> BPF Kaistanpäästösuodatus voidaan toteuttaa suorittamalla sopivilla rajataajuuksilla alipäästö- (h ) ja ylipäästösuodatus (h 2 ) peräkkäin (kaskadissa). Tarvittaessa peräkkäiset suotimet voidaan korvata yhdellä suotimella (kaistanpäästösuodin h 3 ) konvoloimalla impulssivasteet (kuva 2). Konvoluution tuloksena syntyvän suotimen asteluku on Q + Q 2, missä Q on alipäästösuotimen h asteluku ja Q 2 on ylipäästösuotimen h 2 asteluku. Jotta peräkkäiset suotimet toteuttaisivat kaistanpäästösuodatuksen on alipäästösuotimen rajataajuuden (f c ) oltava suurempi

2 kuin f s /4 ja vastaavasti ylipäästösuotimen rajataajuuden (f s /2 f c ) pienempi kuin f s /4. Kaistanpäästösuotimen rajataajuudet määräytyvät suoraan lähtökohtana olevien ali- ja ylipäästösuotimen rajataajuuksista (kuva 3). LP HP x[n] h [n] h 2 [n] y[n] BP x[n] h 3 [n] = h [n]* h 2 [n] y[n] Kuva 2. Kaistanpäästösuodatuksen toteuttaminen peräkkäisellä ali- (h) ja ylipäästösuotimella (h2). Tarvittaessa suotimet voidaan yhdistää yhdeksi kaistanpäästösuotimeksi (h3) konvoloimalla ali-ja ylipäästösuotimen impulssivasteet keskenään. h[n].5 H(f) h2[n] h3[n] = h[n] * h2[n] fs/2 fs/2.5.5 H2(f) -fs/2 fs/2.5.5 H3(f) -fs/2 fs/2 Kuva 3. Alipäästö- (h) ja vastaavan ylipäästösuotimen (h2)sekä näistä muodostetun kaistanpäästösuotimen (h3) impulssivasteet (vasemmalla) ja amplitudispektrit (oikealla). Kaistanpäästösuodin on tässä muodostettu konvoloimalla ali- ja ylipäästösuotimen impulssivasteet. LPF -> BSF

3 Kaistanestosuodatus voidaan toteuttaa sopivan rajataajuuden omaavilla rinnakkaisilla alipäästö- (h ) ja ylipäästösuotimella (h 2 ). Tarvittaessa rinnakkaiset suotimet voidaan korvata yhdellä suotimella (kaistanestosuodin h 3 ) laskemalla impulssivasteet yhteen (kuva 4). Yhteenlaskun tuloksena syntyvän suotimen asteluku on sama kuin yhteenlaskettavien suotimien asteluku. LP BS h [n] x[n] y[n] x[n] h 3 [n] = h [n] + h 2 [n] h 2 [n] y[n] HP Kuva 4. Kaistanestosuodatuksen toteuttaminen rinnakkaisella ali- (h) ja ylipäästösuotimella (h2). Tarvittaessa suotimet voidaan yhdistää yhdeksi kaistanestosuotimeksi (h3) laskemalla yhteen ali-ja ylipäästösuotimen impulssivasteiden arvot. h[n].5 H(f) h2[n] h3[n] = h[n] + h2[n] fs/2 fs/2.5.5 H2(f) -fs/2 fs/2.5.5 H3(f) -fs/2 fs/2 Kuva 5. Alipäästö- (h) ja vastaavan ylipäästösuotimen (h2)sekä näistä muodostetun kaistanestosuotimen (h3) impulssivasteet (vasemmalla) ja amplitudispektrit (oikealla). Kaistanestosuodin on tässä muodostettu laskemalla yhteen ali- ja ylipäästösuotimen impulssivasteet. Jotta peräkkäiset suotimet toteuttaisivat kaistanestosuodatuksen on alipäästösuotimen rajataajuuden (f c ) oltava pienempi kuin f s /4 ja vastaavasti ylipäästösuotimen

4 rajataajuuden (f s /2 f c ) suurempi kuin f s /4.. Kaistanestosuotimen rajataajuudet määräytyvät suoraan lähtökohtana olevien ali- ja ylipäästösuotimen rajataajuuksista (kuva 5). Esimerkki. Kaistanestosuotimen muodostaminen alipäästösuotimesta lähtien. Määritetään suodinsuunnitteluohjelmalla alipäästösuodin h (n), kun rajataajuus f c = Hz, siirtymäkaistan leveys f = Hz ja näytetaajuus f s = 2 Hz. Suunnittelun tuloksena syntyvä suodin on esitetty kuvassa 6. Kuva 6. Matlabin sptool-ohjelmistolla suunniteltu alipäästösuodin. Impulssivasteeksi saadaan nyt: h (n) = {.866,.7698,.27,.2466,.3927,.4446,.3927,.2466,.27,.7698,.866} Suodin h [n] on FIR-alipäästösuodin, jonka asteluku on. Suodinkertoimia on siis yhteensä. Impulssivaste on symmetrinen, joten suotimen vaihe on lineaarinen. Impulssivasteen arvot ovat FIR-suotimen tapauksessa myös suodinkertoimien arvoja. Suodinkertoimet ovat nyt a =.866, a =.7698, a 2 =.27, a 3 =.2466, a 4 =.3927, a 5 =.2466, a 6 =.3927, a 7 =.2466, a 8 =.27, a 9 =.7698 ja a =.866. Suodatus tapahtuu impulssivasteen ja suodatettavan signaalin konvoluutiona y(n) = h(n) * x(n).

