Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa

Transkriptio

1 Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Mtemtiikn pro grdu -tutkielm Mikko Huttunen Helsingin yliopisto 14. mliskuut 2013

2 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Mikko Huttunen Työn nimi Arbetets titel Title Mtemtiikn j tilstotieteen litos Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Oppiine Läroämne Subject Mtemtiikk Työn lji Arbetets rt Level Aik Dtum Month nd yer Sivumäärä Sidontl Number of pges Pro grdu -tutkielm Mliskuu s. Tiivistelmä Refert Abstrct Integrlilskent on yksi mtemtiikn kulmkivistä. Lukioss sitä opetetn osn pitkää mtemtiikk, joss sille on vrttu om yksittäinen kurssins. Tutkielmn Luvuss 1 tutustutn lkuun, miten integrlilskent esiintyy lukion opetussuunnitelmn perusteiss, jonk jälkeen Luvuss 2 esitellään lyhyesti erilisi oppimiskäsityksiä. Edelleen Luvuss 3 trkstelln opetussuunnitelmn perusteiss esiintyvien keskeisten käsitteiden määritelmiä j niihin liittyvää teori. Tutkielmn päätrkoitus on nlysoid lukion pitkän mtemtiikn oppikirjsrjoj integrlilskennn oslt. Luvuss 4 tutkitnkin toislt kirjsrjojen erovisuuksi j toislt suhdett opetussuunnitelmn perusteisiin j Luvuss 3 nnettuihin keskeisiin käsitteisiin. Lopuksi Luvuss 5 tehdään lyhyt yhteenveto. Integrlilskent rkentuu khden peruskäsitteen, integrlifunktion eli määräämättömän integrlin j määrätyn integrlin eli Riemnnin integrlin vrn. Integrlifunktioit etsittäessä eli integroitess määritetään ne funktiot, joiden derivttfunktio trksteltvll relilukuvälillä tunnetn. Määrätty integrli puolestn on lähtöisin pyrkimyksestä määrittää epänegtiivisen, jtkuvn funktion käyrän kren j x-kselin väliin jäävän lueen pint-l suljetull relilukuvälillä. Tällist luett voidn rvioid suorkulmioill jkmll trksteltv väli osväleihin j vlitsemll kultkin osväliltä sitten mielivltinen piste, joss lsketn funktion rvo. Kun nyt ensin lsketn osvälin j edellä sdun funktion rvon tulo jokisell osvälillä j sitten summtn näin sdut tulot yhteen, niin sdn erään suorkulmioist koostuvn monikulmion pint-l. Kun sitten ksvtetn osvälien lukumäärää siten, että smll pisimmän osvälin pituus lähenee noll, niin hvitn geometrisesti, että sdn mielivltisen trksti edellä trksteltvn funktion j x-kselin välistä luett myötäilevän monikulmion pint-l. Jos vstvn rj-rvoon päädytään millä thns joll, joss pisimmän osvälin pituus lähenee noll j mielivltisell jonoll, joss funktion rvot lsketn, niin snotn, että funktio on integroituv j edellä stu rj-rvo on funktion Riemnnin integrli yli trksteltvn välin. Määritelmä nnetn usein suljetull välillä rjoitetulle funktiolle. Määritelmä voidn nt yhtäpitävästi niin snottujen lj yläsummien vull, kuten tutkielmn Luvuss 3 tehdään. Anlyysin perusluse kertoo, että suljetull välillä jtkuvn funktion Riemnnin integrli on yhtä suuri kuin trksteltvn funktion jonkin integrlifunktion välin loppu- j lkupisteessä smien rvojen erotus. Edellä sdut käsitteet esiintyvät myös lukion integrlilskennss. Oppikirjsrjt käsittelevät määräämätöntä integrli kutkuinkin smll tvll kuin yllä, mutt määrätyn integrlin esittelyssä on eroj: esimerkiksi kirjsrjt Pitkä mtemtiikk j Ludtur ntvt määrätyn integrlin määritelmän Anlyysin perusluseen, kun ts Mtemtiikn tito, Pyrmidi j Lukion Clculus käyttävät yllä kuvtun kltist lähestymistp. Kirjsrjoiss on muutenkin pljon erovisuuksi: esimerkiksi Mtemtiikn tito j Pyrmidi ovt muit huomttvsti teoreettisempi j käyttävät pljon enemmän yliopistomtemtiikn kltist nottiot. Kikki kirjsrjt vstvt kuitenkin opetussuunnitelmn perusteiss setettuihin oppimistvoitteisiin j keskeisiin sisältöihin. Avinsnt Nyckelord Keywords Integrlilskent, Lukion opetussuunnitelmn perusteet, Integrlifunktio, Määrätty integrli Säilytyspikk Förvringsställe Where deposited Sähköinen rkisto Held Muit tietoj Övrig uppgifter Additionl informtion

3 Sisältö Johdnto 1 1 Integrlilskent lukion opetussuunnitelmn perusteiss Lukion opetussuunnitelmn perusteet Oppimistvoitteet j keskeiset sisällöt Erilisi oppimiskäsityksiä Behviorismi Kokemuksellinen oppiminen Kognitiivinen oppimiskäsitys Konstruktivismi Tietämisen eri muodot Integrlilskennn käsitteistä Integrlifunktio Integrointi Osittisintegrointi Integrointi sijoituksell Murtofunktion integroiminen Määrätty integrli Välin jko, ylä- j lsummt, Riemnnin integrli Riemnnin summt Riemnnin integrlin perusominisuuksi Jtkuvn funktion integroituvuus Riemnnin integrlin j integrlifunktion yhteys Määrätyn integrlin lskeminen Määrätyn integrlin osittisintegrointi Määrätyn integrlin lskeminen sijoituksell Numeerinen integrointi Epäoleellinen integrli Määrätty integrli yli rjoittmttomn välin Rjoittmttomn funktion määrätty integrli Suppenemistesteistä Integrlin sovelluksi Tsojoukon pint-l Tilvuus Käyrän kren pituus Toinen näkökulm integrleihin Jtkuvt todennäköisyysjkumt

4 4 Integrlilskennst lukion oppikirjoiss Yleisiä huomioit Suhde lukion opetussuunnitelmn perusteisiin Integrlilskent Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi Oppimterilin struktuuri pedgogiselt knnlt Yleiset oppimistvoitteet j keskeiset sisällöt Motivointi Esimerkit Hrjoitustehtävät Eriyttäminen Teksti oppimisen knnlt Oppimiskäsitys Lopuksi 88 Viitteet 89 3

5 Johdnto Tämä tutkielm käsittelee nimensä mukisesti integrlilskent lukioss j lukion oppikirjsrjoiss. Luvuss 1 tutustutn lkuun lukion opetussuunnitelmn perusteisiin, erityisesti siltä osin, mitä opetussuunnitelmn perusteet snovt integrlilskennst lukioss. Tutkielmn pääkohtn on Luvuss 4 tehtävä oppikirj-nlyysi. Anlyysissä on viiden, lukioiss vltkunnllisesti käytettävän, pitkän mtemtiikn oppikirjsrjn kurssej Integrlilskent, Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä sekä Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi vrten kirjoitetut oppikirjt, siis yhteensä 15 teost. Khden jälkimmäisen kurssin oslt rjoitutn luonnollisesti trkstelemn vin teosten integrlilskent koskevi osi. Oppikirj-nlyysissä keskitytään muun muss kirjojen lähestymistpojen j sisältöjen nlysointiin sekä erityisesti siihen, kuink oppikirjt kohtvt lukion opetussuunnitelmn perusteiss setetut oppimistvoitteet j keskeiset sisällöt. Oppimterilin struktuurin pedgogist nlysointi vrten Luvuss 2 tutustutn lyhyesti erilisiin oppimiskäsityksiin. Huomiot kiinnitetään erityisesti siihen, kuink uusiin käsitteisiin päästään j miten ne linkittyvät ikisempiin käsitteisiin j opiskelijn iempn tietoon. Trkstelun kohtein ovt muun muss opiskelijn motivointi, kirjojen esimerkit j hrjoitustehtävät. Kirjojen mtemttisen sisällön oslt kiinnitetään huomiot erityisesti mtemttisten käsitteiden määritelmiin, käytettyihin merkintöihin, bstrktiotsoon j esityksen täsmällisyyteen. Anlysointi vrten Luvuss 3 esitetään opetussuunnitelmn perusteiss esiintyvien keskeisimpien käsitteiden määritelmiä j teori. Tämän teoriluvun käsitteiden määritelmät pohjutuvt yliopistomtemtiikkn, lähteinä käytetään muun muss teoksi [1], [20], [24] j [28]. Luvut 1, 2 j 3 yhdessä muodostvt tutkielmn teoreettisen viitekehyksen. Tutkielmn trkoituksen ei ole kuitenkn sett oppikirjoj premmuusjärjestykseen, vn tutki oppikirjojen erovisuuksi j suhdett opetussuunnitelmn perusteisiin. Luku 3 voi soveltuvin osin käyttää kertvn j syventävänä mterilin lukioss ti mhdollisesti korkekouluiss kertustrkoituksess. Lukijlt edellytetään pohjtietoin nlyysin perusteit differentililskennn oslt. Lukuun 3 soveltuvi hyviä hrjoitustehtäviä löytyy muun muss teoksest [28]. Tutkielm päättyy yhteenveto- j pohdintlukuun 5. Integrlilskennn voidn hyvällä syyllä sno olevn yksi mtemtiikn kulmkivistä, sillä sen käsitteistö j menetelmät muodostvt perustn useiden luonnontieteissä j tekniikss esiintyvien ongelmien nlysoinnille, 1

