Luento 5. Diskreetti Fourier muunnos (DFT)

Transkriptio

1 Lueto 5 Disreetti Fourier-muuos opea Fourier-muuos (FFT) 6..6 Disreetti Fourier muuos (DFT) Tarastellaa disreettiä sevessiä {v,v,,v - } Esim. äytteistetty sigaali v =v(t), T äyteväli Disreetti Fourier-muuos (DFT) iπ V( ) = ve = Kääteismuuos (IDFT) iπ v = V( ) e = 6..6

2 Parsevali teoreema v = V( ) = = DFT: omiaisuusia Todistus * * i π v = v v = v V( ) e = = = = = = = iπ * * V( ) v e V( ) V ( ) V( ) = = = = v = V( ) e = iπ DFT: omiaisuusia DFT o jasollie, jaso pituus o : i π ( ) + i i i π π π = = = V( + ) = v e = e v e = v e = V( ) Huomataa, että V() =4 jote V()=V()

3 DFT: omiaisuusia Jos {v } o reaalie, ii ( iπ ( ) ) = = * ( ) = V v e V v Jasollisuudesta seuraa * V = V + * ( ) ( ) V l = V l l =, V( + ) = V( ) * * V = V + = V + + * = V + Re{V()} Im{V()} DFT: omiaisuusia Tarastellaa disreettiä jasollista sevessiä v v v = v v - = - + = Origo siirto D{ m} Todistus F v V( ) e = m iπ iπ D{ m} = m = F v v e ' = m m ' + m ' m m iπ m iπ iπ iπ ve ' ve ' e Ve ( ) ' = m ' = m = = = m ' = m ve ' ' iπ = V ( ) = =3 = = Jasollisuudesta seuraa, että summa miä hyväsä : perättäise äyttee yli ataa sama tulose. =3 = = = =3 =

4 DFT: omiaisuusia Tarastellaa summaa : elemeti yli m i π i π m i π iπ ve = v' e + ve = ve = m = m = = = m iπ iπ ( m) iπ ( m+ ) iπ ( ) = m + m ve v e v e v e iπ ( m) iπ ( m ) iπ ( ) i π ' m m+... ' ' = m = v e + v e + + v e = v e v: jasollisuudesta seuraa v = v v = v + m m Osoittime jasollisuudesta seuraa i ( ) i i i e π ± e π π π = e = e = Origo siirto D { ( )} DFT: omiaisuusia i l F V l = v e π Todistus F V l V l e V e iπ l i π ( ' + l) D { ( )} = ( ) = ( ') = ' = l l i π ' iπ l iπ l V( ') e e ve ' = l = = DFT: jasollisuudesta seuraa, että summa miä hyväsä : perättäise äyttee yli ataa sama tulose

5 DFT Tarastella disreeti pulssi DFT:tä Pulssi (=4) v =, v =, v =, v = 3 v DFT ( ) iπ iπ iπ iπ 4 4 = V = v e = e + e = e + e ( i) ( ) = + V () = V() = i V () = + V(3) = i iπ Disreetti ovoluutio Disreetti jasollie ovoluutio (Circular covolutio) y = h u = hmu m ja se DFT m= { } Y ( ) = F h u = HU ( ) ( ) D Disreetti lieaarie ovoluutio y = h u m m m= Oletetaa, että h =, < > h u =, < > u Kovoluutio pituus tulee olemaa = h + u

6 Disreetti ovoluutio Määritellää asi yhtä pitää sevessiä lisäämällä ollia sevessie perää h =,,... h ha, = = h, h +,..., h + u u =,,... u ua, = = u, u +,..., h + u Jasollie ovoluutio: h+ u y = h u a, m a, m m= ja se DFT: 6..6 Disreetti ovoluutio Tarastellaa sigaaleita (äyteväli T=) {h(t)}={,,} h =3 {u(t)}={,,,} u =4 Augmetoidut sigaalit {h(t)}={,,,,,} h + u -=6 {u(t)}={,,,,,} h + u -=6 Kovoluutio h+ u = a, m a, m m= y h u

