1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
|
|
|
- Esko Lahtinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = ja g() = 4-5. Muodosta funktio a) f o g b) g o f a) f o g () = f(g()) = f (4 5) = 2(4 5) + 3 = 8 7 E.4. Olkoon f() = -1 ja g() = lg (2 - ). Mikä on funktion f o g määrittelyjoukko? b) 1 < 2
2 Yhdistetyn funktion derivaatta D(g o f)() = g (f()) f () E.6. Derivoi h() = (2-3) 4 h ()= 4(2 3) 3 2 =8(2 3) 3
3 1.2.1 KÄÄNTEISFUNKTIO JA SEN KUVAAJA Funktio f ja g ovat toistensa käänteisfunktioita, jos f(g()) = ja g(f()) = Siis merkintä funktion f käänteisfunktiolle: f -1 E.2. (t. 21 a) Tutki, ovatko funktiot f ja g toistensa käänteisfunktioita f() = g( ) f ( g( )) 4( ) g( f ( )) (4 5) V: ovat
4 Käänteisfunktion arvon laskeminen alkuperäisen funktion avulla Jos pitää laskea f -1 (y) =. Tehdään yhtälö f() = y, josta ratkaistaan. E.4. Funktiolla f() = 2-1 on käänteisfunktio. Määritä, kun a) f -1 () = 5 b) f -1 (7) =. a) f(5) = = 9 b) f() = 7 : 2 1 = 7 = 4
5 Käänteisfunktion lausekkeen muodostaminen 1) Merkitse y = f() 2) Ratkaise siitä 3) Vaihda y 4) Kirjoita muodossa y = f -1 () E.5. Laske f -1 (), kun a) f() = a) y = = y 3 = ½y 1½ y = ½ 1½ f -1 () =½ 1½
6 E.6. Piirrä funktion f() = , ³ 1 kuvaaja ja sen perusteella käänteisfunktion kuvaaja. f() (,y) f (1,-4) (-4,1) 2-3 (2, -3) (-3, 2) 3 0 (3, 0) (0, 3) 4 5 (4, 5) (5, 4)
7 Käänteisfunktion olemassaolo Jos funktio on (aidosti) kasvava tai (aidosti) vähenevä, niin funktiolla on käänteisfunktio E.8. Osoita, että funktiolla f() = on käänteisfunktio. f () = > 0 kaikilla, joten funktio f on aidosti kasvava => funktiolla f on käänteisfunktio
8 Funktion ja sen käänteisfunktion arvo- ja määrittelyjoukot Mj(f -1 ) = Aj(f) ; Aj(f -1 ) = Mj(f) E.10. Funktiolla f: [1,2] ->[3,4] on käänteisfunktio. Mitä on a) Mj(f -1 ) b) Aj(f -1 )? a) [3,4] b) [1,2]
9 E.12. Olkoon f() = 2 + 2, -1. Laske (f -1 ) (3) f() = = = 0 = -3 ( = 1) (f -1 ) (3) = f ( 3) 2 ( 3) 2 4 Käänteisfunktion derivaatta tietyllä kohdalla 1 f ( (f -1 ) (y 0 ) =, missä y 0 = f( 0 ) 0 )
10 Laskusääntöjä n parillinen n a b b 0 ja n b a n pariton n a b n b a
11 Yleisen juuren laskusääntöjä 1. n ab n a n b 2. n a b n n a b 3. ( n a) n a 4. n n a a, kun a,kun n n pariton parillinen
12 Murtopotenssit 1 n a n a n Z ja a 0 n a m ( n a) m a m n m, n Z ja a 0 ks. E.3. s. 28
13 Yhtälön ja epäyhtälön korottaminen neliöön Olkoon a, b 0. Tällöin a = b a 2 = b 2, a < b a 2 < b 2
14 Neliöjuuriyhtälöt Neliöönkorotuksella saatu yhtälö ei aina ole yhtäpitävä alkuperäisen kanssa. Tulos tarkistettava. E.1. (t. 64a) a) 3 2 ( ) = 4 = 1 Tarkistus: tosi tai Määritelty, kun ( ) = 4 = 1-3 Vastaus: = 1
15 E.3. (t. 67c) ( ) 2 rtkkaavalla
16 Neliöjuuriepäyhtälöt E.5. (t. 65a) 2 ( ) 2 määritelty, kun 0 4, kun 0 Vastaus: 0 < 4
17 E.6. (t. 65c) Määritelty, kun eli kaikilla R ( ) Vastaus:
18 Muut juuriyhtälöt ja -epäyhtälöt E.8. (t. 72a) ( ) = = -124 = -62
19 Neliöjuurifunktion derivaatta (todistus: ks. kirja, s. 39) D 1 ( 0) 2 Yleisesti: D f f ( ) 2 '( ) f ( ) (f derivoituva ja positiivinen)
