4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6, ,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) , ,4
|
|
- Miina Uotila
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 4 Kertausosa. a) (, ) ja (, 7) d 7 5 ( 4) 4 6, ,4 b) ( 5, 8) ja (, 0) d 0 ( 8) ( 5) , ,4. Koulun koordinaatit ovat (0, 0). Kodin koordinaatit ovat (,0;,0). Kodin ja koulun etäisyys d,0 0,0 0,0 (,0) 5, 6..., (km) Vastaus:, km 89
2 . Lasketaan pisteen ( 4, 8) etäisyys ympyrän keskipisteestä (0, 0). Ympyrän säde on 9. Jos piste on ympyrän ulkopuolella (eli etäisyys > 9), tangentti voidaan piirtää. d , Koska etäisyys d < 9, piste on ympyrän sisällä, joten tangenttia ei voida piirtää. 4. y k Piste (, ) on käyrällä, kun sen koordinaatit toteuttavat käyrän yhtälön. k ( ) k k 5. a) f ( 4) ( 4) 649 b) ( 4) f ( 4) ( 4) a) s (4,0) 4,905 4,0 78,48 78 (m) b) st ( ) 00 4,905t 00 :4,905 t 44, t 44, ,64... Koska aika on positiivinen t 5,64 6 (s) 90
3 7. Piirretään mallikuva. Merkitään aidattuja sivuja kirjaimilla, ja y. Aitaa on 50 m, joten talli y 50 y 50 y Pinta-alaa kuvaa lauseke y (50 ) 50 Vastaus: Ulkoilualueen pinta-ala A( ) a) f ( 0) b) f ( 4) 6 9
4 9. a) f ( ) 8 5 b) f ( ) 0 0. a) k 0 b) k 5 4 ( ) 8 6. a) Koska kulmakerroin k 0, suora on nouseva. b) Kirjoitetaan suoran yhtälö ratkaistussa muodossa. 5 y 0 y 5 ( ) y 5 Koska kulmakerroin k 5 0, on suora laskeva. 9
5 . Kirjoitetaan yhtälö ratkaistussa muodossa. y 6 0 y 6 a) -akselin leikkauspisteessä y = 0. Leikkauspiste on (6, 0). : y 0 ( ) 6 b) Suoran yhtälön ratkaistusta muodosta nähdään, että y-akselin leikkauspiste on (0, ).. Suora l kulkee pisteiden (, ) ja (0, ) kautta. Suoran kulmakerroin on k 0 ( ) 5 Kirjoitetaan toisen suoran yhtälö ratkaistussa muodossa. Suoran kulmakerroin on y 0 y k. Koska 5 <, suora l on jyrkempi. 5 9
6 4. a) t = 40,0 C pk pk W W 0,06t 4,705 0,0640,0 4,705,65,7 b) pk W,8 0,06t 4,705,8 0,06t 0,905 :( 0,6) t 4,40... t 4,4 ( C) Vastaus: a),7 b) 4,4 C 5. Lasketaan suoran kulmakerroin. k 5 0 Valitaan ( 0, y 0 ) = (0, 5). Suoran yhtälö on y 5 0 y 5 94
7 b) Lasketaan kulmakerroin. k ( 9) 0 ( 6) 8 6 Valitaan ( 0, y 0 ) = ( 6, 9). Suoran yhtälö on y ( 9) ( 6) y9 y 6 6. Suoran kulkee pisteiden (, 5) ja (, 8) kautta. Kulmakerroin on k 8 5 ( ) 4 Pisteiden (a +, 4) ja (, 5) avulla määritetty kulmakerroin on 4 5 a ( ) a a Jotta kaikki kolme pistettä olisivat samalla suoralla, kulmakertoimien on oltava samat. 4 a (a ) 4 6a 64 6a 0 :6 0 5 a 6 95
8 7. Kulmakerroin on muotoa k a 4 0 a a 4 a 4 Koska kulmakerroin on -4, saadaan yhtälö a 4 4 ( a ) 0 a a 4 4( a ) a 4 4a 4 6a 8 :6 a Suoran yhtälö on y 0 4( 4) y y Kuukausipalkka riippuu laskinten määrästä, joten = laskinten määrä (kpl) y = kuukausipalkka ( ) Suora kulkee pisteiden (70, 70) ja (90, 670) kautta. Suoran kulmakerroin on k Valitaan ( 0, y 0 ) = (70, 70). Suoran yhtälö on y 70 5( 70) y y
