Merkitse kertolasku potenssin avulla ja laske sen arvo.
|
|
- Aino Kinnunen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin arvo on kertolaskun tulos. EsimErkki 1 Merkitse kertolasku potenssin avulla ja laske sen arvo. Ratkaisu Kertolasku merkitään lyhyemmin 3 4. Potenssin arvo on kertolaskun tulos, joka on 81. eksponentti kantaluku 3 4 = 81 potenssin arvo Merkintä 3 4 luetaan kolme neljänteen tai kolme potenssiin neljä. EsimErkki 2 Muunna potenssimerkintä kertolaskuksi ja laske potenssin arvo. a) 4 2 b) 5 3 c) 10 6 Ratkaisu a) 4 2 = 4 4 = 16 b) 5 3 = = 125 c) 10 6 = = Merkintä 4 2 voidaan lukea myös luvun 4 neliö. Se ilmaisee pinta-alan neliölle, jonka sivu on 4. Merkintä 5 3 voidaan lukea myös luvun 5 kuutio. Se ilmaisee tilavuuden kuutiolle, jonka sivu on 5. Luvun ensimmäinen potenssi on luku itse. Sen vuoksi eksponenttia 1 ei yleensä merkitä näkyviin. Käytännön tilanteissa potenssin arvo on usein niin hankala laskea, että apuna kannattaa käyttää laskinta tai tietokonetta. 48
2 EsimErkki 3 Sähköpostimato leviää lähettämällä itsensä samanaikaisesti viiteen osoitteeseen. Jokainen näistä lähettää uudet 5 sähköpostimatoa. Myös nämä madot lähettävät 5 matoa ja niin edelleen. Kuinka monta matoa on lähettämässä uusia viestejä, kun lähetyskertoja on ollut a) 2 b) 10 c) 14? 1. kerta 2. kerta Ratkaisu a) 5 2 = 25 b) 5 10 = Näppäily laskimessa: 5 x 2 = tai 5 y x 2 = Näppäily laskimessa: 5 y x 1 0 = c) 5 14 = Negatiivinen kantaluku Kun potenssimerkinnän kantaluku on negatiivinen, se merkitään sulkeisiin. Potenssin arvon etumerkki määräytyy tällöin seuraavasti: Jos eksponentti on parillinen, potenssin arvo on positiivinen. Jos eksponentti on pariton, potenssin arvo on negatiivinen. EsimErkki 4 a) ( 5) 1 = 5 b) ( 3) 2 = ( 3) ( 3) = 9 c) ( 4) 3 = ( 4) ( 4) ( 4) = 64 d) ( 2) 4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 16 Eksponentin vaikutusalue ulottuu vain sen edessä olevaan lukuun. Vaikutusalue ei ulotu esimerkiksi luvun edessä olevaan miinusmerkkiin. Sen vuoksi negatiivinen kantaluku on merkittävä sulkeisiin. EsimErkki 5 a) ( 3) 4 = ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) = 81 b) 3 4 = ( ) = 81 Kantaluku on 3. Luku 3 on korotettu potenssiin 4. Kantaluku on 3. Kyseessä on luvun 3 4 vastaluku. 49
3 HarjoitustEHtävät 1. Mikä on potenssimerkinnässä 5 3 = 125 a) eksponentti b) kantaluku c) potenssin arvo? 2. Merkitse kertolasku potenssin avulla. a) b) c) d) Merkitse kertolasku potenssin avulla. a) b) kpl c) kpl 15 kpl d) kpl 4. Muunna kertolaskuksi ja laske potenssin arvo. a) 6 2 b) 2 5 c) 10 3 d) 2 7 Laske potenssin arvo. 5. a) 5 2 b) 2 5 c) 1 5 d) a) 10 2 b) 2 3 c) d) Merkitse potenssina, kun a) kantaluku on 3 ja eksponentti 7 b) kantaluku on 7 ja eksponentti 3 c) kantaluku on 1 ja eksponentti 8 d) kantaluku on 10 ja eksponentti Merkitse kertolasku potenssin avulla. a) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) b) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) c) ( 