Differentiaali- ja integraalilaskenta 5 op

Transkriptio

1 Differentili- j integrlilskent 5 op Moodle: Differentili j Integrlilskent R5R5S Avin: syksy6

2 Sisältö. jkso Derivtn määritelmä rj-rvon Derivoimiskvojen käyttö Derivtn sovelluksi Koe. jkso Integrlifunktio Integroimiskvojen käyttö Määrätty integrli Määrätyn integrlin sovelluksi Plutettvt etätehtävät ARVIOINTI A. Lskumonisteen lskut (m 0 p) - os käydään tuntiesimerkkeinä - loput lsketn tunnill j koton viikkotehtävinä - om moniste voi oll kokeess Monistett kuljetetn mukn tunneill. Trkistus: JOKO sknnus plutusltikkoon, TAI näyttäminen (opettj merkitsee listn) B. Koe derivtst j sen sovelluksist (m 0 p) C. Integrlilskennn plutettvt tehtävät ( m 0 p) ei koett: tehtävät tehdään WolfrmAlphll ti koneell

3 Rj-rvon käsite

4 Rj-rvon määritelmä j merkintä Vikk lusekett ei olisi määriteltykään josskin pisteessä = 0, lusekkeen rvot sttvt lähestyä jotin äärellistä rvo, kun lähestyy rvo 0. Tällinen tilnne on esim. murtolusekkeiden kohdll silloin kuin muuttuj lähestyy sellist rvo, jok on sekä osoittjn j nimittäjän nollkoht. Esim. Mitä rvo lähestyy luseke, kun lähestyy rvo 0 Supistetn : ( ) ( ) (0 ) kun ->0 Esim. Mitä rvo lähestyy luseke 4, kun lähestyy rvo Supistetn : ( -b )= (-b)( + b) 4 ( )( ) 4, kun ->

5 Merkintä Murtolusekkeiden rj-rvo kohdiss, joiss osoittj j nimittäjä ovt nolli, rtke helposti supistmll lusekett. Edelliset lskut voi merkitä myös seurvsti: lim 0 lim 0 ( ) lim 0 ( ) 0 Lue: limes ( +)/, kun lähestyy 0: on lim 4 lim ( )( ) lim( ) 4

6 Rj-rvojen lskeminen WolfrmAlphss Esim. Mitä rvo lähestyy luseke 4, kun lähestyy rvo Tp: Suorin tp on käyttää rj-rvon lskentn trkoitettu limit - komento limit (^-4)/( -) s -> Answer: Tp: Rj-rvon lskeminen perustuu selliseen tekijän supistmiseen, jok iheutt 0/0 muodon. Välivihe rj-rvolskulle löytyy joko käyttämällä fctorkomento osoittjn ti simplify koko lusekkeeseen. fctor (^ 4 ) Answer: (-) (+) 4 ( )( ) johon sij. = nt 4 ti simplify simplify (^-4)/( -) Answer: (+) johon sij. = nt 4

7 Rj-rvojen numeerinen määrittäminen Esim. Mitä rvo lähestyy luseke, kun lähestyy rvo 0 On myös mhdollist lske rj-rvo numeerisesti sijoittmll muuttujlle rvoj hyvin läheltä rj-rvokoht = 0 ( = 0 ei voi sijoitt, kosk osoittj j nimittäjä ovt molemmt :llä jollisi) ( +)/() Jtkettess kohti rvo 0, lusekkeen rvo näyttää lähestyvän rvo

8 Derivtt Tehtävä: Määritä käyrän y = tngentin kulmkerroin, kun = ( ts. funktion y = derivtt kohdss =) ( +h, (+h) - ) (, ) Sekntin kulmkerroin k y y ( h) h ( h) h 4 Derivtt sdn selville, kun ylempi piste lähestyy lemp, eli kun h -> 0 lim h0 ( h) h 4 4

9 Derivtn numeerinen määrittäminen nnetuss kohdss Tehtävä: Määritä käyrän y = tngentin kulmkerroin, kun = ( ts. funktion y = derivtt kohdss =) (, ) Lsketn funktion rvoj nnetun kohdn = molemmin puolin Derivtlle kohdss = voidn lske likirvo kulmkertoimen lskukvll käyttäen viereisiä pisteitä (.9,.6) j (.,.4) k y y Käytännössä derivtn rvot lsketn useimmiten derivoimiskvoill. Tällöin rj-rvolskent eikä numeerist menetelmää ei trvitse käyttää.

10 8.9 Derivtt. Funktion derivtn määrittäminen nnetuss kohdss käyrää. Derivttfunktio yleisen lusekkeen lskeminen nnetun funktion derivtlle. Derivointi käyttäen derivoimiskvoj 4. Derivointi lgebrlskimell (WolfrmAlph)

11 Derivtt Tehtävä: Määritä käyrän y = tngentin kulmkerroin, kun = ( ts. funktion y = derivtt kohdss =) A B (, ) ( +h, (+h) - ) Käyrän y = sekntin AB kulmkerroin k y y (( h) ) ( ) ( h) 4 h h Derivtt sdn selville, kun ylempi piste lähestyy lemp, eli kun h -> 0 lim h0 ( h) h 4 4

12 Derivtn numeerinen määrittäminen nnetuss kohdss Tehtävä: Määritä käyrän y = tngentin kulmkerroin, kun = ( ts. funktion y = derivtt kohdss =) (, ) Lsketn funktion rvoj nnetun kohdn = molemmin puolin Derivtlle kohdss = voidn lske likirvo kulmkertoimen lskukvll käyttäen viereisiä pisteitä (.9,.6) j (.,.4) k y y Käytännössä derivtn rvot lsketn useimmiten derivoimiskvoill. Tällöin rj-rvolskent eikä numeerist menetelmää ei trvitse käyttää.

