Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 4 Aheet: Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollste aestoje kuvaame Otokset ja otosjakaumat Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma Estmaatt Estmaattor Frekvess Frekvessjakauma Frekvesstulkta Geometre keskarvo Harhato estmaattor Harmoe keskarvo Hajotaluku Hstogramm Itervallastekko Järjestysastekko Järjestystuusluku Keskhajota Keskee raja-arvolause Keskluku -jakauma Kvaltatve muuttuja Kvattatve muuttuja Laatueroastekko Luokteltu frekvessjakauma Maksm Medaa Mm Mttaame Mtta-astekko Mttar Nomaalastekko Normaaljakauma Ordaalastekko Otos Otoskeskhajota Otosjakauma Otostuusluku Otosvarass Perusjoukko Pylväsdagramm Satuasotos Stadardpokkeama Suhdeastekko Suhteelle frekvess t-jakauma Tlastolle aesto Tlastolle muuttuja Vahteluväl Vahteluväl ptuus Varass Välmatka-astekko Ykskertae satuasotos Logartme uskottavuusfukto Luottamuskerro Luottamustaso Luottamusväl Maksmot Momett Odotusarvo Otoskoko Rppumattomuus Stadardotu ormaaljakauma Suhteelle osuus Suurmma uskottavuude estmaattor Suurmma uskottavuude meetelmä Todeäkösyys Uskottavuusfukto Ykskertae satuasotos Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollset aestot Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 1/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Tlastollse tutkmukse kakk mahdollset kohteet muodostavat tutkmukse (kohde-) perusjouko. Tutkmukse kohteta tarkastellaa aa perusjouko muodostamassa kehkossa. Tutkmukse kohteks valttuja perusjouko alkota kutsutaa havatoyksköks. Tlastolle aesto koostuu havatoyksköde omasuuksa ja olosuhteta kuvaavsta umeerssta ta kvattatvssta tedosta. Havatoykskötä koskeva umeersa ta kvattatvsa tetoja kutsutaa havatoarvoks ta havaoks. Tlastollste aestoje kerääme Muutetaako tutkmuksessa tutkmukse kohtede olosuhteta aktvsest? () () Tutkmus o koe, jos tutkmukse tavotteea o selvttää, mte kohtede olosuhtede aktve muuttame vakuttaa tutkmukse kohtes. Tutkmus perustuu suor havatoh, jos tutkmukse tavotteea o va seurata, mte kohtede olosuhteet ja ssä tapahtuvat muutokset vakuttavat kohtes. Kohdstuuko tutkmus kakk perusjouko alkoh va johok perusjouko osaa? () () Tutkmusta kutsutaa kokoastutkmukseks, jos kakk perusjouko alkot tutktaa. Tutkmusta kutsutaa otatatutkmukseks, jos tutkmus kohdstuu johok perusjouko osajoukkoo. Mttaame ja mttart Tlastollse tutkmukse kohtede omasuuksa ja olosuhteta sekä de muutoksa kuvaavat umeerset ta kvattatvset tedot saadaa selvlle mttaamalla. Mttaame tarkottaa umeerste arvoje lttämstä tutkmukse kohtede omasuuks ja olosuhtes. Mttara vodaa ptää fuktoa, joka lttää umeerset arvot tutkmukse kohtede omasuuks ja olosuhtes. Mttaukse tulos vodaa ss aa lmasta jok tutkmukse kohtee omasuutta ta olosuhdetta kuvaava muuttuja arvoa. Ste tutkmukse kohtede omasuuksa ja olosuhteta kuvataa mttaustapahtumassa umeerslla muuttujlla. Mttar valdteett ja tarkkuus Mttar o vald el okea, jos se esttää mttaukse kohteea olevaa omasuutta oke, merktyksellsest ja tarkotuksemukasest. Mttar o tarkka, jos se o harhato ja relaabel: () () Mttar o harhato, jos se e systemaattsest al- ta ylarvo mtattava omasuude määrää. Mttar o relaabel el luotettava, jos mttaustulos e muutu, ku mttausta tostetaa. Mtta-astekot Mttaus o tehty omaal- el laatueroastekolla, jos mttaus kertoo mh luokkaa mttaukse kohde kuuluu. Mttaus o tehty ordaal- el järjestysastekolla, jos mttaus kertoo oko mttaukse kohteella mtattavaa omasuutta eemmä ta vähemmä ku jollak tosella kohteella. Mttaus o tehty tervall- el välmatka-astekolla, jos mttaus kertoo kuka paljo kahde mtattava kohtee omasuudet eroavat tosstaa. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) /57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Mttaus o tehty rato- el suhdeastekolla, jos mttaus kertoo kuka mota kertaa eemmä ta vähemmä mttaukse kohteella o mtattavaa omasuutta ku jollak tosella kohteella. Kvaltatvset ja kvattatvset muuttujat Omasuutta ja stä kuvaavaa muuttujaa kutsutaa kvaltatvseks, jos mttaukse kohteet vodaa luoktella mttaukse perusteella tosstaa eroav kategoroh ta luokk. Kvaltatvsa omasuuksa kuvataa laatueroastekollslla muuttujlla. Omasuutta ja stä kuvaavaa muuttujaa kutsutaa kvattatvseks, jos mttaus tuottaa omasuude määrällse arvo. Kvattatvsa omasuuksa kuvataa välmatka- ta suhdeastekollslla muuttujlla. Dskreett ja jatkuvat muuttujat Mtattavaa omasuutta vastaava muuttuja o dskreett, jos se vo saada va erllsä arvoja. Dskreettejä muuttuja ovat esmerkks laatueroastekollste muuttuje ja sjalukuja kuvaave järjestysastekollste muuttuje lsäks myös sellaset kvattatvset muuttujat kute lukumäärämuuttujat. Mtattavaa omasuutta vastaava muuttuja o jatkuva, jos se vo saada kakk arvot joltak välltä. Jatkuva muuttuja ovat esmerkks usemmat fyskaalset suureet kute ptuus, pta-ala, tlavuus, pao, aka, opeus ja pae sekä myös moet talouselämää kuvaavat suureet kute rahamäärä ja korko. Huomautus: Muuttuje mtta-astekollslla omasuukslla (kvaltatvsuudella/kvattatvsuudella ta dskreettydellä/jatkuvuudella) o syvälle vakutus she, mtä tlastollsa meetelmä kysesessä tlateessa o luvallsta (ta suotavaa) soveltaa. Tlastollste aestoje kuvaame Frekvesst Olkoo muuttuja x dskreett ja oletetaa, että se mahdollset arvot ovat Olkoot y 1, y,, y m x 1, x,, x muuttuja x havatut arvot. Muuttuja x mahdollse arvo y k, k = 1,,, m frekvess f k kertoo kuka mota kertaa y k estyy havatoarvoje x 1, x,, x joukossa. Frekvessjakauma Muuttuja x mahdollset arvot y 1, y,, y m yhdessä de frekvesse f 1, f,, f m Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 3/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 kassa muodostavat muuttuja x havattuje arvoje x 1, x,, x frekvessjakauma. Huomaa, että f 1 + f + + f m = jossa o havatoje kokoaslukumäärä. Pylväsdagramm Frekvessjakaumaa (y k, f k ), k = 1,,, m vodaa kuvata graafsest pylväsdagrammlla, jossa muuttuja x mahdollse arvo y k havatoarvoje x 1, x,, x joukossa esttää pylväs, joka korkeus vastaa frekvessä f k. Huomautus: Pylväsdagramm tulkta o samatapae ku dskreet todeäkösyysjakauma pstetodeäkösyysfukto tulkta. Luokkafrekvesst Olkoo muuttuja x jatkuva ja oletetaa, että se mahdollset arvot ovat välllä (a, b) jossa vo olla a =, b = +. Jaetaa väl (a, b) pstellä psteveras osaväleh Olkoot a a a a a a b 0 1 m1 (a k 1, a k, k = 1,,, m x 1, x,, x muuttuja x havatut arvot. Muuttuja x havattuje arvoje frekvess f k luokassa k kertoo de havatoarvoje x 1, x,, x lukumäärä, jotka kuuluvat väl (a k 1, a k, k = 1,,, m Luokteltu frekvessjakauma Luokkavält (a k 1, a k, k = 1,,, m yhdessä vastaave