HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI JUKKA SELIN Dte: 9. joulukuut 200.

2 JUKKA SELIN Sisältö. Johdnto 3 2. Puolitsomllin peruskäsitteet 3 3. Riemnnin pllo 5 4. Möbius-muunnokset 8 5. Kren pituus tsoss C 2 6. Kren pituus tsoss H 3 7. Metriikk 8 8. Hyperbolinen etäisyys 20 Viitteet 25

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 3. Johdnto Lähdin tutkimn hyperbolist geometri, kosk ihe on kiehtonut minu. Kirjoitin jo kndidtin tutkielmn smst iheest j tällöin keskityin tutkimn hyperbolist geometri ksiomttisest näkökulmst. Tällä kert tutkielm on tehty nlyysin näkökulmst. Tutkielmss käsitellään hyperbolist geometri puolitsomllin kutt. Mlli on toinen mtemtikko Henri Poincrén (854 92) kehittämistä hyperbolisist mlleist.[3, s.307] Tutkielmn päätulos on osoitt, että pri (H,d H ) on polkumetrinen vruus. Tämän osoittmiseksi käsittelen hyperbolist pituutt j metriikk. Konstruoin lusekkeet hyperboliselle pituudelle j metriiklle. Muit keskeisiä käsitteitä ovt Möbius-muunnokset j Riemnnin kuul. Pyrin rkentmn tutkielmn niin että sit käsitellään oikess järjestyksessä j tärkeät tulokset todistetn. Tutkielmn esitystp rkentuu pljolti kompleksiluvuille. Lisäksi tämän tutkielmn esitietoin trvitn hiemn geometrin ymmärrystä, nlyysin perusteit, tieto polkuintegrleist j topologin perustietoj. Lähteenä olen käyttänyt ennen kikke Jmes W. Andersonin kirj Hyperbolic Geometry []. 2. Puolitsomllin peruskäsitteet Hyperbolisen geometrin puolitsomlliss käsitellään joukko H. 2.. Määritelmä. Määritellään (2.2) H = {z C : Im(z) > 0}. Joukko H on siis kompleksitson relikselin yläpuolinen os. 2.3. Määritelmä. Puolitsomlliss on olemss kksi eri tyyppistä hyperbolist suor: Toinen on joukon H leikkus euklidisen suorn knss, jok on kohtisuorss R-kseli vstn. Toinen on joukon H leikkus euklidisen ympyrän knss, jonk keskipiste on R-kselill. 2.4. Luse. Kikille erillisille pisteille p j q joukoss H, on olemss yksikäsitteinen hyperbolinen suor l jok kulkee pisteiden p j q kutt. Todistus. On kksi tpust. Oletetn ensin että Re(p) = Re(q). Tällöin euklidinen suor L = {z C : Re(z) = Re(p)} on kohtisuorss relilukukseli vstn j kulkee pisteiden p j q kutt. Nyt kysytty hyperbolinen suor l on H L. Toinen tpus on että Re(p) Re(q). Kosk nyt euklidinen suor pisteiden p j q kutt ei ole kohtisuorss relikseli vstn, niin konstruoidn euklidinen ympyrä, jonk keskipiste on relikselill j jok kulkee pisteiden p j q kutt.

4 JUKKA SELIN Kuv. Hyperbolisi suori Olkoon L pq euklidinen jn, jok yhdistää pisteet p j q j K tälle kohtisuor suor, jok puolitt jnn L pq. Nyt kikill euklidisill ympyröillä, jotk kulkevt pisteiden p j q kutt on keskipiste suorll K. Kosk Re(p) Re(q), euklidinen suor K ei ole yhdensuuntinen relikselin knss j siis suor K leikk relikselin yksikäsitteisessä pisteessä c. Olkoon A se euklidinen ympyrä, jonk keskipiste on pisteessä c säteellä c p, jolloin A kulkee pisteen p kutt. Leikkus l = H A on kysytty hyperbolinen suor. Hyperbolisten suorien yhdensuuntisuus määräytyy smll tvll kuin euklidisten suorien. 2.5. Määritelmä. Kksi hyperbolist suor ovt yhdensuuntiset jos ne eivät leikk toisin. 2.6. Luse. Olkoon l hyperbolinen suor joukoss H j olkoon p piste, jok ei ole suorll l. Tällöin on olemss äärettömän mont erilist hyperbolist suor, jotk kulkevt pisteen p kutt j ovt yhdensuuntisi suorn l knss. Todistus. Kksi tpust. Oletetn ensin että l sisältyy euklidiseen suorn L. Kosk p ei ole suorll L, on olemss euklidinen suor K, jok kulkee pisteen p kutt j on yhdensuuntinen suorlle L. Kosk L on kohtisuorss relikseli vstn myös suor K on kohtisuorss relikseli vstn. Siis yksi hyperbolinen suor joukoss H, jok kulkee pisteen p kutt j on yhdensuuntinen suorn l knss on leikkus H K. Konstruoidn toinen hyperbolinen suor pisteen p kutt, jok on yhdensuuntinen suorn l knss. Olkoon piste x relikselill suorien K j L välissä, j olkoon A se euklidinen ympyrä, jonk keskipiste on relikselill j jok kulkee pisteiden p j x kutt. Tiedämme että sellinen ympyrä on olemss kosk Re(x) Re(p) (Luseen 2.4 todistus). Kontruktion tki A ei leikk suor L j siis hyperbolinen

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 5 Kuv 2. Yhdensuuntisi hyperbolisi suori suor H A ei leikk suor l. Nyt H A on toinen suor pisteen p kutt, jok on yhdensuuntinen suorn l knss. Kosk relikselill on ylinumeroituvsti pisteitä suorien K j L välissä, tämä konstruktio nt rjttomsti hyperbolisi suori pisteen p kutt, jotk ovt yhdensuuntisi suorn l knss. Toisess tpuksess oletetn että l sisältyy euklidiseen ympyrään A. Olkoon D se ympyrä, joll on sm keskipiste kuin ympyrällä A j jok kulkee pisteen p kutt. Nyt kosk A j D eivät leikk j niillä on sm keskipiste, yksi hyperbolinen suor pisteen p kutt, jok on yhdensuuntinen suorn l knss on leikkus H D. Konstruoidn toinen yhdensuuntinen hyperbolinen suor pisteen p kutt. Olkoon x mielivltinen piste relikselill ympyröiden A j D välissä. Olkoon E se euklidinen ympyrä, jonk keskipiste on relikselill j jok kulkee pisteiden x j p kutt. Jälleen konstruktion kutt E j A eivät leikk j siis H E on kysytty yhdensuuntinen hyperbolinen suor. Kuten iemmin, kosk relikselill on ylinumeroituvsti pisteitä ympyröiden A j D välissä, pisteen p kutt kulkee äärettömän mont erilist hyperbolist suor, jotk ovt yhdensuuntisi suorn l knss. 3. Riemnnin pllo Seurvksi esitellään ide, jonk vull voidn yhdistää kksi eri tyyppistä hyperbolist suor. Tämä on tärkeää myös myöhemmin kun määritellään muunnokset joukoss H. Ajtus lähtee liikkeelle siitä totemuksest, että euklidisen ympyrän voi sd euklidisest suorst lisäämällä tähän yhden pisteen. Merkitään yksikköympyrää joukosscsymbolill S, tutkitn funktiot (3.) ξ : S \{i} R

