Luku I on funktion f Riemannin integraali välillä [a, b] ja sitä merkitään b
|
|
- Lauri Kähkönen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1. Lebesguen tp määritellä mitt j integrli Lebesguen 1 itsensä lunperin käyttämä määritelmä mitlle j ennenkikke mitllisuuden käsitteelle poikke jonkinverrn nykyisin tvnomisest määrittelytvst. Ensinnäkin, Lebesguen ensisijisen mielenkiinnon päämääränä oli sd ikn integrli, jok olisi määritelty kikille relikselin kompktill välillä määritellyille rjoitetuille funktioille Riemnnin integrli. Plutetn mieleen Riemnnin 2 käyttämä määritelmä integrlille: Välin [, b] merkitty jko on äärellinen joukko T = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}}, missä n Z +, x 0 = < x 1 <... < x n = b j t k [x k 1, x k ] kikille k {1,..., n}. Merkitty jko on siis välin [, b] jko päätepisteitä lukuunottmtt pistevierisiin suljettuihin osväleihin [x k 1, x k ], missä jokinen osväli on merkitty ntmll siltä piste t k. Snotn, että merkitty jko T = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}} on δ-hieno, δ > 0, jos T := mx{x k x k 1 k {1,..., n}} < δ. Rjoitetun funktion f : [, b] R merkittyyn jkoon T liittyvä Riemnnin summ on n R T := f(t k )(x k x k 1 ). Nyt funktio f on Riemnn-integroituv, jos on olemss I R siten, että jokiselle ε > 0 on olemss δ > 0 siten, että jokiselle δ-hienolle merkitylle jolle T on voimss R T I < ε. Luku I on funktion f Riemnnin integrli välillä [, b] j sitä merkitään f(x) dx. Kurssill Anlyysi 2 funktion f Riemnn-integroituvuus määritellään funkioon f liittyvien l- j yläporrsfunktioiden vull. Perinteisempi tp olisi käyttää Drboux n 3 l- j yläsummi, jotk ovt trkoin vlittujen l- j yläporrsfunktioiden integrlit. Olkoon P = {[x k 1, x k ] k {1,..., n}} välin [, b] jko. Asetetn m k := inf{f(x) x [x k 1, x k ]} j M k := sup{f(x) x [x k 1, x k ]} sekä porrsfunktiot g, h: [, b] R, (1) (2) j (3) (4) g(x) = m k, kun x [x k 1, x k ) j 1 k < n, sekä g(x) = m n, kun x [x n 1, x n ], h(x) = M k, kun x [x k 1, x k ) j 1 k < n, sekä h(x) = M n, kun x [x n 1, x n ]. 1 Henri Léon Lebesgue ( ); integrli väitöskirjss [12] vuonn Bernhrd Riemnn ( ); integrli Jen-Gston Drboux ( ); integrli
2 Näiden porrsfunktioiden integrlit ovt funktion f Drboux n l- j yläsumm, n n s P := g(x) dx = m k (x k x k 1 ), S P := h(x) dx = M k (x k x k 1 ). Funktion f Drboux n l- j yläintegrli ovt f(x) dx := l- f(x) dx := sup s P, P P f(x) dx := ylä- missä P on välin [, b] kikkien jkojen joukko. Snotn, että funktio f on Drboux-integroituv 4, jos f(x) dx = f(x) dx. 2 f(x) dx := inf P P S P, Drboux n l- j yläsummien s P j S P käytöstä kätevän tekee se, että jos jko tihennetään (eli jkopisteitä x j lisätään), niin lsummt ksvvt j yläsummt pienenevät, t.s. jos P P, niin s P s P j S P S P. Jos jkoon P liitetään porrsfunktiot (1) (4) j jkoon P vstvll tvll porrsfunktiot g j h, niin g g j h h. Kurssilt Anlyysi 2 knntt kerrt (ti todist suorn): Luse 1.1. Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio. Tällöin funktio f on Riemnnintegroituv, jos j vin jos f on Drboux-integroituv. Riemnn-/Drboux-integroituvn funktion f Riemnnin integrli j Drboux n integrli yhtyvät Lebesguen integrli. Lebesguen oivllus integrlin käsitteen prntmiseksi oli käyttää funktion rvokselill (eli y-kselill) tihenevää jko rgumenttikselin (eli x-kselin) jon sijst. Riemnnin j Drboux n käyttämissä summiss on selvästi ongelmi epäjtkuvuspisteiden lähellä: jos funktioll f on epäjtkuvuuspiste välillä [x k 1, x k ], poikkevt tätä osväliä vstvt termit Drboux n ylä- j lsummss toisistn pljon. Jos epäjtkuvuuspisteitä on pljon, vikutt hyvin mhdolliselt, että Drboux n ylä- j lsummien välinen ero pysyy suuren, joten tällinen funktio ei ole Riemnn-integroituv. Kun jko tehdään y-kselill tälliselt ongelmlt vältytään (ktso ll olevi esimerkkejä, vrsinkin Dirichlet n funktiot). Välejä [y k, y k+1 ), 0 k < n, vstviin lkukuvjoukkoihin Lebesgue liitti summt E k := f 1 ([y k, y k+1 )) = {x [, b] R y k f(x) < y k+1 } n 1 n 1 σ Π := y k m(e k ) j Σ Π := y k+1 m(e k ), k=0 missä luvut A j B vlitn niin, että A < f(x) < B k=0 kikille x [, b], j välit [y k, y k+1 ], 0 k < n muodostvt y-kselin välin [A, B] jon Π. 4 Kurssill Anlyysi 2 nimitykset ovt sttneet oll Riemnnin l- j yläintegrli, j Riemnnintegroituv.
