3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ
|
|
- Paavo Hänninen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Säännön mukaan äänenvoimakkuus kaksinkertaistuu, kun äänilähteiden määrä 10-kertaistuu. Saksofonisteja tarvitaan 1 10 = 10. Vastaus: 10 saksofonistia 2. Nelinkertainen äänenvoimakkuus voidaan laskea 4 = 2 2, joten kaiutinten määrä tulee = 100-kertaistaa. Kaiuttimia tarvitaan = 100. Vastaus: 100 kaiutinta
2 3.1 Eksponenttiyhtälö ja logaritmi ALOITA PERUSTEISTA 301. A Potenssin potenssin laskusäännön mukaan 5 vastaa vaihtoehto II , eli sitä B Samankantaisten potenssien tulon laskusäännön mukaan = = 3 9, eli sitä vastaa vaihtoehto I. C Tulon potenssin laskusäännön mukaan (3 4) 5 = , eli sitä vastaa vaihtoehto IV. D Osamäärän potenssin laskusäännön mukaan vaihtoehto V , eli sitä vastaa E Samankantaisten potenssien osamäärän laskusäännön mukaan , eli sitä vastaa vaihtoehto III. 4 3 Vastaus: A: II, B: I, C: IV, D: V ja E: III 302. a) log 2 9 = 3, ,2 b) log 8 0,5 = 0, ,3 c) 20 lg 0, ,3 9 d) ln = 12, ,5
3 a) b) c) d) ( 3) a) Koska yhtälön molempien puolien kantaluvut ovat yhtä suuret, voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi. 6 Vastaus: = 6 b) Koska yhtälön molempien puolien kantaluvut ovat yhtä suuret, voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi :( 5) 3 Vastaus: = 3 c) 4 16 Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 4 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 2
4 d) 5 1 Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 5 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 0 e) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 2 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: =3
5 305. a) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 6 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 6 b) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 9 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 5 c) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 11 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 4
6 3 d) Kirjoitetaan yhtälön vasen puoli luvun 8 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 12 e) Kirjoitetaan yhtälön oikeapuoli luvun 13 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = A Yhtälön 6 = 38 ratkaisu on = log 6 38 eli vaihtoehto II. B Yhtälön 38 = 6 ratkaisu on = log 38 6 eli vaihtoehto I. C Yhtälön e = 38 ratkaisu on = log e 38 = ln 38 eli vaihtoehto IV. D Yhtälön 10 = 38 ratkaisu on = log = lg 38 eli vaihtoehto III. Vastaus: A: II, B: I, C: IV ja D: III
7 307. a) 13 = 26 = log = 1, ,3 Vastaus: 1,3 b) 4 = = log = 10, ,6 Vastaus: 10,6 c) 10 = 154 = lg 154 = 2, ,2 Vastaus: 2,2 d) 9 = 81 Termi 9 ei annan negatiivista tulosta millään eksponentilla, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: ei ratkaisua
8 308. Farkut maksavat nyt 90. Hinta kasvaa vuosittain 1,4 %, joten hinta muuttuu vuosittain 100 % + 1,4 % = 101,4 % = 1,014-kertaiseksi. a) Aika (vuotta) Hinta ( ) ,014 = 91, , , , , , , ,014 b) Muodostetaan a-kohdan avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosien määrä. 90 1, : , log1, , kokonaista vuotta ei aivan riitä. Farkut maksavat 110 noin 15 vuoden kuluttua. Vastaus: 15 vuoden kuluttua
9 VAHVISTA OSAAMISTA 309. a) 7 4 = 1 7 = = 5 = log 7 5 = 0, ,83 Vastaus: = log 7 5 0,83 b) = 1 10 = = 3 = lg ( 3) Logaritmissa logaritmin sisällä olevan luvun on oltava positiivinen. Koska 3 < 0, yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: ei ratkaisua c) e 4 = 1 :4 e = 0,25 = ln 0,25 = 1,386 1,39 Vastaus: = ln 0,25 1,39
10 310. a) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 6 potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 2 b) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 2 potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi :2 3 Vastaus: = 3
11 c) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 10 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 5 d) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 3 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 6
12 311. a) 5 2 0, , , 01 Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 10 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 2 b) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 2 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 4
13 c) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 2 potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 4 d) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 3 potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi :( 2) 2 Vastaus: = 2
14 312. a) log , ,6 Vastaus: 2,6 b) 2 3 0,17 2 log 0, , : 2 0, ,8 Vastaus: 0,8 c) log , , ,8 5 Vastaus: 3,8
15 d) e 5 6 8,2 5 6 ln8, , , :5 0, ,8 Vastaus: 0,8