6 JUKKA SELIN jok määritellään seurvsti: nnetulle pisteelle z S \{i}, olkoonk z euklidinen suor jok kulkee pisteiden i j z kutt j ξ(z) = R K z. Tämä funktio on hyvinmääritelty, kosk K z j R leikkvt yksikäsitteisessä pisteessä kun Im(z). Tätä toimenpidettä kutsutn stereogrfiseksi projektioksi. Krteesisiss koordinteiss relikseli kompleksitsoss vst x-kseli j siis ξ(z) on suorn K z leikkuspiste x-kselin knss. Lskemll huommme, että suorll K z on kulmkerroin m = Im(z) Re(z) j se leikk y-kselin pisteessä. Täten suorn K z yhtälö on y = Im(z) x. Re(z) Erityisesti sen leikkuspiste x-kselin knss on ξ(z) = Re(z) Im(z). 3.2. Luse. ξ on bijektio joukkojen S \{i} j R välillä. Todistus. Injektiivisyys seur geometrisesti siitä, että pri erillisiä pisteitä joukoss C määrää yksikäsitteisen euklidisen suorn. Jos z j w ovt pisteitä joukoss S \{i}, joille ξ(z) = ξ(w), tällöin suort K z j K w kulkevt molemmt smn relikselin pisteen kutt. Kun suort kulkevt myös pisteen i kutt, suort ovt smoj j siis z = w. Surjektiivisuus seur siitä että kikill x R on olemss euklidinen suor jok kulkee pisteiden x j i kutt. Ehton on kuitenkin, että suor leikk joukon S \ {i}. Lskemll voimme huomt, että tällinen suor leikk in myös joukon S \ {i}. Trkk todistus sivuutetn. Tämä osoitt surjektiivisuuden, sillä jokiselle joukon R pisteelle kuvutuu tällöin inkin yksi joukon S \{i} piste. Siis ξ on bijektio. Yksi mhdollinen vruus, jok sisältää joukon H j joss kksi eri tyyppistä hyperbolist suor yhdistyvät, on vruus jok sdn joukost C lisäämällä yksi piste. Tämä on kompleksinlyysin klssinen konstruktio Riemnnin pllolle C. 3.3. Määritelmä. Riemnnin kuul määritellään kompleksitson unionin pisteen knss, jok ei kuulu kompleksitsoon. Tätä pistettä merkitään symbolill. (3.4) C = C { }. 3.5. Määritelmä. Ympyrä tsoss C on joko euklidinen ympyrä joukoss C ti l { } missä, l on euklidinen suor joukoss C.

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 7 Joukon C ympyrät voidn esittää myös yhtälöiden rtkisujen joukkoin. Jokinen euklidinen ympyrä joukoss C voidn esittää yhtälön rtkisuin, jok on muoto (3.6) αzz +βz +βz +γ = 0, missä α,γ R j β C. J jokinen euklidinen suor joukoss C voidn esittää yhtälön rtkisuin, jok on muoto (3.7) βz +βz +γ = 0, missä γ R j β C. Yhdistämällä nämä huommme, että jokinen joukon C ympyrä voidn esittää yhtälön rtkisuin joukoss C, jok on muoto (3.8) αzz +βz +βz +γ = 0, missä α,γ R j β C. Tähän liittyen on käsiteltävä yksi hienous. Nimittäin se onko, vi ei, rtkisu ympyrän yhtälöön joukoss C. Kun yhtälö on muoto βz +βz +γ = 0, voimme pitää pistettä rtkisun jtkuvuuden nojll. Eli tällöin on olemss jono {z n } pisteitä joukoss C, jok toteutt tämän yhtälön j suppenee pisteeseen joukoss C. Erityisesti olkoonw 0 jw kksi erillistä rtkisu, siten että jokinen linerikombintio muoto w 0 +t(w w 0 ),t R on myös rtkisu. Tutkitn jono {z n = w 0 +n(w w 0 ),n N}. Tämä jono suppenee pisteeseen joukoss C, j jokiselle n pätee Kuitenkin kun yhtälö on muoto βz n +βz n +γ = 0. αzz +βz +βz +γ = 0, α 0, emme voi pitää pistettä rtkisun jtkuvuuden nojll. Tämä johtuu siitä, että voimme kirjoitt αzz +βz +βz +γ = α z + β 2 α +γ β 2 α. Erityisesti jos {z n } on jokin jono pisteitä jok suppenee pisteeseen joukoss C, niin Täten z n ei voi sisältyä ympyrään lim (αz nz n +βz n +βz n +γ) =. n A = {z C : αzz +βz +βz +γ = 0}, kun n on trpeeksi suuri, j siis piste ei sisälly ympyrään A.

8 JUKKA SELIN 3.9. Määritelmä. Joukko X C on voin jos jokiselle x X on olemss ε > 0 siten että U ε (x) X, missä U ε (x) = {w C : w z < ε}. 3.0. Määritelmä. Joukko X C on suljettu, jos sen komplementti C\X on voin joukoss C. 3.. Määritelmä. Funktio f : C C on jtkuv pisteessä z C jos kikille ε > 0 on olemss δ > 0 siten että jos w U δ (z) niin f(w) U ε (f(z)). Funktio f : C C on jtkuv jos se on jtkuv jokisess joukon C pisteessä. Pienenä huomion huomtn, että funktioiden, jotk ovt joukolt R joukolle R, j funktioiden, jotk ovt joukolt C joukolle C, jtkuvuus käyttäytyy eri tvll, johtuen pisteestä. Tämä nähdään esimerkin vull. 3.2. Esimerkki. Funktio J : C C, jolle J(z) =, kun z C\{0}, z J(0) = j J( ) = 0, on jtkuv joukoss C. Seurvksi määritellään homeomorfismi. 3.3. Määritelmä. Funktio f : C C on homeomorfismi, jos f on bijektio j sekä f, että f ovt jtkuvi. 4. Möbius-muunnokset Trkoitus on sd ikn muunnos joukkoon H, jok kuv hyperboliset suort hyperbolisiksi suoriksi. Kosk jokinen joukon H hyperbolinen suor sisältyy johonkin ympyrään joukoss C, loitetn määrittelemällä joukko homeomorfismej, jotk kuvvt ympyrät ympyröiksi joukoss C. Merkitään kikkien joukon C homeomorfismien joukko Homeo(C) j niiden homeomorfismien joukko, jotk kuvvt ympyrät ympyröiksi joukoss C, Homeo C (C). Homeo(C) on myös ryhmä, kuvusten yhdistämisen j vkioll kertomisen suhteen. Aloitetn tutkimll joukon C homeomorfismej, joit on helppo käsitellä, nimittäin polynomeist muodostuvi. Kosk tutkimme homeomorfismej, rjoitumme tutkimn ensimmäisen steen polynomifunktioit. 4.. Luse. Olkoon joukon Homeo(C) lkio f muoto (4.2) f(z) = z +b, kun z C j f( ) =, missä,b C j 0. Tällöin f Homeo C (C). Todistus. Muistetn että jokinen ympyrä A joukoss C on rtkisujen joukko yhtälöön jok on muoto αzz +βz +βz +γ = 0,