3 Jott Lebesguen määrittelemät summt σ Π j Σ Π olisivt mielekkäitä, pitää joukoill E k oll hyvin määritelty (pituus-)mitt. Huom, että geometrisesti σ Π (vstvsti Σ Π ) on jon Π j lkukuvjoukkojen E k ntm lrj (vstvsti ylärj) funktion f kuvjn rjoittmn lueen pint-llle (kun f 0). Joukkojen E k määrittelyn sekä lukujen A j B vlinnn nojll joukot E k ovt preittin pistevierit j [, b] = n 1 k=0 E k. Lebesgue osoitti väitöskirjssn, että kun f on mitllinen funktio, niin joukot E k ovt mitllisi, j että tällöin jko Π tihennettäessä (eli kun y k+1 y k 0) Lebesguen summt σ Π j Σ Π lähestyvät sm rvo, funktion f Lebesguen integrli yli välin [, b], jot merkitään f(x) dm(x).5 [,b] Lebesgue setti väitöskirjssn vuonn 1902 tvoitteeksi (ks. [12, luku I, koht 1] j [13, luku VII, koht II]), että jokiselle rjoitetulle joukolle E R voitisiin määritellä (pituus-)mitt m(e) 0 niin, että 1 m(e) 0 jollekin joukolle; 2 m(e + ) = m(e) kikille R (tässä E + := {x + x E}); 3 m ( E k) = m(e k), kun joukot E k ovt preittin pistevierit. Muutm vuott myöhemmin hvittiin, ettei näitä kolme ehto sd toteutumn kikille joukoille; joitkin hnkli, ns. epämitllisi joukkoj pitää jättää trkstelujen ulkopuolelle. Funktiot snotn mitlliseksi, jos Lebesguen summiss esiintyvät joukot ovt mitllisi. Pltn Lebesguen summiin. Ensinnäkin, niillä on vstv monotonisuusominisuus suhteess jkojen tihentämiseen kuin Riemnnin summill: (5) kun Π Π, on σ Π σ Π j Σ Π Σ Π. Nimittäin, jos lisätään yksi jkopiste y, jolle y k < y < y k+1. Uudet jkopisteet ovt nyt y j = y j, kun 0 j k, y k+1 = y j y j = y j 1, kun k + 2 j < n + 1. Joukko E k hjo nyt pistevieriden joukkojen yhdisteeksi E k = {x [, b] R y k f(x) < y k+1 } = {x [, b] R y k f(x) < y } {x [, b] R y f(x) < y k+1 } = E k E k+1 Kun 0 j < k ti k + 2 j < n + 1, on E j = E j 1. Kosk y k = y k, y k+1 = y > y k j y k+2 = y k+1 > y, on Lebesguen summien termeille y k m(e k ) j y k+1 m(e k ) j y k m(e k ) = y k (m(e k) + m(e k+1)) y k m(e k) + y k+1 m(e k+1) y k+1 m(e k ) = y k+1 (m(e k) + m(e k+1)) y k+1 m(e k) + y k+2 m(e k+1) Väitetty ominisuus (5) seur tästä. Toisekseen, l- j yläsummien erotukselle on n 1 n 1 Σ Π σ Π = (y k+1 y k ) m(e k ) λ m(e k ) = λ m([, b]), k=0 5 Lebesguen om merkintä oli sm kuin Riemnnin integrlille, f(x) dx. k=0 3
4 4 Kuv 1. Funtion y = f(x) kuvj, y-kselin väli y k y < y k+1 sekä sen lkukuvjoukko y k f(x) < y k+1. missä λ := mx{y k+1 y k k = 0, 1,..., n 1}. Tästä seur, että kun jko Π on riittävän tiheä (eli λ on riittävän pieni), erovt Σ Π j σ Π toisistn mielivltisen vähän. Siis sup σ Π = inf Σ Π. Π Π Tämä yhteinen rvo on Lebesguen määritelmän mukn funktion f (Lebesguen) integrli. Tästä päättelystä seur myös, että rjoitettu mitllinen funktio on integroituv. Esimerkki 1.2. Trkstelln esimerkkinä porrsfunktiot f : [0, 3] R, { 1, kun x [0, 1), j f(x) = 2, kun x [1, 3]. Kun välin [0, 3] jkopisteiksi vlitn x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 3, j pisteiksi ξ 1 = 1/2 j ξ 2 = 2, sdn Riemnnin summien vull 2 3 S = f(ξ k ) (x k x k 1 ) = = 5 = f(x) dx. Lebesguen integrli määrättäess jko suoritetn funktion rvojoukoss eli y- kselill, ei x-kselill. Tässä tpuksess funktion rvojoukko f([0, 3]) = {1, 2} =: {y 1, y 2 }. Määrätään näiden rvojen lkuvjoukot: f 1 ({y 1 }) = [0, 1) =: E 1 j f 1 ({y 2 }) = [2, 3] =: E 2. Lebesguen integrlille käytetään Lebesguen summi 2 Σ = y k m(e k ) = = 5. Tässä m(e k ) trkoitt joukon E k pituusmitt, mikä välin [, b] tpuksess on välin pituus b. 0
