Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto



Samankaltaiset tiedostot
Potenssiyhtälö ja yleinen juuri

Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.

3 Eksponentiaalinen malli

a) (1, 0735) , 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

Eksponenttiyhtälö ja logaritmi

Eksponentti- ja logaritmifunktiot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

3Eksponentiaalinen malli

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = = =

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

2 arvo muuttujan arvolla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.

9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

LUKUVUODEN E-KURSSI MAB3

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matematiikan tukikurssi

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

Materiaalia, ohjeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tarjottavasta koulutuksesta osoitteessa:

6 Funktioita ja yhtälöitä

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Prosentti- ja korkolaskut 1

KERTAUSHARJOITUKSIA REAALILUKUVÄLIT a) x 01, eli reaalilukuvälinä 0 x 1. b) x 39, eli reaalilukuvälinä 3 x 9. c) x 0, eli reaalilukuvälinä x 0

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

MAA8. HARJOITUSTEHTÄVIÄ

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Lineaarialgebran laskumoniste Osa1 : vektorit

Lyhyt, kevät 2016 Osa A

Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta. VASTAUS: ...

Matematiikan tukikurssi

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

Talousmatematiikka (3 op)

6 Eksponentti- ja logaritmifunktio

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat

Korkolasku ja diskonttaus, L6

KORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI

Mitä matriisit ovat?

EHDOTUS. EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden oppiainekohtaiset osat

diskonttaus ja summamerkintä, L6

LYHYT MATEMATIIKKA KERTAUSTEHTÄVIÄ

c) x > 0 c) [ 4,8[ ja 4 d) [12, [

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Laskentaa kirjaimilla

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Merkitse kertolasku potenssin avulla ja laske sen arvo.

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Aritmeettinen jono

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Ionisoiva säteily. Tapio Hansson. 20. lokakuuta 2016

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MAA1.1 Koe Jussi Tyni Kastellin lukio Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä 6 tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet

4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6, ,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) , ,4

PUHUTAAN NUMEROILLA Murtoluvut Desimaaliluvut tai

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN. Katri Währn

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24

MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin

Transkriptio:

Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto

Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus) Radioaktiivinen hajoaminen (puoliintumisaika kerroin 0,50) Valon, säteilyn imeytyminen väliaineeseen potenssiinkorotus, juurenotto, logaritmi

Eksponenttifunktio Kuvaa eksponenttimuotoista kasvua Loppuarvo, kasvanut arvo Kasvujaksojen määrä, esim aika Alkuarvo Kasvukerroin

f( ) 1 3

Potenssiin korottaminen Katso laskimestasi potenssiin korottaminen: a y 7 2,51 627,6... 7 12 7 12 1, 095 1, 095 1, 0543...

YLEINEN JUUREN OTTO 2 = 145 145 12,0 (ja -12,0) 5 = 309 5 309 3,15 6 12 75 75 75 6 12 12 6 = 1,357 y Laskimessa tai tai tai 1 5 5 Huom! 417 417 1/y

Logaritmin käyttö: eksponentissa 2,45 13,7 lg "lyödään logaritmimoukarilla" lg 2,45 lg13,7 "eksponentti putoaa eteen" lg 2,45 lg13,7 jaetaan :n kertoimella lg13, 7 2,92 lg 2,45 Laskimessa log log(13.7) log(2.45)

Hankalahko esimerkki 15,2 3,05 17,1 Jaetaan lg 3, 05 lg1,125 3,05 17,1 15,2 3,05 1,125 lg lg1,125 lg3,05 0,10562... lg 3, 05 lg1,125 V: =0,106

Hankalampi eksponenttiyhtälö 352 1,085 917 1,03 1,085 jaetaan ensin 917 1,03 352 jaetaan potenssilla 1, 085 917 1, 03 352 1, 085 917 1, 03 352 1, 05339 2, 60511 lg1,05339 lg 2,60511 lg1, 05339 lg 2, 60511 lg 2,60511 lg1, 05339 18,4

Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu (kasvu 3 % kerroin 1,03) Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus) Radioaktiivinen hajoaminen (puoliintumisaika kerroin 0,50) Valon, säteilyn imeytyminen väliaineeseen (20 % vähentyminen kerroin 0,80) potenssiinkorotus, juurenotto, logaritmi

NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) 1) Kysytään loppuarvoa Kysytään alkuarvo a k n = b jaksojen määrä, aika jne alkuarvo kasvukerroin loppuarvo 2) Kysytään kasvukerrointa, muutosprosenttia Johtaa juurenottoon Ei, suoralla laskulla b = a k n Ajassa taakse: negative eksponent 3) Kysytään jaksojen määrää, aikaa, kerrosten määrää jne (kysytään siis eksponenttia) eksponenttina, johtaa logaritmiin

NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) a k n = b jaksojen määrä, aika jne alkuarvo kasvukerroin loppuarvo 1a) Kysytään loppuarvoa suoralla laskulla b = a k n Brutopian väkiluku oli vuonna 2005 peräti 73 miljoonaa ja Vuotuinen kasvu 3,1 %. Mikä on väestäennuste vuodelle 2015? Alussa 73 miljoonaa, kasvukerroin = 1,031, vuosia = 10 73 1,031 10 milj = 99 miljoonaa.