13) ( 13) ( 13) 9. Merkitse kertolasku potenssina ja laske potenssin arvo. a) ( 6) ( 6) b) ( 2) ( 2) ( 2) c) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 10. Merkitse potenssina ja laske potenssin arvo, kun a) kantaluku on 3 ja eksponentti 4 b) kantaluku on 4 ja eksponentti 3 c) kantaluku on 3 ja eksponentti 2 d) kantaluku on 2 ja eksponentti Laske potenssin arvo. a) 9 2 b) 9 2 c) ( 9) 2 d) ( 3) 3 e) 3 3 f) Mikä kokonaisluku käy kirjaimen n paikalle? a) 2 n = 64 b) n 3 = 27 c) n 5 = 32 d) 10 n = Mikä tai mitkä kokonaisluvut käyvät kirjai men n paikalle? a) n 3 = b) 1 n = 1 c) n 10 = 1 d) 2 n = Laske laskimella. a) 17 4 b) ( 24) 4 c) 6 7 d) ( 225) 2 e) ( 14) 5 f) ( 3) Päättele, onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen. a) b) ( 2 035) c) ( 9 034) d) Päättele, onko potenssin arvo parillinen vai pariton, kun a) kantaluku ja eksponentti ovat parillisia b) kantaluku ja eksponentti ovat parittomia c) kantaluku on parillinen ja eksponentti pariton d) kantaluku on pariton ja eksponentti parillinen. 50
4 kotitehtävät 17. Merkitse potenssin avulla. a) b) c) Muunna potenssimerkintä kertolaskuksi ja laske potenssin arvo. a) 1 2 b) 2 4 c) 3 4 d) Merkitse potenssina ja laske potenssin arvo. a) ( 4) ( 4) ( 4) b) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) c) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 20. Laske potenssin arvo. a) 6 2 b) 3 3 c) 5 3 d) 10 5 e) 2 6 f) ( 2) Aseta tulot suuruusjärjestykseen pienimmästä alkaen. a) 3 2, 2 3 ja 2 3 b) ( 3) 2, 2 ( 3) ja ( 2) 3 c) 6 5, 5 6, 7 4 ja 4 7 Tarinan mukaan shakki pelin keksijä pyysi palk kioksi yhden jyvän laudan ensimmäiselle ruudulle ja seuraaville aina kaksin kertai sen määrän. Loppu tulos oli jyvää. Ekstra 22. a) 10 4 b) 10 7 c) 10 9 d) P U L M A Miten alarivillä olevat luvut on muodostettu yläpuolella olevista luvuista? Laske luvun x neliö ja kuutio, kun a) x = 2 b) x = 2 c) x = 5 d) x = Laske laskimella. a) 9 4 b) ( 12) 5 c) 21 3 d) ( 30) 6 e) 15 4 f) ( 356) Päättele, onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, kun a ja n ovat positiivisia kokonaislukuja. a) ( a) 2 n b) a 2 n c) ( a) 2 n + 1 d) a 2 n
5 14 Yhdistettyjä laskutoimituksia Jos laskulausekkeessa on erilaisia laskutoimituksia, potenssiin korotukset suoritetaan ensin, sitten kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle ja viimeiseksi yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle. Sulkeiden sisällä olevat laskutoimitukset lasketaan aina ensin. Laskujärjestys: 1. potenssiin korotukset 2. kerto- ja jakolaskut 3. yhteen- ja vähennyslaskut Sulkeilla voidaan muuttaa laskujärjestystä. EsimErkki 1 a) = = 15 b) : 4 = 21 4 = 17 c) 18 : = 18 : 3 25 = 6 25 = 19 d) = = = 38 Välivaiheet merkitään näkyviin. EsimErkki 2 Sievennä ja laske. a) 2 (6 + 4) b) 2 (6 + 4) 3 c) 2 ( ) Ratkaisu a) 2 ( ) = 2 10 = 20 b) 2 ( ) 3 = = = c) 2 ( ) = 2 ( ) = 2 70 = 140 Aloitetaan sievennys sulkeista. Jos jakolaskun merkkinä käytetään jakoviivaa, jaettavana ja jakajana olevien lausekkeiden arvot on laskettava ennen osamäärän laskemista. EsimErkki 3 a) = 14 = Lasku voidaan merkitä myös näin: (8 + 6) : (3 1) = 14 : 2 = 7. b) : 3 1 = = 9 52