luokkafrekvesse f 1, f,, f m kassa muodostavat muuttuja x havattuje arvoje x 1, x,, x luoktellu frekvessjakauma. Huomaa, että f 1 + f + + f m = jossa o havatoje kokoaslukumäärä. Hstogramm m Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 4/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Luokteltua frekvessjakaumaa ((a k 1, a k, f k ), k = 1,,, m vodaa kuvata graafsest hstogrammlla, jossa muuttuja x havattuje arvoje x 1, x,, x frekvessä f k luokassa (a k 1, a k, esttää suorakade (elkulmo), joka kataa o väl (a k 1, a k ja joka pta-ala vastaa luokkafrekvessä f k. Huomautuksa: Hstogramm tulkta o samatapae ku jatkuva todeäkösyysjakauma theysfukto tulkta. Jos luokteltua frekvessjakaumaa muodostettaessa käytetää tasavälstä luoktusta, luokteltua frekvessjakaumaa kuvaava hstogrammkuvo muodostave elkulmode korkeudet vastaavat luokkafrekvessejä f k. Suhdeastekollste muuttuje tuusluvut Artmeette keskarvo Olkoot x 1, x,, x välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havattuja arvoja. Lukuje x 1, x,, x artmeette keskarvo o 1 1 M x x Artmeette keskarvo o havatoarvoje paopste ja kuvaa havatoarvoje keskmäärästä arvoa. Varass Olkoot x 1, x,, x välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havattuja arvoja. Lukuje x 1, x,, x (otos-) varass o jossa 1 1 1 1 sx x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 o lukuje x 1, x,, x artmeette keskarvo. Otosvarass kuvaa havatoarvoje hajaatuesuutta (ta keskttyesyyttä) de artmeettse keskarvo (paopstee) ympärllä. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 5/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Artmeettse keskarvo ja varass laskeme Olkoot x 1, x,, x välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havattuja arvoja. Jos havatoarvoje x 1, x,, x artmeette keskarvo ja varass joudutaa laskemaa käs ta laskta käyttäe, kaattaa laskut järjestää alla oleva tauluko muotoo ja käyttää tauluko veressä estettyjä kaavoja. x x x x 1 Summa 1 x1 x x x x x 1 1 1 x 1 x 1 1 sx x x 1 1 1 Keskhajota Olkoot x 1, x,, x välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havattuja arvoja. Lukuje x 1, x,, x (otos-) keskhajota o jossa s x x x x x x s 1 1 1 1 x x 1 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 o lukuje x 1, x,, x artmeette keskarvo ja s x o lukuje x 1, x,, x (otos-) varass. Otoskeskhajota kuvaa (kute otosvarass) havatoarvoje hajaatuesuutta (ta keskttyesyyttä) de artmeettse keskarvo (paopstee) ympärllä. Stadardot Olkoo x välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havattuje arvoje x 1, x,, x artmeette keskarvo ja s de varass. Tällö stadardotuje havatoarvoje x x x z, 1,,, s artmeette keskarvo ja varass ovat 1 z x 1 z 0 1 s ( z z ) 1 z 1 1 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 6/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Tlastolle etäsyys Olkoot x välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havattuje arvoje x 1, x,, x artmeette keskarvo ja s x de varass. Tällö havatoarvoje x k ja x l tlastolle etäsyys o Orgomomett Olkoot d kl x k xl s x x 1, x,, x välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havattuja arvoja. Lukuje x 1, x,, x k. orgomomett o Keskusmomett Olkoot 1 k a x, k 1,, k 1 x 1, x,, x välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havattuja arvoja. Lukuje x 1, x,, x k. keskusmomett o jossa k x 1 k 1 m x x x 1 x 1 o lukuje x 1, x,, x artmeette keskarvo. Vous Olkoot x 1, x,, x välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havattuja arvoja. Havatoarvoje x 1, x,, x jakauma voutta vodaa kuvata otostuusluvulla jossa c m 3 1 3/ m m =. keskusmomett luvulle x 1, x,, x Hupukkuus m 3 = 3. keskusmomett luvulle x 1, x,, x Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 7/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Olkoot x 1, x,, x välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havattuja arvoja. Havatoarvoje x 1, x,, x jakauma hupukkuutta vodaa kuvata otostuusluvulla jossa c m 4 m Geometre keskarvo Olkoot m =. keskusmomett luvulle x 1, x,, x m 4 = 4. keskusmomett luvulle x 1, x,, x x 1, x,, x postvsa lukuja. Lukuje x 1, x,, x geometre keskarvo o G x1x x Lukuje x 1, x,, x geometrse keskarvo logartm o lukuje x 1, x,, x logartme artmeette keskarvo: Harmoe keskarvo Olkoot log( x ) log( x ) log( x ) 1 1 log( G) log( x ) 1 x 1, x,, x postvsa lukuja. Lukuje x 1, x,, x harmoe keskarvo o H 1 1 1 x 1 Lukuje x 1, x,, x harmose keskarvo käätesluku o lukuje x 1, x,, x kääteslukuje artmeette keskarvo: 1 1 1 H x 1 Artmeette, harmoe ja geometre keskarvo Oletetaa, että artmeette keskarvo M, harmoe keskarvo H ja geometre keskarvo G lasketaa samosta luvusta x 1, x,, x. Tällö ja H G M Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 8/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 va, jos H G M x 1 = x = = x Järjestysastekollste muuttuje tuusluvut Järjestystuusluvut Olkoot x 1, x,, x järjestys-, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havattuja arvoja. Järjestetää havatoarvot x 1, x,, x suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa ja olkoot z 1, z,, z järjestyksee asetetut havatoarvot. Suuruusjärjestyksessä k. havatoarvoa z k kutsutaa k. järjestystuusluvuks. Mm, maksm, vahteluväl Olkoot z 1, z,, z järjestys-, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havatut arvot järjestettyä suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. Tällö Prosettpsteet Olkoot z 1 z = mmarvo = maksmarvo (z 1, z ) = vahteluväl z z 1 = vahteluväl ptuus z 1, z,, z järjestys-, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havatut arvot järjestettyä suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. Havatoarvoje p. prosettpste z (p), p = 1,,, 99 o pste, joka jakaa havatoaesto kahtee osaa: () p % havatoarvosta o lukua z (p) peempä ta korketaa yhtä suura ku z (p). () (100 p) % havatoarvosta o lukua z (p) suurempa. Medaa Olkoot z 1, z,, z Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 9/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 järjestys-, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havatut arvot järjestettyä suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. Medaa Me o havatoarvoje 50. prosettpste: Me = z (50) Medaa jakaa havatoaesto kahtee yhtä suuree osaa, että tosessa kakk havatoarvot ovat medaaa peempä, tosessa kakk havatoarvot ovat medaaa suurempa. Havatoarvoje medaa Me vodaa määrätä seuraavalla tavalla: (1) Järjestetää havatoarvot suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. (a) Jos havatoarvoje lukumäärä o parto, medaa o järjestetystä