20 E.1. (t. 91c) E.2. (t. 92c) D 2 ½
21 E.3. Derivoi f ( ) f '( ) D f f ( ) 2 '( ) f ( ) (f derivoituva ja positiivinen)
22 Yleisen juurifunktion ja murtopotenssifunktion derivaatta Muuta potensseiksi ja derivoi potenssin derivoimissääntöä käyttäen Palauta murtopotenssit juurimuotoon D n n n ( 0) D m n m n m 1 n ( 0)
23 E.4. Derivoi funktio a) f() = 2/3 b) f() = (2-1) 5/ a) f '( ) b) f '( ) (2 1) D(2 1) (2 1) (2 1) 4 4 2
24 k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio f aidosti vähenevä, kun 0 < k < 1 Asymptootit positiivinen -akseli (k > 1) negatiivinen -akseli (0 < k < 1) Laskusäännöt 1) k m k n = k m+n k k m mn 2) k 3) (k m ) n = k mn 4) k 0 - = 1 5) k n 1 k
25 E.3. a) Kirjoita luvun 2 potenssina (2 3 ) 4 2 b) Laske (2 3 ) c) Esitä a:n potenssina, (a >0) a a 2 a a a
26 Eksponenttiyhtälöt ja -epäyhtälöt Yhtälö, jossa kaksi termiä ja sama kantaluku Siirrä termit eri puolelle yhtälöä k = k y = y E.4. a) 3 = 9 3 = 3 2 = 2 b) 7-3 = = (7 2 ) 7-3 = = 2 = -3
27 Epäyhtälöt Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä suurempi kantaluku Siirrä termit eri puolille epäyhtälöä. k < k y < y (kun k > 1) Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä pienempi kantaluku Muuten samoin kuin yllä, mutta Käytä sääntöä k < k y > y (kun 0 < k < 1) E.5. a) 3 > 81 3 > 3 4 > 4 c) (½) < 8 (½) < 2 3 (½) < (½) -3 > -3 b ) 4-1 < 8 (2 2 ) -1 < ( - 1) < 2 3 2( - 1) < < 3 2 < 5 < 2,5
28 Neperin luku e ja funktio y = e
29 Neperin luku e ja sen määritelmä Eksponenttifunktio f() = k e on se eksponenttifunktio, jonka derivaatta nollassa on 1 eli f (0) = 1 e 2, (laskimella) y = e Eksponenttifunktion f() = e ominaisuuksia M f = R A f = ]0,[ Funktio on jatkuva kaikkialla Funktio on aidosti kasvava Asymptoottina negatiivinen akseli Potenssien laskusäännöt säilyy e u = e v u = v (ks. kirja s )
30 E.1. Sievennä a) e 2 e - = e 2 = e b) e 3 (e +1 ) 2 = e 3 e 2+2 = e = e E.2. Ratkaise yhtälö a) e +2 = e = - 2 = -2 = -1 b) e 3 6 = 1 e 3-6 = e = 0 3 = 6 = 2
31 Funktion y = e derivaatta D(e ) = e
32 E.3. Derivoi a) f() = 2e + 3 b) f() = (e + 1) 2 a) f () = 2e + 3 b) f () = 2e (e + 1)
33 Olkoon f derivoituva funktio. D(e f() ) = e f() f () E.4. Derivoi a) f() = e 2 d) f() = e 2 3 a) f () = 2e 2 b) f () = 2e 2 3 +e = 2 e 2 (2 + 3)
34 Derivaatan arvon laskeminen Derivoi ja sijoita sen lausekkeeseen haluttu kohta E.5. Laske f (1), kun f() = e 2-3 f () = 2e f (1) = 2e 2-3 Tangentin kulmakertoimen laskeminen, k T = f ( 0 ) E.6. Mikä on käyrän y = e 1- kohtaan = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin? f () = e 1- f (1) = -e 1-1 = -e 0 = -1
35 E.8. Määritä funktion derivaatan nollakohdat, f() = e 4 + e -4 f () = 4e 4 4e -4 f () =0: 4e 4 4e -4 = 0 4e 4 = 4e -4 e 4 = e -4 4 = -4 8 = 0 = 0
36 Kymmenkantainen logaritmi Olkoon a > 0, tällöin on olemassa yksikäsitteinen siten, että a = 10 luku on luvun a kymmenkantainen logaritmi Merkintä: = lga tai = log 10 a