9 a) Sijoitetaan = 0 y ( ) b) Jos palkka on 500, niin y = ,... Laskimia on siis myytävä noin 45 kpl c) Jos laskimia ei myydä yhtään, = 0. Palkka on ( ) Vastaus: a) 0 b) 45 kpl c) 0 9. Merkitään = kävijöiden määrä (kpl) y = lipun hinta ( ) Suora kulkee pisteiden (40, 0) ja (40 40, 0 + ) = (80, ) kautta. Suoran kulmakerroin 0 k Valitaan ( 0, y 0 ) = (40, 0). Suoran yhtälö on y 0 y 0 y
10 Sijoitetaan yhtälöön = 500. y ( ) 0. a) Piirretään suorat y 7 ja 9 y 80 9 y 8 :( 9) y g ( ) = = = f ( ) 0 Kuvasta voidaan arvioida leikkauspisteeksi (, ). b) Leikkauspisteessä suorien y koordinaatit ovat samat, joten saadaan :5 98
11 Leikkauspisteen y- koordinaatti on y ( ) 7 Leikkauspiste on siis (, ).. Kirjoitetaan suorien yhtälöt ensin ratkaistussa muodossa. y y y : y y :( ) y Lasketaan suorien leikkauspisteen -koordinaatti :( 7) Leikkauspisteen y-koordinaatti on 5 y. 7 7 Leikkauspiste on 4 5,
12 Piirretään suorat samaan koordinaatistoon. y y
13 . Piirretään ensin suorat samaan koordinaatistoon. Lasketaan kolmion kärkipisteet. Piste A A -, :4 Piste B B, 8 5 :( ) 5 Piste C :6 0
14 C, 7 y Kertausosa Kolmion kanta on sivu AB. Kannan pituus on. Korkeus h saadaan huipun y-koordinaatin avulla. h Kolmion ala 4 A 6. Vastaus: Ala on 6.. Myyntitulot = hinta määrä Piirakoita myydään kappaletta,85 hintaan, joten myyntituloja kuvaa suora y,85 ( 0) Kokonaiskustannukset = kiinteät kustannukset + muuttuvat kustannukset Kiinteät kustannukset ovat 500,00. Kun piirakoita valmistetaan kappaletta, valmistuskustannukset ovat, 00. Kokonaiskustannuksia kuvaa suora y 500, 00 Lasketaan ensin, milloin kustannukset ja myyntitulot ovat yhtä suuret.,85 0,85 500,00 500,00 588,... :0,85 Kun piirakoita myydään 590 kappaletta, liiketoiminta on kannattavaa. 0
15 4. a) Suorat ovat yhdensuuntaisia, kun kulmakertoimet ovat samat. 4c 6 :4 6 c 4 b) Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun kulmakertoimien tulo on. 64c 4c c 4 :4 5. Määritetään ensi suoran 6y kulmakerroin. 6 y 6 y y :( 6) Suoran kulmakerroin k. a) Suora t on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa, kun suorien kulmakertoimet ovat samat eli yhtälö on k t. Lisäksi suora t kulkee pisteen (7, ) kautta, joten suoran y 7 7 y y 9 0
16 b) Suoran y 0, 0 kulmakerroin on 0,. Suora t on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan, joten 0,k k 0 ( 0) Suoran t yhtälö on y 0 7 y 0 70 y Kaupunkien A ja B kautta kulkevaa laivaväylää kuvaavan suoran kulmakerroin on 0 0 k 80 0 k,5 Laivaväylää kuvaavan suoran yhtälö on y 0,5 y,5 0 Majakan kautta kulkevan suoran normaalin kulmakerroin on,5k k,5 k :,5 04