6 Sulkeet laskulausekkeessa Jos lausekkeessa on useampia sisäkkäisiä sulkeita, avaaminen aloitetaan sisimmistä sulkeista. EsimErkki 4 a) 2 (5 ( 7 4 )) = 2 ( 5 3 ) = 2 2 = 4 b) 3 (( ) + ( 5 2 )) = 3 ( ) = 3 12 = 36 Sisäkkäiset sulkeet voidaan merkitä sisimmistä alkaen myös kaarisulkeilla ( ), hakasulkeilla [ ] ja aaltosulkeilla { }. Ensimmäisenä avataan kaarisulkeet, sitten hakasulkeet ja viimeiseksi aaltosulkeet. EsimErkki 5 Laske 2 {15 [13 4 (3 + 2)]}. Ratkaisu 2 {15 [13 4 ( )]} = 2 {15 [ ]} = 2 {15 [ ]} = 2 {15 [ 7]} = 2 { } = 2 22 = 44 Liikenteessä ajo järjestystä muutetaan kärkikolmiolla ja stop-merkillä. HarjoitustEHtävät 1. a) b) c) d) a) 16 : 4 3 b) c) d) : 3 3. a) 2 ( 5) + 7 b) c) d) : 2 4. a) 6 2 : 3 b) 6 : 2 3 c) 2 3 : 6 d) 6 : a) b) 5 (4 2) c) (9 + 6) : 3 d) 3 ( ) 6. a) c) b) d) a) b) c) (5 3) 2 3 d) (3 5) a) b) 2 (5 4) 3 c) (2 5 4) 3 d) 2 (5 4 3) 9. a) 4 6 : 3 ( 2) b) 4 (6 : 3) ( 2) c) 4 6 : (3 ( 2)) d) 4 (6 : 3 ( 2)) 53
7 10. Mikä luku sopii kirjaimen x paikalle? a) 29 3 x = 2 b) (x + 5) 3 = 8 c) 15 4 x = x d) x (4 + 1) = 20 e) 3 (x + 7) = 24 f) 4 x + 9 = 1 Kirjoita lauseke ja laske. 11. a) Lukuun 3 lisätään lukujen 10 ja 5 osamäärä. b) Lukuun 12 lisätään lukujen 3 ja 5 tulo. c) Lukujen 2 ja 6 tulosta vähennetään lukujen 5 ja 4 tulo. d) Lukujen 20 ja 5 osamäärästä vähennetään lukujen 3 ja 7 tulo. 12. a) Lukujen 2 ja 7 summa kerrotaan luvulla 3. b) Lukujen 30 ja 10 erotus jaetaan luvulla 5. c) Luvusta 21 vähennetään lukujen 8 ja 5 erotus. 13. a) b) ( 6) c) d) 4 3 ( 6) Tarkista tulos laskimella. 14. a) 7 (5 + 3 (2 + 3)) b) (4 (5 2) 7) : 5 c) 2 (8 (1 + 4)) 15. a) 40 [5 + 4 ( )] b) 12 {11 [10 (9 8)]} c) 3 {1 + [4 (2 + 3) 10] : 5} 16. Esitä lauseke sanallisesti ja laske lausekkeen arvo. a) (5 + 15) 4 b) (14 6) : 4 c) (12 5) (5 + 3) d) 18 (80 50) : 10 kotitehtävät 17. a) b) c) d) : a) b) 3 (4 + 5) 2 c) ( ) 2 d) 3 ( ) 19. a) b) 6 (9 5) 8 c) (6 9 5) 8 d) 6 (9 5 8) 20. a) ( 7) ( 8) + ( 5) 6 b) c) : 12 4 d) 3 (10 8) Tarkista tulos laskimella. a) 4 (2 (3 + 1) 5) b) (12 2 (4 1)) : 3 c) (2 ((3 + 4) 6)) : (10 : 5) d) 32 {11 [7 (3 + 2)]} 22. Kirjoita lauseke ja laske. a) lukujen 5 ja 3 summa kerrottuna neljällä b) lukujen 14 ja 8 erotus jaettuna kolmella c) lukujen 6 ja 3 tulon ja osamäärän summa d) lukujen 4 ja 5 tulo vähennettynä luvusta 18 54
8 Ekstra Päässälaskukeinoja Summa ja tulo pysyvät samoina, vaikka lukujen järjestystä vaihdetaan. Laskemista voidaankin usein helpottaa vaihtamalla lukujen järjestystä. Myös kerto- ja jakolaskua voidaan yksinkertaistaa laskemalla lukuyksiköittäin tai yhdistämällä lukuja. EsimErkki 6 a) = = = 0 b) = = = EsimErkki 7 a) = = = b) = = = c) = (93 + 7) 67 = = d) 130 : 5 80 : 5 = (130 80) : 5 = 50 : 5 = Ryhmittele luvut ja laske. a) b) c) d) Miten lasket helpoimmin? a) b) c) ( 29) d) Laske ilman laskinta. 25. a) 12 7 b) 16 8 c) 9 16 d) a) b) c) d) a) b) c) 98 4 d) a) 13 7 b) 15 : : 4 c) d) P U L M A = = = = 4 Kopioi lasku vihkoosi ja lisää ruutuihin puuttuva laskutoimitus merkki, :, + tai. Voit myös käyttää sulkeita. 55
