Analyysin perusteet kauppatieteilijöille P

Transkriptio

1 Anlyysin perusteet kupptieteilijöille P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2017

2 Sisältö 1 Derivtt Määritelmä Derivtn geometrinen tulkint Derivoimissääntöjä Jtkuvuus j derivoituvuus Logritminen derivointi Korkemmt derivtt Funktion tutkiminen derivttojen vull L Hospitlin sääntö Implisiittinen derivointi Differentili Tylorin srjkehitelmä Trigonometriset funktiot Trigonometristen funktioiden määritelmät Trigonometristen funktioiden lskukvoj Trigonometristen funktioiden derivtt Usen muuttujn funktiot Yleistä, Rj-rvo j jtkuvuus Osittisderivtt Kokonisdifferentili Yhdistetyn funktion derivointi Korkemmist osittisderivtoist Integrlilskent Johdnto Integrlifunktion määrääminen Osittisintegrointi Integrointi osmurtokehitelmän vull Integrointi sijoitusmenetelmää käyttäen Määrätty integrli Määrätyn integrlin ominisuuksist Pint-ln määritys integrlin vull Kompleksiluvut 48 1

3 5.1 Määritelmä j ominisuuksi Kompleksilukujen käyttö Tloustieteellisiä sovellutuksi Ensimmäisen derivtn tloustieteellisiä sovellutuksi Mksimlinen j suhteellinen virhe Kustnnusfunktio Tulofunktio Jousto Knsntulo, kulutus j säästäminen Osittisderivtn tloustieteellisiä sovellutuksi Rjkustnnusfunktiot Kysyntäfunktiot Tuotntofunktiot Määräämätön integrli tloustieteessä Kustnnusfunktiot Tulofunktiot Knsntulo, kulutus j säästäminen Pääomn muodostus Määrätyn integrlin tloustieteellisiä sovelluksi Kuluttjn ylijäämä Tuottjn ylijäämä Kokonisvoitto

4 1 Derivtt 1.1 Määritelmä Olkoon funktio f(x) määritelty välillä ], b[ j x 0 ], b[. Lusekett f(x) f(x 0 ) x x 0 snotn funktion f(x) erotusosmääräksi kohdss x 0 j se ilmoitt funktion rvon muutoksen suhteess muuttujn muutokseen. Näin ollen erotusosmäärä kuv funktion f(x) keskimääräistä muutosnopeutt välillä [x 0, x]. Jos rj-rvo f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 on olemss äärellisenä, snotn, että funktio f(x) on derivoituv kohdss x 0. Rj-rvo f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 on funktion f(x) derivtt kohdss x 0. Derivtt merkitsee funktion f(x) muutosnopeuden rj-rvo, kun muuttujn x muutos lähenee noll. Derivtt f (x 0 ) kuv siis funktion hetkellistä muutosnopeutt kohdss x 0. Esimerkki 1.1. Määritä funktion f(x) derivtt pisteessä x 0 = 0, kun ) f(x) = c b) f(x) = x 2 + 2x c) f(x) = x. Funktio f on derivoituv välillä ], b[, jos sen derivtt on olemss välin jokisess pisteessä. Lisäksi f on derivoituv funktio, jos sillä on derivtt olemss jokisess määrittelyjoukkons D f pisteessä. 3

5 Derivttfunktio: Olkoon f(x) derivoituv välillä ], b[ eli f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 on olemss kikill x 0 ], b[. Korvmll sduss derivtss f (x 0 ) muuttuj x 0 muuttujll x (x 0 ], b[ on mielivltinen), sdn funktio f (x), jok on funktion f derivttfunktio. Funktion y = f(x) derivttfunktiot merkitään: f (x), Df(x), df(x) dx, y, dy dx. Esimerkki 1.2. Määrää funktion f(x) = x 2 + 2x derivttfunktio f (x). Funktiot, joille esitetään derivoimissäännöt, ovt derivoituvi määrittelylueessn ilmn eri tutkimist. 1.2 Derivtn geometrinen tulkint Suor, jok sivu käyrää y = f(x) pisteessä x 0, kutsutn käyrälle y = f(x) pisteeseen x 0 piirretyksi tngenttisuorksi. Erotusosmäärä f(x) f(x 0 ) x x 0 on pisteiden P = (x 0, f(x 0 )) j Q = (x, f(x)) kutt kulkevn suorn L kulmkerroin. Kun x x 0, niin piste Q liikkuu pitkin käyrää y = f(x) kohti pistettä P. Smll pisteiden P j Q kutt kulkev suor L lähenee käyrän y = f(x) pisteeseen P piirrettyä tngenttisuor T. Vstvsti pisteiden P j Q kutt kulkevn suorn L kulmkerroin lähenee pisteeseen P setetun tngenttisuorn T kulmkerroint. Siis f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 on käyrän y = f(x) pisteeseen (x 0, f(x 0 )) piirretyn tngenttisuorn T kulmkerroin. 4

6 Kosk derivtt on rj-rvon yksikäsitteinen, niin funktioll voi oll kohdss x 0 vin yksi derivtn rvo f (x 0 ). Siten geometrisesti derivtn olemssolo edellyttää, että käyrän pisteeseen (x 0, f(x 0 )) voidn piirtää täsmälleen yksi tngenttisuor. Näin ollen jos funktio on derivoituv välillä ], b[, sen kuvjss ei s oll tällä välillä kulmi (vrt. funktio f(x) = x ). 5

7 1.3 Derivoimissääntöjä D1) Dc = 0, kun c on vkio D2) D(f(x) ± g(x)) = Df(x) ± Dg(x) D3) D(cf(x)) = cdf(x) D4) Dx n = nx n 1, kun n R j n 0 D5) D(f(x)) n = n(f(x)) n 1 f (x), kun n R j n 0 D6) D(f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( ) f(x) D7) D = f (x) g(x) f(x) g (x), kun g(x) 0 g(x) (g(x)) 2 Esimerkki 1.3. ) D(3x 4 + 4x + 5) b) D(2x 2 + 5x) 4 c) D[(x 2 + 2)(3x + 3)] d) D x x + 3 e) D ( x ) Eksponenttifunktion derivtt: D8) D e x = e x D9) D e f(x) = e f(x) f (x) D10) D x = x ln D11) D f(x) = f(x) ln f (x) Logritmifunktion derivtt: D12) D ln x = 1 x D13) D(log x) = 1 x ln D14) D ln f(x) = 1 f(x) f (x) = f (x) f(x) D15) D log f(x) = 1 f(x) ln f (x) = f (x) f(x) ln 6

8 Esimerkki 1.4. ( ) D ln x + ) x b) D 3 5 2x 1 ( c) D ) 1 3 x Jtkuvuus j derivoituvuus Luse 1.1. Jos funktio f(x) on derivoituv kohdss x 0, niin f(x) on myös jtkuv kohdss x 0. Perustelu: Mikäli funktio f(x) ei olisi jtkuv kohdss x 0 eli ehto lim f(x) = lim x x + 0 x x 0 ei toteutuisi, niin erotusosmäärän rj-rvo f(x) = f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 ei olisi olemss kohdss x 0. Tällöin funktio f(x) ei olisi myöskään derivoituv kohdss x 0. Luse 1.2. Oletetn, että funktio f(x) on jtkuv kohdss x 0 j derivoituv kohdn x 0 ympäristössä. Jos lim f (x) on olemss eli lim f (x) = lim f (x), x x0 x x 0 x x + 0 niin f(x) on derivoituv kohdss x 0 Huomutus. Jos funktio f(x) on jtkuv kohdss x 0, niin siitä ei voi päätellä mitään funktion f(x) derivoituvuudest kohdss x 0. Jos f(x) ei ole jtkuv kohdss x 0, niin f(x) ei ole derivoituvkn kohdss x 0. Funktion f(x) derivoituvuuden tutkiminen kohdss x 0 : 1. Onko f(x) jtkuv kohdss x 0? 2. Onko lim x x0 f (x) olemss? Esimerkki 1.5. Tutki funktion f(x) jtkuvuutt j derivoituvuutt, kun { x, x 0 f(x) = x = x, x < 0 7