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 9 missä α,γ R, β C, j α 0 jos j vin jos A on ympyrä joukoss C. Aloitetn tutkimll tpust joss A on euklidinen suor joukoss C. Tällöin A = {z C : βz +βz +γ = 0}, missä γ R j β C. Hlumme näyttää, että jos z toteutt yhtälön, niin myös w = z + b toteutt smn. Kosk w = z + b niin z = (w b). Nyt pätee βz +βz +γ = β (w b)+β (w b)+γ = β w + β w β b β b+γ = 0. Kosk β b + β b = 2Re(β b) on relinen huommme, että myös w toteutt euklidisen suorn yhtälön. Täten f kuv euklidiset suort joukoss C euklidiksi suoriksi. Vstvll tvll voimme osoitt, että f kuv myös euklidiset ympyrät euklidisiksi ympyröiksi. Oletetn, että z toteutt yhtälön αzz +βz +βz +γ = 0, missä α,γ R j β C. J näytetään, että w = z + b toteutt smn. Nyt pätee z = (w b) j αzz +βz +βz +γ = α (w b)α (w b)+ β (w b)+ β (w b)+γ = ( α w α b)(α w α b)+ β w β b+ β w β b+γ. Tämä sdn muotoon αα ww+(β α α b)w +(β α α b)w +(α α bb β b β b+γ) = 0 Tästä huomtn että w toteutt ympyrän yhtälön, iemmn huomion β b+ β b = 2Re(β b), vull. Nyt siis f kuv ympyrät ympyröiksi joukoss C. On myös toisen tyyppinen homeomorfismi, jok kuv ympyrät ympyröiksi. 4.3. Luse. Olkoon joukon Homeo(C) lkio f muoto (4.4) J(z) = z kun z C\{0} j J(0) =, J( ) = 0. Tällöin f Homeo C (C). Todistus. Nytw =, siisz =. Tällöin sijoittmll ympyrän yhtälöön z w α w w +β w +β +γ = 0. w

0 JUKKA SELIN Kertomll yhtälö kertoimell ww huommme että w toteutt yhtälön α+βw+βw +γww = 0. Koskα,γ R sekäwjw ovt konjugttej tämä on jälleen ympyrän yhtälö. Nyt meillä on kksi eri tyyppistä homeomorfismi, jotk kuvvt ympyrät ympyröiksi joukoss C. Kummtkin homeomorfismit ovt muoto m(z) = z+b. Tämä joht meidät seurvn määritelmään. cz+d 4.5. Määritelmä. Möbius-muunnos on funktio m : C C, jok on muoto z +b (4.6) m(z) = cz +d, missä,b,c,d C jd bc 0. Merkitään kikkien Möbius-muunnosten joukko Möb +. 4.7. Luse. Olkoon m(z) = z+b Möbius-muunnos, missä,b,c,d C cz+d j d bc 0. Nyt pätee: Jos c = 0, niin m(z) = z + b. d d Jos c 0, niin m(z) = f(j(g(z))), missä g(z) = c 2 z +cd, f(z) = (d bc)z + j J(z) =. c z Todistus. Todistus on suor lskutoimitus. Jos c = 0, niin si on selvä. Jos c 0, niin m(z) = Kosk d bc 0, niin cz +bc c 2 z +cd z +b cz +d = cz +d (d bc) c 2 z +cd (z +b) c = (cz +d) c = cz +bc c 2 z +cd. = c d bc c 2 z +cd = f(j(g(z))), missä g(z) = c 2 z +cd, f(z) = (d bc)z + c j J(z) = z. Tällä luseell on mont suor seurust. 4.8. Korollri. Jokinen Möbius-muunnos on homeomorfismi, kosk jokinen Möbius-muunnos voidn esittää homeomorfismien yhdisteenä. Tästä seur että Möb + Homeo(C). Toiseksi, jokinen Möbius-muunnos kuv ympyrät ympyröiksi joukoss C, kosk Möbius-muunnokset on konstruoitu funktioist, jotk kuvvt ympyrät ympyröiksi. Kun yhdistämme tämän edelliseen tulokseen, smme luseen. 4.9. Luse. Möb + Homeo C (C).

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI On olemss ljennus joukkoon Möb +, jok myös sisältyy joukkoon Homeo C (C). Jott voisimme ljent joukon Möb + suuremmksi joukoksi, tutkimme yksinkertisint homeomorfismi joukoss C, jok ei kuulu joukkoon Möb +, nimittäin kompleksikonjugtti. Olkoon (4.0) C(z) = z kun z C j C( ) =. 4.. Luse. Funktio C : C C, jok määritellään on joukon Homeo(C) lkio. C(z) = z kun z C, C( ) =, Todistus. Huomtn että C on itsensä käänteisfunktio, eli C (z) = C(z), j täten C on bijektio. Meidän täytyy vin näyttää, että C on jtkuv. Funktion C jtkuvuus seur siitä, että jokisell z C j ε > 0, pätee C(U ε (z)) = U ε (C(z)). 4.2. Määritelmä. FunktioC j joukko Möb + generoivt yleisen Möbiusjoukon Möb. Jokinen joukon Möb lkio p voidn kirjoitt muodoss (4.3) p = C m k C m, jollekin k, missä jokinen m k on joukon Möb + lkio j C(z) = z. 4.4. Luse. Möb Homeo C (C). Todistus. Olkoon p Möb. Tällöin p = C m k C m, jollekink, missä jokinen m k on joukon Möb + lkio. Kosk Möb + Homeo C (C), m k Homeo C (C) kikill,k. Riittää siis osoitt, että funktioc : C C sisältyy joukkoon Homeo C (C), ts. että C kuv ympyrät ympyröiksi joukoss C. Oletetn, että z C toteutt yhtälön αzz +βz +βz +γ = 0, missä α,γ R j β C. Olkoon w = z tällöin z = w. Nyt ylempi yhtälö sdn muotoon: αww+βw +βw +γ = 0. Huomtn, että yhtälö on edelleen ympyrän yhtälö, sillä α, γ R j β C. Siis C Homeo C (C). Nyt p on yhdiste funktioist, jotk kuuluvt joukkoon Homeo C (C). Siis p Homeo C (C). Kikki joukon Möb lkiot ovt homeomorfismej, jotk kuvvt ympyrät ympyröiksi joukoss C. Itsesiss nämä ominisuudet määrittelevät joukon Möb. 4.5. Luse. Möb = Homeo C (C). Todistus. Todistus sivuutetn. [, s. 44 46]