37 Siis Eksponenttiyhtälön 10 = a ratkaisua sanotaan luvun a logaritmiksi eli luvun a logaritmi on se eksponentti, johon luku 10 pitää korottaa, jotta potenssin arvoksi tulisi logaritmoitava a E.1. a) lg1000 = 3, koska 10 3 = 1000 b) lg6 0,78 koska 10 0,78 6 c) Minkä luvun logaritmi on = 100
38 Huom logaritmoitavan on oltava positiivinen Jokainen positiivinen luku a voidaan esittää luvun 10 potenssina a = 10 lga lg10 b = b E.2. Montako numero luvussa = (10 lg2 ) 1000 = 10 lg21000 =
39 Logaritmifunktio eksponenttifunktion käänteisfunktiona
40 k-kantainen logaritmifunktio log k a tarkoittaa sitä eksponenttia, mihin kantaluku k pitää korottaa, jotta saataisiin logaritmoitava a. Eli olkoon k > 0, k1 Positiivisen luvun a k-kantainen logaritmi log k a = b a = k b E.3.Laske a ) log 3 9 = 2, koska 3 2 = 9 I: 3 = 9 II: log = 2 3 = 3 2 = 2 b) log 2 8 = 3, koska 2 3 = 8 I: 2 = 8 log = 3 2 = 2 3 = 3
41 Luonnollinen logaritmi
42 LUONNOLLINEN LOGARITMI Luonnollisen logaritmijärjestelmän kantaluku eli Neperin järjestelmän kantaluku on e. Luonnollinen logaritmi log e a = lna (a > 0): se eksponentti, johon kantaluku e on korotettava, jotta tulokseksi saadaan logaritmoitava a. Luonnollinen logaritmifunktio y = ln ja eksponenttifunktio y=e ovat toistensa käänteisfunktioita: lna = b a = e b e lna = a ( a > 0) lne a = a (a R)
43 E.5. a) e ln5 = b) lne 2 = a) 5 b) 2
44 E.6. Laskimella 1,61 ln5 E.7. Mikä on funktion f() = ln (5 - ) määrittelyjoukko? 5 > 0 < 5 E.8. (t. 181a) ln = 1 = e 1 = e
45 Logaritmifunktion ominaisuuksia
46 Luonnollisen logaritmifunktion f() = ln ominaisuuksia 1) M f = ]0,[ A f = R 2) Funktio f on jatkuva 3) Funktio f on aidosti kasvava 4) Käyrällä y = ln on asymptoottina negatiivinen y-akseli ks. kirja s. 68 logaritmifunktion ominaisuuksia
47 Logaritmien laskusäännöt
48 Logaritmin laskusääntöjä Olkoon a, b > 0 ja k > 0, k 1 log k ab= log k a + log k b log k (a/b)= log k a - log k b log k a n = n log k a E.9. a) lg2 + lg5 = lg (2 5) = lg10 = 1 b) lga 2 + lg(1/a) (a>0) = 2lga + lg1 - lga =2lga lga = lga c) Esitä lg3:n avulla lg3000 = lg(3 1000) = lg3 + lg 1000 = lg3 + 3
49 E.10. Esitä yhtenä logaritmina a) lna + ln6 b) ½ln c) 2ln4 3ln2 a) lna + ln6 = ln6a b) ½ln = ln16 ½ + lne = ln4 + lne = ln4e c) 2ln4 3ln2 = ln4 2 ln2 3 = ln16 ln8 = ln (16/8) = ln2
50 E.11. (t. 203a,c) Olkoon a = log k 2 ja b=log k 3. Esitä a:n ja b:n avulla a) log k (3/2) = log k 3 log k 2 = b a b) log k 12 = log k (4 3) = log k 4 + log k 3 = log k log k 3 = 2log k 2 + log k 3 = 2a + b
51 Eksponenttiyhtälöitä E = 7 lg2 = lg7 lg2 = lg7 = lg7 /lg2 2,807 tai log 2 7 lg 7 lg 2 2,807 ks. kantaluvun vaihto edellä
52 E.13. (t. 210a) 3 +1 = 20 lg3 +1 = lg20 (+1)lg3 = lg20 1 lg 20 lg 3 lg 20 lg 3 1 1,72
53 E.14. Kuinka monessa vuodessa talletuksen arvo viisinkertaistuu, jos vuotuinen korko on 8%? a = talletuksen arvo alussa 1,08 a = 5a :a 1,08 = 5 lg 1,08 = lg 5 lg 1,08 = lg 5 = lg 5/ lg1,08 =20,9 V: 21 vuodessa
54 E.15. (t. 221b) 5 = 17 4 n a n a ( ) ( b 0) n b b ( ) lg( ) 4 lg17 5 lg( ) lg17 4 c lg17 12,7 lg(5/ 4)
