Matemaattisen analyysin tukikurssi

Transkriptio

1 Matemaattisen analyysin tukikurssi 11. Kurssikerta Petrus Mikkola

2 Tämän kerran asiat Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion määritelmä Eksponenttifunktion ominaisuuksia Luonnolinen logaritmi Yleinen potenssifunktio Muut eksponentti- ja logaritmifunktiot Raja-arvoja L Hôpitalin säännöllä

3 Eksponenttifunktio Tavanomainen tapa mieltää eksponenttifunktio funktiona Neperin luku potenssiin yhtyy* eksponenttifunktion varsinaiseen määritelmään: e = n n=0 n! 2 = ! + 3 3! + kaikilla R Huomio. Olemme osoittaneet, että tämä potenssisarja suppenee koko reaalilukujen joukossa, joten eksponettifunktion on hyvin määritelty R:ssä. Käytännön laskuissa hyödynnetäään harvoin itse eksponenttifunktion määritelmään. Sitä vastoin määritelmän avulla johdamme tuloksia, joiden avulla eksponenttifunktiota on helppo käsitellä. * Nimittäin voidaan osoittaa, että: e = σ n=0 n n! = sup eq : q Q ja q, kun > 0

4 Eksponenttifunktio Esimerkiksi eksponenttifunktion derivaattafunktio saadan helpolla laskulla, hyödyntäen tietoa siitä, että potenssisarjaa saa derivoida termeittäin suppenemisjoukossaan. D n n=0 n! = d n n=0 n! d = n n 1 n=1 n! = n=1 n n 1 n 1! n = n=1 n 1 n 1! ฎ= m=0 m m! Tässä on tehty uudelleen indeksöinti: m = n 1. Huomioi, että indeksimuuttujan kirjaimen valinta ei vaikuta matemaattiseen merkitykseen. Siis pätee: (i) De = e kaikilla R (ii) Eksponenttifunktio on ääretönmonta kertaa jatkuvasti derivoituva R: ssä. (Ts. e C (R)) Tämän ominaisuuden takia eksponenttifunktio on avainasemassa differentiaaliyhtälöiden teoriassa.

5 Eksponenttifunktion ominaisuuksia i. Eksponettifunktio on kaikkialla positiivinen. Lisäksin, kun, 0, niin 0 < e < 1 ii. iii. Eksponenttifunktio on aidosti kasvava ja vahvasti konveksi kaikkialla Tietenkin, sillä jos f = e, niin f = e > 0 ja f = e > 0 e +y = e e y iv. e = 1 e v. e = vi. e = 0 vii. viii. e n = kaikilla n N n e = 0 kaikilla n N Ominaisuudet (vii) ja (viii) sanovat, että eksponenttifunktio kasvaa oleellisesti nopeammin kuin mikään potenssifunktio.

6 Eksponenttiftunktio raja-arvona Neperin luku määritellään raja-arvona: e = n n n, jossa n N Tämä raja-arvo vastaa Neperin lukua, myös jos R ja lähestyy miinus ääretöntä (tästä tiedosta voi olla hyötyä raja-arvo laskuissa): e = ja e = Eksponettifunktio voidaan myös määritellä raja-arvona: e = n 1 + n n

7 Esimerkki Laske raja arvo Koetetaan muokata tehtävän lauseke muotoon: y y = = = = Nyt edellisen dian perusteella raja arvo = e. Joten, = e 35

8 Luonnolinen logaritmi Koska kuvaus f R 0,, f = e on bijektio, niin sillä on olemassa käänteiskuvaus f 1 0, R. Tätä käänteiskuvausta kutsutaan luonnolliseksi logaritmifunktioksi ja sen lauseketta merkitään: f 1 = ln() Kiinnitä erityisesti huomiota funktion määrittely- ja arvojoukkoon. Eksponenttifunktion käänteisfunktiona luonnollinen logaritmifunktio perii eksponenttifunktion ominaisuuksia. Luonnollinen logaritmifunktio on määrittelyjoukossaan (ts. 0, ): i. bijekio ii. aidosti kasvava

9 Logaritmifunktion ominaisuuksia Kaikilla 0, ja y 0, pätee: i. D ln = 1 ii. iii. ln 1 = 0, ln =, ln = 0+ ln(y) = ln + ln y iv. ln a = a ln a R v. ln y = ln ln y vi. vii. ln n ln n = = 0 n N n N

10 Yleinen potenssifunktio Kun eksponentti on luonnollinen luku (n N) Potenssifunktio määritellään kaikilla R: n = n kpl Kun eksponentti on rationaaliluku ( p q Q) Potenssifunktio määritellä kaikilla > 0: p q = q p Kun eksponentti on reaaliluku (a R): Potenssifunktio voidaan* määritellä kaikilla > 0 kaavalla: a a ln = e *Tämä yhtyy vaihtoehtoiseen määritelmään: a = ቊ sup r r Q ja r a, jos a > 0 inf r r Q ja r a, jos a < 0

11 Muut eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponenttifunktio, jossa kantalukuna on jokin muu kuin Neperin luku, voidaan määritellä tavanomaisen eksponenttifunktion avulla. Olkoon a > 0 ja a 1. a-kantainen eksponenttifunktio: f R 0,, f = a ln a = e Sen käänteisfunktiona määritellään a-kantainen logaritmifunktio: f 1 : 0, R, f 1 = log a Tällöin toteutuu tietenkin* ekvivalenssi: y = log a = a y * y = f 1 = f(y)

12 Näiden ominaisuuksia Kaikilla 0,, y 0, ja a R + \ 1 pätee: i. D a = a ln a ii. D log a = 1 ln a iii. log a y = log a + log a y iv. log a y = ylog a v. log a y = log a log a y Kannanvaihto yhtälö : ln log a = ln a

13 Monimutkaisempia potenssilausekkeita Miten derivoisit muotoa f() g() olevan potenssilausekkeen? Esimerkiksi: h =, kun 0, Ideana on määrittää: h = f() g() = e g() ln f, kunhan f() > 0 Saadaan siis: h = = e ln, joten derivoinnin ketjusäännöllä: h = D ln e ln = 1 ln + 1 e ln = ln + 1 e ln = ln + 1

14 Raja-arvoja L Hôpitalin säännöllä Kaksi huomiota tekevät L Hôpitalin säännöstä vielä käyttökelpoisemman rajaarvo laskuissa: 1. Sääntöä voidaan käyttää useita kertoja peräkkäin - Tällöin on tärkeää tarkistaa joka kerta L Hôpitalin säännön soveltamisen jälkeen, onko tarvittavat oletukset edelleen voimassa 2. Vaikka laskettava raja-arvo ei olisi L Hôpitalin säännön edellyttämässä muodossa 0 tai, niin se voidaan monesti muokata tähän muotoon. 0

15 Esimerkki 1 Laske raja arvo 1 ln 1 1. Muokataan raja arvo aluksi L Hopitalin säännön vaatimaan muotoon: 1 ln 1 1 = 1 ln 1 ln 1 ln = ln 1 ln 1 Tämä on nyt tyypiä 0 oleva raja arvo, sillä ln 1 = 0. Lisäksi muut säännön 0 oletukset ovat voimassa; löytyy pisteen 1 ympäristö, jossa g = D ln 1 = ln Sovelletaan L Hopitalin sääntöä ensimmäisen kerran: ln ln 1 ln l H ฎ= l H ฎ= 1 1 D 1 ln D ln 1 D ln = 1 = ln Edelleen raja arvo on tyyppiä 0, joten sovelletaan 0 L Hopitalia toisen kerran: 1 1 D = = 1 2 2