6 mllintmiselle j rtkisemiselle. Integrlilskennn perusidet hhmottuivt jo ntiikin ikoin, mutt muun muss Isc Newton j Gottfried Wilhelm Leibniz seurjineen kehittivät integrlilskent j luvuill suunnilleen tässä tutkielmss esitettävään muotoon. Integrlilskennn perusteiden ymmärtämisen voidn ktso kuuluvn mtemttiseen yleissivistykseen j siksi myös osksi lukion mtemtiikn oppimäärää. Lukioss integrlilskent on opetettu 1900-luvun puolivälistä lähtien. [25, s.3], [26, s.3] 2

7 1 Integrlilskent lukion opetussuunnitelmn perusteiss Tässä kppleess tutustutn lukion opetussuunnitelmn perusteisiin j erityisesti siihen, mitä opetussuunnitelmn perusteet snovt integrlilskennst lukioss. Keskeisessä semss ovt opetussuunnitelmn opiskelijlle settmt tvoiteet j kurssin keskeiset sisällöt. 1.1 Lukion opetussuunnitelmn perusteet Lukio-opinnot koostuvt pkollisist, syventävistä j soveltvist kursseist vltioneuvoston setuksen (ks. esim. [2, LIITE 3]) mukisesti. Vltkunnllisten pkollisten j syventävien kurssien lisäksi lukioiss voidn trjot ylimääräisiä syventäviä j soveltvi kurssej. Syventävät kurssit liittyvät pääsiss pkollisiin kursseihin soveltvien kurssien olless enemmän eheyttäviä kurssej, jotk mhdollisesti sisältävät ineksi eri oppiineist. Soveltvt kurssit voivt oll myös menetelmäkurssej tikk smn ti muun koulutuksen järjestäjän trjomi mmtillisi opintoj ti lukion tehtävään muuten soveltuvi muit opintoj. [2, s.15] Lukioiss käytettävät kunt- ti lukiokohtiset opetussuunnitelmt lditn vltkunnllisiin lukion opetussuunnitelmn perusteisiin [2] perustuen. Opetussuunnitelm ldittess otetn huomioon lukion toimintympäristö, piklliset rvovlinnt j osmisvhvuudet, esimerkiksi mtemtiikklukioss trjotn usempi syventäviä kurssej kuin vltkunnllisesti. Opetussuunnitelmn tulee sisältää kikkien kurssien tvoitteet j sisällöt j se täydentää sekä täsmentää opetussuunnitelmn perusteiss esitettyjä keskeisiä tvoitteit j sisältöjä. Opetus lukioiss järjestetään opetussuunnitelmn pohjlt. Tässä tutkielmss keskitytään kuitenkin siihen, miten integrlilskent esiintyy vltkunnllisiss lukion opetussuunnitelmn perusteiss. Nykyisin käytössä olevt lukion opetussuunnitelmn perusteet ovt vuodelt 2003 j niitä on tullut noudtt lken. Lukion mtemtiikk jetn lyhyeen j pitkään mtemtiikkn. Pitkässä mtemtiikss on kymmenen pkollist kurssi j kolme vltkunnllist syventävää kurssi. Integrlilskent lukioss esiintyy osn pitkää mtemtiikk, sen pkollisess kurssiss 10, Integrlilskent, sekä syventävissä kursseiss 12, Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä, j 13, Differentilij integrlilskennn jtkokurssi. 3

8 1.2 Oppimistvoitteet j keskeiset sisällöt Lukion opetussuunnitelmn perusteiss todetn pitkän mtemtiikn oppimistvoitteiden j opetuksen keskeisten sisältöjen kohdll yleisesti muun muss seurv [2, s.118]: Mtemtiikn pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on nt opiskelijlle mtemttiset vlmiudet, joit trvitn mmtillisiss opinnoiss j korkekouluopinnoiss. Mtemtiikn opetustilnteet tulee järjestää siten, että ne herättävät opiskelijn tekemään hvintojens pohjlt kysymyksiä, oletuksi j päätelmiä sekä perustelemn niitä. Tvoitteen on rohkist opiskelij kokeilevn j tutkivn toimintn, rtkisujen keksimiseen sekä niiden kriittiseen rviointiin. Opiskelij ohjtn hhmottmn mtemttisten käsitteiden merkityksiä j tunnistmn, kuink ne liittyvät ljempiin kokonisuuksiin. Tvoitteen on, että opiskelij oppii näkemään mtemttisen tiedon loogisen rkenteen j oppii rvostmn esityksen täsmällisyyttä sekä käyttämään mtemtiikn kieltä j seurmn mtemttist tekstiä ti esitystä. Opetuksess tutkitn mtemtiikn j rkielämän välisiä yheyksiä trjomll opiskelijlle selkeä käsitys mtemtiikn merkityksestä yhteiskunnn kehityksessä sovellusmhdollisuuksineen. Eräänä tvoitteen on hrjnnutt opiskelij mllintmn käytännön ongelmtilnteit sekä hyödyntämään erilisi rtkisustrtegioit. Tvoitteen on myös, että opiskelij oppii käyttämään teknisiä puvälineitä j tietolähteitä opiskeluns tuken. Kurssikuvusten väljyyttä voidn käyttää resurssien slliess keskeisten sisältöjen syventämiseen j eheyttävien kokonisuuksien muodostmiseen. Kurssin Integrlilskent tvoitteet kuvtn seurvsti [2, s.123]: Tvoitteen on, että opiskelij ymmärtää integrlifunktion käsitteen j oppii määrittämään lkeisfunktioiden integrlifunktioit, ymmärtää määrätyn integrlin käsitteen j sen yhteyden pint-ln, 4

9 oppii määrittämään pint-loj j tilvuuksi määrätyn integrlin vull, perehtyy integrlilskennn sovelluksiin. Kurssin keskeisiksi sisällöiksi setetn: integrlifunktio, lkeisfunktioiden integrlifunktiot, määrätty integrli, pint-ln j tilvuuden lskeminen. Kurssin Numeerisi j lgebrllisi menetelmiä tvoittein [2, s.124] puolestn on, että opiskelij oppii ymmärtämään bsoluuttisen j suhteellisen virheen käsitteet j niiden vull likirvolskujen trkkuutt koskevt säännöt peruslskutoimitusten tpuksess, ymmärtää iteroinnin käsitteen j oppii rtkisemn yhtälöitä numeerisesti, oppii tutkimn polynomien jollisuutt j määrittämään polynomin tekijät, oppii lgoritmist jttelu, hrjntuu käyttämään nykyikisi mtemttisi välineitä, oppii määrittämään numeerisesti muutosnopeutt j pint-l. Keskeisiksi sisällöiksi setetn: bsoluuttinen j suhteellinen virhe, Newtonin menetelmä j iterointi, polynomien jkolgoritmi, polynomien jkoyhtälö, muutosnopeus j pint-l. Vielä kurssin Differentili- j integrlilskennn jtkokurssi tvoittein [2, s.124] on, että opiskelij 5