5 Esimerkki 1.3. Stndrdi esimerkki ei-riemnn-integroituvst funktiost on ns. Dirichlet n funktio f D : [0, 1] R, jolle { 1, kun x Q [0, 1], j f D (x) = 0, muuten. Kun edellistä ide sovelletn Dirichlet n funktioon f D, sdn f D ([0, 1]) = {0, 1} =: {y 1, y 2 } j f 1 ({y 1 }) = [0, 1] \ (Q [0, 1]) =: E 1 j f 1 ({y 2 }) = Q [0, 1] =: E 2. Vstv Lebesguen summ on 2 Σ = y k m(e k ) = 0 m(e 1 ) + 1 m(e 2 ). Joukon E 1 mitst ei trvitse välittää. Joukon E 2 mitksi osoittutuu noll, joten Lebesguen integrliksi sdn f D (x) dm(x) = 0. [0,1] 1.3. Lebesguen ulkomitt j sisämitt. Jott Lebesguen ide integrlin määräämiseksi stisiin toimivksi, pitäisi kikkien joukkojen kokoelmst void tunnist mitlliset joukot. Tätä vrten Lebesgue määritteli kikille rjoitetuille joukoille E R ulkomitn m (E) j sisämitn m (E). 6 Edelleen Lebesgue määritteli joukon E mitlliseksi, jos m (E) = m (E). Avoimen joukon A R mitn määritteleminen on helppo: Nimittäin, on olemss yksikäsitteisesti määrätyt voimet välit I j, j J N, joiden pisteviers yhdiste A on, A = j J I j. Tällöin m(a) := j J m(i j). Huom, että jos tson R 2 voimille osjoukoille tilnne on hnklmpi; tson voint osjoukko ei välttämättä voi esittää vstvll tvll tson vointen välien (eli suorkiteiden) yhdisteenä. Kompktille (epätyhjälle) joukolle K R voidn menetellä seurvsti: Olkoot := inf K j b := sup K. Tällöin, b K, joten [, b] \ K on relikselin voin joukko, j luonnollisen mitn tälle joukolle nt m(k) := (b ) m([, b] \ K). Huom, että tätäkään määrittelytp ei voi yleistää kovin suorviivisesti tson kompkteille osjoukoille. Tämä määritelmä kompktin joukon mitksi on kuitenkin hnkl käyttää. Jos K on toinen kompkti joukko, niin tätä vstvt luvut j b ovt yleensä eri luvut kuin j b. Jos esimerkiksi K K, niin miten edellisen määritelmän perusteell näytetään, että m(k) m(k )? (Avoimille joukoille tämä on helppo. Osoit!) Entä, jos K j K ovt pistevierit, niin miten osoitetn, että m(k K ) = m(k) + m(k )? (Avoimille joukoillekin tämä vtii hiemn tekemistä, smoin vstv väite numeroituvlle pistevierlle yhdisteelle.) Tärkeä oivllus on osoitt seurv putulos 6 Lebesgue ei lähtenyt mitn määrittelyyn ivn tyhjästä. (Mrie Ennemond) Cmille Jordnilt ( ) oli jo peräisin joukon Jordnin sisältö 1892 (joukko on Jordn-joukko, jos sen Jordnin ulkosisältö on sm kuin sen Jordnin sisäsisältö; yhtäpitävästi: joukon reun on nollmittinen). Myös (Félix Édourd Justin) Émile Borel ( ) oli trvinnut ennen Lebesgueä relikselin Borelin joukoille määriteltyä mitt (1894 j 1898). 5
6 ([17, Kp. III, 2]): kun I R on rjoitettu voin väli siten, että K I, niin m(i \ K) = m(i) m(k). Näin määriteltynä mitll on seurvt jtkuvuusominisuudet (ks. [17, Kp. III, 2, Stz 4] j [17, Kp. III, 2, Stz 5]; todistmist knntt yrittää): Luse 1.4. Kun A R on rjoitettu j voin, on m(a) = sup{m(k) K on kompkti j K A}. Luse 1.5. Kun K R on kompkti, on m(k) = inf{m(a) A on voin j K A}. Lebesgue määritteli ulkomitn m (E) j sisämitn m (E) jokiselle rjoitetulle joukolle E R settmll m (E) := inf{m(a) A on voin j A E}, m (E) := sup{m(k) K on kompkti j K E}. Edelleen Lebesgue määritteli joukon E mitlliseksi, jos m (E) = m (E). Mitlliselle joukolle E setetn m(e) = m (E) = m (E), joukon E mitt. Mitt- j integrliteorin kurssill käytetty mitllisuuden määritelmä on peräisin Crthéodoryltä. 7 Crthéodoryn määritelmä mitllisuudelle on osoittutunut hyväksi vrsinkin khdest syystä: Ensinnäkin, siinä mitllisuus määritellään vin ulkomitn vull; ei trvit kht erilist puvälinettä. Toisekseen, se toimii yhtä hyvin bstrktin ulkomitn tilnteess. Edellisten luseiden nojll rjoitetulle, voimelle joukoll A R j kompktille joukolle K R on m (A) = m(a) j m (K) = m(k). Kosk trivilisti m (A) = m(a) j m (K) = m(k), ovt relikselin rjoitetut, voimet joukot j kompktit joukot mitllisi. Ulkomitn subdditiivisuus on melko helppo todist (kuten kurssill tehdään): kun E j, j N, j E := j N E j ovt rjoitettuj, niin m (E) j N m (E j ). j 6 Sisämitlle vstv ominisuus on mutkikkmpi ([17, Kp. III, 3, Stz 6]): kun E j, j N, j E := j N E j ovt rjoitettuj j joukot E j ovt prittin pisteviert (E j E k =, kun j k), niin m (E) j N m (E j ). Edellisestä epäyhtälöprist seur, että jos E j, j N, ovt mitllisi j prittin pistevierit j E := j N E j on rjoitettu, niin E on mitllinen j m(e) = j N m(e j ). 