havatoarvosta keskmmäe. (b) Jos havatoarvoje lukumäärä o parlle, medaa o järjestetystä havatoarvosta kahde keskmmäse artmeette keskarvo. Oletetaa, että artmeette keskarvo M ja medaa Me määrätää samasta jatkuva muuttuja havattuje arvoje luoktellusta frekvessjakaumasta. Jos havatoarvoje jakauma o ykshuppue, pätee seuraava: Vasemmalle volla jakaumlla M < Me Symmetrsllä jakaumlla M Me Okealle volla jakaumlla Kvartlt Olkoot Me < M z 1, z,, z järjestys-, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja x havatut arvot järjestettyä suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. Tällö Q 1 = Alakvartl = 5. prosettpste = z (5) Q = Keskkvartl = 50. prosettpste = z (50) Q 3 = Yläkvartl = 75. prosettpste = z (75) Kvartlt Q 1, Q, Q 3 jakavat suuruusjärjestyksee asetetu havatoaesto eljää yhtä suuree osaa. Ertysest: Alakvartl Q 1 Keskkvartl Q Yläkvartl Q 3 = Havatoarvoje medaaa Me peempe havatoarvoje medaa = Havatoarvoje medaa Me = Havatoarvoje medaaa Me suurempe havatoarvoje medaa Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 10/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Kvartlt, kvartlväl, kvartlpokkeama Olkoot havatoarvoje kvartlt Q 1, Q, Q 3. Tällö (Q 1, Q 3 ) = kvartlväl Q 3 Q 1 = IQR = kvartlväl ptuus (Q 3 Q 1 )/ = IQR/ = kvartlpokkeama Kvartlvälä, kvartlväl ptuutta (IQR = terquartle rage) ja kvartlpokkeamaa vodaa käyttää kuvaamaa havatoarvoje hajaatuesuutta (keskttyesyyttä). Jos havatoarvoje jakaumaa kuvaavaa kesklukua o käytetty medaaa, hajotalukua käytetää use kvartlpokkeamaa. Laatueroastekollste muuttuje tuusluvut Frekvess Olkoo otoskoko el kerättyje havatoarvoje lukumäärä. Olkoo A jok perusjouko osajoukko ja olkoo f otoksee kuuluve A-tyyppste havatoarvoje frekvess el lukumäärä. Tällö A-tyyppste havatoarvoje suhteelle frekvess el osuus otoksessa o Mood f Frekvessjakauma mood el tyypparvo Mo o yles havatoarvo. Luoktellu frekvessjakauma mood el tyypparvo Mo o sä luokassa, jossa luokteltua frekvessjakaumaa vastaava hstogramm saavuttaa maksmsa. Huomautuksa: Jos käytetty luoktus o tasaväle, luoktellu frekvessjakauma mood o sä luokassa, jota vastaava frekvess o suur. Jos käytetty luoktus e ole tasaväle, luoktellu frekvess jakauma mood e välttämättä ole sä luokassa, jota vastaava frekvess o suur. Oletetaa, että artmeette keskarvo M, medaa Me ja mood Mo määrätää samasta jatkuva muuttuja havattuje arvoje luoktellusta frekvessjakaumasta. Jos havatoarvoje jakauma o ykshuppue, pätee seuraava: Vasemmalle volla jakaumlla M < Me < Mo Symmetrsllä jakaumlla M Me Mo Okealle volla jakaumlla Mo < Me < M Otokset ja otosjakaumat Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 11/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Ykskertae satuasotos Olkoot havaot X 1, X,, X rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x): X, X,, X 1 X : f ( x), 1,,, Tällö saomme, että havaot X 1, X,, X muuodostavat (ykskertase) satuasotokse jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto o f(x). Otostuusluku Olkoo X 1, X,, X ykskertae satuasotos jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto o f(x). Olkoo T = g(x 1, X,, X ) jok satuasmuuttuje X 1, X,, X (mtalle) fukto. Satuasmuuttujaa T kutsutaa (otos-) tuusluvuks. Oletetaa, että otokse pommse jälkee satuasmuuttujat X 1, X,, X saavat havatuks arvoksee havatoarvot x 1, x,, x : Tällö tuusluku X 1 = x 1, X = x,, X = x T = g(x 1, X,, X ) saa havatuks arvoksee t fukto g arvo psteessä (x 1, x,, x ): Otosjakauma Oletetaa, että havaot t = g(x 1, x,, x ) X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta f(x) ja olkoo T = g(x 1, X,, X ) jok otostuusluku. Koska tuusluku T o satuasmuuttuja, sllä o todeäkösyysjakauma, jota kutsutaa tuusluvu T otosjakaumaks. Tuusluvu T otosjakauma muodostaa tlastollse mall el todeäkösyysmall tuusluvu T arvoje satuasvahtelulle otoksesta tosee. Artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakaumat Artmeette keskarvo ja otosvarass Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 1/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o. Tällö havaot X 1, X,, X ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jolla kaklla o sama odotusarvo ja varass: X 1, X,, X E(X ) =, = 1,,, Var(X ) = D (X ) =, = 1,,, Otokse omasuuksa vodaa kuvata havatoarvoje artmeettsella keskarvolla ja varasslla. Määrtellää havatoje X 1, X,, X artmeette keskarvo kaavalla X 1 X 1 Määrtellää havatoje X 1, X,, X otosvarass kaavalla 1 s X X ( ) 1 1 Huomaa, että sekä artmeette keskarvo X että otosvarass s ovat havatoje X 1, X,, X fuktoa satuasmuuttuja, jode saamat arvot vahtelevat satuasest otoksesta tosee. Summa odotusarvo ja varass Havatoje X 1, X,, X summalla varass: E 1 Var X 1 X Artmeettse keskarvo odotusarvo ja varass X o em. oletuste pätessä seuraava odotusarvo ja Havatoje X 1, X,, X artmeettsella keskarvolla X o em. oletuste pätessä seuraava odotusarvo ja varass: E( X ) Var( X) D ( X) Huomaa, että havatoje X 1, X,, X artmeettse keskarvo X varass otoksessa o aa peemp ku havatoje varass, jos otoskoko > 1. Lsäks artmeettse keskarvo varass X peeee, jos otoskoo aetaa kasvaa. Artmeettse keskarvo X stadardpokkeamaa Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 13/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 D( X ) kutsutaa tavallsest keskarvo keskvrheeks ja se kuvaa artmeettse keskarvo otosvahtelua oma odotusarvosa ympärllä. Otosvarass odotusarvo Havatoje X 1, X,, X otosvarasslla s o em. oletuste pätessä seuraava odotusarvo: E(s ) = Normaaljakautuede havatoje summa otosjakauma Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(, ). Tällö havaot X 1, X,, X ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(, ): X 1, X,, X X ~ N(, ), = 1,,, Havatoje X 1, X,, X summa parametre ja : : 1 X N(, ) X oudattaa em. oletuste pätessä ormaaljakaumaa Normaaljakautuede havatoje artmeettse keskarvo otosjakauma Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(, ). Tällö havaot X 1, X,, X ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(, ): X 1, X,, X X ~ N(, ), = 1,,, Havatoje X 1, X,, X artmeette keskarvo X oudattaa em. oletuste pätessä ormaaljakaumaa parametre ja / : X : N, Ertysest Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 14/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 E( X ) Var( X) D ( X) mkä pätee myös lma ormaalsuusoletusta. Artmeettse keskarvo approksmatve (asymptootte) otosjakauma Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o. Tällö keskesestä raja-arvolauseesta seuraa, että havatoje artmeette keskarvo X oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest (asymptoottsest) ormaaljakaumaa parametre ja / : X : a N, Normaaljakautuede havatoje otosvarass otosjakauma Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(, ). Tällö havaot X 1, X,, X ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(, ): X 1, X,, X X ~ N(, ), = 1,,, Olkoo s havatoje X 1, X,, X otosvarass. Satuasmuuttuja ( 1)s / oudattaa em. oletuste pätessä -jakaumaa vapausaste ( 1): ( 1) s : ( 1) Lsäks vodaa osottaa, että artmeette keskarvo X ja otosvarass s ovat satuasmuuttuja rppumattoma: X s Ste suoraa Studet t-jakauma määrtelmä mukaa em. oletuste pätessä. X t : s/ t( 1) Suhteellse frekvess otosjakauma Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 15/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Frekvess ja suhteelle frekvess Olkoo A S jok otosavaruude S tapahtuma ja olkoo p = Pr(A) q = 1 Pr(A) = 1 p Pomtaa otosavaruudesta S ykskertae satuasotos, joka koko o. Olkoo f A-tyyppste alkode frekvess el lukumäärä otoksessa ja f pˆ vastaava suhteelle frekvess el osuus. Huomaa, että sekä frekvess f että suhteelle frekvess pˆ f / ovat satuasmuuttuja, jode saamat arvot vahtelevat satuasest otoksesta tosee. Frekvess odotusarvo, varass ja otosjakauma Frekvess f odotusarvo ja varass: jossa q = 1 p. E( f ) p Var( ) D ( ) f f pq Frekvess f oudattaa otoksessa bomjakaumaa parametre ja Pr(A) = p: f : B(, p) Suhteellse frekvess odotusarvo ja varass Suhteellse frekvess pˆ f / odotusarvo ja varass: E( pˆ ) p ˆ ˆ Var( p) D ( p) pq jossa q = 1 p. Huomaa, että suhteellse frekvess ˆp varass peeee, jos otoskoo aetaa kasvaa. Suhteellse frekvess pˆ f / stadardpokkeamaa D( pˆ ) pq kutsutaa tavallsest suhteellse frekvess keskvrheeks ja se kuvaa suhteellse frekvess otosvahtelua oma odotusarvosa p ympärllä. Suhteellse frekvess otosjakauma Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa, että suhteelle frekvess ˆp otoksessa oudattaa em. oletuste pätessä suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: p pq ˆ a N p :, Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 16/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Estmot Satuasotos Olkoo X, = 1,,, (ykskertae) satuasotos jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x;) rppuu parametrsta. Tällö havaot X, = 1,,, ovat rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x;): X, X,, X 1 Estmaattor ja estmaatt X : f ( x; ), 1,,, Oletetaa, että todeäkösyysjakauma f(x;) parametr o tutemato ja se estmomsee käytetää havatoje X, = 1,,, fuktota el (otos-) tuuslukua T = g( X 1, X,, X ) Fuktota T = g( X 1, X,, X ) kutsutaa parametr estmaattorks ja fukto g havatoarvosta laskettua arvoa x 1, x,, x t = g( x 1, x,, x ) kutsutaa parametr estmaatks. Otosjakauma Oletetaa, että havaot X, = 1,,, muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta f(x;) ja olkoo T = g(x 1, X,, X ) jok parametr estmaattor. Koska estmaattor T o satuasmuuttuja, sllä o todeäkösyysjakauma, jota kutsutaa estmaattor T otosjakaumaks. Estmaattor T otosjakauma muodostaa tlastollse mall el todeäkösyysmall estmaattor T arvoje satuaselle vahtelulle otoksesta tosee. Estmaattor hyvyys Hyvyyskrteert estmaattorelle Todeäkösyysjakaume parametrelle o tavallsest tarjolla useta vahtoehtosa estmaattoreta. Tällö ousee es kysymys stä, mkä tarjolla olevsta estmaattoresta o paras. Tärkemmät estmaattorede vertalussa käytetyt krteert ovat tyhjetävyys, harhattomuus, tehokkuus ja tarketuvuus. Tyhjetävyys Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 17/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Olkoo T parametr estmaattor. Estmaattor T o tyhjetävä parametrlle, jos se käyttää kake otoksessa oleva formaato parametrsta. Huomaa, että tässä estetty määrtelmä o pkemmk tyhjetävyyde kuvaus ku matemaatte määrtelmä tyhjetävyydelle. Harhattomuus Olkoo T parametr estmaattor. Estmaattor T o harhato parametrlle, jos E(T) = Jos T o parametr harhato estmaattor, se tuottaa parametrlle arvoja (estmaatteja), jotka vahtelevat kyllä otoksesta tosee, mutta kutek parametr okea arvo ympärllä. Tehokkuus Olkoot T 1 ja T kaks parametr estmaattora. Estmaattor T 1 o tehokkaamp ku estmaattor T, jos Var(T 1 ) < Var(T ) Jos estmaattor T 1 o tehokkaamp ku estmaattor T, estmaattor T 1 tuottaa parametrlle arvoja (estmaatteja), jotka vahtelevat otoksesta tosee vähemmä ku estmaattor T. Täystehokkuus (mmvarasssuus) Olkoo T parametr estmaattor. Estmaattor T o täystehokas, jos se varass Var(T) o peemp ku mkä tahasa muu estmaattor. Jos estmaattor T o täystehokas, se tuottaa parametrlle arvoja (estmaatteja), jotka vahtelevat otoksesta tosee vähemmä ku muut parametr estmaattort. Täystehokkuus vodaa tavallsest saavuttaa va jossak tetyssä estmaattorede luokassa kute esmerkks harhattome estmaattorede luokassa. Tarketuvuus Olkoo T parametr estmaattor. Estmaattor T o tarketuva parametrlle, jos se kovergo melke varmast koht parametr okeata arvoa, ku otoskoo aetaa kasvaa rajatta: Pr(T ) = 1, ku + Jos T o tarketuva, se tuottaa parametrlle arvoja (estmaatteja), jotka lähestyvät havatoje lukumäärä kasvaessa (eräässä melessä) parametr okeata arvoa. Huomaa, että melke varma kovergess e ole tavaomasta alkesmatematka kovergessa, vaa kuuluu todeäkösyyslaskea kovergesskästtede pr. Emme täsmeä tässä melke varma kovergess kästettä. Estmotmeetelmät Suurmma uskottavuude meetelmä Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 18/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Ykskertae satuasotos Olkoo X, = 1,,, (ykskertae) satuasotos jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x;) rppuu parametrsta. Tällö havaot X, = 1,,, ovat rppumattoma, dettsest jakautueta satuas-muuttuja, jolla o sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x;): Uskottavuusfukto X, X,, X 1 X : f ( x; ), 1,,, Otokse X, = 1,,, uskottavuusfukto L( ; x, x,, x ) f ( x, x,, x ; ) 1 1 o havatoje X, = 1,,, yhtesjakauma pstetodeäkösyys- ta theysfukto f arvo psteessä x 1, x,, x tulkttua parametr arvoje fuktoks. Uskottavuusfukto L ssältää kake formaato otoksesta. Koska havaot X, = 1,,, muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta f(x;), otokse yhtesjakauma theysfukto o muotoa jossa f ( x, x,, x ; ) f ( x ; ) f ( x ; ) f ( x ; ) 1 1 f ( x ; ), 1,,, o yksttäsee havatoo X lttyvä pstetodeäkösyys- ta theysfukto. Suurmma uskottavuude estmaattor Olkoo t g( x1, x,, x ) parametr arvo, joka maksmo otokse X, = 1,,, uskottavuusfukto L x1 x x ( ;,,, ) parametr suhtee. Huomaa, että uskottavuusfukto L maksm atava parametr arvo t o havatoarvoje (muuttuje) x 1, x,, x fukto. Sjottamalla uskottavuusfukto L maksm