13 Derivttfunktio Tehtävä: Määritä käyrän y = derivttfunktio = yleinen luseke, jost derivtn voi lske missä thns kohdss. (+h, (+h) -) (, -) k y Sekntin kulmkerroin ) y ( h) ( ) ( h h h Derivtn lki sdn selville, kun ylempi piste lähestyy lemp, eli kun h -> 0 lim h0 ( h) h

14 Derivtn määritelmä Funktion f() derivtt kohdss 0 on sen kuvjn tngentin kulmkerroin ko. kohdss. Sitä merkitään f ( 0 ) Derivtn rvo kuv funktion ksvunopeutt kyseisessä kohdss. Jott derivtn rvon voisi lske helposti yhden pisteen sijst missä thns kohdss käyrää, knntt lske funktion f() derivtn yleinen luseke, ns. derivttfunktio. Funktion f() derivttfunktio f () on luseke, jost voi lske funktion derivtn rvon missä thns kohdss. Derivttfunktion merkintätpoj, kun y = f(). f '( ) y' df ( ) d dy d Df () esim. Derivtn määritelmä: f '( ) lim h 0 f ( h) h f ( ) D( )

15 Derivoimiskvoj. Vkiofunktion derivtt: Dc 0. Potenssifunktion derivtt: D D n n n Esim. ) Lske funktion f() = 5 derivttfunktio. b) Lske funktion f() = 5 tngentin kulmkerroin, kun = c) Lske funktion f() = 5 tngentin kulmkerroin, kun = - ) D 5 = 5 4 b) f () = 5* 4 = 40 c) f (-) = 5*(-) 4 = 5 Esim. Määritä seurvien funktioiden derivttfunktiot (ts. derivoi seurvt funktiot.. Potenssifunktion derivtt kun potenssi on negtiivinen ( -n ): D n n n ) D 05 b) D c) D 5 =

16 Potenssin derivoimiskv D n = n n- voi käyttää myös juurilusekkeisiin, kun juuret ensin ilmoitetn potenssimuodoss Juurimuoto Potenssimuoto Derivtt

17 Polynomin derivtt Perustuu lkeihin ) D f() = Df() ) D ( f() + g() ) = D f() + D g() Vkion voi siirtää derivttoperttorin eteen. Summn derivtt on sen termien derivttojen summ Esim. D ( ) = - * + 5* 4* + 0 = Esim. D (5 + / - 5 +) = 5* + *(-/ ) 5* ½* -/ + 0 = 4 0 5

18 Erikoisfunktioiden derivoimiskvoj D sin( ) cos( ) Esimerkki. Derivoi seurv pitkä luseke, joss esiintyy erilisi perusfunktiot: D cos( ) sin( ) D tn( ) cos( ) D ( cos() - ½ sin() + e ½ ln()+ - ) 4 Rtkisu: Kysytty derivtt on sin() ½ cos() ¼ e De e D ln( )

19 .9 Kertus. viikon sioihin Uuten: Tulon j osmäärän derivointi Polynomi derivoidn siten, että kertoimet j summmuoto säilyvät. Kukin :n potenssi korvtn derivtlln. D ( ) = - * + 5* + 7* = Kvt: D c = 0 D = D n = n n- D n = n n+ Muidenkin perusfunktioiden lineriyhdistelmä derivoidn smll peritteell kuin polynomi D sin() = cos() D cos() = - sin() D ( - 8 sin() 5 ln() - ) Neliöjuuri = ½ D tn() = cos() De = e = * ½* - ½ - 8 cos() 5* = - ½ - 8 cos() 5 Seurvksi käydään läpi, miten perusfunktioiden tuloj j osmääriä derivoidn

20 Tulon j osmäärän derivoimiskvt

21 Tulon derivtt Jos derivoitv funktio on khden funktion tulo, sen derivtt lsketn kvll D ( f()g()) = f ()*g() + f()*g ()) = ensimmäisen tekijän derivtt * toinen tekijä + ensimmäinen tekijä*toisen tekijän derivtt. Jos tuloss on enemmän tekijöitä, derivtt on summluseke, joss on derivoitu yhtä tekijää kerrlln muiden pysyessä ennlln putulukko D( sin( )) sin( ) cos( ) f() = g() = sin() f () = g () = cos() D(( ) ln( ) e ln( ) ) e ( ) e ( )ln( ) e putulukko f() = + g() = ln() h() = e f () = g () = / h () = e

22 Osmäärän derivtt Jos derivoitv funktio on khden funktion osmäärä, sen derivtt lsketn kvll D f() g() = f () g() f() g () g() D sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) putulukko f() = sin() g() = f () = cos() g () = 5 (5 ) 5 (5 ) 0 0 (5 ) (5 ) D putulukko f() = g() = 5 + f () = g () = 5

23 Yhdistetyn funktion derivointi Uset funktiot koostuvt rkenteeltn useist sisäkkäisistä funktioist: Esim. y e rkentuu funktioist e j - y cos( 4 ) funktioist cos() j 4 +

24 Yhdistetyn funktion derivtt Dg( f ( )) g'( f ( )) f '( ) Kun useit funktioit on sisäkkäin, derivoidn niistä jokinen lken uloimmst. Dsin( 5) cos( 5) 5 Sinin derivtt = kosini, 5:n derivtt = 5 D( 4 7) (4 7) 4 (4 7) :n derivtt =, 4+7:n derivtt = 4 Dcos( De 4 ) sin( e Dln( ) 4 ) 4 ( 4) 4e 4 4sin( ) kosinin derivtt = -sin, :n derivtt = 4 e :n derivtt = e, -4:n derivtt = -4 ln():n derivtt = /, (+):n derivtt =