17 Suoran normaalin yhtälö on y 60 0 y 60 0 y 80 Suoran ja sen normaalin leikkauspisteen -koordinaatti on:, : 480 6,9... ) ) Leikkauspisteen y-koordinaatti on y 480,5 55,84... Leikkauspisteen (6,9 ; 55,84 ) ja majakan (0, 60) etäisyys toisistaan on d d d d 60 55, , ,0... 8,0... (km) 8(km) Vastaus: Etäisyys on noin 8 km. 05
18 7. Tutkitaan sairastuneiden määrän kehittymistä taulukon avulla. Tautiin Vuorokaudet sairastui vuorokauden kuluttua tautiin sairastui f 7 ( ) henkilöä. 7 Viikon kuluttua tautiin sairastui f (7) henkilöä. 8. % massasta muuttuu aldehydiksi eli massasta jää jäljelle 97 %. Tunnin kuluttua alkoholia on 0,97,4 kg. Kahden tunnin kuluttua alkoholia on 0,97,4 kg. Alkoholin määrää tunnin kuluttua kuvaa funktio f ( ) 0,97,4 ( kg). a) Kolmen tunnin kuluttua alkoholin massa on f () 0,97,4,957...,96 (kg). b) Kymmenen tunnin kuluttua massa on f (0) 0,97 0,4,89...,9 (kg) c) Viikossa on tunteja 7 4 h 68h. Viikon kuluttua massa on f (68) 0,97 8,4 0, (kg) 0,094 (kg) 9,4 g 9,4 g Vastaus: a),96 kg b),9 kg c) 9,4 g 06
19 9. Eliön massa alussa on,50 kg. Massa nelinkertaistuu tunnissa. Massaa kuvaa funktio f ( ) 4, 50 (kg), missä on aika tunteina a) Massa vuorokauden kuluttua on 4,50 kg 7, kg 7,04 0 kg b) Massa 0 tuntia sitten oli 4 0,50 kg, kg 0, kg 0, g,84 mg,8 mg Vastaus: a) 7, kg b),8 mg 0. a) 0 lg0 lg lg0 lg : lg0 0 :,5 07
20 b) 0 6 : 0 lg0 lg lg0 lg :lg0 lg lg0 : lg 0, ,6 lg0 c) 7 40 lg7 lg 40 lg7 lg 40 : lg7 lg 40,995...,0 lg7. a) t 0,95 0, lg0,95 t lg0, t lg 0,95 lg 0, : lg 0,95 lg 0, t 8, lg 0,95 08
21 b) lg6 6 lg lg6 lg : lg6 lg lg6 lg : lg6 lg lg6,9..., c) : 4 5 lg 4 lg5 lg 4 lg5 : lg 4 lg5,609..., lg 4 09
22 . a) :5 4 5 lg 4 lg 5 lg4lg :lg4 5 lg 5 4 lg 5 0, ,4 4 b) lg lg lg0 :lg 0 0
23 . Yhtälön 0 5 ratkaisu a) haarukoimalla Testiarvo Toteutuuko yhtälö? Johtopäätös 0 = > 0 = < = 0,5 0 0, 5, > 0,5 0,7 = 0,7 0 5, < 0,7 = 0,6 0 0, 6, > 0,6 = 0,65 0 0, 65 4, > 0,65 0,67 = 0,67 0 4, > 0,67 = 0,69 0 0, 69 4, > 0,69 0,695 = 0, , > 0,695 Koska > 0,697 ja < 0,7, niin kahden merkitsevän numeron tarkkuudella 0,70. b) logaritmia käyttäen Logaritmin määritelmän mukaan lg5 0, ,70
24 4. Ilmanpaineen riippuvuutta merenpinnan tasosta mitatusta korkeudesta kuvaa funktio p( ) 04 0, 864 (mbar). 5 a) p (5) 04 0,864 6, (mbar) b) p ( ) 7,9(mbar) 04 0,864 0,864 lg 0,864 7,9 0, lg 0, lg 0,864 lg 0, lg 0, lg 0,864,9... (km) :04 :lg 0,864 Vastaus: a) 0 mbar b) km 5. Bakteerien massaa tunnin kuluttua kuvaa funktio f( ),4 8 (g). a),4 f ( ),0,4 lg,4 8,0 0,... lg 0,... lg,4 lg 0,... lg 0,... lg,4 :lg,4 6,5... 6,5 :8 Massa oli,0 g noin 6,5 h sitten.
