S Signaalit ja järjestelmät 5 op. Luennoitsija Prof. Riku Jäntti S-posti: Puh E219 S.72.

Samankaltaiset tiedostot
S Signaalit ja järjestelmät 5 op. Pääassistentti Seppo Saastamoinen. S-posti: Puh E307B S.72.

ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät 5 op

ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät 5 op

Luento 11. Stationaariset prosessit

Luento 11. Stationaariset prosessit

Luento 4. Fourier-muunnos

S Signaalit ja järjestelmät Tentti

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

järjestelmät Luento 4

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 11. tietoverkkotekniikan laitos

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:

( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.

Tietoliikennesignaalit

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

Systeemimallit: sisältö

Luento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 2. Jaksolliset signaalit

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2. Tietoliikennetekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3

W dt dt t J.

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

b) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)

Systeemimallit: sisältö

a) Ortogonaalinen, koska kantafunktioiden energia 1

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.

S Signaalit ja järjestelmät (5 op) Prof. Sven-Gustav Häggman

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.

Tasaantumisilmiöt eli transientit

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:

6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0

JLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi

Luento 3. Fourier-sarja

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe

Taustaa KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT. Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta

Täydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi:

Luento 3. Fourier-sarja

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1

Kompleksianalyysi, viikko 6

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen

Pienimmän neliösumman menetelmä

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

2. Systeemi- ja signaalimallit

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

KANTOAALTOMODULOIDUN KAISTANPÄÄSTÖSIGNAALIN (BANDPASS) JA KANTATAAJUISEN (BASEBAND) SIGNAALIN AMPLITUDISPEKTRIT

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte

Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu. Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

12. Luento. Modulaatio

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)

MAT Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014

Ilmavirransäädin. Mitat

12. Luento. Modulaatio

>LTI-järjestelmä. >vaihespektri. >ryhmäviive

Kompleksiluvut Kompleksitaso

7. Luento. Luento 7 Modulaatio Oppenheim luku 8 soveltuvin Koherentti ja epäkoherentti analoginen modulaatio

1 Excel-sovelluksen ohje

LUKU 7 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN A Tietoliikennetekniikka I Osa 24 Kari Kärkkäinen Kevät 2015

Luento 4 Jaksollisten signaalien Fourier-sarjaesitys 4.1 Fourier-sarja 4.2 Viivaspektri, tehospektri

Numeeriset menetelmät

Ratkaisu. Virittäviä puita on kahdeksan erilaista, kun solmut pidetään nimettyinä. Esitetään aluksi verkko kaaviona:

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

Flow shop, työnvaiheketju, joustava linja, läpivirtauspaja. Kahden koneen flow shop Johnsonin algoritmi

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)

2. Suoraviivainen liike

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN ILMAISU DISKRIMINAATTORILLA

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

Luento 7 Järjestelmien ylläpito

Signaalimallit: sisältö

11. Jatkuva-aikainen optiohinnoittelu

A B = 100, A = B = 0. D = 1.2. Ce (1.2 D. C (t D) 0, t < 0. t D. )} = Ae πjf D F{Π( t D )} = ADe πjf D sinc(df)

Tehtävä I. Vaihtoehtotehtävät.

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

Älä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan!

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)

Työ 2: 1) Sähkönkulutuksen ennustaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan optimointi

Transkriptio:

S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op Luennoisija Prof. Riu Jäni S-posi: riu.jani@.fi Puh. 9 45 353 E9 S.7. Miä äsiellään? signaalien ja järjeselmien perusäsieiä signaali- ja järjeselmäanalyysin perusmeneelmiä Signaalimuunnose, signaalien aajuusesiys Signaalien suodaaminen lineaarisilla alipääsö- ja aisanpääsösuodaimilla Näyeenoo signaalien moduloini Missä ällaisia ieoja arviaan? eleroniiajärjeselmissä ieoliiennejärjeselmissä signaaliäsielyssä miauseniiassa sääöeniiassa auoaroiusessa radiomääriysessä (paiannus) jne S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio

Sisälö ja aiaaulu.. Sisälö, johdano, signaali ja niiden funioesiyse 7.. Fourier-sarja 9.. Fourier-muunnos 4.. Erioissignaalien Fourier-muunnos 6.. Näyeenoo ja Disreei Fourier -muunnos.. Lineaarise järjeselmä 3.. Lineaarise järjeselmäyhdiselmä, sabiilisuus 8.. Lineaarinen suodaus 9.. Epälineaarise järjeselmä (Huom. lueno pideään lasuharjoiusen sijaan lo 8- salissa S) 3.. Saunnaissignaali 5.. Saunnaissignaali lineaarisissa järjeselmissä 7.. Modulaaio S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 Suosielu irjallisuus A.B.Carlson: Communicaions sysems. An inroducion o signals and noise in elecrical communicaion. 4h ed. Mc Graw-Hill, 768s. Luvu -9 (ei sisällä DF:ä eiä FF:ä) S.Hayin: Communicaion sysems. 4h ed. Wiley, 8s. L.Balmer: Signals and sysems, an inroducion, nd ediion, Prenice Hall 997, 55s. Luvu -6, 8-9 (ei sisällä modulaaioia) E. C. Ifeachor: Digial Signal Processign A preacical approach, 993, 76s. Luvu ja 4. (vain DF, FF ja disreei onvoluuio) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4

Lueno Signaali Jauva- ja disreeiaiaise seä -ampliudise signaali Jasollise ja jasooma signaali eho- ja energiasignaali Signaaliavaruus Signaalien sisäulo Signaalien normi, esimääräinen eho ja energia Kanafunio S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 Signaali Signaali on ajan, paian ai minä ahansa riippumaoman muuujan muana vaiheleva suure. Kurssilla esiyään Aiasignaaleihin s() aajuussignaaleihin S(f)..9.8.8.7.6 s().4 S(f).6.5.4. -. - -.5 - -.5.5.5.3.. -4-3 - - 3 4 f S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 6 3

Signaali Signaali voi olla Reaalinen s () Komplesinen s () = s() + is () I Esim. Q ( π ) ( π ) s () = v()cos f + v ()sin f I c Q c iπ fc iπ fc {( I Q ) } { l } s () = Re v() + iv () e = Re s() e s () = v () + iv () l I Q Evivaleni alipääsösignaali Moduloiu signaali S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 7 Signaali Ysidimensioinen (ysianavainen) s() Monidimensioinen (monianavainen) s() s() n s() = sn () S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 8 4

Signaali Jauva-aiainen Signaali on määriely aiina ajanheinä Disreei-aiainen Signaali on määriely vain ieyinä ajanheinä ai ieyille näyeille S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 9 Signaali Jauva-ampliudinen Signaalin ampliudi s() voi saada aiia ampliudiarvoja ei-numeroiuvasa jouosa A s() A A Esim. signaalin ampliudi voi saada minä ahansa arvon reaaliluujen jouosa Disreeiampliudinen Signaalin ampliudiarvo on rajoieu numeroiuvaan jouoon B s () s, s, s,... { } Esim. 8 biin vanisoinnilla voidaan esiää 8 = 56 signaaliasoa. S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5

Signaali JAKUVA-AIKAINEN DISKREEIAIKAINEN I x() II x() JAKUVA- AMPLIUDINEN DISKREEI- AMPLIUDINEN III x() IV x() S.-G. Häggman, S-7. Luenomonisee, 5 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio Aiarajoiamaon > : s( + ) Signaali Aiarajoieu, pulssisignaali: Signaali saa nollasa poieavia arvoja ainoasaan ieyllä aiavälillä (, ) s() =, < > - / / S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 6