1b) Ajassa taaksepäin eksponenttiin miinus Brutopian väkiluku oli v 2005 73 miljoonaa, vuotuinen kasvu 3,1 %. Mikä oli väkiluku vuonna 2000? Alkuarvo= 73 (vuosi 2005) Vuodet = -5 kasvukerroin 1,031 73 1,031-5 milj = 63 miljoonaa.

NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) a k n = b jaksojen määrä, aika jne alkuarvo kasvukerroin loppuarvo 2) Kysytään kasvukerrointa, muutosprosenttia Johtaa juurenottoon Meksikon väkiluku kasvoi 10 vuodessa 73 miljoonasta 99 miljoonaan. Mikä on vuotuinen kasvuprosentti? kasvukerroin = 73 10 = 99 10 99 73 99 73 10 1, 03093 Vastaus: 3,1 %

NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) a k n = b jaksojen määrä, aika jne alkuarvo kasvukerroin loppuarvo 3) Kysytään jaksojen määrää, aikaa, kerrosten paksuutta Johtaa logaritmiin Meksikon väkiluku kasvoi 73 miljoonasta 99 miljoonaa vuotuisen kasvun ollessa 3,1 %. Kuinka monta vuotta kului? 73 1,031 = 99 99 1,031 73 99 lg1, 031 lg( ) 73 99 lg1, 031 lg( ) 73 99 lg( ) 73 9,979 10 lg1, 031

Milloin juurenottoa tarvitaan? Kun kysytään potenssin kantalukua tai kasvukerrointa tai korkoprosenttia Esim. Meksikon väkiluku väkiluku kasvoi 10 vuodessa 73 miljoonasta 100 miljoonaan. Kuinka suuri oli vuotuinen kasvuprosentti? vuosia 10 73 milj 100 milj vuotuinen kasvukerroin 73 10 = 100 :73 10 100 73 10 100 1,03197 73 Vastaus: Vuotuinen kasvu on 3,2 %

Miloin logaritmia tarvitaan? Silloin, kun kysytään eksponenttia (aikaa, jaksojen määrää, kerrosten määrää) Kuinka monta vuotta kestää talletuksen arvon kaksinkertaistuminen, kun korkoporosentti on 3,6 % Ratk: Alussa a, lopussa 2a, kerroin k = 1,036 vuodet = a 1, 036 2a 1, 036 2 lg1,036 lg 2 lg1,036 lg 2 lg 2 lg1, 036 19,598... V: 20 vuotta

Pankkitalletus kasvoi kuudessa vuodessa 4500 eurosta 6000 euroon. Mikä oli tilin korko? Vuodessa pääoma -kertaistuu kuudessa vuodessa 6 -kertaistuu 4500 6 = 6000 6 6000 4500 6 6000 1,0491 4500 Vastaus: Vuotuinen korko oli 4,9 %

Rikkipäästöjä halutaan alentaa 10 vuodessa 90 %. Mikä tulee asettaa vuotuiseksi vähentämisen tavoitteeksi? Alussa rikkipäästöt ovat a, siitä pois 90 % a -90 % 10 vuotta vuotuinen kerroin a 10 = 0,10a 0,10 a Jäljelle jää 10 % Siis joka vuosi päästö on 0,794 kertaa edellisen vuoden päästö. Siis 79,4 % edellisestä 10 = 0,10 10 0,10 0, 794 1/10 ( 0,10 ) Vuotuinen vähennys on 100 % - 79,4 % =20,6 % Vastaus: 21 % vähennys joka vuosi

Radioaktiivisen aineen puoliintumisaika on 15 vuorokautta. Kuinka monta % aineesta a) on jäljellä 6 kk kuluttua? b) hajoaa yhdessä vuorokaudessa? Jakso on 15 vrk, sinä aikana määrä puoliintuu, jakson kerroin = 0,50 a) 6 kuukaudessa on jaksoja 180 vrk / 15 vrk = 12 jaksoa Alussa a, lopussa a 0,50 12 = 0,000244a Jäljellä 0,024 % Aika 1 vrk, kuinka monta 15 vrk jaksoa siinä on? Alussa a 1 vrk kuluttua jäljellä 1 15 Hajosi 100 % 95,48 % = 4,52 % 1 15 a 0,50 0,9548a Jäljellä 95,48 % Vastaus: 1 vrk:ssa hajosi 4,5 %