Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto
Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus) Radioaktiivinen hajoaminen (puoliintumisaika kerroin 0,50) Valon, säteilyn imeytyminen väliaineeseen potenssiinkorotus, juurenotto, logaritmi
Eksponenttifunktio Kuvaa eksponenttimuotoista kasvua Loppuarvo, kasvanut arvo Kasvujaksojen määrä, esim aika Alkuarvo Kasvukerroin
f( ) 1 3
Potenssiin korottaminen Katso laskimestasi potenssiin korottaminen: a y 7 2,51 627,6... 7 12 7 12 1, 095 1, 095 1, 0543...
YLEINEN JUUREN OTTO 2 = 145 145 12,0 (ja -12,0) 5 = 309 5 309 3,15 6 12 75 75 75 6 12 12 6 = 1,357 y Laskimessa tai tai tai 1 5 5 Huom! 417 417 1/y
Logaritmin käyttö: eksponentissa 2,45 13,7 lg "lyödään logaritmimoukarilla" lg 2,45 lg13,7 "eksponentti putoaa eteen" lg 2,45 lg13,7 jaetaan :n kertoimella lg13, 7 2,92 lg 2,45 Laskimessa log log(13.7) log(2.45)
Hankalahko esimerkki 15,2 3,05 17,1 Jaetaan lg 3, 05 lg1,125 3,05 17,1 15,2 3,05 1,125 lg lg1,125 lg3,05 0,10562... lg 3, 05 lg1,125 V: =0,106
Hankalampi eksponenttiyhtälö 352 1,085 917 1,03 1,085 jaetaan ensin 917 1,03 352 jaetaan potenssilla 1, 085 917 1, 03 352 1, 085 917 1, 03 352 1, 05339 2, 60511 lg1,05339 lg 2,60511 lg1, 05339 lg 2, 60511 lg 2,60511 lg1, 05339 18,4
Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu (kasvu 3 % kerroin 1,03) Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus) Radioaktiivinen hajoaminen (puoliintumisaika kerroin 0,50) Valon, säteilyn imeytyminen väliaineeseen (20 % vähentyminen kerroin 0,80) potenssiinkorotus, juurenotto, logaritmi
NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) 1) Kysytään loppuarvoa Kysytään alkuarvo a k n = b jaksojen määrä, aika jne alkuarvo kasvukerroin loppuarvo 2) Kysytään kasvukerrointa, muutosprosenttia Johtaa juurenottoon Ei, suoralla laskulla b = a k n Ajassa taakse: negative eksponent 3) Kysytään jaksojen määrää, aikaa, kerrosten määrää jne (kysytään siis eksponenttia) eksponenttina, johtaa logaritmiin
NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) a k n = b jaksojen määrä, aika jne alkuarvo kasvukerroin loppuarvo 1a) Kysytään loppuarvoa suoralla laskulla b = a k n Brutopian väkiluku oli vuonna 2005 peräti 73 miljoonaa ja Vuotuinen kasvu 3,1 %. Mikä on väestäennuste vuodelle 2015? Alussa 73 miljoonaa, kasvukerroin = 1,031, vuosia = 10 73 1,031 10 milj = 99 miljoonaa.
1b) Ajassa taaksepäin eksponenttiin miinus Brutopian väkiluku oli v 2005 73 miljoonaa, vuotuinen kasvu 3,1 %. Mikä oli väkiluku vuonna 2000? Alkuarvo= 73 (vuosi 2005) Vuodet = -5 kasvukerroin 1,031 73 1,031-5 milj = 63 miljoonaa.
NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) a k n = b jaksojen määrä, aika jne alkuarvo kasvukerroin loppuarvo 2) Kysytään kasvukerrointa, muutosprosenttia Johtaa juurenottoon Meksikon väkiluku kasvoi 10 vuodessa 73 miljoonasta 99 miljoonaan. Mikä on vuotuinen kasvuprosentti? kasvukerroin = 73 10 = 99 10 99 73 99 73 10 1, 03093 Vastaus: 3,1 %
NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) a k n = b jaksojen määrä, aika jne alkuarvo kasvukerroin loppuarvo 3) Kysytään jaksojen määrää, aikaa, kerrosten paksuutta Johtaa logaritmiin Meksikon väkiluku kasvoi 73 miljoonasta 99 miljoonaa vuotuisen kasvun ollessa 3,1 %. Kuinka monta vuotta kului? 73 1,031 = 99 99 1,031 73 99 lg1, 031 lg( ) 73 99 lg1, 031 lg( ) 73 99 lg( ) 73 9,979 10 lg1, 031
Milloin juurenottoa tarvitaan? Kun kysytään potenssin kantalukua tai kasvukerrointa tai korkoprosenttia Esim. Meksikon väkiluku väkiluku kasvoi 10 vuodessa 73 miljoonasta 100 miljoonaan. Kuinka suuri oli vuotuinen kasvuprosentti? vuosia 10 73 milj 100 milj vuotuinen kasvukerroin 73 10 = 100 :73 10 100 73 10 100 1,03197 73 Vastaus: Vuotuinen kasvu on 3,2 %
Miloin logaritmia tarvitaan? Silloin, kun kysytään eksponenttia (aikaa, jaksojen määrää, kerrosten määrää) Kuinka monta vuotta kestää talletuksen arvon kaksinkertaistuminen, kun korkoporosentti on 3,6 % Ratk: Alussa a, lopussa 2a, kerroin k = 1,036 vuodet = a 1, 036 2a 1, 036 2 lg1,036 lg 2 lg1,036 lg 2 lg 2 lg1, 036 19,598... V: 20 vuotta
Pankkitalletus kasvoi kuudessa vuodessa 4500 eurosta 6000 euroon. Mikä oli tilin korko? Vuodessa pääoma -kertaistuu kuudessa vuodessa 6 -kertaistuu 4500 6 = 6000 6 6000 4500 6 6000 1,0491 4500 Vastaus: Vuotuinen korko oli 4,9 %
Rikkipäästöjä halutaan alentaa 10 vuodessa 90 %. Mikä tulee asettaa vuotuiseksi vähentämisen tavoitteeksi? Alussa rikkipäästöt ovat a, siitä pois 90 % a -90 % 10 vuotta vuotuinen kerroin a 10 = 0,10a 0,10 a Jäljelle jää 10 % Siis joka vuosi päästö on 0,794 kertaa edellisen vuoden päästö. Siis 79,4 % edellisestä 10 = 0,10 10 0,10 0, 794 1/10 ( 0,10 ) Vuotuinen vähennys on 100 % - 79,4 % =20,6 % Vastaus: 21 % vähennys joka vuosi
Radioaktiivisen aineen puoliintumisaika on 15 vuorokautta. Kuinka monta % aineesta a) on jäljellä 6 kk kuluttua? b) hajoaa yhdessä vuorokaudessa? Jakso on 15 vrk, sinä aikana määrä puoliintuu, jakson kerroin = 0,50 a) 6 kuukaudessa on jaksoja 180 vrk / 15 vrk = 12 jaksoa Alussa a, lopussa a 0,50 12 = 0,000244a Jäljellä 0,024 % Aika 1 vrk, kuinka monta 15 vrk jaksoa siinä on? Alussa a 1 vrk kuluttua jäljellä 1 15 Hajosi 100 % 95,48 % = 4,52 % 1 15 a 0,50 0,9548a Jäljellä 95,48 % Vastaus: 1 vrk:ssa hajosi 4,5 %