Luento 5. tietoverkkotekniikan laitos

Transkriptio

1 Lueto 5 Lueto 5 Näytteeotto ja DFT 5. Näytteeotto Nyquisti äytteeottoteoreema Oppeheim 7.,7. Aliasoitumie Oppeheim 7.3 Jatuva aiaise sigaali äsittely disreetissä ajassa Oppeheim DFT Disreetti F muuos Oppeheim 5. Jasollise sevessi disreetti F muuos Oppeheim 5. DFT: omiaisuudet Oppeheim 5.3 Disreetti ovoluutio Oppeheim 5.4,. FFT Pruju

2 5. Näytteeotto

3 Näytteeotto Tarastellaa jatuvaa sigaalia gt () vai tiettyiä ajahetiä h, T gt () gh ( ), Nyquisti äytteeottoteoreema: Tarastellaa aistarajoitettua sigaalia gt (), joa aistaleveys o B. Jos äytteeotto taajuus f s B h, ii gt () voidaa lausua äytteistety sigaali avulla gh ( ) avulla si fs t h g( t) g( h) g( h)sic fs t h f t h s 3

4 Näytteeotto Aluperäie sigaali g(t) i f G( f) g( te ) dt Näytteistyssigaali s(t) t h st () 0 muutoi Näytteistetty sigaali g s (t)=g(t)s(t) Fourier-muuos g() t s() t gs () t i ft i ( ) ()() () ft Gs f g t s t e dt g t th e dt ghe ( ) i fh () Disreettiaiaie Fourier-muuos (DTFT) 4

5 Näytteeotto Näytteistyssigaali o periodie, jote se voidaa lausua Fourier-sarjaa S f st () s expi t h h / s s()exp t i t dt h h h h / Nyt äytteistetty sigaali voidaa irjoittaa muotoo gs () t gtst ()() gt () e h i t h Fourier-muuos () h i t i f t i ft h h Gs ( f) gte () e dt gte () dt G f h h h h h Poissoi summaaava ()&(): ghe ( ) G f h i fh h 5

6 Näytteeotto Aluperäise sigaali spetri G( f ) Näytteistety sigaali spetri Gs ( f) G f h h h B B Gs ( f ) h B Gs ( f ) B B h B hgs ( f) f B G( f) 0 muutoi Jos, ii aluperäie sigaali voidaa palauttaa äytteistetystä: 6

7 Näytteeotto Jos, ii Nyquisti taajuutta oreammat taajuudet lasostuvat h B alemmille eiä aluperäistä sigaalia voida eää palauttaa. Gs ( f ) Nyquisti taajuus f N fs h 7

8 Näytteeotto Näytteistyssigaali s(t) st () 0 t h muutoi S f Näytteistettävä sigaali g t f t () cos s h h G f f s h G( f) f fs f f Näytteistetty sigaali gs() t cos fsts() t Kertolasu aiatasossa => Kovoluutio taajuustasossa s f s fs Gs f tietoveroteiia laitos h h 8

9 Näytteeotto Näytteistyssigaali s(t) st () 0 t h muutoi S f Näytteistettävä sigaali g t f t () cos s h h G f f s h G( f) f fs f f Näytteistetty sigaali gs() t cos fsts() t Kertolasu aiatasossa => Kovoluutio taajuustasossa s f s Gs fs f tietoveroteiia laitos h h 9

10 Näytteeotto Aliasoiti ilmiö: Yli Nyquisti taajuude oleva sigaali, äyttää äytteistyse jälee alemma taajuude sigaalilta f s =4 Hz, f N = Hz f= Hz f=3 Hz f f N f f N t 0

11 Tehtävä Sigaali s(t) spetritiheys S(f) o Hz Sigaali äytteistetää 8 Hz äytteeottotaajuudella Mitä taajuusia äytteistetty sigaali sisältää?