25 Yhdistetyn funktion derivointi: eri tpuksi ) '( )) ( cos( )) ( sin( f f f D ) '( ) ( ) ( f f n Df n n ) '( )) ( sin( )) ( cos( f f f D ) '( ) ( )) ( ln( f f f D ) '( ) ( ) ( f e De f f ) (5 0 5 ) 5(5 ) 5 ( D ) cos( ) sin( D k k k D ) sin( ) cos( b b b be b e De ) ( D ) ln(

26 Korkemmn steen derivtt Funktiot derivoidn usen kerrn peräkkäin Esimerkki: y = f() = Sen derivtt: y = f () = Toinen derivtt y = f () = + 0 Kolms derivtt y = f () =

27 Osittisderivtt Yhden muuttujn funktioll on vin yksi derivtt: D ( + 4 ) = + 4 Usen muuttujn funktioll on derivtt jokisen muuttujn suhteen: D (y y, ) = y + 4 D (y y, y ) = + 5 Merkintätvt: f f y ti kuten lskimiss D(f,), D(f,y)

28 Esim. sähkötehon kv on P U R U = jännite R = resistnssi Tehtävä: Lske P:n osittisderivtt U:n j R:n suhteen. P U U D( R, U ) U R Perustelu: D n = n n- => D = P U U D( R, R) U R D n = D = n => n+

29 Esim. Neliöpohjisen ltikon tilvuus V(,h) = h. Lske funktion osittisderivtt muuttujien j h suhteen. h h D V ), ( ), ( h h D h V V= h h

30 Lj derivoimiskvkokoelm Koekvsto D c = 0 D n = n n- D (+b) n = n (+b) n- * D ( +b) n = n ( +b) n- * D ( b) n n ( b) n D sin() = cos() D cos() = -sin() D e = e D ln( ) D b D sin() = cos() D cos( ) = - sin() D e = e D ln( b) b D e +b = e +b b D sin( +b) = cos( + b) D cos( ) = - sin( +b) Tulon derivtt D( f g) f ' g f g' Osmäärä derivtt D f g f ' g g Yhdistetyn funktion derivtt f g' Dg( f ( )) g'( f ( )) f '( )

31 Derivtn sovelluksi DERIVAATTA VIRHEEN ARVIOINNISSA

32 Absoluuttinen j suhteellinen virhe Virhe ilmistun bsoluuttisen virheenä : ( )m Virhe ilmistun suhteellisen virheenä / :.5m.4% 0.05m 00%.5m.% Esim. Virtmittrin trkkuus on ilmistu suhteellisen virheenä.

33 Tulosten oike esitysmuoto. Mitkä ovt virheellisiä esitystpoj, mitkä oikeit? ) 7.78 g ± 0. g b) 8.6 m ± 0.0 m c) (7.9 ± ) N d) 7.6 ± 0. m e) 0.0 mm ± 0.4 mm

34 Yhden muuttujn funktion virhe Funktion virhe = derivtt * muuttujn virhe f f '( ) Derivtt on funktion kuvjn tngentin kulmkerroin. Juuri kulmkerroin kertoo funktion rvon muutoksen j muuttujn rvon muutoksen välisen suhteen.

35 Esim. Lske kuulringin pint-l j sen bsoluuttinen virhe, kun ringin hlkisijksi mitttiin cm ± cm d =(. ± 0.0) m Lskun viheet:. Lsketn l yksikössä m. A d 4 (.m) 4. Lsketn ln bsoluuttinen virhe.56m Aln kv A r d r = säde, d = jlkisij 4 ( ) d f f '( ) Derivtt (d) 4 d:n mittusepätrkkuus: Δd = π/4**.*0.0 = 0.0 TULOS: A = (.56 ± 0.04) m

36 Esim. Lske jlkpllon tilvuus, kun sen hlkisij on.0 cm ± 0. cm Lskun viheet:. Lsketn tilvuus yksikössä cm. V d 6 (.0cm) cm Pllon tilvuuden kv V 4 r 4 d ( ) r = säde, d = jlkisij d 6. Lsketn tilvuuden bsoluuttinen virhe Derivtt d:n mittusepätrkkuus: V d 6 d (.0cm) *0.cm 5cm TULOS: V = (5580 ± 60) cm

37 Monen muuttujn funktion virhe ),, ( z y f f z z f y y f f f Osittisderivtt Kukin kvn termi kertoo suuruuden osvirheelle, jok iheutuu kyseisen muuttujn mittuksen epätrkkuudest. Kokonisvirhe sdn lskemll kikki osvirheet positiivisin yhteen.

38 Sylinterin tiheys määritetään mittmll sen mss m, pohjn hlkisij d j korkeus h: m = (7.45 ± 0.05) g, d =.50 ± 0.0) cm nd h = 5.00 ± 0.04) cm Tiheyden kv: Lskun viheet:. Lsketn tiheys yksikössä g/cm. 4m d h 47.45g (.50cm) 5.0cm g cm m V 4 m d h 4m d h. Lsketn osvirheet, jotk iheutuvt mittusepätrkkuuksist Osittisderivtt 4 4 d h (.50cm) 4m h 4m d mittusepätrkkuus: m 0.05g d h 8m hd 5.0cm 87.45g 5cm(.5cm) g cm d d 0.0cm m d h 47.45g (.5cm) (5cm) h h 0.04cm kok.virhe 0.9 g/cm g cm g cm Osvirheiden summn TULOS: ρ = (8. ±0.) g/cm Deriv. kvt D D n n, n D D jost

39 SUHTEELLISEN VIRHEEN MENETELMÄ

40 SUHTEELLISEN VIRHEEN MENETELMÄ Sopii lusekkeille, joiss ei esiinny erikoisfunktioit, kuten sin,cos, tn, e ti log, eikä yhteen ti vähennyslskuj. Ainot sllitut ovt kerto, jko, j potenssi. n m y f (, y, z) vkio k z Tällöin funktio suhteellinen virhe = muuttujien suht. virheiden pinotettu summ, joss pinokertoimin ovt muuttujien potenssit lusekkeess. f f n m y y k z z

