KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Transkriptio

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

2 Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut ) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan laskemaan momentti akselin ympäri Voimaparin momentti

3 Mikä on voiman momentti? (Kirjan luvut ) Voima pyrkii kiertämään kappaletta vaikutussuoransa ulkopuolisen pisteen suhteen Tätä kutsutaan joskus väännöksi, mutta yleensä voiman momentiksi tai momentiksi Momentin suuruus on suoraan verrannollinen voiman suuruuteen ja pisteen ja vaikutussuoran väliseen kohtisuoraan etäisyyteen, voiman varteen

4 Mikä on voiman momentti? Momentilla on suuruus ja suunta: Momentti on siis vektori Voima F aiheuttama momentti pisteen O ympäri on M O Momentin suuruus on voima kertaa varsi M O = Fd Momentin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti Vastapäivään positiivinen, myötäpäivään negatiivinen

5 Esimerkki Mikä on voiman varsi d, kun halutaan laskea momentti pisteen O ympäri?

6 Momentin skalaarimuoto Tasossa (2D) on kätevää tarkastella momenttia skalaarimuodossa Yhtälöt ovat yksinkertaisempia, kuin vektorimuotoiset yhtälöt Tasossa momentin resultantti saadaan laskemalla yhteen kaikkien voimasysteemin voimien aiheuttamat momentit + M R O = ΣFd M R O = F 1 d 1 F 2 d 2 + F 3 d 3

7 Momentin skalaarimuoto Esimerkki: Laske resultanttimomentti, kun F 1 = F 2 = F 3 = 100 N, d 1 = 1 m, d 2 = 1,3 m, d 3 = 1,2 m M R O = F 1 d 1 F 2 d 2 + F 3 d 3 = Nm = 90(Nm) Laske resultanttimomentti, kun F 1 = F 3 = 100 N, F 2 = 200 N, d 1 = d 3 = 1 m, d 2 = 1,2 m M R O = Nm = 40(Nm) Mihin suuntaan positiivinen ja negatiivinen resultanttimomentti pyrkivät pyörittämään kappaletta?

8 Momentin vektorimuoto (Kirjan luvut ) Momenttivektori on paikkavektorin ja voimavektorin ristitulo M O = r F Mitä tämä tarkoittaa? Kerrataan seuraavaksi ristitulon ominaisuuksia

9 Momentin vektorimuoto Ristitulo Kahden vektorin ristitulo tuottaa vektorin C = A B Vektorin C suuruus on C = AB sin θ C = AB sin θ u C Vektori C on kohtisuorassa vektoreiden A ja B muodostamaa tasoa vastaan ja sen suunta määräytyy oikean käden säännön avulla B A =?

10 Momentin vektorimuoto Ristitulo Muodostetaan ristitulon karteesinen esitys Kantavektoreiden ristitulo i j : Suuruus: i j sin 90 = = 1 Suunta oikean käden säännön mukaisesti Ratkaise i k =? Ratkaise i i =? i j = k

11 Momentin vektorimuoto Ristitulo Muodostetaan ristitulon karteesinen esitys A B = A x i + A y j + A z k B x i + B y j + B z k = A x B x i i + A x B y i j + A x B z i k +A y B x j i + A y B y j j + A y B z j k +A z B x k i + A z B y k j + A z B z k k A B = A y B z A z B y i + A z B x A x B z j + A x B y A y B x k = A y B z A z B y i A x B z A z B x j + A x B y A y B x k = i j k A x A y A z B x B y B z

12 Momentin vektorimuoto Ristitulo Miten determinantti ratkaistaan? i-alkiolle: i j k A x A y A z B x B y B z = i(a y B z A z B y ) Määritelmän mukaan: A 11 A 12 A 21 A 22 = A 11 A 22 A 12 A 21 j-alkiolle: i j k A x A y A z B x B y B z = j(a x B z A z B x ) Muista miinus-merkki! k-alkiolle: i j k A x A y A z B x B y B z = k(a x B y A y B x ) Lopuksi lasketaan tulokset yhteen.

13 Momentin vektorimuoto Ristitulo Esimerkki: Laske A B, kun A = 2i + j k ja B = 5j + 2k Tapa 1. Sijoitetaan suoraan yhtälöön A B = A y B z A z B y i A x B z A z B x j + A x B y A y B x k = (1)(2) ( 1)(5) i (2)(2) ( 1)(0) j + (2)(5) 1 0 k = 7i 4j + 10k Huom. Voisimme myös lähteä ratkaisemaan alusta, eli (2i + j k) (5j + 2k), koska osaamme laskea kantavektorien ristitulot Tapa 2. Ratkaistaan determinantti i j k A x A y A z = B x B y B z i j k = 2 5 i 4 0 j k = 7i 4j + 10k

14 Momentin vektorimuoto Momentti saadaan siis paikkavektorin ja voiman ristitulona M O = r F Momentin suuruus on ristitulon määritelmän mukaan M O = rf sin θ = F(r sin θ) = Fd Momentin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaan. Ei ole väliä mihin pisteeseen voiman vaikutussuoralla paikkavektori osoittaa.

15 Momentin vektorimuoto Karteesinen momenttivektori Voimasysteemin resultanttimomentti M O = r F = i j k r x r y r z F x F y F z M RO = Σ(r F) = r y F z r z F y i r x F z r z F x j + r x F y r y F x k = (M O ) x i + (M O ) y j + (M O ) z k Momentti x-akselin ympäri

16 Esimerkki Määritä voimien aiheuttama resultanttimomentti pisteen O ympäri. Tapa 1. Skalaarimenetelmä Kerrotaan jokainen voima etäisyydellään pisteeseen O, ja summataan momentit y ( cos 45 ) m +M O = 600N 1m 300N m + 500N(( ) m) = Nm = 1254 Nm 2.5 sin 45 m x M O = 1254k Nm

17 Esimerkki Määritä voimien aiheuttama resultanttimomentti pisteen O ympäri. y F 3 = Tapa 2. Vektorimenetelmä Määritetään paikkavektorit ja voimavektorit r 1 = i m F 1 = 600j N r 2 = r 3 = i j m F 2 = 300i N F 3 = 500j N r 2 = r 3 = F 2 M RO = Σ r F = r 1 F 1 + r 2 F 2 + r 3 F 3 F 1 = r 1 x = i j k i j k = 600k k k + i j k = k = 1254k Nm

18 Esimerkki Momenttiperiaate Tapa 1. Lasketaan geometrian avulla voiman vaikutussuoran etäisyys pisteestä O Kulmakertoimen avulla saadaan mitta a a 2m = 4 3 a = 8 3 m Esimerkki. Laske voiman momentti pisteen O ympäri. Kulmakertoimen avulla saadaan myös kulma α y d tan α = 3 4 Etäisyys d voidaan ratkaista nyt trigonometria avulla α a x d = 5 + a sin α = 4,6 m Momentti pisteen O ympäri on M O = Fd = 100N 4,6 m = 460 Nm M O = 460k Nm

19 Esimerkki Momenttiperiaate Momenttiperiaatteen mukaan voiman aiheuttama momentti pisteen ympäri on yhtä suuri kuin voiman komponenttien aiheuttamien momenttien summa pisteen ympäri. Tapa 2. Jaetaan voima komponentteihinsa ja lasketaan molempien komponenttien aiheuttama momentti pisteen O ympäri. Lopuksi summataan momentit. Kulmakertoimen avulla saadaan voiman komponentit: Esimerkki. Laske voiman momentti pisteen O ympäri. F x 100N = 4 5 F x = 80 N y F y F y 100N = 3 5 F y = 60 N F x Lasketaan momentti x +M O = F x 2m F y 5m = 80N 2m 60 N 5m = 460 Nm M O = 460k Nm

20 Momentti akselin ympäri Momentti y-akselin ympäri, M y, halutaan tietää. M y M O M O = Fd M y = Fd y = Fd cos θ Momentin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaan.

21 Momentti akselin ympäri Vektorimenetelmä 1. Lasketaan momentti M O jossain y-akselin pisteessä O 2. Momentti y-akselilla saadaan momentin M O projektiosta y-akselille Projektio saadaan pistetulolla 3. Momenttivektori on M y = j M O M y = M y j

22 Momentti akselin ympäri Vektorimenetelmä Yleisesti: u a on akselin a suuntainen yksikkövektori Voiman F momentti akselin a ympäri on M a = u a (r F) Kyseessä on skalaarikolmitulo, joka voidaan laskea determinantista M a = u a (r F) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z, M a = M a u a

23 Esimerkki Määritä voimien aiheuttama momentti x-, y- ja z- akselien ympäri. Momentti x-akselin ympäri. + M x = 100N 3m = 300 Nm Momentti y-akselin ympäri. z 100 N + M y = 200N 2m = 400 Nm 50 N 200 N y Momentti z-akselin ympäri. 2 m + M z = 300N 2m = 600 Nm x 3 m 300 N

24 Esimerkki Momentti lasketaan skalaarikolmitulosta: Määritä momentti x- akselin ympäri, kun F = 300i 200j + 150k N. M a = u a (r F) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z Määritetään voiman paikkavektori r OB : r OB = 0.3i + 0.4j 0.2k m r OB Yksikkövektori u a x-akselin suuntaan on kantavektori i. Lasketaan skalaarikolmitulo. M a = i (r OB F) = = = 20 (Nm)

25 Voimaparin momentti Voimapari on kaksi samansuuruista ja yhdensuuntaista mutta erimerkkistä voimaa Voimaparin voimien välinen kohtisuora etäisyys on d Resultanttivoima on nolla, F F = 0, joten voimapari aiheuttaa ainoastaan momentin, jota kutsutaan voimaparin momentiksi Voimaparin momentti lasketaan molempien voimien momenttien summana M = r B F + r A F Huom. r B = r A + r eli r = r B r A = (r B r A ) F M = r F Voimaparin momentti on vapaa vektori!

26 Voimaparin momentti Voimaparin momentin suuruus on M = Fd Missä d on voimien välinen kohtisuora etäisyys Voimaparin momentin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti Voimaparit ovat samanarvoisia kun niiden momentit ovat yhtä suuria ja samansuuntaisia

27 Voimaparin momentti Voimaparin momentin resultantti saadaan laskemalla kaikki voimaparien momentit yhteen M R = M 1 + M 2 M R = Σ(r F)

28 Esimerkki Laske voimaparin momentti ja esitä se karteesisena vektorina Määritetään paikkavektori pisteestä A pisteeseen B (eilisen luennolla opittu) r AB = (x B x A )i + (y B y A )j + (z B z A )k = i j k = 0.4i m Kirjoitetaan voima F B karteesisena vektorina r AB F B = F B x i + F By j + F Bz k Voimaparin momentti on = ( )j + ( )k = 360j 270k N M = r AB F B = i j k = j k = 108j + 144k Nm

29 Mitä tänään opimme? Voiman momentin määritelmä Voiman momentin laskeminen skalaari- ja vektorimenetelmillä Voiman momentti akselin ympäri Voimaparin momentti