25 b),4 f ( ),4 lg,4 8,7... lg,7... lg,4 lg,7... lg,7... lg,4,65...,6 :lg,4 :8 Massa on g noin,6 h kuluttua. Vastaus: a) 6,5 h sitten b),6 h kuluttua 6. Talletus kaksinkertaistui vuodessa. 58, :58, 008 lg,008 lg lg,008 lg :lg,008 lg lg,008 86, Talletus kaksinkertaistui vuoden alkuun mennessä.
26 Talletus nelinkertaistui y vuodessa. y 58, :58 y, y lg,008 lg 4 y lg,008 lg 4 :lg,008 lg 4 y lg,008 y 7, Talletus nelinkertaistui vuoden alkuun mennessä. Vuoteen 00 mennessä talletus oli ollut tilillä vuotta. Talletuksen suuruus oli frangeina 0 58,008 64, (frangia) Vastaus: -kertauistui 786 alkuun mennessä, 4-kertaistui 87 alkuun mennessä, 00 alussa 64 frangia 7. a) ,78...,78 b) s s s s 0, , , ,9 4
27 8. a) : ,974...,0 b) 6 t t 4 6 t 7 : t 6 t,5 6,5 t,... t, 9. T I T 4 4 I T T I 4 4 I : Koska T > 0, niin T 4 I 5
28 40. Merkitään kuukausittaista muutoskerrointa kirjaimella k. Aikaväli on yhdeksän kuukautta.,0 k k 9 9 5,00,6... k Kuukausittainen arvonnousu on 9,6... k, :,0, ,040...,4%. Vastaus:,4 % 4. A( r ) r,744 a) A (8,0) 8,0 87, ,744 b),744 A( r ) 5 r r r 5 96,04 96,04 r 4, r 4,58 (fm),744 Vastaus: a) 88 b) 4,58 fm 6
29 4. Merkitään muutoskerrointa kirjaimella k. Pallon korkeus alussa on 50 cm. Seitsemän pompun jälkeen korkeus on 5 cm eli 50 k k ,66... k 7 0,66... k 0, :50 Joka kerta pallon korkeus tulee siis 0,774 -kertaiseksi eli on noin 77 % edellisestä korkeudesta. Vastaus: p = Merkitään vuotuista korkokerrointa kirjaimella k. Talletus alussa on 50. Viiden vuoden kuluttua tilillä on rahaa k k ,048 k 5,048 k, :50 Merkitään kysyttyä vuosien määrää kirjaimella n. Tilillä on rahaa 800, kun n 50, :50 n,079...,44 n lg, lg,44 n lg, lg,44 :lg, lg,44 n lg, n 9, Vastaus: 0 vuoden kuluttua 7
