MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

Transkriptio

1 MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin kaava on fx)g x) dx = fx)gx) f x)gx) dx. Valitaan fx) = cos x ja g x) = cos x, jolloin f x) = sin x ja gx) = sin x. Näin saadaan etsityn integraalin I arvoksi I = cos x dx = cos x sin x sin x sin x dx = cos x sin x+ sin x dx. Koska sin x + cos x = 1, on sin x = 1 cos x, sijoitetaan tämä integraaliin ja huomataan että alkuperäinen integraali I pulpahtaa taas esiin: I = cos x sin x + 1 cos x) dx = cos x sin x + 1 dx cos x dx = cos x sin x + x I. Lausekkeessa on nyt molemmilla puolilla yhtälöä etsitty integraali I. Siirretään ne samalle puolelle, jolloin saadaan I = x + cos x sin x, ja edelleen I = 1 x + cos x sin x) + C. b) Sopiva trigonometrian kaava on kaksinkertaisen kulman kosinin kaava cos x = cos x 1, josta saadaan cos x = 1 + cos x)/. 1 1 I = cos x dx = 1 + cos x) dx = dx + 1 cos x dx. Ratkaistaan näistä jälkimmäinen integraali sijoituksella x = t, josta differentioimalla saadaan dx = dt, eli dx = 1 dt. Saadaan I = 1 x cos t dt = 1 x sin t = 1 x + 1 sin x. 4 Muistetaan vielä että sin x sin x cos x jolloin saadaan sama muoto kuin a)-kohdassa: I = 1 x + 1 sin x cos x + C. 1

2 MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16. Tehtävä: Laske osittaisintegroinnilla a) x cos x dx, b) x 3 e x dx, c) x ax + b dx. Ratkaisu: Tämän tehtävän integraaleissa on kaikissa jonkin x:n funktion tulo x:n potenssin x n kanssa. Tällaisessa tapauksessa valitaan osittaisintegroitaessa fx) = x n, jolloin saatavassa uudessa integraalissa x:n potenssi pienenee yhdellä; tätä toistetaan kunnes saavutetaan funktio jonka integraali tiedetään, tai osataan laskea muuten. a) Valitaan siis fx) = x ja g x) = cos x, jolloin f x) x ja gx) = sin x. I a = x cos x dx = x sin x x sin x dx. Osittaisintegroidaan uudestaan saatu integraali: nyt fx) x ja g x) = sin x, jolloin f x) ja gx) = cos x. x sin x dx = x cos x cos x) dx = x cos x + sin x. Näin saadaan I a = x sin x x cos x + sin x) + C = x sin x + x cos x sin x + C. b) Valitaan fx) = x 3 ja g x) = e x, jolloin f x) = 3x ja gx) = e x. I b = x 3 e x dx = x 3 e x 3x e x ) dx = x 3 e x + 3 x e x dx. Osittaisintegroidaan uudestaan, fx) = x ja g x) = e x, jolloin f x) x ja gx) = e x : x e x dx = x e x x e x ) dx = x e x + xe x dx. Osittaisintegroidaan kolmannen kerran: fx) = x ja g x) = e x, jolloin f x) = 1 ja gx) = e x : xe x dx = xe x 1 e x ) dx = xe x + e x dx = xe x e x. Kootaan tulos: I b = x 3 e x + 3 x e x + ) xe x dx + C = x 3 e x + 3 x e x + xe x e x ) ) + C = x 3 e x 3x e x 6xe x 6e x + C = e x x 3 + 3x + 6x + 6) + C.

3 MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 c) Kaksi erillistä tapausta: a ja a =. a : Valitaan fx) = x ja g x) = ax + b, jolloin f x) = 1. gx) voidaan laskea sijoituksella t = ax + b, mistä differentioimalla saadaan dt = a dx, eli dx = 1 a dt: ax gx) = g x) dx = + b dx t 1 = a dt = 1 t 1/ dt a = 1 t 3/ a 3/ 3a t3/ 3a ax + b)3/. Varsinaisesta integraalistamme saadaan siis osittaisintegroimalla I c = x ax + b dx 3a xax + b)3/ 1 3a ax + b)3/ dx 3a xax + b)3/ ax + b) 3/ dx. 3a Näin syntynyt integraali voidaan laskea samaan tapaan kuin gx) edellä, samalla sijoituksella; erona on vain t:n potenssi joka edellä oli 1/, nyt 3/. I c 3a xax + b)3/ 3a 5a ax + b)5/ + C 15a ax + b)3/ 5ax ax + b)) + C 15a ax + b)3/ 3ax b) + C a = : Nyt integraali sievenee paljon yksinkertaisemmaksi. I c = x ax + b dx = x x + b dx = x b dx = 3. Tehtävä: Määritä x α ln x dx kaikilla arvoilla α R. Ratkaisu: Oleellista tässä on miten x α integroituu α:n eri arvoilla: kun α 1 : x α dx = 1 α + 1 xα+1, 1 kun α = 1 : x α dx = dx = ln x. x 3 b x + C.

4 MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 α 1: Osittaisintegrointi, valitaan fx) = ln x ja g x) = x α, jolloin f x) = 1/x ja gx) = 1 α = 1: Nyt α+1 xα+1. I α = x α ln x dx 1 α + 1 ln x x α+1 x α + 1 dx α + 1 ln x 1 x α dx α + 1 α + 1 ln x 1 x α+1 α + 1 α C ln x 1 ) + C. α + 1 α + 1 I 1 = 1 ln x dx. x Osittaisintegrointi, valitaan fx) = ln x ja g x) = 1/x, jolloin f x) = 1/x ja gx) = ln x. 1 I 1 = ln x) x ln x dx = ln x) I 1. Siirretään molemmat I 1 :t samalle puolelle, saadaan I 1 = ln x) ja edelleen I 1 = 1 ln x) + C. 4. Tehtävä: Johda osittaisintegroinnilla palautuskaava määrätylle integraalille π/ sin n x dx n =, 1,,... ). Ratkaisu: Lasketaan kaksi ensimmäistä helppoa) tapausta erikseen ja varsinainen palautuskaava n:n arvoille n. n = : n = 1 : I = π/ sin x dx = π/ 1 dx = / π/ x = π. I 1 = π/ sin x dx = / π/ cos x = cos π/) + cos ) = + 1 = 1. 4

5 MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 n : Kirjoitetaan I n muodossa π/ sin n 1 x sin x dx. Osittaisintegroidaan tämä valitsemalla fx) = sin n 1 x ja g x) = sin x, jolloin f x) = n 1) sin n x cos x ja gx) = cos x. / π/ sin n 1 x cos x ) π/ n 1) sin n x cos x cos x) dx = sin n 1 π ) cos π ) + sinn 1 ) cos ) + n 1) = + + n 1) = n 1) π/ π/ sin n x1 sin x) dx sin n x dx n 1) = n 1)I n n 1)I n. Siirretään I n -termit samalle puolelle yhtälöä: π/ sin n x dx π/ sin n x cos x dx I n + n 1) n 1)I n n n 1)I n n 1 n I n n ) Tällä palautuskaavalla voidaan nyt helposti laskea integraalin I n arvoja eri n:n arvoilla: I 1 I = 1 π = π 4, I 3 = I , I 4 = I = 3 4 π 4 = 3π 16, I 5 = I 3 = = 8 15, jne. 5