Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Transkriptio

1 Funktiot, L4 eksponentti-funktio

2 Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi)

3 Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 2 Jos y = f (x) = x 2 2x, niin sanomme, että y on funktion f arvo kohdassa x. Saadaksemme paremman kuvan funktiosta laskemme sen arvoja useassa kohdassa x y = f (x) = x 2 2x (x,y) 2 ( 2) 2 2 ( 2) = 8 ( 2,8) 1 ( 1) 2 2 ( 1) = 3 ( 1,3) = 0 (0,0) = 1 (1, 1) = 0 (2,0) = 3 (3,3) = 8 (4,8)

4 y = f (x) = x 2 2x (x,y) ( 2,8) ( 1,3) (0,0) (1, 1) (2,0) (3,3) (4,8)

5 4 Edellisen funktion nollakohdat ovat ne kohdat, joissa funktio saa arvon nolla. Nollakohdat ratkaistaan seuraavasti: f (x) = 0 (otsikko-yhtälö) x 2 2x = 0 (mitä se tarkoittaa) x(x 2) = 0 x = 0 tai x = 2 (juuret)

6 5 Arvo y y y = f(x) Kohta x x Nollakohdat (kohdat, joissa arvo on nolla)

7 kasvaminen 6 y Funktio f (x) on välillä (a,b) kasvava, jos x x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ), x 1,x 2 (a,b) Funktio f (x) on välillä (a,b) aidosti kasvava, jos x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ), x 1,x 2 (a,b)

8 7 y x Funktio f (x) on välillä (a,b) vähenevä, jos x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ), x 1,x 2 (a,b) Funktio f (x) on välillä (a,b) aidosti vähenevä, jos x 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 ), x 1,x 2 (a,b) Funktio f (x) on välillä (a,b) monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä välillä (a,b).

9 kasvaminen 8 Esimerkki. (a) Tarkastellaan funktiota y = f (x) = x 2, kun x 0. Haluamme osoittaa, että f on (aidosti)kasvava määrittelyjoukossaan R + = [0, ). Olkoot x 1 ja x 2 mitkä tahansa kaksi ei-negatiivista reaalilukua siten, että x 1 < x 2. (huom. x 2 ei voi olla 0.) Silloin on olemassa nollaa isompi luku h siten, että x 2 = x 1 + h. Nyt f (x 2 ) = x 2 2 = (x 1 + h) 2 = x hx 1 + h 2 > x 2 1 = f (x 1 )

10 kasvaminen 9 (b) Toinen esimerkki olkoon funktio y = g(x) = x 2, kun x R. Tämä funktio ei ole kasvava määrittelyjoukossaan R. Perusteluksi riittää kaksi arvoa, jotka ovat vastoin kasvamisen määritelmää. f ( 2) = ( 2) 2 = 4 > 0 = 0 2 = f (0)

11 10 Lukion terminologia: maa/kurssi1/etälukio. Kun funktiota y = f (x) käsitellessämme rajoitamme x:n arvot joukkoon A ja y:n arvot joukkoon B, niin sanomme, että A on funktion määrittelyjoukko (x A). B on funktion maalijoukko (f (x) B). Jos f (x) = y niin sanomme, että y on x:n kuva (image), ja x on y:n alkukuva (preimage). Kaikki funktion kuvapisteet muodostavat arvojoukon f (A) = {y B y = f (x), jollakin x A}. f (A) B.

12 11 Kuvausmerkintä f : A B,x y = f (x) A f(a) B x y Tikkataulusta muistaa, ettää arvojen tulee olla maalissa, ja arvojoukko voi olla aito maalijoukon osajoukko.

13 12 Jos kuvaukset f : A B 1, g : B 2 C, x z = f (x) z y = g(z) ovat hyvin määriteltyjä ja f (A) B 2, niin kuvaus g f : A C,x y = g(f (x)) on hyvin määritelty. g f y x z A B C

14 13 Esimerkki. Olkoon { f : R+ [1, ), x z = f (x) = x g : R + R +, z y = g(z) = z Silloin g(f (x)) = g(z) = z = x yhdistetyn funktion kasvusääntö sisäfunktio ulkofunktio yhdistetty f. kasvava kasvava kasvava vähenevä kasvava vähenevä kasvava vähenevä vähenevä vähenevä vähenevä kasvava

15 14 f : A B,x y = f (x) Jos jokainen y B on kuva (f (A) = B) ja jokaisella y B on täsmälleen yksi alkukuva (f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 ), niin kääntämällä nuolet saamme käänteiskuvauksen A x f f(a)=b y f -1 x = f 1 (y) y = f (x)

16 15 Esimerkki. Olkoon y = 2x+10 x+1 = f (x). Silloin y = f (x) y = y = y 2 = x + 1 = x = 2x + 10 x + 1 2(x + 1) + 8 = x + 1 x x y 2 8 y 2 1 = 10 y y 2 Siis f 1 (y) = 10 y y 2.

17 Potenssifunktio 16 y = f (x) = 2 y = f (x) = 0.5x + 1 Vakiofunktion y = a on vaakasuora viiva. y = kx + b on suora, joka leikkaa y-akselin korkaudella b. Suoran kulmakerroin on k.

18 Kulmakerroin 17 1 k y = f (x) = 1 + kx = x Kun suoran pisteestä (1,1.5) siirrytään pisteeseen (2,2), niin kohta kasvoi 1:n verran ja arvo kasvoi kulmakertoimen k verran 1 oikealle k ylös

19 Kulmakerroin 18 y 2 * y 1 * x 1 x 2 y 2 y 1 x 2 x 1 = k

20 Kulmakerroin 19 * x * y y x = k

21 aste 2, paraabeli 20 Toisen asteen polynomifunktion y = f (x) = ax 2 + bx + c on paraabeli, joka aukeaa ylöspäin, jos a > 0, ja aukeaa alaspäin, jos a < 0. a > 0 a < 0

22 aste 3 21 Kolmannen asteen polynomifunktion y = f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d. Kun a > 0, niin painuu vasemmalla alas ja nousee oikealla ylös. Kaukana origosta (0,0) funktio on kasvava. Kun a < 0, niin nousee vasemmalla ylös ja painuu oikealla alas. Kaukana origosta (0,0) funktio on vähenevä. a > 0 a < 0

23 Eksponentti-funktio, a x 22 y = 2 x y = 0.5 x y = 10 x y = 0.1 x

24 Eksponentti-funktio, a x 23 Funktio y = f (x) = a x on hyvin määritelty vain, jos a > 0. Jos a > 1, niin funktio on kasvava. Jos a < 1, niin funktio on vähenevä. Jos a = 1, niin funktio on vakiofunktio. Tärkeitä kantalukuja ovat 2, 10 ja e (Neperin luku) Kun a > 1, niin a x kasvaa lopulta nopeammin kuin mikään x:n potenssi x n (a > 1,n N), x 0 siten, että (x > x 0 a x > x n ).

25 Eksponentti-funktio, e x 24 y = e x kasvavia, määritelty x R, arvot positiivisia reaalilukuja, y = 2 x y = 10 x

26 a-kantainen logaritmi-funktio, log a x 25 a-kantainen logaritmifunktio on a-kantaisen n käänteisfunktio. y = a x x = log a y y = 2 x x = log 2 y y = 10 x x = log 10 y = logy y = e x x = log e y = lny

27 a-kantainen logaritmi-funktio, log a x 26 y = lnx kasvavia, määritelty, kun x > 0, arvojoukko R y = log 2 x y = log 10 x

28 27 (1) log a (a b ) = b (2) log a (a) = 1 (3) log(1) = 0 (4) log(b c) = logb + logc (5) log(b/c) = logb logc (6) log(b c ) = c logb (7) log a (b) = ln(b) ln(a)