Klassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan yhteys

Transkriptio

1 Klassise fysiika ja kvattimekaiika yhteys Scrödigeri yhtälö ei statioäärisistä tiloista muodostuvie aaltopakettie aikakäyttäytymie oudattaa Newtoi lakeja. Newtoi mekaiikka voidaa johtaa Schrödigeri yhtälöstä. Kattimekaiika aaltopaketteja laskeva simulaattori löytyy verkkosivulta Laboratory of Computatioal Egieerig Aikariippuva Schrödigeri yhtälö Aieaaltoketä aikariippuvuude määrää yhtälö Schrödigeri yhtälöä ei voi johtaa mistää klassise fysiika teoriasta se o yksi uude teoria hypoteeseista eli perusoletuksista. Schrödigeri yhtälöä voidaa motivoida aalogialla sähkömageettise ketä aaltoyhtälöö Ajasta riippumattoma ja aikariippuva Schrödigeri yhtälö suhdetta voidaa verrata staattise ja dyamise kettäteoria suhteesee klassisessa sähkömagetiikassa!

2 Yrite Ψ Statioääriset tilat iet ( t, ) = φ( ) e ; Ψ ( t, ) = φ( ) Tällöi ajasta riippumato Sijoittamalla: Ψ ie iet ψ i = i φ( ) e = + E ( ) p Ψ = t m iet ψ = e + E p m ( ) φ ( ) Yrite o ajasta riippuva Schrödigeri yhtälö ratkaisu jos ψ + E ( ) ( ) ( ) p φ = Eφ m ( ) = φ ( ) Ψ t, c e ; Ei-statioääriset tilat Schrödigeri yhtälö yleie ratkaisu o Esimerkki: ie t Potetiaalilaatikko iet ( ) ie t (, ) = / ( ) + ( ) Ψ t φ e φ e π Eergiat: E = ; E = 4 E ; ma Hetkellä t = aaltopaketti o vasemmalla: Ψ (,) = ( / ) φ( ) + φ( ) ja hetkellä t = π /( E E ) aaltopaketti o oikella: Ψ t = π E E = e φ φ iπ E /( E E ) ( )[ ] (, /( )) / ( ) ( ) Aaltofuktio värähtelee edestakaisi äide asemie välillä

3 Hermiittisyys Tämä o apueuvo, jota tarvitaa Ehrefesti teoreema ymmärtämisessä. Kaikki fysikaalisia suureita kuvaavat operaattorit eergia liikemäärä je ovat Hermiittisiä. Operaattori Aˆ o hermiittie jos ( ˆ ) ˆ = Φ AΦ d AΦ Φ d mielivaltaisille fuktioille Φ ja Φ. Hermiittise operaattori omiaisarvot ovat reaalisia ja se omiaisfuktiot voidaa valita ortogoaalisiksi : ( ) ( ) ˆ i j jos ja i i i φφd = i j Aφ = a φ i =,,3.. Ehrefesti teoreema / Ehrefesti teoreema mukaa kvattimekaaiset fysikaaliste suureide odotusarvot toteuttavat klassise mekaiika liikeyhtälöt! Esimerkki: Newtoi toie laki Kvattimekaiikassa : d de p p = dt d d de ( p ) = ma = F = dt d p

4 Apueuvo d Johdetaa aputulos: A = AH HA dt i d dψ dψ Merkitää: A = ψ Aψd A = A A d dt ψ + ψ dt dt dψ Schrödigeri yhtälöstä: = Hψ dt i d A = ( H ψ) A ψ + ψ A ( H ψ) d dt i Merkitää: χ = Aψ. A: hermii ttisyys ( Hψ) χd = ψ H χd d A = ψ ( HA + AH ) ψ d = AH HA dt i i ( ) Ehrefesti teoreema / d Aputulokse perusteella p = ph Hp dt i Liikemääräoperaattori o vaihdaaie liike-eergia operaattori kassa: p p = p p ( ) ( ) ( ) p p Ψ p p ph Hp = pe E p = (, t) pe E p Ψ (, t) d E p Ψ Ψ E p pe p E pp Ψ = i Ψ + E p E p = i Ψ = ( p p ) = i Ep E Ψ ( t, ) i Ψ ( td, ) i = d p Ψ (, t ) pe E p Ψ (, t ) d dt p

5 Harmoie värähtelijä Klassie harmiie värähtelijä = jouse päässä oleva massa d de p m = m () t = k = F( ) = d d Jousivakio = k Massa = m Kulmatajuus = ω = k/ m Potetiaalieergia = Ep ( ) = k () Klassie ratkaisu Yhtälö () ratkaisu alkuehdolla ( ) t o = = () () = ω t cos t Yhtälö () kuvaa jouse päässä värähtelevä massa paikkaa aja fuktioa. Värähtely amplitudi o. Massa päästetää irti pisteessä ajahetkellä t =.

6 Aaltopaketi liike Ehrefesti teoreema mukaa aaltopaketi keskimääräie sijaiti = paikkakoordiaati odotusarvo oudattaa samaa yhtälöä! () (, ) (, ) t = Ψ tψ td= missä o aaltopaketi liikkee amplitudi. Aaltopaketti muodostetaa olettamalla, että se o kääepisteessä = ajahetkellä t =. cosωt ( ) Harmoie oskillaattori Harmoise oskillaattori Schrödigeri yhtälö d ψ + k ψ = Eψ m d Omiaisarvot: E = + ω; ω = k m =,,,3,.. Esimmäiset omiaisfuktiot 3 ( ) E ψ / α / ω ψ α / π e 3 / α ω ψ ( ) = ( α / π ) αe 5 / ω ψ ( ) = ( α /8 π ) ( 4α ) e 3 7 ω ψ α /48 π 8α a e ( ) = ( ) α = mω/ / ( ) = ( ) ( ) / α / 3 3 α /

7 Aaltofuktiot ja todeäköisyystiheydet Klassisesti kielletty alue Potetiaalieergia o symmetrie pistee = suhtee, jote aaltofuktiot ovat tämä piste suhtee parillisia tai parittomia. Skaalattu yhtälö Muuttuja vaihdolla voidaa Schrödigeri yhtälö saattaa yksikertaisempaa muotoo: = X mω mω d Ψ + Ψ = Ψ m dx mω d Ψ + Ψ = Ψ dx ε = E ω ( X ) mω X ( X) E ( X) ( X ) X ( X) ε ( X)

8 Skaalattu yhtälö Omiaiseergiat ε = + Omiaisfuktiot Ψ ( X) = h( X) e π! X / Aika skaalautuu seuraavasti: T = ωt jolloi klassise värähtelijä paikka o: ( ) = ( ) X T X cos T Gaussi paketi muodostamie Tehtävässä lasketaa kertoimet (5) ja se jälkee piirretää fuktio (4) aettuia ajahetkiä sekä merkitää samoihi kuvii klassise värähtelijä asema vastaavia ajahetkeä. Vertailu osoittaa, että aaltopaketi (4) maksimikohta o samassa paikassa kui klassie harmoisesti värähtelevä massa ts. aaltopaketti oudattaa Newtoi liikeyhtälöä.