1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki

Transkriptio

1 Enso Ikonen, Oulun yliopisto, systeemitekniikan laboratorio 2/23 Säätöjärjestelmien suunnittelu 23 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki Tehtävänä on suunnitella säätö prosessille ( ) = = ( +)( 2 + ) 2 ( + ) (5 + ) Vaatimukset säädölle: ² tasapainotilan poikkeama max 5% ² ylitystä max 5% ² nopea vaste ² yleinen robustisuus ² implementointi PID-säätimellä

2 Amplitude. P-säätö P-säädöllä suljetulle piirille saadaan ( ) ( ) = P ( ) + P ( ) Tasapainotilan poikkeama askeleelle asetusarvossa on lim ( )= P ()! + P () = P + P Tp-poikkeaman tuli olla alle 5%, joka toteutuu jos P-säädön vahvistuksena P käytetään 95 P 5 + P ) P = =9 5 Simuloidaan P-säädettyä järjestelmää, jolloin askelvasteesta (kuva ) nähdään että ylitys on enemmän kuin 4%. Prosessin ulostulo värähtelee reippaasti. P-säätimellä ei siten päästä haluttuihin vaatimuksiin. Step Response.4 P-säätö Time (seconds) Figure : P-säätö (askelvaste) 2

3 .2 PD-säätö Tarkastellaan seuraavaksi PD-säädön mahdollisuuksia. PD-säätimen D-termillä voidaan kasvattaa järjestelmän vaihevaraa. Tämä on tarkoituksiin sopivaa, sillä vaihevaran pm ja ylityksen p välillä on yhteys vaimennussuhteen kautta: p ¼ pm Ã! ¼ exp p 2 Jälkimmäisestä yhtälöstä saadaan 5% ylitystä vastaavaksi vaimennussuhteeksi 6, ja tästä edelleen vaihevaraksi 6 o. Tätä voidaan käyttää taajuustason suunnittelun lähtökohtana. Tarkastetaan vielä vaihevara jo suunnitellulle P-säätimelle, ja todetaan että vaihevara jää alle 3 o :een (kts. kuva 2). Gm = Inf db (at Inf rad/s), Pm = 28. deg (at.596 rad/s) Figure 2: P-säätö (Bode) PD-säädön (l. vaiheenjohtokompensaattorin) suunnittelussa pyritään sijoittamaan maksimaalinen vaiheenjohto vahvistuksen ylimenotaajuudelle. Piirretään Bode, kuva 2, jolloin näemme että P-säädölle ylimenotaajuus on gc = 6rad/s. Sijoitetaan D-termi sinne. Tiedämme, että vaiheenjohtokompensaattorin maksimivaihe on löytyy taajuudelta ( )= D + D + max = r Valitsemalla (peukalosäännön mukaan) derivoinnin suodatuksen aikavakio kymmenen kertaa nopeammaksi kuin itse derivaattatermi, eli D = D, saadaan p p D = = max 6 =5 3s 3

4 ja D = 53 sekuntia. Kompensaattoriksi suunniteltiin siis µ D + PD ( )= =9 5 D + µ Tarkkaan ottaen kyseessä on PD-säätimen approksimointi, sillä µ µ D + ( D + D ) + PD ( ) = ¼ D + D + µ = + + mutta tarkkuus on aivan riittävä, ja voimme huoletta puhua PD-säätimestä. Suunnittelu näkyy hyvin tarkastelemalla Boden vaihe- ja vahvistuskuvaajia, kuva 3. P- säädetyn prosessin vaihevara on vaatimaton, mutta kasvattamalla vaihetta D-termillä vaihevara kasvaa. Uusi vaihevara on 55 o, kts kuva K P P D K DP P Figure 3: P, D ja L Bode-kuvaajat 4