9 1.5 Logritminen derivointi Kun derivoitv funktio on muoto h(x) g(x), missä h(x) j g(x) eivät ole vkiofunktioit, voidn käyttää logritmist derivointi. Kosk niin D ln f(x) = 1 f(x) Df(x), Df(x) = f(x) D ln f(x). Näin ollen jos f(x) = h(x) g(x), niin D(h(x) g(x) ) = h(x) g(x) D ln h(x) g(x) = h(x) g(x) D(g(x) ln h(x)) j tämä ostn derivoid tunnetuill derivoimissäännöillä. Esimerkki 1.6. Derivoi funktio x x. 1.6 Korkemmt derivtt Olkoon f(x) derivoituv funktio. Tällöin funktion f(x) derivttfunktio on f (x). Jos f (x) on edelleen derivoituv, sen derivtt (f ) (x) snotn funktion f(x) toiseksi derivtksi j merkitään f (x). Siten f (x) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. Käytetään myös merkintöjä y, D 2 f(x), d2 f(x) dx 2 j d2 y dx 2. Funktion f(x) n. derivtt sdn smoin derivoimll funktio f(x) n kert. Sitä merkitään f (n) (x). Siis f (0) (x) = f(x), f (1) (x) = f (x), f (2) (x) = f (x), f (3) (x) = f (x) jne. Pilkkumerkintää käytetään yleensä, kun n 2. Esimerkki 1.7. Olkoon f(x) = 2e x2 + ln x 2. Määrää f (1). Esimerkki 1.8. Olkoon f(x) = 2x 5. Määrää f (k) (x) kikill k Z + 8

10 1.7 Funktion tutkiminen derivttojen vull Luse 1.3. Oletetn, että funktio f(x) on jtkuv j derivoituv välillä I. Tällöin funktio f(x) on (i) ksvv välillä I, jos f (x) 0 kikill x I (tngentit välillä I nousevi ti x-kselin suuntisi suori), (ii) idosti ksvv välillä I, jos f (x) > 0 kikill x I (tngentit välillä I nousevi suori), (iii) vähenevä välillä I, jos f (x) 0 kikill x I (tngentit välillä I lskevi ti x-kselin suuntisi suori), (iv) idosti vähenevä välillä I, jos f (x) < 0 kikill x I (tngentit välillä I lskevi suori). (i) (ii) (iii) (iv) Esimerkki 1.9. Tutki funktion f(x) = x 2 + 2x 3 ksvvuutt 9

11 Luse 1.4. Funktio f(x) on idosti lspäin kuper välillä ], b[ tngenttien kulmkertoimet tulevt idosti suuremmiksi muuttujn x ksvess derivtt f (x) on idosti ksvv välillä ], b[ f (x) > 0 välillä ], b[ Luse 1.5. Funktio f(x) on idosti ylöspäin kuper välillä ], b[ tngenttien kulmkertoimet tulevt idosti pienemmiksi muuttujn x ksvess derivtt f (x) on idosti vähenevä välillä ], b[ f (x) < 0 välillä ], b[ Esimerkki Tutki funktion f(x) = x 3 + 2x 2 3x kuperuutt. 10

12 1.8 L Hospitlin sääntö Trkstelln rj-rvo lim x f(x) g(x). Olkoon ti lim f(x) = 0 x j lim g(x) = 0 x lim f(x) = ± x j lim g(x) = ±. x Tällöin lim x f(x) g(x) = 0 0 Jos nyt lim x f (x) g (x) = A ti f(x) lim x g(x) = ± on olemss, niin, jotk eivät ole määriteltyjä. f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x) = A. Esimerkki ) lim x 2 x 3 8 x 2 4 b) lim x 0 + xx 1.9 Implisiittinen derivointi Edellä on käsitelty muodoss y = f(x) nnetun funktion derivointi. Joskus funktio y = y(x) voidn kuitenkin esittää ns. implisiittimuodoss F (x, y) = 0 eli muodoss, joss y ei ole muuttujn x suhteen rtkistun. On mhdollist, että funktiot y ei edes kyetä rtkisemn muuttujn x funktion, mutt kuitenkin y riippuu muuttujst x. Derivtt dy voidn silti usein määrätä implisiittinen dx derivoinnin vull. Edellytyksenä on, että y on muuttujn x suhteen derivoituv. Tällöin derivtt dy sisältää yleensä sekä muuttuj x että funktion rvon y. dx Implisiittisessä derivoinniss luseke F (x, y) = 0 derivoidn puolittin muuttujn x suhteen j tuntemtont y käsitellään muuttujn x funktion. Sdust lusekkeest rtkistn dy dx ti y. Esimerkki Olkoon y = f(x) j toteutt yhtälön x 3 +y 3 9 xy = 0. Määrää 2 dy pisteessä x = 1 eli tutki funktion y muutosnopeutt muuttujn x suhteen dx pisteessä x = 1. 11

13 1.10 Differentili Olkoon f(x) derivoituv funktio kohdss x 0. Asetetn Tällöin u(x) = f(x) f(x 0) x x 0 f (x 0 ), kun x D f j x x 0. (1) [ ] f(x) f(x0 ) lim u(x) = lim f (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) = 0. x x 0 x x0 x x 0 Nyt yhtälö (1) sdn muotoon f(x) f(x 0 ) x x 0 = u(x) + f (x 0 ). Kun kerrotn edellinen yhtälö puolittin lusekkeell x x 0, sdn funktion f(x) differentilikehitelmä. Differentilikehitelmä: missä, u(x) 0, kun x x 0. f(x) f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) + u(x)(x x 0 ), (2) Kun merkitään x = x x 0 j f(x) = f(x) f(x 0 ), sdn yhtälö (2) muotoon f(x) = f (x 0 ) x + u(x) x, (3) missä u(x) 0, kun x 0. Differentilikehitelmä (3) kuv muuttujn x muutost x vstv todellist funktion f rvon muutost f. Nyt termi f (x 0 ) x on funktion y = f(x) muuttujn lisäystä x vstv differentili kohdss x 0 j sitä merkitään dy = df(x 0 ) = f (x 0 ) x. (4) Kosk u(x) 0, kun x 0, niin differentili df(x 0 ) rvioi hyvin funktion f(x) rvon muutost f (= f(x) f(x 0 )) kohdn x 0 läheisyydessä. 12

14 Geometrisesti funktion rvon todellisen muutoksen f(x) korvmist differentilill df(x 0 ) vst käyrän y = f(x) korvminen sen pisteeseen (x 0, f(x 0 )) piirretyllä tngenttisuorll. Huomutus. Mitä voimkkmmin funktio y = f(x) muuttuu kohdn x 0 ympäristössä, sitä huonommin differentili df kuv funktion todellist muutost f. Merkitsemällä dx = x sdn differentilille luseke dy = df(x) = f (x)dx. (5) Esimerkki Mikä on funktion f(x) = x 2 muuttujn lisäystä 1 10 vstv differentili df kohdss x 0 = 2. Mikä on tällöin f? 13

15 1.11 Tylorin srjkehitelmä Olkoon n Z +. Luku n! = n snotn n-kertomksi. Lisäksi setetn, että 0! = 1. Olkoon f (k) () funktion f(x) k. derivtt kohdss x =. Luse 1.6 (Tylorin luse). Oletetn, että funktioll f(x) on kikkien kertlukujen derivtt määrittelyjoukossn j D f. Tällöin f(x) = k=0 f (k) () (x ) k k! = f() + f ()(x ) + f () 2! = f() + f ()(x ) + f () 2! + R n (x), (x ) 2 + f (3) () (x ) ! (x ) f (n 1) () (x )n 1 (n 1)! missä j R n (x) 0, kun n. R n (x) = k=n f (k) () (x ) k k! Yo. srj kutsutn funktion f(x) Tylorin srjkehitelmäksi kohdss x =. Kun funktion f(x) Tylorin srjkehitelmä ktkistn sopivn termin kohdlt, sdn polynomi, jok pproksimoi funktiot f(x). Esimerkki Lske funktion f(x) = e x Tylorin srjkehitelmä trkkuudell k = 4. 14

16 2 Trigonometriset funktiot 2.1 Trigonometristen funktioiden määritelmät Huomutus. Asteiden sijst käytetään yleensä rdinej: 360 o = 2π (rd) 180 o = π (rd) 1 o = 2π 360o (rd) 1 (rd) = 360 2π α o = α 360 2π (rd), eli π = 180o, π 2 = 90o, 2π = 360 o jne. Yksikköympyrä: Kulmn α = AOB suuruus rdineiss on kulm vstvn yksikköympyrän kren AB pituus. Kulm lsketn positiiviseksi x-kselist vstpäivään eli positiiviseen kiertosuuntn j negtiiviseksi myötäpäivään eli negtiiviseen kiertosuuntn. Yksikköympyrässä ei trvitse rjoitt kulmn α suuruutt, vn se voi oll mikä thns reliluku, myös negtiivinen. 15

17 Olkoon piste (x, y) kulm α vstv yksikköympyrän kehäpiste. Tällöin trigonometriset funktiot määritellään seurvsti: Trigonometriset funktiot sin α = y ( 1 sin α 1), cos α = x ( 1 cos α 1), tn α = y x = sin α cos α, α π + nπ, missä n Z, 2 cot α = x y = cos α sin α = 1, α nπ, missä n Z. tn α 16

