Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A = m A j inf A = min A, kun A = {f() ], [ }. Yllä inf A min A j sup A m A trkoittvt, että min A j m A eivät ole olemss. Tässä tehtävässä ei trvitse nt täsmällistä perustelu, että infimum j supremum toteuttvt vditut ehdot. Esimerkiksi funktion kuvjn tukeutuv perustelu on riittävä.. Todist monisteen luse.6. 3. Todist monisteen luse.7. 4. Arvioi ylä- j lsummi käyttämällä funktion { + 3, kun <, f() = 4, kun, kuvjn j -kselin väliin jäävän lueen pint-l välillä [, ], kun jko on tsvälinen j osvälien lukumäärä n = 4. 5. Ann jokin välin [, ] jko, jok sisältää porrsfunktion f() = + + porrspisteet välillä [, ]. 6. Olkoot f j g välin [, b] porrsfunktioit. Osoit, että myös fg on välin [, b] porrsfunktio. 7. Määritä porrsfunktion integrli yli välin [, 3]. f() = + + 8. Ann esimerkki sellisest välillä [, 4] määritellystä porrsfunktiost f, että f = 4, 3 f = 5 j f =.
9. Trkstelln funktiot f() = +. Ann esimerkki sellisest välillä [, 3] määritellystä porrsfunktiost g, että g f j 3 g = 3.. Olkoot f : [, b] R j g : [, b] R sellisi porrsfunktioit, että f j g M (M R). Osoit, että fg M f.. Ann esimerkki sellisist välin [, 4] porrsfunktioist f j g, että g 3 j fg > 3 f.. Osoit todeksi ti (vstesimerkillä) epätodeksi, että jos g j h ovt välin [, b] porrsfunktioit j g h, niin g h välillä [, b]. 3. Ann esimerkki sellisest funktiost f, että I L (f, [, ]) = j I U (f, [, ]) = 3. 4. Ann esimerkki sellisist funktioist f j g, että I L (f, [, 5]) + I L (g, [, 5]) < I L (f + g, [, 5]). Tässä tehtävässä lintegrlien rvoj ei trvitse perustell täsmällisesti. Esimerkiksi funktioiden kuvjiin ti monisteen esimerkkeihin tukeutuv perustelu on riittävä. 5. Osoit Riemnnin ehto käyttäen, että funktio f() = on Riemnn-integroituv välillä [, ] j Lusett.3 voi käyttää. f() d =.
6. Olkoon f() =. Ann esimerkki sellisist välillä [, 4] määritellyistä porrsfunktioist g j h, että g f h j h g. 7. Todist, että jos funktio f : [, b] R on vähenevä, niin f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. 8. Olkoon f : [, b] R sellinen funktio, että f svutt jokisell välin [, b] suljetull osvälillä suurimmn j pienimmän rvons j että f() f(y) 5 y in, kun, y [, b]. Todist Riemnnin ehto käyttäen, että f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. 9. Olkoon f : [, 5] R, f() = + j P = {,, 4, 5}. Lske Riemnnin summ S P (f, ξ), kun () ξ =, ξ = 3 j ξ 3 = 5, (b) ξ =, ξ = j ξ 3 = 4.. Olkoon f() = j S P (f, ξ) jokin välin [, 6] jko P = {,, 3, 6} vstv Riemnnin summ. Onko mhdollist, että S P (f, ξ) =?. Osoit, että jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin vstvsti funktio g() = f( c) on Riemnn-integroituv välillä [ + c, b + c] j f() d = b+c +c g() d. Vihje: Jokist välin [, b] jko {,,..., n } vst välin [ + c, b + c] jko { + c, + c,..., n + c}.. Olkoon f : [, ] R, f() = { 3, kun Q,, kun R \ Q, j S P (f, ξ) funktion f välin [, ] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Osoit rjrvon määritelmään perustuen, että rj-rvo ei ole olemss. S P (f, ξ) P
3. Olkoon f välillä [, b] rjoitettu funktio j S P (f, ξ) funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Onko mhdollist, että S P (f, ξ) =? P 4. Olkoon S P (f, ξ) funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ j f sellinen funktio, että f ei ole ylhäältä rjoitettu välillä [, b]. Osoit, että rj-rvo ei ole olemss. S P (f, ξ) P 5. Tiedetään, että f = 5, f = j 5 f =. Määritä () 5 f, (b) f, (c) f. 6. Osoit, että e 5 e d e. Vihje: Viikkohrjoitusten 3 tehtävä. 7. Osoit, että e e + e e log ( + ) d e. 8. Olkoon f : [, 4] R sellinen jtkuv funktio, että f()g() d = kikille välin [, 4] porrsfunktioille g. Todist, että f() = kikill [, 4]. 9. Määritä integrlilskennn välirvoluseen vull + 3 sin() Riemnnin summn määritelmä on tässä tehtävässä ljennettu koskemn myös rjoittmttomi funktioit. d.
3. Osoit integrlilskennn välirvolusett käyttäen, että 3 < 9 + d <. 3. Osoit yleistettyä integrlilskennn välirvolusett käyttäen, että 4 d 4 4 3. Vihje: = ( )/. Voit olett tunnetuksi, että ( ) d = 4. 3. Olkoon j c [, ]. Määritä f() = {, kun <,, kun, G() = f(t) dt, [, ]. c 33. Osoit, että jos funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv j f() kikill [, b], niin funktio G() = f(t) dt (c [, b]) c on ksvv välillä [, b]. 34. Derivoi funktio F : R R, kun () F () = sin t dt, (b) F () = sin dt, (c) F () = sin dt. 35. Määritä rj-rvo rc tn t dt. t
36. Osoit, että funktio on idosti ksvv, kun >. F () = log t dt 37. Määritä funktion 3 F () = (t )e t dt piklliset äärirvokohdt j äärirvojen ltu. 38. Olkoon f : [, b] R sellinen funktio, että f() = j f on jtkuv välillä [, b]. Osoit, että (b ) (f ()) d M, missä M = sup{f() b}. Vihje: Cuchy-Schwrzin epäyhtälö. 39. Määritä n n n sin k= Vihje: Monisteen esimerkki 3. (s. 5). (k )π. n 4. Määritä n n n k= ( + k n) 5.