Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa

Transkriptio

1 Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Mtemtiikn pro grdu -tutkielm Mikko Huttunen Helsingin yliopisto 14. mliskuut 2013

2 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Mikko Huttunen Työn nimi Arbetets titel Title Mtemtiikn j tilstotieteen litos Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Oppiine Läroämne Subject Mtemtiikk Työn lji Arbetets rt Level Aik Dtum Month nd yer Sivumäärä Sidontl Number of pges Pro grdu -tutkielm Mliskuu s. Tiivistelmä Refert Abstrct Integrlilskent on yksi mtemtiikn kulmkivistä. Lukioss sitä opetetn osn pitkää mtemtiikk, joss sille on vrttu om yksittäinen kurssins. Tutkielmn Luvuss 1 tutustutn lkuun, miten integrlilskent esiintyy lukion opetussuunnitelmn perusteiss, jonk jälkeen Luvuss 2 esitellään lyhyesti erilisi oppimiskäsityksiä. Edelleen Luvuss 3 trkstelln opetussuunnitelmn perusteiss esiintyvien keskeisten käsitteiden määritelmiä j niihin liittyvää teori. Tutkielmn päätrkoitus on nlysoid lukion pitkän mtemtiikn oppikirjsrjoj integrlilskennn oslt. Luvuss 4 tutkitnkin toislt kirjsrjojen erovisuuksi j toislt suhdett opetussuunnitelmn perusteisiin j Luvuss 3 nnettuihin keskeisiin käsitteisiin. Lopuksi Luvuss 5 tehdään lyhyt yhteenveto. Integrlilskent rkentuu khden peruskäsitteen, integrlifunktion eli määräämättömän integrlin j määrätyn integrlin eli Riemnnin integrlin vrn. Integrlifunktioit etsittäessä eli integroitess määritetään ne funktiot, joiden derivttfunktio trksteltvll relilukuvälillä tunnetn. Määrätty integrli puolestn on lähtöisin pyrkimyksestä määrittää epänegtiivisen, jtkuvn funktion käyrän kren j x-kselin väliin jäävän lueen pint-l suljetull relilukuvälillä. Tällist luett voidn rvioid suorkulmioill jkmll trksteltv väli osväleihin j vlitsemll kultkin osväliltä sitten mielivltinen piste, joss lsketn funktion rvo. Kun nyt ensin lsketn osvälin j edellä sdun funktion rvon tulo jokisell osvälillä j sitten summtn näin sdut tulot yhteen, niin sdn erään suorkulmioist koostuvn monikulmion pint-l. Kun sitten ksvtetn osvälien lukumäärää siten, että smll pisimmän osvälin pituus lähenee noll, niin hvitn geometrisesti, että sdn mielivltisen trksti edellä trksteltvn funktion j x-kselin välistä luett myötäilevän monikulmion pint-l. Jos vstvn rj-rvoon päädytään millä thns joll, joss pisimmän osvälin pituus lähenee noll j mielivltisell jonoll, joss funktion rvot lsketn, niin snotn, että funktio on integroituv j edellä stu rj-rvo on funktion Riemnnin integrli yli trksteltvn välin. Määritelmä nnetn usein suljetull välillä rjoitetulle funktiolle. Määritelmä voidn nt yhtäpitävästi niin snottujen lj yläsummien vull, kuten tutkielmn Luvuss 3 tehdään. Anlyysin perusluse kertoo, että suljetull välillä jtkuvn funktion Riemnnin integrli on yhtä suuri kuin trksteltvn funktion jonkin integrlifunktion välin loppu- j lkupisteessä smien rvojen erotus. Edellä sdut käsitteet esiintyvät myös lukion integrlilskennss. Oppikirjsrjt käsittelevät määräämätöntä integrli kutkuinkin smll tvll kuin yllä, mutt määrätyn integrlin esittelyssä on eroj: esimerkiksi kirjsrjt Pitkä mtemtiikk j Ludtur ntvt määrätyn integrlin määritelmän Anlyysin perusluseen, kun ts Mtemtiikn tito, Pyrmidi j Lukion Clculus käyttävät yllä kuvtun kltist lähestymistp. Kirjsrjoiss on muutenkin pljon erovisuuksi: esimerkiksi Mtemtiikn tito j Pyrmidi ovt muit huomttvsti teoreettisempi j käyttävät pljon enemmän yliopistomtemtiikn kltist nottiot. Kikki kirjsrjt vstvt kuitenkin opetussuunnitelmn perusteiss setettuihin oppimistvoitteisiin j keskeisiin sisältöihin. Avinsnt Nyckelord Keywords Integrlilskent, Lukion opetussuunnitelmn perusteet, Integrlifunktio, Määrätty integrli Säilytyspikk Förvringsställe Where deposited Sähköinen rkisto Held Muit tietoj Övrig uppgifter Additionl informtion

3 Sisältö Johdnto 1 1 Integrlilskent lukion opetussuunnitelmn perusteiss Lukion opetussuunnitelmn perusteet Oppimistvoitteet j keskeiset sisällöt Erilisi oppimiskäsityksiä Behviorismi Kokemuksellinen oppiminen Kognitiivinen oppimiskäsitys Konstruktivismi Tietämisen eri muodot Integrlilskennn käsitteistä Integrlifunktio Integrointi Osittisintegrointi Integrointi sijoituksell Murtofunktion integroiminen Määrätty integrli Välin jko, ylä- j lsummt, Riemnnin integrli Riemnnin summt Riemnnin integrlin perusominisuuksi Jtkuvn funktion integroituvuus Riemnnin integrlin j integrlifunktion yhteys Määrätyn integrlin lskeminen Määrätyn integrlin osittisintegrointi Määrätyn integrlin lskeminen sijoituksell Numeerinen integrointi Epäoleellinen integrli Määrätty integrli yli rjoittmttomn välin Rjoittmttomn funktion määrätty integrli Suppenemistesteistä Integrlin sovelluksi Tsojoukon pint-l Tilvuus Käyrän kren pituus Toinen näkökulm integrleihin Jtkuvt todennäköisyysjkumt

4 4 Integrlilskennst lukion oppikirjoiss Yleisiä huomioit Suhde lukion opetussuunnitelmn perusteisiin Integrlilskent Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi Oppimterilin struktuuri pedgogiselt knnlt Yleiset oppimistvoitteet j keskeiset sisällöt Motivointi Esimerkit Hrjoitustehtävät Eriyttäminen Teksti oppimisen knnlt Oppimiskäsitys Lopuksi 88 Viitteet 89 3

5 Johdnto Tämä tutkielm käsittelee nimensä mukisesti integrlilskent lukioss j lukion oppikirjsrjoiss. Luvuss 1 tutustutn lkuun lukion opetussuunnitelmn perusteisiin, erityisesti siltä osin, mitä opetussuunnitelmn perusteet snovt integrlilskennst lukioss. Tutkielmn pääkohtn on Luvuss 4 tehtävä oppikirj-nlyysi. Anlyysissä on viiden, lukioiss vltkunnllisesti käytettävän, pitkän mtemtiikn oppikirjsrjn kurssej Integrlilskent, Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä sekä Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi vrten kirjoitetut oppikirjt, siis yhteensä 15 teost. Khden jälkimmäisen kurssin oslt rjoitutn luonnollisesti trkstelemn vin teosten integrlilskent koskevi osi. Oppikirj-nlyysissä keskitytään muun muss kirjojen lähestymistpojen j sisältöjen nlysointiin sekä erityisesti siihen, kuink oppikirjt kohtvt lukion opetussuunnitelmn perusteiss setetut oppimistvoitteet j keskeiset sisällöt. Oppimterilin struktuurin pedgogist nlysointi vrten Luvuss 2 tutustutn lyhyesti erilisiin oppimiskäsityksiin. Huomiot kiinnitetään erityisesti siihen, kuink uusiin käsitteisiin päästään j miten ne linkittyvät ikisempiin käsitteisiin j opiskelijn iempn tietoon. Trkstelun kohtein ovt muun muss opiskelijn motivointi, kirjojen esimerkit j hrjoitustehtävät. Kirjojen mtemttisen sisällön oslt kiinnitetään huomiot erityisesti mtemttisten käsitteiden määritelmiin, käytettyihin merkintöihin, bstrktiotsoon j esityksen täsmällisyyteen. Anlysointi vrten Luvuss 3 esitetään opetussuunnitelmn perusteiss esiintyvien keskeisimpien käsitteiden määritelmiä j teori. Tämän teoriluvun käsitteiden määritelmät pohjutuvt yliopistomtemtiikkn, lähteinä käytetään muun muss teoksi [1], [20], [24] j [28]. Luvut 1, 2 j 3 yhdessä muodostvt tutkielmn teoreettisen viitekehyksen. Tutkielmn trkoituksen ei ole kuitenkn sett oppikirjoj premmuusjärjestykseen, vn tutki oppikirjojen erovisuuksi j suhdett opetussuunnitelmn perusteisiin. Luku 3 voi soveltuvin osin käyttää kertvn j syventävänä mterilin lukioss ti mhdollisesti korkekouluiss kertustrkoituksess. Lukijlt edellytetään pohjtietoin nlyysin perusteit differentililskennn oslt. Lukuun 3 soveltuvi hyviä hrjoitustehtäviä löytyy muun muss teoksest [28]. Tutkielm päättyy yhteenveto- j pohdintlukuun 5. Integrlilskennn voidn hyvällä syyllä sno olevn yksi mtemtiikn kulmkivistä, sillä sen käsitteistö j menetelmät muodostvt perustn useiden luonnontieteissä j tekniikss esiintyvien ongelmien nlysoinnille, 1

6 mllintmiselle j rtkisemiselle. Integrlilskennn perusidet hhmottuivt jo ntiikin ikoin, mutt muun muss Isc Newton j Gottfried Wilhelm Leibniz seurjineen kehittivät integrlilskent j luvuill suunnilleen tässä tutkielmss esitettävään muotoon. Integrlilskennn perusteiden ymmärtämisen voidn ktso kuuluvn mtemttiseen yleissivistykseen j siksi myös osksi lukion mtemtiikn oppimäärää. Lukioss integrlilskent on opetettu 1900-luvun puolivälistä lähtien. [25, s.3], [26, s.3] 2

7 1 Integrlilskent lukion opetussuunnitelmn perusteiss Tässä kppleess tutustutn lukion opetussuunnitelmn perusteisiin j erityisesti siihen, mitä opetussuunnitelmn perusteet snovt integrlilskennst lukioss. Keskeisessä semss ovt opetussuunnitelmn opiskelijlle settmt tvoiteet j kurssin keskeiset sisällöt. 1.1 Lukion opetussuunnitelmn perusteet Lukio-opinnot koostuvt pkollisist, syventävistä j soveltvist kursseist vltioneuvoston setuksen (ks. esim. [2, LIITE 3]) mukisesti. Vltkunnllisten pkollisten j syventävien kurssien lisäksi lukioiss voidn trjot ylimääräisiä syventäviä j soveltvi kurssej. Syventävät kurssit liittyvät pääsiss pkollisiin kursseihin soveltvien kurssien olless enemmän eheyttäviä kurssej, jotk mhdollisesti sisältävät ineksi eri oppiineist. Soveltvt kurssit voivt oll myös menetelmäkurssej tikk smn ti muun koulutuksen järjestäjän trjomi mmtillisi opintoj ti lukion tehtävään muuten soveltuvi muit opintoj. [2, s.15] Lukioiss käytettävät kunt- ti lukiokohtiset opetussuunnitelmt lditn vltkunnllisiin lukion opetussuunnitelmn perusteisiin [2] perustuen. Opetussuunnitelm ldittess otetn huomioon lukion toimintympäristö, piklliset rvovlinnt j osmisvhvuudet, esimerkiksi mtemtiikklukioss trjotn usempi syventäviä kurssej kuin vltkunnllisesti. Opetussuunnitelmn tulee sisältää kikkien kurssien tvoitteet j sisällöt j se täydentää sekä täsmentää opetussuunnitelmn perusteiss esitettyjä keskeisiä tvoitteit j sisältöjä. Opetus lukioiss järjestetään opetussuunnitelmn pohjlt. Tässä tutkielmss keskitytään kuitenkin siihen, miten integrlilskent esiintyy vltkunnllisiss lukion opetussuunnitelmn perusteiss. Nykyisin käytössä olevt lukion opetussuunnitelmn perusteet ovt vuodelt 2003 j niitä on tullut noudtt lken. Lukion mtemtiikk jetn lyhyeen j pitkään mtemtiikkn. Pitkässä mtemtiikss on kymmenen pkollist kurssi j kolme vltkunnllist syventävää kurssi. Integrlilskent lukioss esiintyy osn pitkää mtemtiikk, sen pkollisess kurssiss 10, Integrlilskent, sekä syventävissä kursseiss 12, Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä, j 13, Differentilij integrlilskennn jtkokurssi. 3

8 1.2 Oppimistvoitteet j keskeiset sisällöt Lukion opetussuunnitelmn perusteiss todetn pitkän mtemtiikn oppimistvoitteiden j opetuksen keskeisten sisältöjen kohdll yleisesti muun muss seurv [2, s.118]: Mtemtiikn pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on nt opiskelijlle mtemttiset vlmiudet, joit trvitn mmtillisiss opinnoiss j korkekouluopinnoiss. Mtemtiikn opetustilnteet tulee järjestää siten, että ne herättävät opiskelijn tekemään hvintojens pohjlt kysymyksiä, oletuksi j päätelmiä sekä perustelemn niitä. Tvoitteen on rohkist opiskelij kokeilevn j tutkivn toimintn, rtkisujen keksimiseen sekä niiden kriittiseen rviointiin. Opiskelij ohjtn hhmottmn mtemttisten käsitteiden merkityksiä j tunnistmn, kuink ne liittyvät ljempiin kokonisuuksiin. Tvoitteen on, että opiskelij oppii näkemään mtemttisen tiedon loogisen rkenteen j oppii rvostmn esityksen täsmällisyyttä sekä käyttämään mtemtiikn kieltä j seurmn mtemttist tekstiä ti esitystä. Opetuksess tutkitn mtemtiikn j rkielämän välisiä yheyksiä trjomll opiskelijlle selkeä käsitys mtemtiikn merkityksestä yhteiskunnn kehityksessä sovellusmhdollisuuksineen. Eräänä tvoitteen on hrjnnutt opiskelij mllintmn käytännön ongelmtilnteit sekä hyödyntämään erilisi rtkisustrtegioit. Tvoitteen on myös, että opiskelij oppii käyttämään teknisiä puvälineitä j tietolähteitä opiskeluns tuken. Kurssikuvusten väljyyttä voidn käyttää resurssien slliess keskeisten sisältöjen syventämiseen j eheyttävien kokonisuuksien muodostmiseen. Kurssin Integrlilskent tvoitteet kuvtn seurvsti [2, s.123]: Tvoitteen on, että opiskelij ymmärtää integrlifunktion käsitteen j oppii määrittämään lkeisfunktioiden integrlifunktioit, ymmärtää määrätyn integrlin käsitteen j sen yhteyden pint-ln, 4

9 oppii määrittämään pint-loj j tilvuuksi määrätyn integrlin vull, perehtyy integrlilskennn sovelluksiin. Kurssin keskeisiksi sisällöiksi setetn: integrlifunktio, lkeisfunktioiden integrlifunktiot, määrätty integrli, pint-ln j tilvuuden lskeminen. Kurssin Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä tvoittein [2, s.124] puolestn on, että opiskelij oppii ymmärtämään bsoluuttisen j suhteellisen virheen käsitteet j niiden vull likirvolskujen trkkuutt koskevt säännöt peruslskutoimitusten tpuksess, ymmärtää iteroinnin käsitteen j oppii rtkisemn yhtälöitä numeerisesti, oppii tutkimn polynomien jollisuutt j määrittämään polynomin tekijät, oppii lgoritmist jttelu, hrjntuu käyttämään nykyikisi mtemttisi välineitä, oppii määrittämään numeerisesti muutosnopeutt j pint-l. Keskeisiksi sisällöiksi setetn: bsoluuttinen j suhteellinen virhe, Newtonin menetelmä j iterointi, polynomien jkolgoritmi, polynomien jkoyhtälö, muutosnopeus j pint-l. Vielä kurssin Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi tvoittein [2, s.124] on, että opiskelij 5

10 syventää differentili- j integrlilskennn teoreettisten perusteiden tuntemustn, täydentää integrlilskennn titojn j sovelt niitä muun muss jtkuvien todennäköisyysjkumien tutkimiseen, tutkii lukujonon rj-rvo, srjoj j niiden summi. Keskeisiksi sisällöiksi setetn: funktion jtkuvuuden j derivoituvuuden tutkiminen, jtkuvien j derivoituvien funktioiden yleisiä ominisuuksi, funktioiden j lukujonojen rj-rvot äärettömyydessä, epäoleelliset integrlit. Edellä olevist pitkän mtemtiikn yleisistä tvoitteist huokuu nykyikinen oppimiskäsitys, joss opiskelij nähdään ktiivisen tiedon rkentjn. Opetussuunnitelmn perusteiden kolmnness luvuss Opetuksen toteuttminen [2, s.14] todetnkin, että opetussuunnitelmn perusteet pohjutuvt oppimiskäsitykseen, jonk mukn oppiminen on seurust opiskelijn ktiivisest j tvoitteellisest toiminnst, joss hän vuorovikutuksess muiden opiskelijoiden, opettjn j ympäristön knss j iempien tietorkenteidens pohjlt käsittelee j tulkitsee vstnottmns informtiot. Uusi tieto rkentuu siis suhteess iempn tietoon. Lisäksi opiskelumuotojen tulisi oll mhdollisimmn monipuolisi j siten opiskelijoiden yksilöllisyyden huomioon ottvi. 6

11 2 Erilisi oppimiskäsityksiä Trkstelln seurvksi erilisi oppimiskäsityksiä oppikirj-nlyysiä vrten. Lähteet [31], [32] j [3] löytyvät verkost. 2.1 Behviorismi Behvioristinen oppimiskäsitys syntyi 1910-luvull. Sen juuret ovt luonnontieteellisessä jtteluss. Ihmisen j eläimen oppiminen nähdään smnkltisen. Tieto milmst sdn kokemusten j istihvintojen kutt. Oppij on tyhjä tulu, johon kokemukset jättävät jälkensä. Behviorismin pedgogisi peritteit ovt: vhvistminen, välitön plute, opetettvn ineksen pieniin osiin pilkkominen, virheellisten vstusten nope sivuuttminen. Opetus keskittyy tietojen j titojen ulkoiseen ohjukseen. Oppijn vlmiuksi jtell j ymmärtää opittvi sioit itsenäisesti ei tuet. Toivotust käyttäytymisestä plkitn, ei-toivottu käyttäytymistä heikennetään rngistuksill. 2.2 Kokemuksellinen oppiminen Kokemuksellisess oppimisess oppimisen ktsotn pohjutuvn oppijn kokemuksiin j itsereflektioon eli kykyyn rvioid om oppimistn uuden oppimisen pohjksi. Tvoitteen on itsensä toteuttminen j minän ksvu. Oppimiseen liittyy myös motivtio, vp thto j vstuu. Kokemuksellinen oppiminen käyttää hyväksi eri istiknvi, tunteit, mielikuvi, ylipäätään kokemuksi. Oppiminen on jtkuv tiedon syventämistä j ymmärtämistä, omn tietämisen rkentmist. Oppiminen on kokemusten muuttumist j ljentumist. Kokemukselliseen oppimiskäsitykseen olennisen osn kuuluu, että pohditn oppijn knss yhdessä oppimistvoitteit j keskeisiä sisältöjä, lähdetään liikkeelle oppijn kokemuksist, tuetn oppijn ksvu j itseohjutuvuutt. Opettj nähdään oppimisen tukijn. 2.3 Kognitiivinen oppimiskäsitys Kognitiivinen oppimiskäsitys si lkuns 1960-luvun luss, kun ulkoisen sijn lettiin kiinnittää huomiot ihmismielen sisäisiin ilmiöihin, kognitiivisiin prosesseihin, kuten jtteluun, muistiin j kieleen. Oppiminen nähdään tiedon ktiivisen prosessointin j oppijn om toimint on keskeistä. Tiedon ei siis enää nähty olevn smnlinen pysyvä kokonisuus, jok voitisiin siirtää oppijlle tietyin proseduurein. Tosin pinopiste tutkimuksiss on 7

12 viime vuosin siirtynyt yksilöllisen tiedonrkennusprosessien semst oppimisen yhteisöllisen prosessin eli jetun kognition tutkimiseen. Oppimisen ktsotn lkvn käytännön elämän ongelmist j ristiriidoist. Oppijn mielessä syntyy tiedollinen ristiriit, kun hänen iemmt tietons j titons eivät riitäkään kohdtun tilnteen hllitsemiseen. Tällöin oppij pyrkii rtkisemn ristiriidn joko hnkkimll uutt tieto (kutsutn ssimiltioksi) ti hän järjestää vnhn tietons uudell tvll (snotn kkommodtioksi). Oppimisen tuloksen nähdään olevn jäsentyneitä jtuksi j selittäviä peritteit, joist sitten muodostuu oppijlle toimint ohjvi sisäisiä mllej eli skeemoj. Uuden tiedon omksuminen on siis riippuvinen iemmst tiedost. Kosk skeemojen ktsotn näyttelevän tärkeää os oppimisess, voi oll hyödyllistä krtoitt oppijoiden skeemoj kunnoll j opett uutt vnhojen skeemojen pohjlt. Oppijn metkognitiivisten titojen kehittäminen nähdään merkityksellisenä. Metkognitiivisill tidoill trkoitetn omn oppimisen rviointi, rviointi siitä, miten oppii j miten voi kehittää oppimistn. Opetus nähdään oppimisen systemttisen ohjmisen, jonk pyrkimyksenä on sd oppijss ikn itsenäistä jttelu j pohdint, jonk vull ymmärretään j opitn. Opetuksen tvoitteet setetn väljästi j niissä pyritään opetuskokonisuuksiin pikkutrkkojen yksityiskohtien määrittelemisen sijst. Opetusmetodit ovt oppijkeskeisiä, pri- ti ryhmätöitä j projektej. 2.4 Konstruktivismi Konstruktivismi pohjutuu pitkälti kognitiiviseen oppimiskäsitykseen. Oppiminen nähdään ktiivisen tiedon rkentmisen prosessin. Oppijn iemmt tiedot, käsitykset j kokemukset opittvst sist säätelevät sitä, mitä hän sist hvitsee j miten sitä tulkitsee. Tärkeää on, että oppijss herää omiksi koetut, opittvn sin liittyvät kysymykset. Tällöin olennist on om kokeilu j ongelmnrtkisu. Ymmärtämisen pinottmisen koetn edistävän mielekästä tiedon jäsentämistä. Konstruktioprosessiss syntyvän tietorkenteen jäsentyneisyyden j monipuolisuuden puolestn ktsotn vikuttvn tiedon käyttöön tuleviss tilnteiss. Oppiminen on kuitenkin tilnnesidonnist. Metkognitiiviset tidot ovt jälleen keskeisessä semss. Subjektiivisist kokemuksist syntyy objektiivist tieto sosilisen vuorovikutuksen j oppijoiden yhteistoiminnllisuuden kutt. Opetuksen j opetussuunnitelmien tulisi oll joustvi j ott huomioon niin oppijn vlmiudet kuin tiedon suhteellisuuskin. Smoin oppimisen rvioinnin tulisi oll monipuolist j pinott ymmärtävää oppimist. Konstruktivismill on useit eri suuntuksi, kuten rdikli konstrukti- 8

13 vismi, sosiokognitiivinen konstruktivismi sekä sosiokulturlinen konstruktivismi. Rdikliss konstruktivismiss tiedon nähdään olevn inutkertist j olemss vin yksilötsoll. Sosiokognitiivinen konstruktivismi ts korost yksilön osuutt tiedon rkentmisprosessiss, mutt sosilist vuorovikutust pidetään yksilön oppimiselle j tiedon konstruoinnille välttämättömänä. Sosiokulturlinen konstruktivismi puolestn korost yhteisöllisyyden j kulttuurin jtkmisen merkitystä oppimisprosessin päämääränä. Yhteisön vuorovikutukseen osllistumist pidetään oppimisen keskeisenä meknismin. Viime ikisiss tutkimuksiss on keskitytty sintuntijuuden tutkimiseen. Asintuntijll nähdään olevn monipuolinen, hyvin jäsentynyt tietorkenne. Erityisesti verkostoitunutt sintuntijuutt on tutkittu. Siinä sintuntijuus nähdään sosilisen ilmiönä j sintuntijuus on kulttuuriin j yhteisöllisiin tiedonluomisprosesseihin osllistumist. Asintuntijuutt ei trkstell yksilön ominisuuten, vn yksilön, yhteisön sekä kulttuurin välisen vuorovikutuksen tuotteen. Asintuntijyhteisöllä on om kulttuurins, joll on sille tyypillinen kieli, terminologi, toiminttvt sekä työvälineet. Yksittäisen sintuntijn toimint ruokkii sintuntijyhteisön kehitystä j toimint, mutt toislt sintuntijyhteisön tieto luov toimint s ikn muutoksi yksilön osmisess. Kosk oppijn jttelun ktiivisuus on erittäin tärkeää ldukkn oppimisen knnlt, on opettjn roolin oppimisprosesiss luod puitteet j toimi toiminnn ohjjn trjoten smll hstvi j mielenkiintoisi projektej, jott oppijn ktiivisuus j motivtio pysyvät yllä. Tutkimus on osoittnut, että oppijn knnustminen ymmärtämään opittv si lisää oppijn motivtiot, jonk puolestn on todettu olevn merkityksellistä oppimisen knnlt. Opetettv tieto tulisi kytkeä useisiin konteksteihin j sitä tulisi käsitellä monest eri näkökulmst. Näin oppijn tietorkenteisiin kehittyy monipuolisi kytkentöjä opiskeltuihin sioihin. Fktpinotteisen esitystvn sijn on luonnollist pyrkiä suosimn jossin määrin ongelmkeskeistä opetust. Ongelmkeskeinen oppiminen perustuu jtukselle oppimisen tilnnesidonnisuudest. Sen mukn opittvlle sisällölle svutetn prempi käyttörvo, jos oppiminen tphtuu itoj tosielämän ongelmi rtkomll eikä pelkkästään iheen teoreettiseen käsittelyn yhteydessä. Ongelmkeskeisellä oppimisell on todettu olevn toivottvi vikutuksi opiskeltvn sin ymmärtämiseen j sisällön liittämiseen iempiin tietorkenteisiin. Smll kehittyvät myös ongelmnrtkisutidot j metkognitiiviset tidot. Ongelmkeskeisen oppimisen viheit ovt muun muss seurvt: ongelmn esittäminen, ongelmn nlysointi j määritteleminen, olemss olevn tiedon krtoittminen, jtkoselvittelyjen j tiedonhnkinnn trpeen määrittely, tiedon etsiminen j muiden ryhmien konsultointi, 9