30 44. Lämpötila nousi,5 % 5 vuoden aikana. Jos lämpötila tarkastelun alussa on t, niin 00 vuoden kuluttua se on 4,05 t,06... t Lämpötila siis nousee,06 = 0,06 6, %. Vastaus: 6, % 45. a) Merkitään kilometrikohtaista energian muutoskerrointa kirjaimella k. Olkoon energian määrä alussa on a. Kun energiahäviö on 8,0 % 5 km aikana, niin energiaa on jäljellä silloin 0,9 a. 5 ak 0,9 a : a 0 5 k 0,9 k 5 0,9 k 0, Kilometriä kohti energiaa häviää 0, , ,55% b) Merkitään kilometrien määrää kirjaimella. Energiahäviö on 4 % eli energiasta on jäljellä 0,86 a, kun a0, ,86 a : a 0 0, ,86 lg 0, lg 0,86 lg 0, lg 0,86 :lg 0, lg 0,86 lg 0, ,... 7 (km) Vastaus: a) 0,55 % b) 7 km 8
31 46. Merkitään natriumin määrää alussa kirjaimella a ja tuntikohtaista muutoskerrointa kirjaimella k. Natrium 4-isotoopin puoliintumisaika on 5 h, jolloin aineen määrä on 0,5 a. a k k 5 5 0,5a 0,5 k 5 0,5 k 0, : a 0 Merkitään kysyttyä aikaa kirjaimella t. Natriumista hajoaa 95 % eli ainetta on jäljellä 5 %, kun t a0, ,05 a : a 0 t 0, ,05 t lg 0, lg 0,05 t lg 0, lg 0,05 :lg 0, lg 0,05 t lg 0, t 64, (h) Vastaus: 65 h 9
32 Harjoituskokeet. Harjoituskoe. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) k Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) k ( ) 0 Suoran yhtälö on y. Suora u: (, y ) = (0, 0) (, y ) = (, ) k 0 0 Suoran yhtälö on y. b) Lasketaan suorien t ja u leikkauspisteen B koordinaatit. Leikkauspisteessä y -koordinaatit ovat yhtä suuret eli : 0
33 Harjoituskokeet Koska y, niin leikkauspisteen y-koordinaatti Suorien leikkauspiste on siis,. y. c) Piste B =, Lasketaan lisäksi suorien s ja u leikkauspiste A. ( ) Koska y, niin y. Piste A = (, ) Janan AB pituus on d d ( ),99...,. a) 4,5,, lg, 5,,8 lg,8 lg, lg,8 lg,8 lg, 0, ,9 :4,5 :lg,
34 Harjoituskokeet b) : , , , ,90. Suora kulkee pisteen (, ) kautta, joten koordinaatit totuttavat suoran yhtälön eli sijoitetaan = ja y = suoran yhtälöön c ( ) c c c 5c c Suoran yhtälö on siis :5 y y ( ) 5 5 y Suorat y ja y ovat kohtisuorassa, jos niiden kulmakertoimien 5 5 tulo on. Kulmakertoimien tulo on 5 5 Suorat ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan.
