Luento 5. tietoverkkotekniikan laitos

Transkriptio

1 Luento 5 Luento 5 Jaksolliset signaalit epälineaarisissa muistittomissa järjestelmissä 5.1 Muistittomat epälineaariset komponentit Pruju Taylor-sarjakehitelmä ja konvoluutio taajuustasossa Särö Keskinäismodulaatio 5.2 Epälineaarisuuden karakterisointi 1

2 5.1 Muistittomat epälineaariset komponentit

3 Särö Useimmiten säröllä tarkoitetaan tahatonta ja ei niin haluttua muutosta signaalissa, mutta erityisesti kitaristien keskuudessa säröllä tarkoitetaan efektiä, jolla muokataan alkuperäistä puhdasta signaalia lisäämällä siihen uusia taajuuskomponentteja. Säröefektiä tuottavaa laitetta kutsutaan usein äänensärkijäksi. Alkujaan säröefekti keksittiin 1950-luvulla kun kitaravahvistinta soitettiin niin kovaa, että vahvistin yliohjautui ja ääni säröytyi s(t) Signal Clipped signal t Kuuntele säröä: 3

4 Epälineaarisuus Tarkastellaan passiivista epälineaarista komponenttia u(t) y(t) f( ) Taylor-sarjakehitelmä y < f( x0) f '( x0) x, x0( f ''( x0) x, x0( f ''( x0) x, x0(... 2! 3! 4! 2 3 < x x x Epälineaarisuuden läpi kulkenut signaali Kertolasku aikatasossa vastaa konvoluutiota taajuustasossa (ks. Luento 6) 4

5 Epälineaarisuus Tarkastellaan sini-muotoista herätettä Amplitudi spektri Epälineaarisuus οζ (( 2 2 u ( t) < 4cos (2 ο f0t) < 2 1 cos 2 2 f0 t x( cos x< 1 cos DC-komponentti cos(2ο t) cos 2 (2ο t) harmooninen 5

6 Epälineaarisuus cos(2ο t) cos 3 (2ο t) Epälineaarisuus u( t) < 8cos (2 ο ft 0 ) < 8 cos 2ο ft 0 ( cos(2οζ3 f0 t) < 4 3cos 2ο ft 0 ( cos(2ο Ζ3 f0 t) cos x< cos x( cos 3x( 4 4 ( Signaalin taajuudella 3. Harmooninen taajuus 6

7 Epälineaarisuus Epälineaarisuudet synnyttävät harmoonisia taajuuksia Approksimoidaan epälineaarisuutta Taylor-sarjan kolmella ensimmäisellä termillä: Parilliset potenssit synnyttävät harmoonisia, jotka voidaan poistaa suodattamalla Parittomat potenssit aiheuttavat komponentteja myös signaalin taajuudelle cos(2ο t) 2 1/2Ρ cos k k=1 (2ο t) 3 1/3Ρ cos k k=1 (2ο t)

8 Epälineaarisuus Tarkastellaan epälineaarisuutta f( x) < x x 3 Jos xt ( ) < cos 2 ο ft( 0 Mitä taajuuksia yt () < f( xt ()) sisältää? 8

9 Särö Yleinen epälineaarisuus f( x0) f '( x0) x, x0( f ''( x0) x, x0( f ''( x0) x, x0(... 2! 3! 4! 2 3 < x x x Kun tulosignaali on kosini xt ( ) < Acos 2ο ft ( 0 niin epälineaarisuuden lähtösignaali yt () f xt () a xt () k ( ( < < k< 0 k x(t) voidaan kirjoittaa tulosignaalin harmoonisten yliaaltojen avulla < k< 0 ο ( yt ( ) u cos 2 kft k 0 f( ) y(t) 9

10 Särö Epälineaarisuuden vaikutusta signaaliin voidaan tarkastella harmonisen särökertoimien (distortion) avulla n. asteen särökerroin: d n u < u n 1 n asteen särövaimennus: Kokonaissärökerroin (Total Harmonic Distortion THD) tot An <, 20log 10 dn n=2,3,4, dn 100% Särö % u2 u3 u4 u u1 d < d d d d <... 10

11 Särö Signaalin y teho (Parsevalin teoreema) Py < u0 u1 u2 u3 u4 u < P0 P1 P2 P3 P4 P5... Signaalin kokonaissärö voidaan määrittää kun tunnetaan lähtösignaalin kokonaisteho P y, DCkomponentin teho P 0 sekä perustaajuuden teho P 1 dtot < Py, P0, P1 P1 11

