Mitä matriisit ovat?

Transkriptio

1 Matriisit

2 Mitä matriisit ovat? 2 -ulotteisia lukutaulukoita sanotaan matriiseiksi. (matrix). Matriiseja merkitään isoilla kirjaimilla. Matriisin ympärillä käytetään hakasulkuja Esim. B on 2x3 matriisi (2 riviä, 3 saraketta) A on 2x2 -neliömatriisi Sovelluksissa käytetään useimmin neliömatriiseja. C on 3x1 matriisi, joita kutsutaan myös pystyvektoreiksi

3 Mihin matriiseja käytetään? Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisuun Kiertomatriisit ovat tärkeitä 3D grafiikassa (CAD) Niillä voidaan pyörittää objekteja näytöllä tai muuttaa katsojan paikkaa Maanmittausmatematiikassa ja tilastoopissa käytetään matriiseja Determinantit liittyvät myös matriisilaskentaan

4 Matriisien peruslaskutoimitukset Samankokoisia matriiseja voidaan laskea yhteen ja vähentää toisistaan ja kertoa vakiolla. Summa saadaan laskemalla vastinalkiot yhteen, erotus vähentämällä vastinalkiot toisistaan. Matriisi kerrotaan vakiolla kertomalla kaikki alkiot ko. vakiolla Summa Erotus Vakio x matriisi

5 Matriisien tulo Matriisien A ja B tulo A.B voidaan määritellä, jos matriisilla A on sama määrä sarakkeita kuin matriisilla B on rivejä. Tulomatriisin alkiot ovat matriisin A rivien ja matriisin B sarakkeiden pistetuloja. Käsin tulo lasketaan seuraavasti: Tulo A.B = Huom! Esimerkin matriiseille tuloa B.A ei ole edes määritelty, koska koot eivät täsmää. Silloinkin kun tulot A.B ja B.A ovat olemassa, ne ovat pääsääntöisesti erisuuret: Matriisien kertolasku ei ole vaihdannainen.

6 Matriisien tulo Excelissä Osaako laskimesi matriisien kertolaskun? Online kalkulaattoreita matriisien kertolaskuun löytyy runsaasti, mm.:

7 Neliömatriisien ominaisuuksia Matriisilaskennassa käytetään useimmin 2x2 tai 3x3 neliömatriiseja. Niillä on peruslaskutoimitusten +,-,. lisäksi muita ominaisuuksia, jotka muistuttavat reaalilukujen vastaavia ominaisuuksia Reaalilukujen joukossa erityisiä lukuja ovat 0 ja 1 0 on luku, jonka lisääminen ei muuta lukua; ts. a + 0 = 0 + a = a 1 on luku, jolla kertominen ei muuta lukua; ts. a*1 = 1*a = a 3x3 neliömatriiseilla näitä vastaavat nollamatriisi ja yksikkömatriisi I.

8 Neliömatriisin A determinantti A Reaaliluvuilla on itseisarvo, vektoreilla on pituus. Neliömatriiseihinkin liitetään reaaliluku, jota sanotaan matriisin determinantiksi ja merkitään A tai joskus Det(A) tai pelkällä D-kirjaimella. Determinantti 2x2 matriisille on siis lävistäjien tulojen erotus Esim. Laske matriisin determinantti Ratk. D = 4*2-3*1 = 5

9 3x3 neliömatriisin determinantti 3x3- determinantti lasketaan menetelmällä, jota sanotaan determinantin kehittämiseksi jonkin rivin tai sarakkeen suhteen. Menetelmässä muodostetaan summa, jossa esim. kukin ylimmän rivin alkio vuoronperään kerrotaan sitä vastaavalla alideterminantilla, joka saadaan luvuista jotka näkyvät kun alkiota vastaava sarake ja rivi peitetään matriisista. Saadut tulot lasketaan yhteen etumerkkiä vuorotellen : +, -, + = 1*(5*2-6*6) 2*(4*2-7*6) + 3*(4*6-7*5) = 9 Determinantti voidaan yhtä hyvin kehittää jonkin muun rivin tai sarakkeen suhteen yo. menetelmällä. Jos jollain rivillä tai sarakkeessa on useita nollia, kannattaa kehittää sen suhteen, jotta termejä olisi vähemmän. Termien etumerkit saadaan oheisesta kaaviosta.