Jasollinen (periodinen) Signaali Jasonaia Ampliudi Jasoon (aperiodinen) - / / Ominaisaajuus f =/ S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 Signaali Deerminisinen Signaalin ampliudiarvo s() unneaan euäeen aiilla ajan arvoilla Saunnainen (soasinen) Saunnaisen signaalin äyäyymisä ulevaisuudessa ei voida arasi ennusaa. Voidaan vain esiää odennäöisyys sille, eä ampliudi on jollain ampliudivälillä ( ) Pr s( ) s = F( s; ) s() s() 5 4 3 - - -3-4.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 -...3.4.5.6.7.8.9-5.5 5 4 3 - - -3-4 -5 5 5 % S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4 7

Signaalin eho Jänniesignaalin heelliseho u () i () = u () R R ehon uluus vasusessa P = ui = u R () ()() () Jos uorma sisälää reaiivisia omponeneja, niin vasaava yhälö saadaan näennäiseholle S () = s () Mielivalaiselle signaalille s(): P() s() S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 Signaalin energia ja eho Signaalin energia Signaali on energiasignaali, jos Kesimääräinen eho Signaali on ehosignaali, jos S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 6 8

Signaali Jasollinen (periodinen) Jasonaia - / / Jasoon (aperiodinen) Ampliudi Ominaisaajuus f =/ S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 7 Pulssisignaali <, s () = muuoin Energia Signaalin energia ja eho E = lim s( ) d = s( ) d < Kesimääräinen eho P = lim s( ) d = lim s( ) d = Pulssisignaali on energiasignaali Pulssisignaali ei ole ehosignaali S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 8 9

Aselsignaali, s () = < Energia Signaalin energia ja eho E = lim s( ) d = lim d = Aselsignaali ei ole energiasignaali Kesimääräinen eho P = lim s( ) d lim d d = + = lim = Aselsignaali on ehosignaali S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 9 Signaalin energia ja eho Ysiöpulssi Signaali on ehosignaali Signaali ja 3 ova energiasignaaleia S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio

Jasollisen signaalin eho Jasollisen signaalin esimääräinen eho,missä v() on signaali, jolle päee Jasollinen signaali on ehosignaali Kesimääräisen ehon lasemisesi riiää, eä arasellaan yhä jasoa - / / S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio Sinimuooinen signaali Sinimuooinen signaali (esim. vaihojännie) v () = Acos( ω+ φ ) A Ampliudi Vaiheulma radiaaneina (π 8 ) φ Vaihesiirymä ω Ominaisulmaaajuus (rad/s) Ominaisaajuus (Hz) Jasonaia S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio

Sinimuooinen signaali.5.5 A v() cos(πω ) -.5 - -.5 - - -.5 - -.5.5.5 -φ/ω S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 Signaalin eho Sinimuooinen signaali A π P= v() d cos φ d = + cos cos( ) 4 ix ix i x ix ( x) = ( e + e ) = ( e + + e ) = ( + x ) 4π A 4π A P= cos d sin + + φ = + + φ 4π A = + S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4 ( ) cos x dx = sin( x)

Eulerin eoreema Osoiinesiys Osoiin Im Re Osoiin pyörii aajuudella f S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 Viivasperi Sinimuooinen signaali voidaan esiää ahden osoiimen summana Im Im Re Re Ampliudisperi Vaihesperi S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 6 3

Sisäulo Kahden energiasignaalin välinen sisäulo Komplesionjugaai = signaalien ulon alue S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 7 Sisäulon ominaisuusia Sisäulo ( s() s() ) = ( s() s() ) ( as() s() ) = a( s() s() ) ( s() as() ) = a ( s() s() ) ( s () + s () s () ) = ( s () s () ) + ( s () s () ) 3 3 3 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 8 4

Sisäulo Signaalin energia (indusuoiu normi) Orogonaalisuus ja oronormaalisuus Orogonaalisuus Oronormaalisuus s () s () s () s () + - = S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 9 Sisäulo Kahden jasollisen signaalin sisäulo, un molempien signaalien jasonaia on ai on niiden moniera Kesimääräinen eho (indusoiu normi) Orogonaalisuus ja oronormaalisuus Orogonaalisuus Oronormaalisuus S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 5