7 Esimeri h=[ ]; u=[ ]; ha=[h zeros(,legth(u)-)]; ua=[u zeros(,legth(h)-)]; H=fft(ha); U=fft(ua); Y=H.*U y=ifft(y) plot(:5,y,'o:',:5,ha,'x:',:5,ua,'d:') leged('y','h','u',) y h u TAI y=cov(h,u); opea Fourier-muuos (FFT) Käyttäe DFT: määritelmää =,,,,- harmoise lasemisee tarvitaa omplesia ertolasuoperaatiota ja (-) omplesia yhteelasuoperaatiota V( ) = ve = iπ Jos o suuri, o DFT: lasemie laseallisesti rasasta. DFT: lasemie sisältää redudatteja operaatioita, jote lasetaa sopivasti järjestämällä voidaa lasetauormaa pieetää. Tähä perustuu opea Fourier-muuos (FFT, Fast Fourier Trasform)

8 opea Fourier-muuos (FFT) Määritellää Osoittautuu, että =8 opea Fourier-muuos (FFT) W = e iπ =8 ( ) 5 W 8 Im ( W ) 6 8 ( ) 7 W 8 ( ) 4 W 8 ( ) W 8 Re ( ) 3 W 8 ( ) W 8 ( ) W

9 opea Fourier-muuos (FFT) Operaattori W avulla DFT-voidaa irjoittaa muotoo V( ) = vw = Oletetaa, että o parito ooaisluu ( + ) + = = V( ) = v W + v W Parillie sevessi Parito sevessi opea Fourier-muuos (FFT) yt DFT voidaa irjoittaa muotoo + = = V( ) = v W + W v W (-)/ poit DFT (-)/ poit DFT Jote, voimme rataista pistee DFT: laemalla asi / pistee DFT:tä ja summaamalla tuloset Termi W / tarvitsee lasea vai erra ja sitä voidaa äyttää seä parilliste että parittomie symbolie DFT:ssä. Samalla tavalla / pistee DFT voidaa jaaa edellee ahdesi /4 pistee DFT:si, jota puolestaa voidaa jaaa /8 DFT:si je

10 opea Fourier-muuos (FFT) =8 pistee sevessi =8 pistee DFT V( ) = V ( ) = V ( ) + W V ( ) 8 V ( ) = V ( ) + W V ( ) V( ) = V3( ) + W4 V4 ( ) 4 V( ) = v + W v4 V( ) = v + W v 6 V ( ) = v + W v V3( ) = v + W v opea Fourier-muuos (FFT) Esimmäie vaihe 8 pistee DFT:stä V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v W =,3,... = exp( iπ ) = =,,... Perhosoperaattori (butterfly operator) 6..6

11 opea Fourier-muuos (FFT) Perhosoperaattori avulla V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v opea Fourier-muuos (FFT) Toie vaihe 8 pistee DFT:stä V () = V () + W V () = V () + V () 4 π i = + 4 = + = V () V () W V () V () e V () V () iv () V () = V () + W V () = V () + e V () = V () V () = V () V () iπ 4 Huomataa, että V i () o pistee DFT, jote V i (+)=V i () 3 3 i π = + 4 = + = + V (3) V (3) W V (3) V (3) e V (3) V () iv () Kosa, ii V () = V () + W V () 8 V () = V () W V () 8 V () = V () + W V () 8 V (3) = V () W V ()

12 opea Fourier-muuos (FFT) Toie vaihe 8 pistee DFT:stä V () = V () + W V () 8 V () = V () + W V () 8 V () = V () W V () 8 V (3) = V () W V () opea Fourier-muuos (FFT) Kolmas vaihe 8 pistee DFT:stä V ( ) = V ( ) + W V ( ) 8 V () = V () + W V () 8 V () = V () + W V () 8 V () = V () + W V () 8 V (3) = V (3) + W V (3) 3 8 V (4) = V () W V () 8 V (5) = V () W V () 8 V (6) = V () W V () 8 V (7) = V (3) W V (3)

13 opea Fourier-muuos (FFT) 8 pistee opea Fourier-muuos V () V () V () V (3) V () V () V () V (3) opea Fourier-muuos (FFT) Laseallie omplesisuus: DFT: O( ) 7 FFT: O(log()) 6 5 Complexity 4 3 DFT FFT

14 Fourier-muuose umeerie approsimoiti Fourier-muuos Tarastellaa sigaali, joa o määritelty välille [,T ] (Euler itegral) missä =T /T Fourier-muuosta voidaa siis approsimoida DFT:llä: i ft π iπ V( f) T v( T) e = TVD ( ), f = VD ( ) = v( T) e T = = Fourier-muuose umeerie approsimoiti Poissoi summaaava ˆ( ) ( ) i π ft V f = T v T e = V f = = T Jos aluperäise sigaali sisältää yquisti rajataajutta (/ /T) suurempia taajuusia, tapahtuu äytteeotossa lasostumista. Tämä vääristää approsimoitua spetriä. V( f) B > T ˆ( ) V f B B