10 syventää differentili- j integrlilskennn teoreettisten perusteiden tuntemustn, täydentää integrlilskennn titojn j sovelt niitä muun muss jtkuvien todennäköisyysjkumien tutkimiseen, tutkii lukujonon rj-rvo, srjoj j niiden summi. Keskeisiksi sisällöiksi setetn: funktion jtkuvuuden j derivoituvuuden tutkiminen, jtkuvien j derivoituvien funktioiden yleisiä ominisuuksi, funktioiden j lukujonojen rj-rvot äärettömyydessä, epäoleelliset integrlit. Edellä olevist pitkän mtemtiikn yleisistä tvoitteist huokuu nykyikinen oppimiskäsitys, joss opiskelij nähdään ktiivisen tiedon rkentjn. Opetussuunnitelmn perusteiden kolmnness luvuss Opetuksen toteuttminen [2, s.14] todetnkin, että opetussuunnitelmn perusteet pohjutuvt oppimiskäsitykseen, jonk mukn oppiminen on seurust opiskelijn ktiivisest j tvoitteellisest toiminnst, joss hän vuorovikutuksess muiden opiskelijoiden, opettjn j ympäristön knss j iempien tietorkenteidens pohjlt käsittelee j tulkitsee vstnottmns informtiot. Uusi tieto rkentuu siis suhteess iempn tietoon. Lisäksi opiskelumuotojen tulisi oll mhdollisimmn monipuolisi j siten opiskelijoiden yksilöllisyyden huomioon ottvi. 6

11 2 Erilisi oppimiskäsityksiä Trkstelln seurvksi erilisi oppimiskäsityksiä oppikirj-nlyysiä vrten. Lähteet [31], [32] j [3] löytyvät verkost. 2.1 Behviorismi Behvioristinen oppimiskäsitys syntyi 1910-luvull. Sen juuret ovt luonnontieteellisessä jtteluss. Ihmisen j eläimen oppiminen nähdään smnkltisen. Tieto milmst sdn kokemusten j istihvintojen kutt. Oppij on tyhjä tulu, johon kokemukset jättävät jälkensä. Behviorismin pedgogisi peritteit ovt: vhvistminen, välitön plute, opetettvn ineksen pieniin osiin pilkkominen, virheellisten vstusten nope sivuuttminen. Opetus keskittyy tietojen j titojen ulkoiseen ohjukseen. Oppijn vlmiuksi jtell j ymmärtää opittvi sioit itsenäisesti ei tuet. Toivotust käyttäytymisestä plkitn, ei-toivottu käyttäytymistä heikennetään rngistuksill. 2.2 Kokemuksellinen oppiminen Kokemuksellisess oppimisess oppimisen ktsotn pohjutuvn oppijn kokemuksiin j itsereflektioon eli kykyyn rvioid om oppimistn uuden oppimisen pohjksi. Tvoitteen on itsensä toteuttminen j minän ksvu. Oppimiseen liittyy myös motivtio, vp thto j vstuu. Kokemuksellinen oppiminen käyttää hyväksi eri istiknvi, tunteit, mielikuvi, ylipäätään kokemuksi. Oppiminen on jtkuv tiedon syventämistä j ymmärtämistä, omn tietämisen rkentmist. Oppiminen on kokemusten muuttumist j ljentumist. Kokemukselliseen oppimiskäsitykseen olennisen osn kuuluu, että pohditn oppijn knss yhdessä oppimistvoitteit j keskeisiä sisältöjä, lähdetään liikkeelle oppijn kokemuksist, tuetn oppijn ksvu j itseohjutuvuutt. Opettj nähdään oppimisen tukijn. 2.3 Kognitiivinen oppimiskäsitys Kognitiivinen oppimiskäsitys si lkuns 1960-luvun luss, kun ulkoisen sijn lettiin kiinnittää huomiot ihmismielen sisäisiin ilmiöihin, kognitiivisiin prosesseihin, kuten jtteluun, muistiin j kieleen. Oppiminen nähdään tiedon ktiivisen prosessointin j oppijn om toimint on keskeistä. Tiedon ei siis enää nähty olevn smnlinen pysyvä kokonisuus, jok voitisiin siirtää oppijlle tietyin proseduurein. Tosin pinopiste tutkimuksiss on 7

12 viime vuosin siirtynyt yksilöllisen tiedonrkennusprosessien semst oppimisen yhteisöllisen prosessin eli jetun kognition tutkimiseen. Oppimisen ktsotn lkvn käytännön elämän ongelmist j ristiriidoist. Oppijn mielessä syntyy tiedollinen ristiriit, kun hänen iemmt tietons j titons eivät riitäkään kohdtun tilnteen hllitsemiseen. Tällöin oppij pyrkii rtkisemn ristiriidn joko hnkkimll uutt tieto (kutsutn ssimiltioksi) ti hän järjestää vnhn tietons uudell tvll (snotn kkommodtioksi). Oppimisen tuloksen nähdään olevn jäsentyneitä jtuksi j selittäviä peritteit, joist sitten muodostuu oppijlle toimint ohjvi sisäisiä mllej eli skeemoj. Uuden tiedon omksuminen on siis riippuvinen iemmst tiedost. Kosk skeemojen ktsotn näyttelevän tärkeää os oppimisess, voi oll hyödyllistä krtoitt oppijoiden skeemoj kunnoll j opett uutt vnhojen skeemojen pohjlt. Oppijn metkognitiivisten titojen kehittäminen nähdään merkityksellisenä. Metkognitiivisill tidoill trkoitetn omn oppimisen rviointi, rviointi siitä, miten oppii j miten voi kehittää oppimistn. Opetus nähdään oppimisen systemttisen ohjmisen, jonk pyrkimyksenä on sd oppijss ikn itsenäistä jttelu j pohdint, jonk vull ymmärretään j opitn. Opetuksen tvoitteet setetn väljästi j niissä pyritään opetuskokonisuuksiin pikkutrkkojen yksityiskohtien määrittelemisen sijst. Opetusmetodit ovt oppijkeskeisiä, pri- ti ryhmätöitä j projektej. 2.4 Konstruktivismi Konstruktivismi pohjutuu pitkälti kognitiiviseen oppimiskäsitykseen. Oppiminen nähdään ktiivisen tiedon rkentmisen prosessin. Oppijn iemmt tiedot, käsitykset j kokemukset opittvst sist säätelevät sitä, mitä hän sist hvitsee j miten sitä tulkitsee. Tärkeää on, että oppijss herää omiksi koetut, opittvn sin liittyvät kysymykset. Tällöin olennist on om kokeilu j ongelmnrtkisu. Ymmärtämisen pinottmisen koetn edistävän mielekästä tiedon jäsentämistä. Konstruktioprosessiss syntyvän tietorkenteen jäsentyneisyyden j monipuolisuuden puolestn ktsotn vikuttvn tiedon käyttöön tuleviss tilnteiss. Oppiminen on kuitenkin tilnnesidonnist. Metkognitiiviset tidot ovt jälleen keskeisessä semss. Subjektiivisist kokemuksist syntyy objektiivist tieto sosilisen vuorovikutuksen j oppijoiden yhteistoiminnllisuuden kutt. Opetuksen j opetussuunnitelmien tulisi oll joustvi j ott huomioon niin oppijn vlmiudet kuin tiedon suhteellisuuskin. Smoin oppimisen rvioinnin tulisi oll monipuolist j pinott ymmärtävää oppimist. Konstruktivismill on useit eri suuntuksi, kuten rdikli konstrukti- 8