35 Harjoituskokeet 4. a) Kuukausittain kiinteinä kuluina laskutetaan,5,60,95. Kolmen kuukauden aikana kiinteitä kuluja on siis,95 8,85. Jos sähkön kulutus kuukauden aikana on kwh, niin tällöin kiinteiden kulujen lisäksi laskutetaan 4,45,9 7,8 (snt) Tämä määrä euroina on 0,078 ( ) Kolmen kuukauden aikana sähkömaksuja yhteensä kuvaa siis funktio f ( ) 0,078 8,85. b) Jos sähkönkulutus on = 80 kwh, niin f (80) 0, ,85,4,( ) Vastaus: a) f ( ) 0,078 8,85 b), 5. a) Myrkyn määrä alussa on 9 g. Myrkyn määrä vähenee 8, % eli tulee 0,98- kertaiseksi tunnissa. Myrkkyä on jäljellä 4 h kuluttua 9 0,98 4 g,47 g,4 g
36 Harjoituskokeet b) Lasketaan milloin myrkkyä on jäljellä puolet alkuperäisestä määrästä eli 9g: 9,5g. 90,98 0,98 lg 0,98 9,5 0,5 lg 0,5 lg 0,98 lg 0,5 lg 0,5 lg 0,98 8,0... 8, (h) :9 :lg 0,98 Vastaus: a),4 g b) 8, h 6. Merkitään päästöjen määrää kirjaimella a ja kysyttyä vuosien määrää kirjaimella. Päästöt vähenevät 5 % vuosittain eli 0,85- kertaistuvat. a) Lopputilanteessa päästöt ovat neljäsosa alkuperäisestä eli 0,5a, kun a0,85 0,5 a : a 0 0,85 0,5 lg 0,85 lg 0,5 lg 0,85 lg 0,5 :lg 0,85 lg 0,5 lg 0,85 8, ,5 (vuotta) 4
37 Harjoituskokeet b) Merkitään vuotuista muutoskerrointa kirjaimella k. Päästöjen määrä pitäisi vähentyä määrään 0,5 a kolmessa vuodessa, joten a k k 0,5a 0,5 k : a ( 0) 0,5 0, Vuotuisen vähennyksen pitää siis olla 0,699 = 0,700 7 %. Vastaus: a) 8,5 a b) 7 % 5
38 Harjoituskokeet. Harjoituskoe. f ( ) y-akselin leikkauskohta on f (0) akselin leikkauskohdaksi eli nollakohdaksi saadaan 7 0 7,5 : Vastaus: Akselien leikkauspisteet ovat (0, 7) ja (,5; 0). a) 6 8 :
39 Harjoituskokeet b) 5 lg5 5 lg5 lg5 lg5 lg5 lg5 :lg5. a) Kirjoitetaan suoran yhtälö ratkaistussa muodossa. y 5 80 y 5 8 Suoran kulmakerroin on siis 5. Kysytty suora on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa, joten senkin kulmakerroin on 5. Suora kulkee lisäksi pisteen (, ) kautta, joten sen yhtälöksi saadaan y ( ) 5( ) y 5 0 y 5 7 b) Suora kulkee pisteiden (, 0) ja (, ) kautta, joten kulmakerroin on Suoran yhtälöksi saadaan 0 k ( ) y 0 ( ( ) y ( ) y 7
40 Harjoituskokeet 4. Suora : y 5 Suora : 4 y 60 y 4 6 : y 8 Leikkauspisteessä y -koordinaatit ovat yhtä suuret eli 5 8 : Koska y 5, niin leikkauspisteen y-koordinaatti on y 5 6. Leikkauspiste on siis (, 6). Piste (, 6) kuuluu suoralle y 8, jos sen koordinaatit totuttavat suoran yhtälön. Sijoitetaan = ja y = 6 suoran y 8 yhtälöön Epätosi Piste (, 6) ei ole suoralla. Vastaus: (, 6), piste ie kuulu suoralle y 8 8
41 Harjoituskokeet 5. Merkitään viikoittaista korkokerrointa kirjaimella k. Lainan määrä alussa 00,00. Laina-aika on kolme viikkoa, jonka jälkeen velka on 08,00. Saadaan yhtälö k 00,00 08,00 k,08 k, :00,00 Korkoprosentti on,059-0,059,6% Vastaus:,6 % 6. Merkitään teeren sijaintia koordinaatistossa kirjaimella C. Piste on suorien y ja y 50 leikkauspiste. Leikkauspisteessä y-koordinaatit ovat yhtä suuret :5 Leikkauspisteen y-koordinaatti on y 0 0 Teeri sijaitsee pisteessä C =(0, 0). Tutkijan A etäisyys teerestä on d A ,6... 9
42 Harjoituskokeet Tutkijan B etäisyys teerestä on d A ,88... d A Vastaus: Tutkija B on lähempänä. 7. a) Merkitään vuotuista muutoskerrointa kirjaimella k. Vuonna 998 oppilaita oli 9 ja kuuden vuoden jälkeen eli vuonna 004 oppilaita oli k k ,... k 6,... k,05... :9 Muutoskerroin positiivinen, joten k,05... Jos muutoskerroin säilyy samana, niin vuonna 00 eli 6 vuoden kuluttua vuodesta 004 oppilaita on 55, , (oppilasta) b) Jos muutoskerroin säilyy samana, niin vuonna 990 eli 4 vuotta ennen vuotta 004 oppilaita oli 4 55, , (oppilasta) 0
