A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

Transkriptio

1 PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja merkitse vastauksesi alla olevaan taulukkoon. 4 A Merkintä x 5 tarkoittaa samaa kuin x 5 x 5 5 x 5 5 x 5 B Lausekkeen arvo on 8 9 C Luku 5 on 0% luvusta ,5 D Yhtälön 5 4 x + x x = 0 ratkaisu ei ole E F Noppaa heitetään 5 kertaa. Todennäköisyys, että viimeisellä heitolla saadaan kuutonen, on Olkoon funktio f ( x) = tx. Tällöin integraalifunktio f ( x) dx on muotoa tx 0 C + tx 5 + C x C 5 t x + A B C D E F

2 . a) Ratkaise yhtälö x + = x + 4. (p.) b) Ratkaise yhtälö cos x =, kun 0 x. (p.) c) Laske 0x dx. (p.) 0

3 . a) Kuvassa on vektorit a, b ja c. Todista piirtämällä, että ( ) a + b = c a. (p.) b) Määritä vakio a siten, että suorat ax + 7x y + 9 = 0 ja x y + 7 = 0 ovat kohtisuorassa toisiaan vasten. (4p.)

4 4. Kuvassa on funktioiden f ( x ) ja g( x) kuvaajat. Ratkaise kohdat a)-f) kuvan perusteella a) Ratkaise yhtälö g( x) = f ( x). b) Ratkaise epäyhtälö f ( x) < g( x). c) Mikä on g '( )? d) Ratkaise yhtälö g '( x ) = 0 e) Ratkaise epäyhtälö f '( x ) > 0 f) Milloin sekä funktio f ( x) on vähenevä että funktio g( x) on kasvava?

5 PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE B-osa. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa ja laskinta saa käyttää apuna. B-osa. Laske tehtävistä B5-B9 enintään kolme tehtävää. 5. Yritys lähettää tuotteitaan asiakkaille suorakulmaisen särmiön muotoisessa laatikossa, jossa sivujen suhteet ovat laatikon sisällä : :. a) Erääseen lähetykseen pakataan kolme suoraa ympyräpohjaista metallilieriötä, joiden korkeus on sama kuin laatikon pisimmän sivun pituus ja pohjan halkaisija on yhtä pitkä kuin laatikon lyhin sivu. Tyhjä tila täytetään styroksilla. Mikä on lieriöiden täyttämän tilan ja laatikon tilavuuksien suhde? Kuinka monta prosenttia laatikon tilavuudesta on styroksia? (4p.) b) Jos laatikon tilavuus on 7 litraa, niin mahtuuko laatikkoon metallipallo, jonka säde on 5,0 cm? (p.). Maapallon väkiluku oli vuoden 07 alussa 7,5 miljardia. Erään väestönkasvun ennusteen mukaan yhtä naista kohti syntyy,5 lasta, jolloin vuotuinen kasvuprosentti pysyy samana. Tämän ennusteen mukaan maapallon väkiluku ylittää vuoden 050 alussa 9, miljardia. a) Muodosta tämän ennusteen mukainen funktio maapallon väkiluvulle. ( p.) b) Mikä on väkiluvun kasvunopeus vuonna 00? (p.) c) Minä vuonna mukaan maapallon väkiluku ylittää 0 miljardia? 7. Olkoon tasakylkisen kolmion kannan pituus a. Tämän kolmion kylkien pituuksien summasta vähennetään kannalle piirretyn korkeusjanan pituus. Määritä kolmion kantakulman suuruus siten, että erotuksen arvo on mahdollisimman pieni. 8. Ympyrä kulkee pisteiden (4,) ja (5,) kautta. Määritä ympyrän yhtälö, kun tiedetään lisäksi, että ympyrä sivuaa suoraa y = x. Tehtävistä 9. ja 9. voit laskea jomman kumman. EI molempia!!! 9. Määritä yhtälön 5x (mod 7) kaikki ratkaisut. x 9. Osoita, että yhtälöllä e = x on tasan yksi juuri. Pelkkä laskimella saatu ratkaisu ei riitä. Ratkaise tämä juuri Newtonin menetelmällä viiden desimaalin tarkkuudella.