14 rtkisuvihtoehtojen hhmottelu, loppupäätelmien j nlyysin teko sekä rportointi. Konstruktivistisess koulutusprosessiss opetussuunnitelmn kirjtn vin keskeiset tvoitteet j idet. Hyvän opettjuuden edellytys on tito luod sellisi oppimisympäristöjä, jotk herättävät oppijss kysymyksiä j uttvt häntä konstruoimn vstuksi smll ymmärtäen, mihin olln pyrkimässä. Keskeisessä semss on oppimn oppimisen vlmiuksien oppiminen. 2.5 Tietämisen eri muodot Ihmisen tietoperust sisältää monenlist tieto. Mtemttinen tieto voidn jk khteen osn: prosedurliseen j konseptuliseen tietoon. Prosedurlinen tieto pitää sisällään tidon käyttää opertioit j lgoritmej. Tällinen tieto utomtisoituu hrjoittelemll lskemist, jolloin sdn lskurutiini. Konseptulinen tieto puolestn koostuu käsitteiden sekä niiden välisten suhteitten ymmärtämisestä j tidost sovelt käsitteitä eri siyhteyksiin. Tällist tieto ei void oppi ulko opettelemll, vn se ksv vähitellen käsitteiden merkityksiä sisäistämällä omien päättely- j jtteluprosessien myötä. Useimpien sioiden hllitseminen vtii sekä prosedurlist että konseptulist tieto. Esimerkiksi derivtt on käsitteenä konseptuliseen tietoon kuuluv, mutt kun tiedetään, miten derivoidn, tieto on prosedurlist. 10

15 3 Integrlilskennn käsitteistä Tässä luvuss tutustutn trkemmin lukion opetussuunnitelmn perusteiss integrlilskennlle setettujen oppimistvoitteiden j keskeisten sisältöjen kohdll esiintyvien keskeisimpien käsitteiden määritelmiin j niihin liittyvään teorin. Määritelmien pääsillisin lähteinä käytetään muun muss Helsingin j Turun yliopistoiss luennoitvn kurssin Anlyysi II luentomonisteit [20] j [24] sekä teost [28]. Integrlilskennn peruskäsitteet ovt integrlifunktio j määrätty integrli. Integrlifunktion käsite esitetään ennen määrätyn integrlin käsitettä, vikk historillisesti määrätty integrli on vnhempi [21, s.185]. Tähän esitysjärjestykseen on päädytty, sillä monet lukion oppikirjt käyvät käsitteet läpi juuri kyseisessä järjestyksessä, kuten Luvuss 4 tulln huommn. Luvun 4 oppikirj-nlyysissä tutkitn muun muss, miten tämän luvun käsitteet esiintyvät lukion eri oppikirjoiss. Pääpino oppikirjnlyysissä on peruskäsitteiden kohdll. Integrlifunktion j määrätyn integrlin käsittelyn yhteydessä on pyritty näiden khden peruskäsitteen oslt mtemttisesti täsmälliseen teorin. Sen sijn esimerkiksi määrätyn integrlin sovellusten yhteydessä tyydytään hvinnollisempn esitystpn. Myös numeerisen integroinnin j jtkuvien todennäköisyysjkumien käsittely jätetään mininnn tsolle. 3.1 Integrlifunktio Aloitetn ntmll integrlifunktion määritelmä. Määritelmä Olkoon f : I R funktio, missä joukko I R on väli. Funktio F : I R on funktion f integrlifunktio, jos kikill x I. F (x) = f(x) Funktiot f snotn integrlifunktion F integrndiksi. Integrlifunktiost käytetään myös nimityksiä kntfunktio, primitiivifunktio, määräämätön integrli (lyhyesti integrli) ti ntiderivtt. Integrlifunktio on määritelmän perusteell in derivoituv j siis myös jtkuv välillä I. Välin I mhdollisess päätepisteessä F (x) trkoitt toispuoleist derivtt. Todistetn Lusett jtellen seurvt kksi lemm: Lemm Olkoon I R väli. Olkoon funktio f : I R jtkuv j f (x) = 0 kikill välin I sisäpisteillä x. Tällöin f on vkiofunktio. [1, s.137] 11

16 Todistus. Vlitn I. Olkoon x I piste, jok toteutt ehdon x. Differentililskennn välirvoluseen [1, s.133] nojll pisteiden j x välissä on olemss sellinen piste c, että f(x) f() = f (c). x Kosk relilukuväli sisältää kikki khden eri pisteensä väliset pisteet, niin myös c I. Piste c ei voi oll välin I päätepiste, sillä c j c x, joten f (c) = 0. Nyt siis f(x) f() = 0 eli f(x) = f() kikill x I, joten f on vkiofunktio. [1, s.137] Lemm Olkoon C R vkio. Välillä I R derivoituville funktioille f j g pätee f (x) = g (x) kikill x I, jos j vin jos f(x) = g(x) + C kikill x I. [13] Todistus. Olkoot f j g välillä I derivoituvi funktioit, joille pätee f (x) = g (x) kikill x I. Määritellään funktio h: I R settmll h(x) = f(x) g(x) kikill x I. Nyt h (x) = f (x) g (x) = 0 kikill x I, joten Lemmn nojll funktio h on vkiofunktio. Kikill x I on siis voimss ehto h(x) = f(x) g(x) = C, jollin C R eli f(x) = g(x) + C kikill x I. Kääntäen, olkoon f j g välillä I derivoituvi funktioit, joille kikill x I pätee f(x) = g(x) + C, jollin C R. Tällöin f (x) = g (x) kikill x I. Luse Olkoon F jokin funktion f integrlifunktio välillä I j C R vkio. Tällöin kikki funktion f integrlifunktiot kyseisellä välillä ovt muoto F + C. Todistus. Olkoon F funktion f integrlifunktio välillä I j C R vkio. Nyt D(F (x) + C) = F (x) + 0 = f(x) kikill x I, joten F + C on funktion f integrlifunktio. Toislt, jos G on funktion f integrlifunktio, niin G (x) = f(x) kikill x I. Nyt siis G (x) = F (x) kikill x I, joten Lemmn nojll G(x) = F (x) + C kikill x I. Osoitettiin siis, että kikki funktion f integrlifunktiot ovt muoto F + C. Vkiot C R snotn integroimisvkioksi. Integroimisvkion eri rvoj vstvi integrlifunktioiden kuvji kutsutn integrlikäyriksi. Integroimisvkiolle C sdn rvo ntmll lkuehto eli ilmoittmll jollin tvll se tson I R piste (x 0, y 0 ), jonk kutt integrlikäyrän hlutn kulkevn, jolloin siis y 0 = F (x 0 )+C, jost sdn C = y 0 F (x 0 ). Funktion f mielivltist integrlifunktiot F merkitään F (x) = f(x) dx ti F = f. 12

17 Integrlifunktioiden määrittämistä kutsutn integroimiseksi. Edellä merkintä dx trkoitt, että integroidn integroimismuuttujn x suhteen. Integrlifunktion nimitys ntiderivtt on osuv, sillä integroitess etsitään ne funktiot, joiden derivtt tiedetään. Integrointi on siis derivoinnin käänteisopertio: ( ) D f(x) dx = f(x) j (Df(x)) dx = f(x) + C. Tuttujen derivtn ominisuuksien nojll sdn muun muss seurv luse: Luse Olkoon R vkio. Jos funktioill f j g on välillä I integrlifunktioit, niin (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx j f(x) dx = f(x) dx. Todistus. Merkitään funktioiden f j g integrlifunktioit F (x) = f(x) dx j G(x) = g(x) dx. Nyt kikill x I j toislt D(F (x) + G(x)) = DF (x) + DG(x) = f(x) + g(x) D(F (x)) = DF (x) = f(x) kikill x I. [29, s.2] Myöhemmin, Alluvuss 3.4, osoitetn, että jokisell jtkuvll funktioll, jok on määritelty välillä I, on kyseisellä välillä integrlifunktioit. Derivoimll voidn todist muun muss seurvt integroimissäännöt [26, s.110]: 13

18 Luse Olkoon C R vkio. Tällöin k dx = kx + C, kun k on vkiofunktio, x r dx = xr+1 + C, r kun r R \ { 1}, dx = ln x + C, kun x 0, x e x dx = e x + C, x dx = x + C, ln kun > 0 j 1, sin x dx = cos x + C, cos x dx = sin x + C, tn x dx = ln cos x + C, kun x ± π + n2π kikill n Z, 2 1 cos 2 x dx = tn x + C, kun x ±π + n2π kikill n Z, 2 ln x dx = x ln x x + C, kun x > 0. Jos funktio f on välillä I derivoituv, niin smme myös seurvt, jälleen kerrn derivoimll todistettviss olevt, kvt: Luse f (x)f(x) r dx = f(x)r+1 + C, kun r R \ { 1}, r + 1 f (x) dx = ln f(x) + C, kun f(x) 0, f(x) f (x)e f(x) dx = e f(x) + C, f (x) f(x) dx = f(x) ln f (x) sin f(x) dx = cos f(x) + C, f (x) cos f(x) dx = sin f(x) + C. + C, kun > 0 j 1, [26, s.110] 14

19 3.2 Integrointi Integroitess eli integrlifunktioit määritettäessä käytetään hyväksi edellä olevi luseit 3.1.5, j Vikk integrointi on derivoinnin käänteisopertio, ei integrointi yleensä kuitenkn ole yhtä suorviivist kuin derivointi. Kuten tiedetään, jokisen lkeisfunktion derivtt on lkeisfunktio, mutt kikkien lkeisfunktioiden integrli ei voi esittää äärellisellä määrällä lkeisfunktioit. Tällisi funktioit ovt esimerkiksi ehdoill f(x) = e x2 j g(x) = x 1 sin x määritellyt funktiot f j g. Toislt myös epäjtkuvll funktioll voi oll integrlifunktioit, kuten seurv esimerkki osoitt: Esimerkki Määritellään funktio F : R R settmll { x F (x) = 2 sin x 1, kun x 0, 0, kun x = 0. Tällöin kikill x 0 on Lisäksi F (x) = 2x sin x 1 + x 2 cos x 1 ( 1)x 2 F (0) = lim h 0 F (h) F (0) h = 2x sin x 1 cos x 1. = lim h 0 h 2 sin h 1 h = lim h 0 (h sin h 1 ) = 0, joten F on derivoituv kikill x R. Merkitään f(x) = F (x) kikill x R. Nyt siis { 2x sin x f(x) = 1 cos x 1, kun x 0, 0, kun x = 0. Integrlifunktion määritelmän nojll funktio F on funktion f integrlifunktio. Funktio f ei ole kuitenkn jtkuv nollss, sillä ei ole olemss rj-rvo lim x 0 cos x 1. Eräitä tärkeitä integrlifunktioiden määrittämiseen käytettyjä menetelmiä ovt muun muss osittisintegrointi j integrointi sijoituksell Osittisintegrointi Osittisintegrointi perustuu khden funktion tulon derivoimissääntöön: Luse Olkoon f j g derivoituvi funktioit välillä I. Tällöin f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx välillä I. 15

20 Todistus. Merkitään F (x) = f (x)g(x) dx kikill x I. Tällöin kikill x I. D(f(x)g(x) F (x)) = D(f(x)g(x)) F (x) = f (x)g(x) + g (x)f(x) f (x)g(x) = f(x)g (x). Esimerkki Lske osittisintegroimll x cos x dx. Rtkisu. Vlitn f(x) = x j g (x) = cos x. Nyt f (x) = 1 j g(x) = sin x. Luseen nojll x cos x dx = x sin x 1 sin x dx = x sin x + cos x + C. Funktioit vlittess on oltv trkkn, jott lskettvksi jäävästä integrlist tulee muodoltn yksinkertisempi kuin lkuperäisestä integrlist. Joskus käy niin, että osittisintegrointi joudutn soveltmn usemmn kerrn Integrointi sijoituksell Yhdistetyn funktion derivoimissäännön eli ketjusäännön vull sdn seurv integroimissääntö: Luse Olkoon I R väli j g : I I idosti monotoninen jtkuvsti derivoituv bijektio. Olkoon funktioll f : I R integrlifunktioit välillä I. Tällöin [ ] f(x) dx = f(g(t))g (t) dt. t=g 1 (x) Todistus. Olkoon F jokin funktion f integrlifunktio välillä I eli F (x) = f(x) kikill x I. Tällöin ketjusäännön nojll sdn d dt F (g(t)) = F (g(t))g (t) = f(g(t))g (t) kikill t I eli F (g(t)) on funktion f(g(t))g (t) integrlifunktio välillä I. Olkoon C R vkio. Tällöin F (g(t)) + C = f(g(t))g (t) dt. (3.1) 16

21 Kosk funktio g on idosti monotoninen jtkuvsti derivoituv bijektio välillä I, niin sillä on idosti monotoninen jtkuv käänteisfunktio g 1 : I I. Sijoitetn nyt yhtälön (3.1) molemmille puolille t = g 1 (x), jolloin sdn [ ] F (x) + C = f(g(t))g (t) dt eli [ f(x) dx = t=g 1 (x) ] f(g(t))g (t) dt. t=g 1 (x) [25, s.392] Sovellettess Lusett integrliin f(x) dx, korvtn x lusekkeell g(t) j dx lusekkeell g (t) dt, jonk jälkeen etsitään näin sdulle integrlille f(g(t)g (t) dt integrlifunktio. Kun integroiminen on suoritettu, on plttv muuttujn x sijoittmll t = g 1 (x), jolloin sdn F (x). Käytännössä funktiolle g setettuihin vtimuksiin ei yleensä trvitse kiinnittää huomiot, sillä integroinnin tuloksen voi in trkist totemll, että F (x) = f(x) kikill x I. Esimerkki Määritellään funktio f : R R settmll f(x) = x( x) 2012 kikill x R. Määritä f(x) dx. Rtkisu. Tutkitn yhtälöä x = t eli x = 1 (t 16). 11 Hvitn, että Luseen oletukset ovt voimss, joten voidn suoritt muuttujn vihto. Nyt x (t) = 1/11, joten dx = 1 11 dt. Sdn f(x) dx = x( x) 2012 dx 1 = 11 (t 1 16)t dt = 1 (t t 2012 ) dt 121 = 1 ( ) t 2014 t C ( x) ( x)2013 = C = F (x). 17

22 Trkistetn tulos derivoimll. Kikill x R sdn F (x) = ( x) ( x) kuten pitikin. = 1 11 ( x) ( x) = 1 (( x) 16)( x) = x( x) 2012 = f(x), Kuink sitten löytää sopiv sijoitus? Erityyppisten funktioiden integroimiseksi löytyy stndrdisijoituksi tulukoituin, mutt yleispätevää sääntöä ei ole. Knntt yrittää tunnist sopiv kokonisuus integrndist, esimerkiksi juurilusekkeen sisältävässä integrliss knntt uudeksi muuttujksi kokeill joko juuren sisäpuolt ti juurilusekett kokonisuudessn. [30, ss.22-23] Murtofunktion integroiminen Om lukuns on murtofunktioiden eli muoto polynomi jettun polynomill olevien funktioiden integroiminen. Olkoon nyt P j Q polynomifunktioit j R vstv murtofunktio eli R(x) = P (x) Q(x). Jos deg P (x) deg Q(x) eli polynomin P ste on suurempi kuin polynomin Q, niin suorittmll jkolsku sdn R(x) = P 0 (x) + P 1(x) Q(x), joss deg P 1 (x) < deg Q(x). Nyt polynomi P 0 on helposti integroitviss j ongelmksi jää selvittää jäljelle jääneen murtofunktion integrointi. Jos P 1 (x) = kq (x), joss luku k R on vkio, niin Luseen nojll P1 (x) Q(x) dx = kq (x) Q(x) dx = k Q (x) Q(x) dx = k ln Q(x) + C, joss C R. Muuss tpuksess täytyy tutki polynomifunktion Q nollkohti, joiden vull Q voidn jk tekijöihin, jonk jälkeen murtofunktio 18

23 P 1 /Q sdn edelleen näiden tekijöiden vull muodostettujen yksinkertisempien murtofunktioiden summksi. Näin stu esitystä kutsutn osmurtokehitelmäksi. Pidetään tunnettun, että relikertoimisell polynomill Q(x) on n = deg Q(x), joss n N, kpplett kompleksisi nollkohti. Lisäksi, jos kompleksiluku z = + bi, joss, b R on polynomin Q(x) nollkoht, niin myös sen liittoluku z = bi on polynomin Q(x) nollkoht, jost seur, että relilukukunnss polynomi voidn in esittää ensimmäisen j toisen steen tekijöiden tulon. Jos nyt polynomifunktioll Q on vin yksinkertisi relijuuri x k, kun k = 1,..., n, niin P 1 (x) Q(x) = n k=1 A k x x k, (3.2) joss vkiot A k voidn määrittää kikill k = 1,..., n esimerkiksi kertomll ensin yhtälö (3.2) tekijällä (x x k ) j sijoittmll sitten x = x k. Jokist m-kertist (m N j 2 m n) relijuurt x v kohden tulee osmurtokehitelmään termit m B i (x x v ). i Nyt siis m P 1 (x) Q(x) = i=1 i=1 n m B i (x x v ) + i i=1 A i x x i, jost kertomll yhtälö puolittin polynomill Q(x) sdn P 1 (x) = (x x 1 ) (x x n m ) n m + (x x v ) m i=1 m B i (x x v ) m i i=1 A i (x x 1 ) (x x n m ) x x i. Kosk tämän yhtälön tulee toteutu identtisesti, niin yhtälön oikell puolell olevt vkiokertoimet A 1,..., A n m j B 1,..., B m sdn määritettyä sieventämällä ensin yhtälön oike puoli j merkitsemällä sitten näin sdun polynomin j polynomin P 1 (x) termien kertoimet yhtä suuriksi, jolloin sdn yhtälöryhmä, jost kertoimet sdn rtkistu. Vlistn menettelyä seurvll esimerkillä: Esimerkki Määritetään integrli x x(x 2) 2 dx. 19

24 Integroitvn funktion osmurtokehitelmäksi sdn x x(x 2) 2 = B 1 x 2 + B 2 (x 2) 2 + A x, jost kertomll puolittin lusekkeell x(x 2) 2 sdn x 2 +5 = xb 1 (x 2)+xB 2 +(x 2) 2 A = (B 1 +A)x 2 (2B 1 +4A B 2 )x+4a. Kosk tämän tulee toteutu identtisesti, sdn yhtälöryhmä A + B 1 = 1 4A + 2B 1 B 2 = 0 4A = 5, jost A = 5/4, B 1 = 1/4 j B 2 = 9/2. Nyt väleillä ], 0[, ]0, 2[ j ]2, [ on x 2 ( ) x(x 2) dx = 2 4x 1 4(x 2) + 9 dx 2(x 2) 2 = 5 4 ln x 1 4 ln x 2 9 2(x 2) + C. Jokist kompleksist juuripri eli yksinkertist polynomifunktion Q tekijää x 2 + px + q, joss siis p 2 < 4q, kohti tulee osmurtokehitelmään mukn termi Ax + B x 2 + px + q = Ax + (Ap)/2 (Ap)/2 + B x 2 + px + q = (A/2)(2x + p) x 2 + px + q + B (Ap)/2 x 2 + px + q. Edellä sdun summn ensimmäisestä termistä tulee integroitess logritmi j jälkimmäisestä lusekkeeseen x + p/2 verrnnollisell sijoituksell rcustngentti; trvittv integroimissääntö on seurv: dx = rctn x + C, 1 + x2 joss luku C R on vkio. Jokist polynomifunktion Q j-kertist tekijää (x 2 +px+q) j, joss j N j 2 j (n/2) kohti tulee osmurtokehitelmään puolestn termit j l=1 A l x + B l (x 2 + px + q) l, joist integroitess tulee murtofunktioit j rcustngentti. Murtofunktioiden integroiminen on siis työlästä, mutt tehtävissä. [4, ss.10-12], [12, ss.30-34] 20

25 3.3 Määrätty integrli Tässä lluvuss nnetn määrätyn integrlin eli Riemnnin integrlin määritelmä. Oletetn jtkoss, että in, kun trkstelln suljettu relilukuväliä [, b], niin luvuille, b R on voimss ehto < b, ellei toisin snot. Ennen Riemnnin integrlin määritelmän ntmist trvitn muutmi käsitteitä: Välin jko, ylä- j lsummt, Riemnnin integrli Olkoon n N. Annetn seurv määritelmä: Määritelmä Äärellinen lukujoukko D = {x 0, x 1, x 2,..., x n } on välin [, b] jko, jos = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. Osväliä [x k 1, x k ] kutsutn jkoväliksi j sille käytetään merkintää k kikill k = 1,..., n. Jkovälin pituudelle käytetään merkintää l( k ) = x k x k 1 kikill k = 1,... n. Joukon D lkioit snotn jkopisteiksi. Olkoot f : [, b] R rjoitettu funktio välillä [, b] j D = {x 0,..., x n } välin [, b] jokin jko jollin n N. Kosk f on rjoitettu välillä [, b], niin se on rjoitettu myös jokisell jkovälillä k, joten on olemss äärelliset luvut G k = G k (f) = sup {f(x) : x k } j g k = g k (f) = inf {f(x) : x k } kikill k = 1,..., n. Funktion f jko D vstvt yläsumm S D j lsumm s D ovt n n S D = S D (f) = G k l( k ) j s D = s D (f) = g k l( k ). k=1 Huomutus Hvitn, että s D S D, sillä g k G k kikill k = 1,..., n. Jos f(x) 0 kikill x [, b], niin S D j s D ovt sellisten suorkulmioiden pint-lojen summi, joiss kutkin jkoväliä k vst sellinen suorkulmio, jonk kntn on l( k ) j korkeuten yläsummn tpuksess G k j lsummn tpuksess g k kikill k = 1,..., n. Nyt funktion kuvjn j x-kselin välinen lue jää kokonn yläsummn sisältämien suorkulmioiden sisään, mutt toislt sisältää kokonn lsummn sisältyvät suorkulmiot. Olkoon k=1 B = { (x, y) R 2 : x b, 0 y f(x) }. Nyt siis, jos joukolle B voidn määritellä pint-l S(B), niin s D S(B) S D. 21

26 Snotn, että jko D on jon D tihennys (eli lijko), jos D D. Lemm Olkoon D jon D tihennys. Tällöin s D s D S D S D. Todistus. Todistetn vin lsummi koskev väite. Todistus yläsummien tpuksess menee vstvsti. Keskimmäinen epäyhtälö pitää pikkns supremumin j infimumin määritelmien perusteell. Riittää trkstell tpust, joss jko D sisältää vin yhden pisteen enemmän kuin D, sillä yleinen tpus tästä sdn induktioll. Olkoon siis D = {x 0,..., x n } välin [, b] jko jollin n N j D = D {x }, missä x k 1 < x < x k jollin k {1,..., n}. Merkitään g k = inf {f(x) : x [x k 1, x ]} j g k = inf {f(x) : x [x, x k ]}. Kosk g k g k j g k g k, niin eli s D s D s D s D = g k(x x k 1 ) + g k(x k x ) g k (x k x k 1 ) g k (x x k 1 ) + g k (x k x ) g k (x k x k 1 ) = 0 Lemm Olkoot D 1 j D 2 jkoj. Tällöin s D1 S D2. Todistus. Merkitään D = D 1 D 2. Nyt D on jkojen D 1 j D 2 yhteinen tihennys, joten Lemmn nojll s D1 s D S D S D2. Lemmn perusteell joukko {S D : D on välin [, b] jko} on lhlt rjoitettu j vstvsti joukko {s D : D on välin [, b] jko} on ylhäältä rjoitettu. Lisäksi, kosk kyseiset joukot ovt epätyhjiä, niin voidn määritellä j I = I(f) = inf {S D : D on välin [, b] jko} I = I(f) = sup {s D : D on välin [, b] jko}. Luku I kutsutn funktion f yläintegrliksi j luku I funktion f lintegrliksi. Lemmst seur edelleen, että I I. Nyt siis s D I I S D (3.3) kikill välin [, b] joill D. Nyt voidn nt Riemnnin integrlin määritelmä: 22

27 Määritelmä Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv (lyhyesti integroituv), jos I(f) = I(f). Tällöin l- j yläintegrlin yhteistä rvo snotn funktion f Riemnn-integrliksi (lyhyesti integrliksi) ti määrätyksi integrliksi yli välin [, b] j merkitään I(f) = I(f) = f = f(x) dx. Luku snotn integrlin lrjksi j luku b ylärjksi. Lisäksi välillä [, b] integroituvlle funktiolle f sovitn merkinnöistä kikill c [, b]. f(x) dx = b f(x) dx j c c f(x) dx = 0 Jotkut teokset, kuten esimerkiksi [1], olettvt Riemnnin integrlin määritelmän yhteydessä funktiost f, että se on jtkuv välillä [, b]. Tiedetään, että suljetull välillä määritelty jtkuv funktio on rjoitettu, joten Määritelmä on yleisempi kuin vstv määritelmä jtkuvlle funktiolle. Jtkuvn funktion tpuksess funktioll f on suurin j pienin rvo jokisell jkovälillä k, kun k = 1,..., n, joten G k (f) = mx {f(x) : x k } j g k (f) = min {f(x) : x k } kikill k = 1,..., n. Itse siss myöhemmin osoitetn, että jokinen suljetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio on integroituv. Riemnnintegroituvll funktioll voi kuitenkin oll jop ääretön määrä epäjtkuvuuspisteitä, kuten seurv esimerkki osoitt: Esimerkki Määritellään funktio f : [0, 2] R settmll f(x) = 1, kun x = 1/n jollin n N j f(x) = 0 muulloin. Osoitetn, että funktio f on Riemnn-integroituv välillä [0, 2]. Kosk 0 f(x) 1 kikill x [0, 2], niin f on rjoitettu. Olkoon ɛ > 0. Olkoon D n = {x i [0, 2] : i = 0,..., 2n + 1}, joss x 0 = 0, x 2k 1 = 1/(n (k 1)) 1/(2n 2 ), kun k = 1,..., n, x 2k = 1/(n (k 1)) + 1/(2n 2 ), kun k = 1,..., n, x 2n+1 = 2, 23