parametr suhtee atavassa lausekkeessa muuttuje t t( x1, x,, x ) x 1, x,, x pakalle havaot (satuasmuuttujat) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 19/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 X 1, X,, X saadaa parametr suurmma uskottavuude estmaattor el SU-estmaattor ˆ (,,, ) g X1 X X Parametr SU-estmaattor ˆ tuottaa parametrlle arvo, joka maksmo pomtu otokse el saatuje havatoarvoje uskottavuude (todeäkösyyde). Ste parametr SU-estmaattor ˆ otoskohtae arvo maksmo todeäkösyyde saada juur se otos, joka o saatu. Suurmma uskottavuude estmaattor määrääme Parametr suurmma uskottavuude estmaattor määrätää maksmomalla uskottavuusfukto L x1 x x ( ;,,, ) parametr suhtee. Kakssa sääöllsssä tapauksssa maksm löydetää merktsemällä uskottavuusfukto L() dervaatta L () ollaks ja ratkasemalla saadusta ormaalyhtälöstä L () = 0 Logartme uskottavuusfukto Uskottavuusfukto maksm kaattaa tavallsest etsä maksmomalla uskottavuusfukto sjasta logartme uskottavuusfukto (uskottavuusfukto logartm) parametr suhtee. l( ; x, x,, x ) log L( ; x, x,, x ) 1 1 Koska havaot X 1, X,, X o oletettu tässä rppumattomks, logartme uskottavuusfukto vodaa krjottaa seuraavaa muotoo: jossa l( ) log L( ) log f ( x ; ) f ( x ; ) f ( x ; ) 1 log f ( x ; ) log f ( x ; ) log f ( x ; ) 1 l( ; x ) l( ; x ) l( ; x ) 1 l( ; x ) = log f(x ; ), = 1,,, o yhtee havatoarvoo x lttyvä logartme uskottavuusfukto. Jos parametr SU-estmaattor ˆ e täytä hyvä estmaattor krteeretä äärellsllä havatoje lukumäärllä, SU-estmaattor ˆ käyttöä parametr estmaattora vodaa perustella SUestmaattor ylesllä asymptoottslla omasuukslla: Hyv yles ehdo pätee: () SU-estmaattor ˆ o tarketuva el Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 0/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 () Pr( ˆ ) 1, ku SU-estmaattor ˆ o asymptoottsest ormaale. Normaaljakauma parametre suurmma uskottavuude estmaattort Satuasmuuttuja X oudattaa ormaaljakaumaa, jos se theysfukto o muotoa 1 1 x f( x;, ) exp,, 0 Normaaljakauma parametrea ovat jakauma odotusarvo ja varass E( X ) Var( X) D ( X) Normaaljakauma N(, ) odotusarvo ja varass SU-estmaattort ovat havatoje X 1, X,, X artmeette keskarvo ja otosvarass X 1 X 1 1 ˆ ( ) X X 1 Normaaljakauma N(, ) odotusarvo SU-estmaattorlla X o seuraavat omasuudet: () () () (v) (v) X o harhato. X ja ˆ ovat yhdessä tyhjetävä parametrelle ja. X o tehokas el mmvarasse estmaattor. X o tarketuva. X oudattaa ormaaljakaumaa: X : N, Normaaljakauma N(, ) varass SU-estmaattorlla () () ˆ o harhae, mutta estmaattor o harhato. X ja 1 s X X ( ) ˆ 1 1 1 ˆ ovat yhdessä tyhjetävä parametrelle ja. ˆ o seuraavat omasuudet: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 1/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 () (v) (v) ˆ e ole tehokas el mmvarasse estmaattor (vodaa osottaa, että parametrlla e ole mmvarasssta estmaattora, elle parametra tueta). ˆ o tarketuva. ( 1) s / oudattaa -jakaumaa: ( 1) s : ( 1) Beroull-jakauma odotusarvoparametr suurmma uskottavuude estmaattor Olkoo A tapahtuma, joka todeäkösyys o p: Pr(A) = p Määrtellää satuasmuuttuja X seuraavast: 1, jos A tapahtuu X 0, jos A e tapahdu Satuasmuuttuja X oudattaa Beroull-jakaumaa parametrlla p: jossa X : Ber( p) Pr(A) = p = E(X) Beroull-jakauma Ber(p) odotusarvoparametr p SU-estmaattor o havatoje X 1, X,, X artmeette keskarvo Huomaa, että X X 1 X 1 f jossa f o kostukse kohteea oleva tapahtuma A suhteelle frekvess otoksessa. Beroull-jakauma Ber(p) odotusarvoparametr p SU-estmaattorlla ˆp o seuraavat omasuudet: () () () (v) (v) ˆp o harhato. ˆp o tyhjetävä. ˆp o (asymptoottsest) tehokas el mmvarasse estmaattor. ˆp o tarketuva. ˆp oudattaa asymptoottsest ormaaljakaumaa: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) /57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 p pq ˆ a N p :, Välestmot Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl, ku jakauma varass o tuettu Otos ormaaljakaumasta Olkoo X, = 1,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ). Tällö satuasmuuttujat X, = 1,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(, ): X, X,, X 1 X : N(, ), 1,,, Normaaljakauma parametre estmot Oletetaa, että ormaaljakauma N(, ) varass o tuettu ja estmodaa odotusarvoparametr E(X) = se harhattomalla estmaattorlla: Havatoje artmeette keskarvo X 1 X 1 o odotusarvoparametr E(X) = harhato estmaattor. Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl, ku jakauma varass o tuettu Valtaa luottamustasoks 1 Luottamustaso kttää todeäkösyyde, jolla kostruotava luottamusväl pettää ormaaljakauma odotusarvo todellse arvo. Määrätää luottamuskertomet z / ja +z / ste, että ja Pr( z z /) Pr( z z /) jossa satuasmuuttuja z oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: z : N(0,1) Ste luottamuskertomet z / ja +z / toteuttavat ehdo 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 N(0,1)-jakauma theysfukto Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 0 3/57 z / +z /
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Pr( z z z ) 1 / / Normaaljakauma odotusarvoparametr luottamusväl luottamustasolla (1 ) o tuetu varass tapauksessa muotoa jossa X z, X z / / X = havatoje artmeette keskarvo otoksessa = jakauma varass = havatoje lukumäärä z / ja +z / = luottamustasoo (1 ) lttyvät luottamuskertomet stadardodusta ormaaljakaumasta N(0,1) Luottamusväl kostrukto perustuu she, että X : / N(0,1) Koska luottamusväl o symmetre keskpsteesä X suhtee, luottamusväl estetää use muodossa X z / Luottamusväl ptuus o z / Luottamusväl kostruktosta seuraa, että Pr X z/ X z/ 1 Ste luottamusväl pettää parametr todellse arvo todeäkösyydellä (1 ) ja se e petä parametr todellsta arvoa todeäkösyydellä. Luottamusväl omasuudet () () Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl keskpste X vahtelee otoksesta tosee. Luottamusväl ptuus e vahtele otoksesta tosee. () Luottamusväl ptuus rppuu valtusta luottamustasosta (1 ), havatoje lukumäärästä ja jakauma varasssta. (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos luottamustasoa (1 ) peeetää (kasvatetaa). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos havatoje lukumäärää kasvatetaa (peeetää). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos jakauma varass peeee (kasvaa). Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 4/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Luottamusväl frekvesstulkta Normaaljakauma odotusarvo luottamusvälllä o seuraava frekvesstulkta: () () Jos otataa jakaumasta N(, ) tostetaa, keskmäär 100(1 ) % otokssta kostruodusta luottamusvälestä pettää parametr todellse arvo. Jos otataa jakaumasta N(, ) tostetaa, keskmäär 100 % otokssta kostruodusta luottamusvälestä e petä parametr todellsta arvoa. Johtopäätökset luottamusvälstä Oletetaa, että olemme teheet johtopäätökse, että kostruotu luottamusväl pettää odotusarvoparametr todellse arvo: () () Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o okea 100(1 ) %:ssa tapauksa. Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o väärä 100 %:ssa tapauksa. Vrheellse johtopäätökse mahdollsuutta e saada hävämää, elle luottamusvälä tehdä äärettömä leveäks, jollo väl e eää ssällä formaatota odotusarvoparametr todellsesta arvosta. Vaatmukset luottamusvällle Ols tovottavaa pystyä kostruomaa parametrlle mahdollsmma lyhyt luottamusväl, joho lttyvä luottamustaso ols samaakasest mahdollsmma korkea. Molempe vaatmuste samaakae täyttäme e ole kutekaa mahdollsta, jos otoskoko pdetää kteää: () () Luottamustaso kasvattame pdetää luottamusvälä, jollo teto parametr todellse arvo sjasta tulee epätarkemmaks. Luottamusväl lyhetäme peetää luottamustasoa, jollo teto parametr todellse arvo sjasta tulee epävarmemmaks. Otoskoo määrääme Oletetaa, että ormaaljakauma odotusarvoparametrlle halutaa kostruoda luottamusväl, joka tovottu ptuus o A. Tarvttava otoskoko saadaa kaavasta jossa z / A z / = luottamustasoo (1 ) lttyvä luottamuskerro ormaaljakaumasta Normaaljakauma odotusarvo ja varass luottamusvält, ku jakauma varass e ole tuettu Otos ormaaljakaumasta Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 5/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Olkoo X, = 1,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ). Tällö satuasmuuttujat X, = 1,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(, ): X, X,, X 1 X : N(, ), 1,,, Normaaljakauma parametre estmot Estmodaa ormaaljakauma N(, ) parametrt ja de harhattomlla estmaattorella: Havatoje artmeette keskarvo X 1 X 1 o odotusarvoparametr E(X) = harhato estmaattor ja havatoje otosvarass 1 s X X ( ) 1 1 o varassparametr Var(X) = harhato estmaattor. Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl, ku jakauma varass e ole tuettu Valtaa luottamustasoks 1 Luottamustaso kttää todeäkösyyde, jolla kostruotava luottamusväl pettää ormaaljakauma odotusarvo todellse arvo. t-jakauma theysfukto Määrätää luottamuskertomet t / ja +t / ste, että ja Pr( t t /) Pr( t t /) jossa satuasmuuttuja t oudattaa t-jakaumaa vapausaste ( 1): t : t( 1) Ste luottamuskertomet t / ja +t / toteuttavat ehdo Pr( t t t ) 1 / / t / Normaaljakauma odotusarvoparametr luottamusväl luottamustasolla (1 ) o tutemattoma varass tapauksessa muotoa +t / Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 6/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 jossa s X t, X t / / s X = havatoje artmeette keskarvo otoksessa s = otosvarass = havatoje lukumäärä t / ja +t / = luottamustasoo (1 ) lttyvät luottamuskertomet t-jakaumasta vapausaste ( 1) Luottamusväl kostrukto perustuu she, että X : s/ t ( 1) Koska luottamusväl o symmetre keskpsteesä X suhtee, luottamusväl estetää use muodossa X t / Luottamusväl ptuus o t / Luottamusväl kostruktosta seuraa, että s s Pr s s X t/ X t/ 1 Ste luottamusväl pettää parametr todellse arvo todeäkösyydellä (1 ) ja se e petä parametr todellsta arvoa todeäkösyydellä. Odotusarvo luottamusväl omasuudet () () Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl keskpste X vahtelee otoksesta tosee. Luottamusväl ptuus vahtelee otoksesta tosee. () Luottamusväl ptuus rppuu valtusta luottamustasosta (1 ), havatoje lukumäärästä ja otosvarasssta s. (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos luottamustasoa (1 ) peeetää (kasvatetaa). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos havatoje lukumäärää kasvatetaa (peeetää). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos otosvarass s peeee (kasvaa). Odotusarvo luottamusväl frekvesstulkta Normaaljakauma odotusarvo luottamusvälllä o seuraava frekvesstulkta: () Jos otataa jakaumasta N(, ) tostetaa, keskmäär 100(1 ) % otokssta kostruodusta luottamusvälestä pettää parametr todellse arvo. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 7/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 () Jos otataa jakaumasta N(, ) tostetaa, keskmäär 100 % otokssta kostruodusta luottamusvälestä e petä parametr todellsta arvoa. Johtopäätökset odotusarvo luottamusvälstä Oletetaa, että olemme teheet johtopäätökse, että kostruotu luottamusväl pettää odotusarvoparametr todellse arvo: () () Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o okea 100(1 ) %:ssa tapauksa. Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o väärä 100 %:ssa tapauksa. Vrheellse johtopäätökse mahdollsuutta e saada hävämää, elle luottamusvälä tehdä äärettömä leveäks, jollo väl e eää ssällä formaatota odotusarvoparametr todellsesta arvosta. Vaatmukset odotusarvo luottamusvällle Ols tovottavaa pystyä kostruomaa parametrlle mahdollsmma lyhyt luottamusväl, joho lttyvä luottamustaso ols samaakasest mahdollsmma korkea. Molempe vaatmuste samaakae täyttäme e ole kutekaa mahdollsta, jos otoskoko pdetää kteää: () () Luottamustaso kasvattame pdetää luottamusvälä, jollo teto parametr todellse arvo sjasta tulee epätarkemmaks. Luottamusväl lyhetäme peetää luottamustasoa, jollo teto parametr todellse arvo sjasta tulee epävarmemmaks. Otoskoo määrääme Oletetaa, että ormaaljakauma odotusarvoparametrlle halutaa kostruoda luottamusväl, joka tovottu ptuus o A. Tarvttava otoskoko saadaa kaavasta jossa z / A z / = luottamustasoo (1 ) lttyvä luottamuskerro ormaaljakaumasta Normaaljakauma varass luottamusväl Valtaa luottamustasoks Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 8/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 1 Luottamustaso kttää todeäkösyyde, jolla kostruotava luottamusväl pettää ormaaljakauma varass todellse arvo. Määrätää luottamuskertomet 1 / ja ste, että ja Pr( 1 / ) Pr( /) / jossa satuasmuuttuja oudattaa -jakaumaa vapausaste ( 1): : ( 1) Ste luottamuskertomet 1 / ja ehdo / toteuttavat Pr( 1 / / ) 1 Normaaljakauma varassparametr luottamusväl luottamustasolla (1 ) o muotoa jossa ( 1) s ( 1) s, / 1 / s = otosvarass = havatoje lukumäärä ja 1 / Luottamusväl kostrukto perustuu she, että ( 1) s Luottamusväl ptuus o ( 1) s / = luottamustasoo (1 ) lttyvät luottamuskertomet -jakaumasta vapausaste ( 1) : ( 1) 1 1 1 / / Luottamusväl kostruktosta seuraa, että ( 1) ( 1) Pr s s 1 / 1 / α/ 1 / -jakauma theysfukto 1 α α/ / Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 9/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Ste kostruotu luottamusväl pettää parametr todellse arvo todeäkösyydellä (1 ) ja se e petä parametr todellsta arvoa todeäkösyydellä. Varass luottamusväl omasuudet () () Normaaljakauma varass luottamusväl ptuus vahtelee otoksesta tosee. Luottamusväl ptuus rppuu valtusta luottamustasosta (1 ), havatoje lukumäärästä ja otosvarasssta s. () Luottamusväl lyheee (pteee), jos luottamustasoa (1 ) peeetää (kasvatetaa). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos otoskokoa kasvatetaa (peeetää). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos otosvarass s peeee (kasvaa). Varass luottamusväl frekvesstulkta Normaaljakauma odotusarvo luottamusvälllä o seuraava frekvesstulkta: () () Jos otataa jakaumasta N(, ) tostetaa, keskmäär 100(1 ) % otokssta kostruodusta luottamusvälestä pettää parametr todellse arvo. Jos otataa jakaumasta N(, ) tostetaa, keskmäär 100 % otokssta kostruodusta luottamusvälestä e petä parametr todellsta arvoa. Johtopäätökset varass luottamusvälstä Oletetaa, että olemme teheet johtopäätökse, että kostruotu luottamusväl pettää varassparametr todellse arvo: () () Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o okea 100(1 ) %:ssa tapauksa. Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o väärä 100 %:ssa tapauksa. Vaatmukset varass luottamusvällle Ols tovottavaa pystyä kostruomaa parametrlle mahdollsmma lyhyt luottamusväl, joho lttyvä luottamustaso ols samaakasest mahdollsmma korkea. Vaatmuste samaakae täyttäme e ole kutekaa mahdollsta: () Luottamustaso kasvattame pdetää luottamusvälä, jollo teto parametr todellse arvo sjasta tulee epätarkemmaks. () Luottamusväl lyhetäme peetää luottamustasoa, jollo teto parametr todellse arvo sjasta tulee epävarmemmaks. Beroull-jakauma odotusarvo luottamusväl Beroull-jakauma Olkoo A o jok tapahtuma ja olkoo Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 30/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Pr( A) p c Pr( A ) 1 p q Määrtellää satuasmuuttuja 1, jos A tapahtuu X 0, jos A e tapahdu Tällö satuasmuuttuja X oudattaa Beroull-jakaumaa parametraa p = Pr(A) = E(X) Merktää: X : Ber( p) Beroull-jakauma pstetodeäkösyysfukto o Otos Beroull-jakaumasta Olkoo f x p p p x p x 1x ( ; ) (1 ), 0,1; 0 1 X, = 1,,, satuasotos Beroull-jakaumasta Ber(p). Tällö satuasmuuttujat X, = 1,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa Beroull-jakaumaa Ber(p): X, X,, X 1 X : Ber( p), 1,,, Beroull-jakauma odotusarvoparametr estmot Estmodaa Beroull-jakauma Ber(p) odotusarvoparametr p se harhattomalla estmaattorlla: Koska 1 pˆ X 1 1, jos A tapahtuu X, 1,,, 0, jos A e tapahdu 1 pˆ 1 X f jossa f o tapahtuma A frekvess otoksessa. Ste Beroull-jakauma odotusarvoparametr p estmaattor ˆp o tapahtuma A suhteelle frekvess otoksessa. Huomaa, että f : B(, p) Beroull-jakauma odotusarvoparametr luottamusväl Valtaa luottamustasoks 1 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 31/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Luottamustaso kttää todeäkösyyde, jolla kostruotava luottamusväl pettää Beroulljakauma odotusarvoparametr p todellse arvo. Määrätää luottamuskertomet z / ja +z / ste, että ja Pr( z z /) Pr( z z /) jossa satuasmuuttuja z oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: z : N(0,1) Ste luottamuskertomet z / ja +z / toteuttavat ehdo Pr( z z z ) 1 / / Beroull-jakauma odotusarvoparametr p approksmatve luottamusväl luottamustasolla (1 ) o muotoa jossa p ˆ(1 p ˆ) p ˆ ˆ(1 p ˆ) p z/, pˆ z/ ˆp = odotusarvoparametr p harhato estmaattor = havatoje lukumäärä z / ja +z / = luottamustasoo (1 ) lttyvät luottamuskertomet stadardodusta ormaaljakaumasta N(0,1) Luottamusväl kostrukto perustuu she, että keskese raja-arvolausee mukaa pˆ p : pˆ(1 pˆ) / a N(0,1) Koska luottamusväl o symmetre keskpsteesä ˆp suhtee, luottamusväl estetää use muodossa 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 N(0,1)-jakauma theysfukto z / +z / pˆ z / Luottamusväl ptuus o pˆ(1 pˆ) z / pˆ(1 pˆ) Luottamusväl kostruktosta seuraa, että Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 3/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) Pr pˆ z p pˆ z 1 / / a Ste luottamusväl pettää parametr p todellse arvo approksmatvsest todeäkösyydellä (1 ) ja se e petä parametr p todellsta arvoa approksmatvsest todeäkösyydellä. Luottamusväl omasuudet () () Beroull-jakauma odotusarvoparametr p luottamusväl keskpste ˆp vahtelee otoksesta tosee. Luottamusväl ptuus vahtelee otoksesta tosee. () Luottamusväl ptuus rppuu valtusta luottamustasosta (1 ), havatoje lukumäärästä ja estmaattorsta ˆp. (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos luottamustasoa (1 ) peeetää (kasvatetaa). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos havatoje lukumäärää kasvatetaa (peeetää). (v) Luottamusväl o lyhmmllää, ku pˆ 0 ta 1 (v) Luottamusväl o psmmllää, ku pˆ 0.5 Luottamusväl frekvesstulkta Beroull-jakauma odotusarvoparametr p approksmatvsella luottamusvälllä o seuraava frekvesstulkta: () () Jos otataa jakaumasta Ber(p) tostetaa, keskmäär 100(1 ) % otokssta kostruodusta luottamusvälestä pettää parametr p todellse arvo. Jos otataa jakaumasta Ber(p) tostetaa, keskmäär 100 % otokssta kostruodusta luottamusvälestä e petä parametr p todellsta arvoa. Johtopäätökset luottamusvälstä Oletetaa, että olemme teheet johtopäätökse, että luottamusväl pettää odotusarvoparametr p todellse arvo: () () Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o okea 100(1 ) %:ssa tapauksa. Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o väärä 100 %:ssa tapauksa. Vrheellse johtopäätökse mahdollsuutta e saada hävämää, elle luottamusvälä tehdä äärettömä leveäks, jollo väl e eää ssällä formaatota odotusarvoparametr p todellsesta arvosta. Vaatmukset luottamusvällle Ols tovottavaa pystyä kostruomaa parametrlle p mahdollsmma lyhyt luottamusväl, joho lttyvä luottamustaso ols samaakasest mahdollsmma korkea. Molempe vaatmuste samaakae täyttäme e ole kutekaa mahdollsta, jos otoskoko pdetää kteää: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 33/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 () () Luottamustaso kasvattame pdetää luottamusvälä, jollo teto parametr p todellse arvo sjasta tulee epätarkemmaks. Luottamusväl lyhetäme peetää luottamustasoa, jollo teto parametr p todellse arvo sjasta tulee epävarmemmaks. Otoskoo määrääme Oletetaa, että Beroull-jakauma odotusarvoparametrlle p halutaa kostruoda luottamusväl, joka tovottu ptuus o A Tarvttava otoskoko saadaa kaavasta z / p(1 p) A Tarvttava otoskoko saavuttaa maksmsa ku z / A p 0.5 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 