Sisäulo arasellaan aha signaalia π v () = Acos π + v() = Acos m m ( ) v () v () = - -.5 -.4 -.3 -. -....3.4.5 / S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 v()/a.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 m=3 Jos sinimuooisen signaalien aajuude f ova monieroja, niin signaalien sisäulo on. Signaali ova esenään orogonaalisia. Oronormaalise signaali iedonsiirrossa Määriellään asi oronormaalia signaalia Pv = ( v() v() ) = Esim Pv = ( v() v() ) = v() = cos( ω) ( v v() = sin( ω () v() ) = ) Oloon I ja I asi informaaiosymbolia (esim. + ai -) Muodoseaan läheeävä signaali s() s () = Iv () + Iv () Kohinaomassa apausessa vasaanoimessa informaaiosymboli saadaan raaisua läheeesä s() äyäen sisäuloa ( s () v() ) = I s () v() = I ( ) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 6

Signaaliavaruus Signaaliavaruus on normillinen avaruus, jona normi on sisäulon indusoima Signaaliavaruus muisuaa veoriavaruua, mua veorien sijaan avaruuden elemeni ova signaaleia (funioia) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 33 Signaaliavaruus Määriellään K lineaarisesi riippumaona anafunioa φ () φ (), =,, K wφ () = jos ja vain jos w =, =,, K Kanafunio viriävä K-dimensioisen signaaliavaruuden, jona elemeni voidaan esiää anafunioiden lineaariombinaaiona K x() = cφ() = S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 34 7

Signaaliavaruus Kana on orogonaalinen, jos >, = l ( φ() φl() ) =, l ja oronormaalinen, jos ( φ() φl() ) = = l l S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 35 Signaaliavaruus Approsimoidaan signaalia s() oronormaalin annan {φ ()} avulla s() c () ˆ φ s() Valiaan painoeroime {c_} sien, eä erosignaalin s () = s() sˆ () normin neliö (energia / eho signaaliyypisä riippuen) minimoiuu min { } s ( ) c Normi voidaan lausua sisäulon avulla s () = s() cφ() = s() cφ() s() cφ() = s () s () cφ() cφ() s () + cφ() S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 36 8

arasellaan normia Signaaliavaruus = φ = l φ φ l Kana on oronormaali, joen = l ( φ() φl() ) = l ja = φ = sˆ( ) c () c ( ) sˆ( ) c () c c () () S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 37 Signaaliavaruus arasellaan summaa s () cφ() cφ() s () ( () φ ()) ( φ () ()) = c s c s ( () φ ()) ( () φ ()) = c s c s ( s() s() ) = ( s() s() ) ( as() s() ) = a ( s() s() ) ( s() as() ) = a ( s() s() ) ( s() + s() s3() ) = ( s() s3() ) + ( s() s3() ) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 38 9

Signaaliavaruus Erosuureen normi voidaan ny irjoiaa muooon s () = s () cφ () = ( φ ) ( φ ) = s() c s () () c s () () + c c Keroime ova omplesisisa c =c re, +ic im,, joen minimi voidaan raaisa reaali ja omplesi osan suheen derivaaan nollaohdisa d s () = dcre, d s () = dc im, c re, S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 39 Signaaliavaruus Derivaaan nollaoha: s () = s () ( cre, icim, )( s () φ () ) ( cre, + icre, )( s () φ () ) + ( cre, + cim, ) d dc re, d dc re, ( φ ) ( φ ) s () = s () () s () () + c = re, ( φ ) ( φ ) s () = i s() () i s() () + c = im, cre, = ( s() φ () ) + ( s() φ () ) i ci m, = ( s () φ() ) ( s () φ() ) c = c + ic = s() φ () ( ) re, im, ( () φ() ) c = s Kyseessä on aio minimi, osa d dc d s () = >, s () = > dc re, im, z = z + iz z = z reizim zre = z+ z i zim = zz ( ) ( ) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4 re im