9 15 Kertaus 1 Numeroista lukuja 1. Kirjoita luku lukuyksiköiden mukaisena summalausekkeena. a) 235 b) c) 10,25 d) 0,029 2 Luonnolliset luvut 2. Esitä luku 12 kahden luonnollisen luvun a) summana b) erotuksena c) tulona d) osamääränä. 3 Luonnollisten lukujen jaollisuus 3. Tutki, onko luku 96 jaollinen luvulla a) 2 b) 3 c) 5 d) 9. Perustele. 4 Tekijöihin jakaminen ja alkutekijät 4. Mitkä luvuista 4, 7, 10, 11, 15, 17, 23 ja 33 ovat alkulukuja? Perustele. 5. Jaa luku alkutekijöihin. a) 24 b) 50 c) 54 d) Kokonaisluvut 6. Mikä kokonaisluku on yhtä kaukana luvuista a) 3 ja 11 b) 2 ja 10 c) 5 ja 11 d) 8 ja 22? 6 Vastaluku 7. Mikä on luvun a) 5 vastaluvun vastaluku b) 3 vastaluvun vastaluku c) +6 vastaluvun vastaluvun vastaluku d) 11 vastaluvun vastaluvun vastaluku? 7 Kokonaislukujen yhteenlasku 8. a) 3 + ( 5) b) 6 + ( 9) c) d) 9 + ( 5) 8 Kokonaislukujen vähennyslasku 9. a) 5 ( 8) b) 3 9 c) 5 11 d) 5 ( 1) 10. Mikä luku sopii kirjaimen x paikalle? a) 15 + x = 9 b) 4 + x = 3 c) 5 x = 9 d) x 8 = 2 9 Yhteen- ja vähennyslaskua kokonaisluvuilla 11. a) 18 ( 12) b) 14 + ( 22) c) 21 (+18) d) 27 + (+12) 12. a) b) c) d) a) 8 + ( 5) ( 2) b) 8 + ( 3) 10 c) 9 + ( 6) ( 2) d) ( 4) 10 Itseisarvo 14. a) 12 4 b) 2 1 c) 3+ 7 d) a) b) c) 1 7 d)
10 11 Kokonaislukujen kertolasku 16. a) 5 ( 6) b) 4 ( 8) c) 3 ( 2) 5 d) 4 ( 2) ( 1) Mikä luku sopii kirjaimen x paikalle? a) 3 x = 36 b) 5 x = 45 c) x ( 6) = 60 d) x ( 7) = Kokonaislukujen jakolasku 18. a) 48 8 d) 55 5 b) c) 45 5 e) 72 : ( 9) f) 84 : ( 7) 19. Kirjoita kolme erilaista osamäärää, joiden arvo on a) 3 b) 5 c) Luvun potenssi 20. Laske potenssin arvo. a) 8 2 b) 4 2 c) ( 5) 2 d) ( 2) 3 e) 2 3 f) Päättele, onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen. a) b) ( 528) 689 c) ( 975) 848 d) Yhdistettyjä laskutoimituksia 22. a) b) c) d) a) 24 : 6 5 b) : 4 c) 96 : d) 72 : : a) c) b) d) 3 ( 1) 25. a) 7 3 b) c) 48: d) a) 36 5 (2 + 3) b) 15 : (5 2) + 3 c) 4 (10 (12 4)) d) 9 (12 4) : 12 Kokoavia tehtäviä 27. Mikä on pienin luonnollinen luku, joka on jaollinen a) kolmella ja viidellä b) kahdella, kolmella ja viidellä c) kahdella, kolmella, viidellä ja seitsemällä? 28. a) b) c) d) 6 : : a) 5 + [14 3 (2 + 2)] b) 25 {6 + [18 (5 + 3)]} c) 48 : {2 [4 (8 2) 10]} 30. Mikä numero X:n paikalla voi olla, kun luku 81 X75 on jaollinen a) kahdella b) kolmella c) viidellä d) yhdeksällä e) kymmenellä f) 25:llä? 31. Laske laskimella. a) 12 3 b) ( 18) 5 c) 4 10 d) ( 45) 4 e) ( 9) 5 f) ( 2) Mikä tai mitkä kokonaisluvut käyvät kirjai men n paikalle? a) n 5 = 32 b) 10 n = c) n 15 = 1 d) n 20 = 1 e) 1 n = 1 f) 5 n 4 =
