1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

Transkriptio

1 Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk klvot sisältävät yleensä vin yhden, usein mhdollisimmn yksinkertisen esimerkin kustkin iheest. Pekk Alestlo Alto-yliopisto Perustieteiden korkekoulu Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Kiitokset Hrri Hkullle, Jnne Korvenpäälle, Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Jonot 2 Srjt 3 Jtkuvuus 4 Derivtt 5 Tylor-polynomit j -srjt 6 Alkeisfunktiot 7 Pint-l 8 Integrli 9. kertluvun differentiliyhtälö 2. kertluvun differentiliyhtälö Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27. Lukujoukot.2 Jonot Luonnollisten lukujen joukko N = {, 2, 3,... }. N = {,, 2, 3,... } = N {}. Kokonislukujen joukko Z = {,,, 2, 2,... }. Rtionlilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Relilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi plutuu rtionlilukuihin, joss eri mhdollisuuksi: Dedekindin leikkukset, rtionliset Cuchy-jonot, desimlipproksimtiot. Intuitiivisesti helpoin vihtoehto on jtell relilukuj desimliesitysten kutt. Suurin os reliluvuist ei ole rtionlisi, esimerkiksi 2, π, Neperin luku e. Lukujonoll trkoitetn ääretöntä jono relilukuj n R, kun indeksi n N. Merkitään ( n ) n N = ( n ) n= = (, 2, 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkint on funktio f : N R, jolle f (n) = n. Jonon indeksöinti voi lk myös jostkin muust rvost kuin. Jos indeksin lkurvo ei ole tärkeä ti tilnne on muuten selvä, voidn käyttää merkintää ( n ). Joisskin sovelluksiss esiintyy myös jonoj, joiden indeksijoukkon on kikkien kokonislukujen joukko Z. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27.2 Käytännössä.2 Perusongelmt Jonoj voidn määritellä ntmll yleisen termin luseke; esimerkiksi n = 2 n, kun n N lukujono (2, 4, 8, 6,... ). rekursiivisesti plutuskvojen vull, erityisesti moniss numeerisiss menetelmissä. Esimerkiksi f =, f =, f n = f n 2 + f n, kun n 2 Fibonccin lukujono (,,, 2, 3, 5,... ). tekemällä mittuksi jostkin systeemistä; esimerkiksi äänen voimkkuus tsisin ikvälein (idelisoitun äärettömäksi jonoksi). Mitä jonon ominisuuksi sdn selville yleisen termin ti plutuskvojen vull? Miten plutuskvst sdn yleisen termin luseke? Esimerkiksi Fibonccin jonolle joss f n = 5 ( ϕ n ( ϕ) n), ϕ = on ns. kultisen leikkuksen suhde. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27.2 Jonojen ominisuuksi Määritelmä. Lukujono ( n ) on ylhäältä rjoitettu, jos on olemss sellinen C R, että n C kikill n lhlt rjoitettu, jos on olemss sellinen c R, että n c kikill n rjoitettu, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu nousev, jos n+ n kikill n lskev, jos n+ n kikill n monotoninen, jos se on nousev ti lskev.3 Suppeneminen I Määritelmä.2 Lukujono ( n ) suppenee kohti rj-rvo L R, jos lusekkeen n L rvo lähestyy noll, kun n ; täsmällisemmin: Jokist ε > vst sellinen indeksi n ε N, että n L < ε in, kun n n ε. Tällöin merkitään lim n = L ti lim n = L ti lyhyesti n L. n Jos lukujono ei suppenee, niin se hjntuu. Huom: n L = jonon pisteen n j rj-rvon L välinen etäisyys: n L < ε L ε < n < L + ε. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27

2 .3 Suppeneminen II Ide: Mitä pienempi ε, sitä suurempi n ε trvitn. n L+ε L L ε n ε n.3 Täydellisyysksiom Relilukujen joukon erott rtionlilukujen joukost Täydellisyysksiom: Nousev j ylhäältä rjoitettu relilukujono ( n ) n N suppenee. Täydellisyysksiom voidn muotoill eri tvoill. Aiheest lisää kurssill MS-C54. Aksiom trjo mhdollisuuden reliluvun täsmälliseen määritelmään: Reliluku n,d d 2..., joss kokonisos n on kokonisluku j desimlit d, d 2, {,, 2,..., 9}, on monotonisen rtionlilukujonon (n; n,d ; n,d d 2 ; n,d d 2 d 3,... ) rj-rvo. Rtionlijonojen kohdll ongelm on se, ettei rj-rvo ole in rtionliluku! Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27.3 Yleisiä tuloksi Lskev j lhlt rjoitettu jono suppenee. Suppenev jono on rjoitettu. Suppiloperite: Jos n b n c n jostkin indeksistä lken j lim n = lim c n = L, n n niin jono (b n ) suppenee j lim n b n = L. Geometrinen jono (q n ) suppenee, jos suhdeluku < q, jolloin sen rj-rvo on joko ti. Muiss tpuksiss geometrinen jono hjntuu. Jonon suppenemist kohti noll voi tutki lusekkeen n+ / n vull: jos jostkin indeksistä lken on n+ / n q j q <, niin lim n n =. Tämä seur khdest edellisestä kohdst, kosk n q n..3 Lskusääntöjä I Luse.3 Jos lim n n =, lim n b n = b j c R, niin lim ( n + b n ) = + b, n lim (c n) = c, n lim ( nb n ) = b, n lim ( n/b n ) = /b, jos b. n Huom: Viimeisen kohdn oletuksest b seur, että b n jostkin indeksistä lken. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27.3 Lskusääntöjä II Perustelu: Ensimmäinen kv perustuu epäyhtälöön ( n + b n ) ( + b) = ( n ) + (b n b) n + b n b. Toinen kv seur yhtälöstä c n c = c n. Kolmnnen kvn kohdll käytetään epäyhtälöä n b n b = ( n b n n b) + ( n b b) n b n b + n b j sitä, että n C jollkin vkioll C. Neljännen kvn kohdll osoitetn luksi, että /b n /b, j käytetään sen jälkeen tulokv..3 Lskusääntöjä III Esimerkki.4 3n 2 + 4n Lske rj-rvo lim n n 2 +. Rtkisu: Kosk 3n 2 + 4n n 2 + j 4 lim n n =, lim niin rj-rvon lskusääntöjen mukn = n2 (3 + 4/n) n 2 ( + /n 2 ) = 3 + 4/n + /n 2 n n 2 =, 3n 2 + 4n lim n n 2 + = = 3. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27.3 Eräitä rj-rvoj lim n n =, kun > lim n n n = lim n ( + n) n = e = Neperin luku 2, Tähän pltn myöhemmin. Stirlingin kv (jolle ei helppo todistust!): lim n n! =. 2πn (n/e) n Ide: Ensimmäinen seur toisest suppiloperitteen vull. Toisen kohdll merkitään n = n n > j sovelletn binomikv: n = ( + n ) n = + n n + n(n ) 2 n/2 + > + n(n ) 2 n/2, joten < n < 2/n. Väite seur tästä suppiloperitteen vull..3 Ympyrän krenpituus j kulm I Trigonometriset funktiot määritellään yksikköympyrän 2 + y 2 = krenpituuden vull. Jonojen vull ympyrän krenpituus voidn määritellä lkeellisell tvll ilmn integrlilskent: Jetn tutkittv kri tsvälisesti 2 n :ään osn j lsketn vstvn murtoviivn pituus n. Näin sdn nousev j ylhäältä rjoitettu jono, jonk rj-rvo on kyseessä olevn kren pituus. Geometrisell trkstelull jonolle ( n ) voidn esimerkiksi neljännesympyrän tpuksess joht plutuskv = 2, n+ = 2 n n 2 2n+2. Jono on nousev, kosk 2 n -tyyppisessä joss kikki ikisempien viheiden jkopisteet pysyvät mukn. Ylhäältä rjoittuneisuus nähdään helpoiten geometrisesti projisioimll jnt (origost ktsoen) ympyrän ulkopuolelle piirretyn neliön sivuille (ktkoviiv), jolloin niiden pituus ksv j ylärjksi sdn 2. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27

3 .3 Ympyrän krenpituus j kulm II.3 Ympyrän krenpituus j kulm III Määritelmä.5 Luku π on yksikköympyrän puolikkn krenpituus. Krenpituuden vull määritellään kulmn yksikkö rdini (lyh. rd), jok on dimensioton. Trigonometriset funktiot sin j cos määritellään yksikköympyrän krenpituuden vull kikille R. (cos,sin) Jnojen projektioist muodostuu must ktkoviiv, joten n = jnojen pituuksien summ < ktkoviivn pituus = 2. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27.3 Rj-rvon yleistykset 2. Srj Lukujonost ( k ) k N voidn muodost sen ossummien jono (s n ): Myös käsitteet voidn määritellä täsmällisesti. Esimerkiksi lim n = j lim n = n n lim n = jokist luku M R vst sellinen indeksi n M N, n että n M in, kun n n M. Snotn: Jono ( n ) hjntuu kohti ääretöntä. s =, s 2 = + 2, s 3 = ,..., n s n = n = k. Määritelmä 2. Jos ossummien jonoll (s n ) on rj-rvo s R, niin snotn, että jonost ( k ) muodostettu srj suppenee j sen summ on s. Tällöin merkitään = k = lim n n k = s. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Indeksöinti 2. Srjn hjntuminen Ossummt knntt indeksöidä smll tvll kuin jono ( k ); esim. jonon ( k ) k= ossummt ovt s =, s = + jne. Suppenevn srjn voidn tehdä summusindeksin siirtoj: esim. Konkreettisesti: k = k+ = k. k= k=2 k 2 = = (k + ) 2 k= Jos srj ei suppene, niin se hjntuu. Tämä voi tphtu kolmell eri tvll: (i) ossummt lähestyvät ääretöntä; (ii) ossummt lähestyvät miinus-ääretöntä; (iii) ossummien jono heilhtelee niin, ettei rj-rvo ole. Hjntuvn srjn tpuksess merkintä k ei oikestn trkoit mitään. Usein sovitn sen trkoittvn ossummien jono, jok on in hyvin määritelty. Monet srjoihin liittyvät kummllisuudet (esim. = -todistus) johtuvt siitä, että srjn summminen tulkitn opertioksi, joss kikki jonon lkiot lsketn yhteen smll kert. Näin ei ole, vn summ lsketn ossumminen rj-rvon. Tämän vuoksi os äärellisten summien lskusäännöistä ei enää päde srjoille. Joisskin tpuksiss esimerkiksi srjn summ voi muuttu, jos termien järjestystä vihdetn. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Geometrinen srj I 2.2 Geometrinen srj II Luse 2.2 Geometrinen srj q k k= suppenee, jos q < (ti = ), jolloin sen summ on niin srj hjntuu. n Perustelu: Srjn ossummille pätee seur. Yleisemmin q k = k=i qi q k= q. Jos q, q k = ( qn+ ), jost väite q srjn. termi =, kun q <. q Esimerkki 2.3 Lske srjn summ. Rtkisu: Kosk 3 4 k+ 3 4 k+ = 3 ( ) k 4, 4 niin kyseessä on geometrinen srj. Sen summksi sdn 3 4 /4 /4 = 4. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27

4 2.2 Lskusääntöjä I Luse 2.4 Suppenevien srjojen ominisuuksi: ( k + b k ) = k + b k (c k ) = c k, kun c R on vkio Perustelu: Seur vstvist jonojen rj-rvojen ominisuuksist. 2.2 Lskusääntöjä II Luse 2.5 Jos k suppenee, niin lim k =. k Kääntäen: Jos lim k k, niin srj k hjntuu. Perustelu: Jos srjn summ on s, niin k = s k s k s s =. Huom: Ominisuuden lim k k = vull ei void perustell srjn suppenemist; vrt. seurvt esimerkit. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Lskusääntöjä III 2.2 Hrmoninen srj Esimerkki 2.6 Tutki srjn suppenemist. Rtkisu: k k + = Srjn yleisen termin rj-rvo lim k ei ole noll, joten srj hjntuu. k k + = Esimerkki 2.7 Hrmoninen srj k = hjntuu, vikk sen yleisen termin k = /k rj-rvo on noll. Rtkisu: Ktso lkeellinen perustelu esim. Mtemtiikklehti Solmust Toinen tp integrlin vull. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Positiiviset srjt I Srjn summn lskeminen on usein hnkl ti mhdotont (muuten kuin numeerisen likirvon). Moniss tilnteiss on kuitenkin tärkeintä tietää, suppeneeko vi hjntuuko tutkittv srj. Määritelmä 2.8 Srj p k on positiivinen (ti positiiviterminen), jos p k kikill k. Positiivisille srjoille suppenemisen tutkiminen on suorviivist: Luse 2.9 Positiivinen srj suppenee täsmälleen silloin, kun sen ossummien jono on ylhäältä rjoitettu. Syy: Positiivisen srjn ossummien jono on nousev. 2.2 Positiiviset srjt II Esimerkki 2. Osoit, että ylihrmonisen srjn k 2 ossummille on voimss s n < 2 kikill n, joten srj suppenee. Rtkisu: Perustuu kvn k 2 < k(k ) = k k, kun k 2; vrt. pitkän mtemtiikn ylioppilskokeen tehtävä 5/kevät 25. Toinen tp integrlilskennn vull. Leonhrd Euler keksi v. 735 sin-funktion tulokehitelmän vull, että srjn summ on π 2 /6. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Itseinen suppeneminen I Määritelmä 2. Srj k suppenee itseisesti, jos positiivinen srj k suppenee. Luse 2.2 Itseisesti suppenev srj suppenee, j tällöin k k. 2.2 Itseinen suppeneminen II Luseen perustelu (ilmn yleistä mjornttiperitett!): Tutkitn erikseen positiivist j negtiivist os: Olkoon b k = m( k, ) j c k = min( k, ). Kosk b k, c k k, niin positiiviset srjt b k j c k suppenevt edellisen luseen perusteell. Lisäksi k = b k c k, joten k on suppenevien srjojen erotuksen suppenev. Kyseessä on erikoistpus yleisestä Mjornttiperitteest, jost myöhemmin lisää. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27

5 2.2 Itseinen suppeneminen III Esimerkki 2.3 Tutki vuorottelevn srjn ( ) k+ k 2 = suppenemist. Rtkisu: Kosk ( ) k+ k 2 = j ylihrmoninen srj k2 k 2 suppenee, niin tutkittv srj suppenee itseisesti. Näin ollen se suppenee myös tvllisess mielessä. 2.2 Vuorottelev hrmoninen srj I Itseinen suppeneminen j (tvllinen) suppeneminen ovt kuitenkin eri käsitteitä: Esimerkki 2.4 Vuorottelev hrmoninen srj ( ) k+ = k suppenee, mutt ei itseisesti (vrt. hrmoninen srj). Rtkisu: (Ide) Piirretään ossummien jonon (s n ) kuvj (seurv sivu) j tutkitn erikseen prillisten j prittomien indeksien ossummi s 2n j s 2n+. Srjn summ on ln 2, jok sdn integroimll geometrisen srjn summkv sopivll tvll; vrt. hrjoitukset? Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Vuorottelev hrmoninen srj II 2.3 Mjorntti j minorntti I Edellisen yleistyksenä sdn Luse 2.5 Mjornttiperite: Jos k p k kikill k j p k suppenee, niin myös k suppenee. Minornttiperite: Jos p k k kikill k j p k hjntuu, niin myös k hjntuu. ensimmäistä ossumm; pisteet yhdistetty jnoill hvinnollisuuden vuoksi. Mjorntin perustelu: Kosk k = k ( k k ) j k k 2 k, niin srj k suppenee khden suppenevn positiivisen srjn erotuksen. Tässäkin trvitn pun lkeellisemp positiivisten srjojen mjornttiperitett; kyseessä ei ole kehäpäättely! Minorntin perustelu: Oletuksist seur, että srjn k ossummt hjntuvt kohti ääretöntä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Mjorntti j minorntti II 2.3 Suhdetesti Esimerkki 2.6 Tutki srjojen suppenemist. Rtkisu: Kosk + k 3 j k < + k 3 < k 3 k 2 kikill k N, niin ensimmäinen srj suppenee mjornttiperitteen nojll. Toislt kikill k N, joten jälkimmäisellä srjll on k k minornttin hjntuv hrmoninen srj. Siispä jälkimmäinen srj hjntuu. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Käytännössä tärkein tp suppenemisen tutkimiseen perustuu ns. suhdetestiin, joss srjn termejä verrtn sopivn geometriseen srjn: Luse 2.7 Jos jostkin indeksistä lken on voimss k+ k Q <, niin srj k suppenee (j suppenemisnopeus vst geometrist srj Q k ti on vieläkin suurempi). Perustelu: Srjn lku ei vikut sen suppenemiseen, joten epäyhtälö voidn olett kikille indekseille. Tästä seur k Q k Q 2 k 2 Q k, joten srjlle sdn suppenev geometrinen mjorntti. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Suhdetestin rj-rvomuoto I Luse 2.8 Jos on olemss rj-rvo lim k+ k k = q, niin srj k suppenee, jos q <, hjntuu, jos q >, voi oll suppenev ti hjntuv, jos q =. Ide: Geometriselle srjlle khden peräkkäisen termin suhde on q. Suhdetestin mukn yleisemmänkin srjn suppeneminen määräytyy smll peritteell kuin geometriselle srjlle, kun suhdelukun käytetään peräkkäisten termien suhteen rj-rvo. 2.3 Suhdetestin rj-rvomuoto II Perustelu: Jos q <, niin vlitsemll rj-rvon määritelmässä ε = ( q)/2 > sdn jostkin indeksistä n ε lken voimn k+ / k < q + ε = (q + )/2 = Q <. Tällöin tulos seur edellisestä luseest. Tpuksess q > srjn yleinen termi ei lähesty noll, joten srj hjntuu. Viimeisessä kohdss q = ei siis sd mitään tieto suppenemisest. Näin käy mm. hrmonisen ( n = /n, hjntuv!) j ylihrmonisen ( n = /n 2, suppenev!) srjn kohdll. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27