12 Särö Epälineaarisuuden ominaiskäyrä y( x) < a a x a x a x a x... Kosinin potenssikaavat 2n 1 2n 1 n, 1 2n cos x < cos 2 2n 2n 1 2 n, 2 k< 1 n, k kx( 2n, 1 1 n, 1 2n, 1 cos x< cos 2k 1 x 2 2n, 2, k< 1 n, k ( ( Sovelletaan summakaavoja lähtösignaaliin 1 1 yt () < a0 aa 1 cos2 ft x aa 2 cos2 2ft x aa 3 cos 2ο ft x ( cos 2ο 3 ft x ( aa 4 cos 2ο 2 ft x ( cos 2ο 4 ft x ( ο ( ο ( ( ( ( 5 ELEC-A7200 aa 5Signaalit cos ja 2οjärjestelmät ft x cos 5 2οop 3ft x Aalto-yliopisto cos 2ο 5 ft xtietoliikenne ja 12

13 Särö Ryhmitellään termit uudelleen harmoonisten yliaaltojen mukaan < a0 a2a a4a... a1u a3u a5a... cos 2 fxt u a2a a4a... cos 2 2 fxt u 2 3 ο ( aa 3 aa 5... cos 2 3 ft x u ο ( au 4... cos 2ο 4 ft x ( au 5... cos 2ο 5 ft x ( u 4 u ο ( 13

14 Särökertoimiksi saadaan Särö a2a a4a... a2a a4a... u d2 < < < u aa 1 aa 3 aa 5... a1 aa 3 aa aa 3 aa 5... aa 3 aa 5... u d3 < < < u aa 1 aa 3 aa 5... a1 aa 3 aa a4a... a4a... u d4 < < < u aa 4 1 aa 3 aa 5... a1 aa 3 aa d aa 5... aa < < aa 1 aa 3 aa 5... a1 aa 3 aa

15 Särö Jos A<<1 tai a n << a 1, niin särökertoimeksi saadaan d n 2 a n n, 1 a 1 A n, 1 ja särövaimennukseksi An <, 20log d ( n n, 1 2 a 20log 1 a 20log 1 < ( n, 1) 3,01,( n, 1) 20log( A) n, 1 a a na n 15

16 Särö IEEE Std , IEEE Recommended Practices and Requirementd for Harmonic Control in Electrical Power Systems asettaa rajoituksia teholähteiden kokonaissärökertoimelle ja yksittäisten harmoonisten taajuuksien särökertoimille. Rajoitukset riippuvat kuorman tyypistä. Esim. Tietokonnet, tieteoliikennelaitteet, ohjelmoitavat logiigat jne. THD < 5% suurin särö-% < 3%. Suuremmat säröt voivat aiheuttaa toimintaan häiriöitä. Laitteiden elinajan maksimoimiseksi särön tulisi olla mahdollisimman pieni. T. M. Blooming, D. J. Carnovale. Application of IEEE STD Harmonic Limits Eaton Electrical 16

17 Keskeismodulaatiosärö Keskeismodulaatiosäröä syntyy epälineaarisessa järjestelmässä, kun tulosignaali on kahden tai useamman sinisignaalin summa. x() t < x () t x () t 1 2 Lähtösignaali on muotoa ( ( y() t < f x() t < a x () t x () t k< 0 k 1 2 k k a k n n k x, < 1 () t x 2 () t k< 0 n< 0 n k < ax () t ax () t ax () tx () t k k k, n n k 1 k 2 k 1 2 k< 0 k< 0 k< 0 n k n n 0 k x 2 ja sen harmooniset yliaallot x 1 ja sen harmooniset yliaallot Sekoittuneet signaalit 17

18 Keskeismodulaatiosärö Tarkastellaan kahdesta taajuudesta koostuvaa testisignaalia (two tone signal) x( t) < cos( ϖt) cos( ϖ t) 1 2 joka kulkee epälineaarisuuden 3 5 ( < f x ax ax ax läpi 18