5 Gm = Inf db (at Inf rad/s), Pm = 54.9 deg (at.55 rad/s) Figure 4: L:n Bode ja marginaalit 5

6 D-termi sisältää kuitenkin myös vahvistusta, jonka seurauksena L:n ylimenotaajuus kasvaa 6 rad/s:stä 55 rad/s:ään. Niinpä suunniteltu vaiheenjohto ei ole maksimaalinen juuri tällä kriittisellä taajuudella. Iteroidaan hieman, ja lasketaan uusi D-termi niin että max = 8 rad/s (eli keskiarvo ( 6+ 55) 2). Vaiheenjohtokompensaattoriksi saadaan PD ( )= eli P =9 5, =2 9ja = 29 sekuntia. Piirretään Bode-kuvaajat (kuvat 5 6), ja todetaan että vaihevara on jo 7 o eli riittävä D K D P P D K P DP Figure 5: iteroitu Fig3 Vaihevaran suunnittelun tavoite on saavutettu. Tarkastetaan vielä vaste simuloimalla aikatasossa. Askelvasteet prosessille, P-säädetylle prosessille sekä PD säädetylle prosessille on esitetty kuvassa 7. Todetaan, että sekä ylityksen että tasapainotilan virheen kriteerit täyttyvät. PDsäädetyn järjestelmän askelvaste asetusarvomuutostilanteessa on nopea. Ero avoimen piirin vasteeseen on dekadin luokkaa. 6

7 Amplitude Phase (deg) Gm = Inf db (at Inf rad/s), Pm = 7.5 deg (at.9 rad/s) Figure 6: Iteroitu Fig4 Step Response 2.8 prosessi P-säätö PD-säätö Time (seconds) Figure 7: Askelvaste 7

8 .3 PI-säätö Tarkastellaan seuraavaksi PI-säädöllä tehtävää toteutusta. Tiedämme, että PI-säätö poistaa automaattisesti tasapainotilan poikkeaman, joten suunnittelutehtäväksi jää riittävän vaihevaran aikaansaaminen. PD-suunnittelusta muistamme, että vaihevaraksi tarvittiin vähintään 6 o. PIsäätimellä vaihevaran kasvattaminen ei onnistu, joten riittävä vaihevara voidaan saavuttaa vain vahvistusta pienentämällä. Silloinhan ylimenotaajuus siirtyy vasemmalle, matalammalle taajuudelle, jossa vaihevaraa on enemmän. Valitsemalla P =2nähdään Bode-kuvaajasta (kuva 8) että vaihevaraksi tulee 63 o. Gm = Inf db (at Inf rad/s), Pm = 62.9 deg (at.237 rad/s) Figure 8: PI-Bode 8

9 Tasapainotilan virheen poistamiseksi lisätään nyt integraattori, eli µ PI ( )= P + I Koska PI-säädin tuo mukanaan vaiheenjättöä matalille taajuuksille, sijoitetaan kulmataajuus niin että jättö kriittisillä taajuuksilla on pieni. P-säädetyn järjestelmän ylitystaajuus on 24 rad/s (kts kuva 8), joten sijoitetaan I-termin kulmataajuus dekadia pienemmälle taajuudelle: I = gc = 24 = 42 Suunnittelu näkyy mainiosti tarkastelemalla Bode-kuvaajaa, kuva 9. I-termi vaikuttaa vain matalilla taajuuksilla, missä se kasvattaa silmukkasiirtofunktion vahvistusta. Samalla se jätättää silmukkasiirtofunktion vaihetta, mutta ylimenotaajuuden kohdalla jättö on jo pientä. Vaihevara on edelleen lähes 6 o, kts kuva K P P I K IP P Figure 9: Bode P-säätö, I j L-PI-säädölle 9

10 Gm = Inf db (at Inf rad/s), Pm = 57. deg (at.238 rad/s) Figure : L-PI:n marginaalit

11 Amplitude Tarkistetaan vielä aikatason vaste. Kuva esittää prosessin, P-säädetyn prosessin, sekä PI-säädetyn prosessin askelvasteet. Suunnittelun kriteerit täyttyvät ylityksen ja tp-tilan virheen suhteen täyttyvät. Vaste asetusarvosta on kuitenkin selkeästi hitaampi kuin PD-säädössä (vrt. kuva 7), ja varsinkin asettumisaika on pitkähkö ( 5%:een asetusarvosta pääseminen kestää liki 6 sekuntia, kun PD-säädössä siihen meni vain muutama sekunti). Toisaalta, lopullinen tasapainotilan poikkeama PI-säädössä on %. Step Response 2.8 prosessi P-säätö PI-säätö Time (seconds) Figure : Aikatason vaste

12 .4 PID-säätö PID-säädin voidaan koostaa PD ja PI-termeistä. Muodostetaan nyt kaskadimuotoinen PIDsäädin µ µ D + PID ( )= P + D + I Integrointi- ja derivointiosat on jo suunniteltu, joten lähdetään liikkeelle ajatuksesta että taajuuskaistat ovat erilliset ja säätimen osat voidaan yksinkertaisesti linkittää toisiinsa. Tämä voidaan tarkistaa Bode-kuvaajasta, kuva C PD 45 C PI Figure 2: Bode PD ja PI 2

13 Amplitude Valitaan vielä (epäakateemisesti) vahvistukseksi aiemmin suunniteltujen keskiarvo, = ( ) 2 =5 75 ja katsotaan miten käy. Askelvasteet PD, PI, ja PID säätimille on esitetty kuvassa. Kuvasta 3 nähdään, että PID-säädin yhdistää PD ja PI termien ominaisuuksia (nopea vaste alussa, tasapainotilan poikkeaman puuttuminen) Step Response.4 PD-säätö PI-säätö PID-säätö Time (seconds) Figure 3: Askelvasteet PD, PI ja PID. 3

14 Imaginary Axis Nyquist Diagram 3 PD PI PID Real Axis Figure 4: Nyquist (PD, PI, PID) Tarkastellaan lopuksi PD, PI ja PID säädettyjen järjestelmien taajuustason (kuva 5) ja aikatason (kuva 6) vasteita neljän koplan (vs. gang-of-six) avulla. ² Muistetaan, että stabiilisuusmarginaali m voitiin katsoa sensitiivisyysfuktion maksimista. Kuvasta 5 nähdään, että PI-säädin on stabiilisuusominaisuuksiltaan heikoin. Tämän voi nähdä myös tarkastelemalla Nyquist-kuvaajaa (kuva 4), jossa PI-säädetyn järjestelmän silmukkasiirtofunktio selvästi kulkee lähinnä pistettä. ² Komplementaarinen sensitiivisyysfunktio kuvaa siirtofunktiota prosessin ulostulon ja asetusarvon välillä (tätähän on jo tutkittu askelvasteissa). Lisäksi se kertoo säätimen vasteesta kuormahäiriöön. Matalilla taajuuksilla säätimien välillä ei juuri eroja ole. Kuvan 5 skaalauksesta ei näy, mutta :n vahvistus matalilla taajuuksilla PD-säätimellä jää 44 db:hen (joka vastaa 95:n vahvistusta), kun muilla säätimillä vahvistus on db. Korkeilta taajuuksilta havaitaan, että PI-säädetyn järjestelmän taajuuskaista on muita pienempi. ² Sisäänmenon sensitiivisyysfunktio kuvaa prosessin ulostulon ja kuormahäiriön välistä siirtofunktiota. PD-säädin ei selviä askelmaisesta kuormahäiriöstä, vaan se jää vaikuttamaan prosessin ulostuloon. ² Ulostulon sensitiivisyysfunktio kuvaa säätimen ulostulon ja mittauskohinan tai asetusarvon välistä siirtofunktiota. Kuvista 6 5 nähdään, että PD ja PID säätimet ovat hyvin ärhäköitä: ohjaus saa suuria arvoja askelvasteen alussa, samoin vahvistukset ovat suuria korkeilla taajuuksilla. PI-säätö on huomattavasti rauhallisempi ja toimilaiteystävällisempi. 4

15 Phase (deg) Phase (deg) Phase (deg) S T PS CS Figure 5: Neljän kopla, taajuustason vasteet 5

16 Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude S T Time (seconds) Time (seconds) PS CS.8.6 PD PI PID Time (seconds) Time (seconds) Figure 6: Neljän kopla, aikatason vasteet 6

17 PD PI PID Figure 7: PD, PI ja PID säädettyjen systeemien silmukkasiirtofunktiot. PD,PI, ja PID säädettyjen järjestelmien silmukkasiirtofunktioiden Bode-kuvaajat on esitetty yhteenvetona kuvassa 7. Suunnitellun PID-säätimen ylimenotaajuus on 7rad/s, ja vaihevara on 75 o 7

18 Figure 8: Säätöpiiri Simulinkissä. Enemmät simulointitutkimukset (erilaisille häiriöille, jne) voi tehdä Simulinkin avulla, tutkimalla esim kuvan 8 kaltasella lohkokaaviolla asetusarvon ja häiriöiden vasteita prosessin ja säätimen ulostuloon. 8