13 vismi, sosiokognitiivinen konstruktivismi sekä sosiokulturlinen konstruktivismi. Rdikliss konstruktivismiss tiedon nähdään olevn inutkertist j olemss vin yksilötsoll. Sosiokognitiivinen konstruktivismi ts korost yksilön osuutt tiedon rkentmisprosessiss, mutt sosilist vuorovikutust pidetään yksilön oppimiselle j tiedon konstruoinnille välttämättömänä. Sosiokulturlinen konstruktivismi puolestn korost yhteisöllisyyden j kulttuurin jtkmisen merkitystä oppimisprosessin päämääränä. Yhteisön vuorovikutukseen osllistumist pidetään oppimisen keskeisenä meknismin. Viime ikisiss tutkimuksiss on keskitytty sintuntijuuden tutkimiseen. Asintuntijll nähdään olevn monipuolinen, hyvin jäsentynyt tietorkenne. Erityisesti verkostoitunutt sintuntijuutt on tutkittu. Siinä sintuntijuus nähdään sosilisen ilmiönä j sintuntijuus on kulttuuriin j yhteisöllisiin tiedonluomisprosesseihin osllistumist. Asintuntijuutt ei trkstell yksilön ominisuuten, vn yksilön, yhteisön sekä kulttuurin välisen vuorovikutuksen tuotteen. Asintuntijyhteisöllä on om kulttuurins, joll on sille tyypillinen kieli, terminologi, toiminttvt sekä työvälineet. Yksittäisen sintuntijn toimint ruokkii sintuntijyhteisön kehitystä j toimint, mutt toislt sintuntijyhteisön tieto luov toimint s ikn muutoksi yksilön osmisess. Kosk oppijn jttelun ktiivisuus on erittäin tärkeää ldukkn oppimisen knnlt, on opettjn roolin oppimisprosesiss luod puitteet j toimi toiminnn ohjjn trjoten smll hstvi j mielenkiintoisi projektej, jott oppijn ktiivisuus j motivtio pysyvät yllä. Tutkimus on osoittnut, että oppijn knnustminen ymmärtämään opittv si lisää oppijn motivtiot, jonk puolestn on todettu olevn merkityksellistä oppimisen knnlt. Opetettv tieto tulisi kytkeä useisiin konteksteihin j sitä tulisi käsitellä monest eri näkökulmst. Näin oppijn tietorkenteisiin kehittyy monipuolisi kytkentöjä opiskeltuihin sioihin. Fktpinotteisen esitystvn sijn on luonnollist pyrkiä suosimn jossin määrin ongelmkeskeistä opetust. Ongelmkeskeinen oppiminen perustuu jtukselle oppimisen tilnnesidonnisuudest. Sen mukn opittvlle sisällölle svutetn prempi käyttörvo, jos oppiminen tphtuu itoj tosielämän ongelmi rtkomll eikä pelkkästään iheen teoreettiseen käsittelyn yhteydessä. Ongelmkeskeisellä oppimisell on todettu olevn toivottvi vikutuksi opiskeltvn sin ymmärtämiseen j sisällön liittämiseen iempiin tietorkenteisiin. Smll kehittyvät myös ongelmnrtkisutidot j metkognitiiviset tidot. Ongelmkeskeisen oppimisen viheit ovt muun muss seurvt: ongelmn esittäminen, ongelmn nlysointi j määritteleminen, olemss olevn tiedon krtoittminen, jtkoselvittelyjen j tiedonhnkinnn trpeen määrittely, tiedon etsiminen j muiden ryhmien konsultointi, 9

14 rtkisuvihtoehtojen hhmottelu, loppupäätelmien j nlyysin teko sekä rportointi. Konstruktivistisess koulutusprosessiss opetussuunnitelmn kirjtn vin keskeiset tvoitteet j idet. Hyvän opettjuuden edellytys on tito luod sellisi oppimisympäristöjä, jotk herättävät oppijss kysymyksiä j uttvt häntä konstruoimn vstuksi smll ymmärtäen, mihin olln pyrkimässä. Keskeisessä semss on oppimn oppimisen vlmiuksien oppiminen. 2.5 Tietämisen eri muodot Ihmisen tietoperust sisältää monenlist tieto. Mtemttinen tieto voidn jk khteen osn: prosedurliseen j konseptuliseen tietoon. Prosedurlinen tieto pitää sisällään tidon käyttää opertioit j lgoritmej. Tällinen tieto utomtisoituu hrjoittelemll lskemist, jolloin sdn lskurutiini. Konseptulinen tieto puolestn koostuu käsitteiden sekä niiden välisten suhteitten ymmärtämisestä j tidost sovelt käsitteitä eri siyhteyksiin. Tällist tieto ei void oppi ulko opettelemll, vn se ksv vähitellen käsitteiden merkityksiä sisäistämällä omien päättely- j jtteluprosessien myötä. Useimpien sioiden hllitseminen vtii sekä prosedurlist että konseptulist tieto. Esimerkiksi derivtt on käsitteenä konseptuliseen tietoon kuuluv, mutt kun tiedetään, miten derivoidn, tieto on prosedurlist. 10

15 3 Integrlilskennn käsitteistä Tässä luvuss tutustutn trkemmin lukion opetussuunnitelmn perusteiss integrlilskennlle setettujen oppimistvoitteiden j keskeisten sisältöjen kohdll esiintyvien keskeisimpien käsitteiden määritelmiin j niihin liittyvään teorin. Määritelmien pääsillisin lähteinä käytetään muun muss Helsingin j Turun yliopistoiss luennoitvn kurssin Anlyysi II luentomonisteit [20] j [24] sekä teost [28]. Integrlilskennn peruskäsitteet ovt integrlifunktio j määrätty integrli. Integrlifunktion käsite esitetään ennen määrätyn integrlin käsitettä, vikk historillisesti määrätty integrli on vnhempi [21, s.185]. Tähän esitysjärjestykseen on päädytty, sillä monet lukion oppikirjt käyvät käsitteet läpi juuri kyseisessä järjestyksessä, kuten Luvuss 4 tulln huommn. Luvun 4 oppikirj-nlyysissä tutkitn muun muss, miten tämän luvun käsitteet esiintyvät lukion eri oppikirjoiss. Pääpino oppikirjnlyysissä on peruskäsitteiden kohdll. Integrlifunktion j määrätyn integrlin käsittelyn yhteydessä on pyritty näiden khden peruskäsitteen oslt mtemttisesti täsmälliseen teorin. Sen sijn esimerkiksi määrätyn integrlin sovellusten yhteydessä tyydytään hvinnollisempn esitystpn. Myös numeerisen integroinnin j jtkuvien todennäköisyysjkumien käsittely jätetään mininnn tsolle. 3.1 Integrlifunktio Aloitetn ntmll integrlifunktion määritelmä. Määritelmä Olkoon f : I R funktio, missä joukko I R on väli. Funktio F : I R on funktion f integrlifunktio, jos kikill x I. F (x) = f(x) Funktiot f snotn integrlifunktion F integrndiksi. Integrlifunktiost käytetään myös nimityksiä kntfunktio, primitiivifunktio, määräämätön integrli (lyhyesti integrli) ti ntiderivtt. Integrlifunktio on määritelmän perusteell in derivoituv j siis myös jtkuv välillä I. Välin I mhdollisess päätepisteessä F (x) trkoitt toispuoleist derivtt. Todistetn Lusett jtellen seurvt kksi lemm: Lemm Olkoon I R väli. Olkoon funktio f : I R jtkuv j f (x) = 0 kikill välin I sisäpisteillä x. Tällöin f on vkiofunktio. [1, s.137] 11

16 Todistus. Vlitn I. Olkoon x I piste, jok toteutt ehdon x. Differentililskennn välirvoluseen [1, s.133] nojll pisteiden j x välissä on olemss sellinen piste c, että f(x) f() = f (c). x Kosk relilukuväli sisältää kikki khden eri pisteensä väliset pisteet, niin myös c I. Piste c ei voi oll välin I päätepiste, sillä c j c x, joten f (c) = 0. Nyt siis f(x) f() = 0 eli f(x) = f() kikill x I, joten f on vkiofunktio. [1, s.137] Lemm Olkoon C R vkio. Välillä I R derivoituville funktioille f j g pätee f (x) = g (x) kikill x I, jos j vin jos f(x) = g(x) + C kikill x I. [13] Todistus. Olkoot f j g välillä I derivoituvi funktioit, joille pätee f (x) = g (x) kikill x I. Määritellään funktio h: I R settmll h(x) = f(x) g(x) kikill x I. Nyt h (x) = f (x) g (x) = 0 kikill x I, joten Lemmn nojll funktio h on vkiofunktio. Kikill x I on siis voimss ehto h(x) = f(x) g(x) = C, jollin C R eli f(x) = g(x) + C kikill x I. Kääntäen, olkoon f j g välillä I derivoituvi funktioit, joille kikill x I pätee f(x) = g(x) + C, jollin C R. Tällöin f (x) = g (x) kikill x I. Luse Olkoon F jokin funktion f integrlifunktio välillä I j C R vkio. Tällöin kikki funktion f integrlifunktiot kyseisellä välillä ovt muoto F + C. Todistus. Olkoon F funktion f integrlifunktio välillä I j C R vkio. Nyt D(F (x) + C) = F (x) + 0 = f(x) kikill x I, joten F + C on funktion f integrlifunktio. Toislt, jos G on funktion f integrlifunktio, niin G (x) = f(x) kikill x I. Nyt siis G (x) = F (x) kikill x I, joten Lemmn nojll G(x) = F (x) + C kikill x I. Osoitettiin siis, että kikki funktion f integrlifunktiot ovt muoto F + C. Vkiot C R snotn integroimisvkioksi. Integroimisvkion eri rvoj vstvi integrlifunktioiden kuvji kutsutn integrlikäyriksi. Integroimisvkiolle C sdn rvo ntmll lkuehto eli ilmoittmll jollin tvll se tson I R piste (x 0, y 0 ), jonk kutt integrlikäyrän hlutn kulkevn, jolloin siis y 0 = F (x 0 )+C, jost sdn C = y 0 F (x 0 ). Funktion f mielivltist integrlifunktiot F merkitään F (x) = f(x) dx ti F = f. 12