15 Iuoiti ja vuotoilmiö Sigaali ataisu v(t) Aluperäie sigaali T Tarasteluväli v(t) Kataistu sigaali T Tarasteluväli DFT-äee ataistu sigaali periodisea. Jos päätepisteide välillä o suuria eroja sytyy äytteistettyy sigaalii oreita taajuusia Iuoiti ja vuotoilmiö Suoraaiteemuotoise aiaiua äyttö aiheuttaa DFT: äemää jasollisee sigaalii epäjatuvuusohtia, joita selittämää Fourier-sarjassa tarvittaisii oreita taajuusia. Suoraaide pulssilla ataistu sigaali FFT voi tästä johtue erota suurestii vastaava jatuva sigaali Fourier-muuosesta. Suoraaidemuotoiste iuoide sijaa, äytetää usei iuoita, jota pieetävät tarasteluväli alu ja loppupää äytteide arvoja

16 Iuoiti ja vuotoilmiö Erilaisia iuoita o määritelty useita:.9.8 Blacma-Harris Hammig Gaussia Ha Hammig iua aia ja taajuustasossa =65;w=hammig();wvtool(w) Time domai 4 Frequecy domai Amplitude Magitude (db) Samples ormalized Frequecy ( π rad/sample)

17 Esimeri Kosiisigaali spetritiheys.5.5 T=.5= s(t) S(f) -.5 Sigal.5 Hammig widow t Frequecy (Hz).5.5 s(t) S(f) t Frequecy (Hz) Iuoiti vähetää spetrie lasottumisesta johtuvaa virhettä Fourier-muuose umeerie approsimoiti Taajuusalue äytteeoto jälee sigaali sisältää taajuusia yquisti rajataajuutee saaa DC-ompoetti yquist taajuus =3 3 4 f / ±f f / f (Hz)

18 Fourier-muuose umeerie approsimoiti Taajuusresoluutio: FFT: lasemat harmoiset taajuudet ovat äytteeottotaajuus Taajuusresoluutio Zero paddig: Lisäämällä ollia sevessi perää saadaa taajuusresoluutiota asvatettua. Tällöi FFT iterpoloi välitaajuusia aluperäise DFT: määrittämie taajuusie välii. Jos lisätää ollaa, ii taajuusresoluutiosi tulee Esimeri

19 Tarastellaa pulssia t vt () = otherwise Valitaa äyteväli T=. Esimeri äytteeottotaajuus f s = Hz ja yquisti rajataajuus f =5 Hz. Taajuusvälisi tulee = äytteellä /*f s =/* Hz= Hz Esimeri FFT löytää vai pulssi DC-ompoeti =5: f =5 Hz V() Taajuusväli = Hz/= Hz

20 Esimeri Lisätää 9 ollaa sevessi perää V() Taajuusväli = Hz/=. Hz Example Taajuude futioa saadaa V() f (Hz)

21 Esimeri Kosa pulssi sisälsi myös yquisti rajataajutta suurempia taajuusompoetteja tapahtuu lasostumista 6 x Error f (Hz) Esimeri tau=; %Pulse width T=.; %Samplig iterval f_s=/t; %Samplig frequecy f_=/*f_s; %yqyist frequecy df=f_s/; %Frequecy spacig =tau/t; %umber of samples v=oes(,); %Sampled sigal V=T*fft(v); %Approximate cotiuous Fourier trasform %Plot spectrum desity figure() plot(:(-),abs(v).^,'*-') xlabel('') ylabel(' V() ^') %Zero paddig z=9; z=zeros(z,); a=+z; va=[v; z];%zero paddig Va=T*fft(va); figure() plot(:(a-),abs(va).^,'*-') xlabel('') ylabel(' V() ^') %Frequecy axis dfa=f_s/a; %frequecy spacig after zero paddig f=-f_:dfa:(f_-dfa); figure(3) plot(f,abs(fftshift(va)).^,'*-') xlabel('f (Hz)') ylabel(' V() ^') %Effect of aliasig figure(4) plot(f,abs(fftshift(va)).^-sic(f').^,'r') xlabel('f (Hz)') ylabel('error')