Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Transkriptio

1 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta /57

2 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että x 2 = 0 x = x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen joukossa! Laajennetaan lukualuetta niin, että myös yhtälöllä x 2 = 1 on ratkaisu., 15. kesäkuuta /57

3 Kompleksitaso Kompleksiluvut kompleksitason pisteet: (3, 3 2 ) (0, 1) ( 7, 0) ( 1, 0) (0, 0) (1, 0) ( 7, 0) ( 4, 2), 15. kesäkuuta /57

4 Kompleksiluvut Määritelmä Kompleksilukujen joukko C on joukko { (a, b) a, b R } varustettuna yhteenlaskulla ja kertolaskulla, jotka määritellään seuraavasti: kompleksilukujen (a, b) ja (c, d) summa ja tulo ovat (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ja (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc)., 15. kesäkuuta /57

5 Imaginaariyksikkö Yhtälölle x 2 = 1 löytyy ratkaisu kompleksilukujen joukossa: Määritelmä (0, 1) (0, 1) = (0 1, 0 + 0) = ( 1, 0). Kompleksilukua (0, 1) merkitään symbolilla i ja kutsutaan imaginaariyksiköksi. Huom. Yllä olevan laskun mukaan i 2 = 1., 15. kesäkuuta /57

6 Kompleksiluvun esitys imaginaariyksikön avulla Oletetaan, että a, b R. Kompleksiluku (a, b) voidaan kirjoittaa imaginaariyksikön avulla seuraavasti: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) = (a, 0) + (b, 0) i ( ) = a + bi. Kohdassa ( ) samastetaan jälleen kompleksiluvut (a, 0) ja (b, 0) reaalilukuihin a ja b. Näin ollen C = { a + bi a, b R }., 15. kesäkuuta /57

7 Kompleksitaso i i i, 15. kesäkuuta /57

8 Kompleksilukujen summa ja tulo Summa ja tulo voidaan laskea kuten koulussa on opittu sieventämään reaalilukulausekkeita. Lisäksi pitää vain huomioida, että i 2 = 1. Esimerkki 1 Merkitään z = 4 2i ja w = i. Laske lukujen z ja w summa ja tulo. Yhdistetään samanmuotoiset termit: z + w = ( 4 2i) + (3 + 3 ) 2 i = i i = i., 15. kesäkuuta /57

9 Kerrotaan sulut auki kuten koulussa on opittu: zw = ( 4 2i) (3 + 3 ) 2 i = i 2i 3 2i 2 2 i = 12 6i 6i 3i 2 = 12 12i 3 ( 1) = 12 12i + 3 = 9 12i., 15. kesäkuuta /57

10 Kompleksilukuihin liittyviä käsitteitä Määritelmä Oletetaan, että a, b R. Kompleksiluvun z = (a, b) eli z = a + bi reaaliosa on Re z = a. imaginaariosa on Im z = b. HUOM! itseisarvo eli moduli on z = a 2 + b 2. liittoluku on z = (a, b) eli z = a bi. z z (Im z)i Re z z, 15. kesäkuuta /57

11 Lause 2 Oletetaan, että z C. Tällöin z = z z. Todistus. Lasketaan taululle., 15. kesäkuuta /57

12 Puhtaasti imaginaarinen luku ja reaaliluku Määritelmä Jos kompleksiluvun z reaaliosa Re z = 0 ja imaginaariosa Im z 0, sanotaan kompleksiluvun z olevan puhtaasti imaginaarinen luku. Jos kompleksiluvun z imaginaariosa Im z = 0, niin luku z on reaaliluku., 15. kesäkuuta /57

13 Kompleksiluvun käänteisluku Nollaa lukuunottamatta jokaisella reaaliluvulla on käänteisluku. Reaaliluvun ja sen käänteisluvun tulo on tunnetusti aina yksi. Sama vaaditaan kompleksilukujen tapauksessa. Kompleksiluvun z 0 käänteisluku on z 2 > 0). 1 z (huomaa, että z 2, 15. kesäkuuta /57

14 lisäksi ( 1 ) z z 2 z = z z z 2 = z z z z = 1 ja ( 1 z 2 z ) z = zz z 2 = zz z z = 1. Huom. Toinen yhtälö seuraa ensimmäisestä kompleksilukujen kertolaskun vaihdannaisuuden nojalla. Kompleksiluvun z käänteislukua merkitään z 1 tai 1/z tai 1 z., 15. kesäkuuta /57