18 Siten cos 0 =, cos π 2 =, cos π =, cos 3π 2 =, cos 2π = sin 0 =, sin π 2 =, sin π =, sin 3π 2 =, sin 2π = Suorkulminen kolmio: sin α = b c, cos α = c, tn α = b, α = sin 1 b c = cos 1 c 2 + b 2 = c 2 (Pythgorn luse) Huomutus. Trigonometristen funktioiden potensseille käytetään merkintöjä: (sin α) n = sin n α, (cos α) n = cos n α, (tn α) n = tn n α. 17

19 2.2 Trigonometristen funktioiden lskukvoj Huomutus. Nyt kulm α on korvttu yleisellä muuttujll x. Kvoj: sin 2 x + cos 2 x = 1 (Pythgorn luseest) { cos x = cos (x + n 2π), n Z sin x = sin (x + n 2π), n Z { sin (π x) = sin x cos (π x) = cos x { sin ( π x) = cos x 2 cos ( π x) = sin x 2 { cos ( x) = cos x sin ( x) = sin x sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos (x ± y) = cos x cos y sin x sin y sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 1 2 sin 2 x = 2 cos 2 x 1 sin x lim x 0 x = 1 18

20 Trigonometristen funktioiden kuvjt: Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot: rcsin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ], y = sin x x = rcsin y = sin 1 y rccos : [ 1, 1] [0, π], y = cos x x = rccos y = cos 1 y, rctn : R [ π 2, π 2 ], y = tn x x = rctn y = tn 1 y rccot : R [0, π], y = cot x x = rccot y = cot 1 y Esimerkki 2.1. Määritä rctn 1 j rcsin 3 2. Esimerkki 2.2. Rtkise yhtälö sin 2x = cos x. 19

21 2.3 Trigonometristen funktioiden derivtt Derivoimiskvt: D sin x = cos x D sin f(x) = cos f(x) f (x) D cos x = sin x D cos f(x) = sin f(x) f (x) D tn x = 1 cos 2 x = 1 + tn2 x D tn f(x) = D cot x = D cot f(x) = D rcsin x = D rcsin f(x) = 1 cos 2 f(x) f (x) = [1 + tn 2 f(x)] f (x) 1 sin 2 x = (1 + cot2 x) 1 sin 2 f(x) f (x) = [1 + cot 2 f(x)] f (x) 1 1 x 2, x ±1 1 1 f(x) 2 f (x), f(x) ±1 1 D rccos x =, x ±1 1 x 2 1 D rccos f(x) = f (x), f(x) ±1 1 f(x) 2 D rctn x = x 2 D rctn f(x) = f(x) 2 f (x) 20

22 Drccot x = Drccot f(x) = x f(x) 2 f (x) Esimerkki 2.3. Määrää seurvt derivtt ) D sin (2x 2 ) b) D rctn (2x 2 ) c) D rcsin (2x 2 ) d) D tn (x 2 ) e) D tn 2 x 21

23 3 Usen muuttujn funktiot 3.1 Yleistä, Rj-rvo j jtkuvuus Joukko R n, missä n N, määritellään seurvsti: R 1 = R, R 2 = {(x 1, x 2 ) x 1, x 2 R}, R 3 = {(x 1, x 2, x 3 ) x 1, x 2, x 3 R}, R 4 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x 1, x 2, x 3, x 4 R},..., R n = {(x 1,..., x n ) x 1,..., x n R}. Usein kuitenkin merkitään R 2 = {(x, y) x, y R} j R 3 = {(x, y, z) x, y, z R}. Olkoon D f R n j f : D f R funktio. Funktio f on n muuttujn relirvoinen funktio. Merkintä y = f(x 1,..., x n ) trkoitt, että y on funktion f rvo pisteessä (x 1,..., x n ) D f. Esimerkki 3.1. ) z = f(x, y) = x 2 + y 2 b) f(x, y, z) = x + y z Khden muuttujn relirvoist funktiot f : D f R, D f R 2, voidn hvinnollist pinnn z = f(x, y) vull xyz koordintistoss. Tämä pint on funktion f kuvj. Esimerkki 3.2. Olkoon f : X R funktio, missä määrittelyjoukko X = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}, j kikill (x, y) X. f(x, y) = 3 22

24 Tällöin määrittelyehto x 2 + y 2 1 nt 1 säteisen ympyrän sisältämän lueen määrittelytsoon eli xy tsoon. Kosk f(x, y) = 3 kikill (x, y) X, niin funktion f kuvj xyz-koordintistoss on xy-tson suuntinen ympyrä korkeudell z = 3, jonk säde on 1 j keskipiste (0, 0, 3). Huomutus. Joskus funktion y = f(x 1,..., x n ) kukin muuttuj x i jollkin välillä I i. s rvoj Esimerkki 3.3. f(x, y, z) = x 2 2y + z, 0 x 1, 1 y < 2, 0 z < 3. Siis D f = {(x, y, z) R 3 x [0, 1], y [1, 2[, z [0, 3[}. Jos funktion määrittelyjoukko ei ole nnettu, määrittelyjoukoksi jtelln kikki ne pisteet, joiss funktion rvo voidn määritellä. 23

25 Rj-rvo Funktion f : R n R rj-rvoll pisteessä ( 1, 2,..., n ) trkoitetn sitä luku b, jot funktion f rvot f(x 1, x 2,..., x n ) lähestyvät, kun piste (x 1, x 2,..., x n ) lähestyy pistettä ( 1, 2,..., n ). Tällöin merkitään mikäli tämä rj-rvo on olemss. lim f(x 1,..., x n ) = b, (x 1,...,x n) ( 1,..., n) Rj-rvo voi oll myös, mikä trkoitt sitä, että funktion f rvot ksvvt rjtt, kun piste (x 1, x 2,..., x n ) lähestyy pistettä ( 1, 2,..., n ). Vstvsti rjrvo on, jos funktion f rvot pienenevät rjtt, kun piste (x 1, x 2,..., x n ) lähestyy pistettä ( 1, 2,..., n ). Tällöin käytetään merkintöjä lim f(x 1,..., x n ) = j lim f(x 1,..., x n ) =. (x 1,...,x n) ( 1,..., n) (x 1,...,x n) ( 1,..., n) Rj-rvoss lähestyttävä piste ( 1, 2,..., n ) on yleensä sellinen, että funktion f rvo ei void määrittää pisteessä ( 1, 2,..., n ). On myös mhdollist, että jotkin muuttujist x i lähestyvät ääretöntä ti miinus ääretöntä. Jtkuvuus Funktio f(x 1,..., x n ) on jtkuv pisteessä ( 1,..., n ), jos lim f(x 1,..., x n ) = f( 1,..., n ). (x 1,...,x n) ( 1,..., n) Kksiulotteisess tpuksess funktion f(x, y) jtkuvuus pisteessä (, b) merkitsee geometrisesti sitä, että pint z = f(x, y) on jtkuv eikä sisällä hyppäystä pisteessä (, b). Esimerkki 3.4. y ) Määrää lim (x,y) (0,1) x 2 b) Onko funktio f(x, y) = x 2 + y 2 jtkuv pisteessä (1, 1)? c) Onko funktio f(x, y) = x + y 2 jtkuv? 24

26 3.2 Osittisderivtt Kun derivoidn funktiot y = f(x 1,..., x n ) sen yhden muuttujn x i suhteen puhutn funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtst muuttujn x i suhteen. Jos funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtt muuttujn x i suhteen on olemss, kyseinen osittisderivttfunktio sdn derivoimll funktiot y = f(x 1,..., x n ) muuttujn x i suhteen j käsittelemällä muut muuttujt vkioin. suhteen mer- Funktion f(x 1,..., x n ) osittisderivttfunktiot muuttujn x i kitään: f, f xi, f i. x i Huomutus. Funktiot, joille on nnettu derivoimissäännöt, ovt derivoituvi määrittelyjoukossn D f. Jos funktio ei ole jtkuv, ei se ole derivoituvkn. Funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtt muuttujn x i suhteen pisteessä ( 1,..., n ) sdn sijoittmll funktion f osittisderivttfunktioon f x i piste ( 1,..., n ). Huomutus. Funktion osittisderivtt muuttujn x i hetkellistä muutosnopeutt muuttujn x i suhteen. suhteen kuv funktion Esimerkki 3.5. Määrää funktion f(x, y) = x 2 + xy + 1 osittisderivtt muuttujien x j y suhteen pisteessä (1, 3). Esimerkki 3.6. Määrää funtion f(x, y, z) = xe x+y + z 2 x + xyz osittisderivttfunktiot muuttujien x, y j z suhteen. Lske näiden rvo pisteessä (1, 0, 2). Luse 3.1. Olkoon funktio f jtkuv pisteessä ( 1,..., n ). Tällöin funktio f f on derivoituv muuttujn x i suhteen pisteessä ( 1,..., n ) eli x i ( 1,..., n ) on olemss, jos f lim (x 1, x 2,..., x n ) (x 1,...,x n) ( 1,..., n) x i on olemss. Esimerkki 3.7. Onko funktio f(x, y) = x + y 2 derivoituv? 25