17 Integrlifunktioiden määrittämistä kutsutn integroimiseksi. Edellä merkintä dx trkoitt, että integroidn integroimismuuttujn x suhteen. Integrlifunktion nimitys ntiderivtt on osuv, sillä integroitess etsitään ne funktiot, joiden derivtt tiedetään. Integrointi on siis derivoinnin käänteisopertio: ( ) D f(x) dx = f(x) j (Df(x)) dx = f(x) + C. Tuttujen derivtn ominisuuksien nojll sdn muun muss seurv luse: Luse Olkoon R vkio. Jos funktioill f j g on välillä I integrlifunktioit, niin (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx j f(x) dx = f(x) dx. Todistus. Merkitään funktioiden f j g integrlifunktioit F (x) = f(x) dx j G(x) = g(x) dx. Nyt kikill x I j toislt D(F (x) + G(x)) = DF (x) + DG(x) = f(x) + g(x) D(F (x)) = DF (x) = f(x) kikill x I. [29, s.2] Myöhemmin, Alluvuss 3.4, osoitetn, että jokisell jtkuvll funktioll, jok on määritelty välillä I, on kyseisellä välillä integrlifunktioit. Derivoimll voidn todist muun muss seurvt integroimissäännöt [26, s.110]: 13

18 Luse Olkoon C R vkio. Tällöin k dx = kx + C, kun k on vkiofunktio, x r dx = xr+1 + C, r kun r R \ { 1}, dx = ln x + C, kun x 0, x e x dx = e x + C, x dx = x + C, ln kun > 0 j 1, sin x dx = cos x + C, cos x dx = sin x + C, tn x dx = ln cos x + C, kun x ± π + n2π kikill n Z, 2 1 cos 2 x dx = tn x + C, kun x ±π + n2π kikill n Z, 2 ln x dx = x ln x x + C, kun x > 0. Jos funktio f on välillä I derivoituv, niin smme myös seurvt, jälleen kerrn derivoimll todistettviss olevt, kvt: Luse f (x)f(x) r dx = f(x)r+1 + C, kun r R \ { 1}, r + 1 f (x) dx = ln f(x) + C, kun f(x) 0, f(x) f (x)e f(x) dx = e f(x) + C, f (x) f(x) dx = f(x) ln f (x) sin f(x) dx = cos f(x) + C, f (x) cos f(x) dx = sin f(x) + C. + C, kun > 0 j 1, [26, s.110] 14

19 3.2 Integrointi Integroitess eli integrlifunktioit määritettäessä käytetään hyväksi edellä olevi luseit 3.1.5, j Vikk integrointi on derivoinnin käänteisopertio, ei integrointi yleensä kuitenkn ole yhtä suorviivist kuin derivointi. Kuten tiedetään, jokisen lkeisfunktion derivtt on lkeisfunktio, mutt kikkien lkeisfunktioiden integrli ei voi esittää äärellisellä määrällä lkeisfunktioit. Tällisi funktioit ovt esimerkiksi ehdoill f(x) = e x2 j g(x) = x 1 sin x määritellyt funktiot f j g. Toislt myös epäjtkuvll funktioll voi oll integrlifunktioit, kuten seurv esimerkki osoitt: Esimerkki Määritellään funktio F : R R settmll { x F (x) = 2 sin x 1, kun x 0, 0, kun x = 0. Tällöin kikill x 0 on Lisäksi F (x) = 2x sin x 1 + x 2 cos x 1 ( 1)x 2 F (0) = lim h 0 F (h) F (0) h = 2x sin x 1 cos x 1. = lim h 0 h 2 sin h 1 h = lim h 0 (h sin h 1 ) = 0, joten F on derivoituv kikill x R. Merkitään f(x) = F (x) kikill x R. Nyt siis { 2x sin x f(x) = 1 cos x 1, kun x 0, 0, kun x = 0. Integrlifunktion määritelmän nojll funktio F on funktion f integrlifunktio. Funktio f ei ole kuitenkn jtkuv nollss, sillä ei ole olemss rj-rvo lim x 0 cos x 1. Eräitä tärkeitä integrlifunktioiden määrittämiseen käytettyjä menetelmiä ovt muun muss osittisintegrointi j integrointi sijoituksell Osittisintegrointi Osittisintegrointi perustuu khden funktion tulon derivoimissääntöön: Luse Olkoon f j g derivoituvi funktioit välillä I. Tällöin f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx välillä I. 15

20 Todistus. Merkitään F (x) = f (x)g(x) dx kikill x I. Tällöin kikill x I. D(f(x)g(x) F (x)) = D(f(x)g(x)) F (x) = f (x)g(x) + g (x)f(x) f (x)g(x) = f(x)g (x). Esimerkki Lske osittisintegroimll x cos x dx. Rtkisu. Vlitn f(x) = x j g (x) = cos x. Nyt f (x) = 1 j g(x) = sin x. Luseen nojll x cos x dx = x sin x 1 sin x dx = x sin x + cos x + C. Funktioit vlittess on oltv trkkn, jott lskettvksi jäävästä integrlist tulee muodoltn yksinkertisempi kuin lkuperäisestä integrlist. Joskus käy niin, että osittisintegrointi joudutn soveltmn usemmn kerrn Integrointi sijoituksell Yhdistetyn funktion derivoimissäännön eli ketjusäännön vull sdn seurv integroimissääntö: Luse Olkoon I R väli j g : I I idosti monotoninen jtkuvsti derivoituv bijektio. Olkoon funktioll f : I R integrlifunktioit välillä I. Tällöin [ ] f(x) dx = f(g(t))g (t) dt. t=g 1 (x) Todistus. Olkoon F jokin funktion f integrlifunktio välillä I eli F (x) = f(x) kikill x I. Tällöin ketjusäännön nojll sdn d dt F (g(t)) = F (g(t))g (t) = f(g(t))g (t) kikill t I eli F (g(t)) on funktion f(g(t))g (t) integrlifunktio välillä I. Olkoon C R vkio. Tällöin F (g(t)) + C = f(g(t))g (t) dt. (3.1) 16

21 Kosk funktio g on idosti monotoninen jtkuvsti derivoituv bijektio välillä I, niin sillä on idosti monotoninen jtkuv käänteisfunktio g 1 : I I. Sijoitetn nyt yhtälön (3.1) molemmille puolille t = g 1 (x), jolloin sdn [ ] F (x) + C = f(g(t))g (t) dt eli [ f(x) dx = t=g 1 (x) ] f(g(t))g (t) dt. t=g 1 (x) [25, s.392] Sovellettess Lusett integrliin f(x) dx, korvtn x lusekkeell g(t) j dx lusekkeell g (t) dt, jonk jälkeen etsitään näin sdulle integrlille f(g(t)g (t) dt integrlifunktio. Kun integroiminen on suoritettu, on plttv muuttujn x sijoittmll t = g 1 (x), jolloin sdn F (x). Käytännössä funktiolle g setettuihin vtimuksiin ei yleensä trvitse kiinnittää huomiot, sillä integroinnin tuloksen voi in trkist totemll, että F (x) = f(x) kikill x I. Esimerkki Määritellään funktio f : R R settmll f(x) = x( x) 2012 kikill x R. Määritä f(x) dx. Rtkisu. Tutkitn yhtälöä x = t eli x = 1 (t 16). 11 Hvitn, että Luseen oletukset ovt voimss, joten voidn suoritt muuttujn vihto. Nyt x (t) = 1/11, joten dx = 1 11 dt. Sdn f(x) dx = x( x) 2012 dx 1 = 11 (t 1 16)t dt = 1 (t t 2012 ) dt 121 = 1 ( ) t 2014 t C ( x) ( x)2013 = C = F (x). 17