1 Numeroista lukuja 1.
1 1 Numeroista lukuja Mitä lukuyksikköä edustaa numero a) 4 luvussa 5 469 satoja b) 7 luvussa 35,271 sadasosia c) 1 luvussa 0,5281? kymmenestuhannesosia Kirjoita lukuyksiköiden mukaisena summalausekkeena.
LisätiedotHuom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä
61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o
LisätiedotAiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan!
Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen
LisätiedotLAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
Lisätiedot8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta
8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotLaskentaa kirjaimilla
MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien
LisätiedotLuvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7
Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.
LisätiedotRatkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...
Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.
LisätiedotNegatiiviset luvut ja laskutoimitukset
7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 1. Negatiiviset ja positiiviset luvut sekä vertailut... 4 2. Lukujen vertailu... 8 3. Plussien
LisätiedotNegatiiviset luvut ja laskutoimitukset
7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 1. Negatiiviset ja positiiviset luvut sekä vertailut... 4 2. Lukujen vertailu... 8 3. Plussien
Lisätiedot1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?
Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2
LisätiedotNegatiiviset luvut ja laskutoimitukset
7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset 2 Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Sisällys 1. Negatiiviset
LisätiedotPERUSKOULUSTA PITKÄLLE
Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotJaollisuus kymmenjärjestelmässä
Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1)
LisätiedotAloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun
Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotTehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus
Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,
LisätiedotA L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS
K. V Ä I S Ä L Ä A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A I KAHDESTOISTA PAINOS PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ Kouluhallituksen hyväksymä WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖN KIRJAPAINOSSA
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
LisätiedotKORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI
1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, MATERIAALI 1) Potenssi ) Juuri ) Polynomit 4) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa (tehtävissä esitellään myös. asteen yhtälön ratkaisu)
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotMAY01 Lukion matematiikka 1
MAY01 Lukion matematiikka 1 - Oppikirja: Yhteinen tekijä, Lukion matematiikka 1: Luvut ja lukujonot (paperisena tai sähköisenä ) - Kurssilla tarvitaan myös tietokone, TI-laskinohjelma, geogebraohjelma,
LisätiedotOpettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.
MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9
LisätiedotC = P Q S = P Q + P Q = P Q. Laskutoimitukset binaariluvuilla P -- Q = P + (-Q) (-Q) P Q C in. C out
Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu (2).9.2 Fe C = Aseta Aseta i i = n i > i i i Ei i < i i i Ei i i = Ei i i = i i -- On On On C in > < = CI CO C out -- = + (-) (-) = + = C + Digitaalitekniikan matematiikka
Lisätiedot1 PERUSLASKUTAITOJA. ALOITA PERUSTEISTA 1A. a) = 4 15 = 11. Vastaus: 11. b) 2 ( 6 + 5) = 2 ( 1) = 2. Vastaus: 2. c)
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 PERUSLASKUTAITOJA ALOITA PERUSTEISTA A. a) 5 = 5 = Vastaus: b) ( 6 + 5) = ( ) = Vastaus: c) 0 0 6 Vastaus: 6 d) 8 + 8 : = 8
LisätiedotMatematiikka vuosiluokat 7 9
Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa
LisätiedotOulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut
Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut
Lisätiedot5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä
5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä Lukujen esitykset eri lukujärjestelmissä Muunnokset lukujärjestelmien välillä Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä. 5.1. Muunnokset lukujärjestelmien välillä
LisätiedotAvainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku
Pasi Leppäniemi OuLUMA, sivu 1 POLYNOMIPELI Avainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku Luokkataso: 8-9 lk Välineet: pelilauta, polynomikortit, monomikortit, tuloskortit,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotMatematiikka 3 osp. Taso T1. OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp
Taso T1 Matematiikka 3 osp OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp Tämän kolmiosaisen materiaalin avulla opiskelija voi suorittaa itsenäisesti tai ohjatusta matematiikan pakollisen osa-alueen tasolla T1. Osa
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotAVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 1: Lasketaan reaaliluvuilla
Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio : Lasketaan reaaliluvuilla Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. Tervetuloa opiskelemaan Avoimen Matematiikan pariin Yläkoulun
LisätiedotRaija Lindroos-Heinänen. Laskutaito. O p e t ta j a n. WSOY Oppimateriaalit Oy Helsinki
Raija Lindroos-Heinänen Laskutaito O p e t ta j a n opas WSOY Oppimateriaalit Oy Helsinki YHTEYSTIEDOT Tilaukset WSOY Kirjakeskus Porvoon asiakaspalvelu puh. (0) 0 faksi (0) 0 sähköposti: wsoy-tilaukset@wsoy.fi
LisätiedotKESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotLUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016
LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 Lukujonot Tarvikkeet: siniset ja vihreät lukukortit Toteutus: yksin, pareittain,
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotKOKEITA KURSSI Kirjoita potenssimerkintдnд a) b) ( 4) ( 4) ( 4) c)
KOKEITA KURSSI MATEMATIIKAN KOE KURSSI (A). Kirjoita potenssimerkintдnд a) 9 9 9 9 9 b) ( ) ( ) ( ) c) 7 7 7... 7 d) luvun 8 neliц e) luvun kuution vastaluku. 77 kpl. Laske lausekkeen a b arvo, kun a)
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
LisätiedotPython-ohjelmointi Harjoitus 2
Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento
LisätiedotValitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2
Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-
LisätiedotSeguinin lauta A: 11-19
Lukujen syventäminen Kun lapsi ryhtyy montessorileikkikoulussa syventämään tietouttaan lukualueesta 1-1000, uutena montessorimateriaalina tulevat värihelmet. Värihelmet johdattavat lasta mm. laskutoimituksiin,
Lisätiedotkymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla
7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen
Lisätiedot27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella
LisätiedotKenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka)
sivu / 2 IKET VSTUSVIHTEHDT N LLEVIIVTTU. 3 pistettä. Minkä laskun tulos on suurin? () 20 (B) 20 (C) 20 (D) + 20 (E) : 20 20 20, 20, 20 20 20 202 ( suurin ) ja : 20 0,0005 2. Hamsteri Fridolin suuntaa
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 1 31.1.-1.2.2018 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka tutkii onko kokonaisluku tasan jaollinen jollain toisella kokonaisluvulla siten, että ei käytetä lainkaan jakolaskuja Jaettava
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
LisätiedotJokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.
Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero
LisätiedotNeure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05
Neure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05 Matematiikka Huom! Mikäli tehtävällä ei vielä ole molempia teknisiä koodeja, tarkoittaa se sitä, että tehtävä ei ole vielä valmis jaettavaksi käyttöön, vaan
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
LisätiedotSuurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.)
Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.) LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Määritelmä, yhteinen tekijä ja suurin yhteinen tekijä: Annettujen lukujen a ja b yhteinen tekijä
LisätiedotTässä riisinjyvien määrät jokaisessa ruudussa on laskettava yhteen. Tällöin tuloksena on
8. Luvut 8.1 Suuret luvut, summa ja kertoma Aloittakaamme shakkipelin keksimiseen liittyvällä tunnetulla tarinalla. Intian hallitsija innostui kovasti shakkipelistä, jonka yksi palatsin viisaista miehistä
LisätiedotNeljän alkion kunta, solitaire-peli ja
Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat
LisätiedotLukujärjestelmät. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen Fe
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen.9.2 Fe Lukujärjestelmät Kymmen- eli desimaalijärjestelmä: kantaluku perinteisesti käytetty ja tuttu numerot,,
Lisätiedot3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.