10 Determinantit Excelillä Käytännössä, kun determinantteja lasketaan, se tehdään esim. Excelin funktiolla MDETERM, tai laskimella Valitse MDETERM funktio, ja maalaa argumentiksi matriisin solut. Online determinanttilaskin löytyy mm. oheisesta linkistä

11 Vinkki: Käytä nollarivejä/-sarakkeita Laske oheisen matriisin determinantti. Koska 2. sarakkeessa on kaksi nollaa, kannattaa determinantti kehittään nimenomaan sen sarakkeen suhteen: merkit A = - 4*(4*7-3*(-1)) = -4*31 = Saman sarakkeen muut alkiot ovat nollia, joten niistä ei tule mitään lisää determinanttiin

12 Determinantin ominaisuuksia Vektoreista muistamme, että determinantin itseisarvo = sen rivejä edustavien vektorien virittämän suuntaissärmiön tilavuus. Tästä seuraa, että determinantti = 0, jos a) Determinantissa on sama rivi kahdesti b) Determinantissa jokin rivi on toisen rivin monikerta c) Determinantissa jokin riveistä on kahden muun rivin lineaarikombinaatio, esim. c = t a + u b Säännöt a) b) ja c) pätevät myös sarakkeille a) ja b) Kaksi särmiön virittäjävektoreista samoja tai samansuuntaisia => litistynyt särmiö. c) särmiön kolmas virittäjävektori on kahden muun tasossa => särmiöllä ei ole korkeutta Determinantin arvo ei muutu, jos jokin rivi/sarake lisätään toiseen riviin jollakin vakiolla kerrottuna Tämä ominaisuus ei ole niin ilmeinen kuin a,b ja c. Sitä voisi kuitenkin perustella seuraavasti. Jos esim. vektoriin c lisättäisiin a kerrottuna jollakin vakiolla, tämä siirtäisi vain vektorin c kärkipistettä sivun a suunnassa, jolloin särmiöstä tulisi vinompi, mutta sen pohjan ala ja korkeus säilyisivät muuttumattomina. Tällöin särmiön tilavuus jota determinantti edustaa ei muuttuisi.

13 Gauss- Jordanin menetelmä determinantin laskemiseksi Kun neliömatriisin koko on suuri, kehittäminen alempiasteisten determinanttien avulla vie tietokoneen resursseja ja muistia. Useimmat laskimet käyttävätkin vähemmän muistia vaativaa Gauss Jordanin menetelmää, joka perustuu seuraavaan teoreemaan. Determinantin arvo pysyy samana, jos determinantin jokin rivi lisätään toisen riviin millä tahansa nollasta eroavalla vakiolla kerrottuna. Tätä hyödynnetään siten, että pyritään lisäämällä rivejä toisiin saamaan determinantin laskevan lävistäjän toinen puoli täyteen nollia.

14 Determinanttien sovellus: Cramerin kaavat ja lineaarinen yhtälöryhmä Ratkaise: Ratkaisu on seuraava: x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D Excelillä: D = yhtälöryhmän kerroindeterminantti: Dx, Dy ja Dz ovat kerroindeterminantin variaatioita, joissa yht. ryhmän oikean puolen vakiot korvaavat determinantin 1., 2. ja 3. sarakkeet Ratk: x = 128/76 = 1.7 y =-91/76 = -1.2 z =-169/76= -2.2

15 2 muuttujan yhtälöryhmä Ratkaisu on seuraava: x = Dx/D, y = Dy/D Ratkaise: x = Dx/D = 57/11 = 5.2 Y = Dy/D = 15/11 = 1.4

16 Transponoitu matriisi A T Neliömatriisin A transponoiduksi matriisiksi A T sanotaan matriisia, joka saadaan A:sta muuttamalla rivit sarakkeiksi. Toisin ilmaistuna A T saadaan A:sta peilaamalla alkiot laskevan lävistäjän suhteen. Matriisin ja sen transponoidun matriisin determinantit ovat samat