6 B-osa. Laske tehtävistä B0-B enintään kolme tehtävää. 0. Kone valmistaa lastulevyjä. Levyjen paksuus noudattaa normaalijakaumaa keskihajonnan ollessa,5 mm. Tuotannosta poimitaan satunnaisesti 0 levyä. Millä todennäköisyydellä ainakin yhden levyn paksuus poikkeaa keskiarvosta enemmän kuin,9 mm?. Jos suorakulmaisella kolmiolla ja neliöllä on sama pinta-ala, kumman piiri on pidempi? Pelkät esimerkit eivät riitä ratkaisuksi.. Olkoon f jatkuva funktio, f : h( x) f ( x) cos x R R. Määritä käyrien g( x) = f ( x) + sin x ja = + rajaaman alueen pinta-ala välillä [ ] 0,..a) Olkoon x + x, kun x < 4 f ( x) = ax +, kun x Määritä vakio a siten, että funktio f on jatkuva kohdassa. Onko funktio f derivoituva kohdassa tällä vakion a arvolla? (p.) b) Määritä päättymättömän lukujonon,,,,,... raja-arvo. 4 5 Mistä n:n arvosta alkaen lukujonon jäsenet poikkeavat tästä raja-arvosta alle 0,00? (p.)

7 Pitkä matematiikka Preliminääri 07 ratkaisut ja pisteytysohjeet. A B C D E F 4 (p/kohta). a) Ratkaise yhtälö x + = x + 4. (p.) b) Ratkaise yhtälö 0x dx cos x =, kun 0 x. (p.) c) Laske. (p.) 0 Ratkaisu: a) Määrittelyehto: x x x + = x + 4 tai x + = (x + 4) x = tai 7 x = ei kuulu määrittelyehtoon Vastaus: x = (oikea vastaus p.) b) cos x = cos x = ± (Ratkaisut väliltä 0 x taulukosta tai yleinen ratkaisu ja siitä saatu vastaus) 5 7 x = tai x = tai x = tai x = (p.) c) x dx = / x = (p.) 0 = = Vastaus: a) x = - b) x = tai x = tai x = tai x = c)

8 . a) Kuvassa on vektorit a, b ja c. Todista piirtämällä, että ( ) a + b = c a. (p.) b) Määritä vakio a siten, että suorat ax + 7x y + 9 = 0 ja x y + 7 = 0 ovat kohtisuorassa toisiaan vasten. (4p.) a) Ratkaisu: (p. per muodostettu vektorin kuva) a + b = c a Joten ( ) b) Suorat ensin ratkaistuun muotoon ax + 7x y + 9 = 0 x y + 7 = 0 y = ax + 7x + 9 y = x + 7 y = (a + 7) x + 9 (a + 7) 9 y = x + Kulmakertoimien tulo oltava - (+p.) (idea p.) (a + 7) =

9 (a + 7) = Vastaus: b) 9a + = 9a = a = a = 9 9 vastaus (4p.) 4. a) Ratkaise yhtälö g( x) = f ( x). b) Ratkaise epäyhtälö f ( x) < g( x). c) Mikä on g '( )? d) Ratkaise yhtälö g '( x ) = 0 e) Ratkaise epäyhtälö f '( x ) > 0 f) Milloin sekä funktio f ( x ) on vähenevä että funktio g( x) on kasvava? Ratkaisut: a) x = tai x = 0,5 b) < x < 0,5 y, 0,9 0, = = = = x 0,9 (,) 0, c) g ( ) (p. vastaus riittää) d) 0, < x < 0, 4 (p. yhtäsuuruus ei saa olla mukana) e) 0, 5 < x < (p. hyväksytään alarajaksi -0,9-0,) f), < x < 0, 4 (p. tasanne otettava huomioon) 5. Yritys lähettää tuotteitaan asiakkaille suorakulmaisen särmiön muotoisessa laatikossa, jossa sivujen suhteet ovat laatikon sisällä : :. a) Erääseen lähetykseen pakataan kolme suoraa ympyräpohjaista metallilieriötä, joiden korkeus on sama kuin laatikon pisimmän sivun pituus ja pohjan halkaisija on yhtä pitkä kuin laatikon lyhin sivu. Tyhjä tila täytetään styroksilla. Mikä on lieriöiden täyttämän tilan ja laatikon tilavuuksien suhde? Kuinka monta prosenttia laatikon tilavuudesta on styroksia? (4p.) b) Jos laatikon tilavuus on 7 litraa, niin mahtuuko laatikkoon metallipallo, jonka säde on 5,0 cm? (p.)