28 missä n N vlitn myöhemmin. Selvästi joukko D n on äärellinen. Kosk j x 1 x 0 = 1 n 1 2n 2 0 = 2n 1 2n 2 > 0 x 2n+1 x 2n = 2 ( ) = 1 1 2n 2 2n > 0, 2 niin x 0 < x 1 j x 2n < x 2n+1. Pisteiden x 2k j x 2k 1, kun k = 1,..., n erotukseksi sdn x 2k x 2k 1 = 1 n 2 > 0 eli x 2k 1 < x 2k kikill k = 1,..., n. Todetn vielä, että x 2k+1 x 2k = x 2(k+1) 1 x 2k = 1 n k 1 ( 2n 1 2 n (k 1) + 1 ) 2n 2 n (k 1) = (n k)(n k + 1) n k (n k)(n k + 1) 1 n 2 1 = (n k)(n (k 1)) 1 n > 0 2 kikill k = 1,..., n 1, joten x 2k < x 2k+1 kikill k = 1,..., n 1. On siis osoitettu, että 0 = x 0 < x 1 <... < x 2n < x 2n+1 = 2, joten joukko D n on välin [0,2] jko. Merkitään i = [x i 1, x i ], kun i = 1,..., 2n + 1. Tällöin [ 1 = 0, 1 n 1 ], 2n [ 2 1 2k = n (k 1) 1 2n, 1 2 n (k 1) + 1 2n [ 2 1 2k+1 = n (k 1) + 1 2n, 1 2 n k 1 2n [ 2 2n+1 = ] 2n, 2. 2 ], kun k = 1,..., n, ], kun k = 1,..., n 1, Merkitään G i (f) = sup {f(x) : x i }, g i (f) = inf {f(x) : x i } sekä l( i ) = x i x i 1, kun i = 1,..., 2n + 1. Kosk f(x) 1 kikill x 2k kikill k = 1,..., n, niin G 2k (f) = 1 kikill k = 1,..., n. Lisäksi G 1 (f) = 1, sillä f s rvon 1 myös välillä 1. Toislt, kosk f(x) = 0 välillä 2n+1 sekä kikill x 2k+1 kikill k = 1,..., n 1, niin G 2n+1 (f) = G 2k+1 (f) = 0 kikill k = 1,..., n 1. 24

29 Nyt S Dn (f) = 2n+1 i=1 G i (f)l( i ) = G 1 (f)l( 1 ) + n n 1 G 2k (f)l( 2k ) + G 2k+1 (f)l( 2k+1 ) k=1 + G 2n+1 (f)l( 2n+1 ) ( 1 = 1 n 1 ) 2n 2 n ( n (k 1) + 1 ( 2n 1 2 n (k 1) 1 )) + 0 2n 2 k=1 k=1 = 1 n 1 n 2n n = 1 2 n 1 2n n < 2 n < ɛ, k=1 jos j vin jos n > 2/ɛ. Kosk f(x) 0 kikill x [0, 2], niin g i (f) 0 kikill i = 1,..., 2n+1. Nyt s Dn (f) = 2n+1 i=1 g i (f)l( i ) 0. Vlitn nyt sellinen n N, että n > 2/ɛ. Tällöin epäyhtälöketjun (3.3) nojll 0 s Dn (f) I(f) I(f) S Dn (f) < ɛ. Kosk ɛ > 0 oli mielivltinen, niin 0 I(f) I(f) 0 eli I(f) = I(f) = 0. Siis f on Riemnn-integroituv j 2 0 f(x) dx = 0. [33] Esimerkki Osoitetn vielä, että vkiofunktio f : [, b] R, jolle f(x) = C kikill x [, b] jollin C R, on Riemnn-integroituv välillä [, b] j f(x) dx = C(b ). Selvästi funktio f on rjoitettu välillä [, b]. Olkoon n N. Olkoon D = {x 0,..., x n } välin [, b] jko. Nyt G k (f) = g k (f) = C kikill k = 1,..., n, 25

30 joten j s D = S D = n g k (f)l( k ) = C k=1 n G k (f)l( k ) = C k=1 n l( k ) = C(b ) k=1 n l( k ) = C(b ), joten I(f) = I(f) = C(b ). Siis f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j k=1 f(x) dx = C(b ). Riemnnin integrlin määritelmästä voidn joht seurv tulos, jonk todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [28, ss ]: Luse (Riemnnin ehto). Olkoon funktio f : [, b] R rjoitettu. Tällöin funktio f on integroituv, jos j vin jos jokist luku ɛ > 0 kohti on olemss sellinen jko D = D ɛ, että S D s D < ɛ. Esimerkki Määritellään funktio f välillä [0, 1] settmll { 0, kun x [0, 1] Q, f(x) = 1, kun x [0, 1] (R \ Q). Näytetään, että funktio f ei ole integroituv välillä [0, 1]. Olkoon n N. Olkoon D = {x 0,..., x n } välin [0, 1] jko. Kosk jokinen jon D jkoväli sisältää sekä rtionli- että irrtionlilukuj, niin g k (f) = 0 j G k (f) = 1 kikill k = 1,..., n, joten s D = n g k (f)l( k ) = 0 j S D = k=1 n G k (f)l( k ) = 1. k=1 Kosk jokisell välin [0, 1] joll D on voimss S D s D = 1, niin funktio f ei ole integroituv Riemnnin ehdon nojll. Luku D = mx {l( k ) : k = 1,..., n} snotn jon D normiksi. Todistetn vielä seurv luse: Luse Olkoon funktio f : [, b] R monotoninen. Tällöin funktio f on integroituv yli välin [, b]. 26

31 Todistus. Olkoon funktio f vähenevä (Todistus ksvvlle funktiolle menee vstvsti.). Aiemmin, Esimerkissä 3.3.7, osoitettiin, että välillä [, b] määritelty vkiofunktio on tällä välillä integroituv, joten voidn olett, että f() > f(b). Kosk f() f(x) f(b) kikill x [, b], niin funktio f on rjoitettu. Olkoon luku ɛ > 0. Vlitn sellinen välin [, b] jko D = {x 0,..., x n }, että D < ɛ/(f() f(b)) jollin n N. Edellä siis = x 0 < x 1 <... < x n = b. Kosk funktio f on vähenevä, niin G k (f) = f(x k 1 ) j g k (f) = f(x k ) kikill k = 1,..., n. Tällöin n S D (f) s D (f) = (G k (f) g k (f))l( k ) k=1 = D n (f(x k 1 ) f(x k )) D k=1 n (f(x k 1 ) f(x k )) = D (f(x 0 ) f(x n )) k=1 = D (f() f(b)) < ɛ (f() f(b)) = ɛ, f() f(b) joten funktio f on integroituv Riemnnin ehdon nojll Riemnnin summt Trkstelln edelleen välillä [, b] rjoitettu funktiot f. Olkoon D = {x 0,..., x n } välin [, b] jko jollin n N. Olkoon ξ = (ξ 1,..., ξ n ) sellinen jono, että ξ k k = [x k 1, x k ] kikill k = 1,..., n. Summ S D (f, ξ) = n f(ξ k )l( k ) k=1 on funktion f jkoon D j jonoon ξ liittyvä Riemnnin summ. Hvitn, että kosk g k (f) f(ξ k ) G k (f) kikill k = 1,..., n, niin s D (f) S D (f, ξ) S D (f). Määritelmä Luku S R on funktion f Riemnnin summien rjrvo, merkitään lim D 0 S D(f, ξ) = S, jos jokist luku ɛ > 0 kohti on olemss sellinen luku δ > 0, että S D (f, ξ) S < ɛ, kun D on jko, jolle on voimss D < δ j ξ on jkoon D liittyvä mielivltinen jono. 27

32 Riemnnin summill j funktion f integroituvuudell on seurv yhteys (Todistus sivuutetn, mutt se löytyy esimerkiksi teoksest [28]): Luse Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio j luku S R. Tällöin funktio f on integroituv j jos j vin jos lim S D(f, ξ) = lim D 0 D 0 f(x) dx = S, n f(ξ k )l( k ) = S. Huomutus Riemnnin integrli voidn siis määritellä yhtäpitävästi Riemnnin summien vull. Sellist jkopisteiden lisäämistä, missä jkoväleistä pisin lähestyy pituudeltn noll kutsutn jon tihentämiseksi rjtt. k= Riemnnin integrlin perusominisuuksi Annetn seurvksi joukko Riemnnin integrlin perusominisuuksi. Luse Olkoot f j g välillä [, b] integroituvi funktioit j piste c R sellinen, että c b. Olkoot luvut m j M sellisi, että m f(x) M kikill x [, b] sekä α, β R vkioit. Tällöin () funktio αf on integroituv välillä [, b] j αf(x) dx = α f(x) dx, (b) funktio f + g on integroituv välillä [, b] j (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx, (c) jos f(x) g(x) kikill x [, b], niin f(x) dx g(x) dx, 28

33 (d) funktion f Riemnnin integrlille yli välin [, b] on voimss m(b ) (e) funktio f on integroituv välillä [, b] j f(x) dx M(b ), f(x) dx f(x) dx, (f) funktio fg on integroituv välillä [, b], mutt on huomttv, että yleensä kuitenkin on ( ) ( ) f(x)g(x) dx f(x) dx g(x) dx, (g) jos on olemss sellinen luku d > 0, että f(x) d > 0 kikill x [, b], niin funktio 1/f on integroituv välillä [, b], (h) funktio f on integroituv välin [, b] jokisell osvälillä j f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx eli integrointi voidn suoritt osiss. Jos funktio f on integroituv kullkin osvälillä, niin yllä olev kv on voimss lukujen, b j c suuruusjärjestyksestä huolimtt. Todistus. Väitteet () j (b) voidn todist esimerkiksi Riemnnin summien j Luseen vull. Väite (c) sdn Riemnnin integrlin määritelmän seuruksen. Väite (d) on väitteen (c) seurus. Väitteiden (e), (f) j (h) todistuksess voidn käyttää esimerkiksi Riemnnin ehto, Luse [28, ss ], [20, s.11] Todistetn koht (g): Olkoon luku ɛ > 0. Kosk funktio f on integroituv välillä [, b], niin se on myös rjoitettu tällä välillä, joten on olemss selliset luvut g R j G R, että g f(x) G kikill x [, b]. Lisäksi Riemnnin ehdon perusteell on olemss sellinen välin [, b] jko D = {x 0,..., x n } jollin n N, että S D (f) s D (f) < g 2 ɛ. Tällöin S D (f) s D (f) = n (G k (f) g k (f))l( k ) < g 2 ɛ. k=1 29

34 Jos nyt f(x) d > 0 kikill x [, b] jollin 0 < d R, niin funktiolle f on voimss 0 < g f(x) G. Funktiolle 1/f sdn siis 1 g 1 f(x) 1 G kikill x [, b], joten myös funktio 1/f on rjoitettu. Trkstelln jon D mielivltist jkoväliä k jollin k {1,..., n}. Kosk f(x) d > 0 kikill x [, b], niin f(x) d > 0 jokisell x k. Edelleen 0 < d g k (f) f(x) G k (f) kikill x k, joten kikill x k. Tällöin G k (1/f) 1 g k (f) 1 g k (f) 1 f(x) 1 G k (f) j g k (1/f) 1 G k (f). Nyt jolle D j funktiolle 1/f sdn n S D (1/f) s D (1/f) = (G k (1/f) g k (1/f)) l ( k ) = k=1 n ( 1 g k (f) 1 G k (f) n ( Gk (f) g k (f) g k (f)g k (f) n ( Gk (f) g k (f) k=1 k=1 (g k (f)) 2 n ( Gk (f) g k (f) k=1 k=1 g 2 ) l( k ) ) l( k ) ) l( k ) ) l( k ) = 1 n (G g 2 k (f) g k (f)) l( k ) < 1 g 2 g2 ɛ = ɛ. k=1 Kosk ɛ > 0 oli mielivltinen, niin funktio 1/f on integroituv Riemnnin ehdon nojll Jtkuvn funktion integroituvuus Osoitetn seurvksi, että suljetull välillä [, b] jtkuv funktio on integroituv. Tätä vrten trvitn tvllist jtkuvuutt vhvempi käsite tsinen jtkuvuus. 30

35 Määritelmä Olkoon A R joukko. Funktio f : A R on tsisesti jtkuv joukoss A, jos jokist luku ɛ > 0 kohti on olemss sellinen luku d ɛ > 0, että f(x) f(y) < ɛ in, kun x, y A j x y < δ ɛ. Huomutus Hvinnollisesti funktio f on tsisesti jtkuv joukoss A, jos funktion rvot ovt mielivltisen lähellä toisin in, kun muuttujn rvot ovt riittävän lähellä toisin. Funktion tsinen jtkuvuus on määritelty joukoss, ei pisteittäin, kuten funktion jtkuvuus. Funktion jtkuvuus seur funktion tsisest jtkuvuudest, sillä vlitsemll määritelmässä kiinteä piste x = x 0 sdn pisteessä x 0 A jtkuvn funktion määritelmä. Käänteinen väite ei kuitenkn päde, mikä voidn todet esimerkiksi trkstelemll ehdoll f(x) = 1/x määriteltyä funktiot f : ]0, [ R pisteen noll läheisyydessä. Seurv luse todistetn esimerkiksi teoksess [28, ss ]: Luse Suljetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Nyt voidn osoitt jtkuvn funktion integroituvuutt koskev tulos: Luse Suljetull välillä [, b] jtkuv funktio f on integroituv. Todistus. Kosk funktio f on määritelty j jtkuv suljetull välillä [, b], niin se on myös rjoitettu kyseisellä välillä. Olkoon luku ɛ > 0. Luseen perusteell f on tsisesti jtkuv, joten on olemss sellinen luku δ ɛ > 0, että f(x) f(y) < ɛ b in, kun x, y [, b] j x y < δ ɛ. Vlitn nyt sellinen välin [, b] jko D, että D < δ ɛ. Jon D jkovälit ovt 1,..., n jollin n N. Suljetull välillä jtkuv funktio s suurimmn j pienimmän rvons, joten on olemss selliset jkovälin k luvut u k j v k, että G k (f) = mx x k f(x) = f(u k ) j g k (f) = min x k f(x) = f(v k ) kikill k = 1,..., n. Jon D vlinnst johtuen u k v k l( k ) D < δ ɛ kikill k = 1,..., n, joten tsisen jtkuvuuden nojll 0 G k (f) g k (f) = f(u k ) f(v k ) < ɛ b 31

36 kikill k = 1,..., n. Täten n S D (f) s D (f) = (G k (f) g k (f))l( k ) < k=1 n k=1 ɛ b l( k) = ɛ b n l( k ) = k=1 ɛ (b ) = ɛ. b Siis funktio f on integroituv Riemnnin ehdon nojll. Edelleen Riemnnin ehdon perusteell voidn osoitt [20, s.13] Lemm Olkoon funktio f : [, b] R rjoitettu. Oletetn lisäksi, että funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[. Tällöin f on integroituv vstvll suljetull välillä [, b]. Käyttäen hyväksi edellä olevn lemmn tulost j Luseen koht (h) sdn Luse Olkoon funktio f : [, b] R rjoitettu j joukko A = {c [, b] : f on epäjtkuv pisteessä c} äärellinen. Tällöin funktio f on integroituv välillä [, b]. Edelleen seuruksen sdn Korollri Ploittin jtkuv funktio f : [, b] R on integroituv. Huomutus Aiemmin, Esimerkissä 3.3.6, osoitettiin, että integroituvll funktioll voi oll myös ääretön määrä epäjtkuvuuskohti. Luseen kohdn (d) seuruksen sdn Luse (Integrlilskennn välirvoluse). Olkoon funktio f : [, b] R integroituv. Olkoot Tällöin g = inf {f(x) : x [, b]} j G = sup {f(x) : x [, b]}. g 1 b Lisäksi jtkuvlle funktiolle on voimss f(x) dx G. Luse Jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin on olemss sellinen piste ξ ], b[, että 1 b f(x) dx = f(ξ). 32

37 Huomutus Luse on voimss myös silloin, kun > b. Tällöin piste ξ kuuluu välille ]b, [. Olkoon funktio f : [, b] R integroituv. Funktion f keskirvo välillä [, b] on f = 1 b f(x) dx. Erityisesti, jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin Luseen nojll on olemss sellinen välin ], b[ piste ξ, että f = f(ξ). 3.4 Riemnnin integrlin j integrlifunktion yhteys Selvitetään seurvksi, miten edellä esiintyneet integrlilskennn kksi peruskäsitettä, integrlifunktio j Riemnnin integrli, liittyvät toisiins. Olkoot I R väli j piste I. Olkoon funktio f : I R integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä. Tällöin on olemss x f(t) dt kikill x I eli sdn funktio F : I R, jolle F (x) = x jokisell x I. Todistetn seurv tulos: f(t) dt (3.4) Luse Olkoot funktio f integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j piste I. Olkoon F : I R sellinen funktio, jok toteutt ehdon (3.4) kikill x I. Tällöin F on jtkuv välillä I. Lisäksi, jos f on jtkuv pisteessä x 0 I, niin F on derivoituv pisteessä x 0 j F (x 0 ) = f(x 0 ) (Jos piste x 0 on välin I päätepiste, niin merkinnällä F (x 0 ) trkoitetn toispuoleist derivtt.). Todistus. Näytetään ensin, että funktio F on jtkuv välillä I. Olkoon luku ɛ > 0. Olkoon x 0 I sellinen piste, jok ei ole välin I vsemmnpuoleinen päätepiste. Vlitn sellinen luku b < x 0, että b I. Trkstelln nyt väliä [b, x 0 ] I. Kosk funktio f on integroituv välillä [b, x 0 ], niin se on myös rjoitettu kyseisellä välillä, joten on olemss sellinen luku M > 0, että f(t) M kikill t [b, x 0 ]. Jos x [b, x 0 ], niin Luseen kohdn (h) perusteell sdn F (x 0 ) F (x) = x0 f(t) dt 33 x f(t) dt = x0 x f(t) dt. (3.5)

38 Edelleen Luseen kohtien (e) j (d) nojll sdn x0 x0 F (x 0 ) F (x) = f(t) dt f(t) dt M(x 0 x) < ɛ, x kun x 0 x < ɛ/m, joten F (x) F (x 0 ), kun x x 0. Vstvsti voidn näyttää, että jos piste x 0 ei ole välin I oikenpuoleinen päätepiste, niin F (x) F (x 0 ), kun x x 0 +. Siis funktio F on jtkuv välin I mielivltisess pisteessä x 0, joten F on jtkuv välillä I. Todistetn vielä Luseen jälkimmäinen väite. Olkoon siis funktio f jtkuv välin I pisteessä x 0. Oletetn jälleen, että x 0 ei ole välin I vsemmnpuoleinen päätepiste. Olkoon luku ɛ > 0. Kosk f on jtkuv pisteessä x 0, niin on olemss sellinen luku δ > 0, että f(t) f(x 0 ) < ɛ, kun t I j x 0 t < δ. Voidn olett, että myös piste x 0 δ on välin I piste. Olkoon nyt piste x sellinen, että x 0 δ < x < x 0. Tällöin 0 < x 0 x < δ, joten f(x 0 ) ɛ < f(t) < f(x 0 ) + ɛ kikill t [x, x 0 ], joten Luseen kohdn (c) nojll x0 x (f(x 0 ) ɛ) dt x0 x x f(t) dt x0 x (f(x 0 ) + ɛ) dt, jost kvn (3.5) j iemmin johdetun vkiofunktion integrlin perusteell sdn Edelleen eli (f(x 0 ) ɛ)(x 0 x) F (x 0 ) F (x) (f(x 0 ) + ɛ)(x 0 x). ɛ F (x 0) F (x) x 0 x f(x 0 ) ɛ F (x 0 ) F (x) f(x 0 ) x 0 x ɛ, joten F (x 0 ) F (x) f(x 0 ), kun x x 0. x 0 x On siis olemss funktion F vsemmnpuoleinen derivtt pisteessä x 0 j F (x 0 ) = f(x 0 ). Vstvsti voidn todet, että jos piste x 0 ei ole välin I oikenpuoleinen päätepiste, niin F +(x 0 ) = f(x 0 ). Siis F on derivoituv pisteessä x 0 j F (x 0 ) = f(x 0 ). 34

39 Huomutus Jos funktio f on jtkuv jokisess välin I pisteessä, niin F (x) = f(x) kikill x I, joten funktio F on funktion f integrlifunktio. Stiin siis seurv tulos: Luse Olkoot I R väli, piste I j vkio C R. Olkoon f : I R jtkuv funktio. Tällöin funktioll f on välillä I integrlifunktioit j funktion f jokinen integrlifunktio F on muoto kikill x I. F (x) = x f(t) dt + C Otetn käyttöön merkintä F (b) F () = b/ F (x). Luseen perusteell sdn seurv Riemnnin integrlien käytännön lskemist helpottv tulos: Luse (Anlyysin perusluse). Olkoot funktio f : [, b] R jtkuv j funktio F jokin funktion f integrlifunktio välillä [, b]. Tällöin f(x) dx = b/ F (x) = F (b) F (). Todistus. Luseen nojll on olemss sellinen vkio C R, että kikill x [, b], joten eli F (b) F () = F (x) = x f(t) dt + C ( f(t) dt + C F (b) F () = ) f(t) dt + C = f(x) dx. f(t) dt Käyttämällä Differentililskennn välirvolusett voidn Anlyysin perusluse todist yleisemmässä muodoss [20, s.19]: 35

40 Luse Olkoot funktio f : [, b] R integroituv j funktio F jokin funktion f integrlifunktio välillä [, b]. Tällöin f(x) dx = F (b) F (). Trkstelln vielä kht seurv esimerkkiä: Esimerkki Tutki, onko funktioll f : [ 2, 2] R integrlifunktiot välillä [ 2, 2], kun f määritellään ehdoll { 1, kun x [ 2, 0], f(x) = x, kun x ]0, 2]. Rtkisu. Funktio f on selvästi epäjtkuv pisteessä x = 0. Jos integrlifunktio F on olemss, niin se on muoto { x + C, kun x [ 2, 0], F (x) = 1 2 x2 + D, kun x ]0, 2] joillin vkioill C, D R. Funktion F tulee oll jtkuv kikill x [ 2, 2], joten erityisesti kohdss x = 0 sdn seurv ehto: lim F (x) = lim F (x) = F (0), x 0 x 0+ joten C = D. Kosk f on epäjtkuv, niin ei void sno, että funktio F on funktion f integrlifunktio, vn on tutkittv, onko F (x) = f(x) kikill x [ 2, 2]. Funktion F vsemmnpuoleinen derivtt kohdss x = 0 on F (0) F (x) F (0) = lim x 0 x 0 (x + C) C = lim x 0 x Vstvsti oikenpuoleinen derivtt pisteessä x = 0 on F +(0) F (x) F (0) = lim x 0+ x 0 ( 1 2 = lim x2 + C) C x 0+ x = 1. 1 = lim x 0+ 2 x = 0. Kosk F (0) F +(0), niin F (0) ei ole olemss, joten funktioll f ei ole integrlifunktiot välillä [ 2, 2]. Hvitn kuitenkin, että funktio f on ploittin jtkuv, joten Korollrin nojll se on integroituv välillä [ 2, 2]. Integrlin 2 2 f(x) dx rvo stisiin nyt esimerkiksi l- j yläsummi tutkimll. 36

41 Esimerkki Olkoon luku > 0. Määritellään funktio F : [, ] R settmll { x F (x) = 2 sin (1/x 2 ), kun x [, ] j x 0, 0, kun x = 0. Määritellään funktio f : [, ] R ehdoll f(x) = F (x) kikill x [, ]. Sdn siis { 2x sin (1/x f(x) = F (x) = 2 ) 2/x cos (1/x 2 ), kun x [, ] j x 0, 0, kun x = 0. Funktio F on siis funktion f integrlifunktio. Huomtn kuitenkin, että funktio f ei ole integroituv välillä [, ], sillä f ei ole rjoitettu missään pisteen x = 0 ympäristössä. Yhteenveton todettkoon, että on tehty seurvt hvinnot: Luseen nojll jokisell jtkuvll funktioll on integrlifunktio. Esimerkki puolestn osoitt, että epäjtkuvllkin funktioll voi oll integrlifunktioit. Esimerkin nojll kikill funktioill ei kuitenkn ole integrlifunktioit. Smll Esimerkki osoitt, että sellinen funktio, joll ei ole integrlifunktioit, voi kuitenkin oll integroituv. Esimerkki puolestn osoitt, että sellinen funktio, joll on välillä integrlifunktioit, ei välttämättä ole integroituv kyseisellä välillä. Huomutus Funktioll snotn olevn hyppäysepäjtkuvuus funktion määrittelyjoukon pisteessä, jos funktioll on olemss erisuuret, äärelliset toispuoleiset rj-rvot pisteessä. Voidn osoitt [20, s.19], että jos välillä I määritellyllä funktioll f on epäjtkuvuuskohtn hyppäysepäjtkuvuus, kuten Esimerkissä 3.4.6, niin funkioll f ei ole integrlifunktioit välillä I. 3.5 Määrätyn integrlin lskeminen Määrätyn integrlin käytännön lskemisess voidn usein turvutu iemmin esitettyyn Anlyysin perusluseeseen Myös osittisintegrointi j sijoitusmenettelyä voidn käyttää määrätyn integrlin rvon määrittämisen tuken. 37