5 Alipäästösuodin voidaan muuntaa ylipäästösuotimeksi h 2 (n) vaihtamalla joka toisen impulssivasteen arvon etumerkki: h 2 (n) = {-.866,.7698, -.27,.2466, ,.4446, ,.2466, -.27,.7698, -.866} Ylipäästösuotimen rajataajuudeksi tulee nyt Hz Hz = 9 Hz (huomaa nyt f s /2 = Hz). Spektrin muoto määräytyy myös suoraan alipäästösuotimen spektrin muodosta. Suotimilla voidaan toteuttaa kaistanestosuodatus, jonka rajataajuudet ovat Hz ja 9 Hz. Kaistanestosuodatus voidaan toteuttaa joko asettamalla ali- ja ylipäästösuodin peräkkäin tai muodostamalla erillinen kaistanestosuodin h3(n) laskemalla yhteen impulssivasteet h (n) ja h 2 (n): h 3 (n) =,.5396,,.24932,,.28892,,.32932,,.5396, } Suotimen h 3 (n) impulssivasteessa on nyt vain viisi nollasta poikkeavaa kerrointa. Kuvassa 7 on esitetty suotimien h (n), h 2 (n) ja h 3 (n) impulssivasteet ja näistä diskreetillä Fourier-muunnoksella muodostetut amplitudispektrit..2 h[n].5 H(f) h2[n] h3[n] = h[n] + h2[n] fs/2 fs/2.5.5 H2(f) -fs/2 fs/2.5.5 H3(f) -fs/2 fs/2 Kuva 7. Alipäästö-( h ), ylipäästö- (h 2 ) ja vastaavan kaistanestosuotimen (h 3 ) impulssivasteet ja näistä diskreetillä Fourier-muunnoksella muodostetut amplitudispektrit.

6 Tehtävä Tiedetään, että FIR-suodatin, jonka kertoimet ovat a = -.7, a =.25, a 2 =.84, a 3 =.25 ja a 4 = -.7 toteuttaa oheisessa kuvassa esitetyn alipäästösuodatuksen (f s = 8 Hz, rajataajuus -6 db kohdalla) a) Esitä suodattimen impulssivaste ja differenssiyhtälö. b) Muunna a-kohdan suodatin ylipäästösuodattimeksi. Esitä suodattimen impulssivaste ja differenssiyhtälö. Hahmottele amplitudispektri. c) Yhdistä a- ja b-kohdan suodattimet siten, että niistä muodostuu kaistanpäästösuodatin. Hahmottele kaistanpäästösuodattimen amplitudispektri. Ratkaisu a) h LPF (n) = {-.7,.25,.84,.25, -.7} y(n) = -.7 x(n) +.25 x(n-) +.84 x(n-2) +.25 x(n-3) -.7 x(n-4) b) h HPF (n) = {.7,.25, -.84,.25,.7} y(n) =.7 x(n) +.25 x(n-) -.84 x(n-2) +.25 x(n-3) +.7 x(n-4)

7 c) Kaistanpäästösuodatus syntyy, kun ali- ja ylipäästö toteutetaan peräkkäin Huomaa: Tarvittaessa kaistanpäästösuodattimelle voidaan laskea kertoimet konvoluution kaavalla: h BPF ( n) = hlpf ( n) hhpf ( n) = h 4 k = LPF ( k) h HPF ( n k) = {.29,,.35,,.64,,.35,,.29}

8 Tehtävä 2 Tiedetään, että FIR-suodatin, jonka kertoimet ovat a = 5, a =.22, a 2 =.25, a 3 =.22 ja a 4 =.5 toteuttaa oheisessa kuvassa esitetyn alipäästösuodatuksen (f s = 8 Hz, rajataajuus -6 db kohdalla) a) Esitä suodattimen impulssivaste ja differenssiyhtälö. b) Muunna a-kohdan suodatin ylipäästösuodattimeksi. Esitä suodattimen impulssivaste ja differenssiyhtälö. Hahmottele amplitudispektri. c) Yhdistä a- ja b-kohdan suodattimet siten, että niistä muodostuu kaistanpäästösuodatin. Hahmottele kaistanpäästösuodattimen amplitudispektri. Ratkaisu a) h LPF (n) = {.5,.22,.25,.22,.5} y(n) =.5 x(n) +.22 x(n-) +.25 x(n-2) +.22 x(n-3) -.5 x(n-4) b) h HPF (n) = {-.5,.22, -.25,.22, -.5} y(n) = -.5 x(n) +.22 x(n-) -.25 x(n-2) +.22 x(n-3) -.5 x(n-4)

9 c) Kaistanestosuodatus syntyy, kun ali- ja ylipäästö toteutetaan rinnakkain Huomaa: Tarvittaessa kaistanestosuodattimelle voidaan laskea kertoimet laskemalla impulssivasteet yhteen: h BSF ( n) = h ( n) + h ( n) = {,.44,,.44, } LPF HPF