Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Transkriptio

1 Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin (n. 300 ekr.) kirjoittm Pythgorn elämä. Suori sikirjoj ei ole säilynyt vikk ntiikiss kirjoitettiin useit Pythgorn elämäkertoj. Seurv kuvus on peräisin E. S. Loomisilt, jok vuonn 1940 kokosi yhteen 370 todistust Pythgorn luseest. Pythgors syntyi Tyroksess 569 ekr., mutt ksvoi Smoksell. Vuonn 549 hän mtkusti Miletokseen, joss hn tpsi Thleen j nksimndroksen, joist ensimmäinen oli tuolloin 75-vuotis. Miletoksess Pythgors opiskeli kosmogrfi, jok trkoitti fysiikk j mtemtiikk. Pri vuott myöhemmin hän mtkusti Egyptiin, joss hänest tuli Then uskonnollisen seurn jäsen. Kun persiliset vuonn 56 vlloittivt Egyptin, Pythgors mtkusti edelleen ylonin, joss hän tpsi intilisi, kiinlisi j juutlisi. Kymmenisen vuott myöhemmin hän plsi Smokselle. Kun Pythgors vuonn 510 joutui tyrnni Polykrteen epäsuosioon Smoksell, hän lähti Krotoniin Mgn Greiss. Siellä hän piti puheit nuorille j perusti koulun. Hän sikin melko pin suuren joukon oppilit, joiden knss hän keskusteli etiikst, sielun kuolemttomuudest j trnsmigrtiost eli sielunvelluksest. Vuonn 490 Pythgors jätti Krotonin j muutti Trsiin. Hän kuoli 99-vuotin vuonn 469 ekr. Metpontioniss. Prokloksen mukn Pythgors j Thles toivt mtemtiikn idäst Kreikkn. [TM93, s. 31] Pythgorn luse Tämä mtemtiikn kuuluisin j tunnetuin luse snoo: Suorkulmisen kolmion hypotenuusn neliö on kteettien neliöiden summ, eli kuvn 1 merkinnöin = +.

2 Solmu Solmu Kuv 1. Pythgorn lusett hvinnollistvi plpelejä j niihin liittyviä todistuksi Plpeli 1 [Väi64, s. 48] Kuvss neliön sivun pituus on + kuten myös kuvss 3, joten molemmt neliöt ovt smnkokoisi. Molempiin neliöhin on sijoitettu neljä suorkulmist kolmiot, joiden kteetit ovt j, hypotenuus j terävät kulmt α j β. Kolmioiden ulkopuoliset lueet ovt siis yhtäsuuret. Kuvn nelikulmion sivut ovt kikki yhtä pitkiä. Jokinen kulm on 180 (α + β) = = 90. Nelikulmio on siis neliö j sen l on. Kuvss 3 yhteneviä kolmioit on siirrelty siten, että muotostuu kksi neliötä, joiden pint-lt ovt j. Siispä = +. Kuv.

3 Kuv 3. hskrn todistus Intilinen mtemtikko hskr, jok eli 1150-luvull, todisti Pythgorn luseen näin: x Kuv 4. Neliön l kuvss 4 on kolmion hypotenuusn neliö. Se on jettu neljäksi suorkulmiseksi kolmioksi, joist jokinen on identtinen nnetun knss, sekä pienemmäksi neliöksi [TM93, s. 30]. Pienen neliön sivun pituus x on kteettien erotus. x Kuv 5. Kuvss 5 on plset siirretty seurvsti. Siinä on neljä yhtenevää kolmiot j pieni neliö. Kuten iemmin totesimme, on pienen neliön sivu sm kuin kteettien erotus.

4 Solmu Solmu Kuv 6. Kuvss 6 muodostuu kksi neliötä kteettien sivuist. Todistus perustuu nyt siihen, ett kteettien muodostmt neliöt peittävät smn pint-ln kuin kuvn 4 neliö, joten kteettien neliöiden summ on hypotenuusn neliö. Kiinlinen todistus Kiinlinen todistus, jok on peräisin teoksest ritmeettinen klssikko gnomoneist j tividen ympyrärdoist, on seurv. nnettu suorkulminen kolmio on kuvn 7 oikess yläkulmss. Kolmio on peilttu hypotenuusn suhteen, j näistä on otetut kolme kopiot on sijoitettu neliön muotoon. Keskelle jää pieni neliö, jonk sivun pituus on suorkulmisten kolmioiden kteettien erotus. Näin ollen = 4 ( ) + ( ) = + + = + [TM93,s.30]. (-) Kuv 7.

