A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

Transkriptio

1 MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin vstt. A-osioss ei s käyttää lskint. A. ) Muun binääriluvuksi luku 5 b) Muunn kuusikntiseen lukujärjestelmään luku 44 A. Yksi kuuluisimmist rekursiivisist lukujonoist on Fibonccin jono. Fibonccin jonoss j n n n. ) Määritä Fibonccin jonon kymmenen ensimmäistä jäsentä. b) Määritä jäsen kun tiedetään että j A. Sievennä:.

2 B-osio. Vlitse seurvist viidestä tehtävästä neljä, joihin vstt. St käyttää lskint j MAOL:in tulukkokirj. B4. Resistnssi R lsketn U R I, missä U on jännite (V) j I on virt (A). B5. Olkoon ) Ilmoit Resistnssin suuruus virherjoineen, kun on mitttu jännite U,,V j virt I 6,4,4mA. Suureen perässä on ilmoitettu mhdollinen mittusvirhe plus/miinus molempiin suuntiin. b) Ilmoit myös suhteellinen virhe. 4 f ( ) 5 5. Todist Bolznon lusett käyttäen, että funktioll f() on kksi nollkoht välillä [-,]? Määritä hrukointi käyttäen jompikumpi nollkohdist khden desimlin trkkuudell. B6. Vstostetun metsäplstn puumäärä oli ensimmäisen ksvukuden luss m. Puumäärä lisääntyi jokisell ksvukudell,4%, jonk jälkeen puusto hktn pois puumäärä ylittää 7 m. Kuink monen vuoden jälkeen 4 m? Vstuksen perusteluksi vditn jonkinlinen kv/funktio/jono puumäärän lisääntymiselle j selitys ti listus siitä miten rtkisuun päädyttiin. B7. Määritä käyrän f( ) sin j -kselin väliin jäävä pint-l välillä, käyttäen Simpsonin sääntöä j khdeks jkoväliä. Ann vstus neljän desimlin trkkuudell. B8. Määritä jokin yhtälön cos rtkisu newtonin menetelmällä. Ilmoit rtkisu viiden desimlin trkkuudell. Kirj lopuksi trkistust vrten tähän tehtäväpperiin lyhyesti vstuksesi. St pitää tämän tehtäväpperin Rtkisut osoitteess klo : jälkeen

3 Rtkisut:. ) b). ) j 755 b) 4 5 Tällöin: Ktso myös: J: Jkokulmn:

4 Joten: ( )( ) 4. ) Pitää ott huomioon, että suurin mhdollinen virhe sdn, kun mhdollisimmn iso jännite jetn mhdollisimmn pienellä virrll, j päinvstoin: U R, 7 I, 64 R R min m,, missä U on jännite (V) j I on virt (A).,, 64, 4,, 5 4, 64, 4 Resistnssi virherjoineen on R,,,64,6% b) Suhteellinen virhe: 5. 4 f ( ) 5 5 on polynomifunktio, joten funktio on jtkuv kikill R f ( ) 5 j f () 5 j välin keskipisteess, kun = -,5 f (,5) 4,875 joten funktioll on nollkoht välillä ]-; -,5[ j toinen nollkoht välillä ]-,5; [. Hen hrukoimll nollkohdn väliltä ]-,5; [:. f() - -,5 4,85 -,75,96 -,95 -, ,85,956 -,9 -,99 -,875,857 -,884 -, Nollkoht on siis :n rvojen -,875 j -,884. Pyöristys siis = -,88. Vstvll tyylillä toinen nollkoht, jok on = -,., 4 7, 4 7, 4 7 Tulukoin tähän termien rvoj, lskimell on helppo luod esim. ANS-näppäimellä looppi, jok nt in rekursiivisen jonon seurvn termin:, 4 7 n n

5 =9 =79 = 4=6 5=48 6=454 7=5 8=45 9=6 =65 =77 =76 =8 4=88 5=94 6=47 Eli 6 vuoden jälkeen puumäärä ylittää 4 kuutiometriä. sin 7. Määritä käyrän f( ) j -kselin väliin jäävä pint-l välillä, Tässä ongelmksi tulee tuo funktion f() rvo kohdss =. Funktioonhn ei voi suorn sijoitt rvo = j pitäisikin tutki rj-rvoll, minkälisi rvoj funktio f() s kun ->. Helpommll pääsee, kun ktsoo lskimest, että funktio näyttää svn rvon, kun =. Lisäksi pitää huomt, että funktio s negtiivisi rvoj välillä,. Näille väleille osuvien :n rvojen kohdill pitää funktio syöttää itseisrvoiss, jott sdn koko jn positiivisi rvoj, kosk pint-l on positiivinen suure. Minä vielä sieventelin noit sinin rvoj, kosk ne ovt helppo pyöritellä muistikolmiost, smoin join nuo murtolukujen jkolskut pois, niin lskimeen näppäily helpottui j minimoin virheen mhdollisuuden siinä viheess. Ei pkollist näpräilyä sin sin sin sin sin sin sin A , cos. Arv (eli käytän lskimen solveri ti piirrän lskimell kuvjn j ktson siitä ) että rtkisu voisi oll lähellä, kun,5. Merkitään: f ( ) cos f '( ) sin 4 5 f (,5) cos(,5),5,5,5, 755 f '(,5) sin(,5), 794, 799, 799 :n rvot lkoivt toist itseään viiden ekn desimlin suhteen, joten nollkoht on siinä. =,799