7 Constntin Crthéodory ( ). Määritelmä (j yhteys Leebesguen lkupeäräiseen mitllisuuteen) löytyy inkin Crthéodoryn 1918 julkistust oppikirjst [5, n 257, Stz 6]. Crthéodoryltä on peräisin myös bstrktin ulkomitn käsite.
7 Burkillin kirjss [4, Ch. II] mitn ominisuuksiin liittyvät trkstelut ovt huomttvsti suppemmt kuin Ntnsonin kirjss [17, Kp. III], j moness kohdin käsittely on myös puutteellist. Myös Lebesguen lkuperäinen mitn j mitllisuuden käsittely [12, Ch. I] on vrsin kursorinen. Hyvä kirjllisuustutkimuksen ihe olisi selvittää, missä määrin puutteelisi Burkillin j Lebesguen lkuperäinen esitys ovt, j miksi Ntnsonin kirjss todistukset ovt niin mutkikkit (Burkillin j Ntnsonin kirjt ovt smlt jlt, j 1950-lukujen vihteest). Lebesguen vuonn 1904 julkistut luennot [13] olisi myös hyvä ott vertiluun mukn. Crthéodoryn kirj [5] on selvästi vnhempi, mutt silti modernimpi. Helppolukuinen, vikkkn ei lyhyt lähestyminen Lebesguen mittn Lebesguen lkuperäistä lähestymistp (j siis myös sisämitt, tosin yleisemmässä usempiulotteisess tpuksess) käyttäen löytyy Jonesin kirjst [10, Ch. 2] Volterrn funktiost. Vito Volterrlt 8 [22] (vrt. [12, No. 29]) on peräisin esimerkki derivoituvst funktiost, jonk derivtt on rjoitettu, mutt ei Riemnn-integroituv. Jos derivtt ei ole integroituv, kdott nlyysin perusluse f (x) dx = f(b) f() merkityksensä. Lebesgue setti päämääräkseen korjt integrlin määrittelyä niin, että nlyysin perusluse pätee Volterrn funktion kltisille funktioille. Olkoon luksi f k : [, b] R, k Z +, jono mitllisi funktioit. Oletetn, että f k (x) f(x), kun k. Olkoot ε > 0 j E k,ε := {x [, b] f k (x) f(x) ε}, k Z +. Osoitetn, että (6) m(e k,ε ) 0, kun k. Tätä vrten osoitetn, että ( ) E k,ε = eli n=1 k=n ( ) ([, b] \ E k,ε ) = [, b]. n=1 Jälkimmäisessä yhtäsuuruudess inkluusio on selvä. Inkluusiot vrten olkoon x [, b]. Kosk f k (x) f(x), kun k, on olemss n Z + siten, että f k (x) f(x) < ε, kun k n. Tämä trkoitt, että x [, b] \ E k,ε, kun k n, t.s. x k=n ([, b] \ E k,ε). Siis x on vsemmn puolen yhdisteen lkio. Lebesguen mitll on seurv tärkeä ominisuus: Jos (A n ) n=1 on vähenevä jono mitllisi joukkoj (t.s. A n A n+1 ) j m(a 1 ) <, on lim n m(a n ) = m ( n=1 A n). Kun tätä sovelletn joukkoihin A n := k=n E k,ε, on n=1 A n =, joten lim n m(a n ) = m( ) = 0. Kosk E n,ε A n, seur väite (6). Konvergenssiominisuudest (6) 9 sdn helposti seurv integroinnin j rjnkäynnin vihtotulos: Olkoon (f k : [, b] R), jono mitllisi funktioit, jok suppenee pisteittäin kohti funktiot f. Oletetn, että jono (f k ) on tsisesti rjoitettu, t.s. on olemss vkio M siten, että f k (x) M kikille x [, b] j k Z +. Tällöin (7) lim k f k (x) dx = k=n f(x) dx. 8 Vito Volterr ( ). 9 Konvergenssi (6) kutsutn konvergenssiksi mitn suhteen; nimitys lienee peräisin Frigyes Riesziltä ( ). 7