41 Suhteellisen virheen menetelmä Sylinterin tiheys määritetään mittmll sen mss m, pohjn hlkisij d j korkeus h: m = (7.45 ± 0.05) g, d =.50 ± 0.0) cm nd h = 5.00 ± 0.04) cm Tiheys ( 7.45g.5 5.0) cm 8.0 g cm 4 DERIVOINTIIN VERRATTUNA PALJON HELPOMPI TAPA! Lsketn mittustulosten suht. Virheet: 0.05/7.45*00%=0.07%, 0.0/.5*00% =.%, 0.04/5*00% = 0.8% m m d h 0.07%.% 0.8% d h.5% Tulos: ρ = 8.0 g/cm ± 4% ti muodoss : ρ = (8. ± 0.)g/cm.4%*8.0=

42 Integrlilskent. Integrlifunktion määritelmä. Integrointi kvoill. Integrointi Online- lskimill

43 Integrlifunktio Integrlifunktion määritelmä: Jos D F() = f() eli f() on funktion F() derivtt, niin snotn, että F() on f():n integrlifunktio j merkitään f() d = F() + C Vkio C johtuu siitä, että integrlifunktio ei ole yksikäsitteinen. Vkion derivtt = 0, joten integrlifunktioon voidn lisätä mikä thns vkio C. Esim. d = + C Perustelu: D( + C) =

44 INTEGROIMISKAAVAT d = + C Vkiofunktion Vkiofunktion y = integrlifunktio n d = n + n+ + C Potenssifunktion integrli, kun n - n - Tehtävä: d d d d d 4 4 C 5 C / 7 C C C C d ln( ) C Potenssin / integrlifunktio

45 d ) 5 ( C C d 4 C C C d LISÄÄ ESIMERKKEJÄ

46 Erikoisfunktioiden integrlifunktioit ) cos( ) sin( D ) sin( ) cos( D De e D ) ln( C d ) sin( ) cos( C d ) cos( ) sin( C e d e C d ) ln( d e ) ) sin( ) (cos( Esim. C e ) cos( ) sin( Derivoimiskv Vstv intergroimiskv

47 Integrlej yhdistetyistä funktioist Dsin( ) Dcos( ) De cos( ) e sin( ) Dln( b) D( b) Esim. Derivoimiskv b n( b) n n e 4 d 5 ( ) d = -/4 e -4 + C Vstv intergroimiskv cos( ) d sin( ) C sin( ) d cos( ) C e d e C d ln( b) C b n ( b) ( b) d n 4 6sin() d = 4* ½* C = C = - cos() + C n C

48 Integroimiskvojen yhteenveto C n d n n C n b d b n n ) ( ) ( C d C d ) sin( ) cos( C d ) cos( ) sin( C e d e C d ) ln( C d ) sin( ) cos( C d ) cos( ) sin( C e d e C b d b ) ln(

49 Integrointi lskimell Algebrlskin os integroid. Seurvt sit on kuitenkin syytä tietää: ) Jos pitää integroid funktioit, joiss esiintyy sini j kosini, lskimen pitää oll rdinimoodiss. (ei DEG vn RAD) Lskin on väärässä moodiss, jos derivoitess ti integroitess tulokseen ilmestyy vkioit π/80 ti 80/π ) Funktioss e esiintyvä e ei ole e- kirjin vn Neperin vkio.78 Kyseinen funktio ti Neperin e on omss näppäimessään ti sillä on om funktionimi. Olet kirjoittnut eksponenttifunktion käyttäen väärää e :tä, jos tulokseen ilmestyy ln(e) Wolfrmlphll integrointi on helppo

50 Integroimiskvoj C n d n n C n b d b n n ) ( ) ( C d C d ) sin( ) cos( C d ) cos( ) sin( C e d e C d ) ln( C d ) sin( ) cos( C d ) cos( ) sin( C e d e C b d b ) ln(

51 Määrätty integrli Luetn Integrli :st b:hen f() d

52 Mikä on määrätty integrli? Lskee summn rj-rvon, kun skelväli Δ lähenee noll. = käyrän j -kselin välinen l, jos f() > 0 koko välillä

53 Määrätty integrli nt positiivisen funktion y = f() kuvjn j kselin välisen lueen ln. Kun f() 0 välillä [,b], määrätty integrli nt käyrän f() j -kselin välisen ln välillä [,b].

54 MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN LASKEMINEN KÄSIN F ( ) f ( ) d ) Lsketn integrlifunktio Vkioksi C voi sett 0 b f ( ) d F( b) F( ) Määrätty integrli sdn vähentämällä integrlifunktion rvost ylärjll b sen rvo lrjll kohdss.

55 Esimerkkejä: F() =

56 MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN LASKU KONEELLA

57 5..05 Määrätty integrli j sovelluksi KAAVASTO - Pint-lt - Pyörähdyskppleen tilvuuslskut - Funktion keskirvo - Käyrän krenpituus - Pyörähdyskppleen vipn pint-l - Tsolueen pinopiste - Pyörähdyskppleen pinopiste - Numeerinen integrointi Sisältö - Määrätyn integrlin lskeminen - Tsolueen l: perustpukset - Funktion keskirvo nnetull välillä - Pyörähdyskppleen tilvuus - Käyrän krenpituus - Pyörähdyspinnn l - Tsolueen j pyörähdyskppleen pinopiste

58 5..05 Määrätyn integrlin lskeminen 5 d 5 / 5 4 Määrätty integrli lsketn seurvsti:. Määritetään integroitvn funktion integrlifunktio F(). Määrätyn integrlin rvo on integrlifunktion rvojen erotus ylä j lrjll F(b) F(). Käyrän y=f() j - kselin välisen lueen pint-l, kun f()>0 A b f ( ) d