2 JUKKA SELIN 4.6. Luse. Jokinen joukon Möb(H) lkio on muoto (4.7) m(z) = z +b cz +d, missä,b,c,d R j d bc =, ti muoto (4.8) n(z) = z +b cz +d, missä, b, c, d ovt puhtsti imginrisi j d bc =. Todistus. Todistus sivuutetn. [, s. 5 52] 5. Kren pituus tsoss C 5.. Määritelmä. Polku tsoss R 2 on differentioituv funktio f : [,b] R 2, jolle f(t) = (x(t),y(t)) missä x(t) j y(t) ovt muuttujn t suhteen differentioituvi j [,b] jokin relilukuväli. 5.2. Määritelmä. Euklidinen polun f pituus sdn integrlist (5.3) pituus(f) = x (t) 2 +y (t) 2 dt Seurvksi muutetn nottiot j siirrytään trkstelemn polun pituutt tsoss C tson R 2 sijn. Nyt f(t) = x(t) + y(t)i, f (t) = x (t)+y (t)i j f (t) = x (t) 2 +y (t) 2. Tällöin polun pituudelle pätee (5.4) pituus(f) = x (t) 2 +y (t) 2 dt = f (t) dt Voimme siis kirjoitt kren pituuden pituuselementin joukoss C (5.5) dz = f (t) dt Nyt otmme käyttöön uuden merkinnän: (5.6) f (t) dt = dz. 5.7. Luse. Voimme kirjoitt minkä thns polkuintegrlin tällä nottioll. Olkoon ρ jtkuv funktio, ρ : C R. Funktion ρ polkuintegrli pitkin polku f : [, b] C sdn integrlist (5.8) ρ(z) dz = ρ(f(t)) f (t) dt. f Voimme tulkit tämän polkuintegrlin uuten kren pituuden elementtinä ρ(z) dz, jok sdn kun skltn euklidist kren pituuden elementtiä dz jok pisteessä. Funktio ρ määrää skluksen määrän. Tästä smme seurvn määritelmän. f

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 3 5.9. Määritelmä. Differentioituvlle polulle f : [, b] C määritellään polun pituus, käyttäen kren pituuden elementtiä ρ(z) dz, polkuintegrlin (5.0) pituus ρ (f) = f ρ(z) dz = ρ(f(t)) f (t) dt. 5.. Määritelmä. Polku f : [, b] C on ploittin differentioituv jos f on jtkuv j jos on olemss välin [,b] ositus osväleiksi [ = 0, ],[, 2 ],...,[ n, n+ = b] siten että f on differentioituv, jokisell osvälillä [ k, k+ ]. 5.2. Määritelmä. Olkoon f : [, b] C ploittin differentioituv polku j h : [α,β] [,b] differentioituv, sekä h(t) 0 kikill t [α, β] ti h(t) 0 kikill t [α, β]. Oletn lisäksi että pätee (5.3) pituus ρ (f) = pituus ρ (f h). Tällöin kutsumme funktiot f h funktion f uudelleen prmetristioksi. Tässä yksi tulos, jok on hyödyllinen myöhemmin. 5.4. Luse. Olkoon f : [, b] C ploittin differentioituv polku, olkoon [α,β] toinen relilukuväli j olkoon h : [α,β] [,b] surjektiivinen differentioituv funktio. Olkoon ρ(z) dz kren pituuden elementti joukoss C. Tällöin (5.5) pituus ρ (f h) pituus ρ (f), missä on yhtäsuuruus jos j vin jos h f on funktion f uudelleen prmetristio. 6. Kren pituus tsoss H Tvoitteen on kehittää keino mitt hyperbolist pituutt j etäisyyttä joukoss H. Jott voisimme mitt hyperbolist pituutt, on löydettävä sopiv hyperbolinen elementti kren pituudelle. Kosk hlumme mitt hyperbolist pituutt j kosk meillä on käytössä ryhmä siististi käyttäytyviä muunnoksi joukoss H, nimittäin Möbius-muunnokset, on trkoitus tutki niitä kren pituuden elementtejä joukoss H, jotk säilyvät muuttumttomin Möbius-muunnoksiss. Olkoon ρ(z) dz kren pituuselementti joukoss H. Tällöin ploittin differentioituvn polun f : [, b] H pituus sdn integrlist pituus ρ (f) = ρ(z) dz = ρ(f(t)) f (t) dt. f Se että pituus säilyy muuttumttomn Möb(H) muunnoksiss, trkoitt, että jokiselle ploittin differentioituvlle polulle f : [, b] H j

4 JUKKA SELIN jokiselle joukon Möb(H) lkiolle γ pätee (6.) pituus ρ (f) = pituus ρ (γ f). Tutkitn mitä ehtoj tämä sett funktiolleρ. Olkoonγ Möb + (H). Nyt pätee j Siis nyt pätee pituus ρ (f) = pituus ρ (γ f) = ρ(f(t)) f (t) dt = ρ(f(t)) f (t) dt ρ(γ f(t)) (γ f) (t) dt. ρ(γ f(t)) (γ f) (t) dt, jokiselle ploittin differentioituvlle polulle f : [, b] H j jokiselle joukon Möb + (H) lkiolle γ. Käytetään derivoinnin ketjusääntöä j sdn(γ f) (t) = γ (f(t))f (t) j sdn pituuden integrliksi (6.2) ρ(f(t)) f (t) dt = ρ(γ f(t)) γ (f(t)) f (t) dt. 6.3. Huomutus. Möbius-muunnosten differentioituvuutt voidn käsitellä khdell tp. Ensimmäinen tp on kompleksinlyysin keino. Tällöin pidetään Möbius-muunnost m funktion joukolt C joukolle C j määrittelemme sen derivtn m (z) tutull määritelmällä (6.4) m m(w) m(z) (z) = lim. w z w z Tällä määritelmällä kikki yleiset derivointisäännöt pätevät j (6.5) m (z) = (cd+d) 2. Tätä määritelmää käytetään yleisesti. Ensimmäisessä tvss on kuitenkin yksi heikkous. Funktion, jok on joukon Möb lkio mutt ei joukon Möb + derivtt ei ole määritelty. Erityisesti funktion C(z) = z derivtt ei ole olemss. On olemss toinen tp määritellä joukon Möb lkion derivtt. Tämä tp hyödyntää monen muuttujn differentili- j integrlilskent. Tällöin unohdmme, että joukon Möb lkio m on kompleksitson funktio. Sen sijn trkstelemme sitä tsoss R 2. Nyt derivtt ei ole enää yksi funktio, vn 2 x 2 mtriisi osittisderivttoj. Kirjoitmme siis funktion m muodoss m(x,y) = (f(x,y),g(x,y)), missä f j g ovt reelirvoisi funktioit. Nyt funktion m derivtt on ) (6.6) Dm = ( δf δx δg δx δf δy δg δy.