10 Ratkaisu: a) Mallikuva: (ei vaadita) Olkoon metallilieriöin pohjan säde r. Tällöin laatikon sisämitat ovat r, r ja r. Lieriöiden yhteistilavuus: V = r r = r lieriöt Laatikon tilavuus: V = r r r = 44r Suhde: Styroksia on laatikko (yhtenevät tilavuuden merkinnät +p) = = (p. tarkka arvo) r 44r r r 44 44r 44 b) Olkoon sivut nyt x, x ja x. eli x x x = 7l 8x = 7dm Ratkaistaan sivu x 8x = 7dm x 7 = dm 8 00% = 00% =, 40...%, 5% (%,,4% hyväksytään, 4p.) (p. laatikon lyhin sivu oikein) 7 x = dm = 0,98... dm 9,8cm 8 Pallon säde on 5,0cm eli halkaisija on 0cm. Laatikon lyhin sivu on 9,8cm eli pallo ei mahdu laatikkoon. (p.) Vastaus: Pallo ei mahdu laatikkoon.. Maapallon väkiluku oli vuoden 07 alussa 7,5 miljardia. Erään väestönkasvun ennusteen mukaan yhtä naista kohti syntyy,5 lasta, jolloin vuotuinen kasvuprosentti pysyy samana. Tämän ennusteen mukaan maapallon väkiluku ylittää vuoden 050 alussa 9, miljardia. a) Muodosta tämän ennusteen mukainen funktio maapallon väkiluvulle. ( p.) b) Mikä on väkiluvun kasvunopeus vuonna 00? (p.) c) Minä vuonna mukaan maapallon väkiluku ylittää 0 miljardia?

11 Ratkaisu: a) Olkoon k vuotuinen kasvukerroin. Tällöin ,5 k = 9, k = 7,5 9, k 9, (, ,0054) 7,5 = = Siis x vuoden kuluttua vuodesta 07 maapallon väkiluvun arvoa miljardeina kuvaa funktio x f ( x ) = 9, 7,5 (p.) 7,5 ( k:n arvoksi hyväksytään myös likiarvot,005,0054) 9, 9, f '( x ) = 7,5 ln 7,5 7,5 b) x 9, 9, f '(00 07) = f '() = 7, 5 ln = 0, , 05 (miljardia) 7,5 7,5 Siis kasvunopeus on noin ihmistä/vuosi (vastaus derivaatan arvosta p. Vastaus väliltä 5,9 milj 5, milj. hyväksyttävä) c) x 9, 7,5 7,5 = 0 9, 0 = 7,5 7,5 = log x x 9, 0 log 7,5 7,5 0 log 7,5 x = = 44,... 9, log 7, , =0,.. Eli vuonna 0. x Vastaus: a) f ( x ) = 9, 7,5 b) Kasvunopeus on noin ihmistä/vuosi c) Vuonna 0 7,5 7. Olkoon tasakylkisen kolmion kannan pituus a. Tämän kolmion kylkien pituuksien summasta vähennetään kannalle piirretyn korkeusjanan pituus. Määritä kolmion kantakulman suuruus siten, että erotuksen arvo on mahdollisimman pieni.

12 Ratkaisu: Kantakulman määrittelyehto x ]0, [ Nyt a h cos x = ja tan x = y a a Eli y = ja h = a tan x cos x a Tutkittava erotus y h = a tan x = a( tan x) cos x cos x (p.) Erotus on saa pienimmän arvonsa, kun f ( x) = tan x saa pienimmän arvonsa, koska cos x a R + Tutkitaan funktiota f ( x) = tan x välillä ]0, [ cos x Nimittäjän cos x nollakohta x = ei kuulu määrittelyvälille ]0, [ d f '( x) = (cos x tan x) dx = cos x ( sin x) cos x sin x = cos x cos x sin x = cos x (p.) Nollakohdat väliltä x ]0, [ sin x = 0 cos x sin x = 0 sin x = x = Etsitään pienin arvo kulkukaavion perusteella (4p.)