17 Käänteismatriisi A -1 Kaikilla nollasta eroavilla reaaliluvuilla a on olemassa käänteisluku 1/a tai toisin merkittynä a -1, jolla kertomalla a:sta tulee luku 1. Esim. 2*1/2 = 1,,, Onko neliömatriiseilla A vastaavasti sellaista matriisia A -1, että kertolasku A.A -1 = A -1 A = I yksikkömatriisi. Voidaan osoittaa, että on, nimittäin kaikilla sellaisilla neliömatriiseilla, joiden determinantti 0 on olemassa käänteismatriisi. Kaikilla neliömatriiseilla A, joille determinantti A 0, on olemassa käänteismatriisi A -1, jolle AA -1 = A -1 A = I yksikkömatriisi Käänteismatriisin käsin laskemista ei tarvitse osata

18 A -1 :n lasketaan Excelissä MINVERSE -funktiolla Laske 1. Maalaa käänteismatriisin kokoinen 3x3 alue (vihreä kuvassa) 2. Valitse funktio MINVERSE, maalaa argumentiksi matriisi A 3. Paina lopuksi CRTL- SHIFT- ENTER, jolla saat koko käänteismatriisin arvot kohdealueelle. Online käänteismatriisilaskin Käänteismatriisin käsin laskemista ei tarvitse osata

19 3x3 matriisin käänteismatriisi A = matriisin A determinantti 1 A Adj( A) A Adj(A) = matriisin A adjungoitu matriisi, joka saadaan korvaamaalla A:n jokainen alkio a i alideterminantilla Ai, joka saadaan peittämällä matriisista A se rivi ja sarake, jolla alkio a i sijaitsee. Lisäksi alideterminanttien etumerkkejä vuorotellaan samoin kuin determinantin kehittämisen yhteydessä ao. kaavion mukaan. Lopuksi matriisi transponoidaan, eli rivit muutetaan sarakkeiksi ja päinvastoin. 2x2 matriisin käänteismatriisi Alideterminattien sijalla on pelkkiä lukuja, periaate silti sama ja merkkikaavio vastaavasti Käänteismatriisin käsin laskemista ei tarvitse osata

20 A Adj( A) Esim. A -1 käsin 3x3 tapauksessa 1 A Determinantti on aiemmin laskettu: A = 9 Lasketaan Adj(A) transponointi 5*2-6*6 = -26 -(4*2-7*6) = 34 (4*6-7*5) = -11 T -(2*2-6*3) = 14 1*2-7*3 = -19 -(1*6-7*2) = 8 = 2*6-5*3 = - 3 -(1*6-4*3) = 6 1*5-4*2 = -3 Determinantilla jaettuna tämä antaa käänteismatriisin -26/9 14/9-3/9 34/9-19/9 6/9-11/9 8/9-3/9 Käänteismatriisin käsin laskemista ei tarvitse osata

21 A -1 :n käsin lasku, 2x2 tapaus 1 A Adj( A) A merkkikaavio Determinantti = 2*5-1*4 = 6 T Adj(A) = = A -1 = 5/6-4/6-1/6 2/6 Tarkistetaan tulos Online kalkulaattorilla Käänteismatriisin käsin laskemista ei tarvitse osata

22 Yhtälöryhmän ratkaisu käänteismatriisin avulla Voidaan kirjoittaa matriisimuodossa Kerroinmatriisi muuttujat Oikean puolen vakioista muodostuva matriisi Yhtälö on muotoa A.X = B, jonka ratkaisu on X = A -1.B WOLFRAMALPHA:

23 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu käänteismatriisin avulla A = muuttujien kertoimista muodostuva neliömatriisi ( kerroinmatriisi ) B = yhtälöryhmän oikean puolen vakioista muodostuva pystyvektori X = muuttujista (x,y,z) koostuva vektori. Yhtälöryhmän ratkaisu saadaan kertomalla kerroinmatriisin käänteismatriisilla oikean puolen vakiovektori: X = A -1.B

24 Esimerkkejä Vast. x=-18, y=-9.5, z= Farmarilla oli kanoja ja kaneja, yhteensä 38 jalkaa ja 14 päätä. Kuinka monta kanaa ja kuinka monta kania hänellä oli? Merk. x = kanat, y = kanit Vast: kanoja 9, kaneja 5