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 5 Pltn tutkimn funktiolle ρ setettvi ehtoj. Nyt pätee siis ρ(f(t)) f (t) dt = ρ(γ f(t)) γ (f(t)) f (t) dt. jokiselle ploittin määritellylle polulle f : [, b] H j jokiselle γ Möb + (H). Tämä voidn kirjoitt myös (ρ(f(t)) ρ((γ f)(t)) γ (f(t)) ) f (t) dt = 0 jokiselle ploittin määritellylle polulle f : [, b] H j jokiselle γ Möb + (H). Asetetn joukon Möb + (H) lkiolle γ (6.7) µ γ (z) = ρ(z) ρ(γ(z)) γ (z), jolloin funktion ρ ehdost tulee funktion µ γ (z) ehto: (6.8) µ γ (z) dz = µ γ (f(t)) f (t) dt = 0, f jokiselle ploittin määritellylle polulle f : [, b] H j jokiselle γ Möb + (H). Kosk ρ(z) on jtkuv j differentioituv, myös µ γ (z) jtkuv jokisell γ Möb + (H). 6.9. Lemm. Olkoon D voin joukon C osjoukko. Olkoon µ : D R jtkuv funktio j oletetn, että µ(z) dz = 0 jokiselle ploittin f differentioituvlle polulle f : [, b] D. Tällöin µ 0. Todistus. Tehdään vstoletus. Oletetn että on olemss piste z D, jolle µ(z) 0. Riittää trkstell tpust µ(z) > 0 (µ(z) < 0 on symmetrinen). Se että µ on jtkuv trkoitt että jokisell ε > 0, on olemss δ > 0 siten että jos U δ (z) D j w U δ (z) niin µ(w) U ε (µ(z)), missä U δ (z) = {u C : u z < δ} j U ε (t) = {s R : s t < ε}. Vlitn ε = µ(z). Näemme että on olemss δ > 0 siten että 3 jos w U δ (z) niin µ(w) U ε (µ(z)). Käyttämällä kolmioepäyhtälöä j tieto että µ(z) > 0 smme µ(w) > 0 kikille w U δ (z). Vlitn ploittin differentioituv polku, jok ei ole vkiofunktio, f : [0,] U δ (z), f(t) = z + 3 δt. Huomtn, että µ(f(t)) > 0 kikille t [0,]. Kosk f(t) U δ (z) kikille t [0,]. Erityisesti µ(z) dz > 0, mistä sdn ristiriit. f

6 JUKKA SELIN Muistetn, että oletmme että pituus ei muutu joukon Möb + (H) muunnoksiss, jok on yhtäpitävää sen knss, että f µ γ(z) dz = 0, jokiselle ploittin differentioituvlle polulle f : [, b] H j jokiselle γ Möb + (H). Käyttämällä edellistä lemm funktioon µ γ (z) tulemme tulokseen (6.0) µ γ (z) = ρ(z) ρ(γ(z)) γ (z) = 0 jokiselle z H j jokiselle γ Möb + (H). Jott voisimme yksinkertist nlyysiä, tutkimme kuink µ γ käyttäytyy joukon Möb + (H) muunnoksiss. Olkoon γ j ϕ kksi lkiot joukost Möb + (H). Lskemll huommme että µ γ ϕ = ρ(z) ρ(γ ϕ)(z)) (γ ϕ) (z) = ρ(z) ρ(γ ϕ)(z)) (γ (ϕ(z)) ϕ (z) = ρ(z) ρ(ϕ(z)) ϕ (z) +ρ(ϕ(z)) ϕ (z) ρ((γ ϕ)(z)) γ (ϕ(z)) ϕ (z) = µ ϕ (z)+µ γ (ϕ(z)) ϕ (z). Erityisesti, jos µ γ 0 jokiselle γ jok kuuluu joukon Möb + (H) generoivn joukkoon, niin µ γ 0 myös jokiselle joukon Möb + (H) lkiolle. Joukon Möb + (H) generoiv joukko koostuu muunnoksist m(z) = +b,,b R, > 0 j J(z) =. Riittää että tutkimme vtimuksi, z jotk setetn funktiolle µ γ j täten funktiolle ρ, tämän generoivn joukon lkioille. Tutkitn ensin funktiot γ(z) = z +b,b R. Kosk γ (z) = kikille z H, funktiolle ρ setettv ehto on 0 µ γ (z) = ρ(z) ρ(γ(z)) γ (z) = ρ(z) ρ(z +b), kikille z H j b R. Siis ρ(z) = ρ(z +b), jokiselle z H j b R. Erityisesti ρ(z) riippuu vin lkion z = x+yi imginrisest osst y = Im(z). Jos siis lkioill z = x +iy j z 2 = x 2 +iy on sm imginrinen os, voidn kirjoittz 2 = z +(x 2 x ). Kosk x 2 x on relinen, pätee ρ(z 2 ) = ρ(z ). Täten voimme tutki funktiot ρ relirvoisen yhden muuttujn y = Im(z) funktion. Erityisesti olkoon relirvoinen funktio r : (0, ) (0, ), joller(y) = ρ(iy) j siisρ(z) = r(im(z)), jokiselle z H. Tutkitn seurvksi generttori γ(z) = z, kikille > 0. Kosk γ (z) = kikille z H, funktiolle ρ(z) setettv ehto on 0 µ γ (z) = ρ(z) ρ(γ(z)) γ (z) = ρ(z) ρ(z), jokiselle z H j > 0. Siis ρ(z) = ρ(z),

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 7 jokiselle z H j > 0. Erityisesti smme r(y) = r(y), jokiselle y > 0 j > 0. Vihtmll roolej näemme, että r() = yr(y). Jkmll rvoll y smme Asettmll =, smme r(y) = y r(). r(y) = y r(), j siis funktio r määräytyy täysin sen rvost pisteessä. Kun muistmme funktion r määritelmän, smme, että pituuden säilyminen joukon Möb + (H) muunnoksiss sett funktiolleρ(z) muodon ρ(z) = r(im(z)) = c Im(z), missä c on mielivltinen positiivinen vkio. 6.. Luse. Jokiselle positiiviselle vkiolle c, joukon H kren pituuden elementti c (6.2) Im(z) dz säilyy muuttumttomn joukon Möb(H) muunnoksiss. Mukvuuden vuoksi vkiolle c nnetn rvo. Tästä pääsemme määritelmään. 6.3. Määritelmä. Ploittin differentioituvlle polulle f : [, b] H määritellään hyperbolinen pituus b (6.4) pituus H (f) = Im(z) dz = Im(f(t)) f (t) dt. f Hyperbolisen pituuden konstruktion ehton oli, että pituus säilyy joukon Möb(H) muunnoksiss. Tästä seur seurv luse. 6.5. Luse. Kikille ploittin differentioituville poluille f : [, b] H j kikille γ Möb(H) pätee että (6.6) pituus H (f) = pituus H (γ f). On olemss polkuj, joiden hyperbolinen pituus on helppo lske. 6.7. Esimerkki. Olkoon 0 < < b j olkoon polku f : [,b] H määritelty f(t) = it. Kuv f([, b]) on positiivisen imginrikselin os, jok on pisteiden i j bi välissä. Kosk Im(f(t)) = t j f (t) =, näemme että pituus H (f) = f b Im(z) dz = dt = ln t [ ] b.