59 Käyrän y=f() j - kselin välisen lueen pint-l, kun f()<0 A b f ( ) d. Käyrän y=f() j - kselin välisen lueen pint-l, kun f():n merkki vihtelee A b f ( ) d Ti ploittin integroitun c A f ( ) d f ( ) d b c

60 Käyrien y=f() j y = g() väliin jäävän lueen l A b ( g( ) f ( )) d Rjt j b sdn rtkisemll yhtälö f() = g() Lskimell solve(yhtälö, ) Huom!. Jos käyrien g() j f() suuruussjärjestys vihtelee, ti siitä ei ole tieto, on erotus litettv itseisrvojen sisälle g()- f() 5. Käyrän y=f() j y- kselin välisen lueen pint-l A f ( b) f ( ) g( y) dy Lske integroimisrjt y = f() j y =f(b) Integroitv funktio g(y) on funktion f() käänteisfunktio, jok sdn rtkisemll y = f() :n suhteen: esim.lskimell: solve ( y = f(), ) 4

61 Funktion y=f() keskirvo välillä [,b] f ( ) b f d b ( ) 7. Pyörähdyskppleen tilvuus, kun käyrä f() pyörähtää - kselin ympäri V b f ( ) d Huom! Jos khden käyrän välinen kistle pyörähtää - kselin ympäri, synnyttäen onton pyörähdyskppleen, voidn sen tilvuus lske khden umpinisen pyörähdyskppleen erotuksen. Jos käyrien suuruusjärjestys vihtelee, vrmin tp on integroid itseisrvoluseke f()^ - g()^ 5

62 Pyörähdyskppleen tilvuus, kun käyrä f() pyörähtää y- kselin ympäri V f ( b) f ( ) g( y) dy g(y) sdn rtkisemll y=f() :n suhteen 9. Funktion kuvjn kren pituus s b f '( ) d 6

63 Pyörähdyspinnn l b A f ( ) f '( ) d. Käyrän j - kselin välisen tsolueen pinopiste ( p,y p ) Lsketn ensin tsolueen l b A f ( ) d p b f d A ( ) y p A b f ( ) d 7

64 Khden käyrän välisen tsolueen pinopiste ( p,y p ) Lsketn ensin tsolueen l b A ( g( ) f ( )) d b p g f d A ( ( ) ( )) b y p g f d A ( ( ) ( ) ) Huom! Erotukset kvoiss on syytä litt itseisrvojen sisälle, jos käyrän g() välillä menee f():n lpuolelle ti ei ole tieto funktioiden suuruusjärjestyksestä.. Pyörähdyskppleen pinopiste ( p,0) Lsketn ensin kppleen tilvuus V b f ( ) d p b f d V ( ) 8

65 Määrätyn integrlin lskeminen numeerisesti Esimerkki: Lske käyrän y = j - kselin väliin välillä [,5] jäävä pint-l. ) Jetn lue yhtä suuriin siivuihin, jotk ovt puolisuunnikkit ) Lsketn funktion rvot puolisuunnikkiden reunpisteissä ( tässä,,,4,5) esim. Ecelillä ) Lsketn lueen l puolisuunnikkiden ln summn A

66 Kvt j mlliesimerkit Määrätty integrli j sovelluksi Tämä dokumentti sisältää kvt j WolfrmAlphll tehdyt esimerkit Tehtäväkokoelmn integrlien lskemisess s j pitääkin käyttää lskint: Suositus on Online lskin webissä (URL: wolfrmlph.com ) Omkin lskint voi myös käyttää, jos siinä on integrointi.

67 Integrlilskennn suoritus - Integrlilskennst ei pidetä tenttiä. - Arvosn tulee plutettvien tehtävien perusteell. - Mrrskuun puolivälin jälkeen kurssi pidetään pääosin ATK luokss. -Tehtävät tehdään WolfrmAlphll, jost copy pstell liitetään tehtävän viheet dokumenttiin.

68 Sisältö - Määrätyn integrlin lskeminen - Tsolueen l: perustpukset - Funktion keskirvo nnetull välillä - Pyörähdyskppleen tilvuus - Käyrän krenpituus - Pyörähdyspinnn l - Tsolueen j pyörähdyskppleen pinopiste

69 Määrätyn integrlin lskeminen 5 d 5 / Määrätty integrli lsketn seurvsti:. Määritetään integroitvn funktion integrlifunktio F(). Määrätty integrli on integrlifunktion rvojen erotus ylä j lrjll Lske ( ) d käsin j lskimell

70 ? ) ( d ) 4 /( ) ( 4 d ) 4 ( ) 4 ( 4 4 KONEELLA

71 Käyrän y=f() j - kselin välisen lueen pint-l, kun f()>0 A b f ( ) d Lske käyrän y = j kselin välinen l välillä [,5] rtk. seur. sivull

72 Lske käyrän y = j kselin välinen l välillä [,5] V: Al on 6.8

73 Käyrän y=f() j - kselin välisen lueen pint-l, kun f()<0 A b f ( ) d Lske käyrän y = -ln() j kselin välinen l välillä [,4] rtk. seur. sivull

74 Lske käyrän y = -ln() j kselin välinen l välillä [,4] Al on integrlin vstluku =.55

75 Käyrän y=f() j - kselin välisen lueen pint-l, kun f():n merkki vihtelee A b f ( ) d Ti ploittin integroitun A c f ( ) d f ( ) d b c Lske käyrän y = j kselin väliin jäävän lueen l välillä [0,] rtk. seur. sivull

76 Lske käyrän y = j kselin väliin jäävän lueen l välillä [0,] Integrli ntisi kuvss näkyvien lojen erotuksen, eikä kokonispint - l. Kokonispint-l pitää lske niin, että integroitvn funktion on lusekkeen itseisrvo : useimmiss lskimiss bs( ) V: Al on