6 2.3 Suhdetestin rj-rvomuoto III 3. Funktiot Esimerkki 2.9 Tutki srjn suppenemist. Rtkisu: ( ) k+ k 2 k = Tässä k = ( ) k+ k/2 k, joten k+ k = ( ) k+2 (k + )/2 k+ ( ) k+ k/2 k = k + 2k kun k. Suhdetestin perusteell srj suppenee. = 2 + 2k 2 <, Tässä luvuss käsitellään relikselin osjoukoiss määriteltyjä funktioit f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei in. Avoin väli: ], b[ ti ], [ ti ], b[ ti ], [ = R. Avoimi välejä merkitään joskus myös krisulkujen vull. Suljettu väli: [, b]. Puolivoimet välit: muoto [, b[ ti ], b]. Merkintöjä yksinkertistv sopimus: [, b] trkoitt in suljettu väliä, jonk päätepisteet ovt, b R riippumtt siitä, mikä on lukujen j b suuruusjärjestys. Smoin muiden välien kohdll. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Erilisi funktioit 3.2 Jtkuvuus I n-ulotteinen vruus R n = {(, 2,..., n ) k R, k =, 2,..., n}. Tpuksess n = 2 pisteitä merkitään usein (, y) j tpuksess n = 3 muodoss (, y, z). Yhden muuttujn funktio f : A R, kun A R Tsokäyrän prmetrisointi f : [, b] R 2, jolloin f(t) = ((t), y(t)). Avruuskäyrän prmetrisointi f : [, b] R 3, jolloin f(t) = ((t), y(t), z(t)). Usen muuttujn funktio (sklrikenttä) f : A R, kun A R n ; funktion rvo merkitään f (, y) tpuksess n = 2 Vektorikenttä F: A R k, kun A R n Funktion jtkuvuus määritellään usein rj-rvon vull. Jtkuvuus on kuitenkin rj-rvo yksinkertisempi käsite, joten loitetn siitä. Muist: Jos, b R, niin luseke b on pisteiden (= lukujen) j b välinen etäisyys. Määritelmä 3. Olkoon A R j f : A R funktio. Funktio f on jtkuv pisteessä A, kun pätee: Jokist ε > vst sellinen δ >, että f () f () < ε in, kun A j < δ. Ide: Kun ε pienenee, niin δ = δ ε pienenee (jos jtkuvuus voimss). Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Jtkuvuus II 3.2 Jtkuvuus III f() +ε f( ) f() ε f() δ +δ Usein funktion määrittelyjoukko A on jokin väli. Tällöin jtkuvuutt voidn tutki määritelmän vull myös väliin kuuluvss päätepisteessä; ehto A on olenninen. Jos f on jtkuv jokisess määrittelyjoukkons pisteessä, niin se on jtkuv joukoss A (ti lyhyesti: jtkuv). Funktion jtkuvuus voidn määritellä myös jonojen vull. Seurv ehto on yhtäpitävä vrsinisen ε δ-määritelmän knss: Funktio f : A R on jtkuv pisteessä A, täsmälleen silloin, kun pätee: Jos jonolle ( n ) on voimss n A kikill n j lim n n =, niin silloin lim n f ( n ) = f (). Jonojen vull kirjoitettun jtkuvuus trkoitt siis yhtälöä lim f ( n) = f ( lim ) n. n n Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Jtkuvuus IV Jtkuvi funktioit ovt esimerkiksi polynomit: P() = c n n + c n n + + c + c ; rtionlifunktiot: R() = P()/Q(), kun P j Q ovt polynomej; juurifunktiot: f () = p/q, kun ; trigonometriset funktiot sin, cos, tn j cot; jtkuvien funktioiden summt, tulot j osmäärät (määrittelyjoukko!); jtkuvien funktioiden yhdistetyt funktiot. Perustelut suorviivisi, kun jtkuvuutt tutkitn edellisen sivun jono-version vull: tulokset plutuvt jonojen rj-rvojen ominisuuksiin. 3.2 Jtkuvuus V Sinin j kosinin jtkuvuus geometrisesti yksikköympyrän vull. ( cos y, siny) y sin y sin < y (cos, sin ) y cos cosy < y Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27

7 3.3 Mksimi j minimi 3.3 Ominisuuksi Olkoon f : A R. Funktioll f on pisteessä A mksimi eli suurin rvo, jos f () f ( ) kikill A. Merkitään m{f () A} ti m A f (). minimi eli pienin rvo pisteessä A, jos f () f ( ) kikill A. Merkitään min{f () A} ti min A f (). Muuttujn rvot j ovt funktion f äärirvokohti. Funktion rvot f ( ) j f ( ) ovt funktion äärirvot. I perustulos: Suljetull välillä määritellyllä jtkuvll funktioll on mksimi j minimi joisskin välin pisteissä. II perustulos (Jtkuvien funktioiden välirvoluse): Suljetull välillä I määritelty jtkuv funktio s kikki rvot, jotk ovt sen minimin j mksimin välissä. Toisin snoen: funktion rvojoukko f [I ] = {f () I } on myös väli. Tässä muodoss väite pätee myös voimille ti puolivoimille väleille I (jolloin mksimi ti minimiä ei in ole). Erityisesti: Jos f : [, b] R on jtkuv j f ()f (b) <, niin funktioll f on nollkoht voimell välillä ], b[. Näitä sioit käsitellään yleisemmin kurssill MS-C54 Euklidiset vruudet, joss ne myös todistetn. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Funktion rj-rvo Jos A R j f : A R, niin f :n käyttäytymistä pisteen R lähellä voidn tutki myös funktion rvost f ( ) välittämättä; ei edes trvitse oll A. Tällöin on kyseessä funktion f rj-rvo pisteessä. Rj-rvo määritellään (tällä kurssill) vin sellisiss pisteissä R, joille jokinen väli [ δ, + δ] sisältää äärettömän mont joukon A pistettä, vikk δ > olisi kuink pieni thns. Tämä on yhtäpitävää sen knss, että jokinen väli [ δ, + δ] sisältää inkin yhden pisteen A,. (Tällisi pisteitä kutsutn joukon A ksutumispisteiksi. Esimerkiksi voimen välin päätepisteet.) Jtkoss oletetn siis, että on tällinen piste. 3.4 Funktion rj-rvo I Määritelmä 3.2 Funktioll f : A R on rj-rvo L pisteessä R, jos pätee: Jokist ε > vst sellinen δ >, että Tällöin merkitään f () L < ε in, kun A j < < δ. lim f () = L. Huom: Ehdon < ino trkoitus on rjt mhdollinen funktion rvo f ( ) pois käsittelystä; ts. ehto tutkitn vin tpuksess. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Funktion rj-rvo II Ide: Mitä pienempi ε > on nnettu, sitä pienempi δ > täytyy vlit; onnistuu in, jos rj-rvo on olemss. L+ε L L ε f() 3.4 Toispuoleiset rj-rvot Vstvll tvll sdn myös toispuoleiset rj-rvot lim f () j lim + f (), kun epäyhtälö < < δ korvtn epäyhtälöllä < < δ ti < < δ. Nämä voidn tulkit myös tvllisen rj-rvon erikoistpuksin, kun funktion määrittelyjoukoksi muutetn A ], [ ti A ], [. Luse 3.3 Jos funktio f on määritelty joukoss [ δ, + δ] \ { }, niin rj-rvo δ +δ on olemss täsmälleen silloin, kun lim f () = + lim f () = L lim f () = L. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Lskusääntöjä Luse 3.4 Jos niin lim f () = j ( ) lim f () + g() = + b, lim g() = b, lim f ()g() = b, f () lim g() = b ; 3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite I Luse 3.5 Jos lim f () = lim g() = L j f () h() g() kikill < < δ, niin lim h() = L. Tämäkin tulos on voimss myös toispuoleisille rj-rvoille. viimeisen kohdll oletetn b (jolloin g() pisteen lähellä ). Vstvt tulokset ovt voimss myös toispuoleisille rj-rvoille. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27

8 3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite II 3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite III Esimerkki 3.6 Osoit, että sin lim =. Rtkisu: Geometrinen trkstelu yksikköympyrän vull (seurv sivu) joht epäyhtälöön sin < < tn = sin cos, kun < < π/2, joten sin tn cos < sin < kikill < < π/2. Kosk cos j luseke (sin )/ ovt prillisi, niin sm epäyhtälö on voimss kikill < < π/2. Kosk cos cos =, kun, niin väite seur suppiloperitteest. sin < < tn Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Jtkuvuus j rj-rvo 3.4 Funktion jtkminen Luse 3.7 Jos funktion f määrittelyjoukko M f on väli, niin funktion f jtkuvuus pisteessä M f on yhtäpitävää sen knss, että lim f () = f ( ). Jos f : A R on jtkuv, A on joukon A ksutumispiste j lim f () = L, niin voidn määritellä uusi funktio f : A R, A = A { }, settmll { f (), kun A, f () = L, kun =. Tällöin f on jtkuv. Usein merkitään hiukn epätäsmällisesti f = f. Esimerkki 3.8 Funktio f () = on jtkuv koko relikselill. { sin,,, =, Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Rj-rvon yleistykset Myös seurvt käsitteet voidn määritellä täsmällisesti: 4. Derivtt Erilisi lähestymistpoj: geometrinen (käyrän tngentti seknttien rj-senton) f( ) lim f () = ±, lim f () = L, lim ± f () = ±, jne. ± Esimerkiksi lim f () =, jos pätee: Jokist M R vst sellinen δ >, että f () > M in, kun A j < < δ. Rj-rvo lim f () on tärkeä mm. epäoleellisen integrlin yhteydessä. +h fysiklinen (jst riippuvn funktion hetkellinen muutosnopeus). Esimerkki 4. Kppleen -ulotteisen liikkeen pikkkoordintti on = (t) hetkellä t. Sen hetkellinen nopeus on keskinopeuksien rj-rvo: Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 v(t) = lim t (t + t) (t). t Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Derivtn määritelmä 4. Korkemmn kertluvun derivtt Määritelmä 4.2 Oletetn, että funktio f on määritelty jollkin välillä ] δ, + δ[. Sen derivtt pisteessä on f f ( + h) f ( ) f () f ( ) ( ) = lim = lim, h h jos rj-rvo olemss. Funktio on derivoituv, jos sillä on derivtt jokisess määrittelyjoukon (= voin väli) pisteessä. Huom yhteys: = + h h =. Merkintöjä: f ( ) = Df ( ) = df d, = f = Df = df d. Jos funktion derivtt f () on määritelty jollkin voimell välillä ] δ, + δ[, niin voidn tutki funktion f erotusosmäärää pisteessä. Näin sdn toisen kertluvun derivtt f ( ) = D 2 f ( ) = d 2 f d 2. = Jtkmll smn tpn voidn määritellä korkemmn kertluvun derivtt f (), f (4) (),... Merkintä: C n( ], b[ ) = {f : ], b[ R f on n kert derivoituv välillä ], b[ j f (n) on jtkuv} Tällisi funktioit kutsutn n kert jtkuvsti derivoituviksi. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27

9 4. Linerisointi j differentili 4. Derivtn fysiklinen tulkint Derivtn määritelmä joht pproksimtioon f ( ) f () f ( ) f () f ( ) + f ( )( ) Oiken puoleinen luseke on funktion f linerisointi eli differentili pisteessä. Sille käytetään merkintää df. Linerisoinnin kuvj y = f ( ) + f ( )( ) on funktion kuvjn pisteeseen (, f ( )) setettu tngenttisuor. Differentilin merkitys tulee premmin esille vst usen muuttujn funktioiden yhteydessä. Myöhemmin käsitellään funktion f pproksimointi myös korkemmn steen polynomien vull (Tylor-polynomi). Jos = (t) on kppleen yksiulotteisen liikkeen pikkkoordintti hetkellä t, niin sen hetkellinen nopeus on v(t) = (t) = ẋ(t). Näistä viimeinen on tvllinen merkintä fysiikss. Vstvll tvll (t) = v (t) = (t) = (t).. on kppleen hetkellinen kiihtyvyys. Yleisemmin: Ajst riippuvn funktion f (t) hetkellinen muutosnopeus on f (t). Esimerkki: f (t) = lämpötil hetkellä t, jolloin f (t) = lämpötiln muutosnopeus hetkellä t (yksikkönä esim. C/s). Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Lskusääntöjä Linerisuus D ( f () + g() ) = f () + g () D ( cf () ) = cf (), kun c R on vkio Tulon derivoimissääntö D ( f ()g() ) = f ()g() + f ()g () Osmäärän derivoimissääntö ( ) f () D = f ()g() f ()g () g() g() 2, g() Yhdistetyn funktion derivoimissääntö D ( f (g()) ) = f ( g() ) g () Tälle käytetään nimitystä ketjusääntö = Chin Rule; nimen tust liittyy osittisderivttoihin, joist lisää kurssill Differentili- j integrlilskent Eräitä derivttoj D(vkiofunktio) = D( r ) = r r, r D(sin ) = cos, D(cos ) = sin D(tn ) = + tn 2 = cos 2, kun π/2 + nπ De = e, D ln = /, kun (näihin pltn myöhemmin) Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Erikoistpuksen perustelu Esimerkki 4.3 Johd funktion f () = 2 derivtt kohdss. Rtkisu: Erotusosmäärä on sievennettynä f ( + h) f ( ) h = ( + h) 2 2 h = 2 + h, = h + h 2 2 h joten rjll h sdn derivtksi f ( ) = 2. Derivttfunktion luseke on siis muoto f () = 2, kun R. Hnklmpi perustelu I Esimerkki 4.4 Johd funktion f () = sin derivtt kohdss. Rtkisu: Erotusosmäärä sdn yhteenlskukvn vull muotoon sin( + h) sin( ) h = sin cos h + cos sin h sin h sin h = cos h + sin cos h. h Kosk (perustelut ikisemmin/seurvll sivull) sin h cos h lim = j lim =, h h h h niin derivtksi sdn f ( ) = cos + sin = cos. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Hnklmpi perustelu II 4.2 Esimerkkejä Rj-rvo sin h lim = h h johdettiin ikisemmin geometrisesti j suppiloperitteen vull. Kosk (muist sin 2 h + cos 2 h = ) cos h h = (cos h )(cos h + ) h(cos h + ) = cos2 h h(cos h + ) = sin h h sin h cos h + 2 =, kun h, niin sdn jälkimmäinen rj-rvo. Käytännössä derivtt voidn lske lskusääntöjen j tunnettujen derivttojen vull: D ( ) = D ( ) = 2 ( ) /2 D( ) = D ( 2 cos(3) ) = D( 2 ) cos(3) + 2 D ( cos(3) ) = 2 cos(3) + 2( sin(3) D(3) ) = 2 cos(3) 3 2 sin(3) D ( sin(/) ) = cos(/)d(/) = cos(/) ( / 2 ) = cos(/)/ 2, kun Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27

10 4.3 Yleisiä tuloksi I 4.3 Yleisiä tuloksi II Olkoon f : [, b] R. Luse 4.5 Jos f on derivoituv pisteessä ], b[, niin se on jtkuv pisteessä. Perustelu: Seur derivtn määritelmästä, kosk f ( + h) f ( ) h = f ( ) + ε(, h) f ( + h) f ( ) = f ( )h + h ε(, h) f ( + h) = f ( ) + f ( )h + h ε(, h) lim f ( + h) = f ( ). h Tässä ε(, h) on rj-rvoon liittyvä virhetermi, jolle ε(, h), kun h. Luse 4.6 (Rollen luse) Jos f on derivoituv pikllisess äärirvohdss ], b[, niin f ( ) =. Perustelu: Erotusosmäärän toispuoleiset rj-rvot ovt erimerkkiset pikllisess äärirvokohdss, esim. piklliselle mksimille f ( + h) f ( ) h f ( + h) f ( ) h = negtiivinen positiivinen = negtiivinen negtiivinen, kun h >,, kun h < j h on niin pieni, että f ( ) on mksimi välillä [ h, + h]. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Välirvoluse I Luse 4.7 Jos f on jtkuv välillä [, b] j lisäksi derivoituv voimell välillä ], b[, niin on olemss sellinen piste c ], b[, että f (c) = f (b) f (), ts. f (b) f () = f (c)(b ). b y 4.3 Välirvoluse II Välirvoluseen todistus: Sovelletn Rollen lusett pufunktioon g() = f () f (b) f () ( ) f (), b jok toteutt g() = g(b) =. Sen pikllisess äärirvokohdss c ], b[ pätee g (c) = f (b) f () = f (c)(b ). y jnn pituus = g() y = f ( ) y = f ( ) b c b Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Välirvoluseen seuruksi Jos f () = kikiss voimen välin pisteissä, niin f on vkiofunktio tällä välillä. Jos f () jollkin välillä, niin f on ksvv tällä välillä; jos f () jollkin välillä, niin f on vähenevä tällä välillä. Jos edellisen kohdn lisäksi f () = inostn yksittäisissä pisteissä, niin f on idosti ksvv/vähenevä. Esimerkki: f () = L Hospitlin sääntö I Rj-rvojen lskeminen derivtn vull; erilisi versioit mm. tyyppiä / ti / oleville rj-rvoille; myös toispuoleisille. Tärkein tpus: Luse 4.8 Oletetn, että f ( ) = g( ) = j funktiot f, g ovt derivoituvi jollkin välillä ] δ, + δ[. Jos on olemss, niin f () lim g () f () lim g() = lim f () g (). Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / L Hospitlin sääntö II Perustelu: Erikoistpuksess g ( ) perustelu on lyhyt: f () g() = f () f ( ( ) f () f g() g( ) = ( ) ) /( ) ( g() g( ) ) /( ) f ( ) g ( ). Yleisessä tpuksess trvitn ns. yleistettyä välirvolusett, jonk mukn f () g() = f (c) g (c) josskin pisteessä c ], [. Tällöin osoittjss j nimittäjässä on sm piste c, joten edes derivttojen jtkuvuutt ei trvit! 4.3 L Hospitlin sääntö III Esimerkki 4.9 sin(4) Lske rj-rvo lim. Rtkisu: Kosk sin(4)/ on muoto / kohdss =, niin voidn (yrittää) sovelt L Hospitlin sääntöä: sin(4) 4 cos(4) lim = lim = 4. Kosk derivoidull muodoll on rj-rvo 4, niin lsku on pätevä. Huom. : Jos derivoitu rj-rvo on edelleen muoto /, niin sääntöä voidn yrittää käyttää toisen (ti usemmn) kerrn. Huom. 2: Muoto / on in trkistettv: cos sin lim lim =. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27

11 4.3 Äärirvotehtävät I 4.3 Äärirvotehtävät II Seurvss A R on väli. Funktioll f : A R on pikllinen mksimi/minimi pisteessä A, jos on funktion f mksimi-/minimikoht jollkin välillä A [ δ, + δ]. Pikllinen äärirvo = pikllinen mksimi ti minimi; voi esiintyä myös määrittelyvälin päätepisteessä. Pikllinen äärirvo voi tull (i) derivtn nollkohdss (ii) määrittelyvälin päätepisteessä, ti (iii) sellisess kohdss, joss funktio ei ole derivoituv. Jos tiedetään etukäteen, että funktioll on mksimi/minimi, niin etsitään kikki mhdolliset piklliset äärirvokohdt (vrt. edellinen), lsketn niissä funktion rvot j vlitn näistä suurin/pienin. Esimerkki 4. Määritä funktion f : [, 2] R, f () = 3 6, suurin j pienin rvo. Rtkisu: Kosk kyseessä on suljetull välillä jtkuv funktio, niin sillä on mksimi j minimi. Kosk funktio on derivoituv, niin riittää tutki välin päätepisteet j ne derivtn nollkohdt, jotk ovt määrittelyvälin sisällä. Derivtn nollkohdt: f () = = = ± 2. Kosk 2 [, 2], niin lsketn rvot f () =, f ( 2) = 4 2, f (2) = 4, joist voidn vlit funktion pienin rvo 4 2 j suurin rvo. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Kuperuus 5. sin-funktio j polynomit Kuper eli konveksi lue D R 2 : jos, y D, niin myös niiden välinen yhdysjn [, y] D Välillä I R määritelty funktio on kuper eli konveksi, jos sen kuvjn yläpuolinen tsolue on kuper; tähän riittää se että kuvjlle piirretyt sekntit ovt in kuvjn yläpuolell, kvn f ( ( t) + ty ) ( t)f () + tf (y), kun, y I, t [, ]. Esimerkki 5. Verrtn funktion sin kuvj (puninen) polynomien 3 3! + 5 5! + ( )n 2n+ (2n + )! kuvjiin (sininen), kun n =, 4, 8, 2. Erityisesti: jos f () koko välillä, niin f on konveksi Funktion käännepiste: koht, joss kuvjll on tngentti j funktion kuperuussuunt vihtuu. Esimerkiksi, jos f () viht merkkiä. Jos funktion f derivtn nollkohdss on f ( ) <, niin kyseessä on pikllinen mksimi; jos f ( ) >, niin kyseessä on pikllinen minimi. Tpuksess f ( ) = tilnnett täytyy tutki trkemmin. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Tylor-polynomi I 5. Tylor-polynomi II Tylor-polynomi P n (; ) = funktion prs n-steinen polynomipproksimtio (derivoinnin knnlt) pisteen lähellä. Mclurin-polynomi: tpus =. Jos f on n kert derivoituv pisteessä, niin polynomill P n () = P n (; ) = f ( ) + f ( )( ) + f ( ) ( ) 2 + 2! + f (n) ( ) ( ) n n! n f (k) ( ) = ( ) k k! k= on pisteessä smt derivtt kuin f :llä kertlukuun n skk. Tylorin kv: Jos derivtt f (n+) on olemss j se on jtkuv funktio jollkin välillä I =] δ, + δ[, niin f () = P n (; ) + E n () j virhetermille E n () pätee E n () = f (n+) (c) (n + )! ( ) n+ josskin pisteessä c [, ] I. Jos on olemss indeksistä n riippumton vkio M, jolle f (n+) () M kikill I, niin tällöin kun n. E n () M (n + )! n+, Kvn todistus sivuutetn (induktio ti integrlin vull). Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Tylor-polynomi III 5. Tylor-polynomi IV Eräitä Mclurin-polynomipproksimtioit: n n = k k= e + + 2! 2 + 3! n n! n k = k! k= ln( + ) n ( )n n ( ) k = k n k sin 3! 3 + n 5! 5 + ( )n (2n + )! 2n+ ( ) k = (2k + )! 2k+ cos 2! 2 + 4! 4 + ( )n (2n)! 2n = n k= k= ( ) k (2k)! 2k Esimerkki 5.2 Kuink mones polynomi P n () pproksimoi funktiot sin välillä [ π, π] niin hyvin, että virheen itseisrvo on lle 6? Rtkisu: Käytetään Tylorin kv tpuksess f () = sin j =. Tällöin f (n+) (c) j tutkittvll välillä pätee π. Vtimus toteutuu, jos E n () (n + )! πn+ < 6. Epäyhtälö täytyy rtkist kokeilemll: se toteutuu rvoill n 6. Vdittu trkkuus svutetn siis polynomill P 6 (), jok on tässä tpuksess sm kuin P 5 (). Trkistus kuvjist: P 3 () ei riitä, joten teoreettinen ylärj on trkk! Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27

12 5.2 Newtonin menetelmä I 5.2 Newtonin menetelmä II Ensimmäisen steen Tylor-polynomi P () = f ( ) + f ( )( ) on sm kuin funktion f linerisointi pisteen suhteen. Sitä voidn käyttää erilisiss rvioiss j numeerisiss menetelmissä. Newtonin menetelmä: Yhtälö f () = rtkistn likimääräisesti vlitsemll lkupiste (esimerkiksi kuvion perusteell) j määrittelemällä n+ = n f ( n) f ( n ), kun n =,, 2,... Näin sdn lukujono (,, 2,... ), jonk termit yleensä ntvt yhä prempi likirvoj funktion f nollkohdlle. Plutuskv perustelln geometrisesti etsimällä funktion nollkoht sen linerisoinnin (eli tngentin) vull. Esimerkki 5.3 Määritä luvun 2 likirvo käyttämällä Newtonin menetelmää. Rtkisu: Käytetään Newtonin menetelmää funktiolle f () = 2 2 j lkurvo = 2. Plutuskv tulee muotoon n+ = n n 2 2 = ) ( n + 2n, 2 n 2 jost sdn =,5, 2,4667, 3,44257 jne. Kokeilemll todetn, että oikeiden desimlien lukumäärä suunnilleen kksinkertistuu jokisell skeleell j 7 tuott jo lähes desimli oikein, kunhn väliviheet lsketn riittävällä trkkuudell. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Tylor-srj I Jos Tylorin kvn virhetermi E n () lähestyy noll, kun n ksv, sdn Tylor-polynomin rj-rvon funktion f Tylor-srj (= Mclurin-srj, jos = ). Tylor-srj on siis muoto k= f (k) ( ) ( ) k = lim k! n n k= f (k) ( ) ( ) k. k! Tämä on esimerkki yleisestä potenssisrjst, joit esiintyy monien lkeisfunktioiden yhteydessä. 5.3 Tylor-srj II Tylor-srj voidn muodost in, kun funktioll f on kikkien kertlukujen derivtt pisteessä j ne sijoitetn ym. kvn. Tähän liittyy kuitenkin kksi ongelm: Suppeneeko Tylor-srj kikill muuttujn rvoill? Vstus: Ei in; esimerkiksi funktion f () = Mclurin-srj (= geometrinen srj) suppenee vin rvoill < <, vikk funktio on derivoituv kikill : f () = = Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Tylor-srj III Jos srj suppenee jollkin, niin onko srjn summ sm kuin f ()? Vstus: Ei in; esimerkiksi funktiolle { e / 2,, f () =, =, pätee f (k) () = kikill k N (hnkl, mutt peritteess lkeellinen lsku). Näin ollen sen Mclurin-srj on identtisesti noll j suppenee kohti rvo f () inostn pisteessä =. Johtopäätös: Tylor-srjoj pitäisi tutki trksti virhetermien jms. vull. Käytännössä srjoj muodostetn käyttämällä pun muutmi tunnettuj srjkehitelmiä. 