määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

Transkriptio

1 MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin Määritä millä korkeudella tangeti leikkaa y-akselin a) Määritä funktion g( t) ln( t t ) suurin ja pienin arvo Perustele vastauksesi derivaatan avulla, pelkkä kuvaaja ei riitä b) Radioaktiivisen plutonium-777 aineen määrä pienenee radioaktiivisen hajoamisen myötä, prosetia vuodessa Voimalaonnettomuuden saastuttamalla alueella aineen määrä ylitti aluksi kymmenkertaisesti turvallisuusrajan Kuinka monen vuoden kuluttua aineen määrä on sallituissa rajoissa alueella ja sinne voidaan rakeaa viehättävä asuinlähiö? a) Ratkaise yhtälö b) Määritä tarkka arvo derivaatalle f 5 (ln ), kun f ( ) ( ) e 5 5 Onko funktio f ( ) monotoninen (pelkästään kasvava tai vähenevä)? Mikä on tämän funktion pienin arvo? 6 Järven yli kulkee suora jäätie Matti lähtee moottorikelkalla rannasta tavoitteena saari, jonka lyhin etäisyys jäätiestä on 800 m Tämä lähin kohta jäätiestä on puolestaan, km päässä rannasta Moottorikelkka kulkee jäätiellä 65 km/h ja tien ulkopuolella 5 km/h Mikä on nopein reitti rannasta saareen?

2 MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 7 Juuri valmistetun teen lämpötila on 0 C Jos tee laitetaan termospulloon, viiden tunnin kuluttua lämpötila on 0 C Lämpötilan T muutos termospullossa noudattaa funktiota T( t) m e, missä m ja n ovat vakioita sekä t aika minuuteissa a) Määrää vakiot m ja n yksikköineen b) Paljonko on lämpötilan muutosnopeus kahden tunnin kuluttua? Anna vastauksessa myös muutosnopeuden yksikkö 8 a) Mitä arvoja funktio f ( ) saa välillä ln,e? b) Määritä funktion f ( ), ja suurin ja pienin arvo annetulla välillä Piirrä funktion kulusta mallikuva annetulle välille ****************************************************************** BONUSTEHTÄVÄ +p: Määritä funktion f ( ) ln( ) 5 kääeisfunktio OTA TÄMÄ KOEPAPERI MUKAASI! OIKEAT VASTAUKSET LÖYTYVÄT TÄMÄN PÄIVÄN AIKANA (n klo :0 jälkeen) NETISTÄ OSOITTEESTA:

3 MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni MAA8 Ratkaisut: a) f ( ) e 5 f D e De e e e '( ) ( ) ( 8 ) ln(5 ) b) f( ) 00 on määritelty kun logaritmin ja juuren sisustat ovat positiivisia, eli määritelty, kun c) log 6 Käyrä leikkaa y-akselia, kun =0, koska y-akseli kulkee -akselin kohdasta 0 Lasketaan leikkauspisteen y-koordinaatti sijoittamalla funktioon =0 g 0 (0) e Koordinaattipiste on siis (0,-6) Derivaatta = käyrälle piirretyn tangein kulmakerroin, joten: g '( ) e e => Kulmakerroin -akselin kohdassa 0 on siis Nyt käytetään suoran yhtä- g löä: 0 '(0) e y y k( ) 0 0 y ( 6) ( 0) y 6 y 6 Suoran yhtälöstä nähdään, että tangeti leikkaa y-akselin korkeudelta y=-6 a) g t t t ( ) ln( ) määritelty kun t, t 0 Alaspäin aukeava parabeli, nollakohdat 0 ja, joten 0<< g t t t ( ) ln( ) t t g ( t) g ( t) 0 kun 0 t t t t t 0 t t Tutkitaan merkkikaaviolla alkuperäisen funktion kulkua:

4 MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni Suurin arvo =, joten g() ln( ) ln Funktio ei ole määritelty avoimen välinsä ]0,[ päätepisteissä, joten sillä ei ole pieniä arvoa! b)olkoon M se määrä ainetta, joka on juuri ja juuri turvallisuusrajan mukainen Kymmenkertainen määrä on 0M, prosein mukainen väheyminen tarkoittaa sitä, että ainetta jää jäljelle 0,76 osaa 0M:stä joka vuosi Näin ollen: n 0,76 0M M missä n on vuosien määrä Ratkaistaan n: n 0,76 0 M M : M n 0,76 0 :0 n 0,76 lg 0 n lg 0,76 lg( ) 0 n lg 0,76 lg lg0 n lg 0,76 0 : lg 076 n, 785 lg 0,76 Eli noin 5 vuotta a) yhtälö on määritelty, kun juuren sisusta on positiivien tai nolla, ja juuren vastaus on positiivinen tai nolla, eli: 0 0 Nyt uskaltaa korottaa puolittain toiseen