8 Olkoon ε. Jetn väli [, b] osiin [, b] = E k,ε C k,ε, missä C k,ε := {x [, b] f k (x) f(x) < ε}. Tällöin f k (x) f(x) dx = f k (x) f(x) dx + E k,ε f k (x) f(x) dx =: I k,ε + J k,ε. C k,ε Integrlille I k,ε on I k,ε E k,ε ( f k (x) + f(x) ) dx 2M m(e k,ε ). Integrlille J k,ε on J k,ε C k,ε ε dx ε dx = ε (b ). Tiedon (6) nojll on olemss k ε Z + siten, että m(e k,ε ) < ε, kun k > k ε. Tällöin f k (x) f(x) dx 2M ε + ε (b ). Väite (7) seur tästä helposti (kunhn tiedettäisiin, että f on mitllinen). Oletetn nyt, että f : [, b] R on derivoituv funktio. Oletetn, että f (x) on olemss j f on rjoitettu. Tällöin f on Lebesgue-integroituv j [12, N:o 28] (8) f (x) dx = f(b) f(). Väite seur helposti konvergenssist (7). Ljennetn f välille [b, b + 1] settmll f(x) = f(b) + f (b) (x b). Jono (f k ) määritellään erotusosmäärien vull f k (x) := f(x+1/k) f(x). Kosk f on derivoituv, on lim 1/k k f k (x) = f (x). Differentililskennn välirvoluseest seur, että jono (f k ) on tsisesti rjoitettu. Väitteen viimeistely voidn tehdä vikk Riemnnin integrlin vull, kosk derivoituvn funktion f on jtkuv. (Yksityiskohdt jätetään lukijlle.) Lebesguen l- j yläintegrlit. Oletetn nyt, että f : [, b] R on rjoitettu funktio. Olkoot A j B siten, että A < f(x) < B kikille x [, b]. Aiemmin funktion f Lebesguen integrliin määritelmän kohdll tehty mitllisuusoletus ei Lebesgue-integroituvuudelle ole vin riittävä ehto, se on myös välttämätön. Tämän näkemiseksi määritellään integrli hiemn yleisemmin jäljitellen Drboux n integrlin määritelmää. Snotn, että mitllisten joukkojen kokoelm D = {E 1,..., E n } on välin [, b] mitllinen jko, jos (i) joukot E k ovt mitllisi; (ii) joukot E k ovt preittin pistevierit; j (iii) E 1 E n = [, b]. Mitlliseen jkoon D liittyen määritellään m k := inf{f(x) x E k } j M k := sup{f(x) x E k }, kun 1 k n. Vstvn tpn kuin Drboux n summt määritellään Lebesguen l- j yläsummt n n σ D := m k m(e k ) j Σ D := M k m(e k ). Tvnomiseen tpn on osoitettviss, että kun jko D tihennetään, lsummt σ D ksvvt j yläsummt Σ D vähenevät. Lisäksi lsummien joukko on ylhäältä
9 rjoitettu, yläsummien joukko on lhlt rjoitettu, j kikki lsummt ovt yläsummi pienempiä. (Näitä päättelyitä vrten, smoinkuin l- j yläsummien määrittelyn mielekkyyden tki, jon D joukkojen E j pitää oll mitllisi; sen sijn trksteltvn funktion f ei trvitse oll mitllinen. Trkemmin: [15, VI.1].) Olkoon D kikkien välin [, b] mitllisten jkojen D kokoelm. Asetetn f(x) dm(x) := sup σ D j f(x) dm(x) := inf Σ D. D D D D [,b] Näitä lukuj kutsutn funktion f Lebesguen lintegrliksi j vstvsti yläintegrliksi yli välin [, b]. Näille on siis f(x) dm(x) f(x) dm(x). Jos [,b] [,b] f(x) dm(x) = [,b] [,b] [,b] f(x) dm(x), snotn, että f on Lebesgue-integroituv. Integrlien yhteistä rvo kutsutn funktion f Lebesguen integrliksi j merkitään f(x) dm(x). [,b] Hiemn edellä ollutt Lebesguen esitystä mukillen nähdään, että jokinen rjoitettu (Lebesguen mielessä) mitllinen funktio on Lebesgue-integroituv välillä [, b] myös tässä yleisemmäkin mielessä. Myös käänteinen tulos pätee: jos rjoitettu funktio f on Lebesgue-integroituv (tässä yleisemmässä mielessä) välillä [, b], niin f on mitllinen (Lebesguen mielessä). Tämän (iden) selvittämiseksi olkoon D n, n Z +, jono välin [, b] mitllisi jkoj siten, että vstville l- j yläsummille on Σ Dn σ Dn 0, kun n. Olkoot jkoon D n liittyvät joukot E k = E n,k, 1 k N n, luvut m k = m n,k, M k = M n,k sekä N n N n g n := m n,k χ En,k j h n := M n,k χ En,k. Tällöin g n j h n ovt mitllisi funktioit, joille g n f h n. Kun jkojono (D n ) n=1 vlitn ksvvksi (miten?), on jono (g n ) n=1 ksvv j (h n ) n=1 vähenevä. Näiden jonojen rjfunktiot g j h ovt mitllisi j g f h. (Tämä on tärkeä, vn ei itsestään selvä ominisuus.) Väite seur, kun osoitetn, että g = h melkein kikkill (eli nollmittisen joukon komplementiss). Asetetn F j := {x [, b] h(x) g(x) > 1/j}. Tällöin {x [, b] h(x) g(x)} = F j. Olkoon nyt ε > 0 j j Z + kiinteä. Vlitn n niin suureksi, että Σ Dn σ Dn < ε. j=1 9