8 JUKKA SELIN 6.8. Luse. Olkoon f : [, b] H ploittin differentioituv polku. Tällöin polun hyperbolinen pituus pituus H (f) on äärellinen. Todistus. Todistus pohjutuu tietoon, että on olemss vkio B > 0, siten että välin [, b] kuv f([, b]) sisältyy joukon H osjoukkoon K B = {z H : Im(z) B}. Tämä seur siitä, että väli [,b] on kompkti j täten myös kuv f([,b]) on kompkti. Kosk f([,b]) sisältyy joukkoon K B, voimme rvioid integrli, jok nt polun f hyperbolisen pituuden. Huommme ensin, että ploittin differentioituvn määritelmästä seur, että on olemss välin [,b] ositus P, jok jk välin pienemmiksi väleiksi P = {[ = 0, ],[, 2 ],...,[ n, n+ = b]}, siten että f on differentioituv jokisell välillä [ k, k+ ]. Erityisesti derivtt f on jtkuv jokisell osituksen välillä. Äärirvoluseen nojll on olemss, jtkuvlle funktiolle, suljetull välillä, jokiselle k, luku A k siten että f (t) A k kikille t [ k, k+ ]. Olkoon A mksimi luvuist A 0,...,A n. Tällöin pätee pituus H (f) = jok on äärellinen. Im(f(t)) f (t) dt 7. Metriikk B Adt = A B (b ), Tiedämme nyt kuink lske hyperbolist pituutt, pitkin ploittin differentioituv polku joukoss H. Tämä tehdään integroimll hyperbolist kren pituuden elementtiä dz, pitkin polku. Seurvksi pyrimme kohti hyperbolist etäisyyttä j metriikk. Im(z) Aloitmme käsittelemällä metriikk. Plutetn mieleen metriikn määritelmä. 7.. Määritelmä. Kuvus d : X X R on metriikk joukoss X, jos seurvt ehdot ovt voimss kikill x,y,z X: () d(x,y) 0 j d(x,y) = 0 jos j vin jos x = y. (2) d(x,y) = d(y,x) (3) d(x,z) d(x,y)+d(y,z), Luku d(x, y) snotn pisteen x etäisyydeksi (trkemmin d-etäisyydeksi) pisteestä y. 7.2. Määritelmä. Jos d on metriikk joukoss X, kutsumme pri (X, d) metriseksi vruudeksi.

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 9 7.3. Esimerkki. [2,s.2] Euklidinen metriikk vruudessr n määritellään ( n ) /2 (7.4) d(x, y) = x i y i 2. Erityisesti kun n = 2 i= (7.5) d(x,y) = (x y ) 2 +(x 2 y 2 ) 2. 7.6. Esimerkki. Yksi esimerkki on joukkojen R j C tvllinen metriikk. Joukoss C tämä metriikk määritellään (7.7) n : C C R, missä n(z,w) = z w. 7.8. Esimerkki. Monimutkisempi tpus on Riemnnin pllon C metriikk s : C C R, missä (7.9) s(z, w) = kikille z,w C j (7.0) s(z, ) = s(,z) = kikille z C. 2 z w (+ z 2 )(+ w 2 ), 2 + z 2, On vielä yksi esimerkki metrisestä vruudest, jok on tärkeä hyperbolisen etäisyyden knnlt. Olkoon X joukko, joss tiedämme miten mitt polkujen pituuksi. Erityisesti jokiselle prille pisteitä x, y joukoss X, olkoon Γ[x,y] epätyhjä kokoelm polkuj f : [,b] X, joille päteef() = x jf(b) = y j oletetn että jokiselle polullef Γ[x,y] on olemss ei-negtiivinen relinen pituus(f), jot kutsumme polun f pituudeksi. Olkoon d : X X R jok määritellään (7.) d(x,y) = inf{pituus(f) : f Γ[x,y]}. Tämän funktion konstruktio herättää kksi kysymystä. Ensimmäinen on mitä ehtoj setetn pituuden määritelmälle, jott d määrittäisi metriikn joukolle X. Toinen kysymys on, että jos oletetn että d määrittää metriikn joukolle X, onko joukoss välttämättä polkuj, jot pitkin voidn mitt etäisyyttä. Eli jos x j y ovt pistepri joukoss X, onko välttämättä olemss polku f Γ[x, y], jolle pituus(f) = d(x, y). Seurvksi määrittelemme vruuden, joss pystytään mittmn polkujen pituuksi. 7.2. Määritelmä. Olkoon X joukko, joss voidn mitt polkujen pituuksi, j jokiselle pisteprille x, y X on olemss epätyhjä kokoelm Γ[x,y] polkuj f : [,b] X, jotk toteuttvt f() = x j

20 JUKKA SELIN f(b) = y, j polkujen pituuksi merkitään pituus(f). Oletetn lisäksi, että X on metrinen vruus metriikll d. Snomme että (X,d) on polkumetrinen vruus, jos kikille pistepreille x, y X määritellään (7.3) d(x,y) = inf{pituus(f) : f Γ[x,y]}, j jokiselle pisteprille x,y X on olemss polku f Γ[x,y], jok nt infimumin. Tälle polulle siis pätee (7.4) d(x, y) = pituus(f). Huommme että polkumetrisen vruuden määritelmä on vhvempi kuin tvllisen metrisen vruuden, kosk se vtii etäisyyden ntvn polun olemssolo. 8. Hyperbolinen etäisyys Olemme nyt vlmiit todistmn, että H on polkumetrinen vruus. Jokiselle pisteprille x,y H, olkoon Γ[x,y] kikkien ploittin differentioituvien polkujen f : [,b] H joukko, joille f() = x j f(b) = y. Kosk pystymme kirjoittmn sen hyperbolisen suorn osn, jok yhdistää pisteprin x, y H, ploittin differentioituvll polull, näemme että Γ[x, y] ei ole tyhjä. Tiedämme myös, että jokisell polull f Γ[x,y] on äärellinen hyperbolinen pituus pituus H (f). 8.. Määritelmä. Tutkitn funktiot jok määritellään d H : H H R, (8.2) d H (x,y) = inf{pituus H (f) : f Γ[x,y]}. Kutsumme funktiot d H (x,y) hyperboliseksi etäisyydeksi pisteiden x j y välillä. Luseen 6.5 nojll hyperbolinen pituus säilyy joukon Möb(H) muunnoksiss. 8.3. Luse. Jokiselle γ Möb(H) j jokiselle pisteprille x,y H pätee (8.4) d H (x,y) = d H (γ(x),γ(y)). Todistus. Aloitmme huomioll {γ f : f Γ[x,y]} Γ[γ(x),γ(y)]. Tämä nähdään vlitsemll polku f : [,b] H joukost Γ[x,y] siten että f() = x j f(b) = y. Kosk γ f() = γ(x) j γ f(b) = γ(y) pätee että γ f Γ[γ(x),γ(y)]. Kosk pituus ei muutu joukon Möb(H) muunnoksiss, pätee pituus H (γ f) = pituus H (f),