25 Yhtälöryhmän ratkaisu solvella Useissa laskimissa ja esim. wolfram alphassa

26 Matriisilaskennan sovelluksia Lineaarinen yhtälöryhmä Cramerin kaavat Käänteismatriisimenetelmä

27 Cramerin kaavat Sitten lasketaan kolme determinanttia, jotka saadaan kerroindeterminantista korvaamalla sen sarakkeita yhtälöryhmän oikean puolen vakioiden muodostamalla pystyvektorilla:

28 3x3 yhtälöryhmä geometrisesti - Kukin yhtälöistä ax + b y + c z = d esittää tasoa 3D avaruudessa. - Yhtälöryhmän ratkaisu on kolmen tason leikkauspiste. (Kolme tasoa leikkaavat yleensä yhdessä pisteessä) Jos kerroindeterminantti D = 0, yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua tai joskus ratkaisuna on jokin muu kuin yksi piste (x,y,z). Geometrisesti tämä tarkoittaa yo. kuvasarjan kuvien 1,2, 3 tai 4 tilannetta, jolloin osa tasoista on keskenään samansuuntaisia tai tasojen leikkauksena on suora, eikä piste. Käytännön tilanteissa näitä erikoistapauksia ei esiinny. Tehtävän vastaus erikoistapauksessa D = 0 : ei ratkaisua

29 Esim. Piirrä 3D kuva tasosta 2x + y + 3z = 6

30 Nollat matriisissa helpottavat determinantin käsin laskemista Esim. Tämä determinantti kannattaa kehittää 2. rivin suhteen, koska siinä on nollia. = ( Etumerkki oikean puolen lausekkeelle on + merkkikaavion perusteella)

31 Yksikkömatriisi I Reaalilukujen joukossa on luku 1, jolla kertominen säilyttää luvun sellaisenaan: ts. 1*a = a*1 = a Neliömatriisien joukossa on vastaavasti yksikkömatriisi, jolla kertominen ei muuta tulon toista matriisia. 2x2 yksikkömatriisi on 3x3 yksikkömatriisi on

32 Matriisin A käänteismatriisi A -1 Reaaliluvuilla a, (paitsi luvulla 0 ) on käänteisluku 1/a, jolle a*(1/a) = 1 Neliömatriiseilla A, joiden determinantti A 0, on käänteismatriisi A -1, jolle A 1 1 A AA I Esim. A ja A ovat toistensa käänteismatriiseja.

33 Käänteismatriisimenetelmä Yhtälöryhmän vasen puoli ja oikea puoli voidaan ajatella 3x1 matriiseina Vasen puoli voidaan esittää kertoimista muodostuvan matriisin A ja muuttujista x,y,z muodostuvan pystyvektorin X tulona. (Tämän voi helposti tarkistaa suorittamalla kertolasku A.X) Tämä matriisiyhtälö on muotoa A X = B, Missä A on kerroinmatriisi, X = pystyvektori, jonka alkioina ovat muuttujat x,y, z B = oikean puolen vakioista muodostuva pystyvektori.

34 Ratkaisu käänteismatriisilla A -1 Reaalilukumatematiikassa yhtälön a x = b molemmat puolet jaetaan a:lla ja ratkaisu x = b/a. Tämän voi myös ilmaista niin, että molemmat puolet kerrotaan a:n käänteisluvulla 1/a a x b 1 a x a 1 a b Sama ratkaisumenetelmä toimii myös matriisiyhtälöön A X = B. Sen voi ratkaista kertomalla molemmat puolet kerroinmatriisin käänteismatriisilla: x b a A X B A A x A B X A B X A 1 B Käänteismatriisi A -1 on käsin monimutkainen laskea, joten kaavasta ei ole hyötyä, jos ratkaisee yhtälöryhmiä käsin. Algebralaskimella taas tämä on nopea tapa ratkaista lineaarisia yhtälöryhmiä.