10 Joukoss E n,k on m n,k = g n (x) g(x) j M n,k = h n (x) h(x), joten h(x) g(x) M n,k m n,k. Toislt joukoss F j on h(x) g(x) > 1/j, joten (M n,k m n,k ) m(e n,k F j ) (h(x) g(x)) dx 1 m(e j n,k F j ). E n,k F j Kosk {E n,k 1 k N n } on välin [, b] ositus, on F j = N n (E n,k F j ), joten N n ε > Σ Dn σ Dn = (M n,k m n,k ) m(e n,k ) N n (M n,k m n,k ) m(e n,k F j ) 1 N n m(e n,k F j ) = 1 j j m(f j). Tästä seur, että m(f j ) < jε. Kosk ε on mielivltinen, on m(f j ) = 0, joten myös yhdiste j=1 F j = {x [, b] h(x) g(x)} on nollmittinen. Tässä lyhyessä trksteluss ei ole kiinnitetty huomiot siihen, onko Lebesguen l- j yläsummien vull määritelty integrli sm kuin Lebesguen lkuperäinen integrli. Trkoitus on vlott erilisi tpoj määritellä integrli. Riemnnin j Lbesguen integrlin välinen yhteys selviää yllä olevst trkstelust vrsin nopesti. Aluksi yleinen huomio. Jos Y, Y R ovt epätyhjiä, rjoitettuj joukkoj j Y Y, on sup Y sup Y j inf Y inf Y. Sovelletn tätä rjoitetun funktion f : [, b] R Drboux n j Lebesguen summien muodostmiin joukkoihin. Jokinen Drboux n summn liittyvä välin [, b] jko P osväleihin (tässä puolivoimiin väleihin [x 0, x 1 ),..., [x n 2, x n 1 ) j suljettuun väliin [x n 1, x n ]; ks. koht 1.1) on välin [, b] mitllinen jko. Osvälijolle P on lisäksi s P = σ P j Σ P = S P. Drboux n yläsummi on siis vähemmän kuin Lebesguen yläsummi, joten f(x) dm(x) = inf Σ D inf S P = f(x) dx. D D P P [,b] Vstvsti Drboux n lsummi on vähemmän kuin Lebesguen lsummi, joten f(x) dx = sup s P sup σ D = f(x) dm(x). P P D D Siis f(x) dx [,b] f(x) dm(x) [,b] [,b] f(x) dm(x) f(x) dx. Jos nyt f on Riemnn-integroituv, on f(x) dx = f(x) dx, joten yllä olevn epäyhtälöketjun nojll myös f(x) dm(x) = f(x) dm(x). Edellä olleist trksteluist seur lisäksi, että f on mitllinen. Siis Riemnn-integroituv funktio f [,b] [,b] on Lebesgue-interoituv j f(x) dx = f(x) dm(x). [,b] 1.6. Hyödyt j hitt. Lebesguen mitt j integrli ovt hiemn mutkikkmpi trkkn määriteltäväksi osin siksi, että ne trvitsevt yleisempien joukkojen mitn käsitettä kuin vin välin pituutt, suorkiteen pint-l jne. Hyötyjä on kuitenkin huomttv pljon: (i) Anlyysissä trpeellisiss rjnkäynneissä mitllisuus säilyy. 10
11 (ii) Rjnkäynnin j integroinnin järjestyksen vihtminen on joustvmp. (iii) Moniulotteisten integrlien lskemiseen käytettävä Fubinin luseen Lebesgue-integrliversio on pljon tehokkmpi. Ks. [11, luku 8] (iv) Funktioiden f, g : [, b] R toisistn erovuutt voidn mitt vikk niiden kuvjien väliin jäävän pint-ln f g 1 := f(x) g(x) dm(x) [,b] vull. Vstv onnistuu Riemnnin integrlillkin, mutt Lebesguen integrlin vull määritellyn normin f f 1 suhteen jokinen Cychyn jono suppenee, Riemnnin integrlin suhteen ei. Ks. [11, luku 10] (v) Funktioille f, g : [, b] R voidn määritellä sisätulo (f g) := f(x) g(x) dx, jok on erittäin tärkeä Fourier-srjojen käsittelemisessä (srjt ovt muoto ( k cos kx + b k sin kx ), = 0, b = 2π). Riemnnin integrli on jälleen puutteellinen työväline Integrlej moneen lähtöön. Lebesguen lkuperäistä, ulko- j sisämittn perustuv esitystp noudttvt Lebesguen [12] j [13] lisäksi [4] (käsittely kursorist), [17] (käsittely trkk) j uudempn [10] (myös n-ulotteinen tpus). Frigyes Riesziltä [18] on peräisin menetelmä, joss lähdetään liikkeelle tutuist porrsfunktioist, j lähes välittömästi päästään Lebesguen integrliin. Rieszin om oppikirjesitys löytyy kirjst [19]. Uudempi esityksiä ovt [1], [21] (*****) j [23]. Vstv esitystp hiemn yleisemmältä knnlt ktsottun (ns. Dniellin integrli 10 ) löytyy kirjst [20]. Mitt- j integrliteorin kurssin [11] kltinen, Constntin Crthéodoryltä [5] peräisin olev ulkomittn j yleiseen mittn perustuv esitys löytyy esimerkiksi kirjoist [5], [3] j [9] ( Hence we hve presented very generl nd complete versions of number of importnt theorems nd constructions. ). Niin snottuun Rieszin esitysluseeseen perustuv esitystp liitettään joskus Nicols