27 3.3 Kokonisdifferentili Funktion z = f(x, y) differentili kohdss (, b) D f on missä dx = x j dy = y. dz = df(, b) = f f (, b) dx + (, b) dy, x y Differentili dz = df(, b) rvioi funktion z = f(x, y) todellist muutost z = f = f(x, y) f(, b) hyvin pisteen (, b) läheisyydessä. Kokonisdiffentili n:n muuttujn funktiolle y = f(x 1,..., x n ) on df = f x 1 dx 1 + f x 2 dx f x n dx n. Esimerkki 3.8. Olkoon f(x, y) = x 3 + 3y 2. Määrää funktion f muuttujn x muutost 1 j muuttujn y muutost 1 vstv kokonisdifferentili j todellinen 2 3 muutos kohdss (2, 3). 3.4 Yhdistetyn funktion derivointi Oletetn, että funktion y = f(x 1,..., x n ) kukin muuttuj x 1, x 2,..., x n edelleen muuttujn t funktio, ts. x 1 = x 1 (t), x 2 = x 2 (t),..., x n = x n (t). Tällöin funktion f (kokonis)derivtt muuttujn t suhteen voidn lske sijoittmll muuttujien x i (t) lusekkeet funktion f lusekkeeseen j derivoimll stu luseke muuttujn t suhteen. Esimerkki 3.9. f(x, y) = x 2 3xy 2, missä x = 2t j y = t 2. Määrää df dt. Oletetn, että funktion f(x 1,..., x n ) kukin muuttuj x 1, x 2,..., x n on edelleen muuttujien t 1,..., t m funktio, ts. x 1 = x 1 (t 1,..., t m ),..., x n = x n (t 1,..., t m ). Tällöin osittisderivtt muuttujien t j suhteen voidn lske sijoittmll ensin muuttujien x i (t 1,..., t m ) lusekkeet funktion f lusekkeeseen j sen jälkeen derivoimll funktion f luseke muuttujien t j suhteen. Esimerkki Olkoon f(x, y) = x 2 3xy 2, missä x = u v j y = u 2 + v 2. Määrää f f j. u v on 26

28 3.5 Korkemmist osittisderivtoist f Jos funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtt x 1,..., f x n ovt edelleen derivoituvi, sdn funktion f toisen kertluvun osittisderivtt: f x1 x 1 = x 1 ( f x 1 ) = 2 f, x 2 1 f x1 x 2 = x 1 f xi x j = x i ( f x 2 ) ( ) f x j = 2 f x 1 x 2, = 2 f x i x j. Vstvsti määritellään vielä korkemmtkin osittisderivtt. Esimerkki Määrää funktion f(x, y) = x 3 e 3y toisen kertluvun osittisderivtt. 27

29 4 Integrlilskent 4.1 Johdnto Funktion f(x) integrlifunktiot merkitään f(x) dx. Integrointi on derivoimisen käänteistoimitus. Siis f(x) dx = F (x) D F (x) = f(x). Funktion f(x) integroinniss on siis määritettävä funktio F (x), kun funktion F (x) derivttfunktio f(x) tiedetään. Funktio F on funktion f integrlifunktio, jos F (x) = f(x) x D f. Olkoon F (x) funktion f(x) eräs integrlifunktio. Siis F (x) = f(x). Toislt kun c on vkio, niin D(F (x) + c) = DF (x) + Dc = F (x) + 0 = F (x) = f(x). Siis jokinen funktio F (x) + c, missä c on vkio, on myös funktion f(x) integrlifunktio. Luse 4.1. Olkoon f(x) funktio j F (x) eräs funktion f(x) integrlifunktio. Tällöin {F (x)+c c R} on funktion f(x) kikkien integrlifunktioiden joukko. Kun nnetn yksi piste (x 0, y 0 ), jonk kutt integrlifunktio kulkee, niin integrlifunktio sdn täysin määrättyä: F (x 0 ) + c = y 0 c = y 0 F (x 0 ). 28

30 4.2 Integrlifunktion määrääminen Derivoimiskvoist sdn seurvt integroimiskvt: (1) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx. (2) f(x) dx = f(x) dx. (3) dx = x + c, missä R on vkio, sillä Dx =. (4) x dx = x c, x+1 1 j R, sillä D + 1 = ( + 1)x + 1 = x. Jos Z, niin oltv x 0. (5) 1 dx = ln x + c, x 0, x D ln x = 1 sillä D ln x = x, kun x > 0 D ln ( x) = 1 x ( 1) = 1, kun x < 0. x (6) e x dx = e x + c, sillä De x = e x. (7) x dx = x x + c, sillä D ln ln = x ln ln = x. 29

31 (8) Olkoon nyt 1. Tällöin (f(x)) f (x) dx = (f(x)) c, sillä D (f(x)) = ( + 1)(f(x)) f (x) + 1 = (f(x)) f (x). (9) Olkoon nyt f(x) 0. Tällöin f (x) f(x) dx = ln f(x) + c, sillä D ln f(x) = 1 f(x) f (x) = f (x), kun f(x) > 0 f(x) D ln f(x) = D ln ( f(x)) = 1 f(x) f (x) = f (x), kun f(x) < 0. f(x) (10) e f(x) f (x) dx = e f(x) + c, sillä De f(x) = e f(x) f (x). (11) f(x) f (x) dx = f(x) ln + c, sillä D f(x) ln = f(x) f (x) ln ln = f(x) f (x). Funktiot f(x) snotn integroituvksi, jos sillä on olemss integrlifunktio. Esimerkki 4.1. Määritä funktion f(x) = 8x 3 2x ) Kikki integrlifunktiot b) Se integrlifunktio F (x), jolle F (1) = 9. 30

32 Esimerkki 4.2. (x 4 + 1x 3 ) dx Esimerkki 4.3. x + 3 x + 1 dx x Esimerkki x + 2 2x 2 x dx Esimerkki x x2 + 1 dx Esimerkki 4.6. e x2 x dx Esimerkki 4.7. x 2 x dx Trigonometristen funktioiden integroimiskvt: (12) sin x dx = cos x + c, sillä D( cos x) = D cos x = ( sin x) = sin x. (13) sin f(x) f (x) dx = cos f(x) + c, sillä D( cos f(x)) = D cos f(x) = ( sin f(x)) f (x) = sin f(x) f (x). (14) cos x dx = sin x + c, sillä D sin x = cos x. 31

33 (15) cos f(x) f (x) dx = sin f(x) + c, sillä D sin f(x) = cos f(x) f (x). (16) 1 1 x 2 dx = rcsin x + c, sillä D rcsin x = 1 1 x 2. (17) 1 1 f(x) 2 f (x) dx = rcsin f(x) + c, sillä D rcsin f(x) = 1 1 f(x) 2 f (x). (18) 1 1 dx = rctn x + c, sillä D rctn x = 1 + x2 1 + x. 2 (19) f(x) 2 f (x) dx = rctn f(x) + c, sillä D rctn f(x) = f(x) 2 f (x). Esimerkki 4.8. Määrää seurvt integrlit ) cos (5x) dx b) c) 1 2 x 2 dx x 2 dx 32

34 4.3 Osittisintegrointi Olkoot funktiot f j g derivoituvi. Tällöin D(f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (f (x) g(x) + f(x) g (x)) dx = f(x) g(x) + c f (x) g(x) dx + f(x) g (x) dx = f(x) g(x) + c Tästä sdn ns. osittisintegroinnin kv: (20) f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx + c. Osittisintegrointi käytetään khden lusekkeen tulon integroimiseen. Jos vin toinen tulontekijöistä kyetään integroimn, vlitn: f : voidn (ostn) integroid Jos molemmt tulontekijöistä kyetään integroimn, vlitn: g : yksinkertistuu enemmän derivoinniss Esimerkki 4.9. x ln x dx 33