5 Plpeli [TM93, s. 319] Yksi kunis tp hhmotell todistus on kuvss 8: E F Kuv 8. Lyhyemmän kteetin neliö sekä neljä plpelin pl, joist pitemmän kteetin neliö muodostetn, voidn siirtää niin, että ne täyttävät hypotenuusn neliön. Jetn sivu vsten piirretyn neliön sivut osiin, joiden pituudet ovt ( + )/ j ( )/. Yhdistetään jkopisteet jnoill j. Nelikulmio EF on suunniks, kosk E F j E = + ( )/ = ( + )/ = F. Siis =. Neliön symmetrin vuoksi myös =. Erotetn hypotenuus vsten piirretystä neliöstä kteetille piirretyn neliön plojen knss yhtenevät plt. Voidn jtell, että plt siirretään kuvn osoittmll tvll. Keskelle muodostuu nelikulmio, jonk sivut ovt ( + )/ ( )/ = j jonk kikki kulmt ovt symmetrin perusteell suori; kyseessä on siis neliö. Lskemll plsten lt sdn = +. Muit Pythgorn luseen todistuksi Thit In Qurrn todistus Thit In Qurrn (n. 880) todistus on yksi kuneimmist [TM93, s ].

6 Solmu Solmu H F E G Kuv 9. Olkoon on nnettu suorkulminen kolmio. Piirretään kolmion knss yhtenevä kolmio E kuvn 9 osoittmll tvll. Piirretään neliöt EF G j HG, joiden sivuin ovt yhtäpitkät kteetit E j sekä j. Kulm E on suor. ' H F E G Kuv 10. Todistus perustuu nyt siihen, että kolmiot kierretään 90 vstpäivään pisteen ympäri j kolmiot E vstvsti 90 myötäpäivään pisteen E ympäri kuten kuvss 10. Kolmio s tällöin pikn H, kun ts kolmio E s pikn F E. Neliön E l on hypotenuusn = E neliö. Siirtojen jälkeen tämä neliö on summ khden kteetin neliöstä. Huom, että monikulmion EF H l on sm molemmiss kuviss.

7 Eukleideen todistus Eukleideen todistus (luse 47 Elementn kirjss 1.) perustuu kuvn 11 [I78, s. 113]: H G K F M L Kuv 11. N Neliön F G l on kksi kert kolmion F l (niillä on sm knt j korkeus). Suorkulmion ML l on kksi kert kolmion l (sm knt j korkeus). Osoitetn, että F = Kolmiot ovt siis yhtenevt (sks). F = = F = 90 + =. On osoitettu: neliön F G ln puoliks on yhtä suuri kuin suorkulmion LM ln puoliks. Neliön F G l on siis yhtä suuri kuin suorkulmion LM l. Vstvsti voidn osoitt, että neliön KH l on yhtä suuri kuin suorkulmion MNL l. Merkitään: neliön F G sivu on neliön KH sivu on neliön N sivu on On osoitettu, että + on suorkulmioiden ML j MLN lojen summ eli. Siis + =. Sm todistus on Väisälän kirjss Keskikoulun geometri [Väi64, s ].

8 Solmu Solmu Nimetön todistus Mielestäni hienoin todistus Pythgorn luseelle on seurv. Se perustuu khteen peritteseen: (1) Pint-lyksikkö on pituusyksikön neliö. () Jos voidn löytää kolme yhdenmuotoist kuviot, jotk voidn piirtää kolmion sivuille siten, että kteeteill j olevien kuvioiden lojen summ Γ + on yhtä kuin hypotenuusll olevn kuvion Σ l todistus on selvä. Oletetn nimittäin, että pätee Σ = Γ +. Tälloin seur (1):stä, että = +. Kuv 1. Mutt jo kuvss 1 olev yksinkertinen konstruktio nt yhden mhdollisuuden [TM93, s. 30]. Se sisältää vditut yhdenmuotoiset kolmiot, j. Kolmiot, j ovt yhdenmuotoisi: Jokisess on suorkulm Kulm = α on molemmiss kolmioiss j. Siis. Kulm = β on molemmiss kolmioiss j. Siis. Siis. on piirretty sivulle on piirretty sivulle on piirretty sivulle Olkoon 1 kolmion l, on kolmion l j 3 kolmion l. : 3 = 1 : 3 = ( ) = 3 ( ) + 1 = 3 3 = 1 + = 3 [ ( ) + ( 1 = + = +. ) ] : 3

9 Viitteet [I78] P. edron nd J. Itrd. Mthemtis nd mthemtiins. The Open University Press., Stony Strtford, nd edition, [TM93] Jn Thompson nd Thoms Mrtins. Mtemtiikn käsikirj, käännös Soft rtist Oy. WSOY, Juv, Tmpere, [Väi64] Väisälä. Keskikoulun geometri, kolms pinos. Werner Söderström OY, Porvoo Helsinki, 3. pinos, Jnis Künnp