LisätiedotPUHUTAAN NUMEROILLA Murtoluvut Desimaaliluvut tai
PUHUTAAN NUMEROILLA Murtoluvut 1/2 yksi kahdesosaa (puoli) 2/3 kaksi kolmasosaa 3/4 kolme neljäsosaa 4/5 neljä viidesosaa 5/6 viisi kuudesosaa 6/7 kuusi seitsemäsosaa 7/8 seitsemän kahdeksasosaa 8/9 kahdeksan
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotMABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005
MABK1 Kurssimateriaali Eiran aikuislukio 2005 Sisältö 1 Sanasto 1 2 Luvut ja laskutoimitukset 5 2.1 Lukujoukot................................ 5 2.2 Peruslaskutoimitukset.......................... 6 2.3
LisätiedotAVOIN MATEMATIIKKA Osio 1: Lasketaan reaaliluvuilla
Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA Osio : Lasketaan reaaliluvuilla Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. Tervetuloa opiskelemaan Avoimen Matematiikan pariin Yläkoulun Avoin
LisätiedotXXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut
XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotJohdatus Ohjelmointiin
Johdatus Ohjelmointiin Syksy 2006 Viikko 2 13.9. - 14.9. Tällä viikolla käsiteltävät asiat Peruskäsitteitä Kiintoarvot Tiedon tulostus Yksinkertaiset laskutoimitukset Muuttujat Tiedon syöttäminen Hyvin
LisätiedotLukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
LisätiedotKohdissa 2 ja 3 jos lukujen valintaan on useita vaihtoehtoja, valitaan sellaiset luvut, jotka ovat mahdollisimman lähellä listan alkua.
A Lista Aikaraja: 1 s Uolevi sai käsiinsä listan kokonaislukuja. Hän päätti laskea listan luvuista yhden luvun käyttäen seuraavaa algoritmia: 1. Jos listalla on vain yksi luku, pysäytä algoritmi. 2. Jos
LisätiedotOppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:
9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
LisätiedotHarjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat
Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.
LisätiedotMatematiikan itsenäisiä tehtäviä
Matematiikan itsenäisiä tehtäviä Luvut ja niiden nimet suomeksi Laskutoimitusten nimiä suomeksi Perustehtävät Luvut ja niiden nimet suomeksi 1. Kirjoita luvut suomeksi. a) 155 sadat kymmenet ykköset b)
Lisätiedot3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
LisätiedotKerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:
Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
Lisätiedotniin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.
Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotKenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 (lukion 1. vuosikurssi) Ratkaisut
Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 3 pistettä 1. Sannalla oli neliön muotoisia paperiarkkeja, joille hän piirsi kuvioita. Kuinka monella näistä kuvioista on yhtä suuri piiri kuin paperiarkilla? (A) 2 (B)
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op)
Johdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Mitä matematiikka on? Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistä peruskäsitteistä ja perustotuuksista
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
Lisätiedot15 Yhtäsuuruuksia 1. Päättele x:llä merkityn punnuksen massa. a) x 4 kg. x 3 kg
1 15 Yhtäsuuruuksia Päättele :llä merkityn punnuksen massa. a) 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg b) 1 kg 5 kg 5 kg 4 kg 3 kg Kuinka monta ympyrää jälkimmäisen vaa an oikealle puolelle on laitettava, jotta
LisätiedotTEHTÄVIEN KUVAUKSET. 3. luokan opintopolku (Laskutaito-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI
TEHTÄVIEN KUVAUKSET 3. luokan opintopolku (Laskutaito-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI -TEKSTI- ESSI TAMMINEN -TAITTO- TOMMY JOHANSSON 2015 VILLE TEAM Esipuhe Tämä kirja on kokonaiskatsaus
LisätiedotOpettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 18:40-20:05, luokka 26.
MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 18:40-20:05, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 9.1 ke 11.1 ma 16.1 ke 18.1 ma 23.1 ke 25.1 ma 30.1 ke 1.2 ma 6.2 ke 8.2
Lisätiedot