5.3 Tylor-srj IV Esimerkkejä (eksponenttifunktioon pltn vielä myöhemmin): = e = sin = cos = k, < k= k! k, R ( ) k (2k + )! 2k+, R ( ) k (2k)! 2k, R k= k= k= ( + ) r = + r(r )(r 2)... (r k + ) k, < k! Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Tylor-srj V 5.4 Potenssisrj I Viimeinen on nimeltään binomisrj j se on voimss kikill r R. Jos r = n N, niin srjn kertoimet ovt nolli summusindeksistä k = n + lähtien, j lkuosn kertoimet ovt muoto ( n k ) = n! k!(n k)! n(n )(n 2)... (n k + ) =. k! Vert binomikvn: n ( ) n ( + b) n = n k b k = n + n n b + + b n, k kun n N. k= Potenssisrj on muoto c k ( ) k = lim k= n k= n c k ( ) k olev srj. Piste on srjn keskus j luvut c k srjn kertoimi. Srj suppenee rvoll, jos yllä olev rj-rvo on määritelty. Tämän suhteen on vin kolme erilist tpust: srj suppenee vin rvoll = (jolloin srjss esiintyy vin vkiotermi c ) srj suppenee kikill R srj suppenee jollkin välillä ] R, + R[ (j mhdollisesti yhdessä ti molemmiss päätepisteissä), mutt hjntuu muill :n rvoill. Luku R on potenssisrjn suppenemissäde. Sopimus: R = ti R = muiss tpuksiss. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27

13 5.4 Potenssisrj II Esimerkki 5.4 Millä muuttujn rvoill potenssisrj k 2 k k suppenee? Rtkisu: Tutkitn suppenemist suhdetestin vull, kun k = k k /2 k. Tällöin k+ k = (k + ) k+ /2 k+ k k /2 k = k + 2k 2, kun k. Suhdetestin perusteell srj suppenee, kun /2 <, j hjntuu, kun /2 >. Rjtpuksiss /2 = = ±2 srjn yleinen termi ei lähesty noll, joten srj hjntuu. Tulos: Srj suppenee välillä 2 < < 2 j hjntuu muulloin. 5.4 Potenssisrj III Suppenemisvälillä I tulee siis määriteltyä funktio f : I R, f () = c k ( ) k, () k= jok on nimeltään srjn summfunktio. Potenssisrjn summfunktio f on välillä ] R, + R[ jtkuv j derivoituv. Lisäksi derivtn f () voi lske derivoimll srj () termeittäin: f () = kc k ( ) k. Huom, että vkiotermi c derivoituu pois eli summ lk indeksistä k =. Lisäksi derivoitu srj suppenee smll välillä ] R, + R[; tämä on hiemn yllättävää (?) kertoimen k vuoksi. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Potenssisrj IV Esimerkki 5.5 Määritä potenssisrjn summfunktio. Rtkisu: Tutkittv srj on stu derivoimll termeittäin geometrinen srj, jonk suhdelukun on muuttuj. Näin ollen = D( ) = d ( ) = d ( ) Potenssisrj V Tpuksess [, b] ] R, + R[ potenssisrjn () voi myös integroid termeittäin: f () d = c k ( ) k d. k= Usein integrointi voidn ulott myös suppenemisvälin päätepisteeseen skk, mutt tämä ei in pidä pikkns. Tilnnett täytyy siis tutki tpuskohtisesti. Kertomll tulos puolittin muuttujll sdn mm. todennäköisyyslskennss geometriseen jkumn liittyvä summkv k k = = ( ) 2, jok on voimss rvoill <. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Potenssisrj VI Esimerkki 5.6 Lske vuorottelevn hrmonisen srjn summ. Rtkisu: Sijoitetn luksi geometrisen srjn suhdeluvuksi q =, jolloin sdn = ( ) = +. Integroimll kvn molemmt puolet välillä sdn hluttu tulos = = ln 2. + Tässä integroinnin ulottminen suppenemisvälin päätepisteeseen = pitäisi perustell trkemmin. Integrliin j logritmiin pltn myöhemmin kurssill. 6. Funktio I Tämä luku sisältää trkennuksi j lisäyksiä funktioihin liittyviin käsitteisiin. Kikki kohti ei käsitellä luennoll, mutt osn niistä pltn trvittess myöhemmin. Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen joukon A lkioon täsmälleen yhden B:n lkion b. Merkitään b = f (). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko j B on f :n mlijoukko. Funktion f rvojoukko (eli kuvjoukko) on B:n osjoukko f [A] = {f () A}. Esimerkiksi funktion f : R R, f () = 2, mlijoukko on R, mutt sen rvojoukko on f [R] = [, [. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / Funktio II 6.2 Käänteisfunktio I Edellisen esimerkin funktio voidn toki määritellä suorn muodoss f : R [, [, f () = 2, jolloin rvojoukko on sm kuin mlijoukko. Näin voidn peritteess menetellä kikkien funktioiden kohdll, mutt se ei yleensä ole käytännöllistä. Esimerkki: Yritä tehdä sm funktiolle f : R R, f () = , R. Jos funktion määrittelyjoukko A R, niin kyseessä on yhden muuttujn funktio, joit tällä kurssill käsitellään. Jos A R n, n 2, niin kyseessä on usen muuttujn funktio, joit käsitellään kursseill Differentili- j integrlilskent 2 3. Funktio f : A B on injektio, jos eri pisteissä sdn eri rvot, ts. 2 f ( ) f ( 2 ), ts. f ( ) = f ( 2 ) = 2. surjektio, jos rvojoukko on sm kuin mlijoukko, ts. f [A] = B. bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom: Funktiost tulee surjektio, kun mlijoukko kutistetn mhdollisimmn pieneksi, eli jätetään pois kikki ne pisteet, jotk eivät ole funktion rvoj. Toinen tp määritellä nämä käsitteet perustuu yhtälön rtkisujen lukumäärän tutkimiseen: Jos y B on kiinteä, niin yhtälöllä y = f () on korkeintn yksi rtkisu A, jos f on injektio inkin yksi rtkisu, jos f on surjektio täsmälleen yksi rtkisu, jos f on bijektio. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) / 27