12 5. DFT

13 Disreetti aiaie Fourier muuos (DTFT) Aluperäie sigaali v(t) i ft V ( f ) vte ( ) dt Näytteistyssigaali s(t) st () 0 t h muutoi vt () s() t h V( f) B Sf h Näytteistetty sigaali v s (t)=v(t)s(t) DTFT Vs ( f) v( h) e V f h i fh h vt () s B h h B Vs Vs ( f ) B ( f ) B 3

14 Disreetti Fourier muuos (DFT) Tarastellaa disreettiä sevessiä {v 0,v,,v N- } Esim. Näytteistetty sigaali v =v(t), T äyteväli Disreetti Fourier-muuos (DFT) N 0 i N D V( ) v e F v Kääteismuuos (IDFT) N v V e F V N 0 i N ( ) D ( ) 4

15 Pulssimaie sigaali v(t), DFT vs DTFT t josta otetaa N äytettä äytevälillä h 0, Nh N i fh i fh V( f) vhe ( ) vhe ( ) s 0 DTFT Sevessi v v h, =0,,, N- V( ) N ve 0 i N DFT DFT ataa DTFT: taajuuspisteissä V( ) Vs ( f), f, Nh...,,,0,,,... 5

16 DFT: omiaisuusia Parsevali teoreema N N v V( ) 0 N 0 DFT o jasollie, jaso pituus o N V( N) V( ) Jos {v } o reaalie, ii V() o hermiittie * V( ) V ( ) jasollisuudesta seuraa, että N N * V V Jasollise sevessi DFT voidaa lase miä tahasa N pituise sevessi yli N m m Origo siirto i l N FDV( l) ve Disreetti jasollie ovoluutio y ve i N V( ) h u m m m Disreetti lieaarie ovoluutio N y h u h u Aalto-yliopisto Tietoliiee- m m ja tietoveroteiia m0laitos 6

17 Esimeri 0 v(t)=/t*exp(-t/t), t0, T=, h=0.0 s Spectral desity (J/Hz) FT DTFT DFT Fourier-muuos Näytteistety sigaali FT Disreetti FT N=00 äytettä f (Hz) 7

18 Esimeri 0 T=; h=0.0; f_s=/h; f=[0:0.00:f_s]; N=00; V_FT=./(+i**pi*f*T); V_DTFT=/T*./(-exp(-h/T-i**pi*f*h)); =0:N-; V_DFT=zeros(size()); for =0:N-; V_DFT=V_DFT+/T*exp(-(h/T+i**pi*/N)*); ed; f_=*/n*f_s; plot(f,0*log0(abs(v_ft)),f,0*log0(abs(h*v_dtft)),f_,0*log0(abs(h*v_dft)),':'); leged('ft','dtft','dft',-) 8

19 DFT: omiaisuusia Parsevali teoreema N N v 0 N 0 V( ) Todistus i N v v v v V( ) e N N N N * * N 0 N N N N N i N N * N * V( ) v e V( ) V ( ) V( ) v N N 0 V( ) e N V( ) ve 0 i N i N 9

20 DFT: omiaisuusia DFT o jasollie, jaso pituus o N: N i N N N N i i i N N V( N) ve e ve ve V( ) Huomataa, että V() N=4 jote V(N)=V(0) 0

21 DFT: omiaisuusia Jos {v } o reaalie, ii ( N i N ) * ( ) 0 V v e V Jasollisuudesta seuraa N N * V V V l V l l * ( ) ( ), V( N) V( ) N N N * N V N Hermiittie * * V V V N v Re{V()}

22 DFT: omiaisuusia Tarastellaa disreettiä jasollista sevessiä v N v v = =0 =3 = =0 = = =3 v - = =0 = =0 = = =3 =3 v - =0 = = =0 = = =3 =3

23 DFT: omiaisuusia Jasollise sevessi DFT voidaa lasea miä tahasa N perääise äyttee yli N m m ve i N V( ) Todistus N m m m m N i i i i N N N N m m N ve v e v e v e... N N Nm N i i i i N N N N v N e v N e... v N me ve v v v e m 0 i m i N N e 0 v v i N e, 3

24 DFT: omiaisuusia Origo siirto D i F V( l) v e Todistus l N F V l V l e V e N i N l i ' l N N D ( ) ( ) ( ') N 0 N ' l N l i ' i l i l N N N V( ') e e ve N ' l DFT: jasollisuudesta seuraa, että summa miä hyväsä N: perättäise äyttee yli ataa sama tulose. N m m ve i N V( ) 4

25 DFT Tarastella disreeti pulssi DFT:tä Pulssi (N=4) v 0, v, v, v v DFT N 0 i i i i i N 4 4 V( ) v e e e e e V (0) V() i V () V(3) i i 5

26 Disreetti ovoluutio Disreetti jasollie ovoluutio (Circular covolutio) ja se DFT N y h u h u m m m0 Y ( ) F hu HU ( ) ( ) D Disreetti lieaarie ovoluutio y h u m m m Oletetaa, että h 0, 0 N u 0, 0 N h u Kovoluutio pituus tulee olemaa N=N h +N u - 6

27 Disreetti lieaarie ovoluutio Määritellää asi yhtä pitää sevessiä lisäämällä ollia sevessie perää h 0,,... Nh ha, 0 Nh, Nh,..., Nh Nu u 0,,... Nu ua, 0 Nu, Nu,..., Nh Nu Jasollie ovoluutio: N h N u y h u a, m a, m m0 ja se DFT: 7

28 Disreetti lieaarie ovoluutio Tarastellaa sigaaleita (Näyteväli T=) {h(t)}={,,} N h =3 {u(t)}={,,,} N u =4 Augmetoidut sigaalit {h(t)}={,,,0,0,0} N h +N u -=6 {u(t)}={,,,,0,0} N h +N u -=6 Kovoluutio N h N u y h u a, m a, m m0 8

29 Esimeri 3 h=[ ];.5 u=[ ]; ha=[h zeros(,legth(u)-)]; ua=[u zeros(,legth(h)-)];.5 H=fft(ha); U=fft(ua); 0.5 Y=H.*U y=ifft(y) plot(0:5,y,'o:',0:5,ha,'x:',0:5,ua,'d:') leged('y','h','u',) y h u TAI y=cov(h,u); 9

30 Esimeri Tarastellaa sigaaleita (Näyteväli T=) {h(t)}={,e -,e -,e -3,e -4 } N h =5 {u(t)}={0.5,.5,.75,} N u =5 Augmetoidut sigaalit {h(t )}={,e -,e -,e -3,e -4,0,0,0,0} N h +N u -=9 {u(t )}={0.5,.5,.75,,0,0,0,0} N h +N u -=9 30

31 Esimeri h=[ exp(-) exp(-) exp(-3) exp(-5)]; u=[ ]; Nh=legth(h); Nu=legth(u); N=Nh+Nu-; ha=[h zeros(,n-legth(h))]; ua=[u zeros(,n-legth(u))]; H=fft(ha); U=fft(ua); Y=H.*U y=ifft(y) plot(0:(n-),y,'o:',0:(n-),ha,'x:',0:(n-),ua,'d:') leged('y','h','u',) y h u

32 Nopea Fourier-muuos (FFT) Käyttäe DFT: määritelmää =0,,,,N- harmoise lasemisee tarvitaa N omplesia ertolasuoperaatiota ja N(N-) omplesia yhteelasuoperaatiota N V( ) ve 0 i N Jos N o suuri, o DFT: lasemie laseallisesti rasasta. DFT: lasemie sisältää redudatteja operaatioita, jote lasetaa sopivasti järjestämällä voidaa lasetauormaa pieetää. Tähä perustuu opea Fourier-muuos (FFT, Fast Fourier Trasform) 3

33 Nopea Fourier-muuos (FFT) Määritellää Osoittautuu, että 33

34 Nopea Fourier-muuos (FFT) Operaattori W N avulla DFT-voidaa irjoittaa muotoo V( ) N vw 0 N Oletetaa, että N o parito ooaisluu N N N N 0 0 V( ) v W v W Parillie sevessi Parito sevessi 34

35 Nopea Fourier-muuos (FFT) Nyt DFT voidaa irjoittaa muotoo N N N N N 0 0 V( ) v W W v W (N-)/ poit DFT (N-)/ poit DFT Jote, voimme rataista N pistee DFT: laemalla asi N/ pistee DFT:tä ja summaamalla tuloset Termi W N/ tarvitsee lasea vai erra ja sitä voidaa äyttää seä parilliste että parittomie symbolie DFT:ssä. Samalla tavalla N/ pistee DFT voidaa jaaa edellee ahdesi N/4 pistee DFT:si, jota puolestaa voidaa jaaa N/8 DFT:si je. 35

36 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=4 4 N= i i 4 W e e i W e e i N=4 W N= W 4 Im i W W 4 -i Im i W W W Re W 0 W Re -i 36

37 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=4 N=4 pistee sevessi Jaetaa sevessi parillisii ja parittomii vv 0,, v, v3 vv 0, vv, 3 v0 v v v3 V( ) V ( ) V ( ) W V ( ), 0,,,3 4 V ( ) v W v 0 V ( ) v W v 3 37

38 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=4 Esimmäie vaihe: Kasi pistee DFT:tä V ( ) v W v 0 V (0) v W v v v V () v W v v v 0 0 Perhos-operaattori (butterfly operator) v 0 v v 0 v v v 0 V ( ) v W v 3 V (0) v W v v v V () v W v v v 3 3 v v 3 v v v 3 v 3 38

39 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=4. vaihe V( ) V ( ) V ( ) W V ( ) V(0) V (0) W V (0) V (0) V (0) V() V () W V () V () iv () V() V () W V () V () V () V (0) V (0) V(3) V (3) W V (3) V (3) iv (3) V () iv () V( N) V( ). vaihee DFT:ssä N= 39

40 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=4 N=4 DFT: v 0 V (0) v v 0 V(0) V (0) W V (0) 0 4 v v V () v v 0 V (0) v v 3 0 W4 i V() V () W V () 4 V() V (0) W V (0) 0 4 v 3 V () v v 3 W4 i V(3) V () W V () 4 40

41 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=8 N=8 WN e i N N=8 5 W 8 Im W W 8 4 W 8 0 W 8 Re 3 W 8 W 8 W 8 4

42 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=8 N=8 pistee sevessi N=8 pistee DFT V( ) V ( ) V ( ) W V ( ) 8 V ( ) V ( ) W V ( ) V( ) V3( ) W4 V4 ( ) 4 V( ) v0 W v4 V( ) v W v 6 V ( ) v W v V3( ) v W v

43 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=8 Esimmäie vaihe 8 pistee DFT:stä 0 V (0) v W v v v V () v W v v v V (0) v W v v v V () v W v v v V (0) v W v v v V () v W v v v V (0) v W v v v V () v W v v v W,3,... expi 0,,... Perhosoperaattori (butterfly operator) 43

44 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=8 Perhosoperaattori avulla V (0) v W v v v V () v W v v v V (0) v W v v v V () v W v v v V (0) v W v v v V () v W v v v V (0) v W v v v V () v W v v v

45 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=8 Toie vaihe 8 pistee DFT:stä V (0) V (0) W V (0) V (0) V (0) 0 4 i () () 4 () () () () () i 4 V V W V V e V V iv V () V () W V () V () e V () V () V () V (0) V (0) Huomataa, että V i () o pistee DFT, jote V i (+)=V i () 3 3 i 4 V (3) V (3) W V (3) V (3) e V (3) V () iv () Kosa, ii 0 V (0) V (0) W V (0) V () V (0) W V (0) V () V () W V () V (3) V () W V () 45

46 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=8 Toie vaihe 8 pistee DFT:stä V (0) V (0) W V (0) 0 8 V () V () W V () 8 V () V (0) W V (0) 0 8 V (3) V () W V () 8 46

47 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=8 Kolmas vaihe 8 pistee DFT:stä V ( ) V ( ) W V ( ) 8 V (0) V (0) W V (0) 0 8 V () V () W V () 8 V () V () W V () 8 V (3) V (3) W V (3) 3 8 V (4) V (0) W V (0) 0 8 V (5) V () W V () 8 V (6) V () W V () 8 V (7) V (3) W V (3)

48 Nopea Fourier-muuos (FFT) N=8 8 pistee opea Fourier-muuos V (0) V () V () V (3) V (0) V () V () V (3) 48

49 Nopea Fourier-muuos (FFT) Laseallie omplesisuus: DFT: O(N ) FFT: O(Nlog(N)) Complexity DFT FFT N 49

50 Nopea ääteismuuos: IFFT Kääteismuuos voidaa irjoittaa muotoo v V W V W V W N N N ( ) N ( ) N ( ) N 0 N 0 N 0 N N V( ) WN WN V() WN N 0 N 0 N/ pistee IDFT Eli, ute FFT: tapausessa, myös IFFT: tapausessa tehtävä voidaa jaaa osii. IFFT eroaa FFT:stä aioastaa espoeti meri ja saalausteijä /N osalta. 50

51 Fourier-muuose umeerie approsimoiti Fourier-muuos Tarastellaa sigaali, joa o määritelty välille [0,T ] h0 N V ( f ) lim vh ( )exp i hh 0 (Euler itegral) missä N=T /h Fourier-muuosta voidaa siis approsimoida DFT:llä: N i ft ( ) ( ) D ( ), 0 V f h v h e TV f Nh N D ( ) V v T e 0 i N 5

52 Fourier-muuose umeerie approsimoiti Poissoi summaaava ˆ( ) ( ) i ft V f h v h e V f h Jos aluperäise sigaali sisältää Nyquisti rajataajuutta (//h) suurempia taajuusia, tapahtuu äytteeotossa lasostumista. Tämä vääristää approsimoitua spetriä. V ( f ) B T ˆ( ) V f B B 5

53 Fourier-muuose umeerie approsimoiti Taajuusalue Näytteeoto jälee sigaali sisältää taajuusia Nyquisti rajataajuutee saaa DC-ompoetti Nyquist taajuus N= f s /4 f s / -f s /4 0 0 f N / f N f N / 0 f (Hz) 53

54 Fourier-muuose umeerie approsimoiti Taajuusresoluutio: FFT: lasemat harmoiset taajuudet ovat Näytteeottotaajuus /h Taajuusresoluutio Zero paddig: Lisäämällä ollia sevessi perää saadaa taajuusresoluutiota asvatettua. Tällöi FFT iterpoloi välitaajuusia aluperäise DFT: määrittämie taajuusie välii. Jos lisätää N 0 ollaa, ii taajuusresoluutiosi tulee 54

55 Tehtävä Pulssimaise sigaali taajuusaista o 0 Hz Näytteeottotaajuus o 0 Hz ja äytepisteide luumäärä o 00 Miä o FFT: taajuusresoluutio? Halutaa taajuusresoluutiosi 0, Hz. Kuia mota ollaa pitää äytejooo lisätä ee FFT:tä? 55

56 Esimeri 3 Tarastellaa pulssia 0 t vt () 0 otherwise Valitaa äyteväli h=0. v(h) Näytteeottotaajuus f s =0 Hz ja Nyquisti rajataajuus f N =5 Hz. Taajuusvälisi tulee N=0 äytteellä /N*f s =/0* 0 Hz= Hz 56

57 Esimeri 3 FFT löytää vai pulssi DC-ompoeti =5: f N =5 Hz V() Taajuusväli = 0Hz/0= Hz 57

58 Esimeri 3 Lisätää 90 ollaa sevessi perää V() Taajuusväli = 0Hz/00=0. Hz 58

59 Esimeri 3 Taajuude futioa saadaa V() f (Hz) 59

60 Esimeri 3 Kosa pulssi sisälsi myös Nyquisti rajataajuutta suurempia taajuusompoetteja tapahtuu lasostumista 6 x Error f (Hz) 60

61 Esimeri 3 Pulssi taajuusaista ei ole rajoitettu, jote lasoistumista ei voida välttää Power spectrum (J/Hz) Pulssi Fouriermuuos DFT f (Hz) 6

62 Esimeri 3 tau=; %Pulse width T=0.; %Samplig iterval f_s=/t; %Samplig frequecy f_n=/*f_s; %Nyqyist frequecy df=f_s/n; %Frequecy spacig N=tau/T; %Number of samples v=oes(n,); %Sampled sigal V=T*fft(v); %Approximate cotiuous Fourier trasform %Plot spectrum desity figure() plot(0:(n-),abs(v).^,'*-') xlabel('') ylabel(' V() ^') %Zero paddig Nz=90; z=zeros(nz,); Na=N+Nz; va=[v; z];%zero paddig Va=T*fft(va); figure() plot(0:(na-),abs(va).^,'*-') xlabel('') ylabel(' V() ^') %Frequecy axis dfa=f_s/na; %frequecy spacig after zero paddig f=-f_n:dfa:(f_n-dfa); figure(3) plot(f,abs(fftshift(va)).^,'*-') xlabel('f (Hz)') ylabel(' V() ^') %Effect of aliasig figure(4) plot(f,abs(fftshift(va)).^-sic(f').^,'r') xlabel('f (Hz)') ylabel('error') 6

63 Esimeri 4 63

64 Reaali-aiaie spetriaalysaattori Ottaa sigaalista äytteitä ja lasee FFT:tä liuuvassa iuassa Spetrimittaus teollisuushallissa.4 GHz ISM aistalla 64

65 Iuoiti ja vuotoilmiö Sigaali ataisu v(t) Aluperäie sigaali T Tarasteluväli v(t) Kataistu sigaali T Tarasteluväli DFT-äee ataistu sigaali periodisea. Jos päätepisteide välillä o suuria eroja sytyy äytteistettyy sigaalii oreita taajuusia 65

66 Iuoiti ja vuotoilmiö Suoraaiteemuotoise aiaiua äyttö aiheuttaa DFT: äemää jasollisee sigaalii epäjatuvuusohtia, joita selittämää Fourier-sarjassa tarvittaisii oreita taajuusia. Suoraaide pulssilla ataistu sigaali FFT voi tästä johtue erota suurestii vastaava jatuva sigaali Fourier-muuosesta. Suoraaidemuotoiste iuoide sijaa, äytetää usei iuoita, jota pieetävät tarasteluväli alu ja loppupää äytteide arvoja. 66

67 Iuoiti ja vuotoilmiö Erilaisia iuoita o määritelty useita: Blacma-Harris Hammig Gaussia Ha

68 Hammig iua aia ja taajuustasossa N=65;w=hammig(N);wvtool(w) Time domai 40 Frequecy domai 0 Amplitude Magitude (db) Samples Normalized Frequecy ( rad/sample) 68

69 Esimeri Kosiisigaali spetritiheys T=0.05N=0 s(t) 0 S(f) -0.5 Sigal Hammig widow t Frequecy (Hz) s(t) 0 S(f) t Frequecy (Hz) Iuoiti vähetää spetrie lasoistumisesta johtuvaa virhettä. 69

70 OFDM Lähetetää N s appaletta T: pituisia symboleita I riaai taajuustasossa ui omalla aavallaa. Miimoidaa aavie taajuusvälit site, että aavat säilyvät eseää ortogoaalisia. Eli, samaaiaisesti lähetettävät symbolit eivät häiritse toisiaa. I cos fct I I I Ns IFFT D/A Re Im D/A x x si f t c 70

71 OFDM OFDM moduloidu sigaali spetri Ns Carrier 7

72 OFDM N f c s 4 4 Hz 4 3 OFDM moduloitu sigaali Aliatoaallot

73 OFDM Vastaaoti perustuu FFT-muuosee cos fct x ~ Re A/D I x si fct ~ A/D Im FFT I I Ns I 73