5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k }, k=1 j lsumm s = n m k (x k x k 1 ), m k = min{f(x) x k 1 x x k }. k=1 Ain pätee: (i) s S, (ii) Kun jko tihenee, niin s ksv j S pienenee. Funktio f on integroituv välillä [, b], jos jokist ε > 0 vst sellinen jko, joss S s < ε. Funktion f integrli I R on tällöin se yksikäsitteinen luku, jolle s I S kikiss joiss; merkitään = I. Pätee: integrli on määritelty kikille jtkuville funktioille j se voidn lske rj-rvon n f(x k ) x lim n k=1 käyttämällä tsvälisiä jkopisteitä x k = + k x, joss x = (b )/n on skelpituus j 0 k n. Yleisemmin: Edellisessä summss rvon f(x k ) tilll voi oll mikä thns rvo f(z k ), kun x k 1 z k x k, eikä jon trvitse oll tsvälinen. Aino vtimus: Jkovälien mx-pituus 0, kun n. Määritelmä yleistyy myös ploittin jtkuville funktioille (j vieläkin yleisempään tilnteeseen) 1
Sopimus: = 0, = b Ominisuuksi: (i) (c 1 f(x) + c 2 g(x)) dx = c 1 + c 2 g(x) dx (linerisuus) (ii) b = c + b c kikill, b, c järjestyksestä riippumtt. (iii) f(x) g(x) Erityisesti ±f(x) f(x), joten g(x) dx f(x) dx Keskirvoperite: jos f on jtkuv, niin toisin snoen = f(c)(b ) jollkin c [, b], f(c) = 1 b = funktion f keskirvo välillä [, b] Anlyysin perusluse: Jos f : [, b] R on jtkuv, niin kikill x ], b[. d dx x f(t) dt = f(x) Seurus: Jos F (x) = f(x) kikill x, ts. F on funktion f integrlifunktio, niin = / b F (x) = F (x) x=b x= = F (b) F (). Integrlifunktio ei ole yksikäsitteinen, mutt eri integrlifunktiot poikkevt toisistn inostn vkioll; merkitään = F (x) + C, C R vkio, jos F (x) = f(x) 2
Kikill jtkuvill funktioill on integrlifunktio, mutt sitä ei in void esittää lkeisfunktioiden vull, vikk f olisi lkeisfunktio; esim. f(x) = e x2 Tvllisimmt integrlifunktiot: x r dx = 1 r + 1 xr+1 + C, r 1 x 1 dx = ln x + C e x dx = e x + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C dx 1 + x 2 = rctn x + C 5.2 Geometrisi sovelluksi Jos f(x) 0, niin on funktion kuvjn j x-kselin rjoittmn tsolueen pint-l välillä [, b] Yleisemmin: jos 0 g(x) f(x), niin (f(x) g(x)) dx on kuvjien y = f(x) j y = g(x) väliin jäävän lueen pint-l Funktion kuvjn y = f(x) krenpituus välillä [, b] on l = 1 + f (x) 2 dx Kun funktion f kuvj y = f(x) pyörähtää x-kselin ympäri, niin sdun pyörähdyspinnn pint-l on A = 2π f(x) 1 + f (x) 2 dx Jos kpplett leiktn yz-tson suuntisell tsoll kohdss x j poikkileikkuksen pint-l on A(x), kun x [, b], niin kppleen tilvuus on V = A(x) dx. Kun funktion f kuvj y = f(x) pyörähtää x-kselin ympäri, se rj pyörähdyskppleen, jonk tilvuus on V = π 3 f(x) 2 dx
Yleisemmin: Jos 0 g(x) f(x) j kuvjien y = g(x) j y = f(x) välinen lue pyörähtää x-kselin ympäri, niin sdun kppleen tilvuus on V = π (f(x) 2 g(x) 2 ) dx Huom: Tulos ei ole sm kuin π (f(x) g(x))2 dx Kun käyrä y = f(x) pyörähtää y-kselin ympäri, niin vstv tilvuus on V = 2π 5.3 Epäoleellinen integrli x Kksi eri perustyyppiä: Tyyppi I: Integroimisvälinä [, [ ti ], b] ti koko R Tyyppi II: Funktio f : ], b[ R ei ole rjoitettu ti sillä ei ole toispuoleisi rj-rvoj päätepisteissä Tyyppi I: Esim. f : [, [ R jtkuv. Tällöin = lim R jos rj-rvo olemss j äärellinen. Jos f : R R jtkuv, niin = 0 R +, jos molemmt oiken puolen integrlit suppenevt Jos f(x) 0 kikill x R, niin pätee = lim R R R 0, Tämä kv ei päde yleisesti, vrt. esim. tpus f(x) = x. Tyyppi II: poistetn ongelmkoht j tutkitn rj-rvon; esim. f : ], b] R jtkuv, mutt sillä ei äärellistä rj-rvo, kun x +. Tällöin = lim ε 0+ +ε, jos rj-rvo on olemss j äärellinen. Tällöin snotn: epäoleellinen integrli suppenee; muuten se hjntuu. 4