42 3.5.1 Määrätyn integrlin osittisintegrointi Luseen nojll voidn osittisintegrointi sovelt Riemnnin integrlin määrittämiseen: Luse Olkoot funktiot f j g derivoituvi j vstvt derivttfunktiot f j g integroituvi välillä [, b]. Tällöin f(x)g (x) dx = b/ f(x)g(x) f (x)g(x) dx Määrätyn integrlin lskeminen sijoituksell Riemnnin integrlej voidn lske sijoituksell seurvn luseen nojll: Luse Olkoon f : I R jtkuv funktio välillä I. Olkoon [α, β] R väli. Olkoon g : [α, β] R jtkuvsti derivoituv funktio, jok täyttää ehdot: g(α) =, g(β) = b j g(t) I kikill t [α, β]. Tällöin f(x) dx = β α f(g(t))g (t) dt. Todistus. Kosk funktio f on jtkuv välillä I, niin sillä on Luseen nojll integrlifunktio F : I R. Trkstelln yhdistettyä kuvust F g : [α, β] R. Ketjusäännön nojll on d dt F (g(t)) = F (g(t))g (t) = f(g(t))g (t) kikill t [α, β] eli F g on jtkuvn funktion f(g(t))g (t) integrlifunktio välillä [α, β]. Anlyysin perusluseen nojll sdn β α f(g(t))g (t) dt = β/ F (g(t)) = F (g(β)) F (g(α)) α = F (b) F () = b/ F (x) = f(x) dx. Huomutus Määrätyn integrlin tpuksess funktion g ei trvitse oll idosti monotoninen, sillä käänteisfunktion g 1 olemssolo ei trvit, kosk tkisinsijoitust t = g 1 (x) ei trvitse tehdä. Esimerkiksi sijoituksell voidn todist seurv tärkeä esimerkki: 38

43 Esimerkki Olkoon luku > 0 j funktio f : [, ] R jtkuv. Tällöin, jos funktio f on prillinen eli f(x) = f( x) kikill x [, ], niin f(x) dx = 2 0 f(x) dx. Toislt, jos funktio f on priton eli f( x) = f(x) kikill x [, ], niin Numeerinen integrointi f(x) dx = 0. Jtkuvn funktion f : [, b] R määrätty integrli f(x) dx voidn helposti lske soveltmll Anlyysin peruslusett 3.4.4, mikäli funktiolle f löydetään integrlifunktio F : [, b] R. Aiemmin kuitenkin todettiin, että esimerkiksi ehdoll f(x) = e x2 määritellyllä funktioll f : [, b] R ei ole lkeisfunktioiden vull esitettävissä olev integrlifunktiot. Tällöin integrlille on lskettv likirvo käyttämällä numeerisi integrointimenetelmiä. Käsitellään näitä seurvss lyhyesti: Luseen perusteell huomtn, että eräs yksinkertinen numeerinen menetelmä on käyttää Riemnnin summi. Tällöin kuitenkin hyvän trkkuuden svuttmiseksi on käytettävä erittäin tiheää jko, mikä puolestn lisää lskuik j stt iheutt pyöristysvirheiden ksutumist [26, s.118]. Tehokkmpi menetelmiä ovt esimerkiksi puolisuunnikssääntö j Simpsonin kv. Puolisuunnikssäännössä muodostetn sellinen välin [, b] jko D = {x 0,..., x n }, että jkovälin pituudeksi tulee l( k ) = b n kikill k = 1,..., n jollin n N. Approksimoidn nyt integrli korvmll funktio f jkovälillä [x k 1, x k ] korkeintn ensimmäistä stett olevll polynomifunktioll, jonk rvot yhtyvät funktion f rvoihin välin [x k 1, x k ] päätepisteissä, jolloin välin [x k 1, x k ] yli lskettu integrli korvutuu lusekkeell f(x k 1 ) + f(x k ) h (3.6) 2 = h 39

44 kikill k = 1,..., n. Stiin siis rvio xk x k 1 f(x) dx h 1 2 (f(x k 1) + f(x k )), kun k = 1,..., n, joten integrlille yli koko välin [, b] sdn rvio f(x) dx h 2 f(x n 1 0) + h f(x k ) + h 2 f(x n) = T. (3.7) Kv (3.7) snotn puolisuunnikssäännöksi. Voidn osoitt (mikäli funktio f on kksi kert jtkuvsti derivoituv), että sääntöä käytettäessä tehdään virhe E n = k=1 f(x) dx T = (b )3 f (t) 12n 2 eräällä luvull t, jolle < t < b. Luku t ei yleensä tunnet, mutt virhettä voidn rvioid etsimällä sen itseisrvolle E n ylärj. Näin voidn peritteess tehdä, sillä jtkuvuuden nojll f s josskin välin [, b] pisteessä suurimmn rvons. Huomutus Jos f(x) 0 kikill x [x k 1, x k ], niin kvn (3.6) rvo on sen puolisuunnikkn pint-l, jonk knnt ovt f(x k 1 ) j f(x k ) j korkeus on x k x k 1. Integrli rvioitess voidn käyttää myös Simpsonin kv. Tällöin väli [, b] jetn prilliseen määrään yhtä pitkiä osvälejä siten, että l( k ) = b 2n = h kikill k = 1,..., 2n jollin n N j x k = +kh kikill k = 0,..., 2n. Korvtn funktio f välillä [x 2(k 1), x 2k ] kikill k = 1,..., n sellisell korkeintn toist stett olevll polynomifunktioll, jonk rvot yhtyvät funktion f rvoihin kyseisen välin [x 2(k 1), x 2k ] päätepisteissä j keskipisteessä. Kun nyt ensin lsketn jokisen edellä sdun funktion integrli yli välin [x 2(k 1), x 2k ] kikill k = 1,..., n j sitten sdut integrlit yhteen, niin sdn tuloksen Simpsonin kv ( ) b f(x) dx h n f() + (4f(x 2k 1 ) + 2f(x 2k )) f(b) = S. 3 k=1 Nyt voidn osoitt (mikäli funktio f on neljä kert jtkuvsti derivoituv), että Simpsonin kv käytettäessä tehdään virhe E n = f(x) dx S = (b )5 f (4) (t) 180n 4 40

45 eräällä luvull t, jolle < t < b. Jälleen luku t ei yleensä tunnet, mutt virheen itseisrvolle voidn yrittää etsiä ylärj, sillä f (4) s jtkuvuuden nojll suurimmn rvons josskin välin [, b] pisteessä. [26, ss ], [30, s.31], [25, ss ] 3.6 Epäoleellinen integrli Riemnnin integrlin f(x) dx määritelmän yhteydessä oletettiin, että f on suljetull välillä [, b], joss, b R, määritelty rjoitettu funktio. Ljennetn nyt tätä määritelmää tpuksiin, joiss integroimisväli on ääretön ti joiss f ei ole rjoitettu integroimisvälin jonkin pisteen ympäristössä. Tällisi integrlej snotn epäoleellisiksi Määrätty integrli yli rjoittmttomn välin Määritellään integrli yli äärettömän välin settmll seurv määritelmä: Määritelmä Olkoon luku R kiinteä. Olkoon funktio f integroituv kikill muoto [, d] olevill väleillä, kun luku d R täyttää ehdon d >. Nyt voidn muodost funktio F : [, [ R settmll F (c) = c f(x) dx kikill c [, [. Jos rj-rvo lim c F (c) on äärellinen, niin määritellään f(x) dx = lim c F (c) = lim j snotn, että epäoleellinen integrli c c f(x) dx, f(x) dx (3.8) suppenee. Muuss tpuksess snotn, että epäoleellinen integrli (3.8) hjntuu. Vstvll tvll määritellään epäoleellinen integrli f(x) dx = lim c 41 c f(x) dx

46 kikill muoto [d, ] olevill väleillä integroituvlle funktiolle f, kun luku d täyttää ehdon d <. Esimerkki Tutkitn, millä vkion R rvoill epäoleellinen integrli dx (3.9) x 1 suppenee. Määritellään funktio f : [1, [ R settmll f(x) = 1/x kikill x [1, [. Eräs funktion f integrlifunktio F sdn ehdost { x F (x) = +1 /(1 ), kun 1, ln x, kun = 1. Olkoon luku c R sellinen, että c 1. Tällöin Anlyysin perusluseen nojll sdn c 1 f(x) dx = 1 c/ F (x) = { (1 c +1 )/( 1), kun 1, ln c, kun = 1. Kun c, niin ln c. Lisäksi tällöin c 1 0, kun 1 < 0 eli kun > 1. Toislt, kun c, niin c 1, kun 1 > 0 eli kun < 1. Näin ollen epäoleellinen integrli (3.9) suppenee, jos j vin jos > 1. Tällöin epäoleellisen integrlin rvoksi sdn 1 dx x = 1 1. Riemnnin integrlin perusominisuuksien j rj-rvoj koskevien tulosten nojll voidn todist seurv luse: Luse Olkoot luvut α, β R vkioit j luku R kiinteä. Jos epäoleelliset integrlit f(x) dx suppenevt, niin epäoleellinen integrli suppenee j sen rvo on α j (αf(x) + βg(x)) dx f(x) dx + β 42 g(x) dx g(x) dx.

47 Huomutus Lusett vstv tulos pätee myös silloin, kun epäoleellisuus on lrjn suhteen. Epäoleellisuus voi oll myös sekä ylä- että lrjn suhteen. Tällöin, jos epäoleelliset integrlit f(x) dx j f(x) dx suppenevt jollkin luvull R, niin snotn, että epäoleellinen integrli suppenee j f(x) dx = f(x) dx (3.10) f(x) dx + f(x) dx. Huomutus Riemnnin integrlin perusominisuuksist seur, että pisteen sijinti relikselill ei vikut epäoleellisen integrlin (3.10) suppenemiseen eikä sen rvoon [25, s.410] Rjoittmttomn funktion määrätty integrli Tilnteet, joiss integroitv funktio ei ole rjoitettu trksteltvll välillä ntvt iheen seurvn määritelmään: Määritelmä Olkoot, b R sellisi kiinteitä lukuj, jotk toteuttvt ehdon < b. Oletetn ensin, että funktio f ei ole rjoitettu missään pisteen oikenpuoleisess ympäristössä ], + δ[, kun δ R j 0 < δ < b. Oletetn lisäksi, että f on integroituv kikill muoto [ + δ, b] olevill väleillä. Jos nyt määrätyllä integrlill F (δ) = +δ f(x) dx on äärellinen rj-rvo, kun δ 0+, niin snotn, että epäoleellinen integrli suppenee j f(x) dx (3.11) f(x) dx = lim f(x) dx. δ 0+ +δ Muuss tpuksess snotn, että epäoleellinen integrli (3.11) hjntuu. 43

48 Vstvsti, jos funktio f on integroituv kikill muoto [, b δ] olevill väleillä, kun luvulle δ R pätee 0 < δ < b, mutt f ei ole rjoitettu missään pisteen b vsemmnpuoleisess ympäristössä ]b δ, b[, niin määritellään δ f(x) dx = lim f(x) dx, δ 0+ mikäli edellä olev rj-rvo on olemss j se on äärellinen. Lisäksi, jos funktio f on integroituv kikill muoto [, c δ 1 ] j [c+δ 2, b] olevill väleillä, kun luvulle δ 1 R pätee 0 < δ 1 < c j luvulle δ 2 R pätee 0 < δ 2 < b c, mutt f ei ole rjoitettu missään pisteen c ympäristössä ]c δ 1, c + δ 2 [ \ {c}, niin määritellään c δ1 f(x) dx = lim f(x) dx + lim δ 1 0+ δ 2 0+ f(x) dx, c+δ 2 mikäli edellä olevt rj-rvot ovt äärellisinä olemss. Huomutus Funktion f ei trvitse oll määritelty integroimisvälin päätepisteessä, jott trvittv rj-rvo voidn muodost. Esimerkki Lsketn suorn määritelmän vull epäoleellinen integrli 1 dx. x Sdn 1 0 dx 1 dx = lim = lim x δ 0+ δ x δ 0+ 0 δ 1/ 2 x = lim δ 0+ (2 2 δ) = 2. Huomutus Edellä olev esimerkki on erikoistpus seurvst tuloksest, jok voitisiin todist suorn määritelmän vull: Epäoleellinen integrli 1 dx x suppenee, jos j vin jos vkiolle R on voimss ehto < Suppenemistesteistä 0 Kosk joidenkin funktioiden integrlifunktion keksiminen on todell vike, on kehitetty erilisi suppenemistestejä, jott epäoleellisten integrlien 44

49 trkstelut voidn plutt tuttuihin funktioihin. Kun tiedetään, että epäoleellinen integrli suppenee, voidn inkin sen likirvo usein määrittää numeerisill menetelmillä. [4, s.17] Suppenemistesteistä minittkoon Mjorntti- j minornttiperite. Annetn myös itseisen suppenemisen käsite j sitä koskev tulos. Vstvt todistukset löytyvät esimerkiksi teoksest [20]. Luse (Mjorntti-/minornttiperite). Olkoon luku R kiinteä. Olkoot f j g sellisi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä integroituvi funktioit, että 0 f(x) g(x) kikill pisteillä x. Jos epäoleellinen integrli ( mjorntti) suppenee, niin myös integrli suppenee j Jos ts ( minorntti) f(x) dx g(x) dx f(x) dx f(x) dx hjntuu, niin myös epäoleellinen integrli hjntuu. g(x) dx g(x) dx. Huomutus Muuntyyppiset epäoleelliset integrlit käsitellään vstvsti. Määritelmä Olkoon funktio f integroituv yli välin ], b[ sellisten suljettujen osvälien, joill epäoleellisuutt ei esiinny. Epäoleellinen integrli f(x) dx suppenee itseisesti, jos vstv epäoleellinen integrli suppenee. f(x) dx 45

50 Huomutus Edellä voi siis oll joko = ti b = ti molemmt. Itseistä suppenemist voidn tutki esimerkiksi mjorntti-/minornttiperitteen vull. Seurv tulos on hyödyllinen tutkittess epäoleellisen integrlin suppenemist: Luse Jos epäoleellinen integrli f(x) dx suppenee itseisesti, niin se suppenee. Tällöin f(x) dx f(x) dx. 3.7 Integrlin sovelluksi Monet sovelluksiss esiintyneet ongelmt ovt johtneet Riemnnin summien kltiseen summn rj-rvoon, mikä puolestn on johtnut integrlin käsitteen syntymiseen [25]. Trkstelln seurvksi, miten tsojoukon pintl, kppleen tilvuus j käyrän kren pituus voidn määrittää Riemnnin integrlien vull. Trksteluss tyydytään iemp hvinnollisempn esitystpn. Täsmällinen käsittely vtisi muun muss pint-ln j tilvuuden käsitteiden sekä käyrän kren ominisuuksien trkemp nlyysiä (ks. esim. [28, ss ]) Tsojoukon pint-l Oletetn, että tsojoukon pint-l on käsitteenä intuitiivisesti tuttu eli tsojoukon pint-l on kyseisen joukon sisältämien yksikköneliöiden lukumäärä. Lisäksi pint-lll on seurvt ominisuudet: (i) Tsojoukon pint-l on joko positiivinen luku ti noll. (ii) Suorkulmion, jonk knt on w j korkeus h, pint-l on wh. (iii) Yhtenevien tsojoukkojen pint-lt ovt yhtä suuret. (iv) Jos tsojoukko P sisältyy tsojoukkoon R, niin tsojoukon P pint-l on pienempi ti yhtä suuri kuin tsojoukon R pint-l. (v) Tsojoukon pint-l on sen peittävien erillisten osjoukkojen pintlojen summ. 46

51 Edellä listttujen ominisuuksien (iii) j (v) nojll voidn osoitt, että suunnikkn, jonk knt on w j korkeus h, pint-l on wh. Edelleen, kosk suunniks voidn muodost khdest yhtenevästä kolmiost, niin kolmion pint-lksi sdn kohdn (iii) nojll (wh)/2. Joukko K R 2 on monikulmio, jos se voidn jk kolmioihin siten, että jollin n N on K = K 1... K n, joss joukot K 1,..., K n ovt kolmioit, joiden sisukset ovt preittin erillisiä. Kohdn (v) nojll monikulmion pint-l on näiden kolmioiden pint-lojen summ. Yleisen tsojoukon rjt voivt oll krevt. Määritellään tällisen joukon pint-l sellisten monikulmioiden pintlojen rj-rvon, jotk yhtyvät yhä trkemmin trksteltvn joukkoon. [1, s.309] Huomutuksen yhteydessä hvittiin, että ei-negtiivisi rvoj svn rjoitetun funktion f : [, b] R kuvjn, x-kselin sekä suorien x = j x = b rjoittmn tsojoukon B = { (x, y) R 2 : x b, 0 y f(x) } pint-llle S(B) sdn rvio s D (f) S(B) S D (f) mielivltisell välin [, b] joll D. Edelleen, jos funktio f on integroituv välillä [, b], niin S = sup {s D : D on välin [, b] jko} = inf {S D : D on välin [, b] jko}, joten S S(B) S eli S(B) = S. Stiin siis Luse Olkoon funktio f : [, b] R integroituv j f(x) 0 kikill x [, b]. Olkoon joukko B määritelty, kuten edellä. Tällöin joukoll B on pint-l S(B) = f(x) dx. Huomutus Jos integroituvn funktion f rvot välillä [, b] ovt negtiiviset, niin funktion f mielivltist jko D vstvien l- j yläsummien jokinen termi on vstvn suorkulmion pint-ln vstluku, joten funktion kuvjn j x-kselin väliin jäävän lueen pint-l välillä [, b] on f(x) dx. Vstvsti ylä- j lsummien vull [24, s.44] voidn osoitt Luse Olkoot f j g sellisi välillä [, b] integroituvi funktioit, että f(x) g(x) kikill x [, b]. Tällöin joukon B = { (x, y) R 2 : x [, b], g(x) y f(x) } pint-l S(B) on S(B) = (f(x) g(x)) dx. 47

52 3.7.2 Tilvuus Oletetn geometrist tunnetuksi suor lieriö j sen tilvuuden kv V = Ah, joss A on lieriön pohjn pint-l j h lieriön korkeus. Trkstelln mielivltisen muotoist äärellisen kokoist kpplett j pyritään määrittämään sen tilvuus. Otetn vuksi koordinttikseli (x-kseli) j oletetn, että kpple sijitsee sellisten x-kseli vstn kohtisuorien tsojen välissä, että tsojen j x-kselin leikkuspisteiden koordintit ovt x = j x = b. Olkoon mielivltisen x-kseli vstn kohtisuorn tson j kppleen leikkuskuvion pint-l A(x). Oletetn, että pint-lfunktio A on ploittin jtkuv välillä [, b], mikä merkitsee sitä, että kpple ei ole liin monimutkinen. Jetn nyt väli [, b] jkoväleihin [x 0 =, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n = b] jollin n N siten, että x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x n x n 1 = x j leiktn kpple viipleiksi jkopisteiden kutt kulkevill x-kseli vstn kohtisuorill tsoill. Kun jkovälien lukumäärä n on suuri, niin jokisen edellä sdun viipleen tilvuus on likimäärin yhtä suuri kuin sellisen suorn lieriön tilvuus, jonk pohj yhtyy viipleen toiseen tsopintn eli V k A(x k ) x kikill k = 1,..., n, joten koko kppleen tilvuudelle sdn likirvo n n V V k = A(x k ) x. (3.12) k=1 Geometrisen hvinnon perusteell edellä stu likirvo on sitä prempi, mitä suurempi n on eli likirvon virhe lähestyy noll, kun viipleiden pksuus lähestyy noll. Toislt, kosk pint-lfunktio A on ploittin jtkuvn myös rjoitettu j kvn (3.12) summ on selvästi pint-lfunktion A Riemnnin summ, niin jkovälien lukumäärän n ksvess rjtt sdn Stiin siis lim n k=1 n A(x k ) x = k=1 A(x) dx. Luse Olkoon äärellinen kpple pisteisiin x = j x = b setettujen x-kseli vstn kohtisuorien tsojen välissä j A: [, b] R sellinen ploittin jtkuv funktio, jolle A(x) on x-kseli vstn kohtisuorn tson j kppleen leikkuskuvion pint-l kohdss x. Tällöin kppleen tilvuus on V = 48 A(x) dx.

53 [25, s.346] Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio. Annetn käyrän y = f(x) pyörähtää x-kselin ympäri xyz-vruudess R 3, jolloin syntyy pyörähdyskpple B = { (x, y, z) R 3 : x b, y 2 + z 2 (f(x)) 2}. (3.13) Nyt Luseen nojll sdn Luse Pyörähdyskppleen B tilvuus on [29, s.30] V = π (f(x)) 2 dx Käyrän kren pituus Oletetn tunnetuksi jnn pituuden kv d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2, joss (x 1, y 1 ) R 2 j (x 2, y 2 ) R 2 ovt jnn päätepisteet. Olkoon f : [, b] R jtkuvsti derivoituv funktio. Pyritään määrittämään käyrän y = f(x) pituus välillä [, b]. Jetn väli [, b] yhtä pitkiin osväleihin [x 0 =, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n = b] jollin n N j käytetään jkopistettä x k vstvlle käyrän pisteelle merkintää P k kikill k = 0,..., n. Hvitn, että jkovälien lukumäärän n olless suuri on murtoviivn P 0 P 1... P n pituus likimäärin yhtä suuri kuin käyrän kren pituus s eli s n (xk x k 1 ) 2 + (f(x k ) f(x k 1 )) 2. k=1 Differentililskennn välirvoluseen nojll väliltä ]x k 1, x k [ löytyy sellinen piste ξ k, että f(x k ) f(x k 1 ) = f (ξ k )(x k x k 1 ) kikill k = 1,..., n. Nyt käyrän kren pituuden likirvoksi sdn s n x 1 + (f (ξ k )) 2, (3.14) k=1 49

54 joss x = x k x k 1 kikill k = 1,..., n. Geometrisen hvinnon nojll jkovälien lukumäärän n ksvess rjtt murtoviivn pituus lähestyy käyrän kren pituutt. Toislt, kosk funktio f on jtkuvsti derivoituv välillä [, b], niin välillä [, b] ehdoll g(x) = 1 + (f (x)) 2 määritelty funktio g on jtkuv j siis myös rjoitettu välillä [, b]. Kvn (3.14) summ on siis funktion g Riemnnin summ, joten jkovälien lukumäärän n ksvess rjtt sdn Stiin siis lim n n x 1 + (f (ξ k )) 2 = k=1 1 + (f (x)) 2 dx. Luse Olkoon funktio f : [, b] R jtkuvsti derivoituv. Tällöin käyrän y = f(x) kren pituus s välillä [, b] on s = 1 + (f (x)) 2 dx Toinen näkökulm integrleihin Käsitellään vielä integrlej hiemn toisest näkökulmst. Trvitsemme luksi differentilin käsitteen, jonk jälkeen huomtn, että integrli yli välin [, b] voidn tulkit differentilien summn. Näin stu menetelmää käytetään usein sovelluksiss integrlin muodostmiseksi. Olkoon funktio f derivoituv välillä I, johon piste x kuuluu. Tiedetään, että funktioll f on derivtt pisteessä x, jos j vin jos funktioll f on differentilikehitelmä pisteessä x eli funktion f lisäys f on muoto f = f(x + x) f(x) = f (x) x + ɛ( x) x, (3.15) joss ɛ on sellinen funktio, että lim x 0 ɛ( x) = 0. Differentilikehitelmän (3.15) vull sdn siis funktion f lisäys f hjoitetuksi khteen osn f (x) x j ɛ( x) x. Jos f (x) 0, niin jälkimmäinen os lähestyy oleellisesti nopemmin noll, kun x 0, sillä ɛ( x) x lim x 0 f (x) x = lim ɛ( x) x 0 f (x) = 0. Näin ollen, jos x on pieni, niin f f (x) x. Merkitään y = f(x). Termiä f (x) x snotn funktion f differentiliksi j merkitään dy = df = f (x) x. Differentilin rvo riippuu siis khdest tekijästä x j x. 50

55 Erityisesti, jos f(x) = x kikill x I, niin käyttämällä funktion f differentilille lyhyttä merkintää dx sdn dx = df = f (x) x = 1 x = x. (3.16) Yleisesti funktion f differentilille sdn siis luseke dy = df(x) = f (x) dx. (3.17) Huomutus Jkmll kvss (3.17) differentili dy differentilill dx sdn dy dx = f (x). Siis derivtn rvo f (x) voidn tulkit differentilien dy j dx osmääräksi. [25, ss ] Edellä olleiden sovellusten yhteydessä hvittiin, että suureen likirvo voidn määrittää Riemnnin summn n f(ξ k )l( k ) (3.18) k=1 vull, joss funktio f : [, b] R on jtkuv, l( k ) on välin [, b] jkoon D = {x 0,..., x n } liittyvän jkovälin [x k 1, x k ] pituus kikill k = 1,..., n, joss n N, j luku ξ k on jokin jkovälin [x k 1, x k ] piste kikill k = 1,..., n. Summn (3.18) rj-rvon j suureen trkkn rvon, kun jko D tihenee rjtt, on tällöin integrli f(x) dx. (3.19) Integrliin siirryttäessä oleellist on vin se, että jkovälin [x k 1, x k ] pituus l( k ) lähestyy noll kikill k = 1,..., n. Pisteen ξ k vlinnll jkovälillä [x k 1, x k ] ei ole merkitystä millään k = 1,..., n. Integrli (3.19) on siis muoto f(x) x olevien termien summn rj-rvo, kun x 0. Kvn (3.16) nojll integrli on siis muoto f(x) dx olevien differentilien summn rj-rvo, kun x 0. Huomutus Integrlilskennn kehitys on snut lkuns jtuksest, että integrli on äärettömän pienten suureiden summ. Ajtus on mtemttisesti epätäsmällinen, mutt toislt yksinkertist käytännön lskutehtäviä. Täsmällinen esitys perustuu rj-rvon käsitteeseen. Abrhm Robinson osoitti 1960-luvull, että jtus äärettömän pienistä suureist eli infinitesimleist differentili- j integrlilskennn peruskäsitteinä voidn toteutt myös mtemttisesti täsmällisessä muodoss ljentmll relilukujoukko siten, että se sisältää myös äärettömän suuri j infinitesimlisen pieniä lkioit. Tällöin puhutn hyperrelisist luvuist. 51

56 [25, ss ] Esimerkki Johdetn nyt pyörähdyskppleen vipn llle kv soveltmll edellä stu menetelmää: Olkoon f sellinen välillä [, b] jtkuvsti derivoituv funktio, että f(x) 0 kikill x [, b]. Annetn käyrän y = f(x) pyörähtää x-kselin ympäri xyz-vruudess R 3, jolloin syntyy pyörähdyskpple. Olkoon käyrän kren pituus s. Pyörähdyskppleen pint-lkion pint-l da pisteessä x on da = 2πf(x) ds = 2πf(x) (dx) 2 + (dy) 2 = 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx, joten pyörähdyskppleen vipn pint-lksi A sdn [25, s.360] A = 2π f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. Huomutus Äärettömien lueiden pint-lt j äärettömien kppleiden tilvuudet voidn määritellä vstvin epäoleellisin integrlein [26, s.95] Jtkuvt todennäköisyysjkumt Käsitellään vielä lyhyesti jtkuvien jkumien teori integrlilskennn oslt. Lukijn oletetn tuntevn todennäköisyyslskentn liittyviä peruskäsitteitä. Määritelmä Funktio f : R R on erään jtkuvn stunnismuuttujn tiheysfunktio, jos epäoleellinen integrli f(x) dx suppenee kohti luku 1 j funktio f on jtkuv kikkill, pitsi mhdollisesti äärellisen moness kohdss, j funktio toteutt ehdon f(x) 0 kikill x R. Määritellään nyt jtkuvn stunnismuuttujn kertymäfunktio seurvll tvll: 52

57 Määritelmä Olkoon f jtkuvn stunnismuuttujn X tiheysfunktio. Tällöin X:n kertymäfunktio F määritellään ehdoll F (x) = x f(t) dt. Luse Olkoon X jtkuv stunnismuuttuj, joll on tiheysfunktio f : R R. Tällöin kvt P (X ) = F () = f(x) dx, kun R j P ( X b) = f(x) dx = F (b) F (), kun, b R j < b kertovt ne todennäköisyydet, että stunnismuuttujn X rvo osuu välille ], ] ti vstvsti välille [, b]. Määritelmä Olkoon jtkuvn stunnismuuttujn X tiheysfunktio f. Tämän stunnismuuttujn odotusrvo on j vrinssi EX = µ = D 2 X = σ 2 = xf(x) dx (x µ) 2 f(x) dx, mikäli vstvt epäoleelliset integrlit suppenevt. Muuttujn X keskihjont on vrinssin neliöjuuri DX = σ. [27, ss ], [29, s.39] 53

58 4 Integrlilskennst lukion oppikirjoiss Tässä luvuss trkstelln viiden eri oppikirjsrjn kurssej Integrlilskent, Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä sekä Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi vrten kirjoitettuj oppikirjoj. Tutkittvin kirjsrjoin ovt Mtemtiikn tito, teokset [5], [6] j [7]; Ludtur, teokset [8], [9] j [10]; Lukion Clculus, teokset [14], [15] j [16]; Pitkä mtemtiikk, teokset [17], [18] j [19] sekä Pyrmidi, teokset [22], [11] j [23]. Lukion Clculus 5 sisältää sekä kurssit Trigonometriset funktiot j lukujonot että Integrlilskent; kirjst huomioidn kuitenkin vin kurssi Integrlilskent koskev osuus. Oppikirjsrjoihin mhdollisesti liittyviä opettjn mterilej eikä mhdollisesti verkost löytyviä lisämterilej otet tässä tutkielmss huomioon. On huomttv, että oppikirj-nlyysi on näkemyksiltään vrsin subjektiivinen. Tämä on kuitenkin trkoituksenmukist, sillä llekirjoittnut hlu korost oppikirjojen erovisuuksi j toislt suhdett tutkielmn teoriosuuteen. Tässä yhtenä pukeinon on esittää jo tässä luvuss huomutuksi, kysymyksiä j pohdint, vikk vrsinisesti sen pikk olisi vst Luvuss 5. Oppikirjoj ei ole kuitenkn trkoitus litt järjestykseen millään tvll. 4.1 Yleisiä huomioit Anlysoidn oppikirjoj luksi päällisin puolin trkstelemll muun muss kirjojen rkennett, sivumääriä sekä esimerkki- j hrjoitustehtävien lukumääriä. Kikki kirjt lkvt opiskelijlle j opettjlle suunntull esipuheell ti lkusnoill. Kikiss kirjoiss on myös sisällysluettelo. Ajnkäyttöehdotus ti iktulusuunnitelm löytyy kikist muist oppikirjsrjoist pitsi Pyrmidist j Lukion Clculuksest. Mtemtiikn tito ehdott kurssien läpikäymiseksi 30 tunti, Ludtur 25 tunti j Pitkä mtemtiikk 28 tunti. Ludturiss on jnkäyttöehdotus myös 75 minuutin oppituntej vrten, jolloin kokonistuntimäärä on 16 tunti. Ludtur-oppikirjojen luss on myös käsitekrtt, joss on kuvttu, miten kyseisen kurssin käsitteet linkittyvät toisiins j iemmin esiintyneisiin käsitteisiin. Sen lisäksi Ludturiss on Test lähtötitosi -osio, joss on 10 tehtävää liittyen iemmin opiskeltuihin käsitteisiin, joiden osminen on välttämätöntä uusien käsitteiden omksumiseksi. Esimerkiksi kurssin Integrlilskent oppikirjss nämä tehtävät kertvt lähinnä yhdistetyn funktion derivointi sekä suorn ympyräkrtion j suorn ympyrälieriön tilvuuksien määrittämistä. Ludtur-oppikirjoist löytyy myös Test hyvät titosi -kertustehtäväosiot 54

59 puolest välistä kurssej sekä kurssien loputtu; kusskin osioss on 10 tehtävää. Pitkä mtemtiikk sisältää otteen Lukion opetussuunnitelmn perusteist j kunkin kurssin kohdll opetussuunnitelmn perusteiss kurssille setetut oppimistvoitteet j keskeiset sisällöt. Kurssin Integrlilskent Pitkä mtemtiikk loitt derivointikertuksell. Kirjn teoriosuus loppuu syventävään lukuun Integrlilskennn teori, joss muun muss täsmennetään funktion kuvjn j x-kselin rjmn lueen pintln j funktion määrätyn integrlin välistä yhteyttä. Lisäksi tutustutn määrättyyn integrliin historillisest näkökulmst. Kukin kirj päättyy kertusosioon sisältäen teori, hrjoituksi j hrjoituskokeit, lukuun ottmtt seurvi poikkeuksi: Mtemtiikn titokirjsrjn kurssej Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä j Differentilij integrlilskennn jtkokurssi vrten kirjoitetuiss oppikirjoiss on vin kertuskoeosio. Lukion Clculus-oppikirjoiss puolestn on lisätehtävä- j kertuskoeosiot. Pyrmidi-srjn lopuss on kurssin Integrlilskent oppikirjn oslt hrjoituskokeit j lyhyt kooste -osio teorist. Kirjss Pyrmidi 12 on vin hrjoituskoeosio j kirjss Pyrmidi 13 ei ole kumpkn. Pitkä mtemtiikk-srjss ei ole hrjoituskokeit, vn tehtäväsrjoj, jotk sisältävät tvllist vtivmpi tehtäviä kurssin lueelt. Tosin kirjss Pitkä mtemtiikk 12 ei ole kertus- ti lisätehtävä-osiot ollenkn. Kirjojen lopust löytyy myös tehtävien vstukset sekä hkemisto. Ludturiss on ivn kirjojen lopuss kääntösivut usein trvittville tiedoille sisältäen muun muss määritelmiä j kvoj. Smntyyliset kääntösivut löytyvät myös teoksest Lukion Clculus 7. Kääntösivujen lisäksi Ludturin kurssin Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä-oppikirjss nnetn ohjeit Excelin j grfisen lskimen käyttöön mllinnuksess. Mtemtiikn tito-srjss on puolestn Tutkimus- j hrrstustehtävä-osio sekä suomlis-englntilinen snsto lukuun ottmtt kurssi Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi vrten kirjoitettu kirj. Ludtur -kirjsrjss kirjojen tkknnest löytyvät kunkin kurssin kohdll lukion opetussuunnitelmn perusteiss esiintyvät kyseistä kurssi koskevt oppimistvoitteet j keskeiset sisällöt. Muiden kirjsrjojen oppikirjojen tkknnest löytyy kyseisen srjn teokset kursseittin lueteltuin. Tulukoss 1 on listttun trksteltvien oppikirjojen sivumäärät sekä esimerkki- j hrjoitustehtävät. Esimerkkeihin j hrjoitustehtäviin on lskettu vin teorin yhteydessä esiintyvät tehtävät, ei siis mhdollisi kertusosioss esiintyviä esimerkkejä ti kertusosioon liittyviä hrjoitustehtäviä eikä kirjsrjojen eri testeihin ti kokeisiin liittyviä tehtäviä. Kurssien Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä sekä Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi oslt on esimerkkien j hrjoitustehtävien lskennn kohdll otettu huomioon vin integrlilskentn liittyvät tehtävät. On huomttv, 55

60 että tulukoss esiintyvien tehtävien lukumäärää ei voi suorn pitää kirjn kikkien tehtävien lukumääränä, sillä tehtävät usein jkutuvt useisiin lkohtiin. Myöskään sivumääriä ei voi suorn verrt, sillä niihin vikuttvt sisisällön määrän lisäksi myös kirjn ldont, esimerkki- j hrjoitustehtävien määrä sekä kertus- j vstus-osion ljuudet. Kirjn Lukion Clculus 5 sivumäärä on koko kirjn sivumäärä, sisältäen siis myös kurssin Trigonometriset funktiot j lukujonot. Tulukoss 1 on kunkin kirjn nimen perässä sulkeiss kirjlle lyhenne. Nämä lyhenteet otetn jtkoss käyttöön. Kirj (lyhenne) Sivuj Esim. Hrjoitustehtäviä Mtemtiikn tito 10 (MT10) Ludtur 10 (L10) Lukion Clculus 5 (LC5) Pitkä mtemtiikk 10 (PM10) Pyrmidi 10 (Py10) Mtemtiikn tito 12 (MT12) Ludtur 12 (L12) Lukion Clculus 7 (LC7) Pitkä mtemtiikk 12 (PM12) Pyrmidi 12 (Py12) Mtemtiikn tito 13 (MT13) Ludtur 13 (L13) Lukion Clculus 8 (LC8) Pitkä mtemtiikk 13 (PM13) Pyrmidi 13 (Py13) Tulukko 1: Oppikirjojen sivumäärät sekä esimerkki- j hrjoitustehtävät Pyrmidin ldonnss on käytetty usempi värejä. Muut oppikirjsrjt ovt kksivärisiä. Värillisillä ltikoill korostetn esimerkiksi tärkeitä määritelmiä j luseit. 4.2 Suhde lukion opetussuunnitelmn perusteisiin Anlysoidn seurvksi kirjsrjojen mtemttist sisältöä j suhdett lukion opetussuunnitelmn perusteisiin tältä osin. Huomiot kiinnitetään erityisesti mtemttisten käsitteiden määritelmiin j oppikirjoiss esiintyviin luseisiin. Anlysoidn käytettyjä merkintöjä, teosten bstrktiotso j esityksen täsmällisyyttä. Näiden kohdll tutkitn erityisesti, miten ne suhtutuvt Luvuss 3 nnettuihin integrlilskennn käsitteisiin. 56

61 Entä löytyykö erikoistpuksi j mikä on yleisyysste? Smll nlysoidn myös hiukn kielellistä struktuuri mtemttiselt knnlt Integrlilskent Aloitetn tutkimll kurssi Integrlilskent vrten kirjoitettuj oppikirjoj eli teoksi MT10, L10, LC5, PM10 j Py10. Kikki kirjt esittelevät integrlifunktion käsitteen ennen määrättyä integrli. Näiden jälkeen käsitellään integrlin sovelluksi. Mtemtiikn titoon sisältyy myös lyhyt epäoleellisi integrlej koskev luku, vikk epäoleelliset integrlit kuuluvt vrsinisesti kurssiin Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi. MT10 merkitseekin tätä luku tähdellä, mikä trkoitt sitä, että si ei kirjn tekijöiden käsityksen mukn kuulu kurssin keskeisiin sisältöihin. Kirj käyttää epäoleellisist integrleist nimitystä epäolenniset integrlit. Kosk integrlilskennn kurssi voidn jk luontevsti kolmeen osn (määräämättömään integrliin, määrättyyn integrliin j integrlin sovelluksiin), niin nlysoidn ensin kirjoj yksi kerrlln määräämättömään integrliin j sitten määrättyyn integrliin liittyvän teorin oslt. Lopuksi ktsotn vielä sovelluspuolt, mutt pääpino on kuitenkin edellä minituiss integrlilskennn peruskäsitteissä. Tutkitn ensimmäiseksi Mtemtiikn tito. MT10 määrittelee integrlifunktion käyttäen kutkuinkin sm nottiot, kuin mitä Luvuss 3 integrlifunktiolle käytettiin. Nimitystä integrndi kirj ei käytä. Funktion f integrlifunktiot kutsutn myös lyhyesti integrliksi. Integrlifunktion todetn olevn määritelmänsä perusteell derivoituv j siten myös jtkuv trksteltvll välillä. Luseen tuloksen MT10 esittää todistmtt sitä, todistus jätetään tutkimus- j hrrstustehtäväksi. Derivoinnin j integroinnin todetn olevn käänteisiä toimituksi. Merkinnän dx kerrotn osoittvn integrlifunktion muuttujn. MT10 tote, että vkiotekijän siirtämistä koskevst derivoimissäännöstä seur, että vkiotekijä voidn siirtää integrlimerkin ohi integroitess vkioll kerrottu funktiot. Smoin todetn, että kosk summ voidn derivoid termeittäin, niin myös integrointi voidn suoritt integroimll summ termeittäin. Polynomifunktion integrointi -kppleen yhteydessä todistetn derivoimll seurvt integroimissäännöt, kun n N: x n dx = xn+1 n C, joss vkio C R, j 1 dx = ln x + C, x 57

62 joss luku C on vkio. Yleinen potenssifunktion integroimissääntö otetn käyttöön myöhemmin esittelemällä se j totemll, että se on seurust vstvst derivoimissäännöstä. Rtionlifunktion integrointi -kpplett merkitään tähdellä, joten sen ei siis ktsot kuuluvn kurssin keskeisiin sisältöihin. Kiken kikkin MT10 esittelee vrsin kttvsti derivoimll todistettviss olevi integroimissääntöjä. Kppleen Integroimismenetelmiä yhteydessä nnetn luse, jok kertoo, että jokisell jtkuvll funktioll on integrlifunktio. Luseen todistuksen snotn olevn koulukurssiin kuulumton. MT10 tote, että myös epäjtkuvll funktioll voi oll integrlifunktio, tosin erittäin hrvinisiss tpuksiss. Eräs esimerkki tällisest funktiost nnetn hrjoitustehtävissä. Kppleess käsitellään ploittin määritellyn funktion integroimist j esitellään osittisintegroinnin kv sekä käsitellään integrointi sijoituksen vull. Sijoitusmenetelmää käsittelevä osuus on merkitty tähdellä. MT10 ei näyttäisi integrlifunktion teorin yhteydessä minitsevn sitä seikk, että kikkien lkeisfunktioiden integrli ei voi esittää äärellisellä määrällä lkeisfunktioit, vst Tutkimus- j hrrstustehtävien yhteydessä kirjn lopull on tästä minint numeerisen integroinnin yhteydessä, jot lyhyesti tehtävissä käsitellään. Kielellisesti kirjn teksti on hyvää j kirjn ldont noudtt mtemtiikn kirjoittmiselle setettuj stndrdej vrsin mukvsti: määritelmät, luseet, todistukset j esimerkit erotelln j kvt on ldottu osksi virkkeitä välimerkkeineen, mikä miellyttää inkin mtemtiikk lukemn tottunutt lukij. Ludtur lk luvull Integrlifunktio. Kirj näyttäisi käyttävn huomttvsti vähemmän mtemttisi symbolej kuin mitä Mtemtiikn tito. Esimerkiksi integrlifunktion määritelmä nnetn vhvsti kielentäen: Olkoon funktio f määritelty jollkin välillä. Jos välin jokisess pisteessä F (x) = f(x), funktio F on funktion f integrlifunktio. Kummlliselt tuntuu myös tilnne, joss ensin kerrotn seurv tulos (jot ei todistet): Jos F (x) on funktion f(x) integrlifunktio, myös kikki muoto F (x) + C olevt funktiot ovt funktion f(x) integrlifunktioit. Tämän jälkeen esitetään esimerkkitehtävä, joss yhtenä lkohtn pyydetään määrittämään funktion f(x) = x 1 kikki integrlifunktiot. Vstukseksi sdn Funktion f(x) kikki integrlifunktiot F (x) = 1 2 x2 x + C, missä C on vkio. Olisi husk tietää, millä perusteell tulos on stu, ei inkn edellä esitetystä, sillä eihän se vielä kerro, että kikki funktion f integrlifunktiot olisivt muoto F + C. Tosin heti esimerkin jälkeen esitetään tulos, jot jo rtkisuss mitään minitsemtt käytetään: Funktion f(x) kikki integr- 58

63 lifunktiot f(x) dx = F (x) + C F (x) on jokin funktion f(x) integrlifunktio. C on integroimisvkio. Tässä koht ei kyllä toteudu kirjn tekijöiden lkusnoiss totem tvoite kirjoitt selkeä j johdonmukinen oppikirj. Mtemtiikk lukemn tottunutt häiritsee myös phsti se, ettei mtemtiikk kirjoitet, niin kuin mtemtiikk pinetuiss julkisuiss yleensä kirjoitetn, vn teksti vikutt olevn ennemmin tulutyöskentelyn kopiointi. Tästä hyvänä esimerkkinä on edellä esitetty tulos. L10 ei myöskään nimeä luseit j määritelmiä. Niitä tosin korostetn sijoittmll ne värillisiin ltikoihin. Todistuksi ei tekstistä erotell. Integrlifunktion ominisuudet Ludtur koko hyvin: L10 tote, että integrlifunktion määritelmän nojll integrlifunktion määrittelyjoukko on in yhtenäinen väli, j funktion j sen integrlifunktion määrittelyjoukkojen pitää oll smt. Smll todetn, että jokisell jtkuvll funktioll on integrlifunktio (Todistus sivuutetn.). L10 ei kuitenkn minitse sitä tosisi, että myös epäjtkuvll funktioll voi oll integrlifunktioit, kuten Mtemtiikn tidoss tehdään. Integrlifunktiost todetn myös, että kosk integrlifunktio on derivoituv, niin se on myös jtkuv koko määrittelyjoukossn. Lopuksi L10 huomutt, että vikk funktioll olisi integrlifunktio, sitä ei in ole mhdollist lusu nlyyttisessä muodosss eli lkeisfunktioiden vull. Tämä minint olisi voinut oll myös Mtemtiikn tidoss! Luvuss 2, Integroiminen, esitetään derivoimissääntöjen vull todistettviss olevt integroimissäännöt potenssifunktiolle, lusekkeell 1/x määritellylle funktiolle, kun x 0, eksponenttifunktiolle sekä sini- j kosinifunktioille. Näistä khdelle ensimmäiselle esitetään todistukset derivoimll. Derivoimll todistetn myös vkioll kerrotun funktion integroimissääntö sekä funktioiden summn integroimist koskev sääntö. Luvuss 2 L10 snoo funktion integroimisen trkoittvn kikkien funktion integrlifunktioiden määrittämistä. Kuitenkin ensimmäisessä luvuss, Integrlifunktio, kirj kutsuu integroimiseksi sellist toimenpidettä, joss hetn funktiot, jonk derivttfunktio tunnetn. Ehkä on jo hiusten hlkomist, mutt edellä on käsitettä integroiminen käytetty hiemn ristiriitisen oloisesti. Luvun 3 otsikko on Yhdistetyn funktion j ploittin määritellyn funktion integrlifunktio. Eikö nyt puhutkn enää integroimisest? Jos hiemn sivrrelln, niin nämä kksi luku voisi kyllä yhdistää. MT10 käsittelee kikki edellä esitellyt sit yhden luvun ll otsikoll Integrlifunktio. Luvuss 3 Ludtur esittelee siis yhdistetyn funktion integroimissäännön, 59

64 jok päätellään yhdistetyn funktion derivoimissäännön vull: Yhdistetyn funktion integroimissääntö s (x)f(s(x)) dx = F (s(x)) + C F on funktion f jokin integrlifunktio. Rtionlifunktion integroinnist ei minit tpust, joss jko ei mene tsn j integrndi on siinä muodoss, että yhdistetyn funktion integroimissääntöä ei void käyttää. Ludtur tote vin, että Tulon j osmäärän integrli sdn joko yhdistetyn funktion integroimissäännöllä ti suorittmll lskutoimitus. MT10 puolestn esittelee jkokulmn j osmurtokehitelmän käyttämisen integroinnin pun. Ludturist ei löydy myöskään osittisintegrointi eikä sijoitusmenetelmää. Lukion Clculus jk kurssin Integrlilskent oppiineksen khteen lukuun: Integrlifunktio j Määrätty integrli. Luvuist ensimmäinen jkutuu viiteen llukuun lken johdnnoll, joss lyhyesti tutustutn integrlilskennn khteen perusongelmn: On konstruoitv käyrä, jonk tngentit tunnetn, eli on löydettävä funktio sen derivtn perusteell. Toinen integrlilskennn perusongelm on selvittää, miten voidn lske tunnetun käyrän rjmn kuvion pint-l. LC5 tote, että vikk esitetyt integrlilskennn perusongelmt ovt täysin erityyppisiä, osoittutuu kuitenkin, että ne liittyvät hyvin läheisesti toisiins. Smll LC5 kertoo, että edellä olev yhteys esitellään myöhemmin nlyysin perusluseess. Derivoimiselle käänteistä toimenpidettä LC5 kutsuu integroimiseksi, joss tehtävänä on muodost funktio, kun tunnetn sen derivtt. Alluvuss Integrlifunktio Lukion Clculus esittelee integrlifunktion määritelmän smn tyyliin kuin Ludtur: Olkoon funktio f määäritelty tietyllä välillä. Jos on olemss sellinen funktio F, että välin kikiss pisteissä F (x) = f(x), funktiot F snotn f:n integrlifunktioksi. Heti määritelmän jälkeen LC5 tekee hvinnon, että integrlifunktio on in derivoituv j siten myös jtkuv. Luseen tuloksen LC5 esittelee kutkuinkin smn tpn kuin tehtiin Luvuss 3. Teos todist luseen olettmll Lemmn tuloksen, jot ei siis todistet. Summst F (x)+c LC5 käyttää nimitystä määräämätön (ti yleinen) integrli. Integrndi LC5 kutsuu integroitvksi. Tähän skk nlysoiduist kirjoist LC5 käsittelee integrlikäyriä ljimmin. LC5 ei kuitenkn minitse käsitettä lkuehto, toisin kuin MT10. Toislt L10 ei esittele kumpkn käsitettä. Lukion Clculus kirjoitt mtemtiikk vrsin mukvsti: Kvt ovt osn kokonisi virkkeitä välimerkkeineen. Virkkeitä ei loitet symboleill. Määritelmiä korostetn pitsi värillisillä ltikoill, myös kertomll milloin kysymyksessä on määritelmä. Myös luseit korostetn, näille kipisi myös 60

65 snllist erottelu. Huomutuksist minitn, mutt todistuksi ei korostet. Miksi? Pelätäänkö, että lukij hyppää todistuskohdt yli, jos ne on otsikoitu erikseen. Alluvuss 3 Lukion Clculus esittelee vkion integroinnin, summn integroinnin, vkiotekijän siirron j potenssifunktion integroinnin säännöt. Khdelle viimeksi minitulle esitetään myös todistus derivoimll. Luseen Jokisell jtkuvll funktioll on integrlifunktio. pikkns pitävyyden LC5 kertoo osoittvns myöhemmin. Smll LC5 minitsee, ettei kikki integrlifunktioit pystytä lusumn lkeisfunktioiden vull. Tällisist integrndeist on myös muutm esimerkki. Alluvuss 4 Lukion Clculus nt vrsin kttvn kokoelmn integroimissääntöjä muistutten Lusett j Alluvuss 5 käsitellään yhdistetyn funktion integrointi j sdn smll erikoistpuksen smoj kvoj kuin Luseess Osittisintegroinnist, sijoitusmenetelmästä ti osmurtokehitelmästä LC5 ei minitse mitään. Pitkä mtemtiikk jk oppiineksen todell moneen lukuun numeroimtt inuttkn. Seurvss on ote sisällysluettelost: Derivointikertust, Muutosnopeudest määrään, Integrlifunktio, Integroiminen, Funktion 1/x integroiminen,.... Allekirjoittnut jää kyllä kipmn yläotsikoit j numerointi, nyt sisällysluettelo näyttää vrsin pirstleiselt. Määritelmät j luseet PM10 erottelee mukvsti, edelleen todistus -otsikointi jää kipmn. Kvt PM10 punoo kohtuu hyvin osksi virkkeitä, tosin esimerkeissä on joittin tulumist kirjoitustyyliä: kvt eivät ole osn virkkeitä j niiden vieressä on selittäviä merkintöjä j tekstiä. Myös PM10 käyttää vrsin niuksti joukko-opillisi merkintöjä, esimerkkinä integrlifunktion määritelmä: Funktio, jonk derivttfunktio on f, on funktion f integrlifunktio., jonk jälkeen PM10 huomutt: Siis funktio F on funktion f integrlifunktio, jos j vin jos jokisess funktion f määrittelyjoukon pisteessä x on F (x) = f(x) eli DF (x) = f(x). Huomion rvoist on, että PM10 nt integrlifunktion määritelmän yleisemmässä muodoss, kuin mitä muut oppikirjt ti mitä tutkielmn Luvuss 3 tehtiin, sillä PM10 ei set funktiolle f vtimust, että se olisi määritelty jollkin välillä. Pitkä mtemtiikk ott Lemmn käyttöön ilmn todistust j osoitt tämän vull Luseen todeksi. PM10 korost tähän mennessä nlysoiduist kirjoist prhiten sitä seikk, että on oleellist, että trksteltv funktio f, jonk integrlifunktioit olln määrittämässä käyttäen 61

66 Lusett 3.1.4, on määritelty välillä. Jos näin ei olisi, niin ei voitisi käyttää Lemm 3.1.2, siis ei myöskään Lusett Kirj nt esimerkin funktiost, jonk määrittelyjoukko ei ole väli j jonk derivtt jokisess määrittelyjoukon pisteessä on noll, mutt funktio ei kuitenkn ole vkiofunktio. Integrlifunktioiden määrittämistä PM10 kutsuu integroimiseksi. Integrlimerkinnän histori kirj kertoo selostvns myöhemmässä luvuss. Pitkä mtemtiikk nt ensin potenssifunktion integroimissäännön perusteluineen, kun eksponentti on eri suuri kuin 1, jonk jälkeen perustelln vkioll kerrotun funktion j funktioiden summn integroimissäännöt. Smll PM10 tote, että funktioiden f j g integrlifunktioiden tulo ei yleensä ole tulofunktion f g integrlifunktio eikä integrlifunktioiden osmäärä ole osmäärän f/g integrlifunktio. PM10 perustelee vielä lusekkeell 1/x määritellyn funktion, eksponenttifunktion, trigonometristen funktioiden sekä yhdistetyn funktion integroimissäännöt. Jostin syystä funktion potenssin integroimissäännöt eli säännöt f (x)f(x) r dx = 1 r + 1 f(x)r+1 + C, kun r R \ { 1} j f (x) f(x) dx = ln f(x) + C, kun f(x) 0 Pitkä mtemtiikk jättää kirjn viimeiseksi luvuksi. Kirj tote myös, että on olemss funktioit, joiden integrlifunktion lusekett on mhdotont muodost. Näistä nnetn pri esimerkkiä. Osmurtokehitelmiä, osittisintegrointi j sijoitusmenettelyä PM10 ei käsittele. Pyrmidi jkutuu viiteen lukuun: Johdnto, Integrlifunktio, Määrätty integrli, Pint-l, Tilvuus. Näiden lisäksi on numeroimton luku Lisätieto. Johdnnoss minitn integrlilskennn peruskäsitteet j kerrotn, että nämä liittyvät läheisesti toisiins sekä selostetn hiemn integrlilskennn histori. Integrlifunktion Py10 määrittelee seurvsti: Olkoon funktiot f j F määritelty voimell välillä I. Jos F = f eli F (x) = f(x) kikill x I, niin F on funktion f integrlifunktio. Miksi ihmeessä pitää rjoittu voimiin väleihin? Tämä rjoitus tuntuu turhn tiuklt, mutt yksinkertisten joukko-opillisten merkintöjen, kuten x I, käyttäminen lämmittää mieltä. Tosin heti määritelmän jälkeen sm esitetään kielentäen: Siis jos funktion F derivtt on f, niin F on funktion f integrlifunktio. Pyrmidi erottelee otsikkosnoill määritelmät, luseet, todistukset j esimerkit. Kvt ovt kuitenkin välillä osn virkkeitä, välillä niistä irrllisin. Välimerkkejä näyttäisi puuttuvn monest koht. Huomion rvoist 62

67 on, että mikään edellä nlysoiduist kirjoist, kuten ei myöskään Pyrmidi tee ero merkintöjen f j f(x) välillä. Voi oll, että oppikirjsrjojen iemmiss osiss on sovittu funktiot koskevist merkinnöistä myös tältä osin. Luseen Pyrmidi todist käyttäen pun Lemm 3.1.2, jonk todistuksen kirj jättää lukijlle hrjoitustehtäväksi (Hrjoitustehtävä löytyy kirjn lopull olevst lisätehtävä -osiost.). Funktion f integroinnill Py10 trkoitt kyseisen funktion integrlifunktioiden määrittämistä. Pyrmidist löytyy melko lill smt integroimissäännöt kuin muist kirjoist. Lähes kikki näistä todistetn. Jostin syystä Py10 hlu todist myös säännön (f(x) g(x)) dx = f(x) dx g(x) dx. Vst Luvun 2 Integrlifunktio viimeisessä lluvuss, Ploittin määritellyn funktion integrointi, Pyrmidi huomutt, että kosk integrlifunktio on derivoituv, niin se on myös jtkuv. Smll nnetn luse: Jtkuvll funktioll on integrlifunktio., jonk todistus sivuutetn. Kirj huomutt, j nt myös esimerkin, että epäjtkuvllkin funktioll voi oll integrlifunktio. Osittisintegroinnist ti sijoitusmenettelystä ei minit. Py10 ei myöskään kerro, että on olemss funktioit, joiden integrlifunktioit ei pystytä lusumn lkeisfunktioiden vull. Siirrytään sitten trkstelemn, miten oppikirjt käsittelevät toist integrlilskennn peruskäsitettä, määrättyä integrli. Aloitetn jälleen Mtemtiikn tidost. MT10 otsikoi luvun Määrätty integrli ensimmäisen lluvun otsikoll Pint-l j määrätty integrli. Ensimmäisessä kppleess trkstelln pint-ln määritelmää. MT10 olett yksinkertisten tsokuvioiden, kuten kolmion, pint-ln tunnetuksi. Monikulmion pint-l sdn in jkmll se osiin, esimerkiksi kolmioihin j lskemll näin stujen kolmioiden pint-lt yhteen. Yleisen tsolueen pint-ln MT10 määrittelee sellisten monikulmioiden lojen rj-rvon, jotk yhtyvät yhä trkemmin trksteltvn lueeseen. Kppleess kksi trkstelln prbelin y = (1/4)x 2 +1 sekä x-kselin rjm luett välillä [0, 4]. Väli jetn neljään smnpituiseen osväliin j muodostetn monikulmio suorkulmioist, joiden korkeus on ehdoll f(x) = (1/4)x määritellyn funktion rvo kunkin edellä sdun osvälin keskipisteessä. Suorkulmioiden lojen summn todetn ntvn likirvon prbelin j x- kselin rjmlle lueelle välillä [0, 4]. MT10 tote, että on geometrisesti selvää, että likirvo prnee jko tihentämällä. Tämän jälkeen nnetn porrssummn määritelmä: Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio, j olkoon D tämän välin jko n yhtäsuureen osn, jolloin yhden jkovälin pituus 63

68 x = (b )/n. Jkoon D liittyvä porrssumm eli Riemnnin summ on f(x 1 ) x + f(x 2 ) x f(x n ) x, missä x 1 on vlittu ensimmäiseltä jkoväliltä, x 2 toiselt,..., x n viimeiseltä. Pisteiden x i ei trvitse oll jkovälien keskikohti. Mikä n on? Entä i? Minkälinen on väli [, b]? Mitä joll D oikein trkoitetn? Edellä olevill kysymyksillä pyritään osoittmn, ettei Mtemtiikn tito myöskään ole in niin täsmällinen, vikk nopesti vilkistess sen vikutelmn s. On huomttv, että MT10 olett trksteltvn välin jon jkovälien pituudet yhtä suuriksi, joten Luvuss 3 Riemnnin summlle nnettu määritelmä on tältä osin yleisempi. Toislt MT10 ei set välillä [, b] määritellylle funktiolle f mitään vtimuksi. Mtemtiikn tito tote: Jos f on ei-negtiivinen, niin porrssumm ilmoitt niistä suorkulmoist koostuvn monikulmion pint-ln, joiden knt on x j korkeudet ovt f(x 1 ), f(x 2 ),..., f(x n )., jonk jälkeen nnetn määritelmä Pint-l porrssummien rj-rvon: Olkoon funktio f jtkuv j ei-negtiivinen välillä [, b]. Tällöin sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrä y = f(x), x-kseli sekä suort x = j x = b, sdn porrssummien rj-rvon, kun jko tihennetään rjttomsti, eli kun jkovälin pituus x lähenee noll. Kppleess 3, jot merkitään tähdellä, MT10 määrittelee l- j yläsummn käsitteet suljetull välillä määritellylle jtkuvlle funktiolle käyttäen tsvälistä jko eli jko, jonk jkovälit ovt yhtä pitkiä. MT10 huomutt: Jos f on lisäksi einegtiivinen j A on sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrä y = f(x), x-kseli sekä suort x = j x = b, niin s A S. Edellä s trkoitt lsumm j S yläsumm. Neljännessä kppleess nnetn määrätyn integrlin määritelmä. Mtemtiikn tito tote, että yleisessä porrssummss voi oll negtiivisikin termejä. Tällöinkin porrssummn todetn lähestyvän tiettyä rj-rvo, kun jko tihennetään rjtt. Itse siss tässä Mtemtiikn tito unoht minit, että trksteltv funktio on oletettv jtkuvksi, jott näin in olisi. MT10 tote rj-rvon olevn sm kuin niiden lueiden pintlojen erotus, jotk käyrä trksteltvll välillä rjoitt x-kselin ylä- j lpuolelle. Tämän jälkeen nnetn määrätyn integrlin määritelmä: Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b]. Funktion f määrätty integrli f(x) dx 64

69 tällä välillä on porrssummn rj-rvo, kun välin [, b] jko tihennetään rjttomsti, eli kun jkovälin pituus lähenee noll. Integroimisvälin [, b] päätepisteet ovt integroimisrjoj: on lrj j b on ylärj. Mtemtiikn tito määrittelee siis määrätyn integrlin Riemnnin summien vull. Kuten todettiin (j Luvuss 3 osoitettiin), funktion jtkuvuusoletus tk sen, että määrätty integrli on in olemss trksteltvll välillä. Tähän seikkn MT10 ei ot knt. Nimitystä Riemnnin integrli MT10 ei minitse. Hssult tuntuu myös, että käsitteet l- j yläsumm minittiin, mutt tämän jälkeen niistä ei puhut enää mitään. Alluvuss 2 Mtemtiikn tito määrittelee kertymäfunktion, kun luku on vkio: Jtkuvn funktion f kertymäfunktio (kohdst ) on K (x) = x f(t) dt (x > ). Jos f on ei-negtiivinen, niin K (x) ilmoitt sen pint-ln, jok kertyy käyrän y = f(x) j x-kselin väliin siirryttäessä kohdst kohtn x. Lisäksi määritellään K () = f(t) dt = 0. MT10 tote esimerkin vull, että on ihett tutki kertymäfunktion derivtt j osoitt, että ei-negtiiviselle jtkuvlle funktiolle sdn, kun x >, K (x) = f(x). MT10 tote, että vstv tulos voidn näyttää oikeksi myös silloin, kun f s negtiivisi rvoj. Sdn siis luse: Jtkuvn funktion f kertymäfunktiolle K (x) = x f(t) dt on K (x) = f(x). Toisin snoen K on f:n integrlifunktio. Lisäksi on voimss lkuehto K () = 0. Nyt MT10 osoitt Anlyysin perusluseen jtkuvlle funktiolle, tosin kirj ei minitse luseen nimeä, vn puhuu määrätyn integrlin j integrlifunktion yhteydestä. Smll kirj ott käyttöön sijoitusmerkinnän. Seurvksi Mtemtiikn tito esittelee määrätyn integrlin ominisuuksi, jotk MT10 kertoo voitvn todist jtkuville funktioille tutkimll porrssummien rj-rvoj ti käyttämällä määrätyn integrlin j integrlifunktion välistä yhteyttä. Ominisuuksist nnetn Vkiotekijän siirtosääntö, Summn määrätty integrli j Ploittin integrointi (Luseen kohdt (), (b) j (h)). MT10 nt integroimisrjojen vihto koskevn määritelmän b f(x) dx = 65 f(x) dx

70 j osoitt, että määrätyn integrlin j integrlifunktion yhteyttä koskev luse (Anlyysin perusluse) on voimss tässäkin tpuksess. Prillisen j prittomn funktion integrointisäännön (Esimerkki 3.5.4) MT10 nt todistmtt sitä j tote, että luse on ilmeinen määrätyn integrlin pint-ltulkinnn perusteell j se voidn helposti todist porrssummien vull. Syventävinä tietoin (merkitään tähdellä) MT10 nt epäyhtälön säilymistä koskevn tuloksen integroinniss (Luseen (c) koht), määrätyn integrlin osittisintegrointisäännön sekä esimerkin sijoitusmenettelystä määrätyn integrlin tpuksess. Edellä olevi tietoj ei todistet. Sijoitusmenettelyn yhteydessä pun käytettävästä funktiost oletetn, että se on integroimisvälillä idosti monotoninen, vikk määrätyn integrlin yhteydessä tätä oletust ei nimenomn trvitse tehdä. Sen sijn iemmin (ensimmäisen luvun yhteydessä sovellettess sijoitusmenetelmää funktion integrlifunktioiden etsimiseen), kun tämä oletus olisi pitänyt tehdä, niin MT10 ei minitse siitä mitään. Lisäksi, kun funktio olisi syytä olett idosti monotoniseksi jtkuvsti derivoituvksi bijektioksi, niin MT10 olett sen inostn derivoituvksi. Lisäksi MT10 käsittelee differentilej ikään kuin ne olisivt lukuj perustelemtt tätä mitenkään. Ludtur lähestyy määrätyn integrlin käsitettä trkstelemll luksi positiivirvoisen funktion kuvjn j x-kselin väliin jäävän ln suhdett integrlifunktioon. Tämä tehdään esimerkin vull, joss on tehtävänä määrittää suorn y = (1/2)x + 2 j x-kselin väliin jäävän lueen pint-l ensin välillä [0, 4] j sitten välillä [0, t], kun luku t toteutt ehdon t 0. Välillä [0, t] funktion j x-kselin väliin jäävän lueen pint-lksi sdn (1/4)t 2 +2t. Kirj tekee hvinnon, että suorn lusekkeen integrlifunktiot ovt muoto ( ) 1 F (x) = 2 x + 2 dx = 1 4 x2 + 2x + C. Tällöin F (4) F (0) = 12, jok on sm kuin suorn j x-kselin väliin jäävän lueen l välillä [0, 4] j vstvsti F (t) F (0) = (1/4)t 2 + 2t on puolestn suorn j x-kselin väliin jäävän lueen l välillä [0, t]. L10 tote: Yleisesti voidn osoitt, että käyrän y = f(x) (y 0) j x-kselin väliin jäävä pint-l A välillä [, b] sdn lskemll A = F (b) F (), missä funktio F on funktion f jokin integrlifunktio. Erotus F (b) F () on funktion f(x) määrätty integrli, jot merkitään F (b) F () = f(x) dx. Ludtur ott käyttöön sijoitusmerkinnän, kutsuu vkiot lrjksi j vkiot b ylärjksi sekä tote, ettei lrjn j ylärjn trvitse oll suu- 66

71 ruusjärjestyksessä. Funktio voi kulke myös x-kselin lpuolell. L10 tote, että näin määriteltynä määrätty integrli voi sd myös negtiivisi rvoj. Määrätyn integrlin lskemist integrlifunktion vull kutsutn nlyysin perusluseeksi. Kirjn luss lskettuj integrlej kutsutn nimellä määräämätön integrli. Ludtur ei siis kerro mitään l- eikä yläsummist ti Riemnnin summist. L10 jättää myös minitsemtt, että funktio f on oletettv jtkuvksi välillä [, b]. Kirjn lkusnoiss todetn: Määrätty integrli esitellään lyhyesti pint-ltulkinnn vull. Trkemmin määrätyn integrlin j pint-ln yhteyttä käsitellään syventävissä kursseiss 12 j 13. Ludtur perustelee integroimisvkion kirjoittmtt jättämisen sijoitust lskettess, mutt Luseen kohdt (), (b) j (h) (määrätyn integrlin ominisuuksi) sekä ominisuudet f(x) dx = 0 j f(x) dx = b f(x) dx L10 ott suorn käyttöön. Tosin Luseen kohdn (h) todistukselle esitetään geometrinen hhmotus positiivirvoisen funktion tpuksess, kun < b < c. Muut ominisuudet kirj tote stvn määrätyn integrlin määritelmän perusteell. Esimerkin vull hvitn yhteys derivtn j määrätyn integrlin välillä: D x f(t) dt = D(F (x) F ()) = DF (x) DF () = F (x) = f(x). Lukion Clculus loitt totemll: Tsokuvion pint-l voidn lkeistpuksiss lske suorn lskukvoill, joist tunnetuimpi ovt kolmion, suorkulmion j ympyrän ln lskusäännöt. Josskin tpuksess pint-l voidn sd jkmll kuvio sellisiin osiin, että niiden pintl ostn lske. Kokonispint-l on tällöin os-lojen summ. Tämän jälkeen trkstelln välillä [, b] määritellyn jtkuvn, positiivirvoisen j krevn funktion kuvjn, x-kselin sekä suorien x = j x = b rjmn tsolueen pint-l. Todetn, että nyt entiset kvt eivät sovellu ln lskemiseen, mutt niitä käyttäen sdn trkentuvi pint-ln likirvoj. Tätä vrten LC5 jk trksteltvn välin [, b] ensin tsvälisesti, niin että osvälejä tulee n kpl. LC5 piirtää jokiselle osvälille suorkulmion, jonk korkeuten on funktion pienin rvo kullkin osvälillä. Pylväiden yhteenlskettu pint-l LC5 kutsuu jkoon liittyväksi lsummksi s n. Jkoon liittyvä yläsumm S n sdn vstvsti ottmll suorkulmion korkeudeksi in funktion suurin rvo kullkin osvälillä. Tässä siis myös Lukion Clculus ott käyttöön jon käsitteen sen enempää siitä kertomtt. Kuvien perusteell todetn, että käyrän kren lle jäävä pint-l A on l- 67

72 j yläsummn välissä. Jos A:n likirvoksi otetn kumpi hyvänsä summist, ei virhe voi oll suurempi kuin S n s n. Seurvksi LC5 tihentää välin [, b] jko, niin että jkovälien lukumääräksi tulee 2n. Kuvien perusteell jko tihennettäessä näyttää lsumm ksvvn j yläsumm pienenevän. Smll molemmt lähestyvät lkuperäisen kuvion l A jon tihentyessä. Lukion Clculus totekin: Voidn osoitt, että kun kysymyksessä on ei-negtiivinen jtkuv funktio, l- j yläsummt lähestyvät sm rvo, kun jkovälien lukumäärä ksv rjtt eli n. Tällöin yksittäiset suorkulmiot lti kpenevt, j rj-rvon sdn käyrän lle jäävän kuvion pint-l. A = lim n s n = lim n S n Riemnnin summien sijst Lukion Clculus puhuu välisummist: Al- j yläsummi vrten pitää tietää funktion pienin j suurin rvo jokisell välillä. Niiden määrittäminen voi oll työlästä j siksi muodostetnkin ns. välisumm n f(t k ) x, k=1 joss n on osvälien lukmäärä, x kunkin osvälin pituus j f(t k ) mikä thns funktion rvo k:nnell osvälillä. Jos tällä osvälillä funktion pienin rvo on m k j suurin M k, niin m k f(t k ) M k. Tästä seur, että välisumm on nimensä mukisesti l- j yläsummn välissä. Kun viimeksi minitut lähestyvät kuvion l jon tihentyessä, niin l sdn myös välisummn rj-rvon. Määrätyn integrlin käsitteeseen kirjss LC5 päästään, kun luovutn trkesteltvlle funktiolle setetust vtimuksest, että funktion tulee oll ei-negtiivinen välillä [, b]. Kirj tote, että myös tällöin tihennettäessä välin [, b] jko j nnettess osvälien lukumäärän n ksv rjtt, lj yläsummt lähestyvät sm rj-rvo. Tämä rj-rvo on nimeltään funktion f määrätty integrli :st b:hen. Se merkitään j määritellään seurvsti: f(x) dx = lim s n = lim S n n n Väliä [, b] LC5 kutsuu integroimisväliksi, luku sen lrjksi j luku b ylärjksi. Funktiost f snotn, että se on integroituv välillä [, b]. Integrlimerkin todetn olevn muunnos S-kirjimest, j dx on korvnnut noll lähestyvän x:n. Voidn jtell, että määrätty integrli on äärettömän monen äärettömän pienen yhteenlskettvn summ. LC5 tote, että määritelmänsä perusteell integrlille voidn lske likirvoj 68

73 l- j yläsummien vull. Smll todetn, että on kuitenkin käytännöllisempää käyttää välisumm n f(t k ) x, k=1 sillä se on kusskin joss rvolt l- j yläsummn välissä, j kun nämä lähestyvät rjtt määrättyä integrli, myös välisumm lähestyy sitä. LC5 tot vielä: Jos f on välillä [, b] jtkuv j ei-negtiivinen, määrätty integrli f(x) dx voidn tulkit pint-lksi ikisemmin esitetyllä tvll. LC5 nt määrätyn integrlin ominisuudet (), (b) j (h) (Luse ), joist vkiotekijän siirtosääntö todistetn välisummien vull j kohdlle (h) esitetään geometrinen hvinnollistus, kun < c < b. Smll nnetn myös määritelmät f(x) dx = b f(x) dx j f(x) dx = 0. Anlyysin peruslusett LC5 lähestyy määrittelemällä kertymäfunktion: Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä [, b]. Se on silloin integroituv tällä välillä j millä thns sen osvälillä. Vlitn muuttujksi määrätyn integrlin ylärj väliltä x b, jolloin muodostuu kertymäfunktioksi snottu funktio A(x) = x f(t) dt. LC5 joht funktion A derivtn geometriseen hvintoon perustuen einegtiivisen funktion f tpuksess, mutt tote sitten, että sm tulos voidn joht täysin nlyyttisesti ilmn geometrist hvinto j oletust funktion f ei-negtiivisuudest välilllä [, b]. Tällöin sdn: Jos funktio f on jtkuv välillä [, b], on kikill välin rvoill x voimss D x f(t) dt = f(x). Lukion Clculus tote, että sdun tuloksen mukn funktio A on funktion f integrlifunktio. Tämän todetn osoittvn oikeksi ikisemmin esitetyn luseen: jokisell jtkuvll funktioll on integrlifunktio. On huomttv, että MT10 ei tätä hvinto tehnyt, vikk esittelikin kertymäfunktion 69

74 j sen derivtn. LC5 tote: Kun integrlifunktion A lrjlle nnetn eri rvoj, sdn eri integrlifunktioit. Ellei hlut ilmoitt, mikä niistä on kysymyksessä, jätetään lrj pois. Kun lyhyyden vuoksi jätetään myös ylärjn olev muuttuj merkitsemättä, sdn ikisemmin käyttöön otettu integrlifunktion eli määräämättömän integrlin merkintä f(x) dx. Nyt LC5 todist Anlyysin perusluseen jtkuvlle funktiolle j ott smll käyttöön sijoitusmerkinnän. Pitkä mtemtiikk päätyy johdntoesimerkin jälkeen määrittelemään pint-lfunktion: Oletetn, että funktio f on välillä [, b] jtkuv j epänegtiivinen. Funktion f kuvj j x-kseli rjvt jokisell välillä [, x], missä x b, lueen. Merkitään lueen pint-l A(x). Funktio A(x) on funktioon f välillä [, b] liittyvä pint-lfunktio. Pint-lfunktion käsite on siis erikoistpus Mtemtiikn tidon j Lukion Clculuksen määrittelemästä kertymäfunktiost. PM10 tote, että edellä j jtkoss käytetään hyväksi tvllist geometrist mielikuv pint-lst ilmn, että pyritään määrittelemään, mitä pint-l trkoitt. Kirj tote myös, että pintln määrittelemistä pohditn trkemmin kirjn lopuss, luvuss Integrlilskennn teori. PM10 osoitt erikoistpuksess ksvvlle funktiolle f, että pint-lfunktio A(x) on välillä [, b] funktion f(x) integrlifunktio. Tosin erotusosmäärälle tutkitn vin oikenpuoleist rj-rvo j todistuksen täydentäminen jätetään hrjoitustehtäväksi. Yleisenä huomion todettkoon, että muut kirjsrjt tuntuvt käyttävän melko vähän mhdollisuutt jättää todistuksi ti niiden osi hrjoitustehtäviksi. Pitkä mtemtiikk näyttäisi kuitenkin ilhduttvsti käyttävän tätä mhdollisuutt hyväksi. Tosin sivrrellkin voi: PM10 olett todistuksess, että piste x 0 on jokin koht välillä [, b]. Hiemn tämän jälkeen: Tutkitn muuttujn x rvoj, jotk ovt suurempi kuin x 0. Entä, jos x 0 = b? Edelleen johdntoesimerkin kutt j yleistämällä esimerkissä stuj hvintoj PM10 päätyy pint-lluseeseen: Oletetn, että funktio f on välillä [, b] jtkuv j epänegtiivinen. Tällöin funktion f kuvjn j x- kselin välillä [, b] rjmn lueen pint-l on A = F (b) F (), missä funktio F on funktion f (mikä thns) integrlifunktio. Seurvss luvuss Pitkä mtemtiikk tote, että erotuksen F (b) F () vull voidn lske muitkin pint-loj j että sillä on muutkin käyttöä kuin pint-lojen lskeminen. Niinpä PM10 nt määrätyn integrlin määritelmän: Oletetn, että funktio f on määritelty j jtkuv jollkin välillä, jok sisältää luvut j b. Olkoon F funktion f (mikä thns) integrlifunktio. Erotus F (b) F () on funktion f määrätty integrli :st 70

75 b:hen. Funktion f määrätty integrli :st b:hen merkitään f(x) dx. Luku on määrätyn integrlin lrj j luku b ylärj. PM10 huomutt heti, että määritelmässä ei tehdä mitään oletust rjojen j b suuruusjärjestyksestä. Hrjoitustehtäväksi jätetään sen osoittminen, että määrätyn integrlin rvo ei riipu integrlifunktion vlinnst. PM10 ott smll myös sijoitusmerkinnän käyttöön. Pitkä mtemtiikk j Ludtur siis määrittelevät määrärätyn integrlin käsitteen smll tvll. Pitkä mtemtiikk nt määritelmän kuitenkin selkeämmin strukturoitun. Itse siss, kuten iemmin jo todettiin, Ludtur jättää minitsemtt funktion f jtkuvuus-oletuksen kokonn. PM10 trjo myös nopemmin eteneville ti sist kiinnostuneille opiskelijoille mhdollisuuden syventää tietouttn integrlilskennst luvuss Integrlilskennn teori. Tällist mhdollisuutt Ludturiss ei ole. Integrlilskennn teori luvuss PM10 luksi täsmentää funktion kuvjn j x-kselin rjmn lueen pint-ln j määrätyn integrlin välistä yhteyttä. PM10 tote, että kirjss määrättyyn integrliin päädyttiin niin, että oletettiin pint-ln olevn olemss j pint-lfunktion derivtn vull johdettiin pint-ln lskumenetelmä määrättynä integrlin. Pintlfunktion derivtt koskevn luseen täydellinen todistus vtii kuitenkin täsmällistä pint-ln määritelmää. Niinpä PM10 päättää edetä nyt toisess järjestyksessä: Määritellään ensin määrätty integrli j sen erikoistpuksen pint-l. PM10 tutkii funktiot f välillä [, b] j jk kyseisen välin keskenään yhtä pitkiin osväleihin. Todetn, että jos jkovälien lukumäärä on n, niiden pituus on (b )/n. PM10 merkitsee jokisell jkovälillä pienintä rvo, jonk funktio f s tällä välillä merkinnällä m i j vstvsti funktion f suurint rvo kyseisellä välillä merkinnällä M i (Millä perusteell pienin j suurin rvo ovt olemss? Eihän funktiolle f setettu vielä mitään vtimuksi?). Jon käsitettä PM10 ei myöskään sen trkemmin määrittele. Summ s n (f) = m 1 b n + m 2 b n on jkoon liittyvä lsumm, j summ S n (f) = M 1 b n + M 2 b n m n b n M n b n on jkoon liittyvä yläsumm. Jos funktio f on välillä [, b] epänegtiivinen, lsumm s n (f) voidn hvinnollist kuvjn j x-kselin välissä olevn 71

76 pylväikön pint-ln. Vstvsti yläsumm S n (f) voidn hvinnollist kuvjn j x-kselin välistä luett ulkopuolelt myötäilevän pylväikön pint-ln. Nyt PM10 määrittelee määrätyn integrlin l- j yläsummien vull: Jos on olemss sellinen luku I, että välin [, b] jkovälien lukumäärän n suuretess sekä lsummt s n (f) että yläsummt S n (f) lähestyvät rjtt luku I, niin luku I snotn funktion f määrätyksi integrliksi :st b:hen. Lisätieton PM10 minitsee, että jos määrätty integrli on olemss, snotn, että funktio f on integroituv. PM10 kertoo myös, että edellä stu määrätty integrli on niin snottu Riemnnin integrli j että on olemss myös muit integrlin käsitteitä j funktion integroituvuus stt riippu siitä, mitä määrättyä integrli käytetään. Edelleenkään funktiolle f ei setet mitään vtimuksi. Nyt PM10 määrittelee pint-ln määrättynä integrlin: Jos funktio f on välillä [, b] epänegtiivinen j funktion f määrätty integrli :st b:hen on olemss, niin määrättyä integrli kutsutn funktion f kuvjn j x-kselin välillä [, b] rjmn lueen pint-lksi. PM10 tote, että voidn osoitt, että jos funktio f on jtkuv, niin kuvjn j x-kselin välinen pint-l on olemss. Myös epäjtkuvn funktion kuvjn voidn todet rjvn x-kselin knss pint-ln. Kikkien funktioiden kuvjt eivät kuitenkn rj pint-l. PM10 nt myös Anlyysin perusluseen seurvll tvll muotoiltun: Jos funktio f on välillä [, b] jtkuv j I(x) on funktion f määrätty integrli :st x:ään, niin I (x) = f(x) kikill välillä [, b] olevill muuttujn x rvoill. PM10 esittelee myös kppleen tilvuuden määritelmän määrätyn integrlin vull sekä historillist näkökulm määrättyyn integrliin. Smll tulee selväksi integrlimerkin j merkinnän dx lkuperäinen merkitys. PM10 esittelee differentilin käsitteen j esimerkissä joht jtkuvsti derivoituvn funktion käyrän kren pituuden differentilien vull. Riemnnin summist PM10 ei minitse mitään. Pltn vielä vrsiniseen kurssimteriliin. Määrätyn integrlin määritelmän jälkeen PM10 osoitt, että funktioiden summn määrätty integrli on yhteenlskettvien funktioiden määrättyjen integrlien summ. Sen sijn vkiokerroint koskevn siirtosäännön todistmisen PM10 jättää hrjoitustehtäväksi. PM10 todist myös Luseen (h) kohdn j integroimisrjojen vihto sekä integrli, jonk l- j ylärjt ovt yhtä suuret, koskevt säännöt. On huomttv, että Luvuss 3 sekä kirjoiss MT10 j LC5 kksi viimeistä sääntöä stiin määritelminä, sillä määrätty integrli määriteltiin luksi vin välillä [, b], kun luvuille j b on voimss ehto < b. Myös Pyrmidi lähestyy määrätyn integrlin käsitettä johdntoesimerkin vull rvioimll eri tvoin x-kselin j prbelin y = 1 x 2 rjoitt- 72

77 mn lueen pint-l A tvoitteenn sd yhä trkempi rvioit kyseiselle pint-llle. Aluksi lueen l rvioidn tskylkisen kolmion vull, sitten yhdellä suurell suorkulmioll, jonk jälkeen vielä puoliympyrällä. Lopuksi todetn, että pint-llle sdn hyviä likirvoj suorkulmioiden vull, kunhn niitä käytetään riittävästi. Seurvss kppleess Py10 trkstelee välillä [, b] jtkuvn j positiivisen funktion f käyrän y = f(x), x- kselin sekä suorien x = j x = b rjoittmn lueen pint-l A. Py10 tote, että kuten edellä huomttiin, pint-l voidn rvioid monin eri tvoin. Olisi kuitenkin löydettävä menetelmä, jok on ensinnäkin riittävän yleinen, jott rviot voidn trkent mielivltisen trkksi ( Esimerkiksi ympyrän vull rviointi on vike yleistää. ), mutt toislt kuitenkin riittävän yksinkertinen, jott rviot ovt helposti lskettvi j menetelmää on helppo nlysoid. Suorkulmioiden käytön todetn soveltuvn tähän trkoitukseen miniosti. Siispä Pyrmidi jk nyt välin [, b] tsvälisesti n:ään yhtä pitkään osväliin. Kullekin osvälille piirretään suorkulmio, jonk korkeudeksi vlitn jokin funktion rvo kyseisellä osvälillä. Sdn pylväskuvio jonk suorkulmioiden lojen summ nt rvion tutkittvn lueen pint-llle A. Tätä suorkulmioiden lojen summ kutsutn välisummksi eli Riemnnin summksi. Välisumm merkitään S f (x 1, x 2,..., x n ), joss x 1, x 2,..., x n ovt osvälien pisteet, joiss suorkulmioiden korkeudet f(x 1 ), f(x 2 ),..., f(x n ) on lskettu. Py10 tote, että välisummn vull lskettu pint-ln rvio riippuu osvälien lukumäärästä j siitä, missä kohdiss funktion rvot on lskettu. Lisäksi kirj huomutt, että yleensä rvio on sitä trkempi, mitä suurempi osvälien lukumäärä on. Seurvksi Pyrmidi yleistää välisummn määritelmää tpukseen, joss funktio f ei välttämättä ole jtkuv eikä positiivinen. Huomutuksen todetn: Jos f(x) 0, välillä [, b], niin välisumm on in negtiivinen ti noll, sillä funktion rvot f(x i ) 0 j osvälien pituudet x = ((b )/n) > 0, kosk < b. Tällöin välisummn vstluku on rvio funktion f j x-kselin välisen lueen pint-llle välillä [, b]. Al- j yläsummn käsitteisiin Pyrmidi päätyy välisummn erikoistpuksen: Olkoon funktio f jtkuv suljetull välillä [, b] j osvälien lukumäärä n. Tällöin pienintä välisumm snotn lsummksi (s n ) j suurint välisumm yläsummksi (S n ). Pyrmidi ei ot knt käyrän kren lle jäävän pint-ln olemssoloon ti spekuloi sillä, mitä pint-lll tällöin trkoitetn. Seurvss lluvuss Pyrmidi esittää määrätyn integrlin määritelmän: Olkoon funktio f määritelty suljetull välillä [, b]. Jos välisummn 73

78 rj-rvo lim S f(x 1, x 2,..., x n ) = lim n n on olemss, vlittiinp välisummt V n = S f (x 1, x 2,..., x n ) = n f(x i ) x i=1 n f(x i ) x miten thns, niin funktio f on integroituv välillä [, b]. Tämä rj-rvo on funktion f määrätty integrli kohdst kohtn b, j sitä merkitään Siis f(x) dx. f(x) dx = lim n i=1 n f(x i ) x. Pyrmidi nt siis määrätyn integrlin määritelmän oppikirjsrjoist yleisimmässä tpuksess. Kikki muut kirjsrjt olettvt, vrsinisess kurssimterilissn, trksteltvn funktion jtkuvksi. Itse siss Pyrmidi ei olet funktiot f edes rjoitetuksi. Käytännössä kuitenkin funktion integroituvuus edellyttää sitä, että se on rjoitettu trksteltvll välillä. Kikki oppikirjsrjt trkstelevt määrätyn integrlin yhteydessä kuitenkin tsvälistä jko, joten Luvuss 3 esitetty määritelmä on yleisempi. Py10 huomutt, että jtkuv funktio on integroituv, mutt sivuutt todistuksen. Kirj tote, että kosk määrätty integrli on välisummn rj-rvo, niin sdn luse: Olkoon funktio f jtkuv j < b. Tällöin i=1 kikill x [, b] f(x) dx = A, kun f(x) 0 f(x) dx = A, kun f(x) 0 kikill x [, b]. Edellä A on funktion f kuvjn j x-kselin välisen lueen pint-l välillä [, b]. Seurvksi Pyrmidi käsittelee määrätyn integrlin ominisuuksi ennen Anlyysin peruslusett. Myös Lukion Clculus eteni tässä järjestyksessä. Sen sijn Mtemtiikn tito tutki ensin määrätyn integrlin j integrlifunktion välistä yhteyttä. Kosk myös Pyrmidi on käsitellyt tähän sti 74

79 vin tpust < b, joutuu se ntmn seurvt säännöt määritelminä: f(x) dx = 0 j f(x) dx = b f(x) dx, kun > b. Näiden jälkeen Py10 esittelee smoj määrätyn integrlin ominisuuksi kuin muut kirjt, mutt jostin syystä kirj on jälleen hlunnut ott mukn myös erotuksen integrlin omn sääntönään. Kirj nt myös pritont j prillist funktiot koskevt säännöt j todist säännön prittomlle funktiolle f siinä tpuksess, että f(x) 0, kun x 0. Muit ominisuuksi ei todistet. Pyrmidi nt vielä Anlyysin perusluseen, mutt ei johd sitä mitenkään, vn tote vin, että jtkuvn funktion määrätty integrli voidn yleisessä tpuksess määrittää Anlyysin peruslusett pun käyttäen. Smll otetn käyttöön myös sijoitusmerkintä. Myös Pyrmidi trjo kirjn loppupuolell lisätieto kiinnostuneille. Näillä sivuill Py10 osoitt ensin määrätyn integrlin summ koskevn lskusäännön toteen välisummien vull. Sitten nnetn esimerkki, jok osoitt, että kikki funktiot eivät ole integroituvi. Seurvksi Pyrmidi todist Luseen (funktiost f oletetn, että se on voimell välillä I määritelty jtkuv funktio), jonk jälkeen esitetään Anlyysin perusluse todistuksineen. Lopuksi Py10 todist vielä pyörähdyskppleen tilvuuden lskukvn j kertoo hiemn, kuink differentili- j integrlilskent sovelletn mekniikss. Osittisintegroinnist, sijoitusmenettelystä, numeerisest integroinnist ti epäoleellisist integrleist myöskään Pyrmidi ei minitse mitään, joten Mtemtiikn tito on ino kirjsrj, jok käsittelee näitä iheit kurssin Integrlilskent oppikirjss. Todettkoon vielä kirjojen käsittelemistä sovelluksist, että kikki kirjsrjt olettvt funktion käyrän j x-kselin välisen lueen pint-ln kvoissn trksteltvn funktion jtkuvksi, vikk Pyrmidill olisi ollut mhdollisuus trkstell yleisenpääkin tpust. MT10, LC5 j Py10 esittelevät, kuink pint-l voidn tulkit äärettömän monen äärettömän pienen pint-lkion da = f(x) dx summn. Kikki kirjt ntvt khden käyrän väliin jäävän lueen pint-ln lskukvn. Kirjsrjt käsittelevät myös käyrän j y-kselin rjmn lueen pint-ln määrittämistä, jolloin integroimismuuttujn on y. Mtemtiikn tito joht pyörähdyskppleen tilvuuden kvn tilvuuslkioiden summn eli differentilien vull. MT10 joht myös yleisen kppleen tilvuuden luseen, mutt merkitsee käsittelevää teori tähdellä. Pyrmidi etenee vstvll tvll. Ludtur nt pyörähdyskppleen tilvuuden kvn todeten, että perusteluihin pltn kurssiss 13. Kirj nt myös yleisen kppleen tilvuuden luseen. 75

80 Lukion Clculus joht ensin tilvuuslkioiden vull yleisen kppleen tilvuuden kvn, jost erikoistpuksen sdn pyörähdyskppleen tilvuus. PM10 nt yleisen kppleen tilvuuden kvn j tote, että menetelmää perustelln täsmällisemmin luvuss Integrlilskennn teori. Pyörähdyskppleen tilvuuden lskukv johdetn edellä sdust kvst. LC5 minitsee, että trksteltvn pint-lfunktion tulee oll jtkuv. MT10, Py10 j L10 eivät huom kerto tästä mitään. PM10 puolestn olett pinnn riittävän säännölliseksi. MT10, L10, LC5 j PM10 käsittelevät vielä integrlilskennn sovelluksi, pääosin fysiikkn (esimerkiksi mtk, nopeus, kiihtyvyys, työ j niin edelleen). Yhteenveton voidn todet, että kikki oppikirjsrjt vstvt lukion opetussuunnitelmn perusteiss kurssille Integrlilskent setettuihin oppimistvoitteisiin j keskeisiin sisältöihin. Opetussuunnitelmn perusteet ovt kuitenkin hyvin väljät, joten oppikirjoist löytyy myös erovisuuksi. Suurin ero on ehkä hvittviss määrätyn integrlin määritelmän yhteydessä, kun Ludtur j Pitkä mtemtiikk eivät kerro Riemnnin summist ti l- j yläsummist vrsinisen kurssimterilin yhteydessä yhtään mitään. L10 ei trjo edes lisätieton syvempää informtiot määrätystä integrlist. Toislt Pitkä mtemtiikk nt yleisimmän määritelmän integrlifunktiolle. MT10 määrittelee määrätyn integrlin jtkuvlle funktiolle Riemnnin summien vull. Py10 käyttää myös Riemnnin summi määrätyn integrlin määritelmän yhteydessä, mutt ei rjoitu kuitenkn jtkuviin funktioihin. LC5 puolestn määrittelee määrätyn integrlin lj yläsummien vull jtkuville funktioille. Opetussuunnitelmn perusteet sisältävät lisätiedon esittämisen mhdollisuuden: Kurssikuvusten väljyyttä voidn käyttää resurssien slliess keskeisten sisältöjen syventämiseen j eheyttävien kokonisuuksien muodostmiseen. Tätä mhdollisuutt Mtemtiikn tito hyödyntää eniten. Voidn tietysti spekuloid, onko kirjss mukn lisäinformtiot jo liinkin knss. Mtemtiikn tidon j Pyrmidin käyttämä nottio on lähinpänä Luvun 3 merkintöjä. Muut kirjsrjt kielentävät mtemtiikk pljon enemmän, joist Ludtur j Pitkä mtemtiikk ehkä eniten. Mtemtiikn tito noudtt mtemtiikn kirjoittmiselle setettuj stndrdej prhiten, Ludtur puolestn ott vpuden luist näistä peritteist oikein kunnoll, mikä tekee tekstistä lähinnä tulutyöskentelyn omist Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä Siirrytään sitten trkstelemn kirjoj MT12, L12, LC7, PM12 j Py12. Aloitetn jälleen Mtemtiikn tidost. Mtemtiikn tito tekee lkuun hvinnon, että porrssummi eli Rie- 76

81 mnnin summi käyttämällä sdn määrätylle integrlille lskettu likirvoj. Tämän jälkeen MT12 tutustutt lukijn puolisuunnikssääntöön Luvun 3 tvll. Puolisuunnikssäännölle nnetn myös virheen kv, mutt kirj unoht minit, että trksteltvn funktion on oltv kksi kert jtkuvsti derivoituv. Vstvsti MT12 esittelee Simpsonin kvn j sen virheen, mutt ei kerro, että jälleen trksteltvn funktion tulisi virhettä rvioitess oll jtkuvsti derivoituv, tällä kert neljästi. Kirj esittelee myös, kuink lskimeen voidn ohjelmoid edellä sdut säännöt j lske näin likirvoj integrleille. Lopuksi käsitellään vielä sovelluksi, kuten käyrän kren pituuden määrittämistä numeerisell integroinnill. Ludtur loitt huomioll, että kun tutkitn käyrän lle jäävän lueen pint-l, niin in ei välttämättä tunnet luett rjoittvn käyrän lusekett. Näin käy esimerkiksi, jos lueen rjt on stu mittustuloksin. On myös funktioit, joille ei pysty määrittämään määrättyä integrli. Numeerisist integrointimenetelmistä loitetn monikulmiomenetelmällä: Lsketn yksikköympyrän pint-llle rvio sisään (ympyrän ulkopuolelle) piirretyn n-monikulmion vull. L12 tote, että trkkuutt voidn ksvtt ksvttmll n:n rvo. Seurvksi sdn suorkulmiosääntö: Käyrän j koordinttikselin rjoittmn lueen pint-ln likirvon voi lske jkmll lue suorkulmioihin. Kirj käyttää tsvälistä jko. Kun piirretään suorkulmiot siten, että suorkulmion korkeudeksi vlitn funktion suurin rvo kullkin osvälillä, sdn suorkulmioiden yhteispint-l summn, jot kirj kutsuu yläsummksi. Vstvsti lsumm sdn, kun suorkulmion korkeudeksi vlitn funktion pienin rvo kullkin osvälillä. Ludtur tote: pint-ln likirvo voi trkent tihentämälllä jko. Kirj tekee hvinnon: Suorkulmiosäännön vull stu pint-ln rviot voidn prnt vlitsemll kunkin osvälin keskipiste j käyttämällä sitä vstv funktion rvo suorkulmion korkeuten. Tätä lskutp kutsutn keskipistesäännöksi. Kirjss ei kuitenkn otet käyttöön Riemnnin summi. Puolisuunnikssääntöön päädytään pint-ltulkinnn kutt. Säännölle ei esitetä virhekv. Tosin Ludtur tote, että jkovälien ei trvitse oll yleisessä tpuksess yhtä pitkiä. Simpsonin säännön kirj nt suorn totemll vin: Käyrän rjoittmn lueen pint-llle sdn puolisuunnikssäännöllä lskettu rvo prempi rvio, kun korvtn jkopisteiden välisen käyrän osuus prbelin krell. Tätä menetelmää snotn Simpsonin säännöksi. Myöskään Simpsonin säännölle ei nnet virheen kv. Myös Lukion Clculus päätyy pienen johdnnon kutt suorkidesääntöön (edellä suorkulmiosääntö) j keskipistesääntöön. LC7 esittää myös puolisuunnikssäännön j Simpsonin säännön. Kikki edellä kuvtutut me- 77

82 netelmät sdn tutkimll luksi koko väliä [, b] j pilkkomll sitä sitten osiin. Virheen kvt kirj nt hrjoitustehtävissä. Pitkä mtemtiikk lähtee liikkeelle vstvll tvll kuin Ludtur eli totemll, että minkä thns tsokuvion pint-l voidn likimääräisesti määrittää piirtämällä kuvion sisään mhdollisimmn suuri monikulmio j vstvsti ulkopuolelle mhdollisimmn pieni, jolloin todellinen pint-l on näiden monikulmioiden pint-lojen välissä. Tämän jälkeen PM12 keskittyy tilnteisiin, joiss kuviot rjoittvt funktion kuvj, x-kseli j koordinttikselien suuntiset suort, jolloin sisä- j ulkomonikulmiot muodostetn suorkulmioist. Esimerkin kutt PM12 päätyy l- j yläsummn käsitteisiin. Smll tehdään hvinto, että jko tihennettäessä lsumm suurenee j yläsumm pienenee. Välillä [, b] jtkuvn epänegtiivisen funktion kuvjn tpuksess todetn, että voidn osoitt, että kun jko tihennetään rjtt, niin l- j yläsummt lähenevät sm rvo. Tämä rj-rvo on funktion kuvjn j x-kselin rjmn lueen pint-l välillä [, b]. PM12 tote, että funktion jtkuvuusoletus ei ole välttämätön ehto pint-ln olemssololle. Jtkoss kirj olett, että trksteltv funktio on niin säännöllinen, että pint-l on olemss. Teoksess todetn, että edellä stu menetelmää pystytään muokkmn tehokkmmksi korvmll ylä- j lsummien suorkulmiot premmin funktion kuvjn sopivll kuvioll. Näin päädytään ensin keskipistesääntöön. Vielä prempn rviointiin pyritään korvmll funktion kuvj kullkin osvälillä jnll, jok kulkee kuvjn päätepisteiden kutt, jolloin sdn puolisuunnikssääntö. Todetn kuitenkin, että puolisuunnikssääntö ei välttämättä in ole prempi. Niinpä päädytään Simpsonin sääntöön keskipistesäännön j puolisuunnikssäännön vull korvmll pint-lt keskipistesäännön j puolisuunnikssäännön pinotetull keskirvoll siten, että puolisuunnikkn pint-l s pinon 1/3 j keskipistemenetelmän suorkulmio pinon 2/3. PM12 on ino kirjoist, jok päätyy Simpsonin sääntöön näin. Tosin kirj tote myös, että integrlilskennn vull voitisiin osoitt, että smn tulokseen päästään korvmll funktion kuvj kullkin osvälillä prbelin krell, jok kulkee kuvjn päätepisteiden j keskipisteen kutt. Virheen kvt esiintyvät hrjoitustehtävissä. Seurvss luvuss Pitkä mtemtiikk päätyy määrätyn integrlin käsitteeseen trkstelemll välillä [, b] määriteltyä jtkuv funktiot. Määrätty integrli sdn keskipistesäännön vull rj-rvon, kun jko tihennetään rjtt. Riemnnin summist kirj ei kuitenkn puhu. Esimerkin kutt PM10 joht tuloksen: Derivoituvn funktion f kuvjkäyrän 78

83 pituus välillä [, b] on funktion 1 + f (x) 2 määrätty integrli :st b:hen. s = 1 + f (x) 2 dx Edellä siis PM10 jättää minitsemtt, että funktio on oletettv jtkuvsti derivoituvksi. Myöskään MT12 ei tätä oletust mininnut. Sm tulos esiintyy myös inkin kirjss Py12 hrjoitustehtävien joukoss j jälleen ilmn oletust derivtn jtkuvuudest. Pyrmidi käsittelee numeerist integrointi vstvll tvll kuin Lukion Clculus. Tosin integrlilskent oletetn tutuksi. Muutenkin teoriosuus näyttäisi käsittelevän teem kirjoist ljimmin. Nottio on lähinpänä Mtemtiikn tito. Py12 nt virheen kvt teoriosuudess. Mtemtiikn tito j Pyrmidi olettvt selkeästi, että opiskelij on jo suorittnut kurssin Integrlilskent. Muut kirjt on ldittu niin, että integrlilskennn tuntemist ei välttämättä edellytetä. L12 on ino kirj, jost ei löytynyt virheiden kvoj. Muiss kirjoiss ne on enemmän ti vähemmän korostettun. Smll usein todetn, kuten PM12 seurvss: Jos integroitv funktio on polynomifunktio, jonk steluku on enintään 3, Simpsonin säännöllä sdn jkovälien määrästä riippumtt määrätyn integrlin trkk rvo. Kirjt ntvt myös enemmän ti vähemmän ohjeit lskimen j tietokoneen käyttöä vrten. Kikki kirjt vstvt siis opetussuunnitelmn perusteiss esitettyihin oppimistvoitteisiin j keskeisiin sisältöihin Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi Anlysoidn vielä kirjt MT13, L13, LC8, PM13 j Py13. Differentililskennn syventämisen yhteydessä Mtemtiikn tito todist Lemmn tuloksen Luvun 3 knss vstvll tvll. MT13 nimeää kyseisen lemmn Integrlilskennn perusluseeksi. MT13 esittelee srjoj käsittelevän luvun yhteydessä tähdellä merkityssä lluvuss myös potenssisrjn käsitteen: Potenssisrjn yleinen muoto on n x n = x + 2 x x n=0 Kirj nt myös luseen, jok kertoo, että potenssisrjoj voidn suppenemisvälillä integroid j derivoid (mielivltisen monesti) termeittäin. Luseen todistuksen todetn kuitenkin kuuluvn lukion ulkopuolelle. Ei nlysoid tätä lluku tämän enempää, sillä potenssisrjoj ei käsitelty Luvuss 3. 79

84 Vrsinisess integrlilskent käsittelevässä luvuss Mtemtiikn tito kert luksi integrlifunktion j määrätyn integrlin käsitteet. Integrlifunktio määritellään, kuten kirjss MT10. Nyt Mtemtiikn tito kuitenkin todist Luseen tuloksen. Määrätty integrli määritellään edelleen välillä [, b] jtkuvlle funktiolle f porrssummien eli Riemnnin summien rj-rvon (mutt ei kuitenkn täsmällisesti). Nyt määritelmää on yleistetty niin, että trkstelln välin [, b] mielivltist jko: Snomme, että jono on välin [, b] jko, jos D = (x 0, x 1,..., x n 1, x n ) x 0 =, x n = b j x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n. Nyt siis Mtemtiikn tito määrittelee, mitä välin [, b] joll D trkoitetn (Tätä ei kunnoll tehty kirjss MT10.). Kun jko tihennetään rjttomsti, niin se tehdään niin, että kikkien jkovälien pituudet lähestyvät noll (Jon D normin käsitettä ei siis esitellä.). Kertymäfunktio j sen derivtt kerrtn. Kirj todist mielivltisen, välillä [, b] jtkuvn funktion kertymäfunktiolle K tuloksen: K = f. Kurssiss Integrlilskent todistus esitettiin vin ei-negtiiviselle jtkuvlle funktiolle f. Anlyysin perusluse kulkee kirjss edelleen nimellä Määrätyn integrlin j integrlifunktion yhteys. MT13 kert osittisintegroinnin j sijoitusmenettelyn sekä rtionlifunktion integroinnin, nyt näitä ei merkitä tähdellä. Sijoitusmenetelmän yhteydessä ovt oletukset jälleen virheellisiä, kuten kirjss MT10. Epäoleellisi integrlej MT13 kutsuu epäolennisiksi. Määritelmät ovt kuitenkin vstvt kuin Luvuss 3, tosin MT13 trkstelee jtkuvi funktioit, jolloin määrätty integrli on olemss jokisell funktion määrittelyjoukon suljetull j rjoitetull osvälillä. Kirj MT13 käyttää huomttvsti enemmän mhdollisuutt jättää todistustehtäviä hrjoitustehtäviksi, kuin srjn iemmt versiot. Kirjn yhtenä tehtävänä on esimerkiksi osoitt, että määrätyn integrlin lskusäännöt säilyvät epäolennisille integrleille. Epäolennisi integrlej käytetään muun muss srjojen suppenemisen tutkimiseen, jolloin sdn Srjn suppenemisen integrlitesti. Ei käsitellä tätä ihett kuitenkn enempää, sillä srjoj ei käsitelty Luvuss 3. Lisäksi kirj trvitsee epäoleellisi integrlej käsitellessään jtkuvi jkumi. Ludtur loitt kirjn L13 integrlilskent koskevn osuuden luvull Anlyysin perusluse. Khden esimerkin kutt päädytään l- j ylä- 80

85 summn käsitteisiin: summ s n = n f(x i ) x, i=1 missä f(x i ) on osvälin x pienin rvo, snotn lsummksi j summ S n = n f(x i ) x, i=1 missä f(x i ) on osvälin x suurin rvo, snotn yläsummksi. Jos lj yläsummn rj-rvot, kun i, ovt olemss j ovt yhtä suuret kyseistä rj-rvo snotn määrätyksi integrliksi. Määrätty integrli määritellään siis pint-ln. Eikö pint-l määritelläkään määrätyn integrlin vull? Mitä, jos trksteltv funktio s myös negtiivisi rvoj? Mikä on funktion määrittelyjoukko? Annetnko funktiolle jotin oletuksi? Mhtkohn kirjn trkoituksen oll hst lukijns pohtimn edellä esitettyjä kysymyksiä? Kuitenkin täsmällisempää esitystä jää kipmn. Jkon Ludtur käyttää siis tsvälistä jko, kuten kirjn esimerkeissä tehdään ennen l- j yläsummn määritelmiä. Myöhemmin kirj jtk: Oletetn, että ty-koordintistoon piirretty käyrä y = f(t) kulkee kokonn t-kselin yläpuolell. Olkoon A(x) sen lueen l, jot rjoittvt käyrä y = f(t), t-kseli j suort t = j t = x. Tällöin funktiot A(x) kutsutn pint-lfunktioksi. Seurvksi L13 joht pint-lfunktion derivttfunktion j tote: Integrlifunktion määritelmän mukn A(x) on funktion f(t) integrlifunktio. Nyt L13 osoitt Anlyysin perusluseen käyttäen pintlfunktiot. Missään ei minit, että funktio f voi yleisessä tpuksess sd myös negtiivisi rvoj. Kirjn ldont on yhtä vpt kuin srjn iemmiss osiss, mikä tekee esityksestä epäselkeän oloisen. Onko se sitten helppolukuisemp mtemtiikk lukemn tottumttomlle lukijlle? Jok tpuksess ero vstvn kurssin Mtemtiikn tito -kirjn knss on huomttv. Tosin Mtemtiikn tidon kirjn MT13 esipuheess tekijät huomuttvt, että teos on srjn kirjoist hstvin, kosk siihen sisältyy pitsi lukiotson myös yliopistotson si j opettjn vrn jää päättää, mitä sioit kirjst pinotetn. Mtemtiikst kiinnostuneet voivt opiskell pois jätettyjä ti nopemmin käsiteltyjä kohti itsenäisesti. Seurvss luvuss Ludtur esittelee integroimiskeinoin osmurtoihin jon j osittisintegroinnin. Sijoitusmenetelmää kirjss ei käsitellä! Osmurtoj L13 käsittelee monipuolisemmin kuin MT13 esitellen muun muss 81

86 tpuksen, joss nimittäjällä on moninkertisi juuri. Ludturin tekijät totevt lkusnoiss, että meknisi tehtäviä srjss on runssti, jott perustidot opittisiin j muistettisiin. L13 käsittelee vielä epäoleellisi integrlej j jtkuvi jkumi. Epäoleellisten integrlien yhteydessä trksteltvst funktiost oletetn, että se on ei-negtiivinen j jtkuv voimell välillä ], b[. Lukion Clculus loitt osittisintegroinnin, osmurtoihin jon j sijoituskeinon esittelyllä. Osmuroj LC8 käsittelee kttvmmin kuin MT13 j L13. Seurvksi käsitellään ploittin määritellyn funktion integrointi. Epäolennisi integrlej kirjss käydään läpi Luvun 3 tvoin, jonk jälkeen jtkuvi todennäköisyysjkumi käsitellään lyhyesti. Kirj päättyy lyhyeen differentiliyhtälöitä käsittelevään lukuun, jot merkitään tähdellä eli luku ei vrsinisesti kuulu kirjn keskeisimpiin sisältöihin. Pitkä mtemtiikk esittelee Lemmn Mtemtiikn tidon tvoin Integrlilskennn perusluseen, mutt ei todist sitä. PM13 loitt integrlifunktion kertmisell. Johdntoesimerkin kutt päädytään trkstelemn välillä A jtkuv funktiot f: Olkoon jokin välin A piste. Tällöin x f(t) dt on välillä A määritelty muuttujn x funktio. Funktion rvo kohdss x on funktion f määrätty integrli :st x:ään. Muuttujn x funktion derivttfunktio on f(x) eli x f(t) dt x D x f(t) dt = f(x). Epäolennisi integrlej PM13 näyttäisi käsittelevän vrsin kttvsti. Tämän jälkeen siirrytään jtkuviin todennäköisyysjkumiin. Tiheysfunktion määrittelyn yhteydessä PM13 tote: Tiheysfunktiolt ei vdit, että se on kikkill jtkuv. Siksi merkintä f(x) dx on nyt hiemn hrhnjohtv, sillä epäjtkuville tiheysfunktioille merkinnän käyttö edellyttää yleisempää määrätyn integrlin käsitettä kuin lukio-opintojen määrätty integrli. Tästä ei käytännössä iheudu ongelmi, sillä kirjn 82

87 esimerkeissä j tehtävissä integrlit voidn lske integroiden tvlliseen tpn sopivsti vlituill väleillä. Osittisintegrointi, sijoitusmenetelmää ti osmurtoj ei kirjss käsitellä! Pyrmidi loitt integroimismenetelmillä: murtolusekkeen integrointi, osittisintegrointi j integrointi sijoitusmenetelmällä. Sijoitusmenettelyä kirj perustelee kirjsrjoist täsmällisimmin. Epäoleellisi integrlej Py13 käsittelee myös kttvsti. Se tosisi, että epäoleellinen integrli on määrätyn integrlin yleistys tulee prhiten ilmi Pyrmidiss. Kirjn vrsininen kurssimterili päättyy jtkuvi jkumi käsittelevään lukuun. Kikki kirjt vstvt opetussuunnitelmn perusteiss setettuihin oppimistvoitteisiin j keskeisiin sisältöihin inkin integrlilskennn kohdll. Kirjojen ldont j esitystyyli merkintöineen noudtt kutkuinkin sm linj kuin kurssin Integrlilskent kohdll. MT13 vikutt teoreettisimmlt, mutt on smll melko täsmällinen. Yksikään kirjsrj ei käsittele numeerist integrointi. 4.3 Oppimterilin struktuuri pedgogiselt knnlt Tutkitn seurvksi, miten oppikirjt suhtutuvt lukion opetussuunnitelmn perusteiss pitkälle mtemtiiklle setettuihin yleisiin oppimistvoitteisiin j minkälist oppimiskäsitystä kirj tukee (vrt. Luku 2)? Tekstin kielelliseen ilmisuun kiinnitetään nyt huomiot erityisesti oppimisen knnlt. Anlysoidn kirjojen lähestymistpoj: Kuink uusiin käsitteisiin päästään j miten ne linkittyvät ikisempiin käsitteisiin j opiskelijn iempn tietoon. Mterilej trkstelln erityisesti opiskelijn motivoinnin knnlt j nlysoidn kirjsrjoiss esiintyviä esimerkki- j hrjoitustehtäviä. Otetn nlyysiin mukn inostn kurssi Integrlilskent vrten kirjoitetut oppikirjt eli teokset MT10, L10, LC5, PM10 j Py Yleiset oppimistvoitteet j keskeiset sisällöt Kikki oppikirjt täyttävät lukion opetussuunnitelmn perusteiss minitut kurssikohtiset vtimukset käsitteiden oslt. Lisäksi käsitteitä sovelletn kttvsti, joten inkin oppikirjt mhdollistvt opiskelijlle sellisten vlmiuksien kehittymisen, joit trvitn jtko-opinnoiss. Opiskelij ohjtn tekemään hvintojens pohjlt kysymyksiä j perustelemn niitä, ehkä tämä puoli jää kuitenkin enemmän opetustilnteiden vrn. Kikki kirjt inkin pyrkivät etenemään johdonmukisesti. Mtemtiikn tito j Pyrmidi ovt ehkä täsmällisimpiä, mutt on niissäkin puutteens. Kuitenkin prhn kuvn mtemttisest tekstistä, kielestä j merkinnöistä s juuri näistä kirjoist. Mhtko kuitenkin runsst teoreettisuudest j 83

88 ljst sisisällöstä sitten oll hitt opiskelijn ktiiviseen tiedon prosessointi jtellen, toisin snoen tuleeko jo liik kognitiivist kuorm, jok lskee sitten opiskelijn motivtiot? Toislt Ludtur puolestn kirjoitt mtemtiikk jo liin vpsti. Kikki kirjsrjt kehottvt j ohjvt käyttämään teknisiä puvälineitä oppimisen tuken, enemmän ti vähemmän. Voidn siis todet, että kirjsrjt vstvt lukion opetussuunnitelmn perusteiss setettuihin yleisiin oppimistvoitteisiin j keskeisiin sisältöihin Motivointi MT10 kertoo kirjn lkusnoiss integrlilskennn historist, tosin hyvin lyhyesti. Muutkin oppikirjt käsittelevät enemmän ti vähemmän integrlilskennn histori. Integrlifunktion käsite tulee Mtemtiikn tidoss motivoitu derivoimisen käänteistehtävänä, määrätty integrli sen sijn käyrän kren lle jäävän pint-ln rvioimistehtävän kutt. Näin menettelee myös muut oppikirjt. Pyrmidi motivoi integrlifunktion käsitteen erittäin lyhyesti kirjn johdnnoss j vrsinisess luvuss nt suorn integrlifunktion määritelmän! Muutenkin kytkökset iempiin käsitteisiin j opiskelijn motivointi on vähäisempää Pyrmidiss muihin oppikirjoihin verrttun. Lukion Clculuksess on sivun pituinen, kttv, mutt ei liin pitkä johdnto integrlilskentn. Pitkä mtemtiikk lähtee liikkeelle kuk kertmll ensin derivointi j settmll sitten ongelmn, joss hetn tieto määrästä, kun muutosnopeus tiedetään. Integrlifunktion käsitteeseen päästään siis konkreettisen sovellusongelmn kutt. Smoin määrätyn integrlin käsitteeseen päästään pitkällisen prosessin kutt. Kirjn tekijät totevtkin kirjn esipuheess, että trkoituksen on ollut tehdä kirj, jonk vull opiskelij ymmärtää mtemtiikn erityisluonteen, joss teoreettinen koht käytännöllisen j joss luov oivltminen koht täsmällisen loogisuuden. Uusi tieto kootn j perustelln j lisäesimerkit syventävät tiedon käyttöä. Mtemtiikn tidon jokinen lluku lk lkuplll. Alkupl on yksi ti usempi tehtävä, jok liittää iemmin opitun sin tulevn smll motivoiden j herättäen uusi kysymyksiä. Esimerkiksi Integrlifunktion määritelmä -lluvun yhteydessä on seurv lkupl: () Ilmoit jokin funktio, jonk derivtt on 3x 2. (b) Ilmoit kksi funktiot, joiden molempien derivtt on 2x. Myös Pitkä mtemtiikk lähtee usein liikkeelle vstvntyylisellä ongelmtehtävällä. Ludtur loitt usein esimerkillä, jonk pohjlt uutt teori 84

89 rkennetn. Lukion Clculus j eritoten Pyrmidi loittvt pljon suoremmin. Mtemtiikn tidoss j Pitkässä mtemtiikss ei ole vstust ti rtkisu lun ongelmtehtäviin, mikä on hyvä si, sillä se herättää lukijss pljon enemmän itsenäistä jttelu, kuin vlmiiksi rtkistun esimerkin lukeminen. Toislt Ludturiss on Test lätötitosi j Test hyvät titosi -kertustehtäväosiot sekä käsitekrtt. Ludturiss on jokisen luvun lopuss PS -tehtävä, jok usein trjo mielenkiintoist pohdittv, kuten Möbiuksen nuhn nlysointi. Tehtävät eivät kuitenkn in välttämättä liity kyseiseen lukuun millään tvll. Ludturin jokisen luvun hrjoitustehtävissä, viimeistä luku lukuun ottmtt, on viimeinen tehtävä joko englnniksi ti ruotsiksi. Kikki kirjt, Pitkää mtemtiikk lukuun ottmtt, trjovt vnhoj ylioppilskoetehtäviä. Toislt kirjoist löytyy sovellustehtäviä esimerkiksi fysiikkn j rkielämään Esimerkit Kikiss kirjoiss esimerkit tukevt hyvin teorin oppimist mtemttisten käsitteiden j menetelmien oslt. Esimerkiksi integrlifunktion määritelmän jälkeen on esimerkkejä, joiss testtn käsitteen oppimist: kysytään, onko nnettu funktio toisen funktion integrlifunktio. Esimerkkien kutt konstuoidn myös uutt. Ludtur j Pitkä mtemtiikk vikuttisivt käyttävän tätä menetelmää prhiten. Mtemtiikn tito j Pyrmidi tuntuvt ntvn pljon herkemmin vlmiiksi pureskeltu teori. Kuitenkin kikki oppikirjsrjt käyttävät myös johdntoesimerkkejä. Tosin Lukion Clculuksess on ennemminkin johdnto-ongelm, jonk kutt päädytään uusien käsitteiden määritelmiin. Nämä ongelmt ovt hyvin yleisessä muodoss. Käsitteiden määritelmien jälkeen on lähinnä soveltvi esimerkkejä. Näitäkin on vähemmän kuin muiss kirjoiss. Tulukost 1 näkeekin, että Lukion Clculuksess on vrsin vähän esimerkkejä muihin teoksiin verrttun. Yleensä kirjojen esimerkeissä on kttvsti soveltv j syventävää inest Hrjoitustehtävät Kikki kirjt trjovt kttvsti hrjoitustehtäviä, MT10 j PM10 ehkä eniten. Kirjt jkvt tehtävät perustson tehtäviin j syventäviin tehtäviin, lukuun ottmtt Pyrmidi, joss tehtävät on seteltu kutkuinkin vikeusjärjestykseen. Kikiss muiss kirjsrjoiss, pitsi Pitkässä mtemtiikss on mukn myös vnhoj ylioppilskoetehtäviä. Kirjoiss perustehtävät ovt kirjn esimerkkitehtävien kltisi, syventävät tehtävät vtivmpi. Mtemtiikn tidoss j Ludturiss soveltvt 85

90 tehtävät ovt vst kirjn loppupuolell, kun ts muiss teoksiss soveltuvi tehtäviä on pitkin kirj, prhiten ehkä Lukion Clculuksess. Lukion Clculuksess on myös grfisen lskimen kättöön liittyviä tehtäviä. Puhdst mtemtiikk (eritoten todistustehtäviä) vikuttisi eniten olevn Mtemtiikn tidon tehtävissä. L10, LC5 j Py10 trjovt tehväviin inostn vstukset. Mtemtiikn tidoss on tuloksi j ohjeit, tosin ohjeit erittäin niuksti. PM10 nt vstuksien lisäksi vrsin kttvt ohjeet tehtävien rtkisuj vrten Eriyttäminen Pitkän mtemtiikn kirjoittjt totevt, että kirjn esimerkit on ldittu niin, että opiskelijt voivt omksu ne myös itsenäisesti. Siten tuntityöskentelyssä voidn usein jo ikisess viheess siirtyä itsenäiseen hrjoitteluun, jolloin opiskelijt etenevät omss thdissn kirjn esimerkkejä hyödyntäen. Myös muit kirjoj voi vrsin hyvin luke itsenäisesti. MT10 j Py10 sttvt tosin vrsin teoreettisest j tiiviistä esitystvstn johtuen oll kikkein vtivimpi kirjoj itsenäisesti luettviksi. Toislt MT10 trjo prhn kuvn puhtst mtemtiikst, todistmisest, mtemttisist merkinnöistä j kielestä sekä mtemttisen tekstin rkenteest. Kirjn tutkimustehtävät ovt erittäin hstvi j MT10 trjokin prhn teoksen nopesti etenevien opiskelijoiden eriyttämiseen. Lukion Clculus, Pitkä mtemtiikk sekä Ludtur trjovt enemmän kielennettyä mtemtiikk, jos sellist hlu. Ludtur on ehkä teoksen helpoin, tosin kielen suhteen jää toivomisen vr. Ludtur on pikk pikoin mtemtiikn suhteen myös vrsin epätäsmällinen Teksti oppimisen knnlt Kuten jo usemmn kerrn edellä todettiin, MT10 j Py10 ovt kielisultn teoreettisimpi. Silti ne noudttvt prhiten mtemtiikn kirjoittmiselle setettuj stndrdej. Kielellinen ilmisu on yleensä kirjoiss selkeää j ymmärrettävää j tukee oppimist Oppimiskäsitys Kikki kirjoj voi käyttää nykyikisen konstruktivistisen oppimiskäsityksen mukisen opetuksen tuken. Prhiten tätä mhdollisuutt tukevt Pitkä mtemtiikk j Lukion Clculus. Tosin Lukion Clculus tote kirjn lkusnoiss: Kirj opst mllintmiseen j nlyyttiseen jtteluun, mutt ei ole sitoutunut ongelmkeskeiseen lähestymistpn. Pyrmidi jättää suurimmn hsteen opettjlle konstruktivistist opetustp käytettäessä. 86

91 Toislt tiiviin j selkeän esitystvn vuoksi MT10 j Py10 ovt helppoj kerrt j kirjt toimivt käsikirjn tpn. Kikki kirjt tukevt hyvin lukijn prosedurlisen j konseptulisen tiedon muodostust. Prosedurlist tieto kehittää kirjojen lukuist lskutehtävät j konseptulist tieto lskutehtäviä enemmän kehittävät soveltvt tehtävät ti ylipäätään tehtävät, joiss trvitsee ymmärtää käsitteiden määritelmiä j niiden välisiä suhteit. 87

92 5 Lopuksi Tämän tutkielmn trkoituksen oli siis nlysoid lukion eri oppikirjsrjoj integrlilskennn oslt. Toislt tutkittiin kirjojen erovisuuksi, toislt suhdett lukion opetussuunnitelmn perusteisiin. Vertilu tehtiin toislt kirjojen mtemttisen sisällön, toislt pedgogiikn oslt. Järjestykseen teoksi ei kuitenkn litettu. Kikki kirjt soveltuvt hyvin nykyikisen konstruktivistisen opetusmetodin vuksi. Mtemtiikn tito j Pyrmidi ovt muit kirjsrjoj teoreettisempi. Kikki kirjt vstvt lukion opetussuunnitelmn perusteiden settmiin tvoitteisiin. Opetussuunnitelmn perusteiden väljyydestä johtuen kirjsrjoiss on kuitenkin useit erovisuuksi. Yhtenä esimerkkinä eroist on määrätyn integrlin määritelmän ntmisess: MT10 j Py10 määrittelevät käsitteen Riemnnin summien vull, LC5 käyttämällä l- j yläsummi. Sen sijn Ludtur j Pitkä mtemtiikk ntvt määrätyn integrlin määritelmän jollkin välillä, jok sisältää luvut j b, jtkuvlle funktiolle f jonkin tämän funktion integrlifunktion F vull seurvsti: f(x) dx = F (b) F (). Lisäksi Ludtur jättää minitsemtt, että olett funktion f jtkuvksi. Ludturiss on muutenkin ehkä eniten puutteit sekä mtemttisen sisällön että kielen suhteen. Kikiss kirjoiss on kuitenkin omt hyvät j huonot puolens. Opettjn hrkinnn vrn jää vlit, millinen kirj tukisi prhiten hänen opetustn j opiskelijryhmäänsä. J toislt opettj ei opet vrsinisesti oppikirj, vn itse inett. Symbolisi lskimi s nykyisin käyttää ylioppilskirjoituksiss. Aik näyttää, kuink oppimterilit ottvt tämän seikn jtkoss huomioon. Toislt lähiikoin sdn uudet lukion opetusuunnitelmn perusteet. On mielenkiintoist seurt, mikä muuttuu nykyisiin verrttun. Vielä, kun tvoitteen on, että oppimterileist tehdään tulevisuudess sähköisiä, niin muutoksi on lähivuosin mhdollisesti tiedoss useit. 88

93 Viitteet [1] Adms, R. Clculus A Complete Course 5th ed. Addison Wesley Longmn, Toronto, [2] Anonyymi. Lukion opetussuunnitelmn perusteet (Internetlähde stviss ): lukion opetussuunnitelmn perusteet 2003.pdf [3] Anonyymi. MtoOps vinkkejä j fkt mtemtiikn opiskelust yliopistoss. Tmpereen teknillinen yliopisto, (Internetlähde stviss ): &skin= [4] Berkovits, J., Rytty, M. Anlyysin kertusineisto Integrointi. Oulun yliopisto, (Internetlähde stviss ): kertust/ [5] Hlmetoj, M., Häkkinen, K., Lurinolli, T., Merikoski, J., Pippol, L., Snkilmpi, T., Silfverberg, H., Tossvinen, T. Mtemtiikn tito 10 Integrlilskent. WSOY Oppimterilit Oy, Helsinki, [6] Hlmetoj, M., Häkkinen, K., Merikoski, J., Pippol, L., Silverberg, H., Tossvinen, T. Mtemtiikn tito 12 Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä. WSOY Oppimterilit Oy, Helsinki, [7] Hlmetoj, M., Häkkinen, K., Merikoski, J., Pippol, L., Silfverberg, H., Tossvinen, T. Mtemtiikn tito 13 Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi. WSOY Oppimterilit Oy, Helsinki, [8] Hutjärvi, T., Ottelin, J., Wllin-Jkkol, L. Ludtur 10 Integrlilskent. Otv, Keuruu, [9] Hutjärvi, T., Ottelin, J., Wllin-Jkkol, L. Ludtur 12 Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä. Otv, Keuruu, [10] Hutjärvi, T., Ottelin, J., Wllin-Jkkol, L. Ludtur 13 Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi. Otv, Keuruu, [11] Hemmo-Ilvonen, K., Slonen, C. Pyrmidi 12 Lukion pitkä mtemtiikk Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä. Tmmi, Vmml,

94 [12] Honkonen, J., Perko, T., Pitkänen, M. Fysiikn mtemttiset puneuvot. Limes ry, Helsinki, [13] Hurri-Syrjänen, R. Differentili- j integrlilskent I.1. Luentomoniste. Helsingin yliopisto, (Internetlähde stviss ): pdf?version=1&modifictiondte= [14] Jäppinen, P., Kupiinen, A., Räsänen, M. Lukion Clculus 5 MAA9 Trigonometriset funktiot j lukujonot MAA10 Integrlilskent. Otv, Keuruu, [15] Jäppinen, P., Kupiinen, A., Räsänen, M. Lukion Clculus 7 MAA12 Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä. Otv, Keuruu, [16] Jäppinen, P., Kupiinen, A., Räsänen, M. Lukion Clculus 8 MAA13 Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi. Otv, Keuruu, [17] Kngsho, J., Mäkinen, J., Oikkonen, J., Psonen, J., Slmel, M., Thvninen, J. Pitkä mtemtiikk 10 Integrlilskent. WSOY Oppimterilit Oy, Helsinki, [18] Kngsho, J., Mäkinen, J., Oikkonen, J., Psonen, J., Slmel, M., Thvninen, J. Pitkä mtemtiikk 12 Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä. WSOY Oppimterilit Oy, Helsinki, [19] Kngsho, J., Mäkinen, J., Oikkonen, J., Psonen, J., Slmel, M., Thvninen, J. Pitkä mtemtiikk 13 Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi. WSOY Oppimterilit Oy, Helsinki, [20] Knknpää, J. Differentili- j integrlilskent I.2. Luentomoniste. Helsingin yliopisto, (Internetlähde stviss ): [21] Kivelä, S., Nurmiinen, R. M niinkuin mtemtiikk Lukiotson mtemtiikn tietosnkirj. TKK, (Internetlähde stviss ): [22] Kontknen, P., Lehtonen, J., Luosto, K., Svolinen, S. Pyrmidi 10 Lukion pitkä mtemtiikk Integrlilskent. Tmmi, Vmml, [23] Kontknen, P., Lehtonen, J., Luosto, K. Pyrmidi 13 Lukion pitkä mtemtiikk Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi. Tmmi, Korotn, Sloveni,

95 [24] Lhtonen, J. Anlyysi II. Luentomoniste. Turun yliopisto, (Internetlähde stviss ): Kevt/AnlyysiII2012.pdf [25] Lunonen, E., Sorvli, E., Toivonen, P. teknisten mmttien mtemtiikk 3Y. WSOY, Porvoo, [26] Lurinolli, T., Merikoski, J., Snkilmpi, T. Mtemtiikn tito 8 Integrlilskent. WSOY, Porvoo, [27] Lurinolli, T., Merikoski, J., Snkilmpi, T. Mtemtiikn tito 9 Tilstotiede j todennäköisyyslskent. WSOY, Porvoo, [28] Myrberg, L. Differentili- j integrlilskent os 1 korkekouluj vrten. Tmmi, Tmpere, [29] Prtnen, J. Mtemttisen nlyysin jtkokurssi. Luentomoniste. Helsingin yliopisto, (Internetlähde stviss ): wiki.helsinki.fi/downlod/ttchments/ /01luku.pdf?version= 1&modifictionDte= [30] Pietiläinen, P., Rummukinen, K. Fysiikn mtemtiikk. Luentomoniste. Helsingin yliopisto, (Internetlähde stviss ): mpu/luennot/moniste.pdf [31] Pylkkä, O. Oppimiskäsitykset. Jyväskylän mmttikorkekoulu. (Internetlähde stviss ): [32] Slovr, H. Oppimisen teorist tuke tieto- j viestintätekniikn pedgogiseen käyttöön. Oulun yliopisto, (Internetlähde stviss ): [33] Tehtävä 4. Hrjoitustehtävät 2. Kurssi: Anlyysi II, Helsingin yliopisto, kevät