35 Esim. Ratkaise WolframAlphalla ratkaisu toimii seuraavalla tavalla: TI- laskimissa kannattaa käyttää matriisieditoria ja syöttää kerroinmatriisi ja nimetä se A:ksi, sekä syöttää oikean puolen vakiovektori ja nimetä se B:ksi. Tämän jälkeen laskimen perustilassa annetaan komento X y z A^-1.B

36 Kiertomatriisit (2D) Kun pistettä (x, y) halutaan kiertaa vastapäivään origon ympäri α astetta, saadaan pusteen uudet koordinaatit kertomalla vanhat koordinaatit kiertomatriisilla : T cos sin sin cos Esim. Vektoria (2, 1) kierretään vastapäivään 45 astetta. Mitkä ovat vektorin uudet koordinaatit? cos 45 sin 45 sin cos Jos kierto tehtäisiin myötäpäivään, kulmana käytettäisiin -45 o

37 Lisää yhtälöryhmistä

38 Lineaarisen yhtälöryhmän muut ratkaisumenetelmät 1. Eliminoimismenetelmä 2. Sijoitusmenetelmä 3. Graafinen ratkaisu

39 Eliminoimismenetelmä *2 *5 Pyritään kertomaan yhtälöt sellaisilla vakioilla, että yhtälöitä yhteen laskettaessa toinen tuntemattomista häviää. 4 x 10 y = x + 10 y = 65 ============= 19 x = 57 x = 57/19 = 3 Sijoitetaan tämä esim. 1:een yhtälöön: 2*3 5y = = 5 y 10 = 5 y Y = 2 Huom! Tekniikassa kertoimet ovat desimaalilukuja ja tästä syystä tämä metodi on työläs. Cramerin kaavat on parempi tapa, erityísesti koneella. Vast. x = 3 tai y = 2

40 Sijoitusmenetelmä Ratkaistaan yksi yhtälöistä jonkin tuntemattoman suhteen ja sijoitetaan saatu lauseke toiseen yhtälöön. Ratkaistaan 2. yhtälö y:n suhteen: 2y = 13 3x jaetaan 2:lla y = x *) Tämä toimii myös kun yhtälöt eivät ole lineaarisia: yleispätevä. Sijoitetaan y:n lauseke 1. yhtälöön y:n paikalle ja ratkaistaan x 2x 5 ( x) = - 4 sulut pois 2x x = - 4 erotellaan muuttujat ja vakiot 2x + 7.5x = yhdistetään 9.5 x = 28.5 jaetaan x:n kertoimella x = 28.5 / 9.5 = 3 Sijoitetaan x = 3 yhtälöön *) y = *3 = 2 V: y = 3 JA y = 2

41 Graafinen ratkaisu Molemmat yhtälöt edustavat suoria. Piirretään suorat. Ratkaisu on niiden leikkauspiste Esim. WolframAlphalla

42 Ympyrän yhtälö Origokeskisen, r- säteisen ympyrän muodostavat pisteet, joiden paikkavektorin (x,y) (vektori origosta pisteeseen) pituus = r. Pythagoraan lausella x 2 + y 2 = r 2 x 2 y 2 r 2 Ympyrä, jonka keskipiste = (0,0) Säde = r

43 Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen 2x y 2 x y Sijoitusmenetelmä 2. Graafinen ratkaisu Ratkaistaan 1. yhtälö y:n suhteen y = 5 2x *) Sijoitetaan tämä lauseke 2:een yhtälöön y:n tilalle x 2 + (5-2x) 2 = 9 x 2 + (5-2x)(5-2x) = 9 x *2x 2*5x + 4x 2 = 9 5x 2-20 x + 16 = 0 solve:lla x = 1.11 tai x = 2.89 Lasketaan molemmille y-arvot *) y= 5-2*1.11= 2.78 tai y = 5-2*2.89 = Vast. Pisteet: (1.11, 2.78) (2.89, -0.78)

44 Exponenttifunktio ja Logaritmifunktio - yhtälöt, sovellukset

45 Esim. Kiinteistön arvo v.2010 alussa oli Euroa. Oletetaan, että kiinteistöjen arvot nousevat tasaisesti 2.5 % vuodessa. Laske a) esimerkin kiinteistön arvo 2016 alussa b) arvo v.1989, jolloin kiinteistö rakennettiin c) milloin arvo ylittää Euron rajan? Periaate: Seuraavan vuoden arvo saadaan aina kertomalla edellisen vuoden arvo 1.025:llä, joka saadaan yhteenlaskulla /100 = Vastaavasti laskettaessa arvoa ajassa taaksepäin jaetaan nykyarvo vuosittain 1.025:lla. a) * = Euroa b) * = Euroa tai näin / = Euroa Eksponenttiyhtälö: a x = b Ratkaisu: x = log(b)/log(a) Eksponenttimalli y = y 0 a t c) *1.025 t = jaetaan :lla t = 1.28 ( / = 1.28 ) t = log(1.28)/log(1.025) = 10.0 Vast alussa ( 10 v vertailuvuodesta eteenpäin)