16 313. a) Luku = log 8 64 on yhtälön 8 = 64 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 8 = 64 8 = 8 2 = 2 Vastaus: 8 = 64 ja log 8 64 = 2 b) Luku = lg 1000 on yhtälön 10 = 1000 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 10 = = 10 3 = 3 Vastaus: 10 = 1000 ja log = 3 c) Luku = log yhtälön 5 = 625 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 5 = = 5 4 = 4 Vastaus: 5 = 625 ja log = 4 d) Luku log 1 2 yhtälön = ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 16 Vastaus: ja log
17 314. a) Kolmekantainen logaritmi luvusta 81 merkitään log Luku = log 3 81 on yhtälön 3 = 81 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 3 = 81 3 = 3 4 = 4 Vastaus: log 3 81 = 4 b) Kymmenkantainen logaritmi luvusta 0,001 merkitään log 10 0,001 = lg 0,001. Luku = log 10 0,001 on yhtälön 10 = 0,001 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 10 0, Vastaus: lg 0,001 = 3 c) Luonnollinen logaritmi luvusta e 1000 merkitään ln e Luku = ln e 1000 on yhtälön e = e 1000 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. e = e 1000 = 1000 Vastaus: ln e 1000 = 1000
18 315. a) Yrityksen liikevaihto kasvaa joka vuosi 12 %, joten vuosittain liikevaihto 100 % + 12 % = 112 % = 1,12-kertaistuu. Vuoden kuluttua liikevaihto on kerran 1,12-kertaistunut, joten liikevaihto on 1,5 1,12 = 1,68 (miljoonaa). Kahden vuoden kuluttua liikevaihto on kahdesti 1,12-kertaistunut, joten liikevaihto on 1,5 1,12 2 = 1,8816 1,88 (miljoonaa). Vastaus: 1,68 miljoonaa, 1,88 miljoonaa b) Taulukoidaan liikevaihtoja vuosittain. Aika (vuotta) Liikevaihto 1,5 1,12 1,5 1,12 2 1,5 1,12 3 1,5 1,12 (milj. ) Liikevaihto vuoden päästä on 1,5 1,12. Muodostetaan lausekkeen avulla yhtälö kaksinkertaiselle liikevaihdolle. 1,5 1,12 = 3,0 : 1,5 1,12 = 2 = log 1,12 2 = 6,116 6 vuotta ei aivan riitä liikevaihdon kaksinkertaistamiseen, joten aikaa kuluu 7 vuotta liikevaihdon kaksinkertaistamiseen. Vastaus: 1,5 1,12 = 3, 7 vuoden kuluttua
19 316. a) Ojittamattomia soita vuonna 2016 oli noin ha. Ojittamattomien soiden pinta-ala pienenee vuodessa 2,3 %, joten seuraavana vuonna ojittamattomien soiden pinta-ala on 100 % 2,3 % = 97,7 % nykyisestä pinta-alasta. Ojittamattomien soiden pinta-ala siis 0,977-kertaistuu. Vuosia vuodesta 2000 Pinta-ala , ,977 0,977 = , , ,977 Sijoitetaan lausekkeeseen muuttujan paikalle = , = , Ojittamattomia soita oli vuonna 2000 noin ha. Vastaus: ha b) Käytetään a-kohdan lauseketta ja muodostetaan yhtälö , : ,977 0,5 log0,977 0,5 29, = 2046 Mallin mukaan ojittamattomien soiden pinta-ala on puolittunut vuonna Vastaus: vuonna 2046
20 317. a) Luku = log 6 36 on yhtälön 6 = 36 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 6 = 36 6 = 6 2 = 2 Siis luku log 6 36 = 2. Luku = log 2 8 on yhtälön 2 = 8 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 2 = 8 2 = 2 3 = 3 Siis luku log 2 8 = 3. Koska 2 < 3, luku log 2 8 on suurempi. Vastaus: log 2 8 b) Luku log 2 42 > log 2 32 ja luku = log 2 32 on yhtälön 2 = 32 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö 2 = 32 2 = 2 5 = 5 Luku log 3 50 < log 3 81 ja luku = log 3 81 on yhtälön 3 = 81 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 3 = 81 3 = 3 4 = 4 Luku log 2 42 on suurempi kuin 5 ja luku log 3 50 on pienempi kuin 4, joten luku log 2 42 on suurempi. Vastaus: log 2 42
21 318. a) Sijoitetaan funktion lausekkeeseen = 0 ja = 1 ja lasketaan suhteellinen muutos funktion arvojen f(0) ja f(1) avulla. f(0) = 0,15 f(1) = 0,15e 0,18 Lasketaan suhteellinen muutos 0,18 0,15e 1, , 2 0,15 Bambun pituus siis kasvaa noin 1,2-kertaiseksi ensimmäisen vuorokauden aikana, joten kasvua on noin 20 %. Vastaus: 20 % b) Taimi oli istutettaessa 15 cm = 0,15 m pitkä. Muodostetaan yhtälö, jossa funktion arvo on 0,3. Ratkaistaan yhtälöstä. 0,18 0,15e 0,3 : 0,15 e 0,18 2 0,18 ln 2 0,18 0, : 0,18 3, Bambun pituus kaksinkertaistuu noin 4 vuorokauden välein. Vastaus: 4 vuorokautta
22 c) Muodostetaan funktion lausekkeen avulla yhtälö. 0,18 0,15e 5,5 : 0,15 e 0,18 36, ,18 ln36, ,18 3, : 0,18 20, Bambu kaadetaan noin 20 vuorokauden päästä istuttamisesta Vastaus: 20 vuorokauden kuluttua 319. Yhtälön a u = a v ratkaisu on u = v, jos kantaluku a > 0 ja a 1. a) Jos eksponenttiyhtälön molemmilla puolilla on sama kantaluku, niin yhtälön ratkaisu määräytyy eksponenttien perusteella. Tällöin eksponenttiyhtälön ratkaisu on = 5 esimerkiksi, kun yhtälö on 2 = 2 5. Vastaus: esim. 2 = 2 5 b) Eksponenttiyhtälöllä on ratkaisu, kun yhtälön molemmat puolet ovat samanmerkkiset. Täten esimerkiksi yhtälöllä 2 = 2 ei ole ratkaisua, koska termi 2 on positiivinen millä tahansa luvulla. Vastaus: esim. 2 = 2 c) Eksponenttiyhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua, kun yhtälön molempien puolien kantaluvut ovat yhtä suuret ja eksponentit ovat samat. Esimerkiksi yhtälöllä 2 = 2 on äärettömän monta ratkaisua. Vastaus: 2 = 2
23 320. Muodostetaan lauseke, joka kuvaa marjasadon kokoa, kun lausekkeen muuttujana on aika vuosina. Merkitään sadon suuruutta kirjaimella a. Sato kasvaa jokaisen vuoden aikana 8,7 %, joten jokaisen vuoden jälkeen sato on 100 % + 8,7 % = 108,7 % = 1,087-kertainen. Vuoden päästä sadon koko on a 1,087. Vastaavasti kahden vuoden päästä sadon koko on a 1,087 2 ja vuoden päästä a 1,087 Kun sato on 2,5-kertaistunut, sen koko on 2,5a ja toisaalta a 1,087. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan ajan hetki, jona sato on 2,5a. a 1, 087 2,5a 1, 087 2,5 log1,087 2,5 10, Jos kasvu jatkuisi samanlaisena, sato olisi nykyiseen verrattuna 2,5- kertainen 11 vuoden kuluttua. Vastaus: 11 vuoden kuluttua 321. Muodostetaan lauseke, joka kuvaa aktiivisuuden heikkenemistä, kun lausekkeen muuttujana on aika vuorokausina. Merkitään alkuperäistä aktiivisuutta kirjaimella a. Aktiivisuus pienenee jokaisen vuorokauden aikana 2 %, joten jokaisen vuorokauden jälkeen aktiivisuudesta on jäljellä 100 % 2 % = 98 %. Vuorokauden päästä aktiivisuus on a 0,98. Lasketaan aktiivisuuksia taulukkoon. Päiviä Aktiivisuus 0 a 1 a 0,98 2 a 0,98 0,98 = a 0, a 0,98 3 a 0,98
24 Kun aktiivisuus on puolittunut, sen suuruus on 0,5a ja toisaalta a 0,98. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä aktiivisuuden puoliintumisaika. a 0,98 0,5 a : a 0,98 0,5 log0,98 0,5 34, Yhdisteen aktiivisuus on puolet alkuperäisestä noin 34 vuorokauden kuluttua. Vastaus: 34 vuorokauden kuluttua 322. Kymmenen desibelin kasvu äänenvoimakkuudessa vastaa havaitsijan kuuleman äänenvoimakkuuden kaksinkertaistumista. Etsitään appletista kohta, jossa äänenvoimakkuus saavuttaa tason 90 db. Appletista nähdään, että 10 soittajaa soittaa voimakkuudella 90 db, jolloin tarvitaan 10 1 = 9 soittajaa lisää. Vastaus: 9 trumpetistia
25 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 323. a) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet saman kantaluvun potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: 2 b) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet saman kantaluvun potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = a) Koska log 10 0,1 = 1, luvun logaritmi voi olla negatiivinen. Vastaus: Tosi b) b-kantainen logaritmi luvusta a, log b a, on yhtälön b = a ratkaisu. Jotta negatiivisella luvulla voisi olla logaritmi, tulisi yhtälössä b = a olla a < 0. Mutta koska logaritmin määritelmän mukaan b > 0 ja kantaluvun kaikki potenssit ovat positiivisia, a = b > 0, ei voi myöskään luku a olla negatiivinen. Vastaus: Epätosi
26 325. Säännön 72 mukaan talletus kaksinkertaistuu 72 14,4 5 vuodessa. Lasketaan logaritmin avulla, kuinka monessa vuodessa talletus kaksinkertaistuu. Merkitään talletuksen määrää alussa kirjaimella a. Vuoden päästä talletuksen suuruus on a 1,05 ja vastaavasti kahden vuoden päästä a 1,05 2. Samoin vuoden kuluttua talletuksen suuruus on a 1,05. Muodostetaan yhtälö ajalle, jossa talletus a kaksinkertaistuu, ja ratkaistaan siitä vuosien määrä. a 1,05 = 2a :a 1,05 = 2 = log 1,05 2 = 14, Tulokset poikkeavat toisistaan noin 14,4 14,206 0,2 vuotta = 2,4 kuukautta. Vastaus: sääntö 72: 14,4 vuotta, logaritmi: 14,2 vuotta, 2,4 kuukaudella a) Sijoitetaan annettu konsentraatio yhtälöön konsentraation c paikalle ja lasketaan ph-arvo. ph lgc 10 ph lg(3,16 10 ) ph 9, ph 9,5 Vastaus: ph = 9,5
27 b) Ratkaistaan yhtälöstä konsentraatio c, kun tunnetaan ph-arvo 2,5. ph lgc 2,5 lgc lg c 2,5 c 10 2,5 c 0, c 0,0032 Vastaus: c = 0,0032 mol/l 327. a) Luku log 2 y on eksponentti, johon luku 2 on korotettava, jotta tulos olisi luku y. Koska log 2 y = 6, niin y = 2 6 = 64. Vastaus: y = 64 b) Luku log 3 (4y + 1) on eksponentti, johon luku 3 on korotettava, jotta tulos olisi luku 4y + 1. Koska log 3 (4y + 1) = 4, eksponentti on 4. Kirjoitetaan yhtälö luvulle 4y + 1, ja ratkaistaan siitä tuntematon y. 4y + 1 = 3 4 4y = 80 : 4 y = 20 Vastaus: y = 20
28 c) Luku lg ( ) on luku, johon luku 10 on korotettava, jotta tulos olisi luku Koska lg ( ) = 0, niin eksponentti on 0. Kirjoitetaan yhtälö luvulle ja ratkaistaan siitä = = = = 0 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla (6) ( tai Vastaus: 6 tai = 1 5 ( d) Koska log 27 = 3, niin luku on korotettava potenssiin 3, jotta tulos olisi 27. Siis 3 = 27 Koska 3 3 = 27, niin = 3. Vastaus: = 3
29 328. a) Sijoitetaan kaavaan järistyksen voimakkuus M = 9,0 ja ratkaistaan yhtälöstä Sendainin järistyksessä vapautunut energia E. 1,44 9,0 = log 10 E 5,24 log 10 E = 1,44 9,0 + 5,24 log 10 E = 18,2 E = 10 18,2 E = 1, E 1, Vastaus: 1, b) Koben järistyksessä vapautunut energia saadaan ratkaisemalla E yhtälöstä 1,44 6,8 = log 10 E 5,24. log 10 E = 1,44 6,8 + 5,24 log 10 E = 15,032 E = 10 15,032 E = 1, Lasketaan Sendainin ja Koben järistyksissä vapautuneiden energioiden suhde. 1, , , Sendainin järistyksessä vapautunut energia oli noin 1500-kertainen Koben järistyksessä vapautuneeseen energiaan verrattuna. Vastaus: 1500-kertainen
30 329. a) Piirretään funktioden f() = 2 ja g() = 2 kuvaajat ja määritetään niiden leikkauspisteet. Yhtälön ratkaisu on 0,8, 2,0 tai 4,0. Vastaus: 0,8, 2,0 tai 4,0 b) Piirretään funktioden f() = n ja g() = n kuvaajat eri vakion n arvoilla. n = 1: Kun n = 1, yhtälöllä on yksi ratkaisu.
31 n = 2: a-kohdan perusteella yhtälöllä on kolme ratkaisua. n = 3: Kun n = 3, yhtälöllä kaksi ratkaisua. n = 4: Kun n = 4, yhtälöllä on kolme ratkaisua.
32 n = 5: Kun n = 5, yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Kokeilujen perusteella, kun n = 1, yhtälöllä on yksi ratkaisu. Kun n > 1 ja parillinen, yhtälöllä on kolme ratkaisua. Kun n > 1 ja pariton, yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Vastaus: Kun n = 1, yhtälöllä on yksi ratkaisu. Kun n > 1, parillisilla arvoilla kolme ratkaisua ja parittomilla arvoilla kaksi ratkaisua.
33 3.2 Potenssiyhtälö ja yleinen juuri ALOITA PERUSTEISTA 330. a) , ,62 b) , ,74 c) , , a) Luvun 36 neliöjuuri on 36 6, sillä 6 2 = 36 ja 6 0. Vastaus: 36 6 b) Luvun 8 kuutiojuuri on 3 8 2, sillä 2 3 = 8. Vastaus: c) Luvun 81 neljäs juuri on , sillä 3 4 = 81 ja 3 > 0. Vastaus:
34 332. Ratkaistaan yhtälöt ja yhdistetään parit. A: 2 = 4 = 4 = ±2 B: 3 = 4 = 3 4 C: 8 = 1 = 8 1 = ±1 D: 5 = 1 = 5 1 = 1 E: 6 = 2 Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen luku. F: 5 = 32 = 5 32 = 2 Vastaus: A: III, B: V, C: IV, D: II, E: VI ja F: I
35 333. a) 2 = 49 = 49 = ±7 Vastaus: = ±7 b) 3 = 27 = 3 27 = 3 Vastaus: = 3 c) 4 = = = ± 10 Vastaus: = ± 10 d) 7 6 = 0 : 7 6 = 0 = 6 0 = 0 Vastaus: = 0
36 334. a) Luku 5 on juurrettava ja luvun 5 neljäs juuri merkitään 4 5. Väite on väärin. Vastaus: väärin, 4 5 b) Luvun 25 neliöjuuri on positiivinen luku 5. Väite on väärin. Vastaus: väärin, 5 c) Ratkaistaan yhtälö 4 = 7. 4 = 7 = 4 7 Väite on väärin. Vastaus: väärin, = 4 7 d) Yhtälöllä 10 = 1 ei ole ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen luku. Vastaus: oikein
37 335. a) Vastaus: = 5 b) : ( 2) Vastaus: = ±3 c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ratkaisua
38 336. Merkitään kuution särmän pituutta kirjaimella. Kuution tilavuus on pituus leveys korkeus, eli = 3. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä särmän pituus. 3 5,0 3 5,0 1, ,709 dm =17,09 cm 17 cm Ruukun särmän pituus on noin 17 cm. Vastaus: 17 cm
39 337. a) Jokaisen vuoden kuluttua sijoitus on kasvanut q-kertaiseksi, joten kerrotaan aina edellistä arvoa q:lla. Vuosi Sijoituksen q 750 q q 750 q 2 q 750 q arvo ( ) = 750 q 2 = 750 q 3 b) Koska aikaa on kulunut 7 vuotta, on = 7. Muodostetaan funktion avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä muutoskerroin q q 842, ,37 q q 1, q 7 1, q 1, :750 Vastaus: 750 q 7 = 842,37, q 1,0167 c) Rahastoon talletettu rahasumma 1,0167 -kertaistuu joka vuosi, joten rahasumma on 101,67 % edellisen vuoden arvosta, joten vuoden aikana kasvua on noin 101,67... % 100 % = 1,67 % 1,7 %. Rahaston keskimääräinen vuosituotto on noin 1,7 %. Vastaus: 1,7 %
40 VAHVISTA OSAAMISTA 338. a) Muokataan yhtälöä = = 343 Yhtälöllä on yksi ratkaisu, sillä tuntemattoman luvun potenssi on pariton. Vastaus: yksi ratkaisu b) Muokataan yhtälöä. 2 6 = 1458 : 2 6 = 729 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ratkaisua c) Sievennetään yhtälöä. 6 5 = 69 6 = 64 6 = 64 : ( 1) Yhtälöllä on kaksi ratkaisua, sillä tuntemattoman luvun potenssi on parillinen ja yhtälön oikealla puolella on positiivinen luku. Vastaus: kaksi ratkaisua
41 339. a) Luku 5 32 on potenssiyhtälön 5 = 32 ratkaisu. Juuren 5 32 arvo on 2, sillä 2 5 = 16. Vastaus: 5 = 32, b) Luku 3 64 on potenssiyhtälön 3 = 64 ratkaisu. Juuren 3 64 arvo on 4, sillä ( 4) 3 = 64. Vastaus: 3 = 64, c) Luku on potenssiyhtälön 7 = ratkaisu. Juuren arvo on 10, sillä 10 7 = Vastaus: 7 = , d) Luku on potenssiyhtälön 3 = ratkaisu. Juuren arvo on 100, sillä 1003 = Vastaus: 3 = ,
42 340. a) = = 256 = = ±4 Vastaus: = ±4 b) 2(3 2 ) = = = 54 : ( 2) 3 = 27 = 3 27 = 3 Vastaus: = 3 c) ( 2 ) = = = 729 = = ±3 Vastaus: = ±3
43 Pallon tilavuus lasketaan V π r, josta puolipallon tilavuus on puolet eli V π r. Konserttiteltan pohja on ympyrä, jonka säde on puolipallon 3 säde. Ratkaistaan yhtälöstä säde r, kun tilavuus V = V r r : 3 3 r , r , r 30, Lasketaan pohjaympyrän pinta-ala kun säde on 30,000 metriä. A πr 2 A 2 π 30, , Lattia pinta-ala on noin 2827 m 2. Vastaus: 2827 m 2
44 342. Muodostetaan lauseke, jossa alkuperäinen sijoitus muuttuu kertoimelle q vuosittain kuuden vuoden ajan, joten kuuden vuoden päästä sijoitus on q q q q q q = q 6. Asunnon arvon odotetaan nousevan , jolloin kuuden vuoden päästä arvon tulee olla = Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan q q q 6 q q q ( ) 14 1, ,033 Hylätään negatiivinen korkokerroin q. Sijoituksen arvo kasvaa vuosittaa 1,033- kertaiseksi, joten asnnon arvo on 103,3 % edellisvuoden arvosta. Arvo kasvaa silloin noin 103,3 % 100 % = 3,3 % vuosittain. Sijoittaja odottaa sijoitukselleen noin 3,3 % vuosituottoa. Vastaus: 3,3 %
45 343. Muodostetaan lauseke, jossa alkuperäinen valokopioiden määrä muuttuu q-kertaiseksi vuositain viiden vuoden ajan q q q q q = q 5. Viiden vuoden vähennysten jälkeen valokopiota on tarkoitus ottaa 0, = Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosittainen muutoskerroin q q : q 0,6 q 5 0, 6 q 0, Valokopioiden määrän on tultava joka vuosi 0, kertaiseksi, joten niiden määrän täytyy vähentyä 100 % 90,288 % = 9,711 % 10 %. Vuotuiseksi vähentämistavoitteeksi tulee asettaa noin 10 % Vastaus: 10 %
46 344. Vuodesta 2004 vuoteen 2016 on kulunut 12 vuotta. a) Muodostetaan lauseke, jossa alkuperäinen hinta 0,90 muuttuu joka vuosi q-kertaiseksi 12 vuoden ajan. 12 0,9 q q q 0,9 q 12kpl Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosittainen muutos q ,90 q 1,32 : 0,90 q q 1, ( ) 1, q 1, Mehun hinta muuttui 1, kertaiseksi vuodessa, joten hinta oli noussut noin 103,243 % 100 % = 3,243 % 3,2 %. Mehun hinta kasvoi noin 3,2 % vuodessa. Vastaus: 3,2 % b) Merkitään vuodesta 2004 alkaen kuluneiden vuosien määrää kirjaimella. Tällöin mehun hinta vuoden kuluttua on 0,90 1, Lasketaan lausekkeen arvo, kun aikaa on kulunut = 21 vuotta. 0,90 1, = 1,759 1,76 Mehu maksaa noin 1,76 euroa vuonna Vastaus: 1,76
47 c) Muodostetaan b-kohdan lausekkeen avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosien lukumäärä. 0,90 1, ,00 :0,90 1, , log1, , , Aikaa vuodesta 2004 on kulunut kolme vuotta, joten mehu maksoi tasan euron vuonna Vastaus: a) Tanskandoggin paino on alussa 500 g ja viikon päästä paino on kasvanut q-kertaiseksi arvoon 500 q. Kahden viikon päästä paino on kasvanut q-kertaiseksi 500 q q = 500 q viikon päästä paino on vastaavasti 500 q 14, jolloin paino saavuttaa arvon 20 kg eli g. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan q : 500 q q q 14 ( ) 40 q 1, Hylätään negatiivinen kerroin q. Paino kasvaa joka viikko noin 1,301 -kertaiseksi, joten paino kasvaa 130,1 % 100 % 30 %. Tanskandoggin paino kasvaa noin 30 % viikossa. Vastaus: 30 %
48 b) Merkitään viikkojen määrää syntyhetkestä alkaen kirjaimella. Tällöin tanskandoggin massa viikon ikäisenä on 50 1, Muodostetaan yhtälö tanskandoggin massalle ja ratkaistaan siitä viikkojen määrä , :500 1, log 100 1, , Paino saavuttaa 50 kilogrammaa 17 täyden viikon jälkeen, jolloin tarvitaan 18 viikkoa, jotta 50 kilogramman paino on saavutettu. Vastaus: 18 viikon kuluttua
49 346. a) Muodostetaan lauseke, joka kuvaa alkuperäisen valon voimakkuuden, 100 luksia, heikkenemistä. Merkitään muutosta kuvaava kerrointa kirjaimella q. Yhden metrin matkalla voimakkuus heikkenee q-kertaiseksi arvoon 100q. Kahden metrin matkalla 100q q = 100q 2. Vastaavasti 12 metrin matkalla valo heikkenee arvoon q q... q 100 q 12kpl Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muutoskerroin q q 9 :100 q 12 0,09 q 12 ( ) 0,09 q 0, Valon voimakkuus tulee jokaisella metrin matkalla 0, kertaiseksi, joten voimakkuus pienenee noin 100 % 81,818 % = 18,181 % 18 %. Valon voimakkuus pienenee noin 18 % metriä kohden. Vastaus: 18 %
50 b) Merkitään matkaa syvyyssuunnassa kirjaimella. Tällöin valon voimakkuus metrin etäisyydellä veden pinnasta on 100 0, luksia = 0,050 kiloluksia 100 0, ,050 :100 0, ,0005 log 0,0005 0, , Valon voimakkuus on 50 luksia noin 38 metrin syvyydellä. Vastaus: 38 m
51 347. a) Merkitään osakkeiden alkuperäistä hintaa kirjaimella a. Hinta 1. korotuksen jälkeen: 1,046a Hinta 2. korotuksen jälkeen: 1,024 1,046a Hinta 3. korotuksen jälkeen: 1,031 1,024 1,046a Hinta 4. korotuksen jälkeen: 1,017 1,031 1,024 1,046a Korotuksien jälkeen osakkeiden hinnat olivat 1,017 1,031 1,024 1,046a = 1,12308 a. Hinnat kasvoivat 1, kertaiseksi, joten ne kasvoivat n. 112,308 % 100 % = 12,308 % 12,3 %. Hinnat kasvoivat noin 12,3 % vuosittain. Vastaus: 12,3 %. b) Alussa hinnat olivat a ja neljän vuoden kuluttua 1,12308 a. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä muutoskerroin q. a q q 4 4 1, a : a 1, q 4 ( ) q 1, , q on positiivinen Hinnat nousivat joka vuosi 1, kertaisiksi, joten hinnat nousivat noin 102,944 % 100 % = 2,944 % 2,9 %. Hinnat nousivat noin 2,9 % vuosittain. Vastaus: 2,9 %
52 348. Merkitään viraston oikeaa budjettia kirjaimella a. Tällöin 50 prosentilla ylitetty budjetti on 1,5a. Muodostetaan lauseke, jossa budjetti pienenee viisi vuotta peräkkäin vuosittain q-kertaiseksi. Vuoden päästä 1,5a q Kahden vuoden päästä 1,5a q q Viiden vuoden päästä 1,5a q q q q q = 1,5a q ,5 a q a : a 5 2 q 3 2 q 5 3 q 0, Budjetin tulee pienentyä joka vuosi 0,9221 -kertaiseksi, joten budjetin on pienennytävä noin 100 % 92,210 % = 7,789 % 7,8 %. Budjettia on leikattava noin 7,8 % vuosittain. Vastaus: 7,8 %
53 349. Merkitään kysyttyä letkun halkaisijaa kirjaimella ja taulukoidaan tehtävänannon tietoja taulukkoon. halkaisija 4 (cm) aika (min) 1, Letkun halkaisijan neljäs potenssi ja aika ovat kääntäen verrannollisia. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä halkaisija. 4 1, ,5 45 : , , ( ) 2, ,2 22,78125 Hylätään negatiivinen halkaisija. Letkun halkaisijan tulisi olla noin 2,2 cm. Vastaus: 2,2 cm
54 350. Merkitään hiukkasten alkuperäistä määrää kirjaimella a. a) Paksuudeltaan 3 mm hengityssuojaimen läpi päässeiden hiukkasten määrä on 0,25a. Muodostetaan lauseke, jossa pölyinen ilma kulkee yhden millimetrin paksuisen suodattimen läpi kolme kertaa. Suodattimia Hiukkasten määrä a q a q q = a q 2 a q 2 q = a q 3 Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muutoskerroin q. a q q 3 3 0,25a 0,25 q 3 0,25 q 0, : a Pölyhiukkasten määrä tulee 0,629 -kertaiseksi kulkiessaan 1 mm paksuisen suodattimen läpi. Suodattimen läpäisee noin 63 % pölyhiukkasista. Vastaus: 63 % b) Merkitään suodattimen paksuutta millimetreinä kirjaimella. Läpi päässeiden pölyhiukkasten lukumäärä on 0,05a. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä paksuus. a 0, ,05a : a 0, ,05 log 0, 05 0, , , 5 Suodattimen paksuuden tulee olla noin 6,5 mm. Vastaus: 6,5 mm
55 351. Merkitään Laatokan veden määrää kirjaimella a. Vedeestä vaihtuu joka vuosi yhtä monta prosenttia, joten veden määrä tulee vuosittain q- kertaiseksi. Vuoden kuluttua vesimäärä on a q. Kahden vuoden päästä vesimäärä on a q 2. Yhdentoista vuoden päästä vesimäärä on vastaavasti a q vuodessa vedestä on vaihtunut 99 %, eli 1 % on vielä vaihtumatonta vettä. Muodostetaan yhtälö, josta ratkaistaan q. a q q , a 0,01 q 11 0,01 q 0, : a Puolet veden määrästä on 0,5a. Merkitään kysyttyä aikaa kirjaimella. Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista aika. a 0, , ,5 0,5a : a log 0,5 0, , , 7 Vedestä on vaihtunut puolet noin 1,7 vuodessa. Vastaus: 1,7 vuodessa
56 352. Merkitään hiili-14-isotoopin alkuperäistä määrää kirjaimella a. Radioaktiivisuus vähenee joka vuosi yhtä monta prosentti, joten määrä tulee vuosittain q-kertaiseksi. Koska aineen määrä om puolittunut 5730 vuoden kulutua, hiilestä on jäljellä määrä 0,5a. Vuoden päästä isotoopin määrä on a q. Kahden vuoden päästä isotoopin määrä on a q q = a q vuoden päästä isotoopin määrä on a q Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä muutoskerroin q. a q q ,5a 0,5 q ,5 q 0, : a Hiili-14-isotoopin määrä tulee joka vuosi 0, kertaiseksi, joten aineesta hajoaa noin 100 % 0,99987 % = 0,01209 % 0,0121 %. Hiili-14-isotoopin määrä vähenee vuosittain n. 0,0121 %. Vastaus: 0,0121 %
57 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 353. a) :( 3) 1 Vastaus: = 1 b) 4 3 (2 5) (2 5) 48 :3 4 (2 5) tai :2 2 7 : Vastaus: tai c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska 10 ja 12 ovat parillisia potensseja ja parillinen potenssi on aina positiivinen luku tai 0 ja kahden positiivisen luvun tai nollan summa ei voi olla negatiivinen. Vastaus: ei ratkaisua
58 354. Keplerin kolmannen lain mukaan T T r r2 Avaruusasema ja Kuu noudattavat Keplerin kolmatta lakia Maan suhteen. Avaruusaseman kiertoaika saadaan selville Keplerin lain avulla sijoittamalla siihen Kuun ja Avaruusaseman tiedot. Olkoon T 1 ja r 1 avaruusaseman kiertoaika ja kiertosäde Maan ympäri ja T 2 ja r 2 kuun kiertoaika ja kiertosäde Maan ympäri. T 1 = r 1 = 6370 km km = 6770 km T 2 = 27,32 vrk r 2 = 6370 km km = km , , ( ) , , ,32 2 Aikaa kuluu yhteen kierrokseen n. 0,057 vuorokautta. Muutetaan aika tunneiksi ja minuuteiksi. 0, min = 82,755 min 83 min = 1h 23 min Kierrokseen kuluu aikaa noin 1h 23 min. Vastaus: 1h 23 min
59 355. Juoksulajit: P = A (B T) C, jossa tulos T on sekunteina Kenttälajit: P = A (T B) C, jossa tulos T on metreinä a) Korkeushyppy on kenttälaji. Sijoitetaan T = 177 cm = 1,77 m, A = 916,3250, B = 0,75 ja C = 1,348 kenttälajien pistelaskun kaavaan ja lasketaan pistemäärä. P = A (B T) C = 916,3250 (1,77 0,75) 1,348 = 941, Vastaus: 941 pistettä b) 400 metrin juoksu on juoksulaji. Sijoitetaan P = 859, A = 1,53775, B = 82 ja C = 1,81 juoksulajien pistelaskun kaavaan ja ratkaistaan saadusta yhtälöstä juoksun tulos T. (82 T ) P A ( B- T) 1,81 1,81 1,81 1, ,53775 (82 T ) :1, ,53775 (82 T ) 558, T 558, T 32, T 49, : ( 1) T 49, T 49, 06 Vastaus: 49,06 s C
60 c) Keihäänheitto on kenttälaji. Sijoitetaan T = 36,94 m, P = 609 A = 15,9803 ja B = 3,8 kenttälajien pistelaskun kaavaan ja ratkaistaan siitä vakio C. P A ( T B) ,9803 (36,94 3,8) :15,9803 (36,94 3,8) C 33,14 38, ,14 C ,9803 C log 38, C 1, C 1, 04 Vastaus: 1,04 C C
61 356. Skeittiramppi laskee yhtä monta prosenttia jokaista metriä kohden alkukorkeudesta loppukorkeuteen. Rampin alkukorkeus maan pinnalta mitattuna on 3,0 m ja loppukorkeus 3,0 m 2,6 m = 0,4 m. Skeittirampin korkeus q-kertaistuu jokaisella vaakasuuntaisella metrillä. Muodostetaan yhtälö rampin loppukorkeudelle 2,7 metrin päästä. Skeittirampin korkeus metrin päästä on 3,0 q Kahden metrin päästä 3,0 q q = 3,0 q 2 2,7 metrin päästä 3,0 q 2,7 Muodostetaan yhtälö ja atkaistaan siitä q. 2,7 3,0 q 0,4 : 3,0 2,7 q 0, , 7 q 0, q 0, Korkeus tulee joka metrillä 0, kertaiseksi, jolloin se pienenee noin 100 % 47,413 % = 52,586 % 53 %. Korkeus pienenee noin 53 % metriä kohden. Vastaus: 53 %
62 a) Lasketaan lausekkeet sopivalla ohjelmalla: 16 4 ja Huomataan, että arvot ovat yhtä suuret. Vastaus: 16 4 ja , yhtä suuret b) (16 ) Tuloksen mukaan luvun toinen potenssi on luku 16. Tämä toteuttaa neliöjuuren määritelmän. Täten neliöjuuri ja potenssi 1 2 voidaan samaistaa, kun kantaluku on positiivinen. Vastaus: 16 c) Oletetaan b-kohdan perusteella, että potenssi 1 3 tarkoittaa samaa kuin kuutiojuuri , sillä 10 3 = Tarkistus sopivalla ohjelmalla antaa saman tuloksen. Vastaus: 10
63 ALOITUSAUKEAMAAN LIITTYVIÄ TEHTÄVIÄ 1. Merkitään kymmenkertaistumisten lukumäärää kirjaimella. Muodostetaan yhtälö kuoron henkilöiden määrälle ja ratkaistaan siitä määrä lg 200 2, Äänen voimakkuus kaksinkertaistuu jokaista äänilähteiden kymmenkertaistumista kohti. Merkitään yhden hengen äänen voimakkuutta kirjaimella a. Tällöin 200 hengen kuoron äänen voimakkuus on a 2 2, = a 4, ,9a. 200 hengen kuoron äänen voimakkuus on noin 4,9-kertainen verrattuna yhden ihmisen äänen voimakkuuteen. Vastaus: 4,9-kertainen 2. Sijoitetaan annettuun lausekkeeseen linnun ja moottorisahan muodostamat äänenpaineet. db Lintu: P 10lg , lg 49, , Linnun äänen voimakkuus on noin 50,0 db.