35 4.4 Integrointi osmurtokehitelmän vull On määrättävä P (x), missä P (x) j Q(x) ovt polynomej. Q(x) Jos polynomi P (x) on jollinen polynomill Q(x), niin tehtävä plutuu polynomin integrointiin. Jos polynomi P (x) = Q (x), niin tehtävä plutuu integroimiskvn (9). Oletetn nyt, että polynomi P (x) ei ole jollinen polynomill Q(x) eikä polynomi P (x) ole polynomin Q(x) derivttfunktio. Oletetn lisäksi, että polynomi P (x) on lemp stett kuin polynomi Q(x). Tällöin rtionlifunktio P (x) voidn esittää osmurtolusekkeiden summn, Q(x) jotk kyetään integroimn. Menetelmä on seurv: 1) Jetn nimittäjä Q(x) jottomiin tekijöihin rtkisemll sen nollkohdt. Tekijät ovt muoto x + b (vst polynomin Q(x) relist nollkoht) ti x 2 + bx + c (tpus, joss nollkoht ei ole reliluku eli 2. steen tekijä ei jknnu). 2) Kutkin polynomin Q(x) jotont tekijää vst osmurtoluseke seurvsti: ) yksinkertinen linerinen tekijä x + b missä A tuntemton vkio. A x + b, b) n kertinen linerinen tekijä (x + b) n A 1 x + b + A 2 (x + b) + + A n 2 (x + b), n missä osoittjt A i tuntemttomi vkioit. 34

36 c) yksinkertinen joton toisen steen tekijä x 2 + bx + c Ax + B x 2 + bx + c, missä A j B tuntemttomi vkioit. d) n kertinen joton toisen steen tekijä (x 2 + bx + c) n A 1x + B 1 x 2 + bx + c + A 2x + B 2 (x 2 + bx + c) + + A nx + B n 2 (x 2 + bx + c), n missä A i j B i tuntemttomi vkioit. 3) Seurvksi määrätään tuntemttomt vkiot A, B, A 1,..., A n, B 1,..., B n. Vkiot määrätään seurvsti: esitetään osmurtolusekkeiden summn, joss vkiot tun- Luseke P (x) Q(x) temttomi. Stu osmurtoluseke-esitys kerrotn puolittin nimittäjällä Q(x), jolloin vsemmlle puolelle jää vin polynomi P (x) j oikelle puolelle osmurtolusekkeiden vkioit sisältävä polynomi. Vertmll kyseisen polynomin j polynomin P (x) termien kertoimi, sdn vkiot määrättyä. esitetään osmurtolusekkeiden summn, joss vkiot tun- Luseke P (x) Q(x) nettuj. 4) Integrli P (x) Q(x) sdn osmurtolusekkeiden integrlien summn. Esimerkki x + 3 x 2 + 3x + 2 dx 35

37 Jos osoittj P (x) on korkemp ti yhtä suurt stett kuin nimittäjä Q(x), niin suoritetn jkminen: P (x) Q(x) = R(x) + P 1(x) Q(x), missä jkojäännös P 1 (x) on lemp stett kuin nimittäjä Q(x). Siten P (x) Q(x) dx = R(x) dx + P1 (x) Q(x) dx, missä jälkimmäinen integrli menee jollkin tunnetull integroimismenetelmällä. Esimerkki x 3 2x 6 x 2 2x + 1 dx Esimerkki x x 4 + 6x dx 4.5 Integrointi sijoitusmenetelmää käyttäen Integrli f(x) dx voidn muutt yksinkertisempn muotoon sopivll sijoituksell x = g(t), missä t on pumuuttuj j funktio g(t) on derivoituv muuttujn t suhteen. Derivoimll luseke x = g(t) puolittin muuttujn t suhteen sdn dx dt = g (t) eli dx = g (t)dt. Täten sdn sijoitusmenetelmän sääntö: f(x) dx = f(g(t)) g (t) dt = F (t) + c Siis sijoituksess x = g(t) integrliss f(x) dx korvtn muuttuj x lusekkeell g(t) j dx lusekkeell g (t)dt. Tämän jälkeen suoritetn integrointi muuttujn t suhteen. Integroinnin jälkeen pltn lkuperäiseen muuttujn x tkisin sijoituksell t = g 1 (x). 36

38 Huomutus. Sijoitusmenetelmästä on hyötyä vin, jos se joht yksinkertisempn integrliin! Yleensä korvtn jokin muuttuj x sisältävä termi pumuuttujll t j tästä päätellään luseke g(t). Käyttökelpoisi sijoituksi: 1) Jos integroitvn funktion f osn esiintyy termi x + b ti voidn sijoitt t = x + b ti t = x + b cx + d. x + b cx + d, Esimerkki x 2x + 1 dx 2) Jos integroitvn funktion f osn esiintyy termi n x + b, (x + b) n, n x + b cx + d ti ( ) n x + b, cx + d voidn sijoitt t = n x + b, t = (x + b) n, t = n x + b cx + d ti t = ( ) n x + b. cx + d Esimerkki x x dx 3) Jos integroitv funktio f on rtionlinen muuttujn x murtolukupotenssien suhteen, sdn integroitvst rtionlinen muuttujn t suhteen sijoituksell x = t d, missä d on muuttujn x murtopotenssien nimittäjien pienin yhteinen jettv. Esimerkki x x 3 4 dx 37

39 4) Jos integroitv funktio f on rtionlinen termin (x + b) murtolukupotenssien suhteen, käytetään sijoitust x + b = t d, missä d on termin (x + b) murtolukupotenssien nimittäjien pienin yhteinen jettv. Esimerkki x (1 + 2x) 3 2 dx Huomutus. Lukujen j b pienin yhteinen jettv trkoitt pienintä sellist luku, jonk molemmt luvut j b jkvt tsn. Esimerkiksi pyj(2, 3) = 6. 5) Jos integroitvss funktioss f esiintyy termi e x ti x voidn sijoitt t = e x x = ln t ti t = x x = log t. 6) Tietyissä erikoistpuksiss sijoitus x = 1 t on tehoks. Esimerkki (x x 3 ) 1 3 x 4 dx 38

40 4.6 Määrätty integrli Olkoon y = f(x) välillä [, b] jtkuv funktio j F (x) sen jokin integrlifunktio. Luku F (b) F () on funktion f(x) määrätty integrli yli välin [,b]. Merkitään: b f(x) dx = b/ F (x) = F (b) F (). Esimerkki (2x 3 + 5x) dx 0 Määrätty integrli j pint-l Oletetn, että f(x) on jtkuv funktio j f(x) 0 x D f. Tehtävänä on määrittää käyrän y = f(x), x kselin, y kselin j suorn x = x 0 rjoittmn lueen pint-l A(x 0 ). Ajtelln siis, että funktio A(x) kertoo in hetun pint-ln muuttujn rvoll x, missä x 0. 39

41 Alueen B 2 B 1 B 6 B 5 pint-l on A = A(x) A(x 0 ). Suorkulmion B 2 B 1 B 4 B 5 pint-l on (x x 0 ) f(x 0 ). Suorkulmion B 2 B 3 B 6 B 5 pint-l on (x x 0 ) f(x). Vertmll lueen B 2 B 1 B 6 B 5 pint-l suorkulmioiden B 2 B 1 B 4 B 5 j B 2 B 3 B 6 B 5 pint-loihin, sdn (x x 0 ) f(x) A (x x 0 ) f(x 0 ) : (x x 0 ) (6) f(x) A(x) A(x 0) x x 0 f(x 0 ). (7) Kun x x 0, sdn lim f(x 0 ) = f(x 0 ) j lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 x x0 Siten ottmll rj-rvo x x 0 puolittin yhtälöstä (7) sdn: f(x 0 ) lim x x0 A(x) A(x 0 ) x x 0 f(x 0 ) A(x) A(x 0 ) lim = f(x 0 ) x x0 x x 0 A (x 0 ) = f(x 0 ) 40

42 Kosk x 0 on mielivltinen, sdn A (x) = f(x). Siten pint-l kuvv funktio A(x) on funktion f(x) eräs integrlifunktio. Lsketn seurvksi yllä olevn kuvn pint-l A = A(b) A(). Olkoon F (x) mielivltinen funktion f(x) integrlifunktio. Tällöin F (x) = A(x) + c, c vkio. Siis eli F (b) F () = (A(b) + c) (A() + c) = A(b) A() = A b f(x) dx = A. Luse 4.2. Jos funktio f(x) on välillä [, b] jtkuv j f(x) 0 x [, b], niin määrätty integrli b j x = b rjoittmn lueen pint-l. f(x) dx on käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = 41

43 4.7 Määrätyn integrlin ominisuuksist Luse 4.3. Olkoot funktiot f(x) j g(x) jtkuvi välillä [, b] j olkoon c R vkio. Tällöin (i) (ii) b b b cf(x) dx = c f(x) dx (f(x) + g(x)) dx = b f(x) dx + b g(x) dx Esimerkki (x 3 + 3x 2 + 2) dx 1 Luse 4.4. Jos funktio f(x) on jtkuv välillä [, b] j < c < b, niin b c b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. c Todistus. Olkoon F (x) eräs funktion f(x) integrlifunktio. Tällöin b f(x) dx = = b/ F (x) = F (b) F () = (F (b) F (c)) + (F (c) F ()) b/ c/ F (x) + F (x) = b f(x) dx + f(x) dx. c c c Esimerkki Olkoon f(x) = Määrää 2 2 f(x) dx. { x 2 1, x 0 x 3 x 1, x > 0. 42