34/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Esmerkk 7.1. Alla o lueteltu joukko tlastollsa muuttuja. (a) (b) (c) 1. Maskode C-vtamptosuus; ykskkö: mg/100 g. Alvar aukolta kasvava kasv laj 3. Pae, joka vaadtaa teräksse sälö murtumsee; ykskkö: kg/cm 4. Suomalaste reaktot vätteesee Suome o ltyttävä NATO:o mtattua astekolla: täys er meltä, yhdetekevää, täys samaa meltä 5. Jokerede sjotus jääkekkolgassa; astekkoa 1,, 3, 6. Teekkar koulutusohjelma 7. Teekkar älykkyysosamäärä äo-psteä; ykskkö: äo-pste 8. Teekkar pstemäärä kurss 1. välkokeesta; astekkoa 0, 1,,, 4 9. Letokoee opeus; ykskkö: km/h Mtkä ovat muuttuje 1-9 mtta-astekot? Mtkä muuttujsta 1-9 ovat kvaltatvsa ja mtkä kvattatvsa? Mtkä muuttujsta 1-9 ovat dskreettejä ja mtkä jatkuva? Esmerkk 7.1. Mtä opmme? Esmerkssä 7.1. tarkastellaa tlastollste muuttuje mtta-astekollsa omasuuksa sekä tlastollste muuttuje luokttelua tosaalta kvaltatvs ja kvattatvs muuttuj ja tosaalta dskreetteh ja jatkuv muuttuj. Esmerkk 7.1. Ratkasu: (a) Laatueroastekollset muuttujat:, 6 Järjestysastekollset muuttujat: 4, 5, 7, 8 Suhdeastekollset muuttujat: 1, 3, 9 (b) Kvaltatvset muuttujat:, (4), (5), 6, (7) Kvattatvset muuttujat: 1, 3, (4), (5), (7), 8, 9 Kvaltatvste ja kvattatvste muuttuje välmaastoo sjottuvat järjestysastekollset muuttujat o merktty sulkuh. (c) Dskreett muuttujat:, 4, 5, 6, 8 Jatkuvat muuttujat: 1, 3, 7, 9 Huomautus: Muuttuja "okea" luokttelu e ole aa helppoa (muuttuja 7). Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 35/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Esmerkk 7.. Erää talo asukkalla o seuraavat tulot ( /vuos): 0100 19400 10100 3000 400 5100 800 8900 10300 6000 11400 1900 1300 14300 15800 16100 1700 18900 500 10100 1300 14000 15100 16000 11100 10800 9100 700 4300 38000 51100 9600 10900 1000 1300 15100 Määrää aestosta seuraavat tuusluvut: (a) (b) (c) mm, maksm vahteluväl, vahteluväl ptuus medaa Esmerkk 7.. Mtä opmme? Esmerkssä 7.. tarkastellaa järjestystuuslukuje määräämstä. Esmerkk 7.. Ratkasu: Kakk määrättävks pyydetyt tuusluvut ovat järjestystuuslukuja ta h perustuva tuuslukuja. Järjestetää havatoarvot suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa järjestystuuslukuje määräämstä varte: 4300 500 700 800 8900 9100 9600 10100 10100 10300 10800 10900 11100 11400 1000 1300 1900 1300 1300 14000 14300 15100 15100 15800 16000 16100 1700 18900 19400 0100 3000 400 5100 6000 38000 51100 (a) Mm ja maksm: M = 4300, Max = 51100 (b) Vahteluväl: (M, Max) = (4300, 51100) Vahteluväl ptuus: Max M = 51100 4300 = 46800 (c) Etstää havatoarvoje medaa Me. Medaa Me jakaa havatoaesto kahtee yhtä suuree osaa ste, että puolet stä havatoarvosta, jotka evät ole yhtä suura ku medaa, ovat medaaa peempä, ja puolet stä havatoarvosta, jotka evät ole yhtä suura ku medaa, ovat medaaa suurempa. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 36/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Oletetaa, että havatoarvoa o järjestetty suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. () () Jos o parto, medaaks valtaa havatoarvo, joka löytyy pakasta ( + 1)/ Jos o parlle, medaaks valtaa kahde keskmmäse havao artmeette keskarvo. Koska havatoje lukumäärä o tässä parlle, Me = (1300 + 1300)/ = 1300 Esmerkk 7.3. Muodosta esmerk 7.. aestosta luokteltu frekvessjakauma, joka luokkaväleä ovat [4000, 1000] (1000, 8000] (8000, 60000] Määrää myös frekvessjakaumaa vastaava hstogramm suorakatede korkeudet, ku luokkavälä [4000, 1000] vastaava suorakatee korkeudeks valtaa 15 ykskköä. Hahmottele hstogramm ruudullselle paperlle. Mssä luokassa o jakauma mood? Esmerkk 7.3. Mtä opmme? Esmerkssä 7.3. tarkastellaa jatkuva muuttuja havattuje arvoje luoktellu frekvessjakauma ja stä vastaava graafse estykse el hstogramm muodostamsta. Esmerkk 7.3. Ratkasu: Jatkuva muuttuja havattuje arvoje jakaumaa kuvataa luoktellulla frekvessjakaumalla. Luokteltua frekvessjakaumaa vodaa kuvata graafsest hstogrammlla. Hstogramm koostuu luoktellu frekvessjakauma luokka vastaavsta suorakatesta (elkulmosta), jode pta-alat ovat suhteessa vastaav luokkafrekvesseh. Tehtävä 7.. aestosta saadaa seuraava luokteltu frekvessjakauma, ku luokkaväleä ovat [4000, 1000], (1000, 8000], (8000, 60000] : Luokkaväl Luokkafrekvess Suorakatee korkeus (ykskköä) [4000, 1000] 15 15 (1000, 8000] 19 19/ = 9.5 (8000, 60000] /4 = 0.5 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 37/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Hstogrammkuvo suorakatede korkeukse määrääme: (1) Valtaa luokkaväl [4000, 1000] lttyvä suorakatee korkeudeks 15 ykskköä. () Luokkaväl (1000, 8000] o kaks kertaa ptkä ku luokkaväl (4000, 1000]. Sks luokkaväl (1000, 8000] lttyvä suorakatee korkeus saadaa jakamalla luokkavälä vastaava frekvess 19 luvulla. (3) Luokkaväl (8000, 60000] o eljä kertaa ptkä ku luokkaväl (4000, 1000]. Sks luokkaväl (18000, 60000] lttyvä suorakatee korkeus saadaa jakamalla luokkavälä vastaava frekvess luvulla 4. Alla oleva kuvo esttää yo. luokteltua frekvessjakaumaa vastaavaa hstogramma. 15 f/ 10 5 0 4000 1000 8000 60000 Jakauma mood o luokassa (4000, 1000], koska sä hstogramm saavuttaa maksmsa. Huomaa, että mood e ole luokassa (1000, 8000], vakka stä vastaava frekvess o suur. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 38/57
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Huomautuksa: () () Hstogramm suorakatede (elkulmode) pta-alat evät ss korkeudet ovat suhteessa luokkafrekvesseh. Hstogrammssa suorakatede korkeudet ovat suhteessa luokkafrekvesseh va, jos luoktus o tasaväle. () Okea laatu pystyaksellle o tehtävä 8.3. tapauksessa frekvess/ : Vaaka-aksel laatu: Pystyaksel laatu: Tällö suorakatee pta-ala: frekvess/ frekvess/ = frekvess Esmerkk 7.4. Määrää esmerk 7.. aesto kahde esmmäse sarakkee 8:sta luvusta artmeette keskarvo, otosvarass ja otoshajota. Esmerkk 7.4. Mtä opmme? Esmerkssä 7.4. tarkastellaa havatoarvoje artmeettse keskarvo, otosvarass ja otoshajoa määräämstä. Esmerkk 7.4. Ratkasu: Laskutomtukset vodaa suorttaa kahdella tavalla. Tapa 1: Tapa : 1 x 1 1 sx x x 1 s x 1 x s x s x 1 s x x 1 x 1 1 sx x x 1 1 1 Jos havatoarvoje artmeettse keskarvo ja varass laskemsta varte laadtaa tetokoeohjelma, laskutomtukset vodaa järjestää laskutavassa, että havaot käydää läp va kerra, ku taas laskutavassa 1 havaot o käytävä läp kaks kertaa. Se sjaa laskutava 1 kaavat ovat umeersest vakaampa ku laskutavassa. Tehtävä lopussa o kopo laskutomtuste tekemsessä apua käytetystä Mcrosoft Excel -taulukosta. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (013) 39/57