43 Harjoituskokeet c) Merkitään vuodesta 004 kuluneiden vuosien määrää kirjaimella n. Oppilasmäärä on 000, kun 55,05...,05... lg,05... n n n 000,86... :55 lg,86... n lg,05... lg,86... :lg,05 lg,86... n lg,05... n, , ,7... Oppilasmäärä ylittää 000 oppilaan rajan vuonna 07. Vastaus: a) 40 b) 7 c) Merkitään valon määrää pinnalla kirjaimella a ja muutoskerrointa kymmentä senttimetriä kohden kirjaimella k. Valon määrä 0 cm syvyydessä on 0,97 a. k a 0,97a k 0,97 k 0,97 k 0, : a Valon määrä tulee siis 0,9898 -kertaiseksi aina 0 cm matkalla.
44 Harjoituskokeet Olkoon kysytty syvyys a, kun 0 cm. Valon määrä on vähentynyt puoleen eli se on 0,5 0, a 0,5 a : a 0 0, ,5 lg 0, lg 0,5 lg 0, lg 0,5 :lg 0, lg 0,5 68,69... lg 0, Syvyys on 68, cm 68,69 cm 6,8 m Vastaus: 6,8 m
45 Harjoituskokeet. Harjoituskoe. a) Suora s kulkee origon kautta, joten se leikkaa y-akselin kohdassa y = 0. Lisäksi sen kulmakerroin on, joten suoran s yhtälö on y. Suoran t kulmakerroin on 5 ( ) k. 0 Suoran t yhtälö on y ( 5) 0 y 5 y 5 b) Leikkauspisteessä y-koordinaatit ovat yhtä suuret :5 Leikkauspisteen y-koordinaatti on y Leikkauspiste on siis (, ). c) Suoran, joka on yhdensuuntainen suoran s kanssa, kulmakerroin on. Koska lisäksi suora kulkee pisteen (0, ) kautta, suoran yhtälö on y 0 y y
46 Harjoituskokeet. Kylä A sijaitsee pisteessä (,5; 0). Kylä B sijaitsee pisteessä (,5; 7). Pisteiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin on 0 ( 7),5 (,5) 7 4 4,5. Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran yhtälöksi saadaan y 0 4,5,5 y 0 4,5 6,75 y 4,5,65 Kylä C sijaitsee pisteessä (0, 5). Kylä D sijaitsee pisteessä (0, ). Pisteet sijaitsevat y-akselilla, joten pisteiden kautta kulkevan suoran yhtälö on = 0. Lasketaan risteyksen koordinaatit sijoittamalla = 0 yhtälöön y 4,5, 65. y 4,5 0,65,65 Kirkonkylä sijaitsee origossa eli pisteessä (0, 0). Teiden risteys on pisteessä (0;,65) eli,65 km,6km kirkonkylästä pohjoiseen. Vastaus:,6 km kirkonkylästä pohjoiseen. Suoran yhtälö ratkaistussa muodossa on y 4 0 y 4 : y 4
47 Harjoituskokeet Merkitään suoran normaalin kulmakerrointa kirjaimella k. Kohtisuoruusehdosta johtuen, kulmakertoimien tulon pitää olla. k k Koska lisäksi normaali kulkee pisteen (, ) kautta, normaalin yhtälöksi saadaan y ( ) y y Lasketaan ensin normaalin ja suoran leikkauspiste. 5 Leikkauspisteen y-koordinaatiksi saadaan Leikkauspiste on siis y , 5 5. Leikkauspisteen etäisyys pisteestä (, ) on d d 4 5 5,8,4...,4 Vastaus:,4 5
48 Harjoituskokeet 4. a) 6 0 lg6 lg0 lg6 lg0 :lg6 lg0 lg6,85..., 9 b) , ,47 c) 4 : 4 lg 4 lg lg4 lg :lg4 lg lg4 0, ,46 6
49 Harjoituskokeet 5. Väkiluku alussa on Merkitään vuotuista muutoskerrointa kirjaimella k. Viiden vuoden jälkeen väkiluku saa olla enintään k :0500 k 5,69... k 5,69... k,0... Vuotuinen kasvuprosentti on,0... 0, % Vastaus: 0 % 6. Merkitään pääomaa alussa kirjaimella a ja kysyttyä vuosien määrää kirjaimella. Vuotuinen arvonnousu on 5 %, joten pääoma,5-kertaistuu vuosittain.,5 a 5a : a,5 5 lg,5 lg 5 lg,5 lg 5 lg 5 lg,5,55... : lg,5 Vastaus: vuodessa 7
50 Harjoituskokeet 7. Testiarvo Toteuttaako yhtälön Johtopäätös > 8 <,5,5, 75 <,5,,,97 <,,,,78 >,,5,5,95 >,5,6,6,000 <,6,55,55,97... >,55 Koska,55 < <,6 on vastaus kahden desimaalin tarkkuudella, 6. 8
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
Lisätiedot( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y
Lisätiedot3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
Lisätiedot2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö
2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a