22 Trkistetn tulos derivoimll. Kikill x R sdn F (x) = ( x) ( x) kuten pitikin. = 1 11 ( x) ( x) = 1 (( x) 16)( x) = x( x) 2012 = f(x), Kuink sitten löytää sopiv sijoitus? Erityyppisten funktioiden integroimiseksi löytyy stndrdisijoituksi tulukoituin, mutt yleispätevää sääntöä ei ole. Knntt yrittää tunnist sopiv kokonisuus integrndist, esimerkiksi juurilusekkeen sisältävässä integrliss knntt uudeksi muuttujksi kokeill joko juuren sisäpuolt ti juurilusekett kokonisuudessn. [30, ss.22-23] Murtofunktion integroiminen Om lukuns on murtofunktioiden eli muoto polynomi jettun polynomill olevien funktioiden integroiminen. Olkoon nyt P j Q polynomifunktioit j R vstv murtofunktio eli R(x) = P (x) Q(x). Jos deg P (x) deg Q(x) eli polynomin P ste on suurempi kuin polynomin Q, niin suorittmll jkolsku sdn R(x) = P 0 (x) + P 1(x) Q(x), joss deg P 1 (x) < deg Q(x). Nyt polynomi P 0 on helposti integroitviss j ongelmksi jää selvittää jäljelle jääneen murtofunktion integrointi. Jos P 1 (x) = kq (x), joss luku k R on vkio, niin Luseen nojll P1 (x) Q(x) dx = kq (x) Q(x) dx = k Q (x) Q(x) dx = k ln Q(x) + C, joss C R. Muuss tpuksess täytyy tutki polynomifunktion Q nollkohti, joiden vull Q voidn jk tekijöihin, jonk jälkeen murtofunktio 18

23 P 1 /Q sdn edelleen näiden tekijöiden vull muodostettujen yksinkertisempien murtofunktioiden summksi. Näin stu esitystä kutsutn osmurtokehitelmäksi. Pidetään tunnettun, että relikertoimisell polynomill Q(x) on n = deg Q(x), joss n N, kpplett kompleksisi nollkohti. Lisäksi, jos kompleksiluku z = + bi, joss, b R on polynomin Q(x) nollkoht, niin myös sen liittoluku z = bi on polynomin Q(x) nollkoht, jost seur, että relilukukunnss polynomi voidn in esittää ensimmäisen j toisen steen tekijöiden tulon. Jos nyt polynomifunktioll Q on vin yksinkertisi relijuuri x k, kun k = 1,..., n, niin P 1 (x) Q(x) = n k=1 A k x x k, (3.2) joss vkiot A k voidn määrittää kikill k = 1,..., n esimerkiksi kertomll ensin yhtälö (3.2) tekijällä (x x k ) j sijoittmll sitten x = x k. Jokist m-kertist (m N j 2 m n) relijuurt x v kohden tulee osmurtokehitelmään termit m B i (x x v ). i Nyt siis m P 1 (x) Q(x) = i=1 i=1 n m B i (x x v ) + i i=1 A i x x i, jost kertomll yhtälö puolittin polynomill Q(x) sdn P 1 (x) = (x x 1 ) (x x n m ) n m + (x x v ) m i=1 m B i (x x v ) m i i=1 A i (x x 1 ) (x x n m ) x x i. Kosk tämän yhtälön tulee toteutu identtisesti, niin yhtälön oikell puolell olevt vkiokertoimet A 1,..., A n m j B 1,..., B m sdn määritettyä sieventämällä ensin yhtälön oike puoli j merkitsemällä sitten näin sdun polynomin j polynomin P 1 (x) termien kertoimet yhtä suuriksi, jolloin sdn yhtälöryhmä, jost kertoimet sdn rtkistu. Vlistn menettelyä seurvll esimerkillä: Esimerkki Määritetään integrli x x(x 2) 2 dx. 19

24 Integroitvn funktion osmurtokehitelmäksi sdn x x(x 2) 2 = B 1 x 2 + B 2 (x 2) 2 + A x, jost kertomll puolittin lusekkeell x(x 2) 2 sdn x 2 +5 = xb 1 (x 2)+xB 2 +(x 2) 2 A = (B 1 +A)x 2 (2B 1 +4A B 2 )x+4a. Kosk tämän tulee toteutu identtisesti, sdn yhtälöryhmä A + B 1 = 1 4A + 2B 1 B 2 = 0 4A = 5, jost A = 5/4, B 1 = 1/4 j B 2 = 9/2. Nyt väleillä ], 0[, ]0, 2[ j ]2, [ on x 2 ( ) x(x 2) dx = 2 4x 1 4(x 2) + 9 dx 2(x 2) 2 = 5 4 ln x 1 4 ln x 2 9 2(x 2) + C. Jokist kompleksist juuripri eli yksinkertist polynomifunktion Q tekijää x 2 + px + q, joss siis p 2 < 4q, kohti tulee osmurtokehitelmään mukn termi Ax + B x 2 + px + q = Ax + (Ap)/2 (Ap)/2 + B x 2 + px + q = (A/2)(2x + p) x 2 + px + q + B (Ap)/2 x 2 + px + q. Edellä sdun summn ensimmäisestä termistä tulee integroitess logritmi j jälkimmäisestä lusekkeeseen x + p/2 verrnnollisell sijoituksell rcustngentti; trvittv integroimissääntö on seurv: dx = rctn x + C, 1 + x2 joss luku C R on vkio. Jokist polynomifunktion Q j-kertist tekijää (x 2 +px+q) j, joss j N j 2 j (n/2) kohti tulee osmurtokehitelmään puolestn termit j l=1 A l x + B l (x 2 + px + q) l, joist integroitess tulee murtofunktioit j rcustngentti. Murtofunktioiden integroiminen on siis työlästä, mutt tehtävissä. [4, ss.10-12], [12, ss.30-34] 20

25 3.3 Määrätty integrli Tässä lluvuss nnetn määrätyn integrlin eli Riemnnin integrlin määritelmä. Oletetn jtkoss, että in, kun trkstelln suljettu relilukuväliä [, b], niin luvuille, b R on voimss ehto < b, ellei toisin snot. Ennen Riemnnin integrlin määritelmän ntmist trvitn muutmi käsitteitä: Välin jko, ylä- j lsummt, Riemnnin integrli Olkoon n N. Annetn seurv määritelmä: Määritelmä Äärellinen lukujoukko D = {x 0, x 1, x 2,..., x n } on välin [, b] jko, jos = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. Osväliä [x k 1, x k ] kutsutn jkoväliksi j sille käytetään merkintää k kikill k = 1,..., n. Jkovälin pituudelle käytetään merkintää l( k ) = x k x k 1 kikill k = 1,... n. Joukon D lkioit snotn jkopisteiksi. Olkoot f : [, b] R rjoitettu funktio välillä [, b] j D = {x 0,..., x n } välin [, b] jokin jko jollin n N. Kosk f on rjoitettu välillä [, b], niin se on rjoitettu myös jokisell jkovälillä k, joten on olemss äärelliset luvut G k = G k (f) = sup {f(x) : x k } j g k = g k (f) = inf {f(x) : x k } kikill k = 1,..., n. Funktion f jko D vstvt yläsumm S D j lsumm s D ovt n n S D = S D (f) = G k l( k ) j s D = s D (f) = g k l( k ). k=1 Huomutus Hvitn, että s D S D, sillä g k G k kikill k = 1,..., n. Jos f(x) 0 kikill x [, b], niin S D j s D ovt sellisten suorkulmioiden pint-lojen summi, joiss kutkin jkoväliä k vst sellinen suorkulmio, jonk kntn on l( k ) j korkeuten yläsummn tpuksess G k j lsummn tpuksess g k kikill k = 1,..., n. Nyt funktion kuvjn j x-kselin välinen lue jää kokonn yläsummn sisältämien suorkulmioiden sisään, mutt toislt sisältää kokonn lsummn sisältyvät suorkulmiot. Olkoon k=1 B = { (x, y) R 2 : x b, 0 y f(x) }. Nyt siis, jos joukolle B voidn määritellä pint-l S(B), niin s D S(B) S D. 21