15 Kompleksilukujen osamäärä Huom. Käänteislukujen avulla saadaan osamäärä: jos z, w C ja w 0, niin z w = z w 1. Käytännössä osamäärä on mukava sieventää laventamalla nimittäjän liittoluvulla: z w = wz ww = 1 w 2 wz., 15. kesäkuuta /57

16 Kompleksilukujen osamäärä Esimerkki 3 Merkitään z = 4 + 7i ja w = 2 i. Määritä luvun z käänteisluku sekä lukujen z ja w osamäärä., 15. kesäkuuta /57

17 Kompleksiluvuilla laskemista Esimerkki 4 Määritä kompeksiluvun z reaaliosa ja imaginaariosa, jos z = i, 15. kesäkuuta /57

18 Lause 5 Oletetaan, että z, w C. Tällöin zw = z w. Lause 6 Oletetaan, että z C \ {0}. Tällöin z 1 = z 1 (Todistukset taululle), 15. kesäkuuta /57

19 Mitä vikaa on alla olevassa yhtälönratkaisussa? 2x 1 = x 2 ( 2x 1) 2 = (x 2) 2 2x 1 = x 2 4x = x 2 6x + 5 x = 6 ± ( 6) x = 6 ± 4 2 = 3 ± 2 x = 5 x = 1, 15. kesäkuuta /57

20 Johtopäätös ei ole oikein, sillä x = 1 ei ole kyseisen yhtälön ratkaisu. Nimittäin jos x = 1, niin 2x 1 = = 1 = 1 mutta x 2 = 1 2 = 1. Onkohan x = 5 kyseisen yhtälön ratkaisu? Voit tarkistaa itse. Väärän johtopäätöksen lisäksi ratkaisun merkinnät ovat puutteelliset. Niistä ei käy mitenkään ilmi, miten toistensa alle kirjoitetut rivit liittyvät toisiinsa. Mikä on päättelyn suunta? Ratkaistaan yhtälö huolellisesti taululle., 15. kesäkuuta /57

21 Yhtälönratkaisua Esimerkki 7 Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö iz + 3 = 5z z i + 2i., 15. kesäkuuta /57

22 Trigonometriset funktiot ja yksikköympyrä Yksikköympyrän pisteiden ja trigonometristen funktioiden yhteys: yksikköympyrän kehäpisteen vaakakoordinaatti on vastaavan kulman kosini ja pystykoordinaatti on sini. Pythagoraan lauseella saadaan lisäksi cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 (cos ϕ, sin ϕ) 1 ϕ Huomaa, että yksikköympyrän säde on yksi., 15. kesäkuuta /57

23 Oletetaan, että r R ja r 0. Piste (cos ϕ, sin ϕ) saadaan siirrettyä etäisyydelle r origosta kertomalla sitä luvulla r: (r cos ϕ) 2 + (r sin ϕ) 2 = r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ = r 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = r 2 1 = r = r (r cos ϕ, r sin ϕ) r ϕ, 15. kesäkuuta /57

24 Kompleksiluvun napaesitys Kompleksiluvun napaesitys tarkoittaa kompleksiluvun esittämistä muodossa z = z (cos ϕ + i sin ϕ), missä z on luvun z itseisarvo eli moduli ja ϕ on luvun z vaihekulma eli argumentti. ϕ z cos ϕ + i z sin ϕ z, 15. kesäkuuta /57

25 Radiaani kulman suuruuden yksikkönä Kompleksiluvun vaihekulman eli argumentin yksikkö on absoluuttinen kulmayksikkö eli radiaani. Kulman suuruus radiaaneina on määritelmän mukaan kulman rajoittaman ympyrän kaaren suhde ympyrän säteeseen: α = b r. α r b Kulman suuruus radiaaneina on siis reaaliluku., 15. kesäkuuta /57

26 Radiaanien ja asteiden yhteys Muista, että 180 vastaa π radiaania. Joitakin kulmia: π π 3 π 1 2 π 1 3 π 1 4 π 1 6 π 180 0, 360 π 0, 2π π 5 4 π 4 3 π 3 2 π 5 3 π 7 4 π 11 6 π, 15. kesäkuuta /57

27 Kulman piirtäminen koordinaatistoon voi auttaa päättelyssä. Myös ns. muistikolmioista voi olla apua. π 6 1 π π 4 1 1, 15. kesäkuuta /57