13 Testipisteet f '(0,5) 0, 05 < 0 f '(0, ) 0,90 > 0 (5p.) Kulkukaavion perusteella funktio saa pienimmän arvonsa kun x = eli kysytyn erotuksen ollessa pienin mahdollinen kolmion kantakulma on x =. (p.) Vastaus: Kolmion kantakulma on x =. 8. Ympyrä kulkee pisteiden (4,) ja (5,) kautta. Määritä ympyrän yhtälö, kun tiedetään lisäksi, että ympyrä sivuaa suoraa y = x. Ratkaisu: Janan, jonka päätepisteet ovat(4,) ja (5,), kulmakerroin on k = = Janan keskipiste on M =, =,. Suoran, joka kulkee ympyrän keskipisteen K ja janan keskipisteen M kautta, kulmakerroin on 5 9 k =. Suoran yhtälö on täten y = x y = x. Ympyrän keskipiste on K = ( a, a ). (p.) Ympyrän keskipisteen K etäisyys suorasta x y = 0 on sama kuin K:n etäisyys pisteestä (5,). a ( a ) ( a 5) + ( a ) = (p.) + ( ) 7 a = tai a = (4p.) 9 Jos a =, niin K = (,) ja ympyrän yhtälö on ( x ) ( y ) r = (5 ) + ( ) = 5 ja + = 5 (5p.)

14 Jos a = 7 9, niin 7 49 K =, 9 9 ja r = (5 ) + ( ) = ja ympyrän yhtälö on x + y = (p.) Vastaus: ( x ) ( y ) + = 5 tai x + y = Määritä yhtälön 5x (mod 7) kaikki ratkaisut. Ratkaisu: Yhtälöstä saadaan Diofantoksen yhtälö 5x 7 y =. Etsitään lukujen 5 ja 7 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmin avulla. 5 = = = + = + = syt(5,7)= (p.) Ratkaistaan ensin yhtälö 5x 7y =. = = (8 ) = 8 = (7 8) 8 = = 7 0 (5 7) = (p.) Yhtälön 5x 7y = yksittäisratkaisu on x 0 = 0. (4p.) Yhtälön 5x 7 y = yksittäisratkaisu on x 0 = 0 = 0. (5p.) Yhtälön 5x 7 y = yleinen ratkaisu on Vastaus: x = 0 7 n, n Z 7 x = 0 + n = 0 7 n, n Z (p.) x 9. Osoita, että yhtälöllä e = x on tasan yksi juuri. Pelkkä laskimella saatu ratkaisu ei riitä. Ratkaise tämä juuri Newtonin menetelmällä viiden desimaalin tarkkuudella. x Ratkaisu: Tutkitaan funktiota f ( x) = e + x. x Tällöin f '( x) = e + > 0 kaikilla x:n arvoilla. Näin ollen f(x) on aidosti kasvava, joten sillä on korkeintaan yksi nollakohta. (p.)

15 0 Koska f(x) on jatkuva ja f (0) = e + 0 = < 0 ja f () e, 9 0 = + >, niin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä [ 0, ]. (p.) Täten funktiolla juuri. x f ( x) = e + x on tasan yksi nollakohta ja yhtälöllä e Määrätään tämä nollakohta Newtonin menetelmällä. f ( xn) Lauseke: x = n x + n f '( x ) Olkoon x 0 = 0,5. 0,5 e + 0,5 x = 0,5 = 0, ,5 e + x = 0, x x 4 = 0, = 0, n x = x on tasan yksi (4p.) (lauseke oikein 5p.) x5 = 0, Siis x 0, 75 (vastaus p.) (Jos ei käytetty Newtonin menetelmää, niin 0p.) Vastaus: x 0, Kone valmistaa lastulevyjä. Levyjen paksuus noudattaa normaalijakaumaa keskihajonnan ollessa,5 mm. Tuotannosta poimitaan satunnaisesti 0 levyä. Millä todennäköisyydellä ainakin yhden levyn paksuus poikkeaa keskiarvosta enemmän kuin,9 mm? Ratkaisu: ( ) 0,9,9,9 P < z < ( on p. ja p. koko lause oikein),5,5,5 0 = Φ(,...) ( Φ(,...)) (4p.) = + 0 (0,8974 0,8974) 0,90 (p.) Vastaus: Todennäköisyydellä 0,90 (Jos käytetty 0,8974 asemesta arvoa 0,89 ja saatu 0,9 -p.). Jos suorakulmaisella kolmiolla ja neliöllä on sama pinta-ala, kumman piiri on pidempi? Pelkät esimerkit eivät riitä. Ratkaisu: Olkoon tasakylkisen suorakulmaisen kolmion kateetit a ja b ja hypotenuusa c. Tällöin c = a + b c = a + b. Olkoon neliön sivu s. Nyt jos kolmion ja neliön pinta-ala on sama, niin ab s = ab s =. (p.)