Lisätiedot1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)
. Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
Lisätiedotorigo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
Lisätiedot1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotHuippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
Lisätiedot30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.
RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
Lisätiedot2 arvo muuttujan arvolla
Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotLukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]
Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
LisätiedotLUKUVUODEN E-KURSSI MAB3
1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI MAB3 Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB3 Matemaattisia malleja I Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi (MAB3-kurssin työtila on nähtävillä
Lisätiedotx = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotMb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4
Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
LisätiedotMAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotPitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedot5 Kertaus: Matemaattisia malleja
5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin
Lisätiedotmatematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotKuntosaliharjoittelun kesto tunteina Kokonaishyöty Rajahyöty 0 0 5 1 5 10 2 15 8 3 23 6 4 29 4 5 33 -
Harjoitukset 1 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. Oheisessa taulukossa on esitettynä kuluttajan saama hyöty kuntosaliharjoittelun kestosta riippuen. a) Laske taulukon tyhjään
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
LisätiedotHuippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotPyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x
Lisätiedot3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.
KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden
Lisätiedoton hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis
Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa
LisätiedotHuippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
3 FUNKTIOITA ALOITA PERUSTEISTA 10A. Suoran yhtälössä y = kx + b kulmakerroin on k ja vakiotermi b. Kulmakerroin k ilmoittaa, kuinka monta yksikköä liikutaan y-akselin suunnassa, kun kuljetaan yksi yksikkö
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
LisätiedotMetallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet?
1 Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? Tapa 1 Merkitään toista osaa x:llä, toista y:llä ja piirretään asiaa
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja funktioita
Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotMAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
Lisätiedotmäärittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
Lisätiedotmonissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.
.. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
Lisätiedot203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotPotenssiyhtälö ja yleinen juuri
Potenssiyhtälö ja yleinen juuri 253. Tutki sijoittamalla, mitkä luvuista ovat yhtälön ratkaisuja. a) x 2 = 1 b) x 3 = 8 x = 2 x = 1 x = 1 x = 2 x 2 = 1 x = 1 ja x = 1, koska 1 2 = 1 ja ( 1) 2 = 1 x 3 =
LisätiedotOSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO
OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka
LisätiedotVastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Lisätiedot