77 Tpus, joss integroimisrjoj ei ole nnettu Lske käyrän y = 4 j kselin väliin jäävän suljetun lueen l. Ensin piirretään kuv, jost selviää, mikä on tuo suljettu lue. Kuvst selviää myös integrointirjt: Integrointi tehdään :st rvoon Hluttess rjt voi vrmist komennoll solve ( 4 = 0) Al on integrlin vstluku: A = 0.7 rtk. seur. sivull

78 Lske käyrän y = 5 j kselin väliin jäävän suljetun lueen l. vihe. piirretään kuv vihe. lsketn integroimisrjt solvell vihe. integroidn VASTAUS: Al = 4.9

79 Käyrien y=f() j y = g() väliin jäävän lueen l A b g( ) f ( ) d Rjt j b sdn rtkisemll yhtälö f() = g() Lskimell solve(yhtälö, ) Lske käyrien y = j y = välisen suljetun lueen l. rtk. seur. sivull

80 Lske käyrien y = j y = välisen suljetun lueen l. KUVA RAJAT PINTA ALA V: 0.7

81 Lisää määrätyn integrlin sovelluksi

82 Käyrän y=f() j y- kselin välisen lueen pint-l A f f ( b) ( ) g( y) dy Integroimisrjt y = f() j y =f(b) Integroitv funktio g(y) on funktion f() käänteisfunktio, jok sdn rtkisemll y = f() :n suhteen: esim.lskimell: solve (y = f(), ) Lske käyrän y = j y kselin välinen l, kun on välilä [, ]

83 A f ( b) f ( ) g( y) dy Lske käyrän y = j y kselin välinen l, kun on välilä [, ] Integroimismuuttuj on y Rjt f() = = f() = = 8 Integroitv funktio sdn rtkisemll yhtälöstä y = = y Huom! Käänteisfunktio voi oll hnk lske käsin. Sen s kuitenkin lskimell helposti rtkisemll y = f() : stä

84 Funktion y=f() keskirvo välillä [,b] f ( ) b f ( ) d b Määritä funktion y = sin() keskirvo välillä [ 0, π ]

85 Määritä funktion y = sin() keskirvo välillä [ 0, π ] f ( ) f d b ( ) b f ( ) sin( ) d 0

86 Pyörähdyskppleen tilvuus, kun käyrä f() pyörähtää - kselin ympäri V b f ( ) d Lske sen pyörähdyskppleen tilvuus, jok syntyy kun käyrän y = e kri välillä [ 0, ] pyörähtää - kselin ympäri.

87 V b f ( ) d Lske sen pyörähdyskppleen tilvuus, jok syntyy kun käyrän y = e kri välillä [ 0, ] pyörähtää - kselin ympäri. Tilvuus on 84

88 Onton pyörähdyskppleen tilvuus, kun käyrien f() j g() välinen lue pyörähtää - kselin ympäri b V f ( ) d Ulompi kpple b V g( ) d Sisempi kpple Ontto kpple V = V V Huom! Jos f() j g() välillä vihtvt suuruusjärjestystä, yo. Menettely stt nt virheellisen tuloksen. Tällöin on käytettävä itseisrvoj. V b f ( ) g( ) d

89 Pyörähdyskppleen tilvuus, kun käyrä f() pyörähtää y- kselin ympäri V f ( b) g( y) dy f ( ) g(y) sdn rtkisemll y=f() :n suhteen Lske sen pyörähdyskppleen tilvuus, jok syntyy kun käyrän y = e kri välillä [ 0, ] pyörähtää y- kselin ympäri.

90 Lske sen pyörähdyskppleen tilvuus, jok syntyy kun käyrän y = e kri välillä [ 0, ] pyörähtää y- kselin ympäri. Integroimismuuttuj = y Rjt: f(0) = e 0 = f() = e (=7.9) Käänteisfunktio y = e => = ln(y) V f ( b) f ( ) g( y) dy e ln( y) dy

91 Funktion kuvjn kren pituus s b f '( ) d Lske käyrän y = krenpituus välillä [ 0, ]

92 Lske käyrän y = krenpituus välillä [ 0, ] s b f '( ) d

93 Pyörähdyspinnn l A b f ( ) f '( ) d Käyrä y = 0 pyörähtää välillä [0, ] - kselin ympäri muodosten prboloidipinnn. Lskin pinnn l.

94 Käyrä y = 0 pyörähtää välillä [0, ] - kselin ympäri muodosten prboloidipinnn. Lskin pinnn l. A b f ( ) f '( ) d

95 Käyrän j - kselin välisen tsolueen pinopiste ( p,y p ) Lsketn ensin tsolueen l A b f ( ) d p b f d A ( ) y p A b f ( ) d Lske käyrän y = j kselin välillä [,5] olevn tsolueen pinopiste.

96 Lske käyrän y = j kselin välillä [,5] olevn tsolueen pinopiste. Al A A b f ( ) d p f d A ( ) b y p A b f ( ) d P =. y P = 0.88

97 Khden käyrän välisen tsolueen pinopiste ( p,y p ) Lsketn ensin tsolueen l A b g( ) f ( ) d Huom! Jos on epävrmuutt siitä, kumpi käyrä kulkee ylempänä, knntt integrleiss käyttää erotuksien ympärillä itseisrvoj: b p g( ) f ( ) d A b y p g( ) f ( ) d A Lske käyrän y = j kselin välillä [,5] olevn tsolueen pinopiste.

98 Pyörähdyskppelen pinopiste ( p,0) Lsketn ensin kppleen tilvuus V b f ( ) d p b f d V ( ) Lske käyrän y = j kselin välillä [,5] olevn tsolueen pinopiste.

99

100 Differentili- j integrlilskent Opiskelijn nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA. Rj-rvon käsite, derivtt rj-rvon. Rj-rvo pisteessä. Derivtn määritelmä. Derivtt rj-rvon. Derivoimiskvt. Perusfunktioiden derivtt. Tulon j osmäärän derivtt. Yhdistetyn funktion derivtt.4 Osittisderivtt. Derivtn sovelluksi. Yhden muuttujn funktion bsoluuttinen virhe. Kokonisdifferentili virheen rvioinniss. Suhteellisen virheen menetelmä virheen rvioinniss.4 Funktion suurin j pienin rvo.5 Newtonin menetelmä yhtälön rtkisemisess INTEGRAALILASKENTA 4. Integrlifunktio 4. Integrlifunktion määritelmä 4. Integrointi integroimiskvoill 5. Määrätty integrli 5. Määrätyn integrlin lskeminen mnulisesti 5. Määrätyn integrlin sovelluksi, mm.. pint-lt b. pyörähdyskppleen tilvuus c. tsolueen pinopiste d. pyörähdyskppleen pinopiste e. kren pituus f. pyörähdyspinnn l g. integrointi numeerisest dtst

101 RAJA-ARVON KÄSITE, DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ. Rj-rvo nnetuss pisteessä, joss vrsinist funktion rvo ei void lske Lske seurvt murtolusekkeiden rj-rvot käyttäen supistmist ennen rjrvokohdn sijoitust.. lim 0. lim h0 h h h. lim 4. Rj-rvon määrittämistä kokeellisesti lskimell Määritä seurvt murtolusekkeiden rj-rvot käyttäen lskint (sijoittmll muuttujlle rvoj hyvin läheltä rj-rvokoht). Täydennä lskemsi rvot tulukkoon j nn rviosi rj-rvost. 4. sin( ) ( lskin oltv rdini moodiss ) lim sin()/ Arvioni rj-rvoksi =. 5. lim luseke Arvioni rj-rvoksi =.

102 . Funktion derivtn määrittäminen rj-rvon (kokeilemll) 6. Määritä funktion y = derivtn likirvo kohdss = perustuen seurvn tulukkoon funktion rvoist y = Seurvss on erään uton nopeuksi 0,5 sekunnin välein. Määritä niiden perusteell uton kiihtyvyys jnhetkellä t =.0 s. Auton kiihtyvyys määritellään uton nopeuden derivttn trksteltvn jnhetkenä. ik t (s) nopeus v (m/s)

103 DERIVOIMISKAAVAT. Perusfunktioiden derivtt Suorit seurvt derivoinnit 8. D( ) 9. D ( 06 ) 0. D( ). D (- ). D ( ). D( ) 4. D ( sin() 5 cos()) 5. D ( 5 ln()) 6. D ( e 5 tn()). Tulon j osmäärän derivoimiskvt 7. D ( sin()) 8. D ( e ) 9. D ( ln()) 0. D (( +) cos())

104 . D +. D sin (). D e +. Yhdistetyn funktion derivtt 4. D sin(4) 5. D cos( + ) 6. D (4 sin() cos(5) ) 7. D e 8. D e - 9. D e + 0. D ln(4 + 7).4 Osittisderivtt Huom. Merkintätp D( y +, ) trkoitt lusekkeen y + osittisderivtt :n suhteen (muit prmetrej pidetään vkioin). Ko. osittisderivtt on y +. Sm merkintätp käytetään mtemtiikkohjelmiss j lskimiss. Kirjllisuudess merkitä on monimutkisempi: ( y+). D ( b + b, ). D ( ½ CU, U). D ( b, b) 4. D ( U R, U)

105 5. D ( U R, R) 6. D ( π 4 d h, d) 7. D ( π 4 d h, h). DERIVAATAN SOVELLUKSIA. Yhden muuttujn funktion bsoluuttinen virhe 8. Kuution tilvuutt vrten mitttiin kuution särmäksi =.00 cm. Mittuksess bsoluuttinen virhe oli 0.05 cm. Määritä kuution tilvuus virherjoineen. 9. Pllon tilvuuden kv on V = π 6 d, missä d on pllon hlkisij. Jlkpllon hlkisij on.0 cm, missä virhemriginli on 0. cm. Määritä pllon tilvuus virherjoineen. Ilmoit tulos kuutiosenteissä j litroin.

106 . Kokonisdifferentili virheen rvioinniss 40. Sylinterin tilvuus lsketn kvll V = π 4 d h, missä d on sylinterin pohjn hlkisij j h on sylinterin korkeus. Erään sylinterin muotoisen öljysäiliön pohjn hlkisij d = 500 cm ± 5 cm j korkeus h = 80 ± 4 cm. Määritä säiliön tilvuus virherjoineen. Syötä lähtörvot metreinä, jolloin tulos tulee kuutiometreinä. 4. Metllikuuln tiheys ρ määritettiin mittmll kuuln hlkisij j punnitsemll kuul v ll. Mittustulokset j mittmiseen liittyvät epätrkkuudet olivt seurvt: kuuln hlkisij d =.00 cm ± 0.05 cm kuuln mss m =.5 g ± 0.05 g Lske metllikuuln tiheys kvll ρ = m V = m π 6 d j määritä tiheyden bsoluuttinen virhe lskemll osvirheet, jotk iheutuvt kummstkin mittuksest. Tulosten yksikkö on g/cm.

107 4. Kolmion muotoisen m-lueen kksi sivu ovt = 84 m ± m j b = 5 m ± m. Sivujen välinen kulm γ = 4.7 ± 0.. Lske lueen pint-l virherjoineen.. Suhteellisen virheen menetelmä virheen rvioinniss 4. Lske tehtävä 9 käyttäen suhteellisen virheen menetelmää. 44. Lske tehtävä 40 käyttäen suhteellisen virheen menetelmää.

108 45. Lske tehtävä 4 käyttäen suhteellisen virheen menetelmää. 46. Voiko suhteellisen virheen menetelmää käyttää tehtävässä 4?.4 Funktion suurin j pienin rvo 47. Suorkiteen muotoinen rnttontti idtn mrjoiltn yht. 600 m pituisell idll. Määritä selliset tontin sivut j y, että tontin l on mksimissn.

109 48. Stmn sylinterin muotoisen öljysäiliön tilvuus on 50 m. Määritä sen mitt: pohjn hlkisij d j korkeus h siten, että öljysäiliön vlmistukseen käytetyn teräksen määrä on minimissään. Oletetn, että säiliö on kuttltn tehty tsvhvuisest teräslevystä. Sähkökpeli vedetään Kemijoen poikki muuntjlt A muuntjlle B kuvn mukisesti. Kpelin hint on mll 0 /m j joen pohjll 0 /m. Määritä kpelin rntutumiskoht C siten, että kpelin kokoniskustnnukset olisivt mhdollisimmn pienet. 49. Neliöpohjisen knnettomn ltikon tilvuus on 0 dm. Määritä ltikon särmien pituudet j y, kun ltikko on vlmistettu siten, että phvin kulutus on minimoitu.

110 .5 Newtonin menetelmä yhtälön rtkisemisess 50. Määritä Newtonin itertiomenetelmällä yhtälön + = 0 ino relijuuri khden desimlin trkkuudell. 5. Rtkise Newtonin menetelmällä toisen steen yhtälö = 0 (molemmt juuret). Esim. lkurvoll 5 itertio joht vsemmnpuolimmiseen juureen, lkurvo 5 joht oikenpuolimmiseen. 5. Määritä Newtonin menetelmällä yhtälön = 0 inon juuren likirvo. desimlin trkkuudell. Differentililskennn osuus päättyy tähän

111 Merkitse ll olevn tulukkoon differentililskennn osiost lskemsi lskut Vstuksi ) ) ) 4) 5) -¼ -.5 6) 7) 8) 9) 0) m/s ¼+ 46/ ) ) ) 4) 5) 9/ 4 / /6 -/ cos()+5sin() -5/ 6) 7) 8) 9) 0) e -5/cos() sin()+* cos() (+ )e ln() + 4 cos()- ( +)sin() ) ) ) 4) 5 cos() sin () e ( + ) 4 cos(4) - sin(+) ( + ) ( + ) 6) 7) 8) 9) 0) cos()+ e - e - 6e sin(5) ) ) ) 4) 5) b + CU -/b U/R -U/R 6) 7) 8) 9) 40) π dh π ( ) 4 d cm ( ) ltr (55 ) m 4) 4) 4) 44) 45) ( ) g/cm (60 50) m (5.6 0.) ltr (55 ) m ( ) g/cm 46) 47) 48) 49) 50) ei voi 50m00m d=6.8 m h = 6.8 m =800 m =.4 dm y=.7 dm 5) 5) 5) 0. = ti =.44 = -0.98

112 INTEGRAALILASKENNAN LASKUMONISTE vstuksi tulee Moodleen lähiikoin 4. INTEGRAALIFUNKTIO 4. Integrlifunktion määritelmä 54. Osoit, että funktio F() = 5 + on funktion f() = 0 4 integrlifunktio. 55. Mikä on prmetrin A rvo oltv, jott F() = sin(4 + ) - olisi funktion f() = A cos(4+) integrlifunktio. 4. Integrointi integroimiskvoill Integroi käyttäen integroimiskvoj 56. ( + )d 57. ( sin() 5 cos ())d 58. ( 7 + 5e )d 59. e 4 d 60. cos(7) d 6. d 5. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 5. Määrätyn integrlin lskeminen kvoill Lske seurvt määrätyt integrlit ilmn lskint käyttäen integroimiskvoj e 0 d d Seurvien osioiden tehtävissä käytetään integroiv lskint ti WolfrmAlph. Rtkisuiss on suositeltv liittää Word dokumenttiin kuvkppukset WolfrmAlphst ti jos käytit lskint, käytetyt komennot.

113 5. Määrätyn integrlin sovelluksi A. pint-llskut 64. Määritä käyrän y = j kselin väliin välillä 0 jäävän lueen l. 65. Määritä sen suljetun lueen pint- l, jot rjoitt käyrä y = 9 j - kseli. 66. Määritä käyrän y = l. välillä 0 olevn kren j y-kselin väliin jäävän lueen B. pyörähdyskppleen tilvuus 67. Määritä sen pyörähdyskppleen tilvuus, jok syntyy kun käyrä y = ¼ pyörähtää välillä - kselin ympäri. 68. Määritä sen pyörähdyskppleen tilvuus jok syntyy, kun edellisen tehtävän käyrän y = ¼ kri välillä 0 pyörähtää y kselin ympäri. C. tsolueen pinopiste 69. Määritä käyrän y = 9 4 j - kselin väliin välillä 0 jäävän tsolueen pinopisteen koordintit. D. pyörähdyskppleen pinopiste 70. Määritä sen pyörähdyskppleen pinopisteen - koordintti, jok syntyy kun käyrä y = ¼ pyörähtää välillä - kselin ympäri. E. kren pituus 7. Määritä käyrän y = välillä 4 olevn kren pituus. F. pyörähdyspinnn l 7. Määritä sen pyörähdyspinnn l, jok syntyy kun käyrä y = ¼ pyörähtää välillä - kselin ympäri. G. integrointi numeerisest dtst 7. Litteen määrätyllä ikvälillä (t, t ) kuluttm energi W sdn integroimll t hetkellistä teho P: ts. W = Pdt. Seurvss on tulukko tlon sähkölämmityksen t keskitehost khden viikon jlt. Määritä tulukon perusteell energin kulutus ko. jnjksolt. pvm keskiteho P (kw) pvm keskiteho P (kw) Lske tlon energinkulutus yksikössä kwh kyseisen khden viikon jksoll.

114