19 Intermodulaatiotulokset 3. Asteen epälineaarisuuden intermodulaatiotulokset cos 4 2 cos 2 cos 2 cos 2 3 cos( ϖt) cos( ϖ t) ( < cos( ϖt) cos( ϖ t) ( cos(3 ϖt) cos(3 ϖ t) ( ϖ1, ϖ2( t( ϖ1 ϖ2( t( ϖ1, ϖ2( t( ϖ1 ϖ2( t( ( 5. Asteen epälineaarisuuden intermodulaatiotulokset cos 8, 2 cos 2 cos 2, cos 2 5 cos 8 3, 2 cos 3 2 cos 2, 3 cos cos ϖ1, ϖ2( t( co 1 2( ( 1 2( ( 1 2( 16 ϖ ϖ t cos ϖ, 4 ϖ t cos ϖ 4 ϖ t 5 cos( ϖt) cos( ϖ t) ( < cos( ϖt) cos( ϖ t) ( cos(3 ϖt) cos(3 ϖ t) ( cos(5 ϖt) cos(5 ϖ t) ( ϖ1 ϖ2( t( ϖ1 ϖ2( t( ϖ1 ϖ2( t( ϖ1 ϖ2( t( ( ϖ1 ϖ2( t( ϖ1 ϖ2( t( ϖ1 ϖ2( t( ϖ1 ϖ2( t( ( (( 19

20 Viivaspektri Intermodulaatiotulokset Teho (W) a1 a3 a a 25 3 a a 5 2 3ϖ, 2ϖ 2 1 2ϖ ϖ1 ϖ 1, ϖ2 2 2ϖ2, ϖ13ϖ2, 2ϖ1 5ϖ1

21 Keskeismodulaatiosärö Kahden kosini-signaalin kulkiessa n. asteen epälineaarisuuden läpi syntyy sekoitustaajuuksia f < lf mf x x x keskeis 1 2 l m < n l <...,, 2,, 1,0,1,2,... m<..,, 2,, 1,0,1,2,... f f x1 x2 Tulosignaalin x 1 (t) taajuus Tulosignaalin x 2 (t) taajuus 21

22 Two-tone signaali Keskeismodulaatiosärö ( ( x( t) < A1cos ϖ1t A2cos ϖ2t kulkee n=3 asteisen epälineaarisuuden läpi. Mitä taajuuksia ulostulosignaali sisältää? 22

23 Lineaarisen modulaattorin toteuttaminen Halutaan toteuttaa modulaattori piiri, joka saa syötteeksi kantoaallon ja moduloitavan signaalin x(t) xt () ο ( ct () < 2Acos2 ft c Ρ ( 1 zt () } } } ο ( yt () < Axt ()cos2 ft c Summain Neliöinti Kaistanpäästö suodatus H(f) X(f) 2 Z( f) C(f) 2, 2 f c, f c 2 f c f c Y( f), f c f c, f c f c 23

24 5.2 Epälineaarisuuden karakterisointi

25 Epälineaarisuus Epälineaarinen komponentti aiheuttaa yleensä tehohukkaa kun tulosignaalin teho kasvaa suureksi. Epälineaarisuuden kuvaamiseen käytettyjä suureita Saturaatiotaso (saturation level) on suurin jätjestelmästä saatava perustaajuisen komponentin lähtötaso. 1 db:n kompressio taso (1dB compression level) on se järjestelmän lähtötaso, joka on 1 db alempi kuin lähtötaso ilman epälinearisuutta. 25

26 1 db:n kompressio taso Esimerkki 10 db vahvistin Lineaarisen 9 db Vahvistimen lähtötaso P out (dbm) Saturaatio taso 1 db compressiotaso 30 db db 10 1dB 0 Lähes lineaarinen toiminta, mutta huono hyötysuhde Epälineaarinen toiminta, mutta hyvä hyötysuhde P in (dbm) 26

27 Tehonvahvistimen hyötysyhde Esimerkki 10 db vahvistin Power amplifier efficiency P out (db) 27

28 Epälineaarisuuden karakterisointi Epälineaarisia komponentteja mallinnetaan usein matala-asteisilla polynomeilla ( F( r()) t ar() t a r t a r () t Mallin parametrien selvittämiseksi tehdään tyypillisesti two-tone testi, jossa lähetetään kaksi eri taajuista sinimuotoista signaalia ( ( r( t) < Acos ϖ1t Acos ϖ2t Spektrianalysaattorilla tutkitaan komponentin synnyttämiä intermodulaatiotuloksia Teho spektri (db) f 1 f 2 2f 1 -f 2 f 1 f 2 2f 2 +f 1 28