28 Vaihekulma ei ole yksikäsitteinen Kompleksiluvun z vaihekulma ei ole yksikäsitteinen: Jos z = 0, niin vaihekulmaksi käy mikä luku tahansa: 0 = 0(cos ϕ + i sin ϕ) kaikilla ϕ R., 15. kesäkuuta /57

29 Jos z 0, sen eri vaihekulmat eroavat toisistaan täysien kierroksien verran; ts. kahden eri vaihekulman erotus on n 2π, missä n Z. ϕ γ z cos ϕ + i z sin ϕ z cos θ + i z sin θ θ z cos γ + i z sin γ Esimerkiksi ϕ = θ + 2π, γ = θ + 2 2π, γ = ϕ + 2π., 15. kesäkuuta /57

30 Kompleksiluvun napaesitys Esimerkki 8 Määritetään seuraavien kompleksilukujen napaesitys: z 1 = 2 + 2i z 2 = i z 3 = 1 i 3., 15. kesäkuuta /57

31 Merkitään luku z 1 = 2 + 2i kompleksitasoon: z 1 8 α ϕ Itseisarvon määritelmän mukaan z 1 = ( 2) = 8 = 2 2. Kuvaan piirretyn suorakulmaisen kolmion molempien kateettien pituus on 2, joten α = 45. Siten ϕ = = 135. Näin z 1 = 2 2 cos(3π/4) + i2 2 sin(3π/4)., 15. kesäkuuta /57

32 Merkitään luku z 2 = i kompleksitasoon: 3 2 π z 2 Itseisarvon määritelmän mukaan z 2 = ( 1) 2 = 1 = 1. Kuvasta nähdään, että vaihekulma on 3π/2. Näin z 2 = cos(3π/2) + i sin(3π/2)., 15. kesäkuuta /57

33 Merkitään luku z 3 = 1 i 3 kompleksitasoon: 2 γ z 3 Itseisarvon määritelmän mukaan z 3 = = 4 = 2. Kuvaan piirretyn suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 3 ja hypotenuusa on 2. Saadaan ratkaistua γ = 60. Näin z 3 = 2 cos( π/3) + i2 sin( π/3)., 15. kesäkuuta /57

34 Napaesityksen laskusääntöjä Tulon, liittoluvun ja käänteisluvun määrittäminen käy kätevästi napaesityksen avulla, kuten seuraavassa lauseessa osoitetaan. Potenssien laskemisessa auttaa ns. Moivrén kaava., 15. kesäkuuta /57

35 Napaesityksen laskusääntöjä ja Moivrén kaava Lause 9 Oletetaan, että luvuilla z, w C on napaesitykset z = z (cos ϕ + i sin ϕ) ja w = w (cos θ + i sin θ). Tällöin (a) zw = z w (cos(ϕ + θ) + i sin(ϕ + θ)). (b) z = z (cos( ϕ) + i sin( ϕ)). (c) z 1 = z 1 (cos( ϕ) + i sin( ϕ)). (d) jos n Z, niin z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) (De Moivren)., 15. kesäkuuta /57

36 Lauseen 9 todistus (osa). (a) Lasketaan ja käytetään sinin ja kosinin summakaavoja: zw = z (cos ϕ + i sin ϕ) w (cos θ + i sin θ) = z w (cos ϕ + i sin ϕ)(cos θ + i sin θ) = z w (cos ϕ cos θ + i cos ϕ sin θ + i sin ϕ cos θ + i 2 sin ϕ sin θ) = z w (cos ϕ cos θ + i(cos ϕ sin θ + sin ϕ cos θ) sin ϕ sin θ) = z w (cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ + i(cos ϕ sin θ + sin ϕ cos θ)) = z w (cos(ϕ + θ) + i sin(ϕ + θ)) Sinin ja kosinin summakaavat löytyvät erilaisista taulukkokirjoista. Täältä löydät todistuksen alle 90 kulmien tapauksessa., 15. kesäkuuta /57

37 w zw z zw = z w (cos(ϕ + θ) + i sin(ϕ + θ)). Kompleksilukujen tulon itseisarvo on tulon tekijöiden itseisarvojen tulo. Kompleksilukujen tulon vaihekulma on tulon tekijöiden vaihekulmien summa., 15. kesäkuuta /57