26 Snotn, että jko D on jon D tihennys (eli lijko), jos D D. Lemm Olkoon D jon D tihennys. Tällöin s D s D S D S D. Todistus. Todistetn vin lsummi koskev väite. Todistus yläsummien tpuksess menee vstvsti. Keskimmäinen epäyhtälö pitää pikkns supremumin j infimumin määritelmien perusteell. Riittää trkstell tpust, joss jko D sisältää vin yhden pisteen enemmän kuin D, sillä yleinen tpus tästä sdn induktioll. Olkoon siis D = {x 0,..., x n } välin [, b] jko jollin n N j D = D {x }, missä x k 1 < x < x k jollin k {1,..., n}. Merkitään g k = inf {f(x) : x [x k 1, x ]} j g k = inf {f(x) : x [x, x k ]}. Kosk g k g k j g k g k, niin eli s D s D s D s D = g k(x x k 1 ) + g k(x k x ) g k (x k x k 1 ) g k (x x k 1 ) + g k (x k x ) g k (x k x k 1 ) = 0 Lemm Olkoot D 1 j D 2 jkoj. Tällöin s D1 S D2. Todistus. Merkitään D = D 1 D 2. Nyt D on jkojen D 1 j D 2 yhteinen tihennys, joten Lemmn nojll s D1 s D S D S D2. Lemmn perusteell joukko {S D : D on välin [, b] jko} on lhlt rjoitettu j vstvsti joukko {s D : D on välin [, b] jko} on ylhäältä rjoitettu. Lisäksi, kosk kyseiset joukot ovt epätyhjiä, niin voidn määritellä j I = I(f) = inf {S D : D on välin [, b] jko} I = I(f) = sup {s D : D on välin [, b] jko}. Luku I kutsutn funktion f yläintegrliksi j luku I funktion f lintegrliksi. Lemmst seur edelleen, että I I. Nyt siis s D I I S D (3.3) kikill välin [, b] joill D. Nyt voidn nt Riemnnin integrlin määritelmä: 22

27 Määritelmä Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv (lyhyesti integroituv), jos I(f) = I(f). Tällöin l- j yläintegrlin yhteistä rvo snotn funktion f Riemnn-integrliksi (lyhyesti integrliksi) ti määrätyksi integrliksi yli välin [, b] j merkitään I(f) = I(f) = f = f(x) dx. Luku snotn integrlin lrjksi j luku b ylärjksi. Lisäksi välillä [, b] integroituvlle funktiolle f sovitn merkinnöistä kikill c [, b]. f(x) dx = b f(x) dx j c c f(x) dx = 0 Jotkut teokset, kuten esimerkiksi [1], olettvt Riemnnin integrlin määritelmän yhteydessä funktiost f, että se on jtkuv välillä [, b]. Tiedetään, että suljetull välillä määritelty jtkuv funktio on rjoitettu, joten Määritelmä on yleisempi kuin vstv määritelmä jtkuvlle funktiolle. Jtkuvn funktion tpuksess funktioll f on suurin j pienin rvo jokisell jkovälillä k, kun k = 1,..., n, joten G k (f) = mx {f(x) : x k } j g k (f) = min {f(x) : x k } kikill k = 1,..., n. Itse siss myöhemmin osoitetn, että jokinen suljetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio on integroituv. Riemnnintegroituvll funktioll voi kuitenkin oll jop ääretön määrä epäjtkuvuuspisteitä, kuten seurv esimerkki osoitt: Esimerkki Määritellään funktio f : [0, 2] R settmll f(x) = 1, kun x = 1/n jollin n N j f(x) = 0 muulloin. Osoitetn, että funktio f on Riemnn-integroituv välillä [0, 2]. Kosk 0 f(x) 1 kikill x [0, 2], niin f on rjoitettu. Olkoon ɛ > 0. Olkoon D n = {x i [0, 2] : i = 0,..., 2n + 1}, joss x 0 = 0, x 2k 1 = 1/(n (k 1)) 1/(2n 2 ), kun k = 1,..., n, x 2k = 1/(n (k 1)) + 1/(2n 2 ), kun k = 1,..., n, x 2n+1 = 2, 23

28 missä n N vlitn myöhemmin. Selvästi joukko D n on äärellinen. Kosk j x 1 x 0 = 1 n 1 2n 2 0 = 2n 1 2n 2 > 0 x 2n+1 x 2n = 2 ( ) = 1 1 2n 2 2n > 0, 2 niin x 0 < x 1 j x 2n < x 2n+1. Pisteiden x 2k j x 2k 1, kun k = 1,..., n erotukseksi sdn x 2k x 2k 1 = 1 n 2 > 0 eli x 2k 1 < x 2k kikill k = 1,..., n. Todetn vielä, että x 2k+1 x 2k = x 2(k+1) 1 x 2k = 1 n k 1 ( 2n 1 2 n (k 1) + 1 ) 2n 2 n (k 1) = (n k)(n k + 1) n k (n k)(n k + 1) 1 n 2 1 = (n k)(n (k 1)) 1 n > 0 2 kikill k = 1,..., n 1, joten x 2k < x 2k+1 kikill k = 1,..., n 1. On siis osoitettu, että 0 = x 0 < x 1 <... < x 2n < x 2n+1 = 2, joten joukko D n on välin [0,2] jko. Merkitään i = [x i 1, x i ], kun i = 1,..., 2n + 1. Tällöin [ 1 = 0, 1 n 1 ], 2n [ 2 1 2k = n (k 1) 1 2n, 1 2 n (k 1) + 1 2n [ 2 1 2k+1 = n (k 1) + 1 2n, 1 2 n k 1 2n [ 2 2n+1 = ] 2n, 2. 2 ], kun k = 1,..., n, ], kun k = 1,..., n 1, Merkitään G i (f) = sup {f(x) : x i }, g i (f) = inf {f(x) : x i } sekä l( i ) = x i x i 1, kun i = 1,..., 2n + 1. Kosk f(x) 1 kikill x 2k kikill k = 1,..., n, niin G 2k (f) = 1 kikill k = 1,..., n. Lisäksi G 1 (f) = 1, sillä f s rvon 1 myös välillä 1. Toislt, kosk f(x) = 0 välillä 2n+1 sekä kikill x 2k+1 kikill k = 1,..., n 1, niin G 2n+1 (f) = G 2k+1 (f) = 0 kikill k = 1,..., n 1. 24

29 Nyt S Dn (f) = 2n+1 i=1 G i (f)l( i ) = G 1 (f)l( 1 ) + n n 1 G 2k (f)l( 2k ) + G 2k+1 (f)l( 2k+1 ) k=1 + G 2n+1 (f)l( 2n+1 ) ( 1 = 1 n 1 ) 2n 2 n ( n (k 1) + 1 ( 2n 1 2 n (k 1) 1 )) + 0 2n 2 k=1 k=1 = 1 n 1 n 2n n = 1 2 n 1 2n n < 2 n < ɛ, k=1 jos j vin jos n > 2/ɛ. Kosk f(x) 0 kikill x [0, 2], niin g i (f) 0 kikill i = 1,..., 2n+1. Nyt s Dn (f) = 2n+1 i=1 g i (f)l( i ) 0. Vlitn nyt sellinen n N, että n > 2/ɛ. Tällöin epäyhtälöketjun (3.3) nojll 0 s Dn (f) I(f) I(f) S Dn (f) < ɛ. Kosk ɛ > 0 oli mielivltinen, niin 0 I(f) I(f) 0 eli I(f) = I(f) = 0. Siis f on Riemnn-integroituv j 2 0 f(x) dx = 0. [33] Esimerkki Osoitetn vielä, että vkiofunktio f : [, b] R, jolle f(x) = C kikill x [, b] jollin C R, on Riemnn-integroituv välillä [, b] j f(x) dx = C(b ). Selvästi funktio f on rjoitettu välillä [, b]. Olkoon n N. Olkoon D = {x 0,..., x n } välin [, b] jko. Nyt G k (f) = g k (f) = C kikill k = 1,..., n, 25

30 joten j s D = S D = n g k (f)l( k ) = C k=1 n G k (f)l( k ) = C k=1 n l( k ) = C(b ) k=1 n l( k ) = C(b ), joten I(f) = I(f) = C(b ). Siis f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j k=1 f(x) dx = C(b ). Riemnnin integrlin määritelmästä voidn joht seurv tulos, jonk todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [28, ss ]: Luse (Riemnnin ehto). Olkoon funktio f : [, b] R rjoitettu. Tällöin funktio f on integroituv, jos j vin jos jokist luku ɛ > 0 kohti on olemss sellinen jko D = D ɛ, että S D s D < ɛ. Esimerkki Määritellään funktio f välillä [0, 1] settmll { 0, kun x [0, 1] Q, f(x) = 1, kun x [0, 1] (R \ Q). Näytetään, että funktio f ei ole integroituv välillä [0, 1]. Olkoon n N. Olkoon D = {x 0,..., x n } välin [0, 1] jko. Kosk jokinen jon D jkoväli sisältää sekä rtionli- että irrtionlilukuj, niin g k (f) = 0 j G k (f) = 1 kikill k = 1,..., n, joten s D = n g k (f)l( k ) = 0 j S D = k=1 n G k (f)l( k ) = 1. k=1 Kosk jokisell välin [0, 1] joll D on voimss S D s D = 1, niin funktio f ei ole integroituv Riemnnin ehdon nojll. Luku D = mx {l( k ) : k = 1,..., n} snotn jon D normiksi. Todistetn vielä seurv luse: Luse Olkoon funktio f : [, b] R monotoninen. Tällöin funktio f on integroituv yli välin [, b]. 26

31 Todistus. Olkoon funktio f vähenevä (Todistus ksvvlle funktiolle menee vstvsti.). Aiemmin, Esimerkissä 3.3.7, osoitettiin, että välillä [, b] määritelty vkiofunktio on tällä välillä integroituv, joten voidn olett, että f() > f(b). Kosk f() f(x) f(b) kikill x [, b], niin funktio f on rjoitettu. Olkoon luku ɛ > 0. Vlitn sellinen välin [, b] jko D = {x 0,..., x n }, että D < ɛ/(f() f(b)) jollin n N. Edellä siis = x 0 < x 1 <... < x n = b. Kosk funktio f on vähenevä, niin G k (f) = f(x k 1 ) j g k (f) = f(x k ) kikill k = 1,..., n. Tällöin n S D (f) s D (f) = (G k (f) g k (f))l( k ) k=1 = D n (f(x k 1 ) f(x k )) D k=1 n (f(x k 1 ) f(x k )) = D (f(x 0 ) f(x n )) k=1 = D (f() f(b)) < ɛ (f() f(b)) = ɛ, f() f(b) joten funktio f on integroituv Riemnnin ehdon nojll Riemnnin summt Trkstelln edelleen välillä [, b] rjoitettu funktiot f. Olkoon D = {x 0,..., x n } välin [, b] jko jollin n N. Olkoon ξ = (ξ 1,..., ξ n ) sellinen jono, että ξ k k = [x k 1, x k ] kikill k = 1,..., n. Summ S D (f, ξ) = n f(ξ k )l( k ) k=1 on funktion f jkoon D j jonoon ξ liittyvä Riemnnin summ. Hvitn, että kosk g k (f) f(ξ k ) G k (f) kikill k = 1,..., n, niin s D (f) S D (f, ξ) S D (f). Määritelmä Luku S R on funktion f Riemnnin summien rjrvo, merkitään lim D 0 S D(f, ξ) = S, jos jokist luku ɛ > 0 kohti on olemss sellinen luku δ > 0, että S D (f, ξ) S < ɛ, kun D on jko, jolle on voimss D < δ j ξ on jkoon D liittyvä mielivltinen jono. 27

32 Riemnnin summill j funktion f integroituvuudell on seurv yhteys (Todistus sivuutetn, mutt se löytyy esimerkiksi teoksest [28]): Luse Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio j luku S R. Tällöin funktio f on integroituv j jos j vin jos lim S D(f, ξ) = lim D 0 D 0 f(x) dx = S, n f(ξ k )l( k ) = S. Huomutus Riemnnin integrli voidn siis määritellä yhtäpitävästi Riemnnin summien vull. Sellist jkopisteiden lisäämistä, missä jkoväleistä pisin lähestyy pituudeltn noll kutsutn jon tihentämiseksi rjtt. k= Riemnnin integrlin perusominisuuksi Annetn seurvksi joukko Riemnnin integrlin perusominisuuksi. Luse Olkoot f j g välillä [, b] integroituvi funktioit j piste c R sellinen, että c b. Olkoot luvut m j M sellisi, että m f(x) M kikill x [, b] sekä α, β R vkioit. Tällöin () funktio αf on integroituv välillä [, b] j αf(x) dx = α f(x) dx, (b) funktio f + g on integroituv välillä [, b] j (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx, (c) jos f(x) g(x) kikill x [, b], niin f(x) dx g(x) dx, 28

33 (d) funktion f Riemnnin integrlille yli välin [, b] on voimss m(b ) (e) funktio f on integroituv välillä [, b] j f(x) dx M(b ), f(x) dx f(x) dx, (f) funktio fg on integroituv välillä [, b], mutt on huomttv, että yleensä kuitenkin on ( ) ( ) f(x)g(x) dx f(x) dx g(x) dx, (g) jos on olemss sellinen luku d > 0, että f(x) d > 0 kikill x [, b], niin funktio 1/f on integroituv välillä [, b], (h) funktio f on integroituv välin [, b] jokisell osvälillä j f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx eli integrointi voidn suoritt osiss. Jos funktio f on integroituv kullkin osvälillä, niin yllä olev kv on voimss lukujen, b j c suuruusjärjestyksestä huolimtt. Todistus. Väitteet () j (b) voidn todist esimerkiksi Riemnnin summien j Luseen vull. Väite (c) sdn Riemnnin integrlin määritelmän seuruksen. Väite (d) on väitteen (c) seurus. Väitteiden (e), (f) j (h) todistuksess voidn käyttää esimerkiksi Riemnnin ehto, Luse [28, ss ], [20, s.11] Todistetn koht (g): Olkoon luku ɛ > 0. Kosk funktio f on integroituv välillä [, b], niin se on myös rjoitettu tällä välillä, joten on olemss selliset luvut g R j G R, että g f(x) G kikill x [, b]. Lisäksi Riemnnin ehdon perusteell on olemss sellinen välin [, b] jko D = {x 0,..., x n } jollin n N, että S D (f) s D (f) < g 2 ɛ. Tällöin S D (f) s D (f) = n (G k (f) g k (f))l( k ) < g 2 ɛ. k=1 29

34 Jos nyt f(x) d > 0 kikill x [, b] jollin 0 < d R, niin funktiolle f on voimss 0 < g f(x) G. Funktiolle 1/f sdn siis 1 g 1 f(x) 1 G kikill x [, b], joten myös funktio 1/f on rjoitettu. Trkstelln jon D mielivltist jkoväliä k jollin k {1,..., n}. Kosk f(x) d > 0 kikill x [, b], niin f(x) d > 0 jokisell x k. Edelleen 0 < d g k (f) f(x) G k (f) kikill x k, joten kikill x k. Tällöin G k (1/f) 1 g k (f) 1 g k (f) 1 f(x) 1 G k (f) j g k (1/f) 1 G k (f). Nyt jolle D j funktiolle 1/f sdn n S D (1/f) s D (1/f) = (G k (1/f) g k (1/f)) l ( k ) = k=1 n ( 1 g k (f) 1 G k (f) n ( Gk (f) g k (f) g k (f)g k (f) n ( Gk (f) g k (f) k=1 k=1 (g k (f)) 2 n ( Gk (f) g k (f) k=1 k=1 g 2 ) l( k ) ) l( k ) ) l( k ) ) l( k ) = 1 n (G g 2 k (f) g k (f)) l( k ) < 1 g 2 g2 ɛ = ɛ. k=1 Kosk ɛ > 0 oli mielivltinen, niin funktio 1/f on integroituv Riemnnin ehdon nojll Jtkuvn funktion integroituvuus Osoitetn seurvksi, että suljetull välillä [, b] jtkuv funktio on integroituv. Tätä vrten trvitn tvllist jtkuvuutt vhvempi käsite tsinen jtkuvuus. 30