( ) Signaaliavaruus Kun c = s() φ (), virheen normisi ulee = K K φ = ( φ ) + = = s () s() c () s() c s() () c s () s() c = äsä voidaan johaa Besselin epäyhälö = = + s () s() c s() c s() s() c S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4 Signaaliavaruus Energiasignaali E = s() s sˆ E = s ˆ( ) = c s = s E E c Jos E s = Parsevalin eoreema E s = c ehosignaali P = s() s sˆ P = sˆ( ) = c s = s P E c Jos P s = Parsevalin eoreema Ps = c S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4

Fourierin esponeisarja Jasollinen signaali s() s()=s(+ ) Oronormaali ana π φ () = exp i =...,,,,,,... = ( () φ() ) = () () ()exp φ = π c s s d s d ähän palaaan seuraavalla luennolla Kannan muodosaa erisuuniin ja eri aajuusilla pyörivä osoiime Im f = Re S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 43 Walsh-funio Pulssisignaali aiavälillä (,) K-dimensioinen orogonaali ana φ () = W () W () = muuoin Sovellusia: - anavoinioodaus CDMAjärjeselmässä - uvion unnisus ja uvanäsiely - p W n+ p() = Wn + + ( ) Wn 4 4 Esim. K=4 =: n=,p= =: n=,p= =3: n=,p= =4: n=,p= W () W () W () - W () 3 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 44

Muia oronormaaleia anafunioia Laguerren funio L (), [, ), =,,, φ() = exp L() exp( ) d L () = ( exp ( ) )! d ( + ) L ( ) = (+ ) L ( ) L ( ) + Hermien funio H (), (, ), =,,, exp φ() = H() n! π d H () = exp exp d H () = H () H () ( ) ( ) ( ( )) + Legendren funio P (), [-,] φ() = + P() d P () = ( )! d ( + ) P ( ) = (+ ) P ( ) P ( ) + sebysevin funio C (), [-,], =,,, ( ) π φ () = ( ) = π C() = C() C (), C () =, C () = 4 C ( ) = 4 C ( ),,... S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 45 S.-G. Häggman, S-7. Luenomonisee, 5 Hermien polynomeihin perusuva anafunio Legendren polynomeihin perusuva anafunio.5 n=4 n= n= n= n= n=5 -.5 n= n=3-5 -4-3 - - 3 4 5 šebyshevin polynomeihin perusuva anafunio.5. n=3 n=4 n= n=.5 -.5 n= n=4 n= n=5 n=3 - -.5.5 Laguerren polynomeihin perusuva anafunio n=.5 n= n=4 -. n=5 n= n=3 n=5 -.5S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK -.5 ieoliiennelaboraorio 46 - -.5.5 5 5 3

Gram-Schmid proseduuri Muodoseaan orogonaali ana K:sa lineaarisesi riippumaomasa signaalisa { g () } g() φ () = g() c = g () φ (), l =,,.. ( ) l l φ() = g() clφl(), =,3,... K l= φ () φ () = φ () Normalisoidaan muodoseun signaalin energia /eho φ = g ( g ) φ φ Se osa signaalisa g (), joa voidaan seliää lineaariombinaaiona anafunioisa φ l (), l=,,..,- φ g g ( g φ) φ S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 47 Gram-Schmid proseduuri arasellaan signaaleia {g ()} g () g () 3-3 - 3 g () g4( ) - 3 3 - g () = g () + g () 3 4 4 3 E = g () = g () d E = E =, E = E = 3 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 48 4

Gram-Schmid proseduuri Oronormaali anafunio (signaali) φ () φ () 3 3 3 - φ () 3 Signaalijouo {g ()} sisälsi vain olme lineaarisesi riippumaona signaalia, joen anafunioiain on vain olme S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 49 Gram-Schmid proseduuri Signaalien esiäminen annan avulla g () = φ () g () = φ () g () = φ () + φ () 3 3 g () = φ () + φ () 4 3 Veori esiys φ φ φ 3 g =, g =, g3 =, g4 = g g 3 g3 4 g3 E =, E = =, E = = 3, E = = 3 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 5