46 Nouseva ja laskeva exponenttifunktio y = a x aidosti kasvava funktio a > 1 vähenevä funktio 0<a <1 Määritysjoukko: Mj = R Arvojoukko : Aj = R + Eksponenttiyhtälö: Ratkaisu: (kaikki reaaliluvut) (funktio saa vain positiivisia arvoja) a x = b x = log(b)/log(a)

47 Esim vm Fiat Punto maksoi v alussa 4900 Euroa. Oletetaan arvo alenee 15 % vuodessa. a) Paljonko Punto maksoi uutena (2007 alussa) b) Paljonko siitä saa 2015 puolivälissä? c) Milloin arvo on enää 1000 Euroa? Seuraavan vuoden arvo saadaan edellisestä kertomalla luvulla 0.85 ( koska 1 15/100 = 0.85) a) 4900 * = 9387 Euroa b) 4900 * = 2368 Euroa c) 4900 * 0.85 t = 1000 jaetaan 4900 :lla 0.85 t = 1000/4900 = t = log(0.204) / log(0.85) = 9. 8 (vuosiluku 2020 loppupuolella)

48 Esim. Ydinonnettomuudessa syntyy radioaktiivista jodia, jonka määrä puoliintuu 8 päivässä. a) Kuinka monta atomia on jäljellä 30 vrk kuluttua, jos jodia on alun perin atomia b) Minkä ajan kuluttua jodia on vain 1 atomi jäljellä? Malli N = N t / 8 Jodiatomien määrä alussa N0 = Kantaluku = ½ = 0.5 a) Jodin määrä 30 vrk kuluttua N = *0.5 30/8 = atomia atomia b) Ratkaistaan aika t yhtälöstä 1 = *0.5 30/8 1 = = 0.5 t/ eksponentti t/8 = log( )/log(0.5) = 19.9 t = 8 vrk *19.93 = vrk Vastaus: 160 vrk kuluttua

49 Eksponenttija logaritmifunktiot

50 Luku e ja eksponenttifunktio e x Luku e on ns. Neperin luku, Sen likiarvon voi laskea esim kaavalla ( 1 + 1/ n) n antamalla n:lle suuria arvoja, esim. n = antaa e = Euler on myös osoittanut, että Neperin luku saadaan äärettömänä summana e = / 2! + 1/ 3! + 1/ 4! + Ottamalla 10 ensimmäistä termiä saadaan e = Fysiikassa ja tekniikassa tärkeä eksponenttifunktio on y = e x e 1.0 = Ohjelmointikielissä tämä funktio kirjoitetaan exp(x) laskimissa näppäin e x

51 Logaritmin määritelmä Kun x ratkaistaan yhtälöstä y = a x, saadaan x = log a (y) a x y x log a y Lue: a-kantainen logaritmi y => Funktio y = log a (x) on exponenttifunktion y = a x käänteisfunktio. LASKIMIEN LOGARITMIFUNKTIOT ln(x) Kantalukuna Neperin luku e = log(x) tai lg(x) Kantalukuna 10 2 x = 7 x = log 2 7 = log7/log2 = = 2.81 Yksi logaritmi laskimessa riittää, sillä muut voidaan laskea muunnoskaavalla log a ( x) log( x) log( a) ln( x) ln( a)

52 Laske seuraavat logaritmit Osan logaritmeista voi laskea päässälaskuna perustuen logaritmin määritelmään: Laske a x y x log a y a) log 2 8 b) log100 c) log ? = ? = ? = ? =1/9-2 e? =e 5 5 Muutoin logaritmeja lasketaan laskimella: a) log Vast: 2.87 b) log Vast: 9.63 Käytä muunnoskaavaa log a log( x) ( x) log( a)