55 Logaritmiyhtälöitä E.16. (t. 212a) a) Ratkaise yhtälö log 2 (3 1) = 1 log k u = log k v u = v (u, v > 0) Määrittelyehto: 3 1 > 0 eli > 1/3 2 1 = = 3 = 1
56 b) lg + lg( - 3) = 1 ( > 3) lg(-3) = lg 10 ( - 3) = = 0, ratkaisukaavalla ( = -2), = 5
57 E.17. 2ln = 1 Mj: >0 ln = ½ = e ½ = e E.18. ln3 = -ln(1 ) Mj: < 1 ln3 = ln(1 ) -1 3 = (1 ) (1- ) = = 1/3 = 2/3
58 E.19. (t. 223a) lg 3 3 lg lg Määritelty, kun > 0 4 lg 3 lg = 4
59 Luonnollisen logaritmifunktion derivaatta
60 1 1) D(ln ) = ( >0) Todistus: e ln = De ln = D Dln e ln = 1 Dln = 1 2) Dlnf() = f '( ) f ( ) Dln = 1 (f derivoituva ja f() > 0)
61 E.1. Derivoi a) f() = 6ln b) f() = ln 5 a) f () = 6 ( > 0) 1 6 b) f () = ( > 0) TAPA 2 b) f() = ln 5 = 5ln 1 f () = 5 5
62 E.2. Derivoi a) f() = 3 ln 3 b) f() = ln 3 a) f () = 3 2 ln3 + 3 = 2 (3ln3 + 1) ( > 0) 3 3 f '( ) ln 3 6 ln (1 3ln 6 ) 13ln 4 ( > 0)
63 E.3. (t. 238a, c) Laske funktion f derivaatan nollakohdat a) Dln( 2 1) c) D(ln) 3 = 3(ln) 2 1 3(ln 2 1 ) 0 ln 0 1
64 Funktion monotonisuus (kasvava /vähenevä) tutkitaan derivaatan merkeillä Ääriarvojen laskeminen Laske mahdolliset ääriarvokohdat, f :n merkit, hahmottele kulku ja päättele ääriarvo Funktion suurin ja pienin arvo Jos funktio on jatkuva suljetulla välillä, niin sillä on varmasti suurin ja pienin arvo Lasketaan mahdolliset ääriarvokohdat, funktion arvot näissä ja valitaan niistä suurin / pienin Epäyhtälön oikeaksi osoittaminen Käytetään periaatetta: Jos pienin arvo on positiivinen, niin kaikki arvot ovat positiivisia
65 E.4. Milloin funktio f() = ln ( 2 + 3) - ½ln on vähenevä? Määritelty, kun > 0, jolloin jatkuva ja derivoituva f () = ( 3) 2 ( 3) ( ) 2 f () f () ( 1) 2 ( 3) 2 V: Vähenevä, kun 0 < < 1
66 Derivaatan sovelluksia
67 E.5. Määritä funktion f() = - ln suurin ja pienin arvo välillä [½,e] Määritelty, jatkuva ja derivoituva välillä [½,e] f () = f () = 0: = f(½) = ½ - ln½ 1,193 f(1) = 1 ln1 = 1 f(e) = e lne = e 1 Suljetulla välillä jatkuvan funktion ääriarvolauseen mukaan suurin ja pienin arvo saavutetaan joko päätepisteissä tai derivaatan nollakohdassa V: Suurin arvo e 1 Pienin arvo 1
68 E.6. Osoita, että ln ( + 1) kaikilla > -1. ln( + 1) - 0 tutkitaan funktiota f() = ln( + 1) - MJ: > f () f () + - f 1 '( ) 1 1 f '( ) = Suurin arvo, kun = 0 f(0) = ln(0 + 1) 0 = 0 => Kaikki arvot 0
69 E.7. Määritä vakio a siten, että funktion f() = ln a maksimiarvo on 5. MJ: > 0 f '( 1 ) 4 Osoittaja määrää merkin 0 1/4 1 f '( ) 4 0 0: f () f () + - ma f(¼) = ln ¼ - 4 ¼ + a ln ¼ - 4 ¼ + a = 5 ln a = 5 -ln4 + a = 6 a = 6 + lna
k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio
määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.
Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen
1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ;
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 11 7.1.009 alkavalle viikolle Ratkaisut (AK) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan tärkeiden transkendenttifunktioiden
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.
x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan
Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017
Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b
ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?
Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:
Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 11. Kurssikerta Petrus Mikkola 29.11.2016 Tämän kerran asiat Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion määritelmä Eksponenttifunktion ominaisuuksia Luonnolinen logaritmi
Rationaalilauseke ja -funktio
4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Eksponentti- ja logaritmifunktiot
Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Eksponenttifunktio tulee vastaan ilmiöissä, joissa tarkasteltava suure kasvaa tai vähenee suhteessa senhetkiseen
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä
NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio
Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
![Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on](/thumbs/47/23658224.jpg "Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on")
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä
61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus
YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
6 Funktioita ja yhtälöitä
6 Funktioita ja yhtälöitä 6. Rationaali- ja juurifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 60. a) Määritelty, kun a 0. ( a ) ( a ) a a y y ( a a )( a ( a )) a a a a y y a 6 a ( y) ( y) Toinen tapa: ( a ) ( a ) a a
d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,
Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman
MAA8. HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA8 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Määritä a) log 7 b) log ( ) c) log Määritä a), kun log = b) log = 0 b) kantaluku, kun log k = Sievennä logaritmien laskulakeja käyttäen: a)logk y logk y b) log k ab c log k ac b
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0
BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
Integroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Ratkaisut. π π. Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D = a = 4 4a kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.
Ratkaisut A. a) Sievennä (x ) (x )(x + ). 7 b) Laske ( ) π + sin( ). c) Ratkaise yhtälö (x 5x ) = 5. Ratkaisu: a) (x ) (x )(x + ) = 4x x + 9 (4x 9) = x + 8 + 7 b) ( ) π π + sin( ) = ( ) + sin( + π ) 5
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka
Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi
Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) HUOM. Osa monisteen virheistä on korjattu ja korjatut kohdat on merkitty marginaaleihin.
13. lokakuuta 011 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) HUOM. Osa monisteen virheistä on korjattu ja korjatut kohdat on merkitty marginaaleihin. Sisältö 1. Yhden muuttujan funktiot 1.1. Johdantoa 1.. Laskusääntöjä
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan
3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus