T Signaalinkäsittelyjärjestelmät Kevät 2005

Transkriptio

1 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. igaalikäsittelyjärjestelmät Kevät HUOM! Kurssi lueoidaa todeäköisesti viimeistä kertaa keväällä! Kurssi tettejä järjestetää toukokuuhu 6 asti. Korvaava kurssi T-6.XXXX Datasta tietoo. Tehtäviä alkae sivulta. Mallivastauksia alkae sivulta. Kaavakokoelma alkae sivulta 7. Esimerkkejä laskutehtävistä Virheistä ja parausehtotuksista voi laittaa viestiä osoitteesee [email protected]. Huomaa myös, että iteretistä löytyy paljo tietoa ja esimerkkidemoja. Alla olevassa taukossa tehtäväsarakkee koodi B tarkoittaa ee kyseistä tehtäväatoa olevaa laatikkoa sivuilla -9. Aihealue Tehtäviä kts. B yllä Kompleksiluvut, parito ja parillie fuktio -, B Kulmat, taajuudet,, 7B, B, 6B Euleri kaava B, Kompleksiarvoie fuktio, igaalit xt ja sekvessit, fuktiot δ[], u[] 6 Taajuussuureet ja yksiköt 7B, B, 6B igaali ja sekvessi jaksollisuus 7-8,, 8, 8B Järjestelmät ja iide omiaisuudet 9-,, B, 9B, B Lohkokaaviot virtauskaaviot 9, -, 9-,, 6 Lieaariset ja aikaivariatit LTI järjestelmät, FIR, IIR -, 9- Kovoluutio, dekovoluutio -8 LTI-suotime impulssivaste h[] 7, 9-, -7 LTI-suotime differessiyhtälö, 9-, -7 Jatkuva-aikaise sigaali xt Fourier-sarja - Diskreettiaikaise sekvessi Fourier-sarja 6-7 Jatkuva-aikaise sigaali xt Fourier-muuos CTFT XjΩ 8- Diskreettiaikaise sekvessi Fourier-muuos DTFT Xe j -8 Diskreetti Fourier-muuos DFT X[k], FFT 8 uotimie taajuusaalyysi, asteluku, 9-, -9 Taajuusvastee He j laskemie,, B Amplitudivastee He j hahmottelu,, B uotime lieaarivaiheisuus He j, 7 Ryhmäviive τ, ousuaika, askelvaste s[], 7 Ideaalisuodi 9-, Kovoluutio- ja kertolaskuomiaisuus, - Näytteeotto ja sigaali rekostruoiti - Matlab-kometoja 8, - T-6. Tehtäviä Vastauksia tehtävii sivulta.. Esitä kaava asteide muuttamiseksi radiaaeiksi ja päivastoi.. Piirrä yksikköympyrä. a Merkitse pisteet A,, B., ja C., /. Mitkä ovat tämä suorakulmaise kolmio ABC kulmie arvot? b Mitkä kaksi kulmaa välillä... toteuttavat si.?. Osoita a zz r b z + z z + z Kompleksilukuje kertausta esimerkiksi s. 7 / Oppeheim. Tärkeä Euleri kaava e j cos + j si. Kompleksiluku z voidaa esittää suorakulmaisessa koordiaatistossa z x + jy imagiaariyksikkö i tai j tai polaarikoordiaatistossa z r e jθ. Luvu z kompleksikojugaatti o z x jy r e jθ ja moduli pituus origosta z r x + y.. Fuktio voidaa jakaa parillisee Eve ja parittomaa Odd osaa: Evext} /[xt + x t] ja Oddxt} /[xt x t]. Olkoo H e j. Laske: a EveH} b OddH}. Tutkitaa kompleksilukuarvoista fuktiota H e j. Tämä osoittautuu myöhemmi tyypilliseksi diskreettiaikaiseksi ylipäästösuotimeksi. Laske arvot H, H ja H, ku, /, /, /, }. Määritellää yksikköimpulssifuktio δ[] ja yksikköaskelfuktio u[] joskus µ[]:, ku δ[], ku u[], ku, ku < 6. Piirrä seuraavat sigaalit ja sekvessit origo t tai ympärillä. a xt cost / b si. c x[] δ[ ] + δ[] + δ[ + ] d x[] δ[ ] + δ[] + δ[] e x6[] u[] u[ ] f x7[] x[ ] T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 Jatkuva-aikaise aalogise sigaali jaksollisuus: T R s. e. xt xt + T, t R. Ekspoetti-, sii- ja kosiifuktio ovat jaksollisia : suhtee. ijoitukse xt + T jälkee o siis tarkoitus löytää sellaie arvo T :lle, että kulmaa lisätää aia vai moikertoja katso tehtäviä alla. Jos sigaalissa xt o useita siikompoetteja, ii lasketaa esi kaikkie jaksoajat Ti yksitelle ja etsitää piei yhteie jaksoaika T, joho kaikki Ti:t meevät tasa. Perusjakso o piei mahdollie T; sigaali o toki jaksollie myös T: moikertoje suhtee. Yksikkö [T ] s. Perustaajuus o f, joka avulla kaikki muut sigaali taajuudet voidaa esittää se harmoisia moikertoia. Tähä palataa Fourier-sarja yhteydessä. Yksikkö [f] Hz /s. Peruskulmataajuus o Ω f, jota toisiaa merkitää myös. Aalogise suuree yksikkö o [Ω] rad/s. 7. Mitkä seuraavista jatkuva-aikaisista sigaaleista ovat jaksollisia? Määritä jaksolliste sigaalie perusjakso pituus. a xt cos 8 t b xt e jt c xt cos 8 t Diskreettiaikaise tai digitaalise sigaali eli sekvessi lukujoo jaksollisuus: N Z s. e. x[ + N], Z. Tämä poikkeaa jaksollise sigaali tarkastelusta vai siiä, että ideksi ja jaksoaika N tulevat olla kokoaislukuja. Normalisoitu äytteeottotaajuude fs suhtee kulmataajuus f/fs, joka yksikkö [] rad. 8. Mitkä seuraavista sekvesseistä ovat jaksollisia? Määritä jaksolliste sekvessie perusjakso pituus. a cos 8 b cos 8 c cos si Tarkastellaa kolmea järjestelmää, ja, joide syöte-vasterelaatiot ovat: c Esitä syöte-vasterelaatio riakytkeälle ja d* Esitä syöte-vasterelaatio järjestelmälle, jossa esi o, siihe sarjaakytkettyä : ja : riakytketä, joka jälkee sarjassa ivertoitu. Miksi lopputulos ei ole sama kui kohdassa c? Järjestelmillä voi olla erilaisia omiaisuuksia, joide avulla iitä voidaa luokitella. Tällä kurssilla tärkeimpiä järjestelmiä ovat LTI-järjestelmät liear ad time-ivariat, jotka ovat siis lieaarisia ja aikaivariatteja. LTI-järjestelmie kausaalisuutta ja stabiilisuutta voi helposti tutkia myös impulssivastee avulla.. Tutki kutaki järjestelmää ja osoita, oko se :. x[ + ] a muistito b lieaarie kuva c aikaivariatti kuva d BIBO-stabiili e kausaalie :. x[ ] : + Oddx[ + ]}. *Järjestelmä omiaisuudet. Tutki, oko alla oleva järjestelmä a lieaarie ja/tai kausaalie: ax[ ]+b, jossa a ja b ovat reaalisia vakioita b stabiili ja/tai kausaalie: x[ + ] +. x[ + ] c lieaarie ja/tai aikaivariatti: x [] d aikaivariatti ja/tai stabiili: x[ ] x x y y a b y * Kuva : Lieaarisuude osoittamie. Jos y y, ii lieaarie. x x a b x y : + x[ ] : x[ ] x[ ] x[/], parillie :, parito x x D k x x [-k] y D k y y * y [-k] Kuva : Aikaivariattisuude osoittamie. Jos y y, ii aikaivariatti. Kuva : Tehtävät 9: yöte, vaste ja diskreettiaikaie järjestelmä h[]. a Olkoo syötteeä lukujoo δ[] + δ[ ] δ[ ],, }. Aa kuki järjestelmä ulostulojoo. b Esitä syöte-vasterelaatio sarjaakytkeälle ja. Kuvassa o toise astee LTI-suodi. Mikä o se differessiyhtälö? Mite lasketaa suotime asteluku?. Tarkastele kuva lohkokaaviokuvioita ja vastaa kysymyksii, oko järjestelmä a lieaarie ja aikaivariatti LTI?

2 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 Kovoluutio jatkuville sigaaleille ja diskreettiaikaisille sekvesseille: z.8.9. z z + yt xt xt xτ xt τ dτ + x[k] x[ k] z -. z Kuva : Tehtävä suodirakee. - z z z -. z - Kovoluutio voi yhdistää suodattamisee site, että jos o syöte ja h[] impulssivaste, ii h[] o vaste. Täte kovoluutio saa laskettua vaikkapa ii, että laittaa sisäätuloo sekvessi ja katsoo mitä suotimesta h[] tulee ulos; ulostulo o kovoluutio h[] tulos.. Piirrä esi lukujoot ja h[]. Laske sitte diskreettiaikaie kovoluutiosumma h[] h[] h[k]x[ k] a,, }, h[], } b δ[ ] + δ[ ], h[] δ[] δ[ ] i / -cospi/ ii D / -cospi/ iii 6. Laske seuraavie diskreettiaikaiste järjestelmie kovoluutio ku a ja h[] ovat kuva 7 kaltaiset LTI b α u[] h[] β u[], α β iv v Kuva : Tehtävä järjestelmie lohkokaaviot h[] b takaisikytketty?. Kuvassa 6 esitetty syöte xt tuottaa erääsee lieaarisee aikaivariattii LTI järjestelmää syötettyä vastee yt. Käyttämällä hyväksi LTI-järjestelmä omiaisuuksia, hahmottele sama järjestelmä vaste syötteelle xt. x t t y t t x t t Kuva 6: Tehtävä. Lieaarise aikaivariati järjestelmä syöte ja vaste Kuva 7: Tehtävä 6: Järjestelmä syöte ja impulssivaste. Diskreettiaikaise kovoluutio tarkistamisessa o pari peukalosäätöä: Kovoluutio h[] pituus o kovoloitavie sekvessie pituuksie summa miius. Kovoluutio h[] aloituskohda ideksi o kovoloitavie sekvessie aloituskohtie summa. Legth} Legthh[]} + Legth} tart} tarth[]} + tart} 7. Tarkastellaa kuvassa 8 esitety kolme lieaarise aikaivariati systeemi LTI kaskadikytketää. ysteemistä tiedetää, että impulssivaste h[] o h[] u[] u[ ], ja että koko systeemi impulssivaste o kuvassa 9 esitety kaltaie. Vihje: LTI-järjestelmille pätee esim. h h h h h h. T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 8 / 7 a Mikä o impulssivastee h[] ollasta poikkeava osa pituus? Etsi impulssivaste h[]. b Mikä o systeemi vaste ku syöte o δ[] δ[ ]? b Määritä systeemi impulssivaste h[]. c Mikä o systeemi vaste syötteellä u[].. Tarkastellaa systeemiä, joka o määritelty differessiyhtälöä h [] h [] h [] y[ ] Kuva 8: Tehtävä 7: Kolme LTI-systeemi kaskadi. h[] a Piirrä systeemi lohkokaavio. b Määritä systeemi impulssivaste h[], ku. Mite impulssivaste käyttäytyy : suuremmilla arvoilla? c* Mikä o systeemi vaste ratkaise differessiyhtälö!, ku syöte o u[]. Vihje: yrite, homogeeie yhtälö, erityie yhtälö TAI z-muuos.. Tarkastellaa järjestelmiä ja kompleksisella syötteellä e j/6. Riittävätkö aetut tiedot osoittamaa, että järjestelmä tai ei aiakaa ole LTI? Kappale. : e j/6 e j/7 : e j/6. e j/6 Kuva 9: Tehtävä 7: Kaskadisysteemi impulssivaste. 8. Laske kovoluutio missä h[] x[k]h[ k] u[ ] + u[] h[] u[ + ] a käyttämällä suoraa kovoluutio määritelmää, b käyttämällä kovoluutio osittelulakia x + x h x h + x h. LTI-järjestelmät jaetaa yleesä kahtee luokkaa iide impulssivastee pituude perusteella: Äärellise pitkä impulssivastee FIR Fiite legth impulse respose suotimet, ja Äärettömä pitkä impulssivastee IIR Ifiite legth impulse respose suotimet. FIR-suotime lasketa meee eteepäi eikä siiä ole takaisikytketöjä. FIR-suodi o aia stabiili, koska k h[k] <. FIR-differessiyhtälössä ei ole muita y: termejä kui. IIR-suotimessa o silmukoita, takaisikytketöjä, jolloi lasketa o rekursiivista. IIRsuodi voi olla stabiili tai epästabiili. IIR-differessiyhtälössä o aia mukaa y: edellisiä tai tulevia termejä. 9. Tarkastellaa systeemiä, joka o määritelty differessiyhtälöä a Piirrä systeemi lohkokaavio. x[ ] Jaksollise jatkuva-aikaise sigaali Fourier-sarjaesitys esitellää luvussa. ja se omiaisuuksia luvussa. sekä taulukossa. sivulla 6 Oppeheim, Willsky. Jaksollise jatkuva-aikaise sigaali Fourier-sarjaesitys: xt + ak e jkt jossa ak xt e jkt dt T T Tässä Ω o peruskulmataajuus, f perustaajuus, ja T T perusjaksopituus. Jatkuvalle f /T, T. Yksikkö [] [Ω] rad/s. Kulmataajuude f esittämisessä o valitettavaa vaihtelevuutta piee ja iso oomega suhtee. Yksikkötarkastelulla voi varmistaa, että kosii argumetiksi tulee paljas luku. Aalogise sigaali osalta esimerkiksi: cos.t cosωt, jossa Ω. rad/s ja [t] s.. Tiedetää, että a, a a, a a, a a, ak muulloi. Muodosta syteesiyhtälöllä xt, ku perusjakso pituus o. Kappale.. Määrää seuraavie jaksolliste sigaalie peruskulmataajuudet Ω ja Fourier-kertoimet aalyysiyhtälöllä a xt e jt, kompleksie sigaali b xt cost + cost, reaalie sigaali. Jaksollie sigaali xt, joka perusjakso o o määritelty seuraavasti: t, t xt t, < t a Piirrä xt, ku t... b Määrää Fourier-kerroi a. Mitä se esittää?

3 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 9 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 c Määrää derivaata dxt Fourier-sarja. dt d* Käytä edellistä tulosta ja Fourier-sarja derivoitiomiaisuutta taulukosta: dxt dt... jkak ja laske xt: Fourier-kertoimet.. *igaalista xt tiedetää, että i xt o reaaliarvoie ii xt o jaksollie perusjaksolla T 6 iii ak, ku k ja k > iv xt xt v 6 xt dt vi a o positiivie reaaliluku Osoita, että xt A cosbt + C ja laske vakiot A, B ja C. Jaksollise diskreettiaikaise sekvessi Fourier-sarjaesitys esitellää luvussa.6 ja se omiaisuuksia luvussa.7 sekä taulukossa. sivulla Oppeheim, Willsky. Jaksollise diskreettiaikaise sekvessi Fourier-sarjaesitys: k N ak e jk jossa ak e jk N N Tässä o äytteeottotaajuude suhtee ormalisoitu peruskulmataajuus, f perustaajuus, N N perusjatkopituus, ja fs ft Fs äytteeottotaajuus, joka useimmite voidaa skaalata ja merkitä oleva fs. Diskreettiaikaiselle sekvessille f/fs /N, N, site että N, Z. Ku fs,., ii f f /N. Yksikkö [] rad. Yksikkötarkastelulla voi varmistaa, että kosii argumetiksi tulee paljas luku. Diskreettiaikaise sigaali osalta esimerkiksi: cos. cos, jossa. rad ja []. 6. Tiedetää, että perusjakso pituus N ja kertoimet a, a a, a a. Muodosta syteesiyhtälöllä. Kappale.6 7. Määrää seuraavie jaksolliste sekvessie peruskulmataajuudet ja Fourier-kertoimet aalyysiyhtälöllä a cos/ b si/ + cos/ Jatkuva-aikaise sigaali Fourier-muuos xt Xj johdettii Fouriersarjoista ajattelemalla jaksoaika äärettömä pitkäksi. Näi saatii Ω : F Xj} xt + Xj e jt d + F xt} Xj xt e jt dt Huomaa myös taulukot. s. 8, Properties of the F-trasform ja. s. 9, Basic F-trasform pairs. Esimmäisestä o usei apua tehtävissä, joissa tiedetää sigaali xt F-muuos Xj ja halutaa etsiä joku x:stä johdetu sigaali F-muuos. Jälkimmäisessä o suoraa tiettyjä muuoksia. 8. Kirja esimerkit. ja.: itegroitiharjoitus, sic-fuktio ja duaalisuus. a Laske Fourier-muuos määritelmä mukaa sigaalille, t < T xt, t > T si θ b Esitä a-kohdassa saatu F-muuos sic-fuktio avulla, sicθ θ 9. F-muua seuraavat sigaalit ja impulssivaste käyttäe hyväksi taulukkoa kts. alkae sivulta 7 ja aiempia tuloksia. Vikit: aikasiirto a, aikasiirto ja li. b, aikasiirto c, derivoiti ajassa d., < t < a xt, muulloi, < t < b xt xt + xt + xt, < t <, < t <, muulloi c ht ht e t ut t, < t < d xt, muulloi. Kovoluutio-omiaisuutta s. käyttäe voidaa differettiaaliyhtälö ratkaista äppärästi algebrallisesti ilma yritteitä, vertaa tehtävä c: yt ht xt Y j HjXj Laske impulssivasteide ht e.t ut ja ht e t ut kovoluutio käyttämällä F- muuokse kovoluutio-omiaisuutta. Tällöi aikataso kovoluutio ht ht ht lasketaa F-muuoste Hj ja Hj kertolaskua Hj Hj Hj ja tämä tulos kääteismuuetaa takaisi aikatasoo Hj ht.. *Fourier-kääteismuuos a Laske kääteie Fourier-muuos Xj, < W, > W si θ b Esitä a-kohdassa saatu sigaali sic-fuktio avulla, sicθ θ c Esitä suorakaidepulssi ja sic-fuktio duaaliomiaisuudet Fourier-muuoksessa s *Lisää lasketaa a Laske ht e t u t ja xt e t ut kovoluutio yt ht xt käyttämällä kovoluutio-omiaisuutta. T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 b Laske Rj, ku rt e t cost. R itegroimalla, R taulukosta, äide kovoluutio. Diskreettiaikaise sekvessi Fourier-muuos DTFT F Xe j } Xe j e j d F } Xe j e j 7. Diskreettiaikaie Fourier-muuos o -jaksollie, itseisarvo Xe j ollessa parillie ja Xe j parito fuktio. Kuvassa o reaalise sekvessi Fouriermuuokse itseisarvo Xe j. Hahmottele kuki Xe j alueelle fs... fs. Näytteeottotaajuude fs, äytteeottokulmataajuude s ja äyteväli yhteys o fs s/ /. Esimerkiksi fs Hz äytteide välie aika o, 7µs. Xe^jw Xe^jw Xe^jw Huomaa myös taulukot. s. 9, Properties of the d-t F-trasform ja. s. 9, Basic d-t F-trasform pairs. HUOM! Diskreetissä Fourier-muuoksessa DFT myös taajuusalue o diskreettitaajuie. f s / f Kuva : Tehtävä 7: pektrejä kaistalla [... fs/] tai [... ].. Laske seuraavie sekvessie diskreettiaikaiset Fourier-muuokset: a δ[ ] + δ[ + ] b u[ ]. Tuetaa reaalie sekvessi ja se diskreettiaikaie Fourier-muuos Xe j. Olkoo taajuudella c /: Xe j/ + j. Päättele jaksollisuude avulla ja laske a Xe j/ b Xe j/ c Xe j / d Xe j/+ e Jos fs Hz, ii mikä o tutkittava taajuus fc. Laske jaksollise sekvessi si/6 +/ diskreettiaikaie Fourier-muuos Xe j. Hahmottele kuvaajat Xe j ja Xe j. 6. Olkoo Xe j kuvassa esitety sigaali Fourier-muuos. Tutki tauluko. omiaisuuksia. Fourier-muuosta Xe j ei tarvitse määrittää missää kohdassa, ku huomaa käyttää symmetrisyyttä x[ ]! 8. Matlabi fftx-kometo palauttaa sekvessi x diskreeti Fourier-muuokse discrete Fourier trasform, DFT: N X[k] Xe j k/n e jk/n, k N Tässä siis spektri o myös lukujoo spektrikompoettie arvoja. Täte laskuoperaatio voidaa toteuttaa tietokoeella. Yhdistä kuva vasemma sarakkee sekvessit ja oikea sarakkee tehospektrit Xe j. Vikki: Yksi jaksollie kosii taajuudella fi luo yhde piiki spektrii positiiviselle taajuudelle fi. Tehty Matlabilla: [x, fs, bits] wavread aai.wav ; % luetaa ääisigaali, fsäytt.ottotaaj. soudscx, fs; % kuuellaa M legthx; t [ : M] / fs; % aika-akseli plott, x; % piirretää aaltomuoto xlabel Time s ; xf *fftx/m; % lasketaa DFT f fs * [ : M-]/M; % taajuusakseli..pi..fs plotf, xf.*cojxf; % piirretää Xexpjw ^ xlabel Frequecy Hz ; Kuva : Tehtävä 6 Diskreettiaikaie sekvessi. a Laske Xe j. b Etsi Xe j. + c Laske Xe j d. d Etsi Xe j. + + e Määritä Xe j d ja dxe j d d. f Laske d d Xej. g Määritä ja piirrä sigaali, joka Fourier-muuos o ReXe j }. LTI-suotimet ovat laskeallisesti yksikertaisia. Niide iput-output-relaatio voidaa esittää differessiyhtälöllä. Niillä pystytää tekemää taajuusselektiivisiä suotimia, joilla voidaa vaimetaa haluttuja sigaali spektri kaistoja. 9. Hahmottele seuraavie suodityyppie amplitudivasteet taajuustasossa: Diskreettiaikaisessa Fourier-muuoksessa, DTFT, Xe j saa R. Ku Jos esimerkiksi Matlab ataa kuvaaja Xe j :sta, se o useimmite laskettu riittävä moe pistee DFT:ä käyttäe.

4 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / Time s Time s Frequecy Hz Frequecy Hz a Jos ii määrää diskreetti sigaali g[] site, että se Fourier-muuos Ge j toteuttaa ylläoleva yhtälö. Oko olemassa muita ratkaisuja g[]? b Toista edellie kohta sigaalille u[].. Ylipäästö- ja kaistapäästösuodattimia suuiteltaessa toteutetaa usei esi alipäästösuodati, jolla o halutut omiaisuudet ja se jälkee muuetaa se HP- tai BPsuotimeksi. Etua tästä o, että kaikkie suodityyppie toteutuksee riittävät pelkästää alipäästösuodattime suuittelualgoritmit. Tarkastellaa esimerkiksi diskreettiaikaista alipäästösuodatita, joka impulssivaste o hlp[] ja taajuusvaste Hlpe j. Moduloidaa impulssivastetta jaksolla, ii että hhp[] hlp[]. a Määritä Hhpe j Hlpe j : avulla. Osoita, että Hhpe j o ylipäästösuodattime taajuusvaste. b Osoita, että diskreettiaikaise HP-suodattime impulssivastee moduloiti jaksolla tuottaa alipäästösuodattime.... Time s 6 8 Frequecy Hz Kuva : Tehtävä 8: Yhdistettävät sekvessit vase sarake ja spektrit oikea. a alipäästösuodi b ylipäästösuodi c kaistaestosuodi d kaistapäästösuodi. Tarkastellaa jatkuvaa periodista sigaalia xt, joka o määritelty seuraavasti: a Hahmottele sigaali xt aikatasossa. xt cost +. cost b Määritä sigaali xt peruskulmataajuus ja Fourier-sarjaesitykse kertoimet ak. c igaalia xt suodatetaa ideaalisella alipäästösuotimella, joka rajakulmataajuus c. Piirrä suodatettu sigaali. d igaalia xt suodatetaa ideaalisella ylipäästösuotimella, joka rajakulmataajuus c. Piirrä suodatettu sigaali.. Kovoluutio-omiaisuutta s. 8 h[] Y e j He j Xe j käyttäe ratkaise vrt tehtävä c ja a h[] δ[ ] δ[ ],.6 u[] b h[]. u[ ],.7 u[]. Käytä hyväksesi kertolaskuomiaisuutta s. 88 h[] Y e j He jθ Xe j θ dθ. Tutkitaa taajuusvastetta ja se laskemista. Aikatasossa ulostulosekvessi saatii laskemalla impulssivastee ja syöttee kovoluutio h[]. Jos syötteeksi asetetaa xi[] e ji saadaa: h[] xi[] h[k]xi[ k] k k h[k]e jik e ji h[k]e ji k Huomataa, että ulostulossa o sama taajuuskompoetti e ji kerrottua jollai kompleksiarvoisella arvolla, joka vaikuttaa kompoeti amplitudii ja vaiheesee. Termiä He j k h[k]e jk kutsutaa taajuusvasteeksi. Taajuusvaste kertoo, mite suodi toimii taajuude fuktioa - LTI-suodi o taajuusselektiivie. Taajuusvaste o impulssivastee Fourier-muuos ja impulssivaste o taajuusvastee kääteie Fouriermuuos. Taajuusvaste o yleesä kompleksiarvoie, jote useimmite käsitellää vai se itseisarvoa, amplitudivastetta, He j. Xe j h[] He j Ye j Kuva : Tehtävä : h[] Y e j He j Xe j igaalie ja g[] Fourier-muuokset ovat Xe j ja Ge j. Lisäksi o voimassa yhtälö Xe jθ Ge j θ dθ + e j T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 Lieaarise vakiokertoimise differessiyhtälö karakterisoima LTI-järjestelmä s Aikataso kovoluutio vastaa taajuustasossa muuoste kertolaskua h[] Y e j He j Xe j katso kuva. Muistetaa alkukurssista, että kausaalista, diskreettiä LTI-järjestelmää kuvaa vakiokertoimie differessiyhtälö N M ak y[ k] bk x[ k] k Ku F-muuoksessa käytetää hyväksi viivästysomiaisuutta x[ ] e j Xe j, saadaa N M ak e jk Y e j bk e jk Xe j k Tässä Xe j ja Y e j ovat selvästi vakioita ideksi k suhtee, jote e voidaa ottaa ulos summasta. Kovoluutio-omiaisuude Y e j He j Xe j huomioo ottae impulssivastee h[] Fourier-muuos He j eli taajuusvaste o k k He j Y ej M Xe j k bk e jk N k ak e jk a Määrää impulssivaste h[], piirrä se ja järjestelmä lohkokaavio. Vikki: FIR-tapauksissa He j h[] e j ; IIR kts. tehtävä 6. b Laske ja piirrä askelvaste s[] m h[m]. c Hahmottele He j : kuvaaja kompleksitasoo, ku saa arvoja... Laske muutamia arvoja ja hahmottele pehmeästi iide väliltä. d Laske amplitudivaste He j kompleksiluvu itseisarvo ja hahmottele se välillä... e Laske vaihevaste arghe j } kompleksiluvu kulma ja hahmottele se välillä... f Desibeli-asteikolla teholliset amplitudiarvot saadaa laskemalla log He j log He j. Hahmottele d-kohda amplitudivaste yt desibeli-asteikolla. g Ryhmäkulkuaika/ryhmäviive/eteemisviive saadaa vaihevasteesta τ d d arghej }. Laske τ. Mikä o se yhteys impulssivasteesee? h Alla o aettu toise suotime He j. 9 k e jk amplitudivaste, impulssivaste ja askelvaste. Mitkä ovat suotimie He j ja He j erot kaistaleveyksissä ja askelvasteide ousuajoissa? Nousuaika o aika, jossa askelvaste ousee %:sta loppuarvostaa 9 %:ii. *i Matlabi komeot? Tuetaa LTI-järjestelmä se impulssivastee avulla h[] δ[] + δ[ ] δ[ ]. a Kirjoita differessiyhtälö ja piirrä aikatasossa lohkokaavio, jossa tulee vasemmalta järjestelmää ja ulostuloa o. b Kirjoita He j eli määrää kertoimet b, b ja b. Mitä tulee jakajaa arvoiksi ak? c Oko kyseessä ali- vai ylipäästösuodi? Usei halutaa aalysoida LTI-suotime käytöstä. Lähtötilateea voi olla a suotime lohkokaavioesitys, b impulssivaste h[], c differessiyhtälö... tai d taajuusvaste He j. Kaikki ämä ovat yksikäsitteisiä, jote ku yksi äkökulma tuetaa, voidaa muutki laskea tai havaiollistaa. Lohkokaaviosta tai differessiyhtälöstä ähdää usei suotime käytäö toteutus, lasketa-algoritmi. Impulssivaste h[] kertoo suotime käytökse aikatasossa. Impulssivastee Fourier-muuos He j kertoo käytöksestä taajuustasossa. Kute tehtävässä huomattii, äärellise pitkä impulssivastee FIR Fiite legth impulse respose taajuusvaste He j o e j : suhtee yksikertaie polyomi. Jos impulssivaste o äärettömä pitkä IIR Ifiite legth impulse respose, ii taajuusvaste He j o ratioaalilauseke, jossa sekä osoittajassa että imittäjässä o polyomilauseke. LTI-järjestelmissä impulssivasteesta h[] voidaa ähdä järjestelmä kausaalisuus ja stabiilisuus. Jos h[], kaikilla arvoilla <, ii järjestelmä o kausaalie. Jos h[k] <, ii järjestelmä o stabiili.. Olkoo aettua taajuusvaste He j. + e j. Taajuusvaste voidaa hajottaa amplitudi- ja vaihevasteesee He j He j e j arghej } Kuva : Tehtävä : He j : Amplitudivaste He j, impulssivaste h[] ja askelvaste s[]. 6. Kausaalie ja stabiili LTI-systeemi o määrätty seuraava differessiyhtälö avulla: a Piirrä lohkokaavio. b Laske taajuusvaste He j. c Hahmottele He j. d Laske impulssivaste h[]. y[ ] 7. Tutki seuraavissa kuvissa esitettyjä realisoituje suotimie amplitudi- ja impulssivasteita. a Mite suotime asteluku vaikuttaa päästö- ja estokaista välisee siirtymäkaistaa trasitio bad? b Mite suotime asteluku vaikuttaa ryhmäviiveesee, ku kaikki toteutukset ovat lieaarivaiheisia suotimia. c Mikä o askelvastee ousuaja suotime opeus ja siirtymäkaista leveyde suhde?

5 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 8 / 7. N N N Kuva : Tehtävä 7: Vasemmalla toteutetu suotime He j amplitudivaste asteluvuilla N,, } ja kuki suotime h[], h[], h[] impulssivaste Kuva 7: Tehtävä : xt, äytteistä käyttäe i. s, ii. s, iii.666 s *d Millaiselta ideaalisuodi äyttäisi? Mitä tarkoittaa suotime realisaatio? Mitä suotime suuittelussa lasketaa? Mite digitaalie suodi voidaa tehdä? 8. Jatkuva-aikaise, kausaalise ja stabiili LTI-systeemi taajuusvaste o Hj j +j a Osoita, että Hj A ja laske A b Mikä tyyppie suodi o kyseessä? c Määritä, mikä seuraavista väitteistä pitää paikkasa ryhmäviiveelle τ darg Hj/d: i τ, ku > ii τ >, ku > iii τ <, ku > 9. *Tutkitaa kuvassa 6 esitettyä mekaaista systeemiä. ysteemi liikeyhtälö o muotoa Bvt + K vtdt ft. a Oletetaa, että vaste o fst, jousta kokoo puristava voima. Kirjoita differetiaaliyhtälö fst: ja ft: avulla, etsi systeemi taajuusvaste ja osoita, että se approksimoi LP-suodita. b Oletetaa, että vaste o fdt, hydraulista vaimeita puristava voima. Kirjoita differetiaaliyhtälö fdt: ja ft: avulla, etsi systeemi taajuusvaste ja osoita, että se approksimoi HP-suodita. ft vt B K Kuva 6: Tehtävä 9 järjestelmä. Näytteeotossa jatkuvasta sigaalista otetaa yleesä tasavälisi ajoi äytteitä, jolloi saadaa lukujoo. O olemassa myös täysi syteettisiä lukujooja, jotka voidaa rekostruoida jatkuvaksi sigaaliksi tietokoeääet yms.. Näytteistä kuvassa 7 olevaa jatkuvaa kosiisigaalia xt cos t kolmella äytteeottovälillä i. s, ii. s, iii.666 s, ja piirrä diskreetit arvot kuvaajii. Tarkista äytteeottotaajuude riittävyys ja hahmottele diskreeteistä äytteistä jatkuvaksi palautettu sigaali ˆxt.. Osoita, että jaksollie impulssijua pt voidaa esittää Fourier-sarjaa pt δt pt e j/kt jossa s / o äytteeottokulmataajuus.. *Edellise tehtävä impulssijua Fourier-muuos voidaa esittää myös muodossa P j δ k s Näytteistämie voidaa mallittaa aikataso kertolaskulla xpt xtpt. Mikä o Xpj mielivaltaiselle syötespektrille Xj? Vikit: jaksollise sigaali Fourier-sarja Fourier-muuosesitys Xj akδ k igaalie kertolasku aikatasossa vastaa muuoste kovoluutiota taajuustasossa: xt xt [ Xj Xj ] XjθXj θdθ. Tuetaa jatkuva sigaali xt spektri Xj, joka o piirretty kuvaa 8. igaali korkei taajuuskompoetti o fh. Näytteistetää sigaalia äytteeottotaajuudella fs eli äytteet otetaa /fs välei: x. Hahmottele diskreeti sigaali spektri Xe j, ku a fh. fs b fh. fs c fh.7 fs T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 9 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 Xjw f h Kuva 8: Tehtävä : pektri Xj. Tarkastellaa jatkuva-aikaista jaksollista sigaalia xt xt cos t + cos t + cos 7 t, t, t < jossa siis kosiitaajuudet, ja 7 Hertziä. igaali äytteistetää taajuudella fs. Toisi saoe, /fs, pt fs ejfskt. Näi saadaa diskreetti sekvessi xpt x. a Hahmottele xt: spektri kosii vastaa piikkiä taajuustasossa b Hahmottele : spektri, ku fs o. igaali rekostruoiti äytteistä i 6 Hz ii 8 Hz iii Hz a Piirrä mielivaltaie kaistarajoitettu Xj, joka suuri kulmataajuus o M. b Näytteistä sigaali äytteeottokulmataajuudella s > M. Piirrä äytteistety sigaali spektri Xpj. c Näytteistettyä sigaalia o voitu suodattaa digitaalisella suotimella, toisi saoe, lukujoolle o voitu tehdä muutoksia. Rekostruoi sigaali spektri takaisi jatkuvaksi käyttämällä ideaalista alipäästösuodita Hj, joka rajataajuus c o M < c <. s. Piirrä palautetu sigaali spektri Xrj XpjHj. d Esitä edellise kohda yhtälö aikatasossa xrt xpt ht xpkht kt Mikä o c-kohda ideaalise alipäästösuotime Hj impulssivaste ht? T-6. Vastauksia tehtävii. Ympyrä 6 astetta vastaa :ä. Eli: DEG 6 RAD Esim. suorakulma o /. Jatkossa käytetää lähiä radiaaeja perusvälillä Ekspoettifuktio e j cos + j si piirtää yksikköympyrä, ku Nähdää: e j cos + j si cos + si. a uorakulmaise kolmio Pythagoras a + b c kulmat: ABC / BCA arcta. /6 / CAB / BCA / b Laski ataa radiaaeissa arcsi..6. /6, ja yksikköympyrästä voidaa tarkistaa, että C halutut kulmat ovat /6 ja /6. Voidaa siis ähdä, että x cos ja y si.... Kompleksilukuja suorakulmaisessa ja polaarikoordiaatistossa. a Polaarik.: zz r e jθ r e jθ r e jθ θ r, suorakulmaie: zz x + yjx yj x + y. b z + z x + jy + x + jy x + x + jy + y x + x jy + y x jy + x jy z + z... B uorakulmaie ja polaarikoordiaatisto y r siθ.. r θ A z x + yj r e jθ x r cosθ z*. Parilliset ja parittomat fuktiot: Fuktio fx o parito, jos f x fx kuvassa vasemmalla Fuktio fx o parillie, jos f x fx oikealla. ii o parito fuktio ja kosii o parillie fuktio. Mikä tahasa fuktio fx voidaa ilmaista parittoma ja parillise kompoeti summaa: fx Evefx} + Oddfx}, missä Evefx} /[fx + f x] Oddfx} /[fx f x]

6 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 Parito/Odd xt x t Parillie/Eve xt x t cos t / si. δ[ ] + δ[] + δ[+]... x t.. x [] x []... t EveH} Evee j } ej + e j cos + j si + cos + j si cos + j si + cos j si cos OddH} Odde j } ej e j cos + j si cos + j si cos + j si cos + j si j si. Tutkitaa kompleksilukuarvoista fuktiota H e j. Lasketaa taulukkoo kysytyt arvot. Jos laskimesi tukee kompleksiarvoise ekspoettifuktio laskemista, voit käyttää suoraa H e j, muute hajoita Euleri kaavalla H cos + j si. Huomaa parillise kosii ja parittoma sii laskusääöt: cos cos ja si si. H H H / j.76.7 /. +.j.. / j.878. epäjatkuvuuskohta, lim + H +., lim H.. Vaihtoehtoisesti voit ajatella lasku osoittimie avulla H + H: H, joka o siis vakio ja jolla siirrytää origosta kohtaa,, ja summataa siihe H e j, joka piirtää -säteise yksikköympyrä puolikkaa. 6. Piirrä seuraavat sigaalit ja sekvessit origo t tai ympärillä. a xt cost / b si. c x[] δ[ ] + δ[] + δ[ + ] x [] d x[] δ[ ] + δ[] + δ[] e x6[] u[] u[ ] f x7[] x[ ] δ[ ] + δ[] + δ[]. x 6 [] u[] u[ ] 6 x 7 [].. x [ ] 7. Jaksolliselle jatkuvalle sigaalille o olemassa vakio T >, jolle xt xt + T kaikilla t: arvoilla. Perusjakso T o lyhyi jakso. ijoitukse t t + T jälkee yritetää etsiä vakiota T perustue sii/kosii/ekspoettifuktio -jaksollisuutee. a xt o jaksollie ja perusjakso o T /: xt cos 8 t xt + T cos 8 t + T cos8 t + T Huomaa siis, että T tulee valita ii, että alemma lausekkee vaihesiirto o joku -moikerta: cost cost + cost b xt o jaksollie ja perusjakso o T : xt e jt xt + T e jt+t jt +T e c xt ei ole jaksollie, koska ei löydetä arvoa T, joka tuottaisi kulmaa -moikerra muutokse jokaisella t R: xt cos 8 t xt + T cos 8 t + T cos 8 t + tt 8 + T 6 8. Jaksolliselle diskreetille sigaalille o olemassa vakio N Z+, jolle x[+n], kaikille Z. T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 a o jaksollie perusjaksolla N. Huomaa ero edellise tehtävä a-kohtaa! Katso kuvaa 9: cos 8 x[ + N] cos 8 + N cos8 + N josta /N k, jossa N, k Z, ja edellee N /k. Näi olle piei jakso N eli perusjakso o. Huomaa, että se o eri kui kohdassa a. b ei ole jaksollie, koska yksikää 6: moikerta ei ole kokoaisluku: cos 8 x[ + N] cos + N 8 cos 8 + N 6 c o jaksollie. Lasketaa kuki kosii jakso eriksee, jolloi saadaa N 8 ja N. Perusjakso o jaksoje piei yhteie jaettava eli N N. b ja sarjassa. Vaste saadaa sijoittamalla edellise järjestelmä vaste aia seuraavaa. : jälkee + x[ ], joka sijoitetaa syötteeä :e: y[ ] y[ ] + x[ ] x[ ] + x[ ] x[ ] + x[ ] x[ ] 6x[ ] x[ ] c ja ria. Vaste saadaa laskemalla haarat yhtee. Problems a, a: cos8 / t vs cos8 / T/ N xt + x[ ] + x[ ] x[ ] x[ ] d* Esi, sitte ja ria, ja lopuksi ivertoitu, t - Kuva 9: Vastaus 8: Tehtävie 7a ja 8a ero! 9. Tarkastellaa kolmea järjestelmää, ja, joide syöte-vasterelaatiot ovat: : + x[ ] : x[ ] x[ ] x[/], parillie :, parito a Piirrä esi lukujoo. Ulostulo voidaa laskea vaikkapa yksikertaisella taulukolla. x[ ] x[ ] x[ ] Kääteiseksi järjestelmäksi saadaa :. Koska diskreetti järjestelmä o määritelty vai, ku o kokoaisluku, o aia ku ei ole kokoaisluku. x[/], parillie, parito [ ] [ ] y[ ] x x [ ] [ ] x x x[ ] Kokeile vaikkapa syötteellä,,,. Lieaarisille ja aikaivariateille järjestelmille pätee, että iide keskiäistä järjestystä voidaa muuttaa lopputulokse muuttumatta. Koska järjestys ria, ataa eri tulokse kui yllä laskettu järjestys, kaikki kolme eljä järjestelmää eivät ole lieaarisia ja aikaivariatteja.

7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7. Huomaa, että o lieaarikombiaatio kahdesta esimmäisestä järjestelmästä :.x[ + ] :.x[ ] : + a Järjestelmä o muistito Oppeheim s., ku se vaste riippuu vai se hetkisestä syötteestä, esimerkiksi +. Järjestelmässä ei siis tarvita muistirekistereitä välituloksia tai sisäätulo puskuria varte. Järjestelmää tarkastelemalla havaitaa vastee muodostuva termi x[ ] avulla, jote o muistillie. Myös muut ovat yhtälailla muistillisia. b Järjestelmä o lieaarie s., ku se o additiivie ja skaalautuva eli αxt + βxt αyt + βyt α + β α + β Lieaarisuude osoittamie voidaa tulkita kuva mukaa. Olkoo käytössä kaksi mielivaltaista syötettä ja. Tutkitaa, tuottaako äide vasteide lieaarikombiaatio sama tulokse kui syötteide lieaarikombiaatio vaste. Merkitää syötteide ja vasteita ja :lla:. x[ + ]. x[ + ] Näide vasteide lieaarikombiaatio o kuva vasemma puoleise kaavio ulostulo y []: y [] α + β α. x[ + ] + β. x[ + ] Tutkitaa sitte kuva oikeapuoleista kaaviota eli yt syötteeä järjestelmää o alkuperäiste syötteide lieaarikombiaatio α + β: x x y y. x[ + ]. αx[ + ] + βx[ + ].αx[ + ] +.βx[ + ] a b y * Kuva : Lieaariselle järjestelmälle pätee y y. Tässä * o vai eri ulostulot erottava symboli, ei kompleksikojugaatti tai mikää muu fuktio. x x Koska y [], ii järjestelmä o siis lieaarie. Lieaarisessa järjestelmässä voidaa hyödytää superpositiota esimerkiksi siihe, että sisäätuloa jaetaa pieempii osii, suodatetaa läpi järjestelmä eriksee, ja kootaa tulos lopuksi yhtee. Voidaa myös laskea vastaavasti, että o myös lieaarie, samoi kui iide lieaarikombiaatio. a b x y c Järjestelmä o aikaivariatti s., ku järjestelmä käyttäytymie ei muutu aja mukaa. Aikaivariattisuude osoittamie voidaa tulkita kuva mukaa. Tutkitaa tilaetta, jossa syötettä viivästetää ja sitte syötetää järjestelmää yläkuva ja tilaetta, jossa vastetta viivästetää alakuva. Jos ulostulot ovat samoja, järjestelmä o aikaivariatti. Tuetaa järjestelmä vaste mielivaltaiselle sekvesille Viivästetää tätä vastetta k yksikköä:.x[ ] y [] y[ k].x[ k ].x[ + k] Tutkitaa toisaalta viivästettyä syötettä x[ k]:.x[ ].x[ k].x[ k] Jos järjestelmä o aikaivariatti, o oltava y []. x x D k x x [-k] y D k y y * y [-k] Kuva : Aikaivariatille järjestelmälle pätee y y. Ylemmässä kuvassa siirretää x:ä, alemmassa y:ä. Koska y[ k], ei järjestelmä ole aikaivariatti. e sijaa järjestelmä o aikaivariatti! Osoita! d Järjestelmä o stabiili s. 8, ku järjestelmä ataa rajoitetu vastee aia ku syöte o rajoitettu BIBO bouded iput, bouded output. Oletetaa siis, että järjestelmä syötteelle tiedetää max B, jolloi saadaa kohdassa kolmioepäyhtälöä a b a + b hyväksikäyttäe x[ + ] x[ ] x[ + ] + x[ ] B + B B. Eli järjestelmä o stabiili, kute myös se osatki. e Järjestelmä o kausaalie s. 6, ku järjestelmä vaste yt riippuu vai syötteestä xt ajahetkeä t sekä meeisyydessä. Kausaalie järjestelmä o realisoitavissa sisältää viivästyksiä, ei aikaistuksia, se ei siis käytä laskeassa tulevaisuude arvoja. Järjestelmä vaste riippuu kuiteki termistä x[ + ], eli ei ole kausaalie. Järjestelmä kausaalisuutta pitää tarkastella myös egatiivisilla : arvoilla, jolloi huomataa, ettei sekää ole kaussaalie. y[].x[6] y[].x[ 6] y[ ].x[] T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 8 / 7. *LTI vaatii sekä lieaarisuude että aikaivariattisuude. a Ei ole lieaarie vakio lisäämie. O kausaalie. Ei ole LTI. b Ei stabiili egaativiset arvot!. Ei kausaalie. Ei ole LTI. c Ei ole lieaarie sigaali eliö. O aikaivariatti. Ei ole LTI. d Ei ole aikaivariatti ei vakiokerroita eikä stabiilikaa. Ei ole LTI.. uotime raketeessa o vai vakiolla kertomista kolmiot, sigaalie summaamista ympyrät plus-merkillä ja sigaalie viivästämistä muistirekisteri, viive, D tai z eliössä. Tällöi suodi o LTI lieaarie ja aikaivariatti/siirtoivariatti. z x[ ].8 w[] +.8 x[ ].9 y[ ]. y[ ].9. z z y[ ] y[ ] Kuva : Tehtävä LTI-suodirakee apumuuttujiee. Kuvaa o piirretty muutama apumerkitä tulkitaa varte. uodi voidaa tulkita koostuva kahde osasuotime sarjaakytkeästä. Vasemmalla puolella o suodi, joka ulostulo w[] +.8x[ ] käyttäe apumuuttujaa w[]. Tämä syötetää oikea puoleisee lohkoo, jolloi saadaa w[] +.9y[ ].y[ ] +.8x[ ] +.9y[ ].y[ ] Huomaa, että vasemmapuoleisessa lohkossa lasketa meee eteepäi, eikä siiä ole suljettua takaisikytkettyä silmukkaa. Oikeapuoleisessa lohkossa ulostuloa o. ama o jo olemassa viimeise summamerki jälkee ja kopioituu siis sekä ulostuloo että alhaalle meevää silmukkaa. Täte lasketaa tulee mukaa : eli ulostulosekvessi edellisiä arvoja. Lasketa o rekursiivista, ku raketeessa o silmukka. uotime asteluku voidaa päätellä viiveide määrästä. uotime asteluku o tässä tapauksessa kaksi. Eteepäi meevässä vasemmapuoleisessa osassa o yksi viive eli se lohko asteluku o yksi. Kaskaadissa eli sarjassa o toie, oikeapuoleie lohko, jossa o kaksi viivettä eli se asteluku o kaksi. Ku ämä ovat kaskadissa, voidaa asteluvuksi ottaa maksimi lohkoje asteluvuista eli kaksi. uotime asteluku ähdää voidaa myös ähdä suotime taajuusvastee He j tai siirtofuktio Hz imittäjä- ja osoittajapolyomie asteluvu maksimista. amoi siirtofuktiosta Hz piirretää usei polyomie juuret ollat osoittajapolyomie ja avat imittäjäpolyomi juuret ii saottuu apa-ollakuvioo. Tällöi asteluku o maksimi avoista ja ollista. Maiittakoo vielä, että sama matemaattie/laskeallie malli voidaa toteuttaa useilla erilaisilla suodiraketeilla. Kuva rakee o ii saottu suora muodo esitys direct form.. Diskreettiaikaie kausaalie LTI-järjestelmä voidaa esittää lieaarisea vakiokertoimisea differessiyhtälöä N M aky[ k] bkx[ k] k jossa o siis vai vakioilla skaalattuje ak, bk ja viivästettyje [ k] sekvessie summia. Jos mukaa o viivästettyjä y-termejä, tarkoittaa se yleesä takaisikytkettyä, rekursiivista järjestelmää IIR. Toisessa tapauksessa suodi o FIR. Huomaa LTI-järjestelmälle sallitut rakeuspalikat : sigaali haarautumie molempii haaroihi sama sigaali, sigaalie yhteelasku, sigaali kertomie vakiolla kolmio äissä kuvissa ja viiveyksiköt joko D tai z. Halutessaa voi siis kirjoittaa kuvaajat i-v auki sopivaksi y: ja x: esitykseksi, kohta iv o helpoi:. cos/. a LTI ovat i, ii, iii. Kuvassa iv alemmasta haarasta tulee vakiotermi cos/, eikä järjestelmä ole LTI. Miksi? Kuvassa v operaatio o sigaalie kertolasku, eikä järjestelmä ole LTI. Miksi? b Takaisikytkettyjä IIR ovat i, ii, iii. Niide impulssivaste o äärettömä pitkä. Tehtävässä 9 o esimerkki järjestelmästä, jota ei ole takaisikytketty ja joka impulssivastee pituus o site äärellie Fiite legth Impulse Respose. Tehtävä järjestelmä o taase takaisikytketty IIR Ifiite legth Impulse Respose.. Käyttämällä hyväksi lieaariste aikaivariattie järjestelmie omiaisuuksia additiivisuus, skaalaus, siirto ajassa voidaa havaita, että sigaali xt voidaa muodostaa skaalamalla ja viivästämällä xt:ä xt. xt. Tällöi myös vaste yt saadaa skaalaamalla ja viivästämällä eli yt. yt. Katso kuva. Vastaavasti syöte x voidaa ajatella koostuva esimerkiksi kahdesta yhde levyisestä suorakulmiosta, joista toista o vai viivästetty yhde verra eemmä. x t t y t t k x t t y t 6 t Kuva : Vastaus : LTI: omiaisuuksie avulla voidaa esittää y. Lasketaa diskreettiaikaie, äärellise pitkä tässä tapauksessa lyhyt kovoluutiosumma käyttäe määritelmää h[] h[] h[k]x[ k] ei-kausaalisessa tapauksessa tulisi ideksi k egatiivisia arvoja mukaa

8 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 9 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 a Lasketaa tämä tehtävä skaalattuje ja siirrettyje sekvessie summaa s. 79-8, Example.: h[k]x[ k] }}}} h[k]x[ k] h[] x[ ] + h[] x[ ] k x[ ],,, },,, } ummaukse rajat ja tulivat siis siitä, että h[] o olla kaikilla muilla idekseillä. b Lasketaa tämä tehtävä liu uttae yksi ulostulo piste kerrallaa s. 8-8, Example.: h[k]x[ k] h[k]x[ k] k Nyt lasketaakii siis piste kerrallaa, mikä graafisesti vastaa sekvessie liu uttamista toistesa yli, ku toie sekvesseistä o kääetty. Liu utus x-akseli tapahtuu siis ideksi k suhtee. y[] h[k]x[ k] h[]x[] + h[]x[ ] k + y[] h[k]x[ k] h[]x[] + h[]x[] k + y[] h[k]x[ k] h[]x[] + h[]x[] k + y[] h[k]x[ k] h[]x[] + h[]x[] k + y[] h[k]x[ k] h[]x[] + h[]x[] k + Näi olle δ[ ] + δ[ ] δ[ ]. Huomaa, että tässä b-tehtävässä alkoi viivästettyä, jote myös ulostulo o viivästetty. Ulostulosekvessi pituus o kahde kovoloitava sekvessi summa miius. Katso seuraava tehtävä. 6. Lasketaa kovoluutio ku a ja h[] ovat kuva kaltaiset. Tehtävässä kovoluutio voidaa ajatella kuvassa esitetyllä tavalla, jolloi käytetää edellise tehtävä b-kohda liu utusta. Impulssivasteessa h[ k] esiityvä termi k aiheuttaa esiäki, että sekvessiä h tarkastellaa kiepauttamalla se ympäri, ku taas termi aiheuttaa siirrokse, joka esimerkkikuvassa o. Kovoluutio tulokse kohdassa saadaksee o vai kerrottava e x[k]: ja h[ k]: arvot keskeää, jotka poikkeavat ollasta samalla kohdalla ja summattava ämä yhtee: y[] k h[k]x[ k]. Tämä tehdää kaikille arvoille. Lopputuloksea saadaa syötteelle kuvassa 6 esitety kaltaie vaste. Huomaa, että sekvessie pituudet ovat Legth}, Legthh[]} osa arvoista o ollia ja Legth} + 9. Huomaa myös, että ulostulo esimmäie ollasta eroava kohta o summa kovoloitavie sekvessie vastaavista aloituskohdista ideksiumeroita. Eli tarth[]} ja tart}, ii tart} tarth[]} + tart} Kuva : Tehtävä 6: Järjestelmä syöte ja impulssivaste h[]. h[-k] - - x[k] - - Kuva : Kovoluutio tulos, ku. yöte ja impulssivaste meevät päällekkäi kohdissa k ja k tuottae arvo Kuva 6: Vastaus 6: Kovoluutio tulos, korostettua kohta eli y[] k x[k]h[ k] + b* α u[] h[] β u[] Muistetaa, että geometrise sarja summa, jossa suhdeluku o q < q k q+ q k h[] T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 Kovoluutiolausekkeeksi saadaa α k u[k]β k u[ k]. Tarkastelemalla askelfuktioita havaitaa, että u[k], ku k, ja u[ k], ku k. ummalauseke poikeea siis ollasta ku x [, ], eli α k β k β α k β k. k Kyseessä o ähtävästiki geometrise sarja summa, jossa suhdeluku q α. Kaattaa muistaa, että ku o oltava q <, jotta sarja olisi rajoitettu. β arjalle + β α β α β 7. LTI-systeemie assosiatiivisuudesta seuraa, että k β+ α +. β α h[] h[] h[] h[] h[] h[], Ku systeemi h[] impulssivaste ja koko systeemi impulssivaste h[] ovat tehtävässä aettuja, voidaa päätellä impulssivaste h[]. Prosessia kutsutaa dekovoluutioksi. Lasketaa esi kovoluutio h[] h[] ja merkitää tätä vaikka p[]:llä: p[] h[k]h[ k] u[k] u[k ]u[ k] u[ k ] kovoluutio termi u[k] u[k ], jossa kaksi askelfuktiota o väheetty toisistaa, poikkeaa ollasta k: arvoilla ja, jote kovoluutioksi saadaa p[] u[ k] u[ k ] u[ ] u[ ] + u[ ] u[ ] k Tämä perusteella saadaa vasteeksi p[], p[] ja p[], muute kovoluutio tulos o olla. Ylläoleva voidaa toki laskea δ[] + δ[ ] eli, } kovoluutioa itsesä kassa. ysteemi h[] h[] impulssivasteeksi saadaa siis : - a Impulssivaste h[] saadaa dekovoluutiolla. Impulssivastee h[] ollasta poikkeava pituus o Nh Nh + Np eli tässä tapauksessa Nh 7 +. Kovoluutiotulokse aloituskohta o summa kovoloitavie aloituskohdista eli Ah Ah Ap. Tarkastelu perusteella siis tiedetää, että h o muotoa p[] h[] aδ[] + bδ[ ] + cδ[ ] + dδ[ ] + eδ[ ] Tehtävä voi miettiä kovoluutio kautta parillaki tavalla, joissa etsitää h:lle sopivia kertoimia: h[] p[k]h[ k] k joka voidaa avata, koska p[] tuetaa: h[] + h[ ] + h[ ] h[], Toie vaihtoehtoie tapa o ajatella haettava sellaisia skaalauskertoimia h[], joilla saa impulssivastee h[] esitettyä p[]: superpositioia, eli h[] h[k]p[ k] k h[]p[] + h[]p[ ] + h[]p[ ] + h[]p[ ] + h[]p[ ] Kuvassa 7 o esitetty, mite h[]: arvot etsitää ja saadaa lopulta siis muotoo h[] h[]p[] + h[]p[ ] + h[]p[ ] + h[]p[ ] + h[]p[ ] p[] + p[ ] + p[ ] + p[ ] + p[ ] δ[] + δ[ ] + δ[ ] + δ[ ] + 8δ[ ] + δ[ ] + δ[ 6] h[] δ[] + δ[ ] + δ[ ] + δ[ ] + δ[ ] b Voidaa laskea ormaalia kovoluutioa jo ee a-kohda laskemistaki. Kysytty vaste o kahde impulssivastee superpositio, jossa siis väheetää yhdellä askeleella positiivisee suutaa siirretty impulssivaste alkuperäisestä impulssivasteesta eli h[] h[ ], joka o esitetty kuvassa 8. x[k]h[ k] x[]h[ ] + x[]h[ ] h[] h[ ] 8. Tehtävä ideaa o vai huomata, että LTI-järjestelmissä tarvittaessa voimme jakaa joko sigaali tai impulssivastee osii. Lasketaa esi raa asti eli käytetää kovoluutio määritelmää. h[] k x[k]h[ k] k k u[ k + ] k + k / k itte oletetaa tuetuksi kovoluutio osittelulaki: u[ ] / u[ + ] +/ u[] / u[ + ] k k k k u[ k ] u[ + k] + u[k] u[ + k] mi,+ k + k k + k k

9 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 h[] h []p[] + h []p[-] + h []p[-] + h []p[-] + h []p[-] p[] h []?? h[] p[-] h []?? p[-] h []?? Kuva 8: Tehtävä 7b: Vaste syötteesee δ[] δ[ ]. p[-] h []?? x[-] D p[-] h []?? Tuloksea saatu impulssivaste : h [] b Impulssivaste h[] o systeemi vaste yksikköimpulssii δ[]. Laitetaa siis syötteeksi δ[] eli ykköe ajahetkellä ja saadaa h[] δ[] δ[ ] h[] Jos yt + >, saadaa Kuva 7: Tehtävä 7a: Dekovoluutio k + k k + k k + k / k Jos taas + < o jälkimmäie summa olla ja esimmäisestä summasta tulee + k / k eli saadaa sama tulos kui ilma osittelulai käyttöä. 9. Tarkastellaa systeemiä, joka o määritelty differessiyhtälöä x[ ]. a ysteemi lohkokaavio D o viive: Nähdää siis, että lasketa eteee vasemmalta oikealle, eikä takaisikytketää ole. Tästä voidaa jo eakoida, että impulssivaste o äärellise pitkä FIR. -x[-] - x[-] FIR-tapauksissa differessiyhtälöissä ei ole viivästettyjä y-termejä mukaa suotime impulssivaste saadaa siis suoraa differessiyhtälöstä vaihtamalla y h:ksi ja x δ:ksi. c ysteemi vaste syötteellä u[] o laskettu alle ja piirretty kuvaa 9. -x[-] - x[-] - / - -/ /9 -/ -/9 /7 -/9 -/7 /8 -/8 -/ x[ ] u[] u[ ] [ ] u[] u[ ] T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 / /9 - /7 / / 6 7 -/9 -/8 -/ x[-] h[] - -/ -/7 -/ x[-] Kuva 9: Vastaus 9: Vastee laskemie. Vasemmalla, keskellä ylhäällä impulssivaste h[] ja alhaalla x[ ] ja oikealla vaste h[k]x[ k].. Tarkastellaa systeemiä, joka o määritelty differessiyhtälöä y[ ] a ysteemi lohkokaavio D o viive: y[ ] + c* Differessiyhtälöide ratkaisemie tapahtuu kahdessa vaiheessa. Esi ratkaistaa homogeeie yhtälö, jossa häiriötermi o asetettu ollaksi. Tyypillie yrite o z. Erityise yhtälö ratkaisu taas saavutetaa yritteellä, joka o samaa muotoa häiriötermi kassa. Koko yhtälö ratkaisu o äide kahde ratkaisu lieaarie yhdistelmä Ayh[] + Byp[], jossa A saadaa mahdollisesta alkuehdosta ja B erityise yhtälö ratkaisusta. Toimitaa edellä kerrottuu tapaa tehtävää ratkaistessa. H.Y. y[ ], sij. yrite y z z z z + z Homogeeise yhtälö ratkaisuksi saadaa siis yh[] A. E.Y. Tutkitaa tilae, jossa >. y[ ], sij. yrite y B B D B B B B B. / y[-] Nyt ähdää, että kaaviossa o takaisikytketä. Tämä tarkoittaa siis toisi saoe rekursiivista lasketaa eli että ulostulo laskemiseksi tarvitaa joitaki etisiä ulostulo arvoja. Impulssivastee pituudeksi tulee ääretö IIR; käytäö asioihi ei tässä puututa bittimäärä rajoittaa esitystarkkuude. Esimerkiksi Fiboacci lukujoo voi hyvi helposti esittää rekursiivisessa muodossa kahde edellise luvu avulla, mutta se o mahdollista myös yhtä lailla esittää eirekursiivisea FIR. b Impulssivaste h[] saadaa syöttämällä systeemii yksikköimpulssi δ[]: / y[-] + / y[-] - / / / / /8 /8 /6 / Nähdää, että h[] u[]. Täydellise yhtälö ratkaisu o siis muotoa A. Kyse o kausaalisesta systeemistä, sillä mitää arvoja ei pyritä eustamaa tulevaisuude perusteella. Tästä syystä ovat vastee arvot ku <, sillä tuolloi syöte. Tämä alkuehdo perusteella saadaa y[] y[ ] x[], jossa y[ ]. ijoitetaa tähä täydellise yhtälö ratkaisu : A A, jote täydelliseksi ratkaisuksi saadaa :,, <.

10 Tehtava, x cos. t + cos. t T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 8 / 7 Tehtävä voi ratkaista myös z-muutamalla x: ja y:, hakemalla osittaismurtokehitelmä avulla kertoimet ja muutamalla takaisi aikatasoo tai kovoluutiolla h[]. HUOM! Numeeriset ratkaisut ovat aia vai umeeriisia, mutta iillä pääsee alkuu: / y[-] + / y[-] - / / /6 /9 / 9/6 /7 9/7 6/ LTI-järjestelmä muuttaa vai syöttee amplitudia - ei taajuutta, katso kappale., s. 8: e j He j e j Täte ei voi olla LTI, mutta voi olla.. yteesiyhtälö o: Nyt kertoimet ak ovat: - xt ak e jkt, Ku perusjakso pituus o T ii f / ja jolloi f.. aadaa kuva mukaie sigaali käyttämällä kertoimia a a, a a ja ak muilla k: arvoilla: xt + ak e jkt... + a e j t + a e j t + a e jt + a e jt +... e j.t + e j.t + e j.t e j.t e j.t + e j.t + e j.t + e j.t cos.t + cos.t. Vastaukset voidaa ähdä suoraa sarjaesityksestä syteesiyhtälöstä! a xt... + a e j t +... e jt, josta a ja kaikille muille k: arvoille ak. Huomaa, että sigaali o kompleksie, jolloi Fourier-kertoimet eivät ole symmetrisesti y-akseli ympäri. Voidaa laskea myös aalyysiyhtälö ak xt e jkt dt T T k 6 Kuva : Vastaus : xt koostuu kahdesta kosiista eli eljästä Fourier-kertoimesta. avulla. Tällöi esimerkiksi kerroi a a xte j t dt e jt e jt dt dt T T T T T T Muilla k: arvoilla itegradii tulee ekspoettitermi argumettii : moikerta, jolloi itegraalista yli yhde jaksopituude tulee olla. b Nyt pitää esi selvittää peruskulmataajuus. Esimmäise summattava jakso o T ja toise T /. Näi olle summasigaali perusjakso o T T T T ja /T /. Käyttäe Euleri kaavaa lasketaa ekspoettiesitys kosieille käyttäe peruskulmataajuutta : cost cost. e jt + e j t ja cost:llä samoi, cost cost. e jt + e j t joide avulla josta kertoimet xt a e j t + a e j t + ae jt + ae jt a a /, a a /, muulloi ak.. Jaksollie sigaali xt - t Kuva : Alkuperäie sigaali xt, kertoimet ak a a ataa sigaali keskiarvo, DC-kompoeti. a xtdt / xtdt T T T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 9 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / t c Derivoitiomiaisuus Fourier-kertoimille tarkoittaa, että jos sigaali xt Fourierkertoimet ovat ak, ii derivaata dxt/dt Fourier-kertoimet ovat jk ak. Olkoo yt tässä tehtävässä alkuperäise sigaali kertoimet ak, jolloi ak jk ataa kohdassa b ratkaistut bk:t. Koska T, ii. b igaali derivaatta o Kuva : igaali xt derivaatta dxt/dt, < t <, < t < Kirjassa o johdettu kertoimet suorakaidepulssille Example. ja vastaavalla tavalla siirretylle ja skaalatulle Example.6 suorakaidepulssille. ivulla 9 kaava., T o kohta, jolloi askel putoaa ollaa ja T o jaksopituus, katso kuva alla. Tällöi kertoimet: dk sikt, k kt -T/ T T/ Kuva : igaali, joka Fourier-kertoimet dk tuetaa Taulukosta. ähdää, että ku sigaalia, joka Fourier-kertoimet ovat ak, viivästetää aikatasossa t, ii siirrety sigaali Fourier-kertoimet ovat ake jkt. Tässä tehtävässä derivaata sigaali keskiarvo o olla eli b. igaali amplitudi o kaksi ja T., T, josta. Jaksopituude skaalaamie ei vaikuta kertoimii, mikäli Fourier-sarja perustaajuus skaalataa samalla tekijällä. igaalia o viivästetty t.. Näi saadaa dk o kaavasta. saatu, yllä äkyvä tulos kaavassa. merkitty ak, ck o kahdella kerrottu suorakaidepulssi, bk tämä siirrettyä, jolloi saadaa tehtävässä kysytty derivaata fuktio, ck dk sikt kt sik/ k sik/ k bk ck e jkt ck e jk/ sik/ k t e jk/ ak jk sik/ e jk/ bk k ak sik/ e jk/ jk k j k sik/ e jk/ k j sik/ e jk/ k j k j ejk/ e jk/ e jk/ k e jk k k parillie Kerätää tulokset c-kohdasta, eli kertoimet alkuperäiselle sigaalille:, k parito k ak, k, k k parillie Kertoimet olisi voitu toki ratkaista suoraa laskemalla.. *Koska xt: perusjakso o T 6, ii kirjoitetaa Fourier-sarja xt k ak e jtk/ igaali reaaliarvoisuudesta seuraa, että ak a k. Koska ak, ku k,,,,..., ii silloi ak, ku k,,,. illoi Koska a > ja reaalie, ii xt a e jt/ + a e jt/ + a e jt/ + a e jt/ Yhtälöstä xt xt seuraa, että xt a cost/ + a e jt/ + a e jt/ xt a cost/ + a e jt/ + a e jt/ a cost / a e jt / a e jt / a cost / e j a e jt/ + a e jt/ a cost/ a e jt/ a e jt/ a cost/ a e jt/ a e jt/

11 t T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 Tästä seuraa, että a e jt/ + a e jt/ eli a. aadaa xt a cost/ A cosbt+c. Vakiot ovat A a, B /, C. Omiaisuus v kertoo, että ak / eli a /. Tästä saadaa a / eli A. Lopulta o osoitettu, että xt cost/. 6. yteesiyhtälö o Nyt kertoimet ak ovat: k N ak e jk k Huomaa erityisesti, että diskreeti sigaali Fourier-kertoimet ovat jaksollisia, toisi saoe esimerkiksi a a a a a... Merkitää äissä vastauksissa yllä maiittuja kertoimia merkiällä k eli toisi saoe k m, jossa m Z ja tulee jaksopituudesta. Ku perusjakso pituus o N, jolloi /N.. aadaa: ak e jk k e j. + e j. + e + e j. e j. e j.8 + e j e j. + e j. cos.8 + cos. + josta a a /, ja muut ak, ku k,,,. Jos halutaa käyttää aalyysiyhtälöä, muokataa kosii Euleri avulla ekspoettimuotoo ja lasketaa: ak e jk 6,,,,,.e j / +.e j/ e jk/ 6,,,,,.e j / e jk/ +.e j/ e jk/ 6,,,,,.e j/+k +.e j/ k 6,,,,,., ku k ±, ±6,..., muulloi b Esimmäise summattava jaksopituus o N ja toisella N 8. Tällöi perusjakso N 8 ja peruskulmataajuus /. aadaa siis... + a e j / + a e j / + a + ae j/ + ae j/ +... josta a, j a, a, a, ja muut ak, ku k,,,. j 8. Fourier-muuos, sic-fuktio. Kirja esimerkit. ja.. a Laske Fourier-muuos sigaalille xt, t < T, t > T 6 8 Kuva : Tehtävä 6: cos.8 + cos Edellee pyydettii aalyysiyhtälöllä, vaikka käsi laskettaessa lyhyitä muuoksia päättely syteesiyhtälö kautta o ehkä äppärämpää. a-kohta lasketaa sekä syteesi- että aalyysiyhtälöä käyttäe. a Peruskulmataajuus / ja jakso pituus N 6. Kertoimet voidaa päätellä syteesiyhtälö kehitelmästä, ja saadaa... + a e j / + a + ae j/ +... F xt} Xj + xt e jt dt T e jt dt T T j e jt T e jt e j T j e jt e jt j sit, T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 Ku eli halutaa s. DC-kompoetti, voidaa ylläoleva vielä muuttaa muotoo T sit Xj T joka läheee T:ä, ku, koska tiedetää, että six x si θ b Esitä a-kohdassa saatu F-muuos sic-fuktio avulla, sicθ θ sit si T T T sic T T T sic T, ku x. 9. F-muua seuraavat sigaalit ja impulssivaste käyttäe hyväksi taulukkoa aikasiirto, lieaarisuus, derivoiti ajassa ja aiempia tuloksia tehtävä 8., < t < a xt, muulloi Kyseessä o tehtävä 8 sigaali, jota o viivästetty yhdellä sekuilla ja kerrottu kahdella piirrä!. Lisäksi T. Taulukosta ähdää ajassa siirtämie: jos xt Xj, ii xt t e jt Xj. Xj e j Xj e j sic, < t <, < t < b xt, < t <, muulloi..8.6 xt, t < T ; xt, t > T ; T e j sic. Xj T si T / T ; T Tässä voidaa käyttää hyväksi lieaarisuutta eli ajatella sigaali xt muodostuva vaikkapa kolme osasigaali summaa. Esimmäie Xa o yhde korkea suorakaide välillä.., toie Xb kolme korkea välillä.. ja kolmas Xc kahde korkea välillä... Käytetää edellee tehtävä 8 tulosta Xj ic T. Xj Xaj + Xbj + Xcj e j. sic. + e j. sic. + e j sic c ht e t ut Nyt ähdää, että kyseessä o ajassa siirto t ja taulukosta ähdää muuospari e at ut, jossa a. Näi impulssivasteesta ht saadaa taajuusvaste Hj a+j Hj e jt a + j e j + j d xt t, < t <, muulloi Aiemmi tehtävässä kolmioaalto oli jaksollie yt ei-jaksollie. Nytki käytetää hyväksi derivoitiomiaisuutta. Nähdää piirrä!, että dxt, < t < dt, < t < Nämä ovat kaksi suorakaidetta aikaistettu Xa ja viivästetty sekä egatoitu Xb : X j e j.. sic. e j.. sic. sic. j si. Taulukosta ähdää, että d xt jxj. Nyt siis dt dxt x t jxj dt X j. X j tuetaa, jote saadaa Xj j X j sic. j si. j sic. si. sic. DC-kompoetti saadaa lasketuksi: X, joka o kolmio xt pita-ala..... Kovoluutio-omiaisuus s rad Kuva : uorakulmafuktio xt Fourier-muuos o sic-fuktio yt ht xt Y j HjXj

12 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 Laske impulssivasteide ht e.t ut ja ht e t ut kovoluutio ht ht käyttämällä F-muuokse kovoluutio-omiaisuutta muuoste kertolasku, osamurtokehitelmällä tulo summatermeiksi, kääteismuuos takaisi aikatasoo. Hj. + j Hj + j Hj Hj Hj. + j + j Halutaa Hj kahde esimmäise astee ratioaalipolyomi summaksi. Käytetää osamurtokehitelmää hajottamaa kertolasku summaksi. Kertaa osamurtokehitelmä partial fractio expasio matematiikasta tai Appedix A, jos ei ole tuttu! aadaa yhtälöryhmä A. + j + B A + Aj +.B + Bj + j. + j + j A +.B A + B Näistä saadaa A, B, jote taajuusvaste Hj ja se kääteismuuos taulukosta! impulssivaste ht ovat Hj. + j + j ht e.t ut e t ut Tätä omiaisuutta Y j HjXj käytetää rusaasti!. Kääteie F-muuos a Laske kääteie Fourier-muuos Xj, < W, > W siw t Laske vastaavasti kui tehtävässä 8. Tulos: xt t si θ b Esitä a-kohdassa saatu sigaali sic-fuktio avulla, sicθ θ Laske vastaavasti kui tehtävässä 8. Tulos: W sic W t c Duaaliomiaisuus tarkoittaa, että suorakulmafuktio muuttuu muuoksessa sicfuktioksi ja päivastoi. Tätä o selvitetty kirjassa sivulla 9- ja luetokalvoissa.. *Lisää lasketaa a Laske ht e t u t ja xt e t ut kovoluutio yt ht xt käyttämällä kovoluutio-omiaisuutta. Xj ja Hj. Jälkimmäie muuos seuraa, koska ht x t. +j j Kirjoitetaa Y j XjHj osamurtoia: Y j A + j + B j + j j Lasketaa A kute yllä tai kertomalla yhtälö A: imittäjällä ja sijoittamalla A: ollakohta. amoi saadaa B: A + j + j + B j + j + j j B + j A + j, sij. j j A jy, sij. j + j B iis Y j +. illoi +j j yt xt + ht e t ut + e t u t.e t, t >.e t, t < b Laske Rj, ku rt e t cost. R itegroimalla, R taulukosta, äide kovoluutio. Kyseessä o selvästiki kahde fuktio tulo, jolloi vastaava Fourier-muuokse saa kovoluutio avulla. Merkitää tulosta Xj Xj Xj :lla. Lasketaa esi + Xj e t e jt dt e jt dt + e +jt dt j e jt + j e +jt j + + j + ja sitte sivu 9 taulukosta Xj [δ + δ + ]. Lasketaa yt kovoluutio + + [δ τ + δ τ + ]d + τ τ, eli : avulla Xj T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 8 / 7. Laske seuraavie sigaalie Fourier-muuokset: a δ[ ] + δ[ + ] Xe^jw argxe^jw} Xe j e j δ[ ] + δ[ + ]e j e j + e j cos / / / / b u[ ] Xe j e j u[ ]e j e j e j e j e j e j e j Geometrise sarja summa muljautukse voi ajatella vaikka muuttujavaihtoa m +.. Diskreettiaikaie Fourier-muuos o aia -jaksollie: Xe j+ e j+ a Xe j/ b Xe j/ arcta/.97 c Xe j / j d Xe j/+ + j e Jos fs Hz, ii fc e j e j }} Hz / Hz. Jaksolliselle sigaalille voidaa muodostaa Fourier-sarja. ille voidaa laskea myös Fouriermuuos s. 67-7, Example.. Muistetaa myös, että siθ cosθ /. si/6 + / cos/6 /. e j/6 / + e j/6 /. e j/6 e j / + e j/6 e j /.e j/ e j/6 +.e j/ e j/6 Jokaista ekspoetiaalista sigaalia e j vastaa yksi piikki taajuustasossa taajuudella, ja -jaksollisuus huomioo ottae: Xe j + l δ l. Koska sii/kosii voidaa esittää kahdella ekspoettifuktiolla, tulee taajuustasoo siis kaksi piikkiä per -jakso. Amplitudispektrii tulee kyseise kompleksise kertoime tässä /6 :.e j/ ja /6 :.e j/ itseisarvo. ja vaihespektrii kompleksise kertoime kulma /6 : /, /6 : /. 6. Päättelyä Fourier-määritelmästä tai -taulukoista. a Tarkastelemalla diskreeti Fourier-muuokse laskukaavaa saadaa Xe j e j 6. b Tarkastelemalla sigaalia havaitaa, että se aikasiirto x[+] tuottaa reaalise, parillise sigaali r[], joka Fourier-muuos o tuetusti myöski reaalie ja parillie arg Re j. ama toimii myös kääteisesti, eli mikäli luodaa ylläoleva reaalie parillie sigaali ja viivästetää sitä kahdella r[ ], saadaa tarkasteltu sigaali. Taajuustasossa tämä tarkoittaa sitä, että tarkasteltava sigaali taajuusvaste saadaa reaalise sigaali Fourier-muuokse Re j ja aikasiirro e j avulla Xe j e j Re j, missä Re j : kerroi tulee juuri aikasiirrosta. Ylläoleva Xe j : yhtälö o yt muotoa Xe j e j arg Xej Xe j, jote kulmaksi saadaa suoraa arg Xe j. Kulma voidaa myös laskea seuraavasti: Xe j e j Re j cos j si Re j, [ ] Re arg Xe j j si arcta. Re j cos c Tarkastelemalla kääteise Fourier-muuokse kaavaa X e j e j d havaitaa, että x[] ku x[]. X e j d X e j d x[] X e j d, d Diskreeti Fourier-muuokse kaavasta X e j e j.

13 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 9 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 Ku o parillie, o e j ja ku o parito, o e j. Näi saadaa Xe^jw Xe^jw Xe^jw X e j f s / f e Taulukosta s. 9 ähdää, että ReX e j } xe[] x[ ] + }. Näi olle sigaalista tulee kuvassa 6 esitety mallie. -7 -/ x e [] 7 Kuva 6: Parillie sigaali xe[]. f Parsevali relaatiosta saadaa X e j d, eli X e j d Taajuusaluee derivaatalle pätee j d d Xej. Parsevali relaatio avulla voidaa yt kirjoittaa + dxe j d d j. Ja tulokseksi saadaaki + dxe j d d f s -f s f s fs Kuva 7: Diskreettiaikaise sekvessie spektrit ovat -jaksollisia 8. Kuva vasemmassa sarakkeessa ylhäällä o kohiaa. Valkoise kohia spektri o vakio. Nyt meillä o vai piei äyte kohiaa, jote se spektriki oikealla alhaalla äyttää sotkuiselta. iistimpi spektri saataisii laskemalla F-muuos pieemmissä ikkuoissa pieempi taajuude erottelukyky. Jos kohiaäytteitä otettaisii paljo ja iide osaspektreistä laskettaisii keskiarvo, päästäisii myös lähemmäs vakiota. Vasemmalla keskellä o jaksollie sigaali, joka o puheääteestä o. Perusjakso aika o kuvasta vajaa, sekutia, mikä vastaa oi yli Hertzi kompoettia. itte sigaalista löytyy useita opeampijaksoisia kompoetteja. Taajuustaso kuvaaja o siis ylimpää. Vasemmalla alhaalla o auhoituksee sähköjohdosta idusoituut verkkojäitehäiriö, jakso, sekutia. e äkyy suurea piikkiä oikea sarakkee keskimmäisessä kuvassa kohdassa Hz. 9. uodityypeissä alipäästö päästää läpi sigaali matalat taajuudet, je. Amplitudivasteesta voidaa erottaa päästökaista, trasitiokaista ja estokaista tiettyje rajataajuuksie kohdalla. amplitudi alipäästösuodi amplitudi ylipäästösuodi f kaistaestosuodi kaistapäästösuodi 7. Reaalisella sigaalilla o y-akseli suhtee symmetrie amplitudispektri: Ne ovat aia -jaksollisia, esimerkiksi välillä.. tai.. ja iide -moikertoia Katso tehtävä.. Jos taajuuksii liitetää fyysie arvo värähdystä sekuissa fs, Hz, ii äide suhde o fc c fs form amplitudi amplitudi T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7. igaali suodattamie ali- ja ylipäästösuotimella a igaali xt aikatasossa:.. Tehtävä c. xt cost. Tehtävä a. xt cost +.cost d Ideaalisella ylipäästösuotimella jää suodatukse jälkee korkeampi kompoetti jäljelle. LTI-järjestelmät toteuttavat siis taajuusselektiivistä suodatusta..... b elvitetää esi peruskulmataajuus. Esimmäise summattava T ja toiselle T.. Näi olle summasigaalille T ja.. Tehtävä d. xt.cost. Lasketaa ekspoettiesitys kosieille käyttäe peruskulmataajuutta : xt a e j t + a e j t + ae jt + ae jt josta saadaa kertoimet..... a a., a a., muulloi ak Tehtävä b. igaali xt Fourier kertoimet... Kovoluutio-omiaisuus s. 8.. h[] Y e j He j Xe j c Ideaalie alipäästösuodi rajataajuudella c: Hj, < c, > c Koska suodatus kovoluutio yt ht xt tarkoittaa taajuustasossa muuoste kertolaskua Y j HjXj, ii Fourier-kertoimet a ja a kerrotaa ykkösellä ja a ja a kerrotaa ollalla. Jäljelle jää siis aikatasossa matalataajuuksie sii. Idea o siis se, että pyritää välttämää aikataso kovoluutio laskemie, mikä voi olla usei varsi ogelmallista. Tämä saavutetaa Fourier-muutamalla kovoloitavat sigaalit, kertomalla muuokset keskeää ja lopuksi kääteismuutamalla saatu tulo lopputulokseksi. a h[] δ[ ] δ[ ],.6 u[] Tässä ähdää heti, että taajuusvaste He j e j e j jolloi Y e j e j e j.6e j.6e j josta saadaa sama kui aikataso kovoluutiosta:.6 u[ ].6 u[ ] Tässä kovoluutio-omiaisuudesta ei ole juuri hyötyä, koska kovoluutio laskemieki o helppoa!

14 Xe j rad Xe j... rad T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 b h[]. u[ ],.7 u[] Tässä jouduttaisii kovoloimaa kaksi ekspoettifuktiota keskeää, mikä o hakalampaa. Muuetaa siis osittai: He j e j.e j Xe j +.7e j Y e j He j Xe j e j.e j +.7e j Kute laskarikierroksella tehtävässä joudutaa yt suorittamaa osittaismurtokehitelmä, joka tarkoitus o saada Y e j kahde esimmäise astee ratioaalifuktio summaksi: Y e j A ae j + B be j. Otetaa esimerkki tehtävä tilateesta. Alla olevassa kuvassa kaksi vasemmapuoleista kuvaa esittävät alipäästösuotime taajuustaso taajuusvastetta ja impulssivastetta aikatasossa. Alipäästösuodiha keskiarvoistaa MA, movig average, jote impulssivastee arvot samamerkkisiä; suotime käytöstä voidaa pitää paiotetu keskiarvo laskemisea. Amplitudivastee x-akseli o ormalisoitu välille.., jossa vastaa :ä tai puolta äytteeottotaajuutta. Koska sigaali o reaalie, voi amplitudivastee ajatella symmetriseksi y-akseli suhtee. Kaksi oikeapuoleista kuvaa esittävät tapausta, jossa joka toie impulssivastee arvo o asetettu vastaluvuksi eli alipäästösuotime impulssivaste o kerrottu lukujoolla,,,,,,...}. Tästä uudesta impulssivasteesta laskettu suotime amplitudivaste o kolmaessa kuvassa. Huomataa, että suotimesta o tullut ylipäästösuodi. Tarkastellaa yt tilaetta matemaattisesti, joka lähtee kauiista esityksestä e j. Harjoittele osittaismurtokehitelmää! Lopputulos: Y e j e j.e j +.7e / j e j.e + 7/ j e j +.7e j Esimmäise astee lohkot voidaa kääteismuutaa suoraa tauluko avulla: h[] /. u[ ] + 7/.7 u[ ] Kuva 8: Esimerkki alipäästösuotime impulssivastee moduloiista joolla. a Hlpe j, b hlp[], c Hhpe j, d hhp[]. a aatetaa impulssivaste muotoo hhp[] hlp[] e j hlp[].. Tehtävässä aettu yhtälö o X: ja G: jaksollie kovoluutio s , joka voidaa kirjoittaa piee muuokse jälkee kovoluutiomerkiällä Xe jθ Ge j θ dθ Xe j Ge j + e j mistä seuraa kovoluutio-omiaisuutta käyttäe, että sigaali g[] Fouriermuuos o + e j. Tällaie sigaali o diskreeti Fourier-muuostauluko avulla F + e j,, } δ[] + δ[ ], muulloi Ratkaisua voi hakea esimerkiksi graafisesti piirtämällä, haettava g[] ja allekai ja etsiä sopiva g[]. Kohdassa a saadaa g[] / /,, eli, g[],, muulloi Kohdassa b saadaa g[] / //,, eli, g[],, muulloi h lp [] Fourier-muuokseksi tulee yt x h hp[] - Kuva 9: Moduloiti lukujoolla. Hhp e j hhp[]e j e j hlp[]e j hlp[]e j+ Hlp e j+ eli siis taajuusvastetta siirretää : verra eteepäi. Huomaa, että diskreeti Fourier-muuoksessa taajuustaso o -jaksollie vastaa äytteeottotaajuutta. Jos tilae piirretää, o alipäästösuotime taajuusvaste j H lp e Ja äi olle saatu Hhp: taajuusvaste o Hhp o siis ylipäästösuotime taajuusvaste. T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 j H hp e c Tulos saadaa joko käyttämällä muuoskaavoja h[] He j, δ[], δ[ ] e j tai laskemalla Fourier-muuosta: b Tehdää a -kohta kääteisesti Fourier-muuokseksi tulee yt hlp[] hhp[] e j hhp[]. Hlp e j Hhp e j+.. Aikataso kovoluutio vastaa taajuustasossa muuoste kertolaskua h[] Y e j He j Xe j Tiedetää LTI-järjestelmästä, että sillä o impulssifuktio h[] δ[] + δ[ ] δ[ ] a Impulssivastee pituus o äärellie kolme. ite järjestelmässä ei ole takaisikytketää, se o BIBO-stabiili ja vastaava differessiyhtälö voidaa kirjoittaa impulssivastee kertoimie avulla Tällöi He j h[]e j h[]e j + e j e j e j ej + e j cos e j He j cos arghe j } Matlabissa: wma [: pi/6 : pi]; b -/; b /; b -/; HFma b + b*exp-j*wma + b*exp-j**wma; plotwma, abshfma; % amplitudivaste, li. asteikko plotwma, *logabshfma; % amplitudivaste, log. asteikko plotwma, aglehfma; % vaihevaste + x[ ] x[ ] Järjestelmä lohkokaavio o kuvassa. -/ D D /... -/ Kuva : Lohkokaavio b Taajuusvaste saadaa joko muuostauluista tai suoraa määritelmästä He j h[]e j Nyt siis He j / + /e j + /e j Tästä saadaa siis kertoimiksi b /, b /, b / ja jakajaa pelkkä vakio eli a ja ak, k. Kuva : Ylipäästösuotime amplitudivaste ja vaihevaste Amplitudivaste He j Kuva saa arvo olla taajuudella ja maksimiarvo taajuudella kasvae mootoisesti. Kyseessä o siis ylipäästösuodi, joka siis vahvistaa sigaali muutoksia ja vaimetaa vakiosigaalia. Kyseie systeemi o kausaalie ja stabiili, koska se o tyypiltää FIR äärellise pitkä impulssivaste: rajoitettu syöte tuottaa aia rajoitetu vastee. Toie tyyppi oli siis IIR, äärettömä pitkä impulssivaste, joka voi olla epästabiili, jos takaisikytketä vahvistaa liikaa.. Olkoo aettua taajuusvaste He j. + e j. Taajuusvaste voidaa hajottaa amplitudi- ja vaihevasteesee He j He j e j arghej }. Taajuusvastee hahmottelussa kaattaa tehdä taulukko, joho laskee He j : arvoja joillaki tärkeillä taajuusarvoilla, kute,..., /, }.

15 .. He j, He j /+.e j T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 8 / 7. D Kuva :. +.x[ ] a aadaa h[].δ[]+.δ[ ] eli differessiyhtälöä.+.x[ ]. Kyseessä siis FIR-tyyppie suodi, eli ei takaisikytketöjä, katso kuva. b Ku syötteeä o yksikköaskel u[], ulostuloa o askelvaste s[], joka tässä tapauksessa o, < s[] h[m]., m, c Lasketaa He j : kompleksisia arvoja, ku, /, /, /,. He j koostuu vakiosta ja ekspoettifuktiosta e j ympyrä!. Iterpoloidaa arvioide lausekkee. + e j käyttäytymistä ja saadaa kuvaaja. Matlabilla sama: w [ : pi/6 : pi]; w [ : pi/ : pi]; H. +.*exp-j*w, H. +.*exp-j*w; % taajuusvaste plotrealh,imagh; % piirretää kompleksitasoo hold o; plotrealh,imagh, o ; % lisätää viisi palloa.. He j. +.e j Tässä hyvi yksikertaisessa tapauksessa voidaa kompleksiluvu itseisarvo Kuva saada hyviki sievässä muodossa. Yleesä tämä ei päde, vaa arvot kaattaa laskea muodosta, josta tekee vähite äppäily- ja laskuvirheitä. He j. + e j. +. cos + j. si. +. cos +. cos +. si. +. cos tai He j He j H e j He j He j. + e j + e j. + e j + e j cos.7.. He j sqrt + cos }... Kulmataajuus Kuva : Amplitudivaste He j Matlabilla amplitudivastee arvot ja piirto:.... / [w abstrasposeh] plotw,absh; % pelkkä hipsu hermitoi Kuva : He j kompleksitasossa. Taajuus käyrä parametria ei x- eikä y-akseli!. Origovektori osoittaa tilaetta /, jolloi He j j eli He j / ja arg He j } /. Taajuusvastee amplitudi halutulla taajuudella saadaa yt origovektori pituutea origosta taajuude osoittamaa paikkaa käyrällä. Taajuusvastee vaihe halutulla taajuudellaa saadaa origovektori ja x-akseli kulmaa. d Lasketaa amplitudivastetta He j kute tehtävässä. Jos laskimesi ei tue kompleksiarvoista ekspoettifuktiota, ii hajota Euleri kaavaa e j cos + j si käyttäe He j. + cos j si Hahmottelua varte lasketaa viisi eri pistettä. He j He j. + j / j.9 /. + j.7 /..7.7j.8. j e Lasketaa vaihevaste arghe j } Kuva joko ekspoettifuktiosta tai käyttämällä taulukkoa trigoometriset kulmat. Kulmaa laskettaessa vakiokerroi. ei vaikuta mitää. arghe j } arg + e j } arge.j e.j + e.j } arge.j } + arge.j + e.j } arge.j } +. tai vastaava vaihtoehtoisesti arghe j } arg + e j } arg + cos + j si} si arcta si + cos arcta cos + cos si arcta cos. Matlabilla vaihevastee arvot ja piirto: T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 9 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7. arg He j }. 6. Kausaalie ja stabiili LTI-systeemi o määrätty seuraava differessiyhtälö avulla, joka havaitaa IIR-tyyppiseksi takaisikytketä:. y[ ]. a Lohkokaavio, josta käy ilmi takaisikytketä eli rekursiivie lasketa!... Kulmataajuus Kuva : Vaihevaste arghe j } -/ y[-] D [w agletrasposeh] plotw,agleh; % pelkkä hipsu hermitoi f Desibeliasteikko, vertaa kuvia ja, joista jälkimmäisessä log He j. Huomaa, että log db. ite esimerkiksi teho tuplaus log. db vastaa kolme desibeli muutosta. Matlabilla amplitudivastee piirto: plotw,*logabsh; H db... Kuva 6: Tehollie desibelikuvaaja log He j b Käytetää hyväksi muuosomiaisuutta x[ ] e j Xe j : Y e j Xe j e j Y e j Y e j + e j Y e j Xe j Y e j + e j Xe j He j Y ej Xe j + e j c Hahmottele kute ykköstehtävässä; saadaa ylipäästösuodi. He j He j He j +.e j +.e j +.e j +.e j cos g Ryhmäviive τ d d arghej }. τ d d arghej } d.. d h 9. astee suodi kerroita o jyrkempi ja hitaampi. *i Matlabissa siirtofuktio esitetää se kertoimie avulla: um [ ]; de [. -.]; freqzum,de; He j + e j +.e j.e j... Kuva 7: He j d Esim. taulukosta..: a u[] ae j, a <, h[]. u[]

16 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 7. Tehtäväpaperissa piirrety suotime rajataajuus o.. a Katso vasemmapuoleisita kuvaa. b Lieaarivaiheiselle suotimelle kertoimet ovat symmetrisiä site, että keskimmäie viive voidaa ottaa yhteiseksi tekijäksi ja raketaa jäljelle jääeistä kosii- ja siikompoetteja. He j a + ae j + ae j ae j8 + ae j9 e j9/ ae +j9/ + ae +j7/ + ae j/ ae j7/ + ae j9/ e} j9/ } a cos9/ + a cos7/ +... }} C,. R c Kute tehtävässä b ja h. Jyrkempi suodi tarkoittaa hitaampaa suodita ja päivastoi. *d uorakaidepulssi kääteismuuos o sic-fuktio ja päivastoi. Mitä moimutkaisempi/jyrkempi suodi toteutetaa realisoidaa, sitä eemmä siiä tarvitaa lasketaa ja suodi hidastaa eemmä. uotime suuitteluu FIR ja IIR tutustutaa T-6.6-kurssilla. 8. Moduli Hj o kompleksiluvu pituus eli Hj Hj e j arg Hj. Kirjoitetaa siirtofuktio polaarimuodossa r e j α : missä α arcta. Hj j + j + e jα + e jα e jα e jα e jα Koska ekspoettifuktio moduli o aia yksi, Hj A, ii kyseessä o s. all-pass-suodi, joka vahvistus kaikille taajuuksille o vakio. Ryhmäviive τ d d arcta arcta d d +. Erityisesti ryhmäviive o aia positiivie. Mitä o tämä yhteys järjestelmä kausaalisuutee? 9. *Tutkitaa mekaaista systeemiä, joka liikeyhtälö o muotoa Bvt + K vtdt ft. Vastaavatyyppisestä tilateesta kerrotaa kirja sivuilla 7-7, sovelluskohteea auto jousitus tiellä. a Jousta kokoo puristava voima fst K vtdt. Nopeus vt voidaa yt kirjoittaa fs: fuktioa vt d K dt fst. Differetiaaliyhtälö saa tämä avulla muodo B d fst + fst ft. K dt ysteemi ataa syötteelle, joka o muotoa ft e jt vastee fst Hje jt, eli siis B K Hjjejt + Hje jt e jt. Ratkaistaa ylläoleva taajuusvastee Hj suhtee Hj + B j B j K K + B K. Tutkitaa seuraavaksi taajuusvastee magitudia Hj + B + B K K +. B K Fuktio o selvästiki muotoa Hj, eli siis selvästiki alipäästösuodi + kokeile taajuuksia,, }. b Vaimeita kokoo puristava voima fdt Bvt. Nopeus saadaa tämä avulla muotoo vt B fdt ja differetiaaliyhtälö fdt + K fdtdt ft. B Ratkaistaa yhtälö a-kohda tapaa sijoittamalla fdt Hje jt yhtälöö, jolloi saadaa Hje jt + K B j Hjejt e jt. Näi saadaaki taajuusvaste Hj + K B j + K j B. + K B Tutkimalla jällee taajuusvastee magitudia Hj + K + K B B + K B havaitaa, että fuktio o muotoa Hj, joka kuvaaja o ylipäästötyyppiä.. Alkuperäise sigaali korkei taajuus aioa o Hertziä. ite matali äytteeottotaajuus saa olla Hertziä eli äytteeottoväliä. sekutia tai vähemmä, jotta laskostumista ei tapahdu. Viimeisessä kohdassa tapahtuu siis laskostumista. Ku /.666, fs Hz, eli ku äytteeottotaajuus o pieempi kui kaksi kertaa korkei aioa taajuus, ii + x/fs x cos / cos / cos / cos / T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 Nähdää siis, että samat diskreetit äytepisteet toteutuvat myös Hertzi jatkuvalla kosiikompoetilla. igaalii o siis tullut taajuus, jota siiä aluperi ei ole ollut. jossa / ak / δte jkt/ dt e jkt/ t kaikille k: arvoille tulee δt: itegroimise määritelmästä. Taulukkokirjasta: δt dt, δtxt dt xt tt. Täte ak eli ku s fs / pt δt k e jkt/ e jskt pt Kuva 8: Uusi Hz: taajuus, ku.666 s. Myös esimerkiksi Hz: kompoetti toteuttaa diskreetit pisteet. -T T T T t ama vielä taajuustasossa: Aluperi jatkuva Hz: kosiikompoetti, jota äytteistetää liia pieellä äytteeottotaajuudella Hz. Näytteet sopivat kaikkii jatkuvaaikaisii kosiikompoetteihi + k Hz ja + k Hz. Diskreettiä sigaalia palautettaessa ähdää vai taajuudet ollasta puolee äytteeottotaajuutee. Xj - s /T Pj s s Esimerkki äytteeotosta aikatasossa kuvattua kyseisellä mallilla: - Pj Hz 9 8 Hz Xe^j Xj * Pj xt xtpt 9,,,,,,8,}. Impulssijua pt Hz δt k Koska pt o jaksollie fuktio aja t suhtee jaksolla, se voidaa esittää Fouriersarjaa. esittää tässä äytteeottoväliä s samplig. pt ake jkt/. Kaava. mukaa jaksollise sigaali Fourier-sarjaesitykse xt ak e jkt jossa ak ovat Fourier-kertoimet ja peruskulmataajuus, Fourier-muuos voidaa esittää muodossa Xj ak δ k Näi olle edellise tehtävä impulssijua, jossa kaikki kertoimet ak / ja peruskulmataajuutea s, voidaa esittää P j δ ks

17 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 66 / 7 Näytteistys aika- ja taajuustasossa voidaa siis johtaa xt pt [ ] [ ] Xj P j P j Xj Xe j Varsiaie lasku, muistetaa δtxtdt xt t, X p j f h f s / f s fs [ ] P j Xj P jθxj θdθ δθ ksxj θdθ δθ ksxj θdθ Xj ks Kuva : fh. fs c Kuva. elvää laskostumista. Kovoluutiolaskusta ähdää, että Xpj Xe j o summa kaikista laskostueista taajuuksista. pektriä kuvaa siis alla olevassa kuvassa paksu yhteiäie viiva. Xpj Xj ks... + Xj s + Xj + Xj + s + Xj + s +... Eli diskreeti sigaali spektri o aalogise sigaali spektri kopioitua äytteeottotaajuude välei ja summattua yhtee. X p j. Huomaa esi, että jatkuva aja Xj: spektri o symmetrie y-akseli suhtee. Ku sigaalia äytteistetää, se diskreeti aja sigaali spektri muuttuu -jaksolliseksi, toisi saoe, spektrit kopioituvat äytteeottotaajuude välei. Korkeimmaksi havaittavaksi taajuudeksi jää puolet äytteeottotaajuudesta. Edelliste tehtävie mukaisesti: xp xtpt Xpj Xj P j Xj ks Aikataso kertolasku vastaa taajuustaso kovoluutiota. Kovoluutio merkitsee käytäössä Xj: kopioimista P : fs: välei, mistä johtuu diskreeti sigaali spektri jaksollisuus fs: eli toisaalta : välei. a Kuva 9. Korkei taajuus vai eljäsosa äytteeottotaajuudesta. Ei tapahdu laskostumista. X p j f h f s / Kuva 9: fh. fs b Kuva. Rajatapaus Nyqvisti taajuudella puoli äytteeottotaajuutta. fs. Tutkitaa siis jatkuva-aikaista sigaalia f s / f s f f h f s s Kuva : fh.7 fs xt cosft + cosft + cosft taajuuksilla f Hz, f Hz ja f 7 Hz. Muista myös f, jos tarvitaa kulmataajuutta. Koska kosiifuktio o jaksollie, tiedetää, että xt o jaksollie ja sille voidaa etsiä Fourier-sarjaesitys. Lasketaa tai havaitaa suoraa, että xt: perustaajuus f Hz. Näi saadaa esitettyä f f, f 6f ja f f, ja edellee käyttämällä Fouriersarja määritelmää xt ake jkft ja ekspoettifuktiota xt cosft + cos6ft + cosft e jft + e jft + e j6ft + e j6ft + e jft + e jft saadaa Fourier-sarja kertoimet a a 6 a a a6 a T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 67 / 7 Jokaie xt: siusoidi tuottaa piiki Fourier-spektrii. HUOM! Tässä tehtävässä käsitellää yksikertaistae vai puhtaita kosieja, joide kulma o olla, ts. Fourier-kerroi o reaalie. Fourier-kertoimet muuos ovat yleesä kompleksisia eli sigaalikompoetit ovat eri vaiheissa toistesa suhtee. Eri vaiheiset kompoetit, vaikkapa cosft ja cosft, voivat kumota toisesa. Kuvassa Fourier-kertoimie amplitudi suuruus vaihe siis tässä tehtävässä olla. - a k -6-6 Kuva : Fourier-sarja esitys sigaalille xt. Fourier-kertoime ideksi kertoo perustaajuude moikerra. Fourier-sarja esitys vastaa Xj: spektriä, ku x-akselille asetetaa taajuudet f Hz, f Hz ja f 7 Hz. igaali äytteistetää taajuudella fs / eli alkuperäisestä sigaalista otetaa fs kappaletta äytteitä joka sekuti. xt x cos f + cos f + cos f fs fs fs fs Näytteeottoprosessi voidaa siis tulkita jatkuva-aikaise sigaali xt kertomisea impulssijua pt kassa. Taajuustaso esitys o muuoste kovoluutio, jolloi Xpj Xj ks Näytteistys voidaa ähdä siis jatkuva-aikaspektri X: kopioitia äytteeottotaajuude välei. Koska X o symmetrie, se voidaa ähdä myös taajuuksie käätämisellä jokaise Nyquist-taajuude äytteeottotaajuude puolikas yli. Ku sigaaleja rekostruoidaa, toisi saoe diskreetistä lukujoosta kehitetää jatkuvaaikaie sigaali, voidaa huomata vai taajuuksia, jotka ovat alle Nyquisti taajuude. Ylimeevät taajuudet aiheuttavat laskostumista pieemmille taajuuksille. Tehtävä esimerkit. Tehtävässä Xj o äytteistetty kolmella eri taajuudella fs: 6 Hz, 8 Hz ja Hz, Nyquist-taajuus o puolet äytteeottotaajuudesta fs/ eli vastaavasti 8 Hz, Hz ja Hz. Olkoo fh korkei taajuus syötesigaaleissa. i fs 6 Hz, fs/ 8 Hz > fh. Ei laskostumista. Kaikki kolme taajuutta voidaa palauttaa. Kuva. k T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 68 / 7 f s 6 Hz.. X ajw X pjw Rekostruoitu x r t f s / w f, Hz w f, Hz Kuva : fs 6 Hz. Yläkuvassa summakosii äytteistettyä ja palautettua: ei laskostumista. Alakuvassa taajuuskaistalle 8..8 Hz ei ole laskostuut taajuuksia. ii fs 8 Hz, fs/ Hz < fh. Havaitaa eää taajuuksia Hertzii asti eli alkuperäie taajuus 7 Hz o kadout. e o laskostuut taajuudelle Hz. Katso kuvaa. cos 8 cos 8 cos cos + cos cos + cos cos + cos 8 8 iii fs Hz, fs/ Hz < fh. Taajuudella Hz vierastumista. Taajuudet ja 7 Hz eivät ole eää havaittavissa. Katso kuvaa. cos cos 7 + cos + cos + cos + cos cos + cos Näytteeottoteoreema mukaa sigaali voidaa palauttaa alkuperäiseä vai jos se korkei taajuus o eitää puolet äytteeottotaajuudesta.

18 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 69 / 7 f s 8 Hz.. X jw X pjw a Rekostruoitu x r t.. f s / 6 6 w f, Hz w f, Hz T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 f s Hz.. X ajw X pjw Rekostruoitu x r t.. 6 w f, Hz f s / Kuva : fs 8 Hz. Yläkuvassa summakosii äytteistettyä ja palautettua: äytteeottotaajuus ei ole riittäyt iformaatio säilyttämisee sellaiseaa. Alakuvassa 7 Hz: kompoetti o laskostuut Hz:ksi mielekiitoisella kaistalla.. Hz. 6 w f, Hz igaalie laskostumista tietyille taajuuksille voidaa käyttää hyväksi. Moe äytteeottotaajuude järjestelmissä multirate systems muu muassa kapeakaistaiste suotimie laskea kompleksisuutta voidaa vähetää huomattavasti.. igaali rekostruoiti äytteistä. a Reaaliselle sigaalille Xj o symmetrie. Esimerkiksi yli kuva 6. b Diskreetti Fourier-muuos o -jaksollie. Esimerkiksi keskimmäie kuva 6. c Alipäästösuodatuksella voidaa palauttaa alkuperäie sigaali. Esimerkiksi ali kuva 6. d Ku Hj ii laskemalla tai taulukosta saadaa ht, < c, muulloi sic t c t sicct/ Tällöi kukuki diskreettii mittauspisteesee voidaa ajatella sic-käyrä ja äide summasta tulee rekostruoitu sigaali. Katso kuva 7.c kirjasta. Kuva : fs Hz. Yläkuvassa summakosii äytteistettyä ja palautettua: sigaali o muuttuut etistä eemmä äytteeotossa. Kuva 6: Tehtävä. Ylhäällä mielivaltaie aalogise sigaali spektri Xj. Keskellä siitä äytteistetty, jaksollie Xpj välei. Alhaalla alipäästösuodatuksella aalogiseksi palautettu Xrj. T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 Kaavakokoelma Merkitä xt viittaa jatkuva-aikaisee sigaalii ja diskreettiaikaisee sekvessii. Yleisesti sigaaleille ja järjestelmille y o vaste output, h o järjestelmä impulssivaste ja x syöte iput. δt ja δ[] ovat yksikköimpulssifuktioita. ut ja u[] ovat yksikköaskelfuktioita. st ja s[] ovat askelvastefuktioita. Nousuaika määritellää ajaksi, joka kuluu askelvastee ousemisessa %:sta 9%:ii maksimiarvostaa. Merkiöissä o pietä vaihtelua. Fourier-sarjoissa rad, Ω rad/s o peruskulmataajuus, f Hz perustaajuus, T s ja N jatkopituuksia. Diskreetillä sigaalilla o äytteeottotaajuus fs tai ft Hz. Jatkuvalle Ω f, f /T, tai kirjoitetaa myös, yksikköä joka tapauksessa rad/s. Diskreetille N,, k Z Ω/Ωs f/fs. Kompleksiluvut, Euler, geometrie sarja, sic, perusfuktiot: + a a, a < N a an a, a < Evext}. [xt + x t] Oddxt}. [xt x t] sicθ siθ/θ z x + jy re jθ e jθ cosθ + j siθ Likiarvoja ja laskusäätö Dirac-deltafuktiolle:, t > τ ut δτdτ, t <, δ[],, u[], < t st ut ht hτ dτ s[] u[] h[] h[k] θ /8 /6 / / / / siθ cosθ δt t xt dt xt Kovoluutio: + yt xt ht ht xt hτxt τdτ τ + h[] h[] h[k]x[ k] FOURIER-ARJA Jatkuva-aikaise jaksollise sigaali Fourier-sarja: xt + ak e jkωt jossa ak xt e jkωt dt T T Jatkuva-aikaise Fourier-sarja omiaisuuksia: Tässä xt ja yt ovat jaksollisia jaksolla T, sekä ak ja bk vastaavat Fourier-sarja kertoimet. lieaarisuus Axt + Byt Aak + Bbk aikasiirto xt t ake jkωt taajuussiirto e jmω xt ak M ak a k reaalie sigaali xt ak a k ak a k reaalie ja parillie xt ak reaalie ja parillie; reaalie ja parito xt ak puhtaasti imagiaarie ja parito reaalie Evext} Realak} ja reaalie Oddxt} j Imagak} Parsevali relaatio jaksolliselle sigaalille /T T xt dt + ak Diskreettiaikaise jaksollise sekvessi Fourier-sarja: k N ak e jk jossa ak e jk N N Diskreettiaikaise Fourier-sarja omiaisuuksia: Tässä ja ovat jaksollisia jaksolla N, sekä ak ja bk vastaavat Fourier-sarja kertoimet jaksollisia jaksolla N. lieaarisuus A + B Aak + Bbk aikasiirto x[ ] ake jk/n taajuussiirto e jm/n ak M ak a k reaalie sekvessi ak a k ak a k reaalie ja parillie ak reaalie ja parillie; reaalie ja parito ak puhtaasti imagiaarie ja parito reaalie Eve} Realak} ja reaalie Odd} j Imagak} Parsevali relaatio jaksolliselle sekvessille /N N k N ak

19 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 JATK.AIK. FOURIER-MUUNNO CTFT Jatkuva-aikaise ei-jaksollise sigaali Fourier-muuos F Xj} xt + Xj e jt d + F xt} Xj xt e jt dt Jatkuva-aikaise Fourier-muuokse omiaisuuksia: Tässä xt Xj ja yt Y j. lieaarisuus axt + byt axj + by j aikasiirto xt t e jt Xj taajuussiirto e jt xt Xj kovoluuto xt yt Xj Y j kertolasku xt yt / + XjθY j θdθ derivoiti ajassa d/dt xt jxj reaalie sigaali xt Xj X j Parsevali relaatio jaksottomalle sigaalille + xt dt / + Xj d Jatkuva-aikaise Fourier-muuokse muuospareja: Tässä sigaali F-muuos. siw t t xt + ake jkt ak δ k cost [δ + δ + ] sit /j [δ δ + ] δt δt t e jt e at ut /a + j, t < T, t > T sit/ W sicw t/ Xj, < W, > W DIKR.AIK. FOURIER-MUUNNO DTFT Diskreettiaikaise ei-jaksollise sigaali Fourier-muuos F Xe j } Xe j e j d F } Xe j + e j Diskreettiaikaise Fourier-muuokse omiaisuuksia: Tässä Xe j ja Y e j, ja Xe j ja Y e j ovat -jaksollisia. lieaarisuus a + b axe j + by e j aikasiirto x[ ] e j Xe j taajuussiirto e j Xe j kovoluuto Xe j Y e j kertolasku / Xejθ Y e j θ dθ differessi ajassa x[ ] e j Xe j reaalie sekvessi Xe j X e j Parsevali relaatio jaksottomalle sekvessille + / Xej d Diskreettiaikaise Fourier-muuokse muuospareja: Tässä sigaali F-muuos. ake jk/n ak δ /Nk k N cos + δ l + δ + l l + si /j δ l δ + l δ[] δ[ ] e j, N, > N l a u[] / a e j sin +. si. siw W sicw / Xej, < W, W <