53 Logaritmifunktion kuvaaja Funktion y = f(x) kuvaajasta saa käänteisfunktion kuvaajan kääntämällä y akselin osoittamaan oikealle ja x- akselin osoittamaan ylös. 20 y = e x 15 y = ln(x) Kun yhtälö y = e x ratkaistaan x:n suhteen, saadaan x = ln(y) ln(x) luetaan luonnollinen logaritmi x Kantaluku on Neperin luku e Mj : x > 0, ja arvojoukko Aj = R

54 Exponenttiyhtälöt a x b x log b a lg b lg a tai myös ln b ln a Kiinteistön arvo 2012 on Euroa, Arvo kasvaa 2.0 % vuodessa. a) Esitä arvo ajan funktiona ( ajan yksikkönä on vuosi ja origo v.2012 b) Minkä ajan kuluttua arvo ylittää rajan? y t

55 Exponenttiyhtälöt Käytetyn Renault Clion arvo laskee 13 % vuodessa. Auto ostettiin 2010 käytettynä hinnalla 6500 Euroa Milloin autosta saa enää 1500 Euroa? funktio y t Vuosiluku on siis eli 2020

56 Radioaktiivinen hajoaminen Radioaktiivisuus määritellään suureella aktiivisuus A, jonka yksikkönä on Becquerell ( 1 Bq = 1 hajoaminen sekunnissa) Radioaktiivisten aineiden aktiivisuus vähenee eksponentiaalisesti. Kaava voidaan esittää joko kantalukua 1/2 käyttäen, jolloin hajoamisnopeutta kuvataan puoliintumisajalla T (tai T 1/2 ) A A 1 2 t / T 0 ( ) Jodi 131:n puoliintumisaika on 8.0 vrk. Missä ajassa jodista saastuneen veden radioaktiivisuus vähenee 1.0 % alkuperäisestä

57 Tavallisimmat eksponenttimallit arvo kasvaa 5% vuodessa arvo laskee 12% vuodessa y = y t y = y t * arvo kasvaa 30% 7 vuodessa y = y t / 7 arvo kaksinkertaistuu 25 vuodessa y = y t / 25 arvo puoliintuu 3.5 vrk:ssa y = y 0 (½) t / 3.5 Esim. Palstan arvo on nyt Arvo tuplaantuu 25 vuodessa. Laske arvo 10 v. kuluttua. Y = 10000*2^(10/25) = Esim. Moottorikelkan arvo on 8000 Euroa ja arvo puoliintuu 2.4 vuodessa. Laske arvo 5 v kuluttua. Y = 8000*0.5^(5 /2.4) = 1888 Euroa

58 Logaritmin laskukaavat 1) log(x y) = log(x) + log(y) 2) log(x/y) = log(x) - log(y) 3) log(x r ) = r log(x) Muita ominaisuuksia log a a = 1 Annettu: Log(2) = 0.69 Log(3) = 1.10 Laske päässä Log(6) =log(2) + log(3) = = 1.79 Log(18) =log(2*3*3) =log(2)+log(3)+log(3)= 2.89 Log(32) =log(2 5 )=5*0.69=3,45 Log(9) =log(3 2 )=2*1.1= 2.2 log a 1 = 0 kaikilla kantaluvuilla a

59 Lineaarinen asteikko Logaritminen asteikko Luvun 64 logaritmi on 6 kertaa luvun 2 logaritmi, Koska log64 = log 2 6 = 6 log 2

60 Laskutikku Ennen funktiolaskinten tuloa luvun alussa insinöörit laskivat numerolaskut laskutikulla, jossa logaritmisella asteikolla varustettuja viivottimia liikuteltiin toisiinsa nähden. Kertolaskut tyyppiä 1,62 * 7,23 onnistuivat nopeasti ja tehokkaasti kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Tuloksen kertaluvun eli kymmenen potenssin insinööri osasi laskea päässä. Laskutikku sai olla esillä myös YO kirjoitusten fysiikan kokeessa.