44 Luse 4.5. Myös tilnteess b Nyt j b b f(x) dx = f(x) dx = b/ F (x) = F (b) F (). / F (x) = F () F () = 0 f(x) dx = F (b) F () = (F () F (b)) = f(x) dx. b Luse 4.6. Olkoot f(x) j g(x) jtkuvi funktioit välillä [, b]. (i) Jos f(x) 0 välillä [, b], niin (ii) Jos f(x) g(x) välillä [, b], niin (iii) Jos f(x) 0 välillä [, b], niin b b f(x) dx 0. b f(x) dx f(x) dx 0. b g(x) dx. Todistus. Olkoon F (x) funktion f(x) integrlifunktio j G(x) funktion g(x) integrlifunktio. (i) F (x) = f(x) 0 välillä [, b] F (x) on ksvv välillä [, b] F (b) F (). Näin ollen b f(x) dx = F (b) F () 0. (ii) Kosk f(x) g(x) välillä [, b], niin g(x) f(x) 0 välillä [, b]. Kohdn (i) nojll b (g(x) f(x)) dx 0 b g(x) dx b f(x) dx 0 b b f(x) dx g(x) dx. 43

45 (iii) F (x) = f(x) 0 välillä [, b] F (x) on vähenevä välillä [, b] F (b) F (). Näin ollen b f(x) dx = F (b) F () Pint-ln määritys integrlin vull 1 o f(x) 0 välillä [, b] j jtkuv tällä välillä. Nyt käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b rjoittmn lueen pint-l b A = f(x) dx. Esimerkki Määritä sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrä f(x) = 1 x 2, x kseli sekä suort x = 1 j x = 3. 44

46 2 o f(x) 0 välillä [, b] j jtkuv tällä välillä. Määritetään käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b väliin jäävän lueen pint-l A. Nyt käyrät y = f(x) j y = f(x) ovt symmetriset x kselin suhteen. Tällöin f(x) 0 j siten käyrän f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b väliin jäävä pint-l A 1 = b f(x) dx. Symmetrin perusteell tämä on myös x kselin, käyrän y = f(x) sekä suorien x = j x = b väliin jäävän lueen pint-l. Siten kun f(x) 0 välillä [, b], niin käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b väliin jäävän lueen pint-l A = b f(x) dx. Esimerkki Määrää käyrän f(x) = x 3 x j x kselin rjoittmn lueen pint-l. 45

47 3 o Khden käyrän väliin jäävä pint-l. Oletetn, että f(x) g(x) välillä [, b]. On määritettävä sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrät y = f(x) j y = g(x) sekä suort x = j x = b. Nyt funktiot f(x) j g(x) voivt sd myös negtiivisi rvoj välillä [, b]. Olkoon c niin suuri vkio, että g(x)+c 0 välillä [, b]. Tällöin myös f(x)+c 0 välillä [, b]. 46

48 On selvää, että käyrien y = g(x)+c j y = f(x)+c väliin jäävä lue on yhtä suuri kuin käyrien f(x) j g(x) väliin jäävä lue. Käyrien y = f(x) + c j y = g(x) + c väliin jäävän lueen pint-l on A = b (f(x) + c) dx b (g(x) + c) dx = b (f(x) g(x)) dx. Siispä käyrien y = f(x) j y = g(x) sekä suorien x = j x = b rjoittmn lueen pint-l on b A = (f(x) g(x)) dx. Esimerkki Määritä sen lueen pint-l, jot rjoittvt suort x = 0 j x = 2 sekä käyrät f(x) = e x j g(x) = 2x x 2. Esimerkki Määritä sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrä y 2 = 4x, y kseli j suor y = 2. Esimerkki Lske käyrien f(x) = 1 x j g(x) = x 2 sekä suorien y = 1 j y = 2 väliin jäävän lueen pint-l. 47

49 5 Kompleksiluvut 5.1 Määritelmä j ominisuuksi Kompleksiluku z on muoto z = + bi, missä, b R. relios Re z = imginrios Im z = b i on imginriyksikkö, jolle i 2 = 1 eli i = 1 C = { + bi, b R} on kompleksilukujen joukko R = { + bi R j b = 0} R C itseisrvo z = 2 + b 2 liittoluku z = bi Olkoon z 1 = + bi j z 2 = c + di. Tällöin z 1 = z 2 = c j b = d z 1 + z 2 = ( + c) + (b + d)i z 1 z 2 = ( + bi) (c + di) = c + di + bci + bdi 2 = c + di + bci bd = (c bd) + (d + bc)i z 1 z 2 = ( + bi) (c + di) = ( + bi)(c di) (c + di)(c di) = ( + bi)(c di) c 2 + d 2 = z 1 z 2 z 2 2 Huomutus. Olkoon z = + bi. Tällöin z = z z z = z 2 = 2 + b 2 48

50 5.2 Kompleksilukujen käyttö Toisen steen yhtälön rtkiseminen: x 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4c 2 Tpus, joss b 2 4c < 0 : ei relist rtkisu rtkisu kompleksilukujen joukoss C Esimerkki x 2 12x + 5 = 0 Luse 5.1. Jokisell n:nnen steen yhtälöllä n x n + n 1 x n x + 0 = 0 on joukoss C täsmälleen n juurt eli rtkisu eli nollkoht. Olkoon P n (x) = n x n + n 1 x n x + 0 j z 1, z 2,..., z n yhtälön P n (x) = 0 juuret eli nollkohdt, missä z i C. Tällöin P n (x) = n (x z 1 )(x z 2 )... (x z n ). 49

51 6 Tloustieteellisiä sovellutuksi 6.1 Ensimmäisen derivtn tloustieteellisiä sovellutuksi Keskimääräinenmuutos(-nopeus) ilmisee funktion y = f(x) muutoksen suhteess muuttujn x muutokseen, kun x muuttuu jonkin välin verrn. Rjmuutos merkitsee funktion y = f(x) muutosnopeuden rj-rvo, kun muuttujn x muutos lähenee noll eli rjmuutos on funktion f(x) muutosnopeus jollin hetkellä ts. funktion f(x) derivtt f (x) Mksimlinen j suhteellinen virhe Olkoon kulutusfunktio C(x) = x x, missä x on kokonistulo. Jos x = 25 j muuttujn x mksimlinen virhemhdollisuus dx = 0.3, niin rvioi kulutuksen mksimlist j suhteellist virhettä. Rtkisu: Kulutuksen mksimlist virhettä voidn rvioid kulutusfunktion C(x) differentilill dc = C (x)dx = ( x )dx. Kun x = 25 j dx = 0.3, sdn kulutuksen mksimliseksi virheeksi Suhteellinen virhe on tällöin dc = ( ) 0.3 = = dc C(25) = = = = , 9% Kustnnusfunktio Oletetn, että tvrmäärän x tuottmisest j mrkkinoinnist iheutuvt kokoniskustnnukset C(x) voidn ilmist funktion C = C(x). Tällöin keskimääräiset yksikkökustnnukset AC(x) (ts. kustnnukset/tuote) ovt AC(x) = C(x) x. Rjkustnnusfunktio M C(x) on kokoniskustnnusfunktion C(x) derivtt C (x) j se ilmisee kokoniskustnnusten hetkellisen muutosnopeuden suhteess 50

52 tuotntomäärän x muutokseen. Keskimääräiset kustnnukset j rjkustnnukset riippuvt yleensä in tuotnnon tsost joll olln. Keskimääräiset kustnnukset ovt minimissään, kun funktion AC(x) derivtt on noll (ks. äärirvot). Tällöin ( ) C(x) (AC) (x) = D = C (x) x C(x) = 0 x x 2 C (x) x C(x) = 0 C (x) x = C(x) : x C (x) = C(x) x MC(x) = AC(x). Keskimääräiset kustnnukset AC(x) ovt siis minimissään, kun ne ovt yhtäsuuret kuin rjkustnnukset M C(x). Esimerkki 6.1. Olkoot kokoniskustnnukset C(x) = 2x 2 + 3x + 1, missä x on tuotnnon määrä yksikkönä miljoon kpplett. Määrää keskimääräiset kustnnukset j rjkustnnukset. Milloin keskimääräiset kustnnukset ovt minimissään? Rtkisu: Nyt j AC(x) = C(x) x = 2x2 + 3x + 1 x MC(x) = C (x) = 4x + 3. = 2x x Keskimääräiset kustnnukset ovt minimissään, kun AC(x) = M C(x) eli 2x x = 4x + 3 x 0 2x 2 + 3x + 1 = 4x 2 + 3x 2x 2 = 1 x = ± 1 2 ±0, 707. Kosk x > 0, rtkisu on x = 1 2 0, 707. Siispä keskimääräiset kustnnukset ovt minimissään, kun tuotnnon määrä on kpplett. 51