16 Kolmion piiri: p = a + b + c = a + b + a + b (p.) k ab Neliön piiri: pn = 4s = 4 = ab (4p.) Tarkastellaan piirien erotusta: pk pn = a + b + a + b ab > a + b ab > a = ( a b) 0 Siis pk pn > 0 eli pk > pn. Täten kolmion piiri on pidempi. (p.) Vastaus: Kolmion piiri on pidempi.. Olkoon f jatkuva funktio, f : h( x) f ( x) cos x R R. Määritä käyrien g( x) = f ( x) + sin x ja = + rajaaman alueen pinta-ala välillä [ ] 0,. Ratkaisu: Tutkitaan ensin, onko käyrillä leikkauspistettä välillä [ 0, ]. (Jos ei tutkittu, niin 0 p.) g(x) = h(x) f ( x) + sin x = f ( x) + cos x sin x = cos x tan x = tan x = x = + n, n Z Välillä [ 0, ] x = (p.) (5p.) A = (( f ( x) + cos x) ( f ( x) + sin x)) dx + (( f ( x) + sin x) ( f ( x) + cos x)) dx 0 (p.) = (cos x sin x) dx + ( sin x cos x) dx 0 (4p.) = /(sin x + cos x) + /( cos x sin x) (5p.) 0 = 4 (p.) Vastaus: Pinta-ala on 4.

17 .a) Olkoon x + x, kun x < 4 f ( x) = ax +, kun x Määritä vakio a siten, että funktio f on jatkuva kohdassa. Onko funktio f derivoituva kohdassa tällä a:n arvolla? (p.) b) Määritä päättymättömän lukujonon,,,,,... raja-arvo. 4 5 Mistä n:n arvosta alkaen lukujonon jäsenet poikkeavat tästä raja-arvosta alle 0,00? (p.) Ratkaisu: a) Tutkitaan, millä a:n arvolla funktio on jatkuva kohdassa. Funktio on jatkuva, kun raja-arvo on sama kuin funktion arvo kohdassa. lim( x + x ) = lim( ax + ) = f () + x 4 x + = a + a = (raja-arvo oltava, p.) 4 4 Tutkitaan, onko funktio derivoituva kohdassa, kun a =. 4 ( x + x ) ( + ) 4 4 x + x lim = lim = lim( x + ) = x x x x x ( x + ) ( + ) 4 4 x 4 4 lim = lim = lim = x + x x + x x Koska toispuoleiset raja-arvot ovat erisuuret, niin funktio ei ole derivoituva kohdassa. (p.) (p.) n b) Lukujonon yleinen jäsen on an =. n ( n n 0 Jonon raja-arvo on n an = = =, kun n. n Tutkitaan, mistä n:n arvosta alkaen lukujonon jäsenet poikkeavat tästä raja-arvosta alle 0,00. Poikkeama: an < 0, 00 a n n n n n n n ( n n = = = =. Nyt siis 0,00 n <. (p.) Ratkaistaan epäyhtälö: < 0,00 n > 000. Täten n:n arvosta 00 alkaen poikkeama on n pienempi kuin 0,00. (vastaus oikein p.)

18 Vastaus: a) a = ja funktio ei ole derivoituva kohdassa. 4 b) Raja-arvo on ja n:n arvosta 00 alkaen poikkeama on pienempi kuin 0,00.