5 MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni () ( ) Nollakohdat: 7 ei sovi määrittelyjoukkoon, joten on ainoa ratkaisu b) f ( ) ( ) e 5 f D e De f 5 5 '( ) ( ) ( ) e 5 e ( ) e ( 5( )) e ( 5 ) 5 5 5ln '(ln ) e ( 5ln 5 ) 5 5 ln 5ln 5 5 e ( 5ln ) e ( 5 ln ) 5 ln e ( ln ) ( ln ) 8 ln 5 Funktio f ( ) on määritelty, kun 0 Funktion f ( ) derivaattafunktion f ( ) ( ) nollakohdat saadaan yhtälöstä ( ) 0 0 tai 0 0 tai Koska f ( ) ( ) 0 ja f ( ) ( ) 0, niin funktio 6 f ( ) on aidosti vähenevä välillä 0, ja aidosti kasvava, kun Negatiivisilla 6 6 muuttujan arvoilla funktiota ei ole edes määritelty Näin ollen funktion f ( ) pienin arvo on f ( ) ( ) Olkoon piste A se jäätien piste, josta käännytään kohti saarta Olkoon S saari, R rannan piste, josta jäätie alkaa, ja L jäätien lähinnä saarta oleva piste Valitaan muuttujaksi AL

6 MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni Tällöin RA, ja AS 0,8 (suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella) Nyt voimme muodostaa funktion, joka ilmoittaa kokonaisajan rannasta saareen: RA AS 0, t () on määritelty ja derivoituva kaikkialla, mutta riittää tutkia suljettua väliä 0 ;,,, t ( ) ( 0,8 ) ,6 t ( ) ( 0,6) 0, kun , ,6 5 0,6 = 65 Koska yhtälön molemmat puolet ovat tarkasteltavalla välillä ei- negatiivisia, niin yhtälö voidaan korottaa puolittain neliöön Tällöin saadaan ja edelleen ( negatiivinen nollakohta ei ole tarkasteltavalla välillä ) 6 6 6, joten 0, Lasketaan lopuksi funktion arvo sekä välin päätepisteissä että derivaatan nollakohdassa: 6 t ( 0) 0,070, t (,) 0, 078 ja t ( ) 0, 065 Siis funktion pienin arvo on derivaatan nollakohdassa, jolloin,km 0,77km = 5,6km Vastaus: Matin kannattaa ajaa jäätietä 60 metriä ja kääyä siitä suoraan kohti saarta 7 a) Yhtälöparista T(0) 0 0 Ylemmästä yhtälöstä saamme me n 0 m 0 Koska kyseessä on lämpötila, niin m 0 C Sijoitamme tämän vakion m arvon alempaan yhtälöön, jolloin T(5 60) 0 n00 00n 00n saamme 0 e 0 e ln( e ) ln( ) 00n ln( ) ln( ) n, ,70 0

7 MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni Koska eksponeissa oleva aika t on minuutteja, saamme ln( ) n 00 min,7 0 min b) Lämpötilan T( t) m e muutosnopeus on derivaatta T ( t) mn e ja hetkellä 0 min se on ln( ) ln( ) 0 ln( ) 00 5 T (0) 0 e ln( ) e 0,7588 0,76 Yksikkö huomioiden 00 0 ln( ) C C 5 T (0) ln( ) e 0,76 0 min min c) Jäähtymisnopeus J (t) on muutosnopeuden T (t) vastaluku Koska vakio m on positiivinen ja vakio n negatiivinen sekä e positiivinen, niin T ( t) 0 kaikilla ajan t arvoilla, joten J ( t) mn e 0 kaikilla ajan t arvoilla Jotta saamme selville, milloin J (t) on suurin, on meidän derivoitava J (t) Saamme J ( t) mn e 0, joten J (t) on kaikilla ajan t ei- negatiivisilla arvoilla vähenevä, joten J (t) on suurin, kun aika t = 0 Vastaus: a) m 0 C ja C n,7 0 b) T (0) 0,76 c) t = 0 min min min 8 a) () Lasketaan funktion f ( ) arvo välin päätepisteissä, saamme ln ( ) e f ( ) 5,5 ja f ( e) e 7,8 ln e ln( ) ln( ) () Lasketaan funktion arvo välille ln,e kuuluvissa derivaatan nollakohdissa Saamme ln ln (ln ) ( ) f, josta derivaatan nollakohdiksi saamme 0 (ln ) (ln ) (ln ) tai ln 0 ln e e, joista 0 ei kelpaa, koska se ei kuulu välille,e e e Saamme f ( e) e 5,6 ln e Funktio f ( ) jatkuvana funktiona saa kaikki arvot pienimmän arvon f ( e) e ja suurimman arvon f ( e) e väliltä, joten A f ln e, e

8 MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni Vastaus: Arvojoukko f e, e f ( ), ja b) f '( ) Derivaatan nollakohdat: 0 () määritelty, kun 0 =>,, ei käy vastaukseksi, koska ei kuulu juuriyhtälön määrittelyjoukkoon Derivaatalla on siis vain yksi nollakohta, n Ääriarvot derivaatan nollakohdista, merkkikaaviolla onko min vai ma Kokeiluarvot: f ()=0, ja f (,5)=-0,5, f'() + - f() On löydetty siis funktion maksimikohta =, Tällöin funktion arvo f(,)=, Funktion ääriarvot voivat lisäksi löytyä tarkasteluvälin päätepisteistä Lasketaan siis f(-)=- ja f()= Maksimikohta on siis = ja maksimiarvo on f()=