Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
|
|
- Auvo Toivonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan luku = yhtälöön. + = + 7 = 0 Yhtälö on epätosi, joten = ei ole yhtälön ratkaisu. Vastaus: ei ole A. a) 0 : Vastaus: = b) 9 9 :( ) 4 Vastaus: = 4
2 A. a) ( 4) 8 8 :( ) Tarkistetaan sijoittamalla ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön. ( + 4) = 9 = = Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: = b) 6 6 : Tarkistetaan sijoittamalla ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön. 4 6 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: =
3 c) (6) 6 0 :( ) 6 Tarkistetaan sijoittamalla ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön. 6 6(6) Yhtälö on tosi, joten = 6 on yhtälön ratkaisu. Vastaus: = 6
4 4A. a) Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = ja c = 0. Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a 4 ( 0) tai Vastaus: = tai b) Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = ja c = 4. Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a ( ) ( ) 4 ( ) 4 () 8 4 tai Vastaus: = 4 tai =
5 c) Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = ja c = 0. Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a ( ) ( ) tai 0 0 Vastaus: = tai = 0
6 y 4 A. a) Ratkaistaan yhtälöpari y yhteenlaskumenetelmällä. Eliminoidaan ensin muuttuja. y 4 ( ) y 4y 8 y 4y y 8 y :( ) y Sijoitetaan y = ylempään alkuperäiseen yhtälöön + y = 4 ja ratkaistaan. () 4 4 Tarkistetaan sijoittamalla ratkaisu =, y = molempiin yhtälöparin yhtälöihin. + ( ) = 4 4 = 4 ( ) ( ) = = Molemmat yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöparin ratkaisu on = ja y =. Vastaus: = ja y =
7 y 0 b) Ratkaistaan yhtälöpari 4y y0 4y y 4y sijoitusmenetelmällä. Sijoitetaan ylempi yhtälö alempaan yhtälöön ja ratkaistaan saadusta yhtälöstä muuttuja. 4( ) 44 6 : 6 Sijoitetaan 6 yhtälöön y = ja sievennetään. 6 y 6 Tarkistetaan sijoittamalla ratkaisu yhtälöparin yhtälöihin. 6, y molempiin 6 ) Molemmat yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöparin ratkaisu on y. Vastaus: 6 ja y 6 ja
8 6A. a) Yhtälö on verranto. Ratkaistaan se kertomalla ristiin. 6 6( ) ( ) 6 7 Vastaus: = 7 b) Ratkaistaan verranto kertomalla ristiin. 9 9 Vastaus: = ± c) Ratkaistaan verranto kertomalla ristiin : Vastaus: 8 7
9 7A. a) 4 :4 8 8 Vastaus: = b) : Vastaus: = ± c) Vastaus: =
10 8A. a) Vastaus: 8 b) y 64 y 6 y 6 Koska kantaluvut () ovat yhtäsuuret myös eksponenttien (y ja 6) oltava yhtäsuuret Vastaus: y = 6 c) z 64 z 64 z 4 Vastaus: z = 4
11 9A. a) Kun kantaluvut ovat yhtä suuret, myös eksponenttien oltava yhtä suuret. Vastaus: = b) Vastaus: = c) 8 ( ) 6 6 Vastaus: = 6 d) Vastaus: =
12 e) Vastaus: = f) 0 0, Vastaus: =
13 60A. Merkitään matkan kokonaishintaa kirjaimella. Alkuperäinen yhden matkustajan hinta oli. Kun matkustajia tuli kaksi lisää, yhden matkustajan hinta pieneni 0 eurolla. Yhden matkustajan hinnan lauseke on siis 0. Toisaalta yhden matkustajan hinta saadaan lausekkeella. Merkitään nämä lausekkeet yhtä suuriksi ja ratkaistaan matkan kokonaishinta : 7 ) ) Matkan kokonaishinta oli 7, joten yhden matkustajan hinta oli 7. Vastaus: euroa
14 6A. a) Merkitään osakkeen alkuperäistä arvoa kirjaimella. Osakkeen arvo nousi 0 %, joten se tuli 00 % + 0 % = 0 % =,-kertaiseksi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä osakkeen alkuperäinen arvo.,0 :,0 8 Osakkeen alkuperäinen arvo oli 8 euroa. Vastaus: 8 euroa b) Merkitään osakkeen alkuperäistä arvoa kirjaimella. Osakkeen arvo nousi ensin 0 %, eli osakkeen arvo tuli,0-kertaiseksi ja laski sitten 0 %, eli osakkeen arvo tuli 0,80-kertaiseksi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä osakkeen alkuperäinen arvo. 0,80,0 8,0 0,96 8,0 :0,96 8, ,6 Osakkeen alkuperäinen arvo oli 8,6 euroa. Vastaus: 8,6 euroa
15 6A. a) Merkitään kilohintaa kirjaimella ja kirjataan tiedot taulukkoon. Hinta ( ) Paino (g) 8, Kahvipapujen hinta ja paino ovat suoraan verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä kilohinta. 8, , : 40 9,... 9,6 Kahvipapujen kilohinta on 9,6. Vastaus: 9,6 /kg b) Merkitään koulumatkaan autolla kuluvaa aikaa kirjaimella ja kirjataan tiedot taulukkoon. Aika (min) Nopeus (km/h) Aika ja nopeus ovat kääntäen verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä aika. : 9, Autolla koulumatka kestää noin 0 minuuttia. Vastaus: 0 min
16 VAHVISTA OSAAMISTA 6B. a) ( ) 0 7 Piirretään alkuperäisen yhtälön vasemmalla puolella ja oikealla puolella olevia lausekkeita vastaavien funktioiden kuvaajat. Suorat näyttäisivät olevan yhdensuuntaisia, joten niillä ei ole yhteisiä pisteitä ja yhtälöllä ei siten ole ratkaisua. Vastaus: ei ratkaisua
17 b) : Piirretään alkuperäisen yhtälön vasemmalla puolella ja oikealla puolella olevia lausekkeita vastaavien funktioiden kuvaajat. Suorat näyttävät leikkaavan kohdassa oikein. Vastaus:, joten ratkaisu on
18 c) ( ) Piirretään alkuperäisen yhtälön vasemmalla puolella ja oikealla puolella olevia lausekkeita vastaavien funktioiden kuvaajat. Suorat yhtyvät, joten yhtälö toteutuu kaikilla :n arvoilla. Vastaus: yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla
19 64A. a) 4() : ( Vastaus: b) ) 0) 0) : ( ) ( 0 6 Vastaus: 6
20 y 6A. Suorien leikkauspiste on yhtälöparin y yhtälöpari. ratkaisu. Ratkaistaan y y yy 6 : Ratkaistaan leikkauspisteen y-koordinaatti sijoittamalla = ylempään alkuperäiseen yhtälöön. y y : y Vastaus: pisteessä,
21 66A. a) (4) ( ) 6 0 Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = ja c =. Sijoitetaan kertoimet toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a ( ) ( ) 4 Juurrettava on negatiivinen luku, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: ei ratkaisua
22 b) ( ) 0 00 Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = ja c = 0. Sijoitetaan kertoimet toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a 80 0 ( ) ( ) 4 ( 0) Vastaus: 0
23 c) (4 ) Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a = 4, b = 4 ja c =. Sijoitetaan kertoimet toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b ac 4 a (4 4 8 Vastaus: ( 4) ( 4) 4 4
24 d) ( ) 4 ( )( ) Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = 4 ja c = 0. Sijoitetaan kertoimet toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a tai Vastaus: = 0 tai = 4
25 67A. a) : Vastaus: b) 8 6 ( )( ) Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a = 4, b = 8 ja c =. Sijoitetaan kertoimet toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a (4) ( 4) ( ) (4 ( tai Vastaus: tai
26 68A. a) Ratkaistaan yhtälöt. : ( 7) ( 7) 4 ( 0) tai Molemmilla yhtälöillä on ratkaisuna Vastaus: on. b) Merkitään lausekkeet yhtä suuriksi ja ratkaistaan saatu yhtälö. ( ) 6 : Vastaus: =
27 69A. Lausekkeen nollakohdat ratkaistaan yhtälöstä ( + )( ) = 0. ( )( ) Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = ja c = 0. Sijoitetaan kertoimet toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a 4 ( ) 0 () 0 0 tai Lausekkeen nollakohtia ovat = 0 ja = Vastaus: = 0 tai =
28 70A. a) Ratkaistaan yhtälöpari. y 4 ( ) y 4y 8 y 4yy8 7 :( ) 7 Ratkaistaan muuttuja y yhtälöstä + y = 4. y 4 y 4 y 4 7 ) y 4 4 y 0 4 y 6 Vastaus: 7 ja y 6
29 b) Ratkaistaan yhtälöpari. y y y y : Ratkaistaan muuttuja y yhtälöstä y. y y y Vastaus: ja y
30 7A. a) Vastaus: 7 b) (4) (6) 44 : 4 4 Vastaus: = ± c) 4 ( ) 4 8 Minkään reaaliluvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: ei ratkaisua
31 7B. a) Koska kantaluvut ovat yhtä suuret, myös eksponenttien oltava yhtä suuret : 4, Vastaus: 4, b) Ratkaistaan yhtälö logaritmin avulla. 0 log0 lg, 08 Vastaus: = lg,08 c) Koska = 8, yhtälön oikealle puolelle saadaan luvun potenssi. 8 : 0,67 Vastaus: 0,67
32 d) Koska = 7, yhtälön vasemmalle puolelle saadaan luvun potenssi. 7 9 () : 0,0 () 9 Vastaus: 0,0 e) e 0 e : e loge ln,0 Vastaus: = ln,0 f) :0 7 4 Luvun 7 potenssi ei voi olla negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: ei ratkaisua
33 7A. a) Esimerkiksi yhtälön = 0 yksi juuri on =, koska 0 Vastaus: esim. = 0 b) Yhtälö toteutuu, kun =. Sijoitetaan = yhtälöön ja ratkaistaan kerroin a. ( ) a ( ) a () a 6a a 8 : a 4 Vastaus: a = 4 74B. Merkitään Aadan ostaman kryptovaluutan määrää kirjaimella. Kun valuutan arvo romahti 6 %, Aadan valuutan arvo väheni 0,6. Toisaalta arvo väheni 4 0. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä alkuperäinen kryptovaluutan määrä. 0,6 4 0 : 0, , ,6 Aada oli ostanut kryptovaluuttaa 68 80,6 eurolla. Vastaus: 68 80,6 eurolla
34 7A. Merkitään yhden BitCoinin kauppahintaa vuotta aiemmin kirjaimella. BitCoinin arvo nousi 900 %, eli se tuli 00 % % = 000 % = 0-kertaiseksi vuodessa. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä kauppahinta :0 600 Yhden BitCoinin kauppahinta vuotta aiemmin oli 600 $. Vastaus: 600 $ 76A. a) Merkitään aikaa kirjaimella. Merkitään tiedot taulukkoon. Maalarien määrä Aika (työpäivää) Mitä enemmän työntekijöitä, sitä nopeammin urakka tulee tehdyksi. Suureet ovat siis kääntäen verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä aika. 0 Yhdeltä maalarilta aikaa kuluisi 0 työpäivää. Vastaus: 0 työpäivää
35 b) Merkitään aikaa kirjaimella. Merkitään tiedot taulukkoon. Maalarien määrä Aika (työpäivää) Suureet ovat siis kääntäen verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä aika. 0 : 0 Viideltätoista maalarilta aikaa kuluisi työpäivää. Tämä on 8 h,...h h 0 min. Vastaus: h 0 min 77B. Merkitään autojen määrää kirjaimella a ja mopojen määrää kirjaimella m. Koska yhdessä autossa on 4 rengasta, niin a:ssa autossa on 4a rengasta ja vastaavasti m:ssä mopossa on m rengasta. Kulkuneuvojen ja renkaiden määristä saadaan yhtälöt. Muodostetaan yhtälöistä yhtälöpari ja ratkaistaan siitä autojen ja mopojen määrät. 0 a m 4am96 Symbolisen laskennan ohjelmalla yhtälöparin ratkaisuksi saadaan a = 8 ja m =. Parkkipaikalla on 8 autoa ja mopoa. Vastaus: 8 autoa ja mopoa
36 78B. Merkitään minun ikääni nyt kirjaimella m ja lapseni ikää nyt kirjaimella l. Nyt ikäni on 7 vuotta enemmän kuin lapseni ikä kolminkertaisena muodostaa valituilla kirjaimilla yhtälön m = l + 7. Minun ikäni 9 vuotta sitten oli m 9 ja lapseni ikä l 9. Tuolloin lapseni ikä -kertaisena oli (l 9). Muodostetaan tiedoista yhtälöpari ja ratkaistaan siitä iät m ja l. m9( l9) ml7 Symbolisen laskennan ohjelmalla yhtälöparin ratkaisuksi saadaan m = 4 ja l =. Minä olen nyt 4-vuotias ja lapseni -vuotias. Vastaus: 4 vuotta, vuotta 79B. Merkitään talvinopeusrajoitusta kirjaimella. Kirjataan tiedot taulukkoon. Nopeus (km/h) Aika (min) + 0 Nopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä nopeus. 0 Symbolisen laskennan ohjelmalla yhtälön ratkaisuksi saadaan = 80 km/h. Talvinopeusrajoitus on 80 km/h. Vastaus: 80 km/h
37 80A. Merkitään varren halkaisijaa 90 vrk:n ikäisenä kirjaimella. Merkitään tehtävän tiedot taulukkoon. Halkaisija (mm) ikä vrk Varren halkaisija on suoraan verrannollinen kasvin iän neliöjuureen. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä varren halkaisija : 40 8 Kasvin varsi on 8 mm paksu. Vastaus: 8 mm
38 8B. Loppumatkaan kuluva aika on min h 4 Kokouksen alkuun on aikaa h = h t matka 0 km h. nopeus 80 km/h 8 Nopeudella 70 km/h loppumatkaan kuluu aikaa t matka 0 km h. nopeus 70 km/h 7 Herra Hoppulainen myöhästyisi siis h 0,0... h 8,4... min 8 min. 7 8 Jotta hän olisi ajoissa perillä, hänen tulisi ajaa nopeudella v matka 0 km 40km/h. aika h 8 Vastaus: noin 8 minuuttia, 40 km/h
39 8B. Merkitään Diofantoksen elinikää kirjaimella. Muodostetaan tarinan avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä Symbolisen laskennan ohjelmalla yhtälön ratkaisuksi saadaan = 84. Diofantos saavutti 84 elinvuotta. Vastaus: 84 vuotta 8B. Merkitään lisättävän veden määrää kirjaimella. Suolan määrä 0-prosenttisessa liuoksessa on 0, 4 kg = 0,4 kg. Uuden liuoksen kokonaismassa on 4 + kg, ja suolan määrä uudessa liuoksessa on 0,08(4 + ). Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä tilavuus. 0,4 0,08(4 ) 0,4 0, 0,08 0,08 0,08 Vettä on lisättävä kg. Vastaus: kg
40 84B. Merkitään lisättävän kuohuviinin määrää kirjaimella. Kirjataan tiedot taulukkoon. Mansikkamehu (l) Kuohuviini (l) Yhteensä Sekoitus alussa 0, 4,0 =, 0,7 4,0 =,8 4,0 Lisäys 0 Sekoitus lopussa,, Lopullisessa sekoituksessa on oltava 0 % mansikkamehua, eli 0, (4 + ) litraa. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä lisättävän kuohuviinin määrä. 0,(4 ), : 0, 4 6 Kuohuviiniä täytyy lisätä litraa. Vastaus: litraa
41 8B. Merkitään meetvurstin massaa kirjaimella a, jolloin rasvan massa on 0,6a. Merkitään poistettavan rasvan määrää kirjaimella. Uutta meetvurstia on tällöin a ja siinä on rasvaa 0,6a. Muodostetaan yhtälö, kun tiedetään, että uuden meetvurstin rasvapitoisuus on 0 % = 0,. Ratkaistaan yhtälöstä ohjelman avulla poistettavan rasvan määrä. 0,( a ) 0,6a Lasketaan kuinka monta prosenttia vähennettävän rasvan määrä 0,087...a on alkuperäisestä rasvan määrästä 0,6a. 0, a 0,8... 0,6a Alkuperäisestä rasvan määrästä on vähennettävä,8 % 4 % rasvaa. Vastaus: 4 %
42 86B. a) Sijoitetaan yhtälöön luvut kehon massa = 0, EQ-luku =,0 ja ratkaistaan ohjelman avulla koiran aivojen massa., 0 0,00 Koiran aivojen massa on 0,06 kg 0,06 kg = 6 g. Vastaus: 6 g b) Sijoitetaan yhtälöön luvut EQ-luku = 7,, aivojen massa =, ja ratkaistaan ohjelman avulla ihmisen keskimääräinen massa. Negatiivinen ratkaisu ei ole mahdollinen, joten ihmisen keskimääräisenä massana on käytetty lukuarvoa 8,094 kg 8 kg. Vastaus: 8 kg
43 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 87A. Muokataan yhtälöä muotoon, jossa yhtälön toisella puolella on vain. y y y ( y) ( y) yy 7 y :( y) 7 y Vastaus: 7 y 88A. a) Yhtälöparilla on ääretön määrä ratkaisuja, jos yhtälöparin yhtälöt ovat sama yhtälö. Muokataan alempaa yhtälöä ja valitaan vakioille k ja b sellaiset arvot, että yhtälöt ovat samat. 4y 0 4 y kb 4y 0 k 4 y b Huomataan, että, jos k = ja b = 0 yhtälöt ovat samat ja yhtälöparilla on ääretön määrä ratkaisuja. Vastaus: k =, b = 0
44 b) Yhtälöparilla ei ole ratkaisua, jos yhtälöitä vastaavat suorat ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy. Muutetaan molemmat yhtälöt ratkaistuun muotoon. 4y 0 4 y kb 4 y 0 : 4 4 y kb : 4 y y k b 4 4 Jotta suorat olisivat yhdensuuntaiset, on kulmakertoimien oltava yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä k. k 4 4 k Jotta suorat eivät yhtyisi on suorien vakiotermien oltava eri suuret siis b 4 4 b 0 Yhtälöparilla ei ole yhtään ratkaisua, jos k = ja b 0.` Vastaus: k =, b 0 c) Yhtälöparilla on yksi ratkaisu, jos yhtälöitä vastaavat suorat leikkaavat toisensa eli ovat eri suuntaiset. Tämä tapahtuu a- ja b- kohtien perusteella silloin, kun k. Vastaus: k
45 89A. Yhtälö toteutuu, kun =. Sijoitetaan = yhtälöön ja ratkaistaan vakio a. a a ( ) 0 a( ) ( a )( ) 0 aa 0 a a0 4 ( ) a () a 9 a tai a Sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön ensin a = ja ratkaistaan yhtälö. a ( a ) 0 ( ) tai 4 4 Kun a =, on toinen juuri. Sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön a = ja ratkaistaan yhtälö. a ( a ) 0 (( ) ) 0 0 Kun a =, on toinen juuri =. Vastaus: a =, ja a =, =
46 90A. a) Yhtälön juuret ja saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Lasketaan juurten summa. 4 4 a a b b 4ac b b 4ac a b a b a Vastaus: b b ac b b ac b) Kohdan a mukaan yhtälön + = 0 juurten summa on b. a Vastaus: 9A. Yhtälön + + a = 0 diskriminantti on D = b 4ac = 4 a. Toisen asteen yhtälön juuret ovat yhtä suuret, kun diskriminantti on 0. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä vakio a. 4a 0 4a :( 4) a 4 Ratkaistaan toisen asteen yhtälö 0. 4 Ratkaisukaavalla saadaan: 4 b b 4ac 4 0. a Vastaus: a, 4
47 9A. a) Sijoitetaan a = ja y = muunnoskaavaan logb y log a y. log a b log log lg log lg 0 0 Vastaus: lg lg b) Yhtälön 4 = 6 ratkaisu on log 6 lg 6 0 log4 6. log0 4 lg 4 Vastaus:
48 9B. Merkitään syntymäpäivää merkinnällä pvkkvv. Muodostetaan ajatustenlukemistempun laskutoimitusten lauseke.. pv + 8. (pv + 8). ((pv + 8) ) 4. (((pv + 8) ) ) 8. ((((pv + 8) ) ) 8) 4 ((((pv 8) ) ) 8) ((((pv 8) ) ) 8) 4 kk ((((pv 8) ) ) 8) 4 8. kk ((((pv 8) ) ) 8) 4 9. kk 69 ((((pv 8) ) ) 8) 4 0. kk 69 0 ((((pv 8) ) ) 8) 4. kk 69 0 vv ((((pv 8) ) ) 8) 4. kk 69 0 vv 940 Sievennetään lauseke sopivalla ohjelmalla. Tulokseksi saadaan pv + 00 kk + vv eli luku pvkkvv. Vastaus:
49 94A. Välivaiheessa B on kirjain a korvattu yhtä suurella lausekkeella 4a a ja kirjain b korvattu yhtä suurella lausekkeella 4b b sekä kirjain c korvattu yhtä suurella lausekkeella 4c c. Välivaiheessa C on termejä siirretty yhtälön puolelta toiselle. Välivaiheessa D on yhtälön vasemmalla puolella otettu yhteinen tekijä 4 ja oikealla puolella yhteinen tekijä. Välivaiheen D jälkeen on yhtälö jaettu puolittain lausekkeella (a + b c) ja saatu välivaihe E. Tässä vaiheessa on tehty virhe, koska jakajana olevan lausekkeen arvo on nolla, sillä vaiheesta A nähdään, että a + b c = 0. Nollalla ei saa jakaa. Vastaus: Välivaiheessa B on kirjain a korvattu yhtä suurella lausekkeella 4a a ja kirjain b korvattu yhtä suurella lausekkeella 4b b sekä kirjain c korvattu yhtä suurella lausekkeella 4c c. Välivaiheessa C on termejä siirretty yhtälön puolelta toiselle. Välivaiheessa D on yhtälön vasemmalla puollella otettu yhteinen tekijä 4 ja oikealla puolella yhteinen tekijä. Välivaiheen D jälkeen on yhtälö jaettu puolittain lausekkeella (a + b c) ja saatu välivaihe E. Tässä vaiheessa on tehty virhe, koska jakajana olevan lausekkeen arvo on nolla, sillä vaiheesta A nähdään, että a + b c = 0. Nollalla ei saa jakaa.
50 y 9A. a) Esimerkiksi yhtälöryhmällä y on vain yksi ratkaisu. Ratkaistaan y ensin yhtäöryhmän kahden ensimmäisen yhtälön muodostama yhtälöpari. y 0 0 Sijoitetaan = 0 yhtälöryhmän ensimmäiseen yhtälöön, jolloin saadaan y = 0. Sijoittamalla = 0, y = 0 yhtälöryhmän viimeiseen yhtälöön huomataan, että se toteutuu, joten yhtälöryhmän ainoa ratkaisu on = 0 ja y = 0. y Vastaus: esim. y y y b) Esimerkiksi yhtälöryhmällä y ei ole ratkaisua. Kahden y ensimmäisen yhtälön muodostaman yhtälöparin ratkaisu on a-kohdan perusteella = 0 ja y = 0. Sijoittamalla = 0, y = 0 yhtälöryhmän viimeiseen yhtälöön huomataan, että se ei toteudu, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. y Vastaus: esim. y y
51 c) Kohta a: Yhtälöryhmä, jolla on yksi ratkaisu, tarkoittaa graafisesti sitä, että yhtälöryhmän suorilla on täsmälleen yksi sellainen piste, jonka kautta kaikki kolme suoraa kulkevat. Kohta b: Yhtälöryhmä, jolla ei ole ratkaisua, tarkoittaa graafisesti sitä, että kaikki yhtälöryhmän suorat eivät leikkaa samassa pisteessä. Kohdan b yhtälöryhmän kahden ylimmän suoran leikkauspiste on piste (0, 0). Ylin suora ja alin suora eivät leikkaa toisiaan laisinkaan, koska ne ovat yhdensuuntaiset. Vastaus: a-kohta: kaikilla kolmella suoralla on yhteinen leikkauspiste, b-kohta: kaikilla kolmella suoralla ei ole yhteistä leikkauspistettä
52 y 96A. a) Ratkaistaan yhtälöryhmä y z. y z 8 Kahdesta alimmasta yhtälöstä saadaan eliminoitua muuttujat ja z ja ratkaistua muuttuja y. y z ( ) y z 8 y z y z 8 y :( ) y Sijoitetaan saatu muuttujan y arvo ylimpään yhtälöön, jolloin saadaan ( ). Sijoitetaan = ja y = keskimmäiseen yhtälöön, jolloin saadaan z z 4. Yhtälöryhmän ratkaisu on siis y. z 4 Vastaus: y z 4
53 b) Ratkaistaan yhtälöryhmä yz 0 6yz 6 7yz Eliminoidaan toisesta ja kolmannesta yhtälöstä muuttuja z. 06yz 6 7yz 4y Eliminoidaan ensimmäisestä ja toisesta yhtälöstä muuttuja z. yz 06yz 6 ( ) 0y0z 0 y 0z 07 y 7 Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan siitä muuttujat ja y. 4y 0 07 y 7 040y 0 08y 4y 4 : 4 y Sijoitetaan y = yhtälöön 4y =, jolloin saadaan 4 = = =
54 Sijoitetaan = ja y = ylimpään yhtälöön, jolloin saadaan z z z 4 z Yhtälöryhmän ratkaisu on siis y. z Vastaus: y z 97B. Merkitään pienempää luonnollista lukua kirjaimella. Seuraava luonnollinen luku on +. Muodostetaan lukujen neliöiden erotusten avulla yhtälö ja ratkaistaan ohjelman avulla siitä luku. ( ) 68 Luvut ovat 40 ja 40 + = 4. Vastaus: 40 ja 4
55 98B. Muokataan yhtälöä. ( ) a a ( )( ) a ( ) a a a 0 a a a 0 ( a) aa0 Toisen asteen yhtälöllä täsmälleen yksi juuri silloin, kun diskriminantti D = 0. Muodostetaan diskriminantin avulla yhtälö ja ratkaistaan ohjelman avulla siitä a. b 4ac0 a a a ( ) 4( )( ) 0 4 D b ac Vastaus: a
56 99A. a) Yhtälön ratkaiseminen on aloitettu jakamalla yhtälö puolittain luvulla, jolloin on saatu välivaihe (F). Vaiheen (F) jälkeen yhtälöstä on vähennetty puolittain termi, jolloin on saatu välivaihe (C). Vaiheen (C) jälkeen on avattu sulkeet, jolloin on saatu välivaihe (E). Vaiheen (E) jälkeen yhtälöön on lisätty puolittain lauseke 4, jolloin on saatu välivaihe (D). Vaiheen (D) jälkeen on yhdistetty samanmuotoiset termit ja käännetty yhtälö ympäri, jolloin on saatu välivaihe (B). Vaiheen (B) jälkeen on yhtälö jaettu puolittain luvulla, jolloin on saatu yhtälön ratkaisu (G). Vastaus: Välivaiheen järjestysnumero Välivaihe A F C E D B G b) Yhtälön ratkaiseminen on aloitettu vaihtamalla yhtälön puolet keskenään. Tämän jälkeen on siirretty termit 4 ja 8 puolelta toiselle, jolloin on saatu välivaihe (B). Vaiheen (B) jälkeen yhtälöön on lisätty puolittain luku 4, jolloin on saatu välivaihe (E). Vaiheen (E) jälkeen polynomi on muutettu muotoon ( ) ja luku 6 on muutettu potenssiksi 4, jolloin on saatu välivaihe (F). Vaiheen (F) jälkeen on otettu neliöjuuri, jolloin on saatu välivaihe (D). Vaiheen (D) jälkeen on yhtälöön lisätty puolittain luku, jolloin on saatu yhtälön ratkaisu (G). Huomataan, että välivaihe (C) ei kuulu tämän yhtälön ratkaisuun. Vastaus: Välivaiheen järjestysnumero 4 6 Välivaihe A B E F D G
57 00A. Koska T = lg p eli T = log 0 p, niin p = 0 T. a) Alkoholinkäytöstä johtuvan kuoleman todennäköisyys on p = 0,8 = 0,0008 Tapaturmaisen kuoleman todennäköisyys on p = 0,4 = 0,00098 Tapaturmaisen kuoleman todennäköisyys on suurempi. Vastaus: tapaturmaisen kuoleman b) Tieliikenteessä loukkaantumisen todennäköisyys on p = 0, = 0,00060 Suomalaisia on noin,4 miljoonaa, joten suomalaisia loukkaantuu keskimäärin tieliikenteessä vuosittain 0, = 407, Vastaus: 400 0A. a) t t0 t t 0 ( ) ( ) 4 t 4 8 tai t Vastaus: t = tai t
58 b) TAPA : Yhtälö f ( ) f ( ) 0, on sama kuin a-kohdan yhtälö, mutta nyt muuttujan t paikalla on funktio f (). Kuvassa olevan suoran yhtälö on y, joten f ( ). Kohdassa a yhtälön ratkaisuiksi saatiin t = ja t. Nyt t = f (), joten muuttuja saadaan ratkaistua yhtälöistä f () = ja f( ). Ratkaistaan yhtälöt. ja
59 TAPA : Kuvassa olevan suoran yhtälö on y, joten f ( ). Sijoitetaan f ( ) yhtälöön f ( ) f ( ) 0, jolloin saadaan yhtälö ( ) ( ) 4 ( ) 9 tai Vastaus: = tai =
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
Lisätiedot4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
LisätiedotKäy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen asteen yhtälöt
Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
Lisätiedot( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty
Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Lisätiedotmatematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotVastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotMerkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =
Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?
LisätiedotYHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus
YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein
LisätiedotAlgebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotHuippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
LisätiedotMAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja funktioita
Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)
LisätiedotLukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]
Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
Lisätiedot6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt
6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (
LisätiedotPolynomi ja yhtälö Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x. Ratkaisu a) 7a b) 12x c) 6x + 6
Polynomi ja yhtälö 103. Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x a) 7a b) 12x c) 6x + 6 104. Ratkaise yhtälöt. a) 2x + 3 = 9 b) 8x + 2 = 5x + 17 a) 2x + 3 = 9 3 2x = 6 : 2 x = 3 b) 8x + 2 = 5x + 17 2
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
LisätiedotKahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.
10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotLue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.
MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LisätiedotYmpyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
Lisätiedot1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
LisätiedotHuippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotA-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.
MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!
LisätiedotFunktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
Lisätiedot2. Luvut. 3 pullollista, joten Timo tarvitsee 25 pulloa litrasta saadaan 17 24, 186. a) 4
LISÄTEHTÄVÄT. Luvut. Kokonaisluvun n tekijät löydetään jakamalla n yksi kerrallaan kaikilla kokonaisluvuilla ykkösestä suurimpaan mahdolliseen kokonaislukuun, joka on korkeintaan n. Jos jakolasku menee
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
Lisätiedot1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
Lisätiedot4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotLaskentaa kirjaimilla
MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien
LisätiedotHuippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
3 FUNKTIOITA ALOITA PERUSTEISTA 10A. Suoran yhtälössä y = kx + b kulmakerroin on k ja vakiotermi b. Kulmakerroin k ilmoittaa, kuinka monta yksikköä liikutaan y-akselin suunnassa, kun kuljetaan yksi yksikkö
Lisätiedot3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
LisätiedotMITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?
MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan
Lisätiedot6 Funktioita ja yhtälöitä
6 Funktioita ja yhtälöitä 6. Rationaali- ja juurifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 60. a) Määritelty, kun a 0. ( a ) ( a ) a a y y ( a a )( a ( a )) a a a a y y a 6 a ( y) ( y) Toinen tapa: ( a ) ( a ) a a
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
LisätiedotSijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari
MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Lisätiedot1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,...
Vastaukset:. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,.... a) 0 b) 0 c) ( a 3) 3. 0 5 8 3 4 4 4. a) 7 b) -7 c) d) 5 5. - 8-7 0 6 5 4 6. a) Tbsjub b) Eino c) - 7. a) b) 5
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotMAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014
0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Lisätiedot