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 2 jokiselle polulle f Γ[x, y] j siis d H (γ(x),γ(y)) = inf{pituus H (g) : g Γ[γ(x),γ(y)]} inf{pituus H (γ f) : f Γ[x,y]} inf{pituus H (f) : f Γ[x,y]} = d H (x,y). Kosk γ on kääntyvä funktio j γ on joukon Möb(H) lkio, voimme toist iemmn rgumentin j nähdä että {γ g : g Γ[γ(x),γ(y)]} Γ[x,y], j siis d H (x,y) = inf{pituus H (f) : f Γ[x,y]} inf{pituus H (γ g) : g Γ[γ(x),γ(y)]} inf{pituus H (g) : g Γ[γ(x),γ(y)]} = d H (γ(x),γ(y)). Erityisesti tästä seur että d H (x,y) = d H (γ(x),γ(y)). 8.5. Luse. Pri (H,d H ) on polkumetrinen vruus. Polku f Γ[x,y], jok nt hyperbolisen etäisyyden, on hyperbolisen suorn os jok yhdistää pisteet x j y. Todistus. Jott voimme todist, että d H määrittää metriikn, täytyy näyttää että d H toteutt kolme metriikn ksioom. Olkoon f : [, b] H polku joukoss Γ[x, y] j muistetn pituuden määritelmä: pituus H (f) = f b Im(z) dz = Im(f(t)) f (t) dt. Kosk integroituv os on in ei-negtiivinen, myös integrli on ei-negtiivinen. Kosk pituus H (f) on ei-negtiivinen jokiselle polulle f Γ[x,y], infimum d H näistä integrleist on ei-negtiivinen. Tämä näyttää, että d H toteutt ehdon d(x,y) 0, jok on ensimmäinen os ensimmäistä metriikn ksioom. Käsittelemme ensimmäisen ksioomn toisen osn myöhemmin. Seurvksi näytämme, että d H toteutt toisen ksioomn. Trkoitus on verrt polkujen Γ[x, y] j Γ[y, x] pituuksi. Olkoon f : [, b] H polku joukoss Γ[x, y] j tutkitn funktion f yhdistettä funktion h : [b,] [,b] knss, jolle pätee h(t) = +b t. Huomtn, että h (t) =.

22 JUKKA SELIN On selvää, että f h sisältyy joukkoon Γ[y,x], sillä (f h)() = f(b) = y j (f h)(b) = f() = x. Lisäksi suorll lskull smme pituus H (f h) = Im(z) dz = = f h = = b Im((f h)(t)) (f h) (t) dt Im((f(h(t))) (f(h(t)) h (t) dt Im(f(s)) f (s) ds Im(f(s)) f (s) ds = pituus H (f). Siis jokinen polku joukoss Γ[x, y] nt polun joukoss Γ[y, x], joll on sm pituus, kun käytetään sopiv funktiot h. Vstvll päättelyllä jokinen polku joukoss Γ[y, x] nt smnpituisen polun joukoss Γ[x, y]. Erityisesti nähdään, että kksi hyperbolisten pituuksien joukko {pituus H (f) : f Γ[x,y]} j {pituus H (g) : g Γ[y,x]} ovt smt. Tällöin niillä on sm infimum, eli d H (x,y) = d H (y,x). Tämä näyttää, että d H toteutt toisen ksioomn. Näytetään seurvksi, että d H toteutt kolmnnen ksioomn, eli kolmioepäyhtälön. Olkoot x, y, z H. Yksinkertisint olisi vlit polku f : [,b] H joukostγ[x,y] pituudell pituus H (f) = d H (x,y) j polku g : [b,c] H joukost Γ[y,z] pituudell pituus H (g) = d H (y,z). Yhdiste f g = h : [,c] H sisältyisi tällöin joukkoonγ[x,z]. Tällöin sisimme hlutun epäyhtälön d H (x,z) pituus H (h) = pituus H (f)+pituus H (g) = d H (x,y)+d H (y,z). Huommme, että ploittin differentioituvien polkujen yhdiste on ploittin differentioituv, mutt differentioituvien polkujen yhdiste ei ole välttämättä differentioituv. Tässä on yksi syy tutki ploittin differentioituvi polkuj. Vlitettvsti emme tiedä vielä onko in olemss polku, jok nt hyperbolisen etäisyyden pisteprin välillä. Tutkimme kysymystä myöhemmin. Joudumme siis todistmn kolmnnen ksioomn nojutumll vstoletukseen. Oletetn, että kolmioepäyhtälö ei päde funktiolle d H. Tällöin on olemss erilliset pisteet x, y, z H siten että Olkoon d H (x,z) > d H (x,y)+d H (y,z) ε = d H (x,z) (d H (x,y)+d H (y,z)).