53 6.1.3 Tulofunktio Olkoon kysyntäfunktio y = f(x), missä y on tvrn yksikköhint j x on kysynnän suuruus (tvrmäärä). Kokonistulo R(x) on tällöin R(x) = xy = x f(x). Rjtulo on MR(x) = dr(x) = R (x), dx jok on siis kokonistulon muutosnopeus kysynnänmäärän x suhteen. Huomutus. Keskimääräinen tulo R(x) x kysyntäfunktio. = f(x), joten se on sm funktio kuin Funktion R(x) rvo on in positiivinen, sillä x j f(x) = y ovt positiivisi. Rjtulo M R(x) voi oll myös negtiivinen, sillä kokonistulo voi sekä lisääntyä että vähentyä kysynnän ksvess. Kokonistulofunktio on suurimmilln kohdss, joss rjtulofunktio s rvon 0 (ks. äärirvot). Esimerkki 6.2. Olkoon kysyntäfunktio y = x + 3, missä y on yksikköhint j x on kysynnän määrä. Määrää kokonistulo, rjtulo j keskimääräinen tulo. Milloin kokonistulo on suurimmilln? Rtkisu: Nyt kokonistulo on rjtulo j keskimääräinen tulo R(x) = x y = x( x + 3) = x 2 + 3x, MR(x) = R (x) = 2x + 3 R(x) x = y = x + 3. Kokonistulo on suurimmilln, kun MR(x) = 2x + 3 = 0 eli x =

54 6.1.4 Jousto Funktion y = f(x) jousto Ef(x) kohdss x on Ef(x) = f(x) f(x) x x = x f(x) f(x) x = x f(x) f (x) Jousto on funktion f(x) suhteellisen muutoksen muutosnopeus muuttujn x suhteellisen muutoksen suhteen. Jousto mitt, kuink herkästi funkto f(x) regoi muuttujn x muutoksiin. Jousto kertoo, kuink mont prosentti funktion rvo muuttuu, kun muuttujn rvo muuttuu yhden prosentin verrn. Funktion rvo muuttuu suhteess hitmmin, kun Ef(x) < 1. Jousto käytetään tutkittess kysyntää, trjont, kustnnuksi j tuottvuutt. Huomutus. Joustoll ei ole yksikköä! Esimerkki 6.3. Trkstelln kustnnusfunktiot C(x) = 2x 2 + 3x + 1. Lske funktion C(x) jousto EC(x). Rtkisu: Nyt EC(x) = x C(x) C (x) = x (4x + 3) = 4x2 2x 2 + 3x x 2x 2 + 3x

55 6.1.5 Knsntulo, kulutus j säästäminen Kulutusfunktio C(x) ilmisee käytettävissä olevn (kokonis)knsntulon x j knsllisen (kokonis)kulutuksen välisen suhteen. Yksinkertisiss mlleiss kulutusfunktion C(x) oletetn ksvvn, kun knsntulo ksv, j vähenevän, kun knsntulo vähenee, kuitenkin siten, että knsntulon muuttuess kulutus ei muutu yhtä pljon. Rjkulutuslttius trkoitt kulutusfunktion muutosnopeutt, kun knsntulo muuttuu. Rjkulutuslttius on suurempi kuin noll, mutt pienempi kuin yksi. Olkoon kulutusfunktio C = C(x), missä C(x) on knsllinen kulutus, x on knsntulo sekä C j x sm yksikköä. Rjkulutuslttius on dc(x) dx = C (x). Yksinkertisiss mlleiss käytettävissä olev tulo = kulutus + säästäminen. Siis x = C(x) + S(x), missä S(x) on säästöt, kun knsntulo on x. Siten säästämisfunktio j rjsäästämislttius S(x) = x C(x) S (x) = ds(x) dx = 1 C (x) = 1 dc(x) dx. Knsntulonlyysissä investoinnit käsitetään pääomn muodostukseksi, eli I = I(x) = S(x) = x C(x), j ne edustvt lisäystä relipääomn. Investoinnin j kulutuksen oletetn olevn suhteess toisiins siten, että tietty (rhmääräinen) lisäys investointeihin voi tuott rhmäärältään moninkertisen lisäyksen knsntuloon. 54

56 Täsmällinen ilmisu tälle riippuvuudelle nnetn kertoimen k vull. Tämä kerroin kuv suurimmn mhdollisen tulonlisäyksen suhdett sen iheuttneeseen investointilisäykseen. Merkitään k I = x. Siis k = x I = dx di = 1 di dx = 1 d(x C(x)) dx = 1 1 C (x) = 1 S (x) Esimerkki 6.4. Olkoon kulutusfunktio C(x) = , 8x + 0, 5 x, missä x on knsntulo. Määrää S(x), dc ds j sekä kerroin k. dx dx Rtkisu: Nyt säästämisfunktio on S(x) = x C(x) = x (10 + 0, 8x + 0, 5 x) = , 2x 0, 5 x, rjkulutuslttius rjsäästämislttius dc dx = 1 C (x) = 0, 8 + 0, 5 2 x = 0, 8 + 0, 25 x, ds dx = S (x) = 1 C (x) = 1 (0, , 25 ) = 0, 2 x x j kerroin k k = 1 S (x) = 1 0, 2 0,25. x 55

57 6.2 Osittisderivtn tloustieteellisiä sovellutuksi Rjkustnnusfunktiot Oletetn, että khden hyödykkeen A j B tuottmisest koituvi kokoniskustnnuksi kuv funktio C = C(x, y), missä x = hyödykkeen A tuotntomäärä, y = hyödykkeen B tuotntomäärä. Tällöin rjkustnnusfunktiot ovt C = rjkustnnus tuotntomäärän x suhteen, x C = rjkustnnus tuotntomäärän y suhteen. y Esimerkki 6.5. Olkoon kustnnusfunktio C(x, y) = x ln (5 + y). Tällöin rjkustnnukset ovt C C = ln (5 + y) j = x. x y 5+y Kysyntäfunktiot Oletetn, että khden hyödykkeen kysynnän määrät ovt x j y j vstvt hinnt p j q j että x = f(p, q) j y = g(p, q). (Siis kysynnät x j y riippuvt vin hinnoist p j q.) Sdut funktiot ovt kysyntäfunktioit. x = f(p, q) j y = g(p, q) 56

58 Kysyntäfunktioill x = f(p, q) j y = g(p, q) on seurvt ominisuudet 1. x, y, p, q, 0 2. Jos hint q on vkio, niin kysyntä x on hinnn p suhteen vähenevä funktio. Smoin, jos p on vkio, kysyntä y on hinnn q suhteen vähenevä funktio. { x = f(p, q) 3. Yhtälöryhmä voidn yksikäsitteisesti rtkist hintojen y = g(p, q) p j q suhteen eli on mhdollist määrätä käänteisfunktiot p = F (x, y) j q = G(x, y). Kun kysyntäfunktiot ovt x = f(p, q) j y = g(p, q), niin x p x q y p y q on kysynnän x rjkysyntä hinnn p suhteen on kysynnän x rjkysyntä hinnn q suhteen on kysynnän y rjkysyntä hinnn p suhteen on kysynnän y rjkysyntä hinnn q suhteen Esimerkki 6.6. Olkoon kysyntäfunktiot x = 2e q p j y = 3e p q. Tällöin rjkysyntäfunktiot ovt x p = 2eq p, x q = 2eq p, y p = 3ep q, y q = 3ep q. Määritellään nyt kysyntäfunktioiden x = f(p, q) j y = g(p, q) osittisjoustot: E p x (q=c1 ) = p x x p E q x (p=c2 ) = q x x q E p y (q=c3 ) = p y y p E q y (p=c4 ) = q y y q Kysynnän x osittisjousto hinnn p suhteen, kun q = c 1 Kysynnän x osittisjousto hinnn q suhteen, kun p = c 2 Kysynnän y osittisjousto hinnn p suhteen, kun q = c 3 Kysynnän y osittisjousto hinnn q suhteen, kun p = c 4 57