61 Log(x y) = Log (x) + Log(y) Kertolasku muuttuu janojen yhteenlaskuksi logaritmiasteikolla Kuvassa laskettu laskutikulla kertolasku 2 x 4 = 8

62 Log(x/y) = Log (x) - Log(y) Jakolasku muuttuu janojen vähennyslaskuksi logaritmiasteikolla Kuvassa laskettu laskutikulla jakolasku 10 : 5 = 2

63 Log(x r ) = r Log(x) Potenssilaskussa summataan kantaluvun mittaisia janoja Kuvassa lasku 2 4 = 16 logaritmeilla

64 Logaritmiset asteikot fysiikassa ja tekniikassa Magnitudi- eli Richterin asteikko Desibeliasteikko Käytetään ilmiöissä, joissa absoluuttisten arvojen vaihtelu on erittäin suurta. Logaritminen asteikko tasaa äärimmäisiä vaihteluita

65 Exponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat käänteisfunktioita Yhtälön a x = b ratkaisu on x = log a b (=logb/loga) Esim. 10 x = 153 => x = log(153) = 2.18 Toisin päin Yhtälön log a (x) = b ratkaisu on x =a b Esim. Log(x) = 4.5 => x = = 31623

66 Magnitudiasteikko M = log(a/a 0 ) Esim. Mikä on 7.3 magnitudin ja 5.8 magnitudin maanjäristysten voimakkuuden suhde absoluuttisella asteikolla, jossa mittana on amplitudit? magnitudi Absoluuttinen (* A 0 ) kohtalainen järistys Voimakas järistys = 0.63* = 20*10 6 Maanjäristyksien amplitudien suhde on 20/0.63 = 32 Esim. Kun magnitudi nousee 1:llä, kuinka monikertaiseksi nousee absoluuttinen arvo?

67 Esim. Kun magnitudi nousee 1:llä, kuinka monikertaiseksi nousee absoluuttinen arvo? Ratk. Olkoon 1. järistys voimakkuudeltaan M ja toinen M +1 Muutetaan arvot absoluuttisiksi magnitudi Absoluuttinen (* A 0 ) M 10 M M+1 10 M+1 = 10 M *10 1 =10*10 M x n x m =x m+n Kaavaa: => Yksi magnitudi lisää tarkoittaa maanjäristyksen voimakkuuden 10 kertaistumista. Magnitudi voi olla < 0 (A<A 0 ), esim. kaivoksissa maan värähtelyä mitataan jatkuvasti.

68 db - asteikko db = 10*log(p/p 0 ) Esim. Mikä on metroaseman 107 db:n ja luokkamelun 83 db suhde, kun käytetään absoluuttista asteikkoa (ilmanpainearvoja) db Absoluuttinen (*p 0 ) melu luokassa = 200 milj.*p 0 melu metroasemalla = milj.*p 0 db=83 = 10*log(p/p 0 ) => log 10 (p/p 0 ) = 8.3 =>p/p 0 = Ilmanpainearvojen suhde on / 200 = 250 Kun db määrä nousee 10:llä, absoluuttinen melutaso 10- kertaistuu

69 Esim.: * Kuinka monikertainen absoluuttisesti on 5 koneen aiheuttama melu verrattuna yhden koneen aiheuttamaan meluun? * Kuinka monta desibeliä tämä tuo lisää? desibelit Abs. Painetaso (p/p 0 ) 1 kone x db 10 (x/10) = x 5 konetta y =? 10*log(5* x ) = 10(log5 + log10 0.1x ) = 10log5 + 10log10 0.1x = 10 log *0.1x =x + 10log5 =7 db lisää db = 10*log(p/p 0 ) 5* x Log(x y) = Log (x) + Log(y)

70 Esim. : Jos yksi katsomossa huutava katsoja aiheuttaa urheiluhallissa 85 db melun, mikä on melutaso kun katsojia on kaksi? Kuinka monta katsojaa saa aikaan 100 db? db/10 = log(p/p 0 ) desibelit Abs. Painetaso (p/p 0 ) 1 katsoja 85 db = 316 milj. 2 katsojaa db=10*log( ) =88 db 632 milj 100 db X*316 milj ratkaise x 100 = 10*log(x* ) 10 = log 10 (x* ) =x* x= / = 32 katsojaa 10 x = b x = log 10 b Yleisesti a x = b x =log a b