64 Moottorisaha: 2 0,355 10lg 84, , Moottorisahan äänenvoimakkuus on noin 85,0 db. Kun äänilähteiden määrä kaksinkertaistuu, äänenpainekin kaksinkertaistuu. Kaksi lintua: 2 2 0, lg 55, , Lasketaan kahden ja yhden linnun äänen voimakkuuksien erotus. 55, db 49, db = 6, db 6,0 db Äänen voimakkuus kasvaa noin 6,0 db. Moottorisaha: 2 20,355 10lg 91, , Lasketaan kahden ja yhden moottorisahan äänen voimakkuuksien erotus. 91, db 85, db = 6, db 6,0 db Äänen voimakkuus kasvaa noin 6,0 db. Vastaus: 50,0 db ja 85,0 db, kasvaa 6,0 db
3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotHuippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
Lisätiedot4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotEksponentti- ja logaritmifunktiot
Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Eksponenttifunktio tulee vastaan ilmiöissä, joissa tarkasteltava suure kasvaa tai vähenee suhteessa senhetkiseen
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedot4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
LisätiedotPotenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.
x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan
LisätiedotHuippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan
LisätiedotPotenssiyhtälö ja yleinen juuri
Potenssiyhtälö ja yleinen juuri 253. Tutki sijoittamalla, mitkä luvuista ovat yhtälön ratkaisuja. a) x 2 = 1 b) x 3 = 8 x = 2 x = 1 x = 1 x = 2 x 2 = 1 x = 1 ja x = 1, koska 1 2 = 1 ja ( 1) 2 = 1 x 3 =
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Lisätiedot1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotHuippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
Lisätiedotk-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio
LisätiedotEkspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto
Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus)
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio
Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotEksponenttiyhtälö ja logaritmi
Eksponenttiyhtälö ja logaritmi 225. Valitse yhtälölle oikea ratkaisu. a) 3 = 9 b) 7 = 7 c) 2 = 16 = 1 = 2 = 3 = 4 a) = 2 b) = 1 c) = 4 226. Päättele yhtälön ratkaisu. a) 10 = 100 b) 10 = 1 000 000 c) 10
Lisätiedot1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila
Lisätiedot( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty
Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja
LisätiedotAlgebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
Lisätiedota) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on
Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)
Lisätiedot3Eksponentiaalinen malli
3Eksponentiaalinen malli Bakteerien määrä lihassa lisääntyy 250 % jokaisen vuorokauden aikana. Epilepsialääkkeen määrän puoliintuminen elimistössä vie aina yhtä pitkän ajan, 12 tuntia. Tällaisia suhteellisia
Lisätiedot2 arvo muuttujan arvolla
Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan
LisätiedotMerkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =
Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotKORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI
1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, MATERIAALI 1) Potenssi ) Juuri ) Polynomit 4) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa (tehtävissä esitellään myös. asteen yhtälön ratkaisu)
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
Lisätiedot1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotNELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä
NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotHuom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä
61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o
LisätiedotVastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedot= = = 1 3.
9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Lisätiedot6 Funktioita ja yhtälöitä
6 Funktioita ja yhtälöitä 6. Rationaali- ja juurifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 60. a) Määritelty, kun a 0. ( a ) ( a ) a a y y ( a a )( a ( a )) a a a a y y a 6 a ( y) ( y) Toinen tapa: ( a ) ( a ) a a
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta
LisätiedotLue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.
MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.
LisätiedotB-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
Lisätiedot9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT
9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT ALOITA PERUSTEISTA 370A. Kunnallisveroprosentti oli 19,5, joten 31 200 tuloista oli maksettava kunnallisveroa 0,195 31 200 = 6084. Vastaus: 6084 euroa 371A. a) Hajuveden
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
LisätiedotApua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Lisätiedotmassa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5
A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.
Lisätiedot1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?
Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotMAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0
LisätiedotKahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.
10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
LisätiedotMa9 Lausekkeita ja yhtälöitä II
Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II H Potenssit, juuret ja prosentit. Onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja eksponentti on parillinen pariton?. Kirjoita
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot1 PERUSLASKUTAITOJA. ALOITA PERUSTEISTA 1A. a) = 4 15 = 11. Vastaus: 11. b) 2 ( 6 + 5) = 2 ( 1) = 2. Vastaus: 2. c)
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 PERUSLASKUTAITOJA ALOITA PERUSTEISTA A. a) 5 = 5 = Vastaus: b) ( 6 + 5) = ( ) = Vastaus: c) 0 0 6 Vastaus: 6 d) 8 + 8 : = 8
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja funktioita
Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Lisätiedot