29 Epälineaarisuuden karakterisointi Muistittoman lineaarisen RF tehovahvistimen toimintaa voidaan kuvata joko 3. tai 5. kertaluvun polynomilla G Gain (db) 3 5 x() t ar 1 () t a3r t( a5r () t IP3 3. order intercept point (db) IP5 5. order intercept point (db) a a a < 10 G 20 2 <, <, 10 5 IP3 G, IP5 G, 5 4 Q. Wu, H. Xiao, and F. Li, Linear RF Power Amplifier Design for CDMA Signals: A spectrum Analysis Approach, Microwave Journal, December

30 Epälineaarisuuden karakterisointi Lähes lineaarisen komponentin tapauksessa, 3. asteen epälineaarisuuden osuus tehosta on taajuuksilla 2ϖ2, ϖ1ja 2ϖ1, ϖ2 Olkoon P testisignaalin tonen teho (dbm) Vahvistimen lähtöteho ( F( r()) t ar() t a r t a r () t Teho (dbm) P t 20log 10 (a 1 )+P 20log 10 ( a 3 )+3P 20log 10 (a 5 )+5P 3ϖ, 2ϖ 2 1 2ϖ 3ϖ, 2ϖ ϖ1 ϖ 1, ϖ2 2 2ϖ2, ϖ

31 Epälineaarisuuden karakterisointi Leikkaustasot saadaan määriteltyä mitatusta spektristä ( ( ( ( 20 log a 3 P < P, IM IM 20 log 2 10 a3 3 IP3 < IP t t 3 3 IP3 < Pt 20 log a 5 P < P, IM IM 20 log t t 5 5 IP3 < Pt 4 10 a3 IP5 < IP5 Outputpower (dbm) IP 3 IM 3 P t IP 3 Teho (dbm) P t IM 3 IM 5 3ϖ, 2ϖ 2 1 2ϖ 3ϖ, 2ϖ ϖ1 ϖ 1, ϖ2 2 2ϖ2, ϖ

32 Epälineaarisuuden karakterisointi Mitattu tehospektri two-tone testisignaalin tapauksessa IM 3 IM 5 32

33 Esimerkki 33

34 Dual Tone Multi Frequency DTMF Analogisessa puhelinverkossa käytettiin signalointiin kahdesta taajuuskomponentista koostuvia signaaleja. Käytetyt taajuudet on valittu siten, että puhelinjärjestelmän epälineaarisuuksien aiheuttama intermodulaatiosärö ei vaikeuta taajuuksien tunnistamista vastaanottopäässä. ITU-T Recommendation Q.23 34

35 Matlab esimerkki Dualtone signaali f 1 =350 Hz f 2 =440 Hz Signaali leikkaantuu Syntyy taajuuksia k350+l Hz, 170 Hz, 260 Hz, 35

36 fs=44100; %Sampling frequency (Hz) f1=350; %Low frequency (Hz) f2=440; %High frequency (Hz) ts=1/fs; %Sampling interval T=2; %Signal length (sec) A=0.5; %Signal amplitude t=0:ts:t; %Time y=a*cos(2*pi*f1*t)+a*cos(2*pi*f2*t); Matlab esimerkki %Power spectrum ya=[y zeros(1,1000)]; N=length(ya); %Number of samples dfs=fs/n; Y=abs(ts*fftshift(fft(ya))).^2; dfs=fs/n; F=[-(N-1)/2*dfs:dfs:(N-1)/2*dfs]; figure(1) plot(f,10*log10(y)) xlabel('f (Hz)') ylabel('power spectrum (db)') axis([ ]) disp('dial tone') audio_obj=audioplayer(y,fs); play(audio_obj) pause %Clipped signal p=0.7; yc=1/p*max(-p*a,min(p*a,y)); yca=[yc zeros(1,1000)]; Yc=abs(ts*fftshift(fft(yca))).^2; audio_obj2=audioplayer(yca,fs); play(audio_obj2) figure(1) disp('dial tone over distorting line') plot(f,10*log10(y),'k-',f,10*log10(yc),'r:') legend('without clipping','with clipping',1) axis([-1e4 1e4-40 0]) xlabel('f (Hz)') ylabel('power spectrum (db)') ELEC-A7200 pause Signaalit ja järjestelmät 5 op 36