Bourbkiin; vrt. [7] ti [9]. Usein nsio ensimmäisestä todistuksest jtkuvn funktion Riemnn-integroituvuudelle nnetn Cuchylle 11, mutt Cuchyll ei ollut vielä käytössään tulost, että suljetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Cuchyn todistus kuitenkin perustui funktion tsiseen jtkuvuuteen. Tämän tärkeän tuloksen todisti Heine 12 vuonn Drboux n 13 esitys jtkuvn funktion Riemnn-integroituvuudelle lienee ensimmäinen kunnollinen todistus väitteelle vuodelt Integrlikäsitteen histori Cuchyn joist Lebesguen integrlin lkuvuosiin käsitellään kirjss [8]. Riemnnin integrli yksinkertisempi käsite liittyy nimenomn tsisuuteeen (peräisin ehkä Georg Aumnnilt [2]). Säännelty funktio 14 on tsisesti suppenevn porrsfunktiojonon rjfunktio. Yhtäpitävästi f : [, b] R on säännelty, jos j vin jos funktioll f on enintään numeroituvsti ääretön määrä epäjtkuvuuskohti, jokisess pisteessä x (, b] funktioll f on vsemmnpuoleinen rj-rvo j jokisess pisteessä x [, b) funktioll f on oikenpuoleinen rj-rvo. Tätä Cuchyn integrli käytetään kirjss [6]; vrt. [16]. 10 Percy J. Dniell ( ): A generl form of integrl (Ann. of Mth, 19, 279), Augustin-Louis Cuchy ( ); integrli (Heinrich) Edurd Heine ( ). 13 Jen-Gston Drboux ( ). 14 Rnsk. fonction réglée, engl. regulted function. Jen (Alexndre Eugène) Dieudonné ( ) kutsuu säännellyn funktion integrli Cuchyn integrliksi. 11
12 Viitteet [1] Tom M. Apostol, Mthemticl nlysis, toinen litos, viides pinos, Addison Wesley, [2] Georg Aumnn, Reelle Funktionen, Die Grundlehren der mthemtischen Wissenschften in Einzeldrstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Bnd LXVIII, Springer-Verlg, [3] Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner j Brin S. Thomson, Rel nlysis, second edition, ClssiclRelAnlysis.com, [4] J. C. Burkill, The Lebesgue integrl, Cmbridge trcts in mthemtics nd physics No. 40, First pperbck edition, Cmbridge University Press, 2004; lunperin julkistu [5] Constntin Crthéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, kolms (korjttu) litos, Chelse Publishing, 1968; lunperin Leipzig, [6] Jen Dieudonné, Foundtions of modern nlysis, kolms (ljennettu j korjttu) pinos, Acdemic Press, [7] Jen Dieudonné, Tretise on nlysis II, Acdemic Press, 1970 (lunperin Elements d nlyse. Tome 2, Guthier-Villrs, 1969). [8] Thoms Hwkins, Lebesgue s theory of integrtion. Its origin nd development, toinen litos, AMS Chelse Publishing, 1975 (uudelleen pinettu 2002). [9] Edwin Hewitt j Krl Stromberg, Rel nd bstrct nlysis. A modern tretment of the theory of functions of rel vrible, kolms pinos, Grdute Texts in Mthemtics 25, Springer-Verlg, [10] Frnk Jones, Lebesgue integrtion on Eucliden spces, uudistettu litos, Jones nd Brtett Publishers, [11] Tero Kilpeläinen, Mitt- j integrliteori , pdf-dokumentti osoitteess terok/opetus/mitt/ (luettu kesäkuuss 2007). [12] Henri Lebesgue, Intégrle, longueur, ire, Annli di Mtemtic, (3) 7 (1902), [13] Henri Lebesgue, Leçons sur l intégrtion et l recherche des fonctions primitives, Guthier- Villrs, [14] Henri Lebesgue, Sur l recherche des fonctions primitives pr l intégrtion, R. Acc. Lincei Rend., (5), 16 1 (1907), [15] Olli Lehto, Differentili- j integrlilskent III, Limes ry, Helsinki, [16] J. Lelong-Ferrnd, J. M. Arnudiès, Cours de mthémtiques. Tome 2. Anlyse, 4 e édition, Dunod, [17] I. P. Ntnson, Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Zweite ergänzte und überrbeitete Auflge, Akdemie-Verlg, 1961; Theory of functions of rel vrible, Volume I, New York, Rederick Ungr, 1955; Volume II, 1960; lunperin venäjänkielisenä 1949 (1. litos) j 1956 (2. litos). [18] Frigyes Riesz, Sur l intégrle de Lebesgue, Act Mth. 42:3, (1919), [19] Frigyes Riesz j Bél Sz.