38 Moivrén kaava Esimerkki 10 Merkitään z = 6 i 2. Laske De Moivren kaavan avulla z 10., 15. kesäkuuta /57

39 Eksponenttiesitys Yksinkertaisuuden vuoksi asetetaan seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että ϕ R. Merkintä e iϕ tarkoittaa kompleksilukua cos ϕ + i sin ϕ; ts. e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Huom. Myöhemmillä kursseilla eksponenttifunktio x e x laajennetaan funktioksi C C, jolloin yllä olevaa määritelmää ei enää tarvita., 15. kesäkuuta /57

40 Määritelmä Eksponenttiesitys Kompleksiluvun eksponenttiesitys tarkoittaa kompleksiluvun esittämistä muodossa z = z e iϕ, missä z on luvun z itseisarvo ja ϕ on luvun z vaihekulma. ϕ z e iϕ z, 15. kesäkuuta /57

41 Eksponenttiesitys Esimerkki 11 Määritä seuraavan kompleksiluvun eksponenttiesitys: z = i, 15. kesäkuuta /57

42 Merkitään luku z = i kompleksitasoon: z 4 α ϕ Itseisarvon määritelmän mukaan z = ( 2) 2 + (2 3) 2 = 16 = 4. Kolmiosta saadaan α = π/3, joten vaihekulma on ϕ = 2π/3. Näin z = 4e 2π 3 i., 15. kesäkuuta /57

43 Binomiyhtälö Määritelmä Oletetaan, että w C ja n N, n > 0. Muotoa x n = w olevaa yhtälöä kutsutaan binomiyhtälöksi. Esimerkki 12 Binomiyhtälöitä ovat esimerkiksi yhtälöt x 6 = 1 ja x 2 = 4 + 4i., 15. kesäkuuta /57

44 Binomiyhtälö Binomiyhtälön ratkaiseminen helpottuu, jos käytetään eksponenttiesitystä sekä tuntemattomalle x että luvulle w. Oletetaan seuraavassa, että w 0. Menetelmä binomiyhtälön x n = w ratkaisemiseksi: 1. Merkitään x = re iϕ. 2. Etsitään luvun w eksponenttiesitys w = w e iθ. 3. Binomiyhtälö saa muodon ( re iϕ ) n = w e iθ r n e inϕ = w e iθ., 15. kesäkuuta /57

45 4. Yhtälössä esiintyvät kompleksiluvut ovat samat, jos ja vain jos niillä on sama itseisarvo ja niiden vaihekulmien erotus on k 2π, missä k Z. Siten saadaan tarkasteltavan yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari { r n = w nϕ θ = 2πk, missä k Z. 5. Ratkaistaan tästä yhtälöparista r ja ϕ., 15. kesäkuuta /57

46 Binomiyhtälö Esimerkki 13 Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (a) x 5 = 1 (b) z 4 = 2 3 2i., 15. kesäkuuta /57

47 Tulon nollasääntö kompleksiluvuille Lause 14 Oletetaan, että z, w C. Jos zw = 0, niin z = 0 tai w = 0., 15. kesäkuuta /57

48 Toisen asteen yhtälö Lause 15 Oletetaan, että r R. Jos r > 0, niin yhtälöllä x 2 = r on kompleksilukujen joukossa tasan kaksi ratkaisua, jotka ovat r ja r. Jos r = 0, niin yhtälöllä x 2 = r on kompleksilukujen joukossa tasan yksi ratkaisu, joka on 0. jos r < 0, niin yhtälöllä x 2 = r on kompleksilukujen joukossa tasan kaksi ratkaisua, jotka ovat i r ja i r. Ratkaisut saa käyttämällä tulon nollasääntöä tai binomiyhtälöiden ratkaisumenetelmällä., 15. kesäkuuta /57

49 Toisen asteen yhtälö Lause 16 Oletetaan, että a, b, c R ja a 0. Tarkastellaan yhtälöä ax 2 + bx + c = 0. Jos diskriminantti b 2 4ac 0, yhtälöllä on kompleksilukujen joukossa yksi tai kaksi juurta, jotka saadaan kaavasta x = b ± b 2 4ac 2a Jos diskriminantti b 2 4ac < 0, yhtälöllä on kompleksilukujen joukossa tasan kaksi juurta, jotka saadaan kaavasta x = b ± i b 2 4ac. 2a., 15. kesäkuuta /57

50 Toisen asteen yhtälö Esimerkki 17 Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö x 2 2x + 27 = 2 10x., 15. kesäkuuta /57

51 Toisen asteen yhtälö, missä kertoimet ovat kompleksilukuja. Esimerkki 18 Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö x 2 (2 + 4i)x + 8i 6 = 0., 15. kesäkuuta /57