Jos ongelmi molemmiss päätepisteissä ti välin sisällä, jetn [, b] niin moneen osn, että kusskin osss vin yksi ongelmkoht: vditn, että jokinen erikseen nt äärellisen tuloksen, jolloin koko integrli = osien summ 5.4 Osittisintegrointi Perusongelm: Derivointi on helppo, siihen on kvt, joill kikki funktiot voidn derivoid. Integrointi on usein vike: vikk kikill jtkuvill funktioill on integrlifunktio, on sen määrittäminen usein käytännössä hnkl ti jop mhdotont (lkeisfunktioiden vull). Osittisintegrointi: ti ilmn rjoj f (x)g(x) dx = / b f(x)g(x) f (x)g(x) dx = f(x)g(x) Perustelu: Tulon derivoimissääntö + termien siirtely. f(x)g (x) dx f(x)g (x) dx Toimii silloin, kun funktion f(x)g (x) integrointi on helpomp kuin lkuperäisen funktion f (x)g(x). 5.5 Sijoitusmenetelmä Sijoitusmenetelmä: f(g(x))g (x) dx = Käytännössä: Sijoitus u = g(x), jolloin g(b) g() f(u) du du dx = g (x) du = g (x) dx Rjojen muutos: x = u = g(), x = b u = g(b) Muunnos voidn kirjoitt myös käänteisfunktion vull: x = g 1 (u) dx = (g 1 ) (u) du = (1/g (x)) du, joten tulos on sm kuin ikisemmin. (Adms & Essex -kirjss nämä käsitellään erikseen kohdiss 5.6 j 6.3, mikä on tvlln turh) Perustelu: Seur yhdistetyn funktion derivoimissäännöstä (luennot). 5
5.6 Osmurtohjotelm Osmurtohjotelm: Rtionlifunktiot voidn integroid hjottmll ne yksinkertisempiin osiin. Tyypillinen esimerkki:, b R vkioit, x + b (x 1)(x 2) = A x 1 + B x 2, joss kertoimet A, B sdn selville kertomll puolittin lusekkeell (x 1)(x 2) j sijoittmll vuorotellen x = 1 ti x = 2. Toinen tp: verrtn x-termien kertoimi yhtälön eri puolill. Tämän vull voidn lske x + b dx = A ln x 1 + B ln x 2 + C (x 1)(x 2) 5.7 Numeerinen integrointi* Hnklien integrlien likirvoj voidn joskus lske Tylor-polynomien vull (kuten ikisemmin kurssill). Tämä edellyttää kuitenkin, että integroitv funktio on nnettu jonkin lusekkeen vull. Useiss sovelluksiss funktiost tunnetn vin sen rvot tietyissä pisteissä: y k = f(k x) (esim. mittusdt). Tällöin integrlill ei ole mitään yksiselitteistä oike rvo, mutt sitä voidn pproksimoid seurvill menetelmillä. Yksinkertisin tp on puolisuunniks- eli trpetsisääntö: ( 1 T n = h 2 f(x 0) + f(x 1 ) + f(x 2 ) + + f(x n 1 ) + 1 ) 2 f(x n), joss h = (b )/n on skelpituus, n N jkovälien lukumäärä j x k = + kh, 0 k n, ovt jkopisteet. Muit pproksimtioit ovt mm. keskipistesääntö M n = h(f(m 1 ) + f(m 2 ) + + f(m n )), m k = (x k 1 + x k )/2, j Simpsonin sääntö S n = h 3 (f(x 0)+4f(x 1 )+2f(x 2 )+4f(x 3 )+2f(x 4 )+ +4f(x n 1 )+f(x n )), joss funktiot interpoloidn 2. steen polynomill khdell peräkkäisellä jkovälillä; luvun n täytyy oll prillinen. 6