-Ngy, Functionl nlysis, Dover Publictions, Inc, 1990; lunperin Leçons d nlyse fonctionelle, Acdémii Kidó, 1952; 2 e ed. 1953; engl. käännös Functionl nlysis, Frederick Ungr Publishing Co., [20] G. E. Shilov j B. L. Gurevich, Integrl, mesure & derivtive: A unified pproch, Dover Publictions, Inc, 1977; lunperin Prentice-Hll, Inc., [21] Krl Stromberg, An introduction to clssicl rel nlysis, Wdsworth Interntionl Mthemtics Series, [22] Vito Volterr, Sui principii del clcolo integrle, Giorn. Mt., 19 (1881), (Volterrn kootut työt Opere mtemtichi: memorie e note 1 5 löytyvät JY/MAn kirjstost.) [23] Aln J. Weir, Lebesgue integrtion nd mesure, London,
R(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 ).
Lebesguen tp määritellä mitt j integrli Lebesguen 1 itsensä lunperin käyttämä määritelmä mitlle j ennenkikke mitllisuuden käsitteelle poikke jonkinverrn nykyisin tvnomisest määrittelytvst. Ensinnäkin,
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotLebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotLebesguen integraali
LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:
Lisätiedoti 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotSarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotAnalyysi III S
Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
LisätiedotNewtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1
LisätiedotAnalyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotANALYYSIN TEORIA A JA B
ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,
LisätiedotMerkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä
Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 4 4. Yleistetty Cantorin joukko 5 5. Vito Volterran esimerkki 6 6. Analyysin peruslauseesta 8 Kirjallisuutta 9. Cantorin
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
LisätiedotRiemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua
Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten
LisätiedotSarjojen tasainen suppeneminen
Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................
LisätiedotAnalyyttinen lukuteoria
Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
Lisätiedot1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on
1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi C
Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi
Lisätiedot1. Käyrän kierrosluvusta Kompleksianalyysin tärkeimpiä tuloksia on pari Cauchyn lause ja Cauchyn integraalikaava. f(z)
1. Käyrän kierrosluvust Kompleksinlyysin tärkeimpiä tuloksi on pri Cuchyn luse j Cuchyn integrlikv. Näistä jälkimmäinen on seurv (useimmt käsitteet knntt nyt sivuutt; vin kierrosluku on tärkeä): Olkoot
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.
Lisätiedot1. Yhtälöiden ratkaisemisesta Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio, jolle f(a) f(b) < 0. Bolzanon lauseen [A1]
1. Yhtälöiden rtkisemisest Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio, jolle f() f(b)
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn
Lisätiedotr 1 Kuva 1. Cantorin joukon ensimmäiset sukupolvet. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä s=1
Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 5 4. Yleistetty Cantorin joukko 6 5. Vito Volterran esimerkki 7 6. Analyysin peruslauseesta 9 Kirjallisuutta. Cantorin
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotAnalyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
LisätiedotANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2
ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotMonikulmion pinta-ala ylioppilaille
Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n
Lisätiedot