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 23 Kosk d H (x,y) = inf{pituus H (f) : f Γ[x,y]}, on olemss polku f : [,b] H joukoss Γ[x,y], jolle pätee pituus H (f) d H (x,y) < 2 ε. Vstvsti on olemss polku g : [b,c] H joukoss Γ[y,z] jolle pätee pituus H (g) d H (y,z) < 2 ε. Olkoon nyt h : [,c] H, h = f g. Kosk khden ploittin differentioituvn polun yhdiste on ploittin differentioituv, pätee että h Γ[x, z]. Lskemll huommme että pituus H (h) = pituus H (f)+pituus H (g) < d H (x,y)+d H (y,z)+ε. Kosk d H (x,z) pituus H (h) funktion d H määritelmän nojll, pätee d H (x,z) < d H (x,y)+d H (y,z)+ε, mistä sdn ristiriit luvun ε konstruktion knss. Tämä todist kolmnnen ksioomn. Vielä on jäljellä näyttää kksi si, ennen kuin voimme todet, että (H,d H ) on polkumetrinen vruus. Meidän täytyy näyttää että d H toteutt ensimmäisen ksioomn toisen osn, eli että d H (x,y) = 0 jos j vin jos x = y. Lisäksi meidän täytyy näyttää, että on olemss polku, jok nt hyperbolisen pituuden jokisell pisteprill x,y H. Lähdemme liikkeelle huomiost, että jos joukoss H on olemss polku, jok nt hyperbolisen etäisyyden minkä thns pisteprin välille, joukoss H, tällöin pätee d H (x,y) > 0 kun x y, kosk polkujen, jotk eivät ole vkiopolkuj, pituudet ovt positiivisi. Smme siis ensimmäisen ksioomn toisen osn, kun todistmme että on olemss polku, jok nt hyperbolisen pituuden jokisell pisteprill x,y H. Olkoot x j y pri erillisiä pisteitä joukoss H j olkoon l hyperbolinen suor, jok kulkee pisteiden x j y kutt. Aloitmme yksinkertistmll tilnnett. Käytämme tieto, että on olemss γ Möb(H) siten että γ(l) on positiivinen imginrikseli joukoss H. Merkitään γ(x) = µi j γ(y) = λi. Jos λ < µ, niin käytetään kuvust K γ kuvuksen γ sijn, missä K(z) =, jolloin µ < λ. z Kosk hyperboliset polkujen pituudet joukoss H, jotk lsketn käyttämällä hyperbolist kren pituuden elementtiä dz, säilyvät Im(z) joukon Möb(H) muunnoksiss, pätee että d H (x,y) = d H (γ(x),γ(y)) (Luse 8.3). Riittää siis osoitt, että on olemss hyperbolisen etäisyyden ntv polku pisteiden µi j λi välillä, kun µ < λ. Aloitmme lskun lskemll tietyn polun hyperbolisen pituuden. Olkoon polku f 0 : [µ,λ] H jok määritellään f 0 (t) = ti. Polun f 0 kuv on hyperbolinen jn jok yhdistää pisteet µi j λi. Kosk odotmme että lyhyin hyperbolinen etäisyys khden pisteen välillä sdn pitkin

24 JUKKA SELIN hyperbolist suor, tämä polku vikutt hyvältä vlinnlt olemn lyhyin polku joukoss Γ[µi,λi]. Jott voisimme lske polunf 0 pituuden, huommme ettäim(f 0 (t)) = t j f 0 (t) =, j siis pituus H (f 0 ) = λ µ dt = ln t [ ] λ. µ Nyt olkoon f : [,b] H mielivltinen polku joukoss Γ[µi,γi]. Näytämme, että pituus H (f 0 ) = d H (µi,λi) näyttämällä, että pituus H (f 0 ) pituus H (f). Teemme tämän usess viheess. Jok viheess muutmme polku f pienentääksemme sen hyperbolist pituutt, j näytämme, että siitä ei tule lyhyempi kuin polust f 0, näiden muutosten jälkeen. Merkitään f(t) = x(t) + y(t)i. Ensimmäinen muutos polulle f on jättää pois sen relios. Tällöin olkoon g : [,b] H määritelty g(t) = Im(f(t))i = y(t)i. Kosk g() = f() = µi j g(b) = f(b) = λi, näemme että g Γ[µi,λi]. Käytämme tieto (x (t)) 2 0 kikille t j että Im(g(t)) = Im(f(t)) = y(t) j smme että pituus H (g) = = Im(g(t)) g (t) dt (y (t)) y(t) 2 dt (x (t)) y(t) 2 +(y (t)) 2 dt Im(f(t)) f (t) dt = pituus H (f). Siis jokiselle polulle f Γ[µi, i], voimme konstruoid lyhyemmän polun g Γ[µi,λi], settmll g(t) = Im(f(t))i. Meidän täytyy vielä näyttää että jos g : [,b] H on mikä thns polku joukoss Γ[µi,λi] muoto g(t) = y(t)i, niin tällöin pituus H (f 0 ) pituus H (g). Tämä seur suorn Luseest 5.4. Kuv g([, b]) on hyperbolinen jn jok yhdistää pisteet αi j βi, missä α µ < λ β. Määritellään f : [α,β] H siten että f (t) = it j huomtn että pituus H (f 0 ) = ln [ λ µ ] ln [ β α ] = pituus H (f ). Seurvksi voimme kirjoitt g = f (f g), missä f g : [,b] [α,β] on konstruktion nojll surjektio. Luseest 5.4 seur että pituus H (f ) pituus H (g).

HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 25 Tämä päättää todistuksen, että pituus H (f 0 ) pituus H (f), jokiselle polulle f Γ[µi,λi]. Olemme siis näyttäneet että [ ] λ d H (µi,λi) = pituus H (f 0 ) = ln. µ Huomtn, että kosk olemme kirjoittneet g(t) = y(t)i j kosk f (t) = it, niin pätee f g(t) = y(t) j siis pituus H (g) = pituus H (f ) jos j vin jos joko y (t) 0 kikille t [,b] ti y (t) 0 kikille t [,b]. Siis inot etäisyyden ntmt polut joukoss Γ[µi,λi] ovt ne jotk ovt prmetristioit hyperbolisest jnst jok yhdistää pisteet µi j λi. Joukon Möb(H) muunnokset hyperbolisten suorien joukolle, joukoss H, j se että hyperboliset pituudet j etäisyydet säilyvät Möbmuunnoksiss svt ikn että jokiselle erilliselle pisteprille x, y H on olemss etäisyyden ntm polku joukoss Γ[x, y], nimittäin prmetristio hyperbolisest jnst, jok yhdistää pisteet x j y. Olkoon nyt l hyperbolinen suor, jok kulkee pisteiden x j y kutt, j olkoon γ joukon Möb(H) muunnos, jok kuv suorn l positiiviseksi imginrikseliksi I. Kirjoitetn γ(x) = µi j γ(y) = λi. Huomtn ts, että voimme vlit funktion γ siten että µ < λ. Jos µ > λ, korvtn γ funktioll K γ, missä K(z) = z. Olemme juuri näyttäneet että polku f 0 : [µ,λ] H, jok määritellään f 0 (t) = ti on etäisyyden ntm polku joukoss Γ[µi,λi]. Kosk Möb(H) säilyttää hyperboliset polkujen pituudet, pätee että pituus H (γ f 0 ) = pituus H (f 0 ) Kosk Möb(H) säilyttää hyperbolisen etäisyyden, pätee että d H (x,y) = d H (γ (µi),γ (λi)) = d H (µi,λi) = pituus H (f 0 ). Yhdistämällä nämä smme että pituus H (γ f 0 ) = d H (x,y), j siis γ f 0 on etäisyyden ntm polku joukoss Γ[x,y]. Kuten iemmin minittiin tämä päättää myös metriikn ensimmäisen ksioomn toisen osn todistuksen. Siis(H,d H ) on polkumetrinen vruus. Viitteet [] Jmes W. Anderson: Hyperbolic Geometry, 2nd printing 200, Springer-Verlg London Limited, Gret Britin [2] Jussi Väisälä: Topologi I, 4 pinos 2007, Limes, Helsinki [3] Mrvin Jy Greenberg: Eucliden nd Non-eucliden Geometries, Development nd history, Fourth Edition 2008, W. H. Freemn nd Compny, USA