6 Eksponentti- ja logaritmifunktio

Transkriptio

1 ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n Z) raja-arvo pisteessä = π. Entä onko funktiolla f vasemman- tai oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä = π? Myönteisessä tapauksessa määritä raja-arvot. 3. Olkoon f sellainen funktio, että f() e < 1 > 0. Osoita, että 4. Osoita, että funktiolla on ainakin nollakohtaa. f() f() = 0. f() = e 3 5. Määritä (a) e a 1 (a R), (b) e 1 e 4 1, (c) tan. Tehtävissä 6 10 tarkastellaan hyperbolisia funktioita sinh (hyperbolinen sini), cosh (hyperbolinen kosini) ja tanh (hyperbolinen tangentti). Funktiot määritellään eksponenttifunktion avulla siten, että sinh = e e, cosh = e + e ja tanh = sinh cosh kaikilla R. Hyperboliset funktiot muistuttavat monilta ominaisuuksiltaan trigonometrisia funktioita.

2 6. Osoita, että (a) cosh sinh = 1, (b) sinh() = sinh cosh kaikilla R. 7. Osoita, että (cosh + sinh ) n = cosh(n) + sinh(n) kaikilla n Z ja kaikilla R. 8. Osoita hyberbolisten funktioiden eksponenttiesityksiä käyttäen, että kaikilla R. 1 tanh = 1 cosh 9. Osoita, että sinh = sinh sin = Tutki, onko funktiolla sinh käänteisfunktiota, ja jos on, niin mikä on käänteisfunktion määrittelyalue. 6. Logaritmifunktio 1. Osoita, että funktiolla f() = log on määrittelyalueellaan ainakin nollakohtaa.. Määritä ( log(3 + 4) log( + ) ). 3. Osoita, että log(1 + ) = 1. Vihje: Tee sopiva sijoitus ja hyödynnä lausetta Määritä vakio b > 0 siten, että funktio { log() log(sin ), kun > 0, f() = log(be 1 ), kun 0, tulee jatkuvaksi pisteessä = 0.

3 5. Osoita, että jos ja i > 0 kaikilla i = 1,,..., n, niin n i = n i=1 n i 1. Vihje: Voit olettaa tunnetuksi, että log 1, kun > 0. i=1 Tehtävissä 6 10 esiintyvät hyperboliset funktiot sinh, cosh ja tanh on määritelty eksponenttifunktiota käsittelevän luvun 6.1 harjoitustehtäväosuudessa. Tehtävissä 8 10 esiintyvät funktiot ar sinh, ar cosh ja ar tanh ovat vastaavasti areafunktioita eli hyperbolisten funktioiden sinh, cosh ja tanh käänteisfunktioita. 6. Esitä funktiot ( > 0) rationaalifunktioina. sinh(log ), cosh(log ) ja tanh(log ) 7. Esitä funktio :n polynomina. f() = cosh(log ) + sinh(log ) cosh(log ) sinh(log ) ( > 0) 8. Olkoon f() = sinh ja g() = ar sinh = log ( ). Osoita, että (g f)() = (f g)() kaikilla R. 9. Olkoon f() = cosh ja g() = ar cosh = log ( + 1 ) ( 1). Osoita, että (g f)() = (f g)() kaikilla [1, [. 10. Olkoon f() = tanh ja g() = ar tanh = 1 log ( < 1). Osoita, että (g f)() = (f g)() kaikilla ] 1, 1[.

4 6.3 Yleinen eksponentti-, logaritmi- ja potenssifunktio 1. Osoita, että funktiolla on ainakin kaksi nollakohtaa. f() = log. Määritä vakio b R siten, että funktio 1, kun 0, f() = b, kun = 0, tulee jatkuvaksi pisteessä = 1, tai osoita, että f on epäjatkuva pisteessä = 1 kaikilla vakion b arvoilla. 3. Olkoon a, b > 0. Todista, että (ab) = a b R. 4. Olkoon a > 0. Määritä (a) a, (b) a + 1 a a a + a, (c) a Osoita suoraan funktion oikeanpuoleisen raja-arvon määritelmään nojautuen, että + 3 = Olkoon a > 0 ja f() = 1 (a + a ). Osoita, että f( + y) + f( y) = f()f(y), y R. 7. Olkoon f sellainen pisteessä = 0 jatkuva funktio, että f(1) = ja Osoita, että f() = kaikilla R. f( + y) = f()f(y), y R. 8. Mitkä ovat laajimmat sellaiset joukot, että funktio (a) f() = log 4, (b) (b) f() = log log 3 log 4, (c) f() = log 5 on määritelty? 9. Olkoon a, b > 0, a, b 1. Osoita, että log a b log b a = 1.

5 10. Olkoon a > 0, a 1. Osoita, että 11. Olkoon a > 1. Osoita, että log a (y) = log a + log a y, y > 0. 1 (log + y a + log a y) log a, y > Määritä ( log (cot ) + log (sin 8) ) Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a arc sin(5 ), kun < 0, f() = 1, kun = 0, ( log b arc tan 3 3 1), kun > 0, tulee jatkuvaksi pisteessä = Osoita, että funktiolla f() = 4 log ( + 1) + 1 ( > 1) on ainakin kaksi positiivista nollakohtaa. 15. Olkoon a, > 0. Osoita, että 16. Osoita, että on vakiofunktio. log a = a log. f() = 1 log ( > 0) 17. Määritä (a) sin log, + (b) ( + 1) sin log(+1). Tehtävissä 18 0 voit olettaa tunnetuksi luvun 6. tehtävän 3 tuloksen 18. Määritä log(1 + ) = 1. (a) (1 + ) 1, (b) (1 + a ) ( ) (a R), (c). +

6 19. Osoita, että jos a f() = 1, niin a f()g() = e (f() 1)g(). a 0. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a sin(e), kun < 0, f() = e, kun = 0, (1 + ) b, kun > 0, tulee jatkuvaksi pisteessä = 0.