59 6.2.3 Tuotntofunktiot Olkoon hyödykkeen tuotntofunktio z = f(x, y), missä z = hyödykkeen tuotntomäärä x j y = khden tuotnnontekijän käyttömäärät (työ, m, pääom, mterili, koneet). Tällöin z x z y on tuotnnontekijän x rjtuottvuus on tuotnnontekijän y rjtuottvuus. Esimerkki 6.7. Olkoon tuotntofunktio z = 4x 3 4 y 1 4, missä x on työ j y on pääom. Tällöin z x = 4 3 z y = 4x x 4 y 4 = 3x y y 4 = x 4 (työn rjtuottvuus) 4 y 3 4 (po:n rjtuottvuus) 6.3 Määräämätön integrli tloustieteessä Tloustieteessä kuvtn jonkin muuttujn y vihtelu toisen muuttujn x suhteen käyttäen keskimääräisen muutoksen j rjmuutoksen käsitteitä. Rjmuutosfunktio sdn lkuperäisestä funktiost derivoimll, joten lkuperäinen funktio sdn rjfunktiost (vkiot ville) integroimll. Tloustieteessä integrointi voidn käyttää esimerkiksi seurviss tpuksiss: Hyötyfunktion selvittäminen, kun rjhyötyfunktio tunnetn. Kustnnusfunktion selvittäminen, kun rjkustnnusfunktio tunnetn. Tulofunktion selvittäminen, kun rjtulofunktio tunnetn. 58

60 6.3.1 Kustnnusfunktiot Olkoon C = C(x) kokoniskustnnusfunktio, missä x on tuotnnon määrä. Tällöin AC(x) = C(x) on keskimääräisten kustnnusten funktio j MC(x) = C (x) x on rjkustnnusfunktio. Kokoniskustnnusfunktio C(x) sdn siten integroimll rjkustnnusfunktio M C(x) eli C(x) = MC(x) dx. Integroimisvkio c sdn määrättyä jonkin lkuehdon vull. Usein nnetn kiinteät kustnnukset, eli kustnnukset tuotnnon määrän x olless noll. Esimerkki 6.8. Olkoon rjkustnnusfunktio MC(x) = 2+60x 5x 2. Määrää kokoniskustnnusfunktio C(x) j keskimääräiskustnnusfunktio AC(x), kun kiinteät kustnnukset ovt 65. Rtkisu: C(x) = MC(x) dx = x 5x 2 dx = 2x + 30x x3 + c C(0) = c = 65 c = 65 C(x) = 2x + 30x x AC(x) = C(x) x = 2x + 30x2 5 3 x x = x 5 3 x x Tulofunktiot Kun y = f(x) on kysyntäfunktio, missä y on tvrn yksikköhint j x kysynnän suuruus (määrä), niin kokonistulofunktio R(x) = xy = x f(x) j rjtulofunktio MR(x) = dr(x) dx = f(x) + x f (x). Siten kokonistulofunktio on rjtulon integrlifunktio, eli R(x) = MR(x) dx. 59

61 Integroimisvkio c määräytyy usein ehdost, että kokonistulo on noll, kun kysyntä x on noll eli R(0) = 0. Keskimääräisten tulojen funktio AR(x) = R(x) x = xf(x) x = f(x) = kysyntäfunktio. Esimerkki 6.9. Olkoon rjtulofunktio MR(x) = 8 6x 2x 2. Määrää kokonistulofunktio R(x) j kysyntäfunktio f(x), kun kysynnän määrällä noll kokonistulo on noll. Rtkisu: R(x) = MR(x) dx = 8 6x 2x 2 dx = 8x 3x x3 + c R(0) = c = 0 c = 0 R(x) = 8x 3x x3 f(x) = R(x) x = 8x 3x2 2 3 x3 x = 8 3x 2 3 x Knsntulo, kulutus j säästäminen Olkoon C = C(x) kulutusfunktio, missä C on knsllinen kokoniskulutus j x kokonisknsntulo. Rjkulutuslttius sdn seurvsti: dc dx = C (x). Olettmll, että x = C(x) + S(x), missä S(x) on säästöfunktio, sdn rjsäästämislttius seurvsti: S(x) = x C(x) ds(x) dx = 1 dc(x) dx Kosk knsllinen kokoniskulutus on rjkulutuslttiuden integrlifunktio, niin C(x) on muoto C(x) = C (x) dx. 60

62 Esimerkki Olkoon rjkulutuslttius dc = dx x (milj. euro). Kun knsntulo on noll, on kulutus 640 milj. euro. Määrää kokoniskulutusfunktio. Rtkisu: C (x) dx = x dx = 56x + 32 x + c C(0) = c = 640 c = 640 C(x) = 56x + 32 x Pääomn muodostus Olkoon K(t) pääomn kokonismäärä jn hetkellä t j K(t) on derivoituv muuttujn t suhteen. Pääomn muodostuksen ste (nopeus) on tällöin dk dt = K (t). Nyt pääomn muodostuksen ste K (t) on yhtä suuri nettoinvestointivirrn I(t) knss. Sdn yhtälöt K (t) = I(t) K (t) dt = I(t) dt K(t) = I(t) dt Siten pääomn kokonismäärä on pääomn muodostuksen steen ti nettoinvestointivirrn integrlifunktio. K(t) sdn, kun em. integrleiss määrätään integroitumisvkio. Esimerkki Nettoinvestointivirt I(t) = 5t 3 7. Määritä pääomn kokonismäärä jnhetkellä t, kun pääomn kokonismäärä jnhetkellä t = 0 on 30. Rtkisu: K(t) = I(t) dt = K(0) = K(t) = 7 2 t t 3 7 dt = 5t c = + c = 30 c = 30 7t c 61

63 6.4 Määrätyn integrlin tloustieteellisiä sovelluksi Tloustieteessä määrättyä integrli voidn käyttää esimerkiksi seurviss tpuksiss: Kokonistulo on rjtulofunktion rjoittmn pinnn l. Kuluttjn ylijäämä on kysyntäkäyrän lpuolell jäävä pint-l. Tuottjn ylijäämä on trjontkäyrän lpuolell jäävä pint-l Kuluttjn ylijäämä Kysyntäfunktio y = f(x) kuv hyödykkeen hinnn y riippuvuutt kupksi käyvään määrään x. Kysyntäfunktiost sdn siis selville tuotteen kysynnän määrä eri hinnoill. Jos mrkkinhint on y 0 j vstv kysyntämäärä x 0, niin ne kuluttjt, jotk ovt vlmiit mksmn hyödykkeestä enemmän kuin mrkkinhinnn, hyötyvät siitä, että hint on vin y 0 kuluttjn ylijäämä. Kuluttjn ylijäämä on kysyntäkäyrän y = f(x) j suorn y = y 0 väliin jäävä pint-l: Kuluttjn ylijäämä = x 0 f(x) dx x 0 y 0 = m 0 g(y) dy, 0 y 0 missä jälkimmäisessä kvss kysyntäfunktio on muodoss x = g(y) = f 1 (y) j m 0 hint, joll ei kysyntää ole eli m 0 = f(0). 62

64 Huomutus. Kuluttjn ylijäämän yksikkö on rhyksikkö. Esimerkki Olkoon kysyntäfunktio y = 32 4x x 2. Määrää kuluttjn ylijäämä kun ) x 0 = 2 b) y 0 = 27. Esimerkki Monopolin hltij pyrkii määrittämään tuotteen hinnn j myytävän määrän siten, että voitto mksimoituu. Määritä vstv kuluttjn ylijäämä, kun kysyntäfunktio on y = 16 x 2 j rjkustnnusfunktio MC(x) = 6 + x Tuottjn ylijäämä Trjontfunktio y = f(x) kuv hyödykkeen hinnn y riippuvuutt trjottuun määrään x. Trjontfunktiost sdn selville tuotteen trjonnn määrä eri hinnoill. Jos tuotteen hint on y 0 j vstv trjonnn määrä x 0, niin ne tuottjt, jotk myisivät tuotteens lle hinnn y 0 hyötyvät siitä, että hint on y 0. Tuottjn ylijäämää on pint-l, jok jää trjontkäyrän y = f(x) j suorn y = y 0 väliin: 63

65 Tuottjn ylijäämä = x 0 y 0 x 0 0 f(x) dx = y 0 M 0 g(y) dy, missä jälkimmäisessä kvss trjontfunktio on muodoss x = g(y) = f 1 (y) j M 0 on hint, joll trjont ei ole eli M 0 = f(0). Huomutus. Tuottjn ylijäämän yksikkö on rhyksikkö. Huomutus. Yleisesti mrkkinhint määräytyy kysynnän j trjonnn tspinost (kysyntä=trjont). Esimerkki Määrää mrkkinhint, kun kysyntäfunktio on y = 16 x 2 j trjousfunktio y = 4 + x. Rtkisu: Lsketn millä hinnn y j määrän x rvoll toteutuu kysyntä=trjont. Siis 16 x 2 = 4 + x x 2 + x 12 = 0 x = 1 ± ( 12) 2 1 = 1 ± 49 2 = 1 ± 7 2 = { 3 4 ei käy x = 3 y = = 7 Tuottjn ylijäämä = 3 7 Kuluttjn ylijäämä = = (4 + x) dx = 21 ] [ (16 x 2 ) dx 3 7 = = / 0 ) (4x + x2